Il teorema dimostrato nel § 89 vale per qualsiasi punto del sistema. Pertanto, se consideriamo qualsiasi punto del sistema con una massa che ha una velocità, allora per questo punto lo sarà

dove sono le opere elementari dell'esterno e forze interne. Componendo tali equazioni per ciascuno dei punti del sistema e sommandole termine per termine, troviamo che

L'uguaglianza (49) esprime il teorema sulla variazione dell'energia cinetica del sistema in forma differenziale. Integrando entrambe le parti di questa uguaglianza entro i limiti corrispondenti al movimento del sistema da qualche posizione iniziale, dove l'energia cinetica è uguale alla posizione in cui il valore dell'energia cinetica diventa uguale a, otteniamo

Questa equazione esprime il teorema sulla variazione dell'energia cinetica in una forma diversa (integrale): la variazione dell'energia cinetica del sistema con un certo spostamento è uguale alla somma del lavoro su questo spostamento di tutte le forze esterne ed interne applicate a il sistema.

A differenza dei teoremi precedenti, le forze interne nelle equazioni (49) o (50) non sono escluse. Infatti, se - le forze di interazione tra i punti del sistema (Fig. 309), allora

Ma allo stesso tempo, il punto può spostarsi verso e il punto - verso k. Il lavoro di ciascuna delle forze sarà quindi positivo e la somma del lavoro non sarà zero. Ad esempio, quando viene sparato (vedi problema 127 al § 112), le forze di pressione dei gas in polvere, che sono interne per il proiettile del sistema - parti rotanti, funzionano e conferiscono velocità ai corpi del sistema.

Consideriamo due importanti casi speciali.

1. Sistema immutabile. Chiameremo un sistema meccanico immutabile, in cui la distanza tra ogni due punti interagenti rimane costante durante tutto il movimento.

Considera due punti di un sistema immutabile amico di recitazione su un amico con le forze (vedi Fig. 309). Poi, poiché il moto del segmento dovrebbe essere (vedi § 55), allora e poiché sono, rispettivamente, le velocità e gli spostamenti elementari dei punti.Inoltre, . Di conseguenza, per la somma del lavoro elementare di queste forze, otteniamo

Lo stesso accadrà per tutti gli altri punti di interazione del sistema. Di conseguenza, giungiamo alla conclusione che nel caso di un sistema immutabile, la somma del lavoro di tutte le forze interne è uguale a zero e le equazioni (49) o (50) assumono la forma

2. Sistema con connessioni ideali. Consideriamo un sistema su cui si impongono vincoli che non cambiano nel tempo. Dividiamo tutte le forze esterne ed interne che agiscono sui punti del sistema in attive e reazioni di connessione. Quindi l'equazione (49) può essere rappresentata come

dove è il lavoro elementare delle forze attive esterne ed interne che agiscono sul punto del sistema, ed è il lavoro elementare delle reazioni imposte allo stesso punto di connessioni esterne e interne.

Come puoi vedere, la variazione dell'energia cinetica del sistema dipende dal lavoro e dalle forze attive e dalle reazioni dei legami. Tuttavia, è possibile introdurre il concetto di tali sistemi meccanici "ideali", in cui la presenza di legami non influisce sulla variazione dell'energia cinetica del sistema durante il suo moto. Per tali connessioni, ovviamente, la condizione

Se per legami che non cambiano nel tempo, la somma del lavoro di tutte le reazioni durante uno spostamento elementare del sistema è uguale a zero, allora tali legami sono ideali Indichiamo un certo numero di tipi di legami ideali a noi noti.

Nel § 89 è stato stabilito che se il legame è una superficie fissa (o curva), su cui si può trascurare l'attrito, allora quando i corpi scorrono lungo tale superficie (curva), il lavoro di reazione N è uguale a zero. Quindi, nel § 122, si mostra che se trascuriamo le deformazioni, allora quando un corpo rotola senza scivolare su una superficie ruvida, il lavoro della reazione normale N e la forza di attrito (cioè la componente tangenziale della reazione) è uguale a zero. Inoltre, anche il lavoro di reazione R della cerniera (vedi Figg. 10 e 11), se si trascura l'attrito, sarà pari a zero, poiché il punto di applicazione della forza R rimane stazionario durante qualsiasi movimento del sistema. Infine, se in Fig. 309 consideriamo i punti materiali come collegati da un'asta rigida (inestensibile), quindi le forze saranno le reazioni dell'asta; il lavoro di ciascuna di queste reazioni durante lo spostamento del sistema non è uguale a zero, ma la somma di questi lavori, secondo quanto dimostrato, dà zero. Pertanto, tutti i collegamenti elencati possono essere considerati ideali, tenendo conto delle prenotazioni effettuate.

Per sistema meccanico, su cui si impongono solo connessioni ideali che non cambiano nel tempo

Pertanto, la variazione dell'energia cinetica di un sistema con legami ideali che non cambiano nel tempo durante nessuno dei suoi spostamenti è uguale alla somma del lavoro su questo spostamento delle forze attive esterne e interne applicate al sistema.

Tutti i teoremi precedenti consentivano di escludere le forze interne dalle equazioni del moto, ma tutte le forze esterne, comprese le reazioni di vincoli esterni sconosciuti in anticipo, sono state conservate nelle equazioni. Il valore pratico del teorema sulla variazione dell'energia cinetica sta nel fatto che, con vincoli ideali che non cambiano nel tempo, permette di escludere dalle equazioni del moto tutte le reazioni dei vincoli precedentemente sconosciute.

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Breve recensione

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Due casi di conversione movimento meccanico punto materiale o sistemi di punti:

1. il movimento meccanico viene trasferito da un sistema meccanico all'altro come movimento meccanico;
2. il movimento meccanico si trasforma in un'altra forma di movimento della materia (nella forma energia potenziale, riscaldamento, elettricità, ecc.).

Quando si considera la trasformazione del movimento meccanico senza il suo passaggio a un'altra forma di movimento, la misura del movimento meccanico è il vettore di quantità di moto di un punto materiale o di un sistema meccanico. La misura dell'azione della forza in questo caso è il vettore della quantità di moto della forza.

Quando il movimento meccanico viene trasformato in un'altra forma di movimento della materia, l'energia cinetica di un punto materiale o di un sistema meccanico agisce come misura del movimento meccanico. La misura dell'azione di una forza nella trasformazione del moto meccanico in un'altra forma di moto è opera della forza

Energia cinetica

L'energia cinetica è la capacità di un corpo di superare gli ostacoli mentre si muove.

Energia cinetica di un punto materiale

L'energia cinetica di un punto materiale è detta quantità scalare, che è pari alla metà del prodotto della massa del punto per il quadrato della sua velocità.

Energia cinetica:

• caratterizza sia i movimenti traslazionali che rotazionali;
• non dipende dalla direzione di movimento dei punti del sistema e non caratterizza il cambiamento in queste direzioni;
• caratterizza l'azione di forze interne ed esterne.

Energia cinetica di un sistema meccanico

L'energia cinetica del sistema è uguale alla somma delle energie cinetiche dei corpi del sistema. L'energia cinetica dipende dal tipo di movimento dei corpi del sistema.

Determinazione dell'energia cinetica di un corpo solido a tipi diversi movimenti di movimento.

Energia cinetica del moto traslatorio
Nel moto traslatorio, l'energia cinetica del corpo è uguale a T=m V2/2.

Una misura dell'inerzia di un corpo in moto traslatorio è la massa.

Energia cinetica del moto rotatorio del corpo

Durante il moto di rotazione del corpo, l'energia cinetica è pari alla metà del prodotto del momento d'inerzia del corpo attorno all'asse di rotazione per il quadrato della sua velocità angolare.

Una misura dell'inerzia di un corpo durante il movimento rotatorio è il momento di inerzia.

L'energia cinetica di un corpo non dipende dal senso di rotazione del corpo.

Energia cinetica del moto piano-parallelo del corpo

Con un movimento piano-parallelo del corpo, l'energia cinetica è uguale a

Forza lavoro

Il lavoro della forza caratterizza l'azione della forza sul corpo ad un certo spostamento e determina la variazione del modulo di velocità del punto in movimento.

Lavoro di forza elementare

Il lavoro elementare di una forza è definito come un valore scalare uguale al prodotto della proiezione della forza sulla tangente alla traiettoria, diretta nella direzione del movimento del punto, e lo spostamento infinitesimo del punto, diretto lungo questa tangente .

Il lavoro della forza sullo spostamento finale

Il lavoro della forza sullo spostamento finale è uguale alla somma del suo lavoro sulle sezioni elementari.

Il lavoro della forza sullo spostamento finale M 1 M 0 è uguale all'integrale lungo questo spostamento da lavoro elementare.

Il lavoro della forza sullo spostamento di M 1 M 2 è rappresentato dall'area della figura delimitata dall'asse delle ascisse, dalla curva e dalle ordinate corrispondenti ai punti M 1 e M 0.

L'unità di misura del lavoro della forza e dell'energia cinetica nel sistema SI è 1 (J).

Teoremi sul lavoro della forza

Teorema 1. Il lavoro della forza risultante su un certo spostamento è uguale alla somma algebrica del lavoro delle forze componenti sullo stesso spostamento.

Teorema 2. Il lavoro di una forza costante sullo spostamento risultante è uguale alla somma algebrica del lavoro di questa forza sugli spostamenti delle componenti.

Potenza

La potenza è una quantità che determina il lavoro svolto da una forza per unità di tempo.

L'unità di potenza è 1W = 1 J/s.

Casi di determinazione del lavoro delle forze

Il lavoro delle forze interne

La somma del lavoro delle forze interne di un corpo rigido su uno qualsiasi dei suoi spostamenti è uguale a zero.

Il lavoro di gravità

Il lavoro della forza elastica

Il lavoro della forza di attrito

Il lavoro delle forze applicate a un corpo rotante

Il lavoro elementare delle forze applicate a un corpo rigido che ruota attorno ad un asse fisso è uguale al prodotto del momento principale delle forze esterne attorno all'asse di rotazione per l'incremento dell'angolo di rotazione.

resistenza al rotolamento

Nella zona di contatto tra il cilindro fermo e il piano si verifica una deformazione locale della compressione del contatto, le sollecitazioni sono distribuite secondo una legge ellittica e la linea d'azione della risultante N di queste sollecitazioni coincide con la linea d'azione della forza di carico sul cilindro Q. Quando il cilindro rotola, la distribuzione del carico diventa asimmetrica con un massimo spostato verso il movimento. La risultante N viene spostata del valore k - il braccio della forza di attrito volvente, che è anche chiamato coefficiente di attrito volvente e ha la dimensione della lunghezza (cm)

Teorema sulla variazione dell'energia cinetica di un punto materiale

La variazione dell'energia cinetica di un punto materiale ad alcuni dei suoi spostamenti è uguale alla somma algebrica di tutte le forze agenti sul punto allo stesso spostamento.

Teorema sulla variazione dell'energia cinetica di un sistema meccanico

La variazione dell'energia cinetica di un sistema meccanico ad un certo spostamento è uguale alla somma algebrica delle forze interne ed esterne agenti sui punti materiali del sistema allo stesso spostamento.

Teorema sulla variazione dell'energia cinetica di un corpo rigido

La variazione dell'energia cinetica di un corpo rigido (sistema invariabile) ad un certo spostamento è uguale alla somma delle forze esterne del robot che agiscono sui punti del sistema a parità di spostamento.

efficienza

Forze che agiscono nei meccanismi

Le forze e le coppie di forze (momenti) che vengono applicate a un meccanismo o a una macchina possono essere suddivise in gruppi:

1. Forze motrici e momenti che svolgono un lavoro positivo (applicato ai collegamenti di guida, ad esempio la pressione del gas su un pistone in un motore a combustione interna).

2. Forze e momenti di resistenza che agiscono negativamente:

• resistenza utile (eseguono il lavoro richiesto dalla macchina e sono applicati ai bracci condotti, ad esempio la resistenza del carico sollevato dalla macchina),
• forze di resistenza (ad esempio forze di attrito, resistenza dell'aria, ecc.).

3. Forze di gravità e forze elastiche delle molle (lavoro sia positivo che negativo, mentre il lavoro per un ciclo completo è zero).

4. Forze e momenti applicati al corpo o alla cremagliera dall'esterno (reazione della fondazione, ecc.), che non funzionano.

5. Forze di interazione tra legami che agiscono in coppie cinematiche.

6. Le forze di inerzia dei collegamenti, dovute alla massa e al movimento dei collegamenti con accelerazione, possono svolgere un lavoro positivo, negativo e non lavorare.

Il lavoro delle forze nei meccanismi

Allo stato stazionario della macchina, la sua energia cinetica non cambia e la somma del lavoro delle forze motrici e delle forze di resistenza applicate ad essa è zero.

Il lavoro di messa in moto della macchina viene impiegato per il superamento di resistenze utili e dannose.

efficienza del meccanismo

Il rendimento meccanico a moto stazionario è pari al rapporto tra il lavoro utile della macchina e il lavoro impiegato per mettere in moto la macchina:

Gli elementi della macchina possono essere collegati in serie, in parallelo e miscelati.

Efficienza in collegamento in serie

Quando i meccanismi sono collegati in serie, l'efficienza complessiva è inferiore all'efficienza più bassa di un singolo meccanismo.

Efficienza in collegamento in parallelo

Quando i meccanismi sono collegati in parallelo, l'efficienza complessiva è maggiore dell'efficienza minima e minore della massima efficienza di un meccanismo separato.

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Un esempio di calcolo di un ingranaggio cilindrico
Un esempio di calcolo di un ingranaggio cilindrico. Sono stati effettuati la scelta del materiale, il calcolo delle sollecitazioni ammissibili, il calcolo della resistenza al contatto e alla flessione.

Un esempio per risolvere il problema della flessione della trave
Nell'esempio vengono tracciati i diagrammi delle forze trasversali e dei momenti flettenti, viene trovata una sezione pericolosa e viene selezionata una trave a I. Nel problema è stata analizzata la costruzione di diagrammi utilizzando dipendenze differenziali, analisi comparativa diverse sezioni trasversali della trave.

Un esempio per risolvere il problema della torsione dell'albero
Il compito è testare la resistenza di un albero in acciaio per un dato diametro, materiale e sollecitazioni ammissibili. Durante la soluzione, vengono costruiti diagrammi di coppie, sforzi di taglio e angoli di torsione. Il peso proprio dell'albero non viene preso in considerazione

Un esempio di soluzione del problema della tensione-compressione di un'asta
Il compito è testare la resistenza di una barra d'acciaio a determinate sollecitazioni ammissibili. Durante la soluzione, vengono costruiti grafici delle forze longitudinali, delle sollecitazioni normali e degli spostamenti. Il peso proprio della barra non viene preso in considerazione

Applicazione del teorema di conservazione dell'energia cinetica
Un esempio di soluzione del problema dell'applicazione del teorema sulla conservazione dell'energia cinetica di un sistema meccanico

Il valore scalare T, uguale alla somma delle energie cinetiche di tutti i punti del sistema, è chiamato energia cinetica del sistema.

L'energia cinetica è una caratteristica del moto traslatorio e rotatorio del sistema. Il suo cambiamento è influenzato dall'azione di forze esterne e, essendo uno scalare, non dipende dalla direzione di movimento delle parti del sistema.

Troviamo l'energia cinetica per vari casi di moto:

1.movimento traslatorio

Le velocità di tutti i punti del sistema sono uguali alla velocità del centro di massa. Quindi

L'energia cinetica del sistema durante il moto di traslazione è pari alla metà del prodotto della massa del sistema per il quadrato della velocità del centro di massa.

2. movimento rotatorio(Fig. 77)

La velocità di qualsiasi punto del corpo: . Quindi

o usando la formula (15.3.1):

L'energia cinetica di un corpo durante la rotazione è pari alla metà del prodotto del momento d'inerzia del corpo attorno all'asse di rotazione per il quadrato della sua velocità angolare.

3. Moto piano-parallelo

Con un dato movimento, l'energia cinetica è la somma dell'energia dei movimenti di traslazione e di rotazione

Il caso generale del moto fornisce una formula simile all'ultima per il calcolo dell'energia cinetica.

Abbiamo fatto la definizione di lavoro e potenza nel paragrafo 3 del capitolo 14. Qui considereremo esempi di calcolo del lavoro e della potenza delle forze che agiscono su un sistema meccanico.

1.Il lavoro di gravità. Siano , le coordinate della posizione iniziale e finale del punto k del corpo. Sarà il lavoro della forza di gravità che agisce su questa particella di peso . Allora il lavoro completo è:

dove P è il peso del sistema di punti materiali, è lo spostamento verticale del baricentro C.

2. Il lavoro delle forze applicate a un corpo rotante.

Secondo la relazione (14.3.1), possiamo scrivere , ma ds secondo la Figura 74, a causa della piccolezza infinita, può essere rappresentato come - un angolo di rotazione del corpo infinitamente piccolo. Quindi

Valore chiamato coppia.

La formula (19.1.6) può essere riscritta come

Il lavoro elementare è uguale al prodotto della coppia e della rotazione elementare.

Quando giriamo all'angolo finale, abbiamo:

Se la coppia è costante, allora

e la potenza è determinata dalla relazione (14.3.5)

come prodotto della coppia e della velocità angolare del corpo.

Il teorema sulla variazione dell'energia cinetica dimostrata per un punto (§ 14.4) sarà valido per qualsiasi punto del sistema

Componendo tali equazioni per tutti i punti del sistema e sommandole termine per termine otteniamo:

oppure, secondo (19.1.1):

che è un'espressione del teorema sull'energia cinetica del sistema in forma differenziale.

Integrando (19.2.2) otteniamo:

Il teorema sulla variazione dell'energia cinetica nella forma finale: la variazione dell'energia cinetica del sistema con parte del suo spostamento finale è uguale alla somma del lavoro svolto su questo spostamento di tutte le forze esterne ed interne applicate al sistema .

Sottolineiamo che le forze interne non sono escluse. Per un sistema immutabile, la somma del lavoro di tutte le forze interne è zero e

Se i legami imposti al sistema non cambiano nel tempo, allora le forze, sia esterne che interne, possono essere suddivise in attive e reazioni dei legami, e ora si può scrivere l'equazione (19.2.2):

Nella dinamica viene introdotto un concetto come un sistema meccanico "ideale". Questo è un tale sistema, la presenza di legami in cui non influisce sul cambiamento dell'energia cinetica, cioè

Tali collegamenti che non cambiano nel tempo e la cui somma del lavoro su uno spostamento elementare è uguale a zero sono chiamati ideali e si scriverà l'equazione (19.2.5):

L'energia potenziale di un punto materiale in una data posizione M è un valore scalare P, uguale al lavoro che le forze di campo faranno quando il punto si sposta dalla posizione M a zero

P = LA (mo) (19.3.1)

L'energia potenziale dipende dalla posizione del punto M, cioè dalle sue coordinate

P = P(x, y, z) (19.3.2)

Spieghiamo qui che un campo di forze è una parte del volume spaziale, in ogni punto del quale una particella è interessata da una forza determinata in valore e direzione assoluti, in funzione della posizione della particella, cioè delle coordinate x , y, z. Ad esempio, il campo gravitazionale della Terra.

Viene chiamata una funzione U di coordinate il cui differenziale è uguale a lavoro funzione di potenza. Viene chiamato un campo di forza per il quale esiste una funzione di forza campo di forza potenziale, e le forze che agiscono in questo campo, - forze potenziali.

Lascia che zero punti per due funzioni di forza П(х,у,z) e U(x,y,z) coincidano.

Con la formula (14.3.5) otteniamo , cioè dA = dU(x,y,z) e

dove U è il valore della funzione di forza nel punto M. Quindi

P(x,y,z) = -U(x,y,z) (19.3.5)

L'energia potenziale in qualsiasi punto del campo di forza è uguale al valore della funzione di forza in questo punto, preso con il segno opposto.

Cioè, quando si considerano le proprietà di un campo di forze, invece di una funzione di forza, si può considerare l'energia potenziale e, in particolare, l'equazione (19.3.3) sarà riscritta come

Il lavoro della forza potenziale è uguale alla differenza tra i valori dell'energia potenziale del punto in movimento nelle posizioni iniziale e finale.

In particolare, il lavoro di gravità:

Sia potenziale tutte le forze che agiscono sul sistema. Allora per ogni punto k del sistema il lavoro è uguale a

Allora per tutte le forze, sia esterne che interne, lo sarà

dove è l'energia potenziale dell'intero sistema.

Sostituiamo queste somme nell'espressione per l'energia cinetica (19.2.3):

o infine:

Quando si muove sotto l'azione di forze potenziali, la somma dell'energia cinetica e potenziale del sistema in ciascuna delle sue posizioni rimane costante. Questa è la legge di conservazione dell'energia meccanica.

Un carico di 1 kg fa vibrazioni libere secondo la legge x = 0,1 sinl0t. Costante elastica c = 100 N/m. Determina l'energia meccanica totale del carico a x \u003d 0,05 m, se a x \u003d 0 l'energia potenziale è zero . (0,5)

Un carico di massa m = 4 kg, cadendo, con l'aiuto di una filettatura, ruota un cilindro di raggio R = 0,4 M. Il momento d'inerzia del cilindro attorno all'asse di rotazione è I = 0,2. Determinare l'energia cinetica del sistema di corpi nel momento in cui la velocità del carico è v = 2m/s . (10,5)

Un esempio di soluzione di un problema utilizzando il teorema sulla variazione dell'energia cinetica di un sistema con corpi rigidi, blocchi, pulegge e una molla.

Contenuto

L'obiettivo

Il sistema meccanico è costituito da pesi 1 e 2, puleggia a gradini 3 con raggi di gradino R 3 \u003d 0,3 m, r 3 \u003d 0,1 m e raggio di rotazione rispetto all'asse di rotazione ρ 3 = 0,2 m, blocco 4 di raggio R 4 = 0,2 m e blocco mobile 5. Il blocco 5 è considerato un cilindro omogeneo continuo. Il coefficiente di attrito del carico 2 attorno al piano f = 0,1 . I corpi del sistema sono collegati tra loro da fili lanciati su blocchi e avvolti sulla puleggia 3. Le sezioni dei fili sono parallele ai piani corrispondenti. Una molla è fissata al blocco mobile 5 con un coefficiente di rigidità c = 280 N/m.

Sotto l'azione di una forza F = f (s) = 80(6 + 7 s) N, a seconda dello spostamento s del punto della sua applicazione, il sistema entra in moto da uno stato di riposo. La deformazione della molla al momento dell'inizio del movimento è pari a zero. Durante il movimento, la puleggia 3 è soggetta a un momento costante M = 1,6 Nm forze di resistenza (dall'attrito nei cuscinetti). Masse dei corpi: m 1 = 0 , m 2 = 5 kg, m 3 = 6 kg, m 4 = 0 , m 5 = 4 kg.

Determinare il valore del baricentro del corpo 5 V C 5 nel momento in cui lo spostamento s del carico 1 diventa uguale a s 1 = 0,2 m.

indicazione. Quando si risolve un problema, utilizzare teorema sulla variazione dell'energia cinetica.

La soluzione del problema

Dato: R 3 \u003d 0,3 m, r 3 \u003d 0,1 m, ρ 3 = 0,2 m, R 4 = 0,2 m, f = 0,1 , s = 280 N/m, m 1 = 0 , m 2 = 5 kg, m 3 = 6 kg, m 4 = 0 , m 5 = 4 kg, F = f (s) = 80(6 + 7 s) N, S 1 = 0,2 m.

Trovare: VC 5 .

Notazione variabile

R 3, r 3- raggi dei gradini della puleggia 3;
ρ 3 - il raggio di inerzia della puleggia 3 rispetto all'asse di rotazione;
R 5 - blocco raggio 5;
V 1 , V 2 - velocità dei corpi 1 e 2;
ω 3 - velocità angolare di rotazione della puleggia 3;
VC 5 - velocità del centro di massa C 5 blocco 5;
ω 5 - velocità angolare di rotazione del blocco 5;
S 1 , S 2 - movimento dei corpi 1 e 2;
φ 3 - angolo di rotazione della puleggia 3;
s C 5 - spostamento del baricentro C 5 blocco 5;
s A , s B - spostamento dei punti A e B.

Stabilimento di relazioni cinematiche

Stabiliamo relazioni cinematiche. Poiché i pesi 1 e 2 sono collegati da un filo, le loro velocità sono uguali:
V 2 = V1.
Poiché i pesi di collegamento del filo 1 e 2 sono avvolti sul gradino esterno della puleggia 3, le punte del gradino esterno della puleggia 3 si muovono ad una velocità V 2 = V1. Quindi la velocità angolare di rotazione della puleggia:
.
Velocità del centro di massa V C 5 il blocco 5 è uguale alla velocità dei punti dello stadio interno della puleggia 3:
.
La velocità del punto K è zero. Pertanto, è il centro istantaneo delle velocità del blocco 5. La velocità angolare di rotazione del blocco 5:
.
La velocità del punto B - l'estremità libera della molla - è uguale alla velocità del punto A:
.

Esprimiamo le velocità in termini di V C 5 .
;
;
.

Ora installiamo relazioni tra i movimenti del corpo e gli angoli di rotazione puleggia e blocco. Poiché le velocità e le velocità angolari sono derivate temporali di spostamenti e angoli di rotazione
,
quindi le stesse connessioni saranno tra spostamenti e angoli di rotazione:
S 2 = s1;
;
;
.

Determinazione dell'energia cinetica di un sistema

Troviamo l'energia cinetica del sistema. Il carico 2 si impegna movimento in avanti con velocità V 2 . Puleggia 3 si impegna moto rotatorio con velocità angolare ω 3 . Il blocco 5 esegue un movimento parallelo al piano. Ruota con una velocità angolare ω 5 e il suo centro di massa si muove ad una velocità V C 5 . Energia cinetica del sistema:
.

Poiché è dato il raggio di rotazione della puleggia rispetto all'asse di rotazione, il momento di inerzia della puleggia rispetto all'asse di rotazione è determinato dalla formula:
J 3 = m 3 ρ 2 3.
Poiché il blocco 5 è un cilindro solido omogeneo, il suo momento d'inerzia rispetto al centro di massa è
.

Usando le relazioni cinematiche, esprimiamo tutte le velocità in termini di V C 5 e sostituire le espressioni per i momenti di inerzia nella formula per l'energia cinetica.
,
dove abbiamo introdotto la costante
kg.

Quindi, abbiamo trovato la dipendenza dell'energia cinetica del sistema dalla velocità del centro di massa V C 5 blocco mobile:
, dove m = 75 kg.

Determinazione della somma del lavoro delle forze esterne

Considera le forze esterne agendo sul sistema.
In questo caso non si considerano le forze di trazione dei fili, poiché i fili sono inestensibili e, quindi, non producono lavoro. Per questo motivo non consideriamo sollecitazioni interne agendo nei corpi, poiché sono assolutamente solidi.
Una data forza F agisce sul corpo 1 (con massa zero).
La forza di gravità P agisce sul carico 2 2 = m 2 g 2 e forza di attrito F T .
La puleggia 3 è influenzata dalla gravità P 3 = m 3 g, forza di pressione dell'asse N 3 e momento di attrito M .
La puleggia 4 (a massa zero) è soggetta alla forza di pressione dell'asse N 4 .
Il blocco mobile 5 è interessato dalla gravità P 5 = m 5 g, la forza elastica F y e la forza di tensione del filo T K nel punto K .

Il lavoro svolto dalla forza spostando il punto della sua applicazione a un piccolo spostamento è uguale al prodotto scalare dei vettori, cioè il prodotto dei moduli dei vettori F e ds e il coseno dell'angolo tra di loro. Imposta la forza, applicato al corpo 1, è parallelo al movimento del corpo 1. Pertanto, il lavoro svolto dalla forza quando si sposta il corpo 1 a una distanza s 1 è uguale a:


J.

Considera il carico 2. È influenzato dalla gravità P 2 , forza di pressione superficiale N 2 , forze di tensione del filo T 23 , T 24 e forza di attrito F T . Poiché il carico non si muove in direzione verticale, la proiezione della sua accelerazione sull'asse verticale è zero. Pertanto, la somma delle proiezioni delle forze sull'asse verticale è zero:
N 2 - P 2 = 0;
N 2 \u003d P 2 \u003d m 2 g.
Forza di attrito:
FT = fN 2 = f m 2 g.
Forze P 2 e n 2 perpendicolare allo spostamento s 2 quindi non fanno nessun lavoro.
Il lavoro della forza di attrito:
J.

Se consideriamo il carico 2 come un sistema isolato, allora dobbiamo tenere conto del lavoro svolto dalle forze di trazione dei fili T 23 e T 24 . Tuttavia, siamo interessati all'intero sistema costituito dai corpi 1, 2, 3, 4 e 5. Per un tale sistema, le forze di tensione del filo sono forze interne. E poiché i fili sono inestensibili, la somma del loro lavoro è zero. Nel caso del carico 2, occorre tenere conto anche delle forze di trazione dei fili agenti sulla puleggia 3 e sul blocco 4. Sono uguali in grandezza e opposte in direzione alle forze T 23 e T 24 . Pertanto, il lavoro svolto dalle forze di trazione dei fili 23 e 24 sul carico 2 è uguale in grandezza e di segno opposto al lavoro svolto dalle forze di trazione di questi fili sulla puleggia 3 e sul blocco 4. Di conseguenza, la somma del lavoro svolto dalle forze di tensione dei fili è zero.

Consideriamo la puleggia 3. Poiché il suo baricentro non si muove, il lavoro di gravità P 3 è uguale a zero.
Dal momento che l'asse C 3 è stazionaria, quindi la forza di pressione dell'asse N 3 non produce lavoro.
Il lavoro prodotto dal momento delle forze è calcolato in modo simile al lavoro prodotto dalla forza:
.
Nel nostro caso, i vettori del momento delle forze di attrito e l'angolo di rotazione della puleggia sono diretti lungo l'asse di rotazione della puleggia, ma in direzione opposta. Pertanto, il lavoro del momento delle forze di attrito:
J.

Considera il blocco 5.
Poiché la velocità del punto K è uguale a zero, la forza T K non produce lavoro.
Baricentro del blocco C 5 spostato di una distanza s C 5 su. Pertanto, il lavoro svolto dalla gravità del blocco è:
J.
Il lavoro della forza elastica della molla è uguale alla variazione dell'energia potenziale della molla con un segno meno. Poiché la molla non è deformata all'inizio, quindi
J.

La somma del lavoro di tutte le forze:

J.

Applicazione del teorema sulla variazione dell'energia cinetica del sistema

Applichiamo il teorema sulla variazione dell'energia cinetica del sistema in forma integrale.
.
Poiché il sistema era fermo all'inizio, la sua energia cinetica all'inizio del moto
T 0 = 0 .
Quindi
.
Da qui
SM.

L'energia cinetica di un sistema meccanico è la somma delle energie cinetiche di tutti i suoi punti:

Differenziando ogni parte di questa uguaglianza rispetto al tempo, otteniamo

Utilizzando la legge di base della dinamica per a-esimo punto del sistema m k 2 io k= Fj., arriviamo all'uguaglianza

Viene chiamato il prodotto scalare della forza F per la velocità v del punto della sua applicazione potere della forza e denotare R:

Usando questa nuova notazione, rappresentiamo la (11.6) nella forma seguente:

L'uguaglianza risultante esprime la forma differenziale del teorema sulla variazione dell'energia cinetica: la velocità di variazione dell'energia cinetica di un sistema meccanico è uguale alla somma j delle potenze di tutti i cm agenti sul sistema.

Rappresentare la derivata f in (8.5) sotto forma di una frazione -- e fare

quindi separazione delle variabili, otteniamo:

dove dT- differenziale di energia cinetica, cioè la sua variazione in un intervallo di tempo infinitesimo dr, dr k = k dt - spostamento elementare a- esimo punto del sistema, cioè movimento nel tempo dt.

Il prodotto scalare della forza F per lo spostamento elementare dott vengono chiamati i suoi punti di applicazione lavoro elementare forza e rappresenta dA:

Utilizzo delle proprietà prodotto a punti nella forma si può rappresentare anche il lavoro elementare della forza

Qui ds = dr- la lunghezza dell'arco della traiettoria del punto di applicazione della forza, corrispondente al suo spostamento elementare c/g; un - l'angolo tra le direzioni del vettore forza F e del vettore spostamento elementare c/r; F „ F y , F,- proiezioni del vettore forza F sugli assi cartesiani; dx, dy, dz proiezioni sugli assi cartesiani del vettore di spostamento elementare s/r.

Tenendo conto della notazione (11.9), l'uguaglianza (11.8) può essere rappresentata nella forma seguente:

quelli. il differenziale dell'energia cinetica del sistema è uguale alla somma dei lavori elementari di tutte le forze agenti sul sistema. Questa uguaglianza, come la (11.7), esprime la forma differenziale del teorema sulla variazione dell'energia cinetica, ma differisce dalla (11.7) in quanto non utilizza derivate, ma incrementi - differenziali infinitesimali.

Eseguendo l'integrazione termine per termine dell'uguaglianza (11.12), otteniamo

dove vengono utilizzati i limiti di integrazione: 7 0 - energia cinetica del sistema al momento? 0; 7) - energia cinetica del sistema al momento tx.

Integrali Definiti per intervallo di tempo o A(F):

Nota 1. Per calcolare il lavoro, a volte è più conveniente utilizzare una parametrizzazione non ad arco della traiettoria SM), e la coordinata M(x(t), y(/), z(f)). In questo caso, è naturale prendere la rappresentazione (11.11) per l'opera elementare, e integrale curvilineo presente nella forma:

Tenendo conto della designazione (11.14) del lavoro su uno spostamento finito, l'uguaglianza (11.13) assume la forma

e rappresenta la forma finale del teorema sulla variazione dell'energia cinetica di un sistema meccanico.

Teorema 3. La variazione dell'energia cinetica di un sistema meccanico quando si sposta dalla posizione iniziale a quella finale è uguale alla somma del lavoro di tutte le forze agenti sui punti del sistema durante questo movimento.

Commento 2. Il lato destro dell'uguaglianza (11.16) tiene conto delle opere tutte le forze agendo sul sistema, sia esterno che interno. Tuttavia, esistono tali sistemi meccanici per i quali il lavoro totale di tutte le forze interne è uguale a zero. Ego così chiamato sistemi immutabili, per cui le distanze tra i punti materiali interagenti non cambiano. Ad esempio, il sistema solidi collegati da cerniere senza attrito o fili flessibili inestensibili. Per tali sistemi, nell'uguaglianza (11.16) è sufficiente considerare solo il lavoro di forze esterne, cioè il teorema (11.16) assume la forma: