Sedia " matematica superiore»

Completato da: Matveev FI

Controllato da: Burlova L.V.

Ulan-Ude.2002

1. Metodi numerici di integrazione

2. Derivazione della formula di Simpson

3. Illustrazione geometrica

4. Scelta della fase di integrazione

5.Esempi

1. Metodi numerici di integrazione

Il problema dell'integrazione numerica è calcolare l'integrale

attraverso una serie di valori dell'integrando.

I problemi di integrazione numerica devono essere risolti per funzioni date in una tabella, una funzione i cui integrali non sono presi in considerazione funzioni elementari, eccetera. Considera solo le funzioni di una variabile.

Al posto della funzione da integrare, integriamo il polinomio di interpolazione. I metodi basati sulla sostituzione dell'integrando con un polinomio di interpolazione consentono di stimare l'accuratezza del risultato mediante i parametri del polinomio o di selezionare questi parametri per una data accuratezza.

I metodi numerici possono essere raggruppati condizionalmente secondo il metodo dell'approssimazione dell'integrando.

I metodi di Newton-Cotes si basano sull'approssimazione della funzione

polinomio di grado. L'algoritmo di questa classe differisce solo per il grado del polinomio. Di norma, i nodi del polinomio approssimativo sono ugualmente correlati.

I metodi di integrazione della spline si basano sull'approssimazione della funzione

polinomio spline a tratti.

I metodi di massima accuratezza algebrica (metodo di Gauss) utilizzano nodi non equivalenti appositamente selezionati che forniscono l'errore di integrazione minimo per un dato numero (scelto) di nodi.

I metodi Monte Carlo sono usati più spesso nel calcolo di integrali multipli, i nodi vengono scelti in modo casuale, la risposta è probabilistica.

errore totale di troncamento dell'errore

errore di arrotondamento

Indipendentemente dal metodo scelto, nel processo di integrazione numerica, è necessario calcolare il valore approssimativo dell'integrale e stimare l'errore. L'errore diminuisce all'aumentare del numero n

partizioni del segmento

. Tuttavia, ciò aumenta l'errore di arrotondamento.

sommando i valori degli integrali calcolati su segmenti parziali.

L'errore di troncamento dipende dalle proprietà dell'integrando e dalla lunghezza

taglio parziale.

2. Derivazione della formula di Simpson

Se per ogni coppia di segmenti

costruiamo un polinomio di secondo grado, quindi lo integriamo e utilizziamo la proprietà di additività dell'integrale, quindi otteniamo la formula di Simpson. Considera l'integrando sull'intervallo. Sostituiamo questo integrando con un polinomio di interpolazione di Lagrange di secondo grado coincidente con i punti:

Integriamo

e si chiama formula di Simpson.

Ottenuto per l'integrale

il valore coincide con l'area di un trapezio curvilineo delimitato dall'asse, dalle rette e da una parabola passante per i punti

Stimiamo ora l'errore di integrazione con la formula di Simpson. Lo assumiamo

ci sono derivate continue sull'intervallo. Componi la differenza

Il teorema del valore medio può già essere applicato a ciascuno di questi due integrali, poiché

è continua e la funzione è non negativa sul primo intervallo di integrazione e non positiva sul secondo (cioè non cambia segno su ciascuno di questi intervalli). Ecco perché:

(abbiamo usato il teorema del valore medio perché

- funzione continua; ).

differenziando

due volte e quindi applicando il teorema del valore medio, otteniamo un'altra espressione per , dove

Da entrambe le stime per

ne consegue che la formula di Simpson è esatta per polinomi di grado al massimo tre. Scriviamo la formula di Simpson, ad esempio, nella forma: , .

Se il segmento

l'integrazione è troppo grande, quindi viene divisa in parti uguali (supponendo ), dopodiché la formula di Simpson viene applicata a ciascuna coppia di segmenti adiacenti , ,..., ovvero:

Scriviamo la formula Simpson vista generale.

Dipartimento di Matematica Superiore

Completato da: Matveev FI

Controllato da: Burlova L.V.

Ulan-Ude.2002

1. Metodi numerici di integrazione

2. Derivazione della formula di Simpson

3. Illustrazione geometrica

4. Scelta della fase di integrazione

5.Esempi

1. Metodi numerici di integrazione

Il problema dell'integrazione numerica è calcolare l'integrale

Attraverso una serie di valori dell'integrando.

I problemi di integrazione numerica devono essere risolti per funzioni date in una tabella, una funzione i cui integrali non sono presi in funzioni elementari, e così via. Considera solo le funzioni di una variabile.

I metodi numerici possono essere raggruppati condizionalmente secondo il metodo dell'approssimazione dell'integrando.

I metodi di Newton-Cotes si basano sull'approssimazione di una funzione mediante un polinomio di grado. L'algoritmo di questa classe differisce solo per il grado del polinomio. Di norma, i nodi del polinomio approssimativo sono ugualmente correlati.

I metodi di integrazione spline si basano sull'approssimazione di una funzione mediante un polinomio spline a tratti.

I metodi Monte Carlo sono usati più spesso nel calcolo di integrali multipli, i nodi vengono scelti in modo casuale, la risposta è probabilistica.

errore totale

errore di troncamento

errore di arrotondamento

frazionamento del segmento. Tuttavia, ciò aumenta l'errore di arrotondamento.

sommando i valori degli integrali calcolati su segmenti parziali.

L'errore di troncamento dipende dalle proprietà dell'integrando e dalla lunghezza del segmento parziale.

2. Derivazione della formula di Simpson

Se per ogni coppia di segmenti costruiamo un polinomio di secondo grado, lo integriamo e utilizziamo la proprietà di additività dell'integrale, otteniamo la formula di Simpson.

Considera l'integrando sull'intervallo. Sostituiamo questo integrando con un polinomio di interpolazione di Lagrange di secondo grado coincidente con i punti:

Integriamo:

e si chiama formula di Simpson.

Il valore ottenuto per l'integrale coincide con l'area del trapezio curvilineo delimitata dall'asse, le rette e la parabola passante per i punti

Stimiamo ora l'errore di integrazione con la formula di Simpson. Assumiamo che y abbia derivate continue sull'intervallo . Componi la differenza

Il teorema del valore medio può essere già applicato a ciascuno di questi due integrali, poiché la funzione è continua su e la funzione è non negativa sul primo intervallo di integrazione e non positiva sul secondo (cioè non cambia segno su ciascuno di questi intervalli). Ecco perché:

(abbiamo usato il teorema del valore medio, poiché è una funzione continua; ).

Differenziando due volte e quindi applicando il teorema del valore medio, otteniamo un'altra espressione per:

, dove

Ne consegue da entrambe le stime che la formula di Simpson è esatta per polinomi di grado al massimo tre. Scriviamo la formula Simpson, ad esempio, come:

Se il segmento di integrazione è troppo grande, viene diviso in parti uguali (supponendo ), dopodiché ad ogni coppia di segmenti adiacenti , ,..., applica la formula Simpson, ovvero:

Scriviamo la formula Simpson in forma generale:

L'errore della formula Simpson - il metodo del quarto ordine:

, (3)

Poiché il metodo Simpson consente di ottenere un'elevata precisione, se non troppo elevata. In caso contrario, il metodo del secondo ordine può fornire una maggiore precisione.

Ad esempio, per una funzione, la forma trapezoidale in for dà il risultato esatto, mentre con la formula di Simpson otteniamo

3. Illustrazione geometrica

Su un segmento di lunghezza 2h si costruisce una parabola passante per tre punti, . Si assume uguale all'integrale l'area sotto la parabola racchiusa tra l'asse OX e le rette.

Una caratteristica dell'applicazione della formula Simpson è il fatto che il numero di partizioni del segmento di integrazione è pari.

Se il numero di segmenti di partizione è dispari, per i primi tre segmenti si dovrebbe applicare una formula che utilizza una parabola di terzo grado passante per i primi quattro punti per approssimare l'integrando.

(4)

Questa è la formula dei "tre-ottavi" di Simpson.

Per un intervallo arbitrario di integrazione, la formula (4) può essere "continua"; il numero dei segmenti parziali deve essere un multiplo di tre (punti).

, m=2,3,... (5)

intera parte

Puoi ottenere le formule di Newton-Cotes di ordini superiori:

(6)

Numero di segmenti di partizione;

Il grado del polinomio utilizzato;

Derivata del esimo ordine al punto;

Passo diviso.

La tabella 1 elenca i coefficienti. Ogni riga corrisponde a un insieme di nodi gap per costruire un polinomio di k-esimo grado. Per utilizzare questo schema per più insiemi (ad esempio, con k=2 e n=6), è necessario "continuare" i coefficienti e quindi sommarli.

Tabella 1:

L'algoritmo per stimare l'errore delle formule trapezoidali e Simpson può essere scritto come: (7),

dove è un coefficiente che dipende dal metodo di integrazione e dalle proprietà dell'integrando;

h - fase di integrazione;

p è l'ordine del metodo.

La regola di Runge viene utilizzata per calcolare l'errore mediante il doppio calcolo dell'integrale con i passaggi h e kh.

(8) - stima a posteriori. Allora Iref.= +Ro (9), il valore raffinato dell'integrale .

Se l'ordine del metodo è sconosciuto, è necessario calcolare I una terza volta con incrementi di , ovvero:

da un sistema di tre equazioni:

da sconosciuto I,A e p otteniamo:

Da (10) segue (11)

Pertanto, il metodo del doppio calcolo, utilizzato il numero di volte richiesto, consente di calcolare l'integrale con un determinato grado di precisione. La scelta del numero di partizioni richiesto viene eseguita automaticamente. In questo caso, è possibile utilizzare più chiamate ai sottoprogrammi dei metodi di integrazione corrispondenti senza modificare gli algoritmi di questi metodi. Tuttavia, per metodi che utilizzano nodi equidistanti, è possibile modificare gli algoritmi e dimezzare il numero di calcoli dell'integrando utilizzando le somme integrali accumulate durante le precedenti partizioni multiple dell'intervallo di integrazione. Due valori approssimativi dell'integrale e, calcolati con il metodo del trapezio con passi e , sono correlati dalla relazione:

Allo stesso modo, per gli integrali calcolati dalla formula con passi e , valgono le relazioni:

(13)

4. Scelta della fase di integrazione

Per scegliere il passaggio di integrazione, puoi utilizzare l'espressione del termine residuo. Prendi, ad esempio, il termine rimanente della formula di Simpson:

Se ê ê, allora ê ê .

Data l'accuratezza e del metodo di integrazione, determiniamo il passaggio appropriato dall'ultima disuguaglianza.

, .

Tuttavia, questo metodo richiede una valutazione (che non è sempre possibile nella pratica). Pertanto, utilizzano altri metodi per determinare la stima dell'accuratezza, che, nel corso dei calcoli, consentono di scegliere il passaggio richiesto h.

Diamo un'occhiata a uno di questi metodi. Lascia stare

dove è il valore approssimativo dell'integrale con passo . Diminuire il passo della metà, dividendo il segmento in due parti uguali e ().

Supponiamo ora che non cambi troppo velocemente, in modo che sia quasi costante: . Quindi e , dove , cioè .

Da ciò possiamo concludere che se , cioè se , , ed è l'accuratezza richiesta, allora il passo è adatto per calcolare l'integrale con sufficiente accuratezza. Se , il calcolo viene ripetuto con un passaggio e quindi confrontato, e così via. Questa regola è chiamata regola di Runge.

Tuttavia, quando si applica la regola di Runge, è necessario tenere conto dell'entità dell'errore di calcolo: al diminuire, aumenta l'errore assoluto nel calcolo dell'integrale (la dipendenza da è inversamente proporzionale) e, per valori sufficientemente piccoli , potrebbe risultare maggiore dell'errore del metodo. Se supera , la regola Runge non può essere applicata per questo passaggio e non è possibile ottenere la precisione desiderata. In questi casi è necessario aumentare il valore di .

Nel derivare la regola di Runge, hai essenzialmente utilizzato il presupposto che . Se esiste solo una tabella di valori, il controllo "per costanza" può essere eseguito direttamente in base alla tabella. parti differenti intervallo di integrazione, a seconda delle proprietà, il numero di calcoli dell'integrando diminuisce.

Un altro schema per affinare i valori dell'integrale è il processo Eitnen. L'integrale si calcola con passi e . Calcolo dei valori. Quindi (14).

Il valore seguente viene preso come misura dell'accuratezza del metodo Simpson:

5. Esempi

Esempio 1 Calcola l'integrale usando la formula di Simpson, se data dalla tabella. Stimare l'errore.

Tabella 3

Soluzione: calcola con la formula (1) per e integrale .

Secondo la regola di Runge, otteniamo Accept .

Esempio 2 Calcola integrale .

Soluzione: abbiamo . Quindi h==0,1. I risultati del calcolo sono riportati nella tabella 4.

Tabella 4

Calcolo dell'integrale mediante la formula di Simpson

y0=1.00000; -0.329573ê£3.

Stime per l'errore del metodo Simpson: £ 0.0000017 per =0.1, £ 0.0000002 per =0.05.

Affinché l'errore di arrotondamento non distorca un risultato così accurato per la formula Simpson, tutti i calcoli sono stati eseguiti con sei cifre decimali.

Risultati finali:

Per trovare un integrale definito con il metodo del trapezio, l'area di un trapezio curvilineo è anche divisa in n trapezio rettangolare con altezze he basi y 1 , y 2 , y 3 ,..y n , dove n è il numero del trapezio rettangolare. L'integrale sarà numericamente uguale alla somma delle aree dei trapezi rettangolari (Figura 4).

Riso. 4

n - numero di divisioni

L'errore della formula trapezoidale è stimato dal numero

L'errore della formula del trapezio diminuisce più velocemente con la crescita rispetto all'errore della formula del rettangolo. Pertanto, la formula del trapezio consente di ottenere una maggiore precisione rispetto al metodo del rettangolo.

Formula Simpson

Se per ogni coppia di segmenti costruiamo un polinomio di secondo grado, lo integriamo sul segmento e utilizziamo la proprietà di additività dell'integrale, otteniamo la formula di Simpson.

Nel metodo di Simpson per calcolare l'integrale definito, l'intero intervallo di integrazione è diviso in sottointervalli di uguale lunghezza h=(b-a)/n. Il numero di segmenti di partizione è un numero pari. Quindi, su ciascuna coppia di sottointervalli adiacenti, la funzione subintegrale f(x) viene sostituita da un polinomio di Lagrange di secondo grado (Figura 5).

Riso. cinque La funzione y=f(x) sul segmento è sostituita da un polinomio del 2° ordine

Considera l'integrando sull'intervallo. Sostituiamo questo integrando con un polinomio di interpolazione di Lagrange di secondo grado coincidente con y= nei punti:

Integriamo sull'intervallo:

Introduciamo un cambio di variabili:

Date le formule di sostituzione,

Dopo l'integrazione, otteniamo la formula Simpson:

Il valore ottenuto per l'integrale coincide con l'area di un trapezio curvilineo delimitato da un asse, rette e una parabola passante per punti.Su un segmento, la formula di Simpson sarà simile a:

Nella formula della parabola, il valore della funzione f (x) nei punti dispari x 1, x 3, ..., x 2n-1 ha un coefficiente di 4, nei punti pari x 2, x 4, ... , x 2n-2 - coefficiente 2 e in due punti di confine x 0 =a, x n =b - coefficiente 1.

Il significato geometrico della formula di Simpson: l'area di un trapezio curvilineo sotto il grafico della funzione f(x) su un segmento è approssimativamente sostituita dalla somma delle aree delle figure che giacciono sotto le parabole.

Se la funzione f(x) ha una derivata continua del quarto ordine, allora il valore assoluto dell'errore della formula di Simpson non è maggiore di

dove M - valore più alto sul segmento. Poiché n 4 cresce più velocemente di n 2 , l'errore della formula di Simpson diminuisce all'aumentare di n molto più velocemente dell'errore della formula trapezoidale.

Calcoliamo l'integrale

Questo integrale è facile da calcolare:

Prendiamo n uguale a 10, h=0,1, calcoliamo i valori dell'integrando nei punti di partizione, nonché i punti semi-interi.

Secondo la formula dei rettangoli centrali, otteniamo I straight = 0,785606 (l'errore è 0,027%), secondo la formula del trapezio I trap = 0,784981 (l'errore è di circa 0,054. Quando si utilizza il metodo dei rettangoli destro e sinistro, l'errore è superiore al 3%.

Per confrontare l'accuratezza delle formule approssimate, calcoliamo ancora una volta l'integrale

ma ora con la formula di Simpson per n=4. Dividiamo il segmento in quattro parti uguali con punti x 0 \u003d 0, x 1 \u003d 1/4, x 2 \u003d 1/2, x 3 \u003d 3/4, x 4 \u003d 1 e calcoliamo approssimativamente i valori della funzione f (x) \u003d 1 / ( 1+x) in questi punti: y 0 =1,0000, y 1 =0,8000, y 2 =0,6667, y 3 =0,5714, y 4 =0,5000.

Con la formula di Simpson, otteniamo

Stimiamo l'errore del risultato ottenuto. Per l'integrando f(x)=1/(1+x) si ha: f (4) (x)=24/(1+x) 5 , da cui segue quella sul segmento . Pertanto, possiamo prendere M=24 e l'errore del risultato non supera 24/(2880 4 4)=0,0004. Confrontando il valore approssimativo con quello esatto, concludiamo che l'errore assoluto del risultato ottenuto dalla formula di Simpson è inferiore a 0,00011. Ciò è in accordo con la stima dell'errore fornita sopra e, inoltre, indica che la formula di Simpson è molto più accurata della formula trapezoidale. Pertanto, la formula di Simpson per il calcolo approssimativo di integrali definiti viene utilizzata più spesso della formula trapezoidale.

Il testo dell'opera è collocato senza immagini e formule.
Versione completa lavoro è disponibile nella scheda "File di lavoro" in formato PDF

introduzione

Già al 10° grado, penso se dovrò sostenere l'esame di profilo in matematica. Decidere USA le assegnazioni, mi sono imbattuto in compiti per trovare il volume dei poliedri e dei corpi di rivoluzione, sebbene questi siano compiti del programma dell'undicesimo anno. Incuriosito da questa domanda, l'ho imparato a causa della diversità forme geometriche corpi, ci sono un numero enorme di formule per trovare aree e volume (ogni figura e ogni corpo ha la sua formula). Considerando le formule in geometria, ero convinto che un numero enorme di formule sia associato alle aree e ai volumi delle figure. Esistono più di dodici di queste formule in termini di aree di figure piatte e più di dieci in termini di volumi di corpi spaziali.

E mi sono chiesto domanda: esiste una formula così universale per trovare l'area e il volume di forme e corpi geometrici?

Considero il tema di questo progetto pertinente non solo tra gli studenti, ma anche tra gli adulti, perché il curriculum scolastico viene dimenticato nel tempo, e pochi sanno che esiste una formula del genere che unisce tutte le altre numerose e difficili da ricordare formule per trovare volume.

Problema

È necessario introdurre nell'insegnamento della geometria una formula universale che permetta di sostituire un gran numero di formule per aree di figure piane e volumi di corpi spaziali.

Ipotesi

Nel XYIII secolo, il matematico inglese Thomas Simpson derivò una formula per trovare determinate aree di figure piatte e volumi di corpi spaziali calcolando le aree delle basi inferiore, superiore e media.

Presumo che questa formula universale ti consentirà di sostituire tutte le formule di cui sopra e renderle facili da ricordare.

Obbiettivo: per dimostrare che la formula universale Simpson può sostituire tutte le formule dell'area studiata e del volume nel corso di geometria della scuola e può essere utilizzata non solo nella pratica, ma anche negli esami, compreso l'esame.

Compiti di lavoro:

Studiare le principali caratteristiche dei solidi geometrici della stereometria: prismi, piramidi, coni, cilindri, sfere;

Esaminare la letteratura disponibile sull'argomento.

Usando la formula universale, ricava formule per aree e volumi per tutte le figure e corpi.

Confronta le formule ottenute con le formule offerte nel libro di testo.

Familiarizzare con questa formula gli studenti delle scuole superiori e scoprire con l'aiuto di un questionario se è conveniente utilizzarla durante la preparazione degli esami.

Il significato pratico del mio lavoro: I risultati di questo lavoro possono essere utilizzati nella pratica scolastica, vale a dire, utilizzati in classe in geometria e algebra , nella preparazione e consegna dell'esame.

Capitolo 1 Brevi caratteristiche proprietà dei corpi geometrici

Il corso di geometria della scuola si articola in planimetria e geometria solida. Dal 7° al 9° anno ho studiato le proprietà delle figure sul piano, comprese le formule per trovare le loro aree (Appendice 1-2).

Nel corso del 10° anno, ho iniziato a studiare la sezione della geometria-stereometria, in cui si studiano le proprietà delle figure nello spazio. Quando scrivevo il lavoro, ho considerato i corpi geometrici e le loro superfici. I corpi geometrici volumetrici sono divisi in poliedri e corpi di rivoluzione.

Poliedro- una superficie composta da poligoni e di delimitazione di alcuni corpo geometrico.

Solidi di rivoluzione- corpi geometrici ottenuti per rotazione attorno al proprio asse. Corpo di rivoluzione: cilindro, cono, sfera.

I poliedri sono convessi o non convessi. Poliedri convessi - situati su un lato del piano di ciascuna faccia. Poliedri non convessi: situati su entrambi i lati del piano di almeno una faccia.

Piramide

Parallelepipedo

capitolo 2

Tommaso Simpson(20 agosto 1710 - 14 maggio 1761) - Matematico inglese. Nel 1746, Simpson fu eletto membro della Royal Society of London e, in precedenza, membro della Mathematical Society fondata nel 1717 a Londra. Nel 1758 fu eletto membro straniero della Royal Swedish Academy of Sciences. Nominato professore alla Royal Military Academy di Woolwich, Simpson compilava libri di testo di matematica elementare. In speciali dipartimenti di geometria vengono presi in considerazione i problemi delle quantità maggiori e minori, risolti con l'ausilio della geometria elementare, dei poliedri regolari, della misura delle superfici, dei volumi dei corpi e, infine, dei problemi misti.

Esiste una formula meravigliosa; inoltre: è adatto non solo per calcolare il volume di un cilindro, un cono completo e un tronco di cono, ma anche per tutti i tipi di prismi, piramidi piene e tronche, e anche per una palla, nonché per calcolare le aree di figure piane. Ecco questa formula, nota in matematica come formula di Simpson:

dove b 1 - area (lunghezza) della base inferiore

b 2 - area (lunghezza) della base centrale

b 3 - area (lunghezza) della base superiore

2.1 Applicazione della formula di Simpson per la derivazione di formule per le aree di figure piane.

La nostra formula universale b 1 \u003d b 2 \u003d b 3, quindi otteniamo:

Risposta: S \u003d hb 1

Produzione. Infatti, l'area di un parallelogramma è uguale al prodotto della base per l'altezza.

Formula universale.

Poiché ABCD è un trapezio, b 2 è la sua linea mediana, il che significa

Quindi otteniamo:

Produzione. In effetti, l'area di un trapezio è la metà del prodotto di due basi per l'altezza.

Dopo aver svolto dimostrazioni simili (Appendice 3-4) per le formule per le aree di un triangolo, rettangolo, quadrato e rombo, sono giunto alla conclusione che la formula universale di Simpson era adatta per calcolare le aree di figure piatte come: parallelogramma , trapezio, triangolo, quadrato, rombo, rettangolo.

2.2. Applicazione della formula di Simpson per la derivazione di formule per i volumi dei corpi spaziali.

Poiché b 1 \u003d b 2 \u003d b 3, otteniamo:

Risposta: V=b 1 ora

La dimostrazione proposta nel libro di geometria dell'ed. LS Atanasyan nell'Appendice 6.

Produzione. Infatti, il volume di un prisma è uguale al prodotto dell'area della base per l'altezza. Allo stesso modo si effettua la dimostrazione della derivazione della formula per il volume di un cilindro (Appendice 5)

Soluzione: poiché b 1 \u003d 0, ma otteniamo:

La dimostrazione proposta nel libro di geometria dell'ed. LS Atanasyan nell'Appendice 9.

Produzione. Infatti il volume di un cono è pari ad un terzo del prodotto dell'area della base per l'altezza, analogamente si fa la dimostrazione della derivazione della formula per il volume della piramide (Appendice 5)

Quindi otteniamo:

Produzione. La formula derivata coincide completamente con la formula proposta nel libro di testo

Problema 6. Il volume della palla.

Dato: palla

b 3 - area della base superiore

Trova: Vball.

(Fig. 11. Palla)

Poiché b 1 \u003d b 3 \u003d 0, h \u003d 2R

Quindi otteniamo:

La dimostrazione proposta nel libro di geometria dell'ed. LS Atanasyan nell'Appendice 10

Conclusione: le formule per i volumi di tutti i corpi spaziali studiati nell'undicesimo grado sono anche facilmente derivabili usando la formula universale di Simpson.

2.3 Applicazione pratica della formula

Il prossimo passo nella mia ricerca è uso pratico(Vedi Appendice 11-12)

Produzione. I volumi per ciascun modello di corpi geometrici, trovati in due modi, si sono rivelati uguali. La formula di Simpson è universale per corpi come piramide, cilindro, sfera, cubo e cono.

Ho una formula con la quale puoi calcolare approssimativamente il volume di un tronco d'albero, senza chiedere che corpo geometrico assomiglia: un cilindro, un cono pieno o un tronco di cono. Conoscendo la densità dei diversi tipi di legno, puoi calcolare il peso dell'albero sulla vite. Ho risolto questo problema calcolando il volume dello stelo come volume di un cilindro il cui diametro di base è uguale al diametro dello stelo a metà della sua lunghezza: il risultato è però sottovalutato, a volte del 12%. Senza molto errore, si può considerare il volume di un albero alla radice come metà del volume di un cilindro della stessa altezza con un diametro uguale al diametro dell'albero all'altezza del petto.

Fatti i calcoli, secondo le formule a noi note in precedenza, ho calcolato il volume del tronco d'albero sulla vite (vedi Appendice 13)

Produzione. Dall'intero studio si può concludere che ho una formula con cui puoi calcolare approssimativamente il volume di un tronco d'albero e, conoscendo la densità di vari tipi di legno, puoi determinare il peso di un albero sulla vite.

capitolo 3

3.1 Ricerca e indagine

Tra gli studenti dell'undicesimo anno ho condotto uno studio (vedi Appendice 13).

Lo scopo dello studio: determinare il numero di formule che gli studenti possono riprodurre senza ripetizione in 10 minuti, ad es. volume di formule "residuo".

I risultati sono stati i seguenti (vedi Appendice 14):

Il maggior numero di formule riprodotte è 41, il più piccolo è 5. Dato che il numero di formule potrebbe arrivare a 500 in un tempo illimitato, sono giunto alla conclusione che gli studenti non ricordano un numero enorme di formule studiate a scuola. Le formule riprodotte costituiscono solo l'8,2% del numero totale di formule studiate. Molto spesso, gli studenti hanno riprodotto formule algebriche (formule trigonometriche, formule logaritmiche, formule di moltiplicazione abbreviate, formula radice equazione quadrata, derivati); in geometria (formule per le aree di figure piane, alcuni volumi di corpi spaziali); diverse formule in fisica (formula energia cinetica, gravità, attrito e MKT); in informatica () Era naturale, perché. Ci sono più formule in matematica che in qualsiasi altra scienza.

Dopo aver visto i risultati, ho deciso di determinare le ragioni di un risultato così basso. Ho condotto un sondaggio (vedi Appendice 14-15) tra studenti dell'undicesimo anno, in cui è stato chiesto loro di rispondere alle seguenti domande:

domande del questionario.

Quante formule pensi che dovrebbe conoscere un diplomato?

A) ribollente

B) comprensione

B) modalità di associazione

D) altro

I risultati sono stati i seguenti (vedi Appendice 15).

Domanda 1. Da 60 a 250 formule

Domanda 2. Dalle risposte ricevute, possiamo concludere che gli studenti delle classi 11, quando memorizzano le formule, cercano di capirle o usano la memorizzazione.

Domanda 3. Opinione degli studenti su questa edizione dispersi, sebbene il diagramma mostri che per lo più hanno risposto "sì", cioè gli studenti ritengono che il numero di formule da memorizzare corrisponda al livello di memoria medio dello studente.

Domanda 4.Quasi tutti gli studenti dell'undicesimo anno vorrebbero utilizzare una sola formula universale invece di molte formule.

3.2 Test

Ora so che la formula di Simpson è davvero universale ed è del tutto possibile applicarla nella vita. Ma è davvero necessario? Per rispondere a questa domanda, ho presentato la formula nella classe 11, dopodiché l'ho testata (vedi Appendice 16-17) e ho ottenuto i seguenti risultati:

Prova n. 1

Il 23% ha ammesso che è difficile per loro ricordare tutte le formule.

Il 17% ha affermato che non è difficile per loro imparare tutte le formule, inclusa la formula dei Simpson.

Il 60% degli studenti ha utilizzato la formula di Simpson per alcuni corpi geometrici e li ha aiutati a risolvere i problemi.

Prova n. 2

Il 100% afferma che la formula di Simpson è facile da ricordare.

Lo 0% ha ammesso di avere qualche difficoltà a ricordarlo.

Prova n. 3

Il 76% applicherà questa formula in futuro.

Il 24% ha ammesso che è improbabile che ne abbia bisogno.

Prova n. 4

L'82% pensa che la formula di Simpson dovrebbe essere inclusa curriculum scolastico.

Lo 0% ritiene che la formula non debba essere inserita nel curriculum scolastico.

Il 18% afferma che la formula dovrebbe essere inserita nel curriculum scolastico, ma solo nelle classi specialistiche.

Prova n. 5

Il 35% ritiene che ricordare una formula per determinare il volume di più corpi geometrici contemporaneamente sia molto più semplice.

Il 59% ritiene che tutte le formule dovrebbero essere ricordate, inclusa la formula Simpson, perché non si sa mai quali condizioni verranno fornite.

Il 6% ritiene che basti ricordare solo le formule inserite nel curriculum scolastico.

Questa formula può essere applicata anche nella risoluzione di problemi, compreso l'esame . Fornirò esempi di compiti che sono stati assegnati al grado 11 e che sono stati risolti dagli studenti senza difficoltà:

Compito 1 Un prisma esagonale regolare con un'altezza di 18 cm è inscritto in un cilindro con un raggio di base di 4 cm. Trova il volume del prisma.

Compito2 In un cilindro è inscritta una piramide quadrangolare regolare, alta 24 cm e lato base di 5 cm. Trova il volume del cilindro.

Produzione:

Conclusione

Durante la scuola, gli studenti devono conoscere un numero enorme di formule in varie materie. Il sondaggio che ho condotto ha mostrato che non tutti gli studenti possono ricordare tutte queste formule. Mi sono imbattuto in un problema: è necessario introdurre nell'insegnamento della geometria una formula universale, che permetta di sostituire un gran numero di formule per le aree delle figure piane e dei volumi dei corpi spaziali, cioè una formula adatta a molti scopi, svolgere varie funzioni.

Ho ipotizzato che la formula del matematico inglese Thomas Simpson

ti consentirà di sostituire le formule per le aree di figure e volumi di corpi con una formula.

Mi sono posto l'obiettivo: dimostrare che la formula universale di Simpson può sostituire tutte le formule di area e volume studiate nel corso di geometria della scuola. Ho coperto questo obiettivo in diversi compiti.

Come risultato del mio lavoro, mi sono convinto che la formula di Simpson permette di dimostrare facilmente e velocemente teoremi sui volumi dei corpi senza utilizzare integrale definito.

Al fine di facilitare il lavoro di memorizzazione e derivazione delle formule, suggerisco che prima di approfondire l'argomento “Quadrato delle figure”, l'insegnante introduca gli studenti alla formula dei Simpson e si offra di derivare autonomamente le formule studiate. La prova offerta nel libro di testo può essere utilizzata dall'insegnante come materiale aggiuntivo per la lezione o come compito a casa.

Ora, camminando attraverso la foresta, probabilmente sarai interessato a determinare il volume di qualsiasi albero. Calcola quanto c'è dentro metri cubi legno e allo stesso tempo pesarlo - per scoprire se sarebbe possibile, ad esempio, portare via un tale baule su un carrello.

Ho una formula con la quale puoi calcolare approssimativamente il volume di un tronco d'albero, senza chiedere che corpo geometrico assomiglia: un cilindro, un cono pieno o un tronco di cono.

Considero il mio lavoro utile, perché Ho ricavato tutte le formule per aree e volumi studiati a scuola.

Dai risultati del sondaggio, ero convinto che la formula Simpson sia abbastanza facile da ricordare e dovrebbe essere inclusa nel curriculum scolastico.

Questa formula può essere utilizzata anche negli esami, compreso l'esame.

Elenco della letteratura usata:

Ya.I. Perelman. Algebra divertente. Geometria interessante. - M., "AST", 1999.

CD ROM. Grande Enciclopedia di Cirillo e Metodio, 2002.

LS Atanasyan ed altri Geometria 10-11. Libro di testo per le istituzioni educative, - M., "Prosveshchenie", 2002.

https://ru.wikipedia.org/wiki

https://studfiles.net/preview/5433881/page:10/

https://studopedia.ru/6_126004_formula-simpsona.html

https://vuzlit.ru/940376/vyvod_formuly_simpsona

allegato 1

Brevi caratteristiche delle proprietà dei corpi geometrici

Triangolo

Appendice 2

Rettangolo

Allegato 3

b 3 =0 poiché la base superiore è un punto.

Poiché b 2 - è in un triangolo linea di mezzo, quindi otteniamo:

Produzione. In effetti, l'area di un triangolo è la metà del prodotto della base per l'altezza.

Soluzione: - formula universale.

Poiché ABCD è un quadrato, quindi b 1 \u003d b 2 \u003d b 3 \u003d h, otteniamo

Appendice 4

Produzione. Infatti, l'area di un quadrato è uguale al quadrato del suo lato.

Soluzione: - formula universale.

Poiché ABCD è un rettangolo, quindi b 1 \u003d b 2 \u003d b 3, otteniamo:

Risposta: S=hb 1 .

Produzione. Infatti, l'area di un rettangolo è uguale a due lati adiacenti.

Soluzione: - formula universale.

b 1 \u003d b 2 \u003d b 3, quindi otteniamo:

Appendice 5

Problema 2. Il volume del cilindro.

Dato: Cilindro

b 1 - area della base inferiore:

b 2 - area media della sezione:

b 3 - area della base superiore.

Trova: Vcilindro

(Fig. 22. Cilindro)

Perché b 1 \u003d b 2 \u003d b 3, quindi otteniamo:

Risposta: V=b 1 ora

La dimostrazione proposta nel libro di geometria dell'ed. LS Atanasyan nell'Appendice 7.

Produzione. Infatti, il volume di un cilindro è uguale al prodotto dell'area della base e dell'altezza.

Soluzione: poiché b 3 \u003d 0, ma otteniamo:

Risposta: La dimostrazione proposta nel libro di geometria dell'ed. LS Atanasyan nell'Appendice 8.

Appendice 6

Appendice 7

Allegato 8

Appendice 9

Allegato 10

Allegato 11

Compito numero 1. Calcoliamo il volume del modello cubo usando la solita formula. Per fare ciò, misuriamo il bordo del modello del cubo: a \u003d 10,5 cm V \u003d a 3 \u003d 1157,625 cm 3

Compito numero 2. Calcoliamo il volume del modello di una piramide esagonale regolare usando la solita formula. Per fare questo misuriamo l'altezza del modello h = 17,2 cm e il lato della base a = 6,5 cm.

Compito numero 3. Calcoliamo il volume del modello del cilindro usando la solita formula. Per fare ciò, misuriamo l'altezza del modello h = 20,4 cm e il raggio della base R = 14 cm.

Appendice 12

	Calcoliamo S \u003d π * R 2 \u003d 3,14 * 14 2 cm 2, V \u003d S * h \u003d 3,14 * 196 * 20,4 \u003d 12554,976 cm 3 Calcoliamo il volume del modello usando la formula di Simpson V = h/6(S base inferiore + S base superiore + 4S sezione centrale):
Le aree della base superiore, inferiore e della sezione centrale sono uguali tra loro S \u003d π * R 2 \u003d 3,14 * 14 2 \u003d 615,44 cm 2, h \u003d 20,4 cm. V \u003d 20,4 / 6 * (20,4 + 20,4) \u003d 12554,976 cm 3
Compito numero 4. Calcoliamo il volume del modello del cono usando la solita formula. Per fare questo misuriamo l'altezza del modello h = 21 cm e il raggio della base R = 6 cm.
Compito numero 5. Calcoliamo il volume del modello della palla usando la solita formula. Per fare questo, misuriamo il raggio della palla R = 7 cm.

Allegato 13

Calcolo della betulla:

Calcolo per pioppo tremulo.

Calcolo per pino.

Allegato 14

Risultati dello studio "Determinazione dell'ambito di "formule" residue

Diagramma 1. Determinazione del numero di formule "residue".

Diagramma 2. Materie per le quali sono indicate le formule.

Allegato 15

Che metodo usi per memorizzare le formule?

A) ribollente

B) comprensione

B) modalità di associazione

D) altro

Diagramma 3. Metodi per memorizzare le formule

Pensi che il numero di formule da memorizzare corrisponda al livello di memoria medio dello studente?

Diagramma 4. Conformità del numero di formule al livello di memoria dello studente medio

Pensi che per ricordare meglio molte formule, sia necessario utilizzare una formula universale?

Diagramma 5. La necessità di una formula universale

Allegato 16

Allegato 17

Per costruire la formula di Simpson, consideriamo prima il seguente problema: calcola l'area S di un trapezio curvilineo delimitato dall'alto dal grafico della parabola y \u003d Ax 2 + Bx + C, da sinistra dalla retta x \u003d - h, da destra per la retta x \u003d h e dal basso per il segmento [-h; h]. Lascia che la parabola passi per tre punti (Fig. 8): D (-h; y 0) E (0; y 1) e F (h; y 2), e x 2 - x 1 = x 1 - x 0 = h. Di conseguenza,

x 1 \u003d x 0 + h \u003d 0; x 2 = x 0 + 2 ore.

Allora l'area S è uguale all'integrale:

Esprimiamo quest'area in termini di h, y 0 , y 1 e y 2 . Per fare questo calcoliamo i coefficienti della parabola A, B, C. Dalla condizione che la parabola passi per i punti D, E ed F, abbiamo:

Risolvendo questo sistema, otteniamo: C = y 1 ; A=

Sostituendo questi valori A e C in (3), otteniamo l'area desiderata

Passiamo ora alla derivazione della formula di Simpson per il calcolo dell'integrale

Per fare ciò, dividiamo il segmento di integrazione in 2n parti uguali di lunghezza

Nei punti di divisione (Fig. 4) a \u003d x 0, x 1, x 2, ..., x 2n-2, x 2n-1, x 2n \u003d b,

Calcoliamo i valori dell'integrando f: y 0 , y 1 , y 2 , ...,y 2n-2 , y 2n-1 , y 2n , de yi = f(xi), xi = a + ih (i = 0, 1, 2,...,2n).

Sul segmento sostituiamo l'integrando con una parabola passante per i punti (x 0; y 0), (x 1; y 1) e (x 2; y 2), e calcoliamo il valore approssimativo dell'integrale da x Da 0 a x 2, utilizziamo la formula (4 ). Quindi (l'area ombreggiata in Fig. 4):

Allo stesso modo troviamo:

................................................

Sommando le uguaglianze risultanti, abbiamo:

Viene chiamata la formula (5). formula di Simpson generalizzata o formula della parabola, poiché nel derivarlo, il grafico dell'integrando su un segmento parziale di lunghezza 2h è sostituito da un arco di parabola.

Incarico di lavoro:

1. Come indicato dal docente o secondo un'opzione da tavoli 4 compiti (vedi Appendice) per assumere le condizioni - l'integrando, i limiti dell'integrazione.

2. Redigere un diagramma di flusso del programma e un programma che dovrebbe:

Richiedere l'accuratezza del calcolo di un integrale definito, dei limiti inferiore e superiore di integrazione;

Calcolare l'integrale dato con i metodi: per le opzioni 1,4,7, 10… - destra, per le opzioni 2,5,8,… - media; per le opzioni 2,5,8,… - rettangoli a sinistra. Emettere il numero di partizioni dell'intervallo di integrazione a cui viene raggiunta la precisione di calcolo specificata;

Calcola l'integrale dato usando il metodo del trapezio (per le opzioni pari) e il metodo di Simpson (per le opzioni dispari).

Emettere il numero di partizioni dell'intervallo di integrazione a cui viene raggiunta la precisione di calcolo specificata;

Emetti i valori della funzione di controllo per il valore dato dell'argomento e confronta con i valori calcolati dell'integrale. Concludere.

domande di prova

1. Che cos'è un integrale definito?

2. Perché, insieme ai metodi analitici, vengono utilizzati metodi numerici per il calcolo degli integrali definiti.

3. Qual è l'essenza dei principali metodi numerici per il calcolo degli integrali definiti.

4. Influenza del numero di partizioni sull'accuratezza del calcolo di un integrale definito con metodi numerici.

5. Come calcolare l'integrale con qualsiasi metodo con una determinata precisione?