\[(\Large(\text(Triangoli simili)))\]
Definizioni
Due triangoli si dicono simili se i loro angoli sono rispettivamente congruenti e i lati di un triangolo sono proporzionali ai lati simili dell'altro
(i lati si dicono simili se giacciono ad angoli uguali opposti).
Il coefficiente di somiglianza di triangoli (simili) è un numero uguale al rapporto tra i lati simili di questi triangoli.
Definizione
Il perimetro di un triangolo è la somma delle lunghezze di tutti i suoi lati.
Teorema
Il rapporto dei perimetri di due triangoli simili è uguale al coefficiente di somiglianza.
Prova
Considera i triangoli \(ABC\) e \(A_1B_1C_1\) con lati \(a,b,c\) e \(a_1, b_1, c_1\) rispettivamente (vedi figura sopra).
Quindi \(P_(ABC)=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cpunto P_(A_1B_1C_1)\)
Teorema
Il rapporto delle aree di due triangoli simili è uguale al quadrato del coefficiente di somiglianza.
Prova
Lascia che i triangoli \(ABC\) e \(A_1B_1C_1\) siano simili e \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1) = k\). Indica con le lettere \(S\) e \(S_1\) rispettivamente le aree di questi triangoli.
Poiché \(\angle A = \angle A_1\) , allora \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)(secondo il teorema sul rapporto delle aree di triangoli aventi angolo uguale).
Come \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = k\), poi \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\cdot\dfrac(AC)(A_1C_1) = k\cdot k = k^2\), che doveva essere dimostrato.
\[(\Large(\text(Test di somiglianza triangolo)))\]
Teorema (il primo criterio per la somiglianza dei triangoli)
Se due angoli di un triangolo sono rispettivamente uguali a due angoli di un altro triangolo, allora tali triangoli sono simili.
Prova
Siano \(ABC\) e \(A_1B_1C_1\) triangoli tali che \(\angle A = \angle A_1\) , \(\angle B = \angle B_1\) . Quindi per il teorema della somma triangolare \(\angolo C = 180^\circ - \angolo A - \angolo B = 180^\circ - \angolo A_1 - \angolo B_1 = \angolo C_1\), cioè gli angoli del triangolo \(ABC\) sono rispettivamente uguali agli angoli del triangolo \(A_1B_1C_1\) .
Poiché \(\angolo A = \angolo A_1\) e \(\angolo B = \angolo B_1\) , allora \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\) e \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot BC)(A_1B_1\cdot B_1C_1)\).
Da queste uguaglianze ne consegue che \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1)\).
Allo stesso modo, è dimostrato che \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\)(usando le uguaglianze \(\angolo B = \angolo B_1\) , \(\angolo C = \angolo C_1\) ).
Di conseguenza, i lati del triangolo \(ABC\) sono proporzionali ai lati simili del triangolo \(A_1B_1C_1\), che doveva essere dimostrato.
Teorema (il secondo criterio per la somiglianza dei triangoli)
Se due lati di un triangolo sono proporzionali ai due lati di un altro triangolo e gli angoli compresi tra questi lati sono uguali, allora tali triangoli sono simili.
Prova
Considera due triangoli \(ABC\) e \(A"B"C"\) tali che \(\dfrac(AB)(A"B")=\dfrac(AC)(A"C")\), \(\angolo BAC = \angolo A"\) Dimostriamo che i triangoli \(ABC\) e \(A"B"C"\) sono simili. Dato il primo criterio di somiglianza del triangolo, è sufficiente mostrare che \(\angle B = \angle B"\) .
Considera un triangolo \(ABC""\) , dove \(\angle 1 = \angle A"\) , \(\angle 2 = \angle B"\) . I triangoli \(ABC""\) e \(A"B"C"\) sono simili nel primo criterio di somiglianza del triangolo, quindi \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC"")(A"C")\).
D'altra parte, secondo la condizione \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C")\). Dalle ultime due uguaglianze segue che \(AC = AC""\) .
I triangoli \(ABC\) e \(ABC""\) sono uguali su due lati e l'angolo tra loro, quindi, \(\angolo B = \angolo 2 = \angolo B"\).
Teorema (il terzo criterio per la somiglianza dei triangoli)
Se tre lati di un triangolo sono proporzionali ai tre lati di un altro triangolo, allora tali triangoli sono simili.
Prova
Siano proporzionali i lati dei triangoli \(ABC\) e \(A"B"C"\): \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\). Proviamo che i triangoli \(ABC\) e \(A"B"C"\) sono simili.
Per fare ciò, tenendo conto del secondo criterio di somiglianza del triangolo, è sufficiente dimostrare che \(\angle BAC = \angle A"\) .
Considera un triangolo \(ABC""\) , dove \(\angle 1 = \angle A"\) , \(\angle 2 = \angle B"\) .
I triangoli \(ABC""\) e \(A"B"C"\) sono simili nel primo criterio di somiglianza del triangolo, quindi, \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(BC"")(B"C") = \dfrac(C""A)(C"A")\).
Dall'ultima catena di uguaglianze e condizioni \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\) ne consegue che \(BC = BC""\) , \(CA = C""A\) .
I triangoli \(ABC\) e \(ABC""\) sono uguali su tre lati, quindi, \(\angolo BAC = \angolo 1 = \angolo A"\).
\[(\Large(\text(Teorema di Talete)))\]
Teorema
Se su un lato dell'angolo segniamo segmenti uguali tra loro e disegniamo linee rette parallele attraverso le loro estremità, queste linee rette taglieranno segmenti uguali tra loro sul secondo lato.
Prova
Proviamo prima lemma: Se in \(\triangle OBB_1\) viene tracciata una linea \(a\parallel BB_1\) attraverso il punto medio \(A\) del lato \(OB\) , intersecherà anche il lato \(OB_1\) nel mezzo.
Disegna \(l\OB parallelo\) attraverso il punto \(B_1\) . Sia \(l\cap a=K\) . Allora \(ABB_1K\) è un parallelogramma, quindi \(B_1K=AB=OA\) e \(\angolo A_1KB_1=\angolo ABB_1=\angolo OAA_1\); \(\angolo AA_1O=\angolo KA_1B_1\) come verticale. Quindi, secondo il secondo segno \(\triangolo OAA_1=\triangolo B_1KA_1 \Freccia destra OA_1=A_1B_1\). Il lemma è dimostrato.
Procediamo alla dimostrazione del teorema. Sia \(OA=AB=BC\) , \(a\parallel b\parallel c\) e dobbiamo dimostrare che \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\) .
Quindi, in base a questo lemma \(OA_1=A_1B_1\) . Dimostriamo che \(A_1B_1=B_1C_1\) . Disegna una linea attraverso il punto \(B_1\) \(d\parallel OC\) e lascia \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\) . Allora \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) sono parallelogrammi, quindi \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\) . Così, \(\angolo A_1B_1D_1=\angolo C_1B_1D_2\) come verticale, \(\angolo A_1D_1B_1=\angolo C_1D_2B_1\) come giacente trasversalmente, e, quindi, secondo il secondo segno \(\triangolo A_1B_1D_1=\triangolo C_1B_1D_2 \Freccia destra A_1B_1=B_1C_1\).
Teorema di Talete
Le linee parallele tagliano segmenti proporzionali ai lati dell'angolo.
Prova
Lascia le linee parallele \(p\parallelo q\parallelo r\parallelo s\) dividere una delle linee in segmenti \(a, b, c, d\) . Quindi queste linee dovrebbero dividere la seconda retta in segmenti rispettivamente \(ka, kb, kc, kd\), dove \(k\) è un certo numero, lo stesso coefficiente di proporzionalità dei segmenti.
Tracciamo una retta \(p\parallelo OD\) attraverso il punto \(A_1\) (\(ABB_2A_1\) è un parallelogramma, quindi \(AB=A_1B_2\) ). Quindi \(\triangolo OAA_1 \sim \triangolo A_1B_1B_2\) ai due angoli. Quindi, \(\dfrac(OA)(A_1B_2)=\dfrac(OA_1)(A_1B_1) \Freccia destra A_1B_1=kb\).
Allo stesso modo, tracciamo una linea retta attraverso \(B_1\) \(q\parallelo OD \Freccia destra \triangolo OBB_1\sim \triangolo B_1C_1C_2 \Freccia destra B_1C_1=kc\) eccetera.
\[(\Grande(\testo( linea di mezzo triangolo)))\]
Definizione
La linea mediana di un triangolo è un segmento di linea che collega i punti medi di due lati qualsiasi del triangolo.
Teorema
La linea mediana del triangolo è parallela al terzo lato e uguale alla metà di esso.
Prova
1) Il parallelismo della linea mediana alla base segue da quanto sopra lemmi.
2) Dimostriamo che \(MN=\dfrac12 AC\) .
Disegna una linea attraverso il punto \(N\) parallelo a \(AB\) . Lascia che questa linea intersechi il lato \(AC\) nel punto \(K\) . Allora \(AMNK\) è un parallelogramma ( \(AM\NK parallelo, MN\AK parallelo\) al punto precedente). Quindi \(MN=AK\) .
Perché \(NK\parallel AB\) e \(N\) è il punto medio di \(BC\) , quindi per il teorema di Thales, \(K\) è il punto medio di \(AC\) . Pertanto, \(MN=AK=KC=\dfrac12 AC\) .
Conseguenza
La linea mediana del triangolo taglia un triangolo simile a quello dato con il coefficiente \(\frac12\) .
La linea mediana di un triangolo è un segmento di linea che collega i punti medi di 2 dei suoi lati. Di conseguenza, ogni triangolo ha tre linee mediane. Conoscendo la qualità della linea mediana, nonché le lunghezze dei lati del triangolo e dei suoi angoli, è possibile trovare la lunghezza della linea mediana.
Avrai bisogno
- Lati di un triangolo, angoli di un triangolo
Istruzione
1. Sia in un triangolo ABC MN la linea mediana che collega i punti medi dei lati AB (punto M) e AC (punto N) Per proprietà, la linea mediana del triangolo che collega i punti medi di 2 lati è parallela al terzo lato e uguale a la sua metà. Ciò significa che la linea mediana MN sarà parallela al lato BC e uguale a BC/2 Di conseguenza, per determinare la lunghezza della linea mediana del triangolo, è sufficiente conoscere la lunghezza del lato di questo particolare terzo lato.
2. Conosciamo ora i lati i cui punti medi sono collegati dalla retta mediana MN, cioè AB e AC, nonché l'angolo BAC tra di loro. Poiché MN è la linea di mezzo, allora AM = AB/2 e AN = AC/2 Quindi, secondo il teorema del coseno, oggettivamente: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM *AN*cos (BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. Da qui, MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).
3. Se sono noti i lati AB e AC, allora la linea mediana MN può essere trovata conoscendo l'angolo ABC o ACB. Diciamo che l'angolo ABC sia famoso. Poiché, per la proprietà della linea mediana, MN è parallelo a BC, allora gli angoli ABC e AMN sono corrispondenti e, di conseguenza, ABC = AMN. Quindi per la legge dei coseni: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). Di conseguenza, il lato MN può essere trovato da equazione quadrata(MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0.
Suggerimento 2: come trovare il lato di un triangolo quadrato
Un triangolo quadrato è più correttamente chiamato triangolo rettangolo. Il rapporto tra i lati e gli angoli di questo figura geometrica sono considerati in dettaglio nella disciplina matematica della trigonometria.
Avrai bisogno
- - carta;
- - penna;
- – Tavoli Bradis;
- - calcolatrice.
Istruzione
1. Scoprire lato rettangolare triangolo con il supporto del teorema di Pitagora. Secondo questo teorema, il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle gambe: c2 \u003d a2 + b2, dove c è l'ipotenusa triangolo, aeb sono le sue gambe. Per applicare questa equazione, devi conoscere la lunghezza di 2 lati qualsiasi di un rettangolo triangolo .
2. Se le condizioni specificano le dimensioni delle gambe, trova la lunghezza dell'ipotenusa. Per fare ciò, con il supporto di una calcolatrice, estrai la radice quadrata dalla somma delle gambe, ognuna delle quali è al quadrato in anticipo.
3. Calcolare la lunghezza di una delle gambe, se si conoscono le dimensioni dell'ipotenusa e dell'altra gamba. Usando una calcolatrice, prendi la radice quadrata della differenza tra l'ipotenusa al quadrato e la gamba guidata, anch'essa al quadrato.
4. Se nel problema sono indicati l'ipotenusa e uno degli angoli acuti adiacenti ad essa, utilizzare le tabelle di Bradys. Contengono i valori funzioni trigonometriche per un largo numero angoli. Utilizzare la calcolatrice con funzioni seno e coseno, nonché teoremi di trigonometria che descrivono la relazione tra i lati e gli angoli di un rettangolo triangolo .
5. Trova le gambe usando le funzioni trigonometriche di base: a = c*sin ?, b = c*cos ?, dove a è la gamba opposta all'angolo?, b è la gamba adiacente all'angolo?. Allo stesso modo, calcola la dimensione dei lati triangolo, se si danno l'ipotenusa e un altro angolo acuto: b = c*sin ?, a = c*cos ?, dove b è la gamba opposta all'angolo?, e la gamba è adiacente all'angolo?
6. Nel caso in cui guidiamo la gamba a e l'angolo acuto ad essa adiacente?, non dimenticarlo triangolo rettangolo la somma degli angoli acuti è sempre 90°: ? +? = 90°. Trova il valore dell'angolo opposto alla gamba a:? = 90° -?. Oppure usa formule trigonometriche cast: peccato ? = peccato (90° -?) = cos?; tg? = tg (90° – ?) = ctg ? = 1/abbronzatura?.
7. Se manteniamo la gamba a e l'angolo acuto opposto ad essa?, usando le tabelle di Bradis, una calcolatrice e funzioni trigonometriche, calcoliamo l'ipotenusa usando la formula: c=a*sin?, leg: b=a*tg?.
Video collegati
Si dice quadrilatero con due soli lati paralleli trapezio.
I lati paralleli di un trapezio sono detti suoi motivi, e si chiamano i lati che non sono paralleli lati. Se i lati sono uguali, un tale trapezio è isoscele. La distanza tra le basi è chiamata altezza del trapezio.
Linea mediana del trapezio
La linea mediana è un segmento che collega i punti medi dei lati del trapezio. La linea mediana di un trapezio è parallela alle sue basi.
Teorema:
Se una linea che interseca il centro di un lato è parallela alle basi del trapezio, allora biseca il secondo lato del trapezio.
Teorema:
La lunghezza della linea mediana è uguale alla media aritmetica delle lunghezze delle sue basi
MN || AB || DCAM=MD; BN=NC
Linea mediana MN, AB e CD - basi, AD e BC - lati
MN=(AB+DC)/2
Teorema:
La lunghezza della linea mediana di un trapezio è uguale alla media aritmetica delle lunghezze delle sue basi.
Il compito principale: Dimostra che la linea mediana di un trapezio taglia in due un segmento le cui estremità si trovano al centro delle basi del trapezio.
Linea mediana del triangolo
Il segmento di linea che collega i punti medi dei due lati di un triangolo è chiamato linea mediana del triangolo. È parallelo al terzo lato e la sua lunghezza è metà della lunghezza del terzo lato.
Teorema: Se una linea che interseca il punto medio di un lato di un triangolo è parallela all'altro lato del triangolo dato, allora biseca il terzo lato.
AM = MC e BN = NC =>
Applicazione delle proprietà della linea mediana del triangolo e del trapezio
La divisione di un segmento in un certo numero di parti uguali.
Compito: dividere il segmento AB in 5 parti uguali.
Decisione:
Sia p un raggio casuale la cui origine è il punto A e che non giace sulla retta AB. Mettiamo da parte in sequenza 5 segmenti uguali su p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Colleghiamo A 5 a B e tracciamo linee attraverso A 4 , A 3 , A 2 e A 1 parallele ad A 5 B. Intersecano AB rispettivamente in B 4 , B 3 , B 2 e B 1. Questi punti dividono il segmento AB in 5 parti uguali. Infatti dal trapezio BB 3 A 3 A 5 vediamo che BB 4 = B 4 B 3 . Allo stesso modo, dal trapezio B 4 B 2 A 2 A 4 otteniamo B 4 B 3 = B 3 B 2
Mentre dal trapezio B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Allora da B 2 AA 2 segue che B 2 B 1 = B 1 A. In conclusione, otteniamo:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
È chiaro che per dividere il segmento AB in un altro numero di parti uguali, dobbiamo proiettare sul raggio p lo stesso numero di segmenti uguali. E poi continuare nel modo descritto sopra.
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A volte gli argomenti che vengono spiegati a scuola potrebbero non essere sempre chiari la prima volta. Ciò è particolarmente vero per una materia come la matematica. Ma le cose si complicano molto quando questa scienza comincia a dividersi in due parti: algebra e geometria.
Ogni studente può avere la capacità in una delle due direzioni, ma soprattutto in scuola elementareè importante comprendere le basi sia dell'algebra che della geometria. In geometria, uno degli argomenti principali è considerato la sezione sui triangoli.
Come trovare la linea mediana di un triangolo? Scopriamolo.
Concetti basilari
Per cominciare, per capire come trovare la linea mediana di un triangolo, è importante capire di cosa si tratta.
Non ci sono restrizioni per disegnare la linea mediana: il triangolo può essere qualsiasi (isoscele, equilatero, rettangolo). E tutte le proprietà relative alla linea di mezzo funzioneranno.
La linea mediana di un triangolo è un segmento di linea che collega i punti medi di 2 dei suoi lati. Pertanto, qualsiasi triangolo può avere 3 di queste linee.
Proprietà
Per sapere come trovare la linea mediana di un triangolo, indichiamo le sue proprietà che devono essere ricordate, altrimenti senza di esse sarà impossibile risolvere problemi con la necessità di designare la lunghezza della linea mediana, poiché tutti i dati ottenuti devono essere motivato e argomentato da teoremi, assiomi o proprietà.
Quindi, per rispondere alla domanda: "Come trovare la linea mediana del triangolo ABC?", Basta conoscere uno dei lati del triangolo.
Facciamo un esempio
Dai un'occhiata alla foto. Rappresenta il triangolo ABC con la linea mediana DE. Nota che è parallelo alla base AC nel triangolo. Pertanto, qualunque sia il valore di AC, la linea centrale DE sarà grande la metà. Ad esempio, AC=20 significa DE=10, ecc.
In modi così semplici, puoi capire come trovare la linea mediana di un triangolo. Ricorda le sue proprietà e definizione di base, e quindi non avrai mai problemi a trovarne il significato.