Consideriamo una funzione di due variabili:
Poiché le variabili $x$ e $y$ sono indipendenti, possiamo introdurre la nozione di derivata parziale per tale funzione:
La derivata parziale della funzione $f$ nel punto $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ rispetto alla variabile $x$ è il limite
\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \right))(\Delta x)\]
Allo stesso modo, possiamo definire la derivata parziale rispetto alla variabile $y$ :
\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \destra))(\Delta y)\]
In altre parole, per trovare la derivata parziale di una funzione di più variabili, è necessario fissare tutte le altre variabili tranne quella desiderata, quindi trovare la derivata ordinaria rispetto a questa variabile desiderata.
Da ciò segue la tecnica principale per calcolare tali derivate: considera semplicemente che tutte le variabili eccetto quella data sono costanti, quindi differenzia la funzione come differenzieresti quella "ordinaria" - con una variabile. Per esempio:
$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2 )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prime ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\fine(allineamento)$
Ovviamente, derivate parziali rispetto a diverse variabili danno risposte diverse: questo è normale. È molto più importante capire perché, ad esempio, nel primo caso abbiamo rimosso con calma $10y$ da sotto il segno del derivato e nel secondo caso abbiamo completamente annullato il primo termine. Tutto ciò è dovuto al fatto che tutte le lettere, ad eccezione della variabile mediante la quale viene effettuata la differenziazione, sono considerate costanti: possono essere estratte, "bruciate", ecc.
Che cos'è una "derivata parziale"?
Oggi parleremo delle funzioni di più variabili e delle loro derivate parziali. Innanzitutto, qual è una funzione di più variabili? Fino ad ora, siamo stati abituati a pensare a una funzione come $y\left(x \right)$ o $t\left(x \right)$, o qualsiasi variabile e una singola funzione da essa. Ora avremo una funzione e diverse variabili. Quando $y$ e $x$ cambiano, il valore della funzione cambierà. Ad esempio, se $x$ raddoppia, il valore della funzione cambierà, mentre se $x$ cambia e $y$ non cambia, il valore della funzione cambierà allo stesso modo.
Naturalmente, una funzione di più variabili, proprio come una funzione di una variabile, può essere differenziata. Tuttavia, poiché esistono più variabili, è possibile differenziare in base a variabili diverse. In questo caso, emergono regole specifiche che non esistevano quando si differenzia una variabile.
Prima di tutto, quando consideriamo la derivata di una funzione di qualsiasi variabile, dobbiamo indicare di quale variabile consideriamo la derivata - questa è chiamata derivata parziale. Ad esempio, abbiamo una funzione di due variabili e possiamo calcolarla sia in $x$ che in $y$, due derivate parziali di ciascuna delle variabili.
In secondo luogo, non appena abbiamo fissato una delle variabili e iniziamo a calcolare la derivata parziale rispetto ad essa, tutte le altre incluse in questa funzione sono considerate costanti. Ad esempio, in $z\left(xy \right)$, se consideriamo la derivata parziale rispetto a $x$, allora ovunque incontriamo $y$, la consideriamo una costante e la trattiamo esattamente come una costante. In particolare, quando calcoliamo la derivata di un prodotto, possiamo togliere $y$ dalla parentesi (abbiamo una costante), e quando calcoliamo la derivata della somma, se otteniamo da qualche parte la derivata di un'espressione contenente $y$ e non contenente $x$, la derivata di questa espressione sarà uguale a "zero" come derivata della costante.
A prima vista, può sembrare che sto parlando di qualcosa di complesso e molti studenti all'inizio si confondono. Tuttavia, non c'è nulla di soprannaturale nelle derivate parziali, e ora lo vedremo sull'esempio di problemi specifici.
Problemi con radicali e polinomi
Compito #1
Per non perdere tempo invano, inizieremo fin dall'inizio con esempi seri.
Comincio con la seguente formula:
Questo è il valore della tabella standard che conosciamo dal corso standard.
In questo caso, la derivata $z$ è calcolata come segue:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]
Ripeto, dato che la radice non è $x$, ma qualche altra espressione, in questo caso $\frac(y)(x)$, quindi useremo prima il valore della tabella standard, e poi, poiché la radice non è $ x $ e un'altra espressione, dobbiamo moltiplicare la nostra derivata per un'altra di questa espressione rispetto alla stessa variabile. Cominciamo con quanto segue:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]
Torniamo alla nostra espressione e scriviamo:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]
Fondamentalmente, questo è tutto. Tuttavia, è sbagliato lasciarlo in questa forma: una tale costruzione è scomoda da utilizzare per ulteriori calcoli, quindi trasformiamola un po':
\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]
\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]
Risposta trovata. Ora affrontiamo $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]
Scriviamo separatamente:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]
Adesso scriviamo:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]
\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]
Fatto.
Compito #2
Questo esempio è sia più semplice che più complesso del precedente. Più difficile, perché ci sono più azioni, ma più facile, perché non c'è radice e, inoltre, la funzione è simmetrica rispetto a $x$ e $y$, cioè se scambiamo $x$ e $y$, la formula non cambia. Questa osservazione semplificherà ulteriormente il calcolo della derivata parziale, cioè è sufficiente calcolarne uno, e nel secondo scambiare solo $x$ e $y$.
Andiamo al sodo:
\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \right ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]
Contiamo:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]
Tuttavia, molti studenti non capiscono un record del genere, quindi lo scriviamo in questo modo:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]
Quindi, siamo ancora una volta convinti dell'universalità dell'algoritmo della derivata parziale: non importa come li consideriamo, se tutte le regole sono applicate correttamente, la risposta sarà la stessa.
Ora affrontiamo un'altra derivata parziale dalla nostra grande formula:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]
Sostituiamo le espressioni risultanti nella nostra formula e otteniamo:
\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ destra)-xy((\sinistra(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \destra))^(\prime ))_(x))(((\sinistra (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \destra))^(2)))=\]
\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \destra))^(2)))=\]
\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\ sinistra(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \destra))(((\sinistra(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \destra))^(2 )))\]
$x$ contati. E per calcolare $y$ dalla stessa espressione, non eseguiamo la stessa sequenza di azioni, ma usiamo la simmetria della nostra espressione originale: sostituiamo semplicemente tutti i $y$ nella nostra espressione originale con $x$ e viceversa:
\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]
A causa della simmetria, abbiamo calcolato questa espressione molto più velocemente.
Sfumature della soluzione
Tutti funzionano per derivate parziali formule standard, che usiamo per quelli ordinari, cioè la derivata del quoziente. In questo caso, però, emergono le sue specificità: se consideriamo la derivata parziale di $x$, quando la otteniamo da $x$, la consideriamo come una costante, e quindi la sua derivata sarà uguale a " zero".
Come nel caso delle derivate ordinarie, il quoziente (uno e lo stesso) può essere calcolato per più diversi modi. Ad esempio, la stessa costruzione che abbiamo appena calcolato può essere riscritta come segue:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]
Tuttavia, d'altra parte, puoi usare la formula della somma derivata. Come sappiamo, è uguale alla somma delle derivate. Ad esempio, scriviamo quanto segue:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]
Ora, sapendo tutto questo, proviamo a lavorare con espressioni più serie, poiché le derivate parziali reali non si limitano ai soli polinomi e radici: esistono trigonometria, logaritmi e funzione esponenziale. Ora facciamolo.
Problemi con funzioni trigonometriche e logaritmi
Compito #1
Scriviamo le seguenti formule standard:
\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]
\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]
Forti di questa conoscenza, proviamo a risolvere:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Scriviamo una variabile separatamente:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Torna al nostro design:
\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Abbiamo trovato tutto per $x$, ora facciamo i calcoli per $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Ancora una volta, considera un'espressione:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \destra)\]
Torniamo all'espressione originale e continuiamo la soluzione:
\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Fatto.
Compito #2
Scriviamo la formula di cui abbiamo bisogno:
\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]
Ora contiamo per $x$:
\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]
Trovato da $x$. Contando per $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]
Problema risolto.
Sfumature della soluzione
Quindi, indipendentemente dalla funzione da cui prendiamo una derivata parziale, le regole rimangono le stesse, indipendentemente dal fatto che stiamo lavorando con la trigonometria, con le radici o con i logaritmi.
Le regole classiche per lavorare con le derivate standard rimangono invariate, ovvero la derivata della somma e differenza, il quoziente e funzione complessa.
L'ultima formula si trova più spesso nella risoluzione di problemi con derivate parziali. Li incontriamo quasi ovunque. Non c'è stato ancora un singolo compito in cui non ci siamo imbattuti lì. Ma indipendentemente dalla formula che utilizziamo, aggiungiamo ancora un requisito in più, vale a dire la caratteristica di lavorare con le derivate parziali. Non appena fissiamo una variabile, tutte le altre sono costanti. In particolare, se consideriamo la derivata parziale dell'espressione $\cos \frac(x)(y)$ rispetto a $y$, allora è $y$ che è la variabile, e $x$ rimane costante ovunque. Lo stesso funziona viceversa. Può essere tolto dal segno della derivata e la derivata della costante stessa sarà uguale a "zero".
Tutto ciò porta al fatto che le derivate parziali della stessa espressione, ma rispetto a variabili diverse, possono apparire completamente diverse. Consideriamo ad esempio le seguenti espressioni:
\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]
\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]
Problemi con funzioni esponenziali e logaritmi
Compito #1
Iniziamo scrivendo la seguente formula:
\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]
Conoscendo questo fatto, oltre alla derivata di una funzione complessa, proviamo a calcolare. Ora risolverò in due modi diversi. La prima e più ovvia è la derivata del prodotto:
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Risolviamo separatamente la seguente espressione:
\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cpunto y-x\cpunto 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]
Torniamo al nostro design originale e continuiamo la soluzione:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\destra)\]
Tutto, $x$ contati.
Tuttavia, come promesso, ora cercheremo di calcolare la stessa derivata parziale in un modo diverso. Per fare ciò, notare quanto segue:
\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]
Scriviamola così:
\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \sinistra(1+\frac(1)(y) \destra)\]
Di conseguenza, abbiamo ottenuto esattamente la stessa risposta, ma la quantità di calcoli si è rivelata inferiore. Per fare ciò bastava notare che moltiplicando il prodotto si possono sommare gli esponenti.
Ora contiamo per $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]
\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Risolviamo un'espressione separatamente:
\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]
Continuiamo la soluzione della nostra costruzione originale:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]
Naturalmente, la stessa derivata potrebbe essere calcolata nel secondo modo, la risposta sarebbe la stessa.
Compito #2
Contiamo per $x$:
\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Contiamo un'espressione separatamente:
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]
Continuiamo la soluzione della costruzione originale: $$
Ecco la risposta.
Resta da trovare per analogia con $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Contiamo un'espressione separatamente come sempre:
\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]
Continuiamo la soluzione della struttura principale:
Tutto è contato. Come puoi vedere, a seconda di quale variabile viene presa per la differenziazione, le risposte sono completamente diverse.
Sfumature della soluzione
Ecco un vivido esempio di come la derivata della stessa funzione può essere calcolata in due modi diversi. Guarda qui:
\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ sinistra(1+\frac(1)(y)\destra)\]
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]
Quando si scelgono percorsi diversi, la quantità di calcoli potrebbe essere diversa, ma la risposta, se tutto viene eseguito correttamente, sarà la stessa. Questo vale sia per le derivate classiche che per quelle parziali. Allo stesso tempo, vi ricordo ancora una volta: a seconda di quale variabile viene presa la derivata, cioè differenziazione, la risposta può essere completamente diversa. Aspetto:
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cpunto 2x\]
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cpunto 1\]
In conclusione, per consolidare tutto questo materiale, proviamo a contare altri due esempi.
Problemi con una funzione trigonometrica e una funzione a tre variabili
Compito #1
Scriviamo queste formule:
\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]
\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]
Risolviamo ora la nostra espressione:
\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]
Separatamente, considera la seguente costruzione:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]
Continuiamo a risolvere l'espressione originale:
\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]
Questa è la risposta finale della variabile privata per $x$. Ora contiamo per $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]
Risolviamo un'espressione separatamente:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]
Risolviamo la nostra costruzione fino in fondo:
\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]
Compito #2
A prima vista, questo esempio può sembrare piuttosto complicato, perché ci sono tre variabili. In effetti, questa è una delle attività più semplici nel tutorial video di oggi.
Trova per $x$:
\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e) ^(z)) \destra))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]
Ora affrontiamo $y$:
\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\]
\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left) (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]
Abbiamo trovato la risposta.
Ora resta da trovare per $z$:
\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cpunto ((e)^(z))\]
Abbiamo calcolato la derivata terza, sulla quale la soluzione del secondo problema è completamente completata.
Sfumature della soluzione
Come puoi vedere, non c'è nulla di complicato in questi due esempi. L'unica cosa che abbiamo visto è che la derivata di una funzione complessa viene usata frequentemente e, a seconda della derivata parziale che consideriamo, otteniamo risposte diverse.
Nell'ultima attività, ci è stato chiesto di gestire una funzione di tre variabili contemporaneamente. Non c'è niente di sbagliato in questo, ma alla fine ci siamo assicurati che differissero tutti in modo significativo l'uno dall'altro.
Punti chiave
Le conclusioni finali del video tutorial di oggi sono le seguenti:
- Le derivate parziali sono considerate alla stregua di quelle ordinarie, mentre per calcolare la derivata parziale rispetto ad una variabile, tutte le altre variabili comprese in questa funzione, prendiamo come costanti.
- Quando si lavora con le derivate parziali, utilizziamo tutte le stesse formule standard delle derivate ordinarie: la somma, la differenza, la derivata del prodotto e il quoziente e, naturalmente, la derivata di una funzione complessa.
Ovviamente, guardare questo video tutorial da solo non è sufficiente per comprendere appieno questo argomento, quindi in questo momento sul mio sito Web per questo particolare video c'è una serie di attività dedicate all'argomento di oggi: vai, scarica, risolvi queste attività e controlla la risposta. E dopo, nessun problema con le derivate parziali né in esami né in corso lavoro indipendente non lo farai. Naturalmente, questa non è l'ultima lezione matematica superiore, quindi visita il nostro sito Web, aggiungi VKontakte, iscriviti a YouTube, metti Mi piace e resta con noi!
E non devi cercare nulla: nel nostro articolo separato, abbiamo già preparato tutto affinché tu possa farlo. Parliamo ora di derivate parziali.
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Funzione di due o più variabili
Prima di parlare di derivate parziali, dobbiamo toccare il concetto di funzione di più variabili, senza il quale non ha senso una derivata parziale. A scuola, siamo abituati a trattare le funzioni di una variabile:
Abbiamo considerato i derivati di tali funzioni in precedenza. Il grafico di una funzione di una variabile è una retta su un piano: una retta, una parabola, un'iperbole, ecc.
E se aggiungiamo un'altra variabile? Ottieni una funzione come questa:
Questa è una funzione di due variabili indipendenti X e y. Il grafico di tale funzione è una superficie nello spazio tridimensionale: una sfera, un iperboloide, un paraboloide o qualche altro cavallo sferico nel vuoto. Funzioni derivate parziali z rispettivamente per x e y si scrivono come segue:
Ci sono anche funzioni di tre o più variabili. È vero, è impossibile tracciare un grafico di una tale funzione: ciò richiederebbe almeno uno spazio quadridimensionale, che non può essere rappresentato.
Derivata parziale del primo ordine
Ricorda la regola principale:
Quando si calcola la derivata parziale rispetto a una delle variabili, si prende come costante la seconda variabile. In caso contrario, le regole per il calcolo della derivata non cambiano.
Cioè, la derivata parziale non è essenzialmente diversa da quella usuale. Quindi, tieni la tabella dei derivati davanti ai tuoi occhi funzioni elementari e regole per il calcolo delle derivate ordinarie. Diamo un'occhiata a un esempio per renderlo abbastanza chiaro. Supponiamo di voler calcolare le derivate parziali del primo ordine della seguente funzione:
Per prima cosa prendiamo la derivata parziale rispetto a x, considerando y come un numero ordinario:
Consideriamo ora la derivata parziale rispetto a y, prendendo x come costante:
Come puoi vedere, non c'è nulla di complicato in questo e il successo con di più esempi complessiè solo una questione di pratica.
Derivata parziale del secondo ordine
Qual è la derivata parziale del secondo ordine? Proprio come il primo. Per trovare derivate parziali del secondo ordine basta prendere la derivata della derivata del primo ordine. Torniamo all'esempio precedente e calcoliamo le derivate parziali del secondo ordine.
Per gioco:
Le derivate parziali del terzo e degli ordini superiori non differiscono nel principio di calcolo. Organizziamo le regole:
- Quando si differenzia rispetto a una variabile indipendente, la seconda viene presa come costante.
- La derivata del secondo ordine è la derivata della derivata del primo ordine. Il terzo ordine è la derivata del secondo ordine, ecc.
Derivate parziali e differenziale totale di una funzione
Una domanda frequente nei compiti pratici è trovare il differenziale totale di una funzione. Per una funzione di più variabili differenziale totaleè definita come la parte lineare principale del piccolo incremento totale della funzione rispetto agli incrementi degli argomenti.
La definizione suona ingombrante, ma con le lettere tutto è più semplice. Il differenziale totale del primo ordine di una funzione di più variabili si presenta così:
Sapendo come vengono calcolate le derivate parziali, non ci sono problemi per calcolare il differenziale totale.
Le derivate parziali non sono un argomento così inutile. Ad esempio, le equazioni alle derivate parziali del secondo ordine sono ampiamente utilizzate per descrizione matematica vero processi fisici.
Qui abbiamo dato solo un'idea generale e superficiale delle derivate parziali del primo e del secondo ordine. Sei interessato a questo argomento o hai domande specifiche? Chiediglielo nei commenti e contatta gli esperti del servizio professionale studenti per un aiuto qualificato e rapido nei tuoi studi. Con noi non sarai lasciato solo con il problema!
Ogni derivata parziale (over X e da y) di una funzione di due variabili è la derivata ordinaria di una funzione di una variabile con un valore fisso dell'altra variabile:
(dove y= cost),
(dove X= cost).
Pertanto, le derivate parziali sono calcolate da formule e regole per il calcolo delle derivate di funzioni di una variabile, considerando l'altra variabile come una costante (costante).
Se non hai bisogno di un'analisi di esempi e della teoria minima necessaria per questo, ma hai solo bisogno di una soluzione al tuo problema, procedi con calcolatore di derivate parziali online .
Se è difficile concentrarsi sul tenere traccia di dove si trova la costante nella funzione, puoi sostituire qualsiasi numero nella bozza della soluzione dell'esempio invece di una variabile con un valore fisso, quindi puoi calcolare rapidamente la derivata parziale come ordinaria derivata di una funzione di una variabile. È solo necessario non dimenticare di riportare la costante (una variabile con un valore fisso) al suo posto al termine.
La proprietà delle derivate parziali sopra descritta deriva dalla definizione di derivata parziale, che si trova nelle domande d'esame. Pertanto, per familiarizzare con la definizione di seguito, è possibile aprire il riferimento teorico.
Il concetto di continuità di una funzione z= f(X, y) in un punto è definito in modo simile a questo concetto per una funzione di una variabile.
Funzione z = f(X, y) è detto continuo in un punto se
La differenza (2) è chiamata incremento totale della funzione z(si ottiene incrementando entrambi gli argomenti).
Lascia che la funzione z= f(X, y) e punto
Se la funzione cambia z si verifica quando cambia solo uno degli argomenti, ad esempio X, con un valore fisso dell'altro argomento y, quindi la funzione verrà incrementata
chiamato incremento parziale della funzione f(X, y) Su X.
Considerando il cambio di funzione z a seconda della modifica di uno solo degli argomenti, si passa effettivamente a una funzione di una variabile.
Se c'è un limite finito
allora è chiamata derivata parziale della funzione f(X, y) per argomento X ed è indicato da uno dei simboli
(4)
L'incremento parziale è definito in modo simile z Su y:
e derivata parziale f(X, y) Su y:
(6)
Esempio 1
Soluzione. Troviamo la derivata parziale rispetto alla variabile "x":
(y fisso);
Troviamo la derivata parziale rispetto alla variabile "y":
(X fisso).
Come puoi vedere, non importa in che misura la variabile che viene fissata: in questo caso, è solo un numero che è un fattore (come nel caso della derivata usuale) con la variabile per cui troviamo il parziale derivato. Se la variabile fissa non viene moltiplicata per la variabile rispetto alla quale troviamo la derivata parziale, allora questa costante solitaria, non importa in quale misura, come nel caso di una derivata ordinaria, svanisce.
Esempio 2 Data una funzione
Trova derivati parziali
(per x) e (per y) e calcola i loro valori nel punto MA (1; 2).
Soluzione. A un fisso y la derivata del primo termine si trova come derivata della funzione di potenza ( tabella delle funzioni derivate di una variabile):
.
A un fisso X la derivata del primo termine si trova come derivata della funzione esponenziale e il secondo - come derivata della costante:
Ora calcoliamo i valori di queste derivate parziali nel punto MA (1; 2):
Puoi controllare la soluzione dei problemi con le derivate parziali calcolatore di derivate parziali online .
Esempio 3 Trova le derivate parziali delle funzioni
Soluzione. In un passaggio troviamo
(y X, come se l'argomento di seno fosse 5 X: allo stesso modo, 5 compare prima del segno della funzione);
(Xè fisso ed è in questo caso un fattore a y).
Puoi controllare la soluzione dei problemi con le derivate parziali calcolatore di derivate parziali online .
Le derivate parziali di una funzione di tre o più variabili sono definite in modo simile.
Se ogni insieme di valori ( X; y; ...; t) variabili indipendenti dall'insieme D corrisponde a uno certo valore tu da molti e, poi tuè chiamata funzione di variabili X, y, ..., t e denotare tu= f(X, y, ..., t).
Per funzioni di tre o più variabili, non esiste un'interpretazione geometrica.
Le derivate parziali di una funzione di più variabili sono anche definite e calcolate partendo dal presupposto che solo una delle variabili indipendenti cambia, mentre le altre sono fisse.
Esempio 4 Trova le derivate parziali delle funzioni
.
Soluzione. y e z fisso:
X e z fisso:
X e y fisso:
Trova le derivate parziali da solo e poi vedi le soluzioni
Esempio 5
Esempio 6 Trova le derivate parziali di una funzione.
La derivata parziale di una funzione di più variabili ha lo stesso valore significato meccanico come derivata di una funzione di una variabile, è la velocità con cui la funzione cambia rispetto a una modifica in uno degli argomenti.
Esempio 8 quantità di flusso P passeggeri linee ferroviarie può essere espresso come una funzione
dove P- il numero di passeggeri, N- il numero dei residenti dei punti corrispondenti, R– distanza tra i punti.
Derivata parziale di una funzione P Su R uguale a
mostra che la diminuzione del flusso di passeggeri è inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra i punti corrispondenti a parità di abitanti nei punti.
Derivata parziale P Su N uguale a
mostra che l'aumento del flusso di passeggeri è proporzionale al doppio del numero di abitanti insediamenti con la stessa distanza tra i punti.
Puoi controllare la soluzione dei problemi con le derivate parziali calcolatore di derivate parziali online .
Differenziale completo
Il prodotto della derivata parziale per l'incremento della corrispondente variabile indipendente è detto differenziale parziale. I differenziali parziali sono indicati come segue:
La somma dei differenziali parziali su tutte le variabili indipendenti dà il differenziale totale. Per una funzione di due variabili indipendenti, il differenziale totale è espresso dall'uguaglianza
(7)
Esempio 9 Trova il differenziale completo di una funzione
Soluzione. Il risultato dell'utilizzo della formula (7):
Una funzione che ha un differenziale totale in ogni punto di un dominio è chiamata differenziabile in quel dominio.
Trova il differenziale totale da solo e poi vedi la soluzione
Proprio come nel caso di una funzione di una variabile, la differenziabilità di una funzione in una determinata regione implica la sua continuità in tale regione, ma non viceversa.
Formuliamo senza prove condizione sufficiente differenziabilità della funzione.
Teorema. Se la funzione z= f(X, y) ha derivate parziali continue
in una data regione, allora è differenziabile in questa regione e il suo differenziale è espresso dalla formula (7).
Si può dimostrare che, proprio come nel caso di una funzione di una variabile, il differenziale della funzione è la parte lineare principale dell'incremento della funzione, così nel caso di una funzione di più variabili il differenziale totale è il principale, lineare rispetto agli incrementi di variabili indipendenti, parte dell'incremento totale della funzione.
Per una funzione di due variabili pieno incremento la funzione ha la forma
(8)
dove α e β sono infinitesimi per e .
Derivati parziali di ordini superiori
Derivate parziali e funzioni f(X, y) sono esse stesse alcune funzioni delle stesse variabili e, a loro volta, possono avere derivate rispetto a variabili diverse, che sono dette derivate parziali di ordini superiori.
Continuando il nostro tema preferito analisi matematica- derivati. In questo articolo impareremo come trovarlo derivate parziali di una funzione di tre variabili: derivate prime e derivate seconde. Cosa devi sapere ed essere in grado di padroneggiare il materiale? Non crederci, ma, in primo luogo, devi essere in grado di trovare le derivate "ordinarie" di una funzione di una variabile - a un livello alto o almeno medio. Se è davvero stretto con loro, allora inizia con una lezione Come trovare la derivata? In secondo luogo, è molto importante leggere l'articolo e comprendere e risolvere, se non tutti, la maggior parte degli esempi. Se questo è già stato fatto, allora cammina con me con un'andatura sicura, sarà interessante, otterrai persino piacere!
Metodi e principi di ricerca derivate parziali di una funzione di tre variabili sono in realtà molto simili alle funzioni derivate parziali di due variabili. La funzione di due variabili, vi ricordo, ha la forma , dove "x" e "y" sono variabili indipendenti. Geometricamente, una funzione di due variabili è una certa superficie nel nostro spazio tridimensionale.
La funzione di tre variabili ha la forma , mentre le variabili sono chiamate indipendentevariabili o argomenti, viene chiamata la variabile variabile dipendente o funzione. Ad esempio: - una funzione di tre variabili
E ora un po' di film di fantascienza e alieni. Si sente spesso parlare di 4D, 5D, 10D, ecc. spazi. Sciocchezze o no?
Dopotutto, la funzione di tre variabili implica il fatto che tutte le cose si svolgono in uno spazio quadridimensionale (in effetti, ci sono quattro variabili). Il grafico di una funzione di tre variabili è il cosiddetto ipersuperficie. È impossibile immaginarlo, poiché viviamo in uno spazio tridimensionale (lunghezza/larghezza/altezza). Affinché non ti annoi con me, offro un quiz. Ti farò alcune domande, e chi lo desidera può provare a rispondere:
- C'è un quarto, un quinto, ecc. nel mondo? misure nel senso della comprensione filistea dello spazio (lunghezza/larghezza/altezza)?
- È possibile costruire un quadridimensionale, cinquedimensionale, ecc. spazio in senso lato? Cioè, per dare un esempio di tale spazio nella nostra vita.
È possibile viaggiare nel passato?
È possibile viaggiare nel futuro?
- Esistono gli alieni?
Per qualsiasi domanda, puoi scegliere una delle quattro risposte:
Sì / No (la scienza lo vieta) / La scienza non vieta / Non lo so
Chi risponde correttamente a tutte le domande, molto probabilmente possiede qualcosa ;-)
Darò gradualmente le risposte alle domande durante la lezione, non saltare gli esempi!
In realtà, hanno volato. E ora la buona notizia: per una funzione di tre variabili valgono le regole di differenziazione e la tabella delle derivate. Ecco perché devi essere bravo a gestire l'"ordinario" derivate di funzioni una variabile. Ci sono pochissime differenze!
Esempio 1
Soluzione:È facile intuire che per una funzione di tre variabili esistono tre derivate parziali del primo ordine, denotate come segue:
Oppure - derivata parziale di "x";
oppure - derivata parziale rispetto a "y";
oppure - derivata parziale rispetto a "z".
La notazione con un tratto è più in uso, ma i compilatori di raccolte, i manuali nelle condizioni dei compiti amano molto usare solo notazioni ingombranti, quindi non perderti! Forse non tutti sanno leggere ad alta voce correttamente queste "terribili frazioni". Esempio: va letto come segue: “de u po de x”.
Iniziamo con la derivata x: . Quando troviamo la derivata parziale rispetto a , quindi le variabili e sono considerate costanti (numeri costanti). E la derivata di qualsiasi costante, oh, grazia, è uguale a zero:
Presta immediatamente attenzione al pedice: nessuno ti vieta di contrassegnare che sono costanti. È ancora più conveniente, consiglio ai principianti di utilizzare solo un record del genere, c'è meno rischio di confusione.
(1) Usiamo le proprietà della linearità della derivata, in particolare togliamo tutte le costanti dal segno della derivata. Si noti che nel secondo termine non è necessario eliminare la costante: poiché la "y" è una costante, allora è anche una costante. Nel termine, la costante "solita" 8 e la costante "zet" sono estratte dal segno della derivata.
(2) Troviamo le derivate più semplici, senza dimenticare che sono costanti. Quindi, pettina la risposta.
Derivata parziale . Quando troviamo la derivata parziale rispetto a "y", allora le variabili e sono considerate costanti:
(1) Usiamo le proprietà della linearità. E ancora, nota che i termini sono costanti, il che significa che non è necessario estrarre nulla per il segno della derivata.
(2) Troviamo le derivate, senza dimenticare le costanti. Semplifichiamo la risposta.
E infine la derivata parziale. Quando troviamo la derivata parziale rispetto a "z", allora le variabili e sono considerate costanti:
Regola generale ovvio e senza pretese: Quando troviamo la derivata parzialeper ogni variabile indipendente, quindialtri due variabili indipendenti sono considerate costanti.
Quando si progettano queste attività, è necessario prestare la massima attenzione, in particolare, non posso perdere pedici(che indicano su quale variabile viene fatta la differenziazione). La perdita dell'indice sarà un GRANDE DIFETTO. Hmmm…. è divertente se, dopo una tale intimidazione, io stesso mi mancheranno da qualche parte)
Esempio 2
Trova le derivate parziali del primo ordine di una funzione di tre variabili
Questo è un esempio fai da te. Soluzione completa e la risposta alla fine della lezione.
I due esempi considerati sono abbastanza semplici e, avendo risolto diversi problemi simili, anche una teiera si adatterà a reprimerli verbalmente.
Per scaricare, torniamo alla prima domanda del quiz: c'è un quarto, un quinto, ecc. nel mondo? misure nel senso della comprensione filistea dello spazio (lunghezza/larghezza/altezza)?
Risposta corretta: La scienza non lo vieta.. Tutta l'assiomatica matematica fondamentale, i teoremi, apparato matematico bene e coerente lavorare nello spazio di qualsiasi dimensione. È possibile che da qualche parte nell'Universo ci siano ipersuperfici che non sono soggette alla nostra mente, ad esempio un'ipersuperficie quadridimensionale, che è data da una funzione di tre variabili. O forse ci sono delle ipersuperfici accanto a noi o anche noi ci siamo proprio dentro, solo la nostra vista, altri organi di senso, la coscienza sono capaci di percepire e comprendere solo tre dimensioni.
Torniamo agli esempi. Sì, se qualcuno è molto carico di un quiz, è meglio leggere le risposte alle seguenti domande dopo aver imparato a trovare le derivate parziali di una funzione di tre variabili, altrimenti ti toglierò l'intero cervello nel corso dell'articolo =)
Oltre ai più semplici Esempi 1,2, in pratica ci sono compiti che possono essere chiamati un piccolo puzzle. Tali esempi, con mio fastidio, sono scomparsi quando ho creato la lezione. Derivate parziali di funzioni di due variabili. Recuperare il tempo perso:
Esempio 3
Soluzione: Sembra essere “tutto è semplice”, ma la prima impressione è ingannevole. Quando trovano derivati parziali, molti indovineranno sui fondi di caffè e commetteranno errori.
Analizziamo l'esempio in modo coerente, chiaro e chiaro.
Iniziamo con la derivata parziale rispetto a x. Quando troviamo la derivata parziale rispetto a "x", le variabili sono considerate costanti. Pertanto, anche l'indice della nostra funzione è una costante. Per i manichini, consiglio la seguente soluzione: sulla bozza, cambia la costante in un numero intero positivo specifico, ad esempio "cinque". Il risultato è una funzione di una variabile:
oppure puoi anche scriverlo così:
esso potenza funzione con base complessa (seno). Di :
Ora ricorda che, quindi:
Su una copia pulita, ovviamente, la soluzione dovrebbe essere redatta in questo modo:
Troviamo la derivata parziale rispetto a "y", sono considerate costanti. Se "x" è una costante, allora è anche una costante. Sulla bozza, facciamo lo stesso trucco: sostituiamo, ad esempio, con 3, "Z" - lo sostituiremo con lo stesso "cinque". Il risultato è di nuovo una funzione di una variabile:
esso dimostrazione funzione con esponente complesso. Di la regola di differenziazione di una funzione complessa:
Ora ricorda il nostro sostituto:
In questo modo:
Su una copia pulita, ovviamente, il design dovrebbe avere un bell'aspetto:
E un caso speculare con una derivata parziale rispetto a "z" (- costanti):
Con una certa esperienza, l'analisi può essere svolta mentalmente.
Eseguiamo la seconda parte del compito: componiamo un differenziale del primo ordine. È molto semplice, per analogia con una funzione di due variabili, il differenziale del primo ordine è scritto dalla formula:
In questo caso:
E poi affari. Noto che nei problemi pratici, il differenziale completo del 1° ordine di una funzione di tre variabili deve essere compilato molto meno frequentemente che per una funzione di due variabili.
Un esempio divertente per una soluzione fai-da-te:
Esempio 4
Trova le derivate parziali del primo ordine di una funzione di tre variabili e fai un differenziale totale del primo ordine
Soluzione completa e risposta alla fine della lezione. In caso di difficoltà, utilizzare l'algoritmo considerato "chainikov", è garantito per aiutare. E inoltre consiglio utile – non affrettarti. Tali esempi non sono risolti rapidamente nemmeno da me.
Divaghiamo e analizziamo la seconda domanda: è possibile costruire un quadridimensionale, cinque-dimensionale, ecc. spazio in senso lato? Cioè, per dare un esempio di tale spazio nella nostra vita.
Risposta corretta: sì. Ed è molto facile. Ad esempio, aggiungiamo una quarta dimensione alla lunghezza/larghezza/altezza - tempo. Lo spazio-tempo quadridimensionale popolare e la famosa teoria della relatività rubata con cura da Einstein a Lobachevsky, Poincaré, Lorentz e Minkowski. Neanche tutti lo sanno. Perché Einstein premio Nobel? Ci fu un terribile scandalo nel mondo scientifico e il Comitato per il Nobel formulò il merito del plagiatore come segue: "Per il contributo generale allo sviluppo della fisica". Quindi è tutto. Il marchio di grado C di Einstein è pura promozione e PR.
È facile aggiungere una quinta dimensione allo spazio quadridimensionale considerato, ad esempio: Pressione atmosferica. E così via, così via, così via, quante dimensioni imposti nel tuo modello, ce ne saranno così tante. Nel senso ampio della parola, viviamo in uno spazio multidimensionale.
Prendiamone un altro paio compiti tipici:
Esempio 5
Trova le derivate parziali del primo ordine in un punto
Soluzione: Un compito in questa formulazione si incontra spesso nella pratica e comporta le due azioni seguenti:
– devi trovare le derivate parziali del primo ordine;
– bisogna calcolare i valori delle derivate parziali del 1° ordine al punto .
Noi decidiamo:
(1) Abbiamo una funzione complessa e il primo passo è prendere la derivata dell'arcotangente. Così facendo, utilizziamo, infatti, con calma la formula tabulare per la derivata dell'arcotangente. Di la regola di differenziazione di una funzione complessa il risultato deve essere moltiplicato per la derivata funzione interna(allegati): .
(2) Usiamo le proprietà della linearità.
(3) E prendiamo le restanti derivate, senza dimenticare che sono costanti.
Secondo la condizione di assegnazione, occorre trovare il valore della derivata parziale trovata al punto . Sostituisci le coordinate del punto nella derivata trovata:
Il vantaggio di questo compito è il fatto che altre derivate parziali si trovano in un modo molto simile:
Come puoi vedere, il modello di soluzione è quasi lo stesso.
Calcoliamo il valore della derivata parziale trovata nel punto:
E infine, la derivata rispetto a "z":
Pronto. La soluzione potrebbe anche essere formulata in un altro modo: prima trova tutte e tre le derivate parziali, quindi calcola i loro valori nel punto. Ma, mi sembra, il metodo sopra è più conveniente: hanno appena trovato la derivata parziale e immediatamente, senza uscire dal registratore di cassa, ne hanno calcolato il valore in un punto.
È interessante notare che geometricamente un punto è un punto molto reale del nostro spazio tridimensionale. I valori della funzione, le derivate sono già la quarta dimensione e nessuno sa dove si trovi geometricamente. Come si suol dire, nessuno ha strisciato per l'Universo con un metro a nastro, non ha controllato.
Non appena il tema filosofico è passato di nuovo, prendiamo in considerazione la terza domanda: è possibile viaggiare nel passato?
Risposta corretta: Non. Viaggiare nel passato contraddice la seconda legge della termodinamica sull'irreversibilità dei processi fisici (entropia). Quindi, per favore, non immergetevi in una piscina senz'acqua, l'evento può essere riprodotto solo nel video =) La saggezza popolare ha escogitato la legge mondana opposta per un motivo: "Misura sette volte, taglia una volta". Sebbene, in effetti, sia una cosa triste, il tempo è unidirezionale e irreversibile, nessuno di noi sembrerà più giovane domani. E vari film di fantascienza come "Terminator" da un punto di vista scientifico sono una totale sciocchezza. È assurdo anche dal punto di vista della filosofia - quando la Conseguenza, tornando al passato, può distruggere la propria Causa. .
Più interessante con la derivata rispetto a "z", anche se è sempre quasi la stessa:
(1) Togliamo le costanti dal segno della derivata.
(2) Anche qui il prodotto di due funzioni, ognuno dei quali dipende dalla variabile "live" "z". In linea di principio, puoi usare la formula per la derivata di un quoziente, ma è più facile andare dall'altra parte: trovare la derivata del prodotto.
(3) Una derivata è una derivata tabulare. Il secondo termine contiene la già familiare derivata di una funzione complessa.
Esempio 9
Trova le derivate parziali del primo ordine di una funzione di tre variabili
Questo è un esempio fai da te. Pensa a come è più razionale trovare l'una o l'altra derivata parziale. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.
Prima di passare agli esempi finali della lezione e considerare derivate parziali del secondo ordine funzioni di tre variabili, rallegrerò ancora una volta tutti con la quarta domanda:
È possibile viaggiare nel futuro?
Risposta corretta: La scienza non lo vieta.. Paradossalmente, non esiste alcuna legge matematica, fisica, chimica o di altre scienze naturali che vieti i viaggi nel futuro! Sembra una sciocchezza? Ma quasi tutti nella vita avevano una premonizione (e non supportata da alcun argomento logico) che questo o quell'evento sarebbe accaduto. Ed è successo! Da dove provengono le informazioni? Dal futuro? Pertanto, i film fantastici sul viaggio nel futuro e, tra l'altro, le previsioni di tutti i tipi di indovini, i sensitivi non possono essere definiti tali sciocchezze. Almeno, la scienza non ha confutato questo. Tutto è possibile! Quindi, quando ero a scuola, i CD e i monitor a schermo piatto dei film mi sembravano un'incredibile fantasia.
La famosa commedia "Ivan Vasilyevich Changes His Profession" è una mezza finzione (al massimo). Nessuna legge scientifica vietava a Ivan il Terribile di essere nel futuro, ma è impossibile che due peperoni siano nel passato e svolgano i doveri di un re.
È assolutamente impossibile risolvere problemi fisici o esempi in matematica senza la conoscenza della derivata e dei metodi per calcolarla. La derivata è uno dei concetti più importanti dell'analisi matematica. Abbiamo deciso di dedicare l'articolo di oggi a questo argomento fondamentale. Cos'è un derivato, qual è il suo fisico e senso geometrico come calcolare la derivata di una funzione? Tutte queste domande possono essere combinate in una: come capire la derivata?
Significato geometrico e fisico della derivata
Lascia che ci sia una funzione f(x) , dato in un certo intervallo (a,b) . I punti x e x0 appartengono a questo intervallo. Quando x cambia, la funzione stessa cambia. Cambio di argomento - differenza dei suoi valori x-x0 . Questa differenza è scritta come delta x ed è chiamato incremento argomento. La modifica o l'incremento di una funzione è la differenza tra i valori della funzione in due punti. Definizione derivata:
La derivata di una funzione in un punto è il limite del rapporto tra l'incremento della funzione in un dato punto e l'incremento dell'argomento quando quest'ultimo tende a zero.
Altrimenti si può scrivere così:
Che senso ha trovare un tale limite? Ma quale:
la derivata di una funzione in un punto è uguale alla tangente dell'angolo tra l'asse OX e la tangente al grafico della funzione in un dato punto.
significato fisico derivato: la derivata temporale del percorso è uguale alla velocità del moto rettilineo.
Infatti, fin dai tempi della scuola, tutti sanno che la velocità è un percorso privato. x=f(t) E tempo t . velocità media per un certo periodo di tempo:
Per scoprire la velocità di movimento alla volta t0 devi calcolare il limite:
Regola uno: eliminare la costante
La costante può essere estratta dal segno della derivata. Inoltre, deve essere fatto. Quando risolvi esempi in matematica, prendi come regola: se puoi semplificare l'espressione, assicurati di semplificare .
Esempio. Calcoliamo la derivata:
Regola due: derivata della somma delle funzioni
La derivata della somma di due funzioni è uguale alla somma delle derivate di queste funzioni. Lo stesso vale per la derivata della differenza di funzioni.
Non daremo una dimostrazione di questo teorema, ma considereremo un esempio pratico.
Trova la derivata di una funzione:
Regola tre: la derivata del prodotto di funzioni
La derivata del prodotto di due funzioni differenziabili si calcola con la formula:
Esempio: trova la derivata di una funzione:
Soluzione: 
Qui è importante parlare del calcolo delle derivate di funzioni complesse. La derivata di una funzione complessa è uguale al prodotto della derivata di questa funzione rispetto all'argomento intermedio per la derivata dell'argomento intermedio rispetto alla variabile indipendente.
Nell'esempio sopra, incontriamo l'espressione:
In questo caso, l'argomento intermedio è 8x alla quinta potenza. Per calcolare la derivata di tale espressione, consideriamo prima la derivata della funzione esterna rispetto all'argomento intermedio, quindi moltiplichiamo per la derivata dell'argomento intermedio stesso rispetto alla variabile indipendente.
Regola quattro: La derivata del quoziente di due funzioni
Formula per determinare la derivata di un quoziente di due funzioni:
Abbiamo provato a parlare da zero di derivati per manichini. Questo argomento non è così semplice come sembra, quindi attenzione: negli esempi ci sono spesso delle insidie, quindi fai attenzione quando calcoli le derivate.
Per qualsiasi domanda su questo e altri argomenti, puoi contattare il servizio studenti. In breve tempo, ti aiuteremo a risolvere i controlli più difficili e ad affrontare i compiti, anche se non ti sei mai occupato del calcolo delle derivate prima.