Definizione di funzione inversa e sue proprietà: lemma sulla mutua monotonia di funzioni dirette e inverse; simmetria di grafici di funzioni dirette e inverse; teoremi sull'esistenza e continuità della funzione inversa per una funzione strettamente monotona su un segmento, intervallo e semiintervallo. Esempi di funzioni inverse. Un esempio di soluzione di un problema. Dimostrazioni di proprietà e teoremi.

Contenuto

Guarda anche: Definizione di funzione, limiti superiore e inferiore, funzione monotona.

Definizione e proprietà

Definizione della funzione inversa
Lascia che la funzione abbia un dominio X e un insieme di valori Y . E lascia che abbia la proprietà:
per tutti .
Quindi per qualsiasi elemento dell'insieme Y si può associare un solo elemento dell'insieme X, per cui . Questa corrispondenza definisce una funzione chiamata funzione inversa a . La funzione inversa è indicata come segue:
.

Dalla definizione deriva che
;
per tutti ;
per tutti .

Proprietà sulla simmetria dei grafici di funzioni dirette e inverse
I grafici delle funzioni dirette e inverse sono simmetrici rispetto alla retta.

Teorema sull'esistenza e continuità della funzione inversa su un segmento
Lascia che la funzione sia continua e rigorosamente crescente (decrescente) sull'intervallo . Quindi sull'intervallo è definita e continua la funzione inversa, che è rigorosamente crescente (decrescente).

Per una funzione crescente. Per discendente - .

Teorema sull'esistenza e continuità della funzione inversa su un intervallo
Lascia che la funzione sia continua e rigorosamente crescente (decrescente) su un intervallo aperto finito o infinito. Quindi la funzione inversa è definita e continua sull'intervallo, che è rigorosamente crescente (decrescente).

Per una funzione crescente.
Per la discesa: .

In modo simile, si può formulare un teorema sull'esistenza e continuità di una funzione inversa su un semiintervallo.

Se la funzione è continua e rigorosamente aumenta (diminuisce) sul semiintervallo o , allora sul semiintervallo o viene definita la funzione inversa, che aumenta rigorosamente (diminuisce). Qui .

Se è strettamente crescente, gli intervalli e corrispondono agli intervalli e . Se rigorosamente decrescenti, gli intervalli e corrispondono agli intervalli e .
Questo teorema si dimostra allo stesso modo del teorema sull'esistenza e continuità della funzione inversa su un intervallo.

Esempi di funzioni inverse

Arcseno

Grafici y= peccato x e funzione inversa y = arcoseno x.

Considera la funzione trigonometrica seno: . È definito e continuo per tutti i valori dell'argomento, ma non è monotono. Tuttavia, se il dominio di definizione è ristretto, si possono distinguere sezioni monotone. Quindi, sul segmento, la funzione è definita, continua, rigorosamente crescente e da cui prende valori -1 prima +1 . Pertanto, ha una funzione inversa su di esso, che è chiamata arcoseno. L'arcoseno ha un dominio di definizione e un insieme di valori.

Logaritmo

Grafici y= 2x e funzione inversa y = registro 2 x.

Funzione esponenzialeè definito, continuo e rigorosamente crescente per tutti i valori dell'argomento. L'insieme dei suoi valori è un intervallo aperto. La funzione inversa è il logaritmo in base due. Ha un ambito e un insieme di valori.

Radice quadrata

Traccia y=x 2 e funzione inversa.

Funzione di alimentazioneè definito e continuo per tutti. L'insieme dei suoi valori è un mezzo intervallo. Ma non è monotono per tutti i valori dell'argomento. Tuttavia, nel semiintervallo è continuo e rigorosamente monotono crescente. Pertanto, se, come dominio, prendiamo il set , allora esiste una funzione inversa, che viene chiamata radice quadrata. La funzione inversa ha un dominio di definizione e un insieme di valori.

Esempio. Prova dell'esistenza e dell'unicità di una radice di grado n

Dimostra che l'equazione , dove n è naturale, è reale numero non negativo, ha una soluzione unica sul set numeri reali, . Questa soluzione è chiamata radice ennesima di a. Cioè, devi dimostrare che qualsiasi numero non negativo ha una radice univoca di grado n.

Consideriamo una funzione della variabile x :
(P1) .

Dimostriamo che è continua.
Usando la definizione di continuità, lo mostriamo
.
Applichiamo la formula binomiale di Newton:
(P2)
.
Applichiamo le proprietà aritmetiche dei limiti della funzione. Poiché , allora solo il primo termine è diverso da zero:
.
La continuità è stata dimostrata.

Dimostriamo che la funzione (P1) aumenta strettamente come .
Prendiamo numeri arbitrari collegati da disuguaglianze:
, , .
Dobbiamo dimostrarlo. Introduciamo le variabili. Quindi . Poiché , si vede da (A2) che . O
.
È dimostrato un aumento rigoroso.

Trova l'insieme dei valori delle funzioni per .
Al punto , .
Troviamo il limite.
Per fare ciò, applica la disuguaglianza di Bernoulli. Quando abbiamo:
.
Da allora e .
Applicando la proprietà delle disuguaglianze di funzioni infinitamente grandi, troviamo che .
In questo modo, , .

Secondo il teorema della funzione inversa, una funzione inversa è definita e continua su un intervallo. Cioè, per ogni c'è un unico che soddisfa l'equazione. Dato che abbiamo , questo significa che per ogni , l'equazione ha una soluzione unica, che è chiamata radice del grado n dal numero x:
.

Dimostrazioni di proprietà e teoremi

Dimostrazione del lemma sulla mutua monotonia delle funzioni dirette e inverse

Lascia che la funzione abbia un dominio X e un insieme di valori Y . Dimostriamo che ha una funzione inversa. Sulla base di , dobbiamo dimostrarlo
per tutti .

Assumiamo il contrario. Lascia che ci siano numeri, quindi. Lasciate allo stesso tempo. Altrimenti, cambiamo la notazione in modo che sia . Quindi, a causa della stretta monotonia di f , una delle disuguaglianze deve valere:
se f è strettamente crescente;
se f è strettamente decrescente.
Questo è . C'era una contraddizione. Pertanto, ha una funzione inversa.

Sia la funzione strettamente crescente. Dimostriamo che anche la funzione inversa è strettamente crescente. Introduciamo la notazione:
. Cioè, dobbiamo dimostrare che se , allora .

Assumiamo il contrario. Lascia, ma.

Se poi . Questo caso è fuori.

Permettere . Quindi, a causa del forte aumento della funzione , , o . C'era una contraddizione. Pertanto, solo il caso è possibile.

Il lemma è dimostrato per una funzione strettamente crescente. Questo lemma può essere dimostrato in modo simile per una funzione strettamente decrescente.

Dimostrazione di una proprieta' sulla simmetria dei grafici di funzioni dirette e inverse

Sia un punto arbitrario del grafico della funzione diretta:
(2.1) .
Dimostriamo che il punto, simmetrico al punto A rispetto alla retta, appartiene al grafico della funzione inversa:
.
Dalla definizione della funzione inversa deriva che
(2.2) .
Pertanto, dobbiamo mostrare (2.2).

Grafico della funzione inversa y = f -1(x)è simmetrico al grafico della funzione diretta y = f (X) rispetto alla retta y = x .

Dai punti A e S lasciamo cadere le perpendicolari sugli assi delle coordinate. Quindi
, .

Per il punto A tracciamo una retta perpendicolare alla retta. Lascia che le linee si intersechino nel punto C. Costruiamo un punto S sulla retta in modo tale che . Allora il punto S sarà simmetrico al punto A rispetto alla retta.

Considera triangoli e . Hanno due lati uguali in lunghezza: e , e angoli uguali tra loro: . Pertanto sono congruenti. Quindi
.

Consideriamo un triangolo. Da allora
.
Lo stesso vale per il triangolo:
.
Quindi
.

Ora troviamo:
;
.

Quindi, equazione (2.2):
(2.2)
è soddisfatto perché , e (2.1) è soddisfatto:
(2.1) .

Poiché abbiamo scelto arbitrariamente il punto A, ciò si applica a tutti i punti del grafico:
tutti i punti del grafico della funzione, riflessi simmetricamente rispetto alla retta, appartengono al grafico della funzione inversa.
Poi possiamo scambiarci i posti. Di conseguenza, otteniamo
tutti i punti del grafico della funzione, riflessi simmetricamente rispetto alla retta, appartengono al grafico della funzione.
Ne consegue che i grafici delle funzioni e sono simmetrici rispetto alla retta.

La proprietà è stata dimostrata.

Dimostrazione del teorema sull'esistenza e continuità della funzione inversa su un intervallo

Denota il dominio di definizione della funzione: il segmento.

1. Mostriamo che l'insieme dei valori della funzione è l'intervallo:
,
dove .

Infatti, poiché la funzione è continua sul segmento, allora, secondo il teorema di Weierstrass, raggiunge il suo minimo e massimo su di esso. Quindi, secondo il teorema di Bolzano-Cauchy, la funzione prende tutti i valori dal segmento. Cioè, per qualsiasi esiste , per cui . Poiché esiste un minimo e un massimo, la funzione assume sul segmento solo i valori dell'insieme.

2. Poiché la funzione è strettamente monotona, secondo quanto sopra, esiste una funzione inversa, che è anche strettamente monotona (aumenta se aumenta e diminuisce se diminuisce). Il dominio della funzione inversa è l'insieme e l'insieme dei valori è l'insieme.

3. Dimostriamo ora che la funzione inversa è continua.

3.1. Sia un punto interno arbitrario del segmento : . Dimostriamo che la funzione inversa è continua a questo punto.

Che corrisponda al punto. Poiché la funzione inversa è strettamente monotona, cioè il punto interno del segmento:
.
Secondo la definizione di continuità, dobbiamo dimostrare che per ogni esiste una funzione tale che
(3.1) per tutti .

Nota che possiamo prendere arbitrariamente piccolo. Infatti, se abbiamo trovato una funzione tale che le disuguaglianze (3.1) sono soddisfatte per valori sufficientemente piccoli di , allora saranno automaticamente soddisfatte per qualsiasi valore grande di , se impostiamo per .

Prendiamolo così piccolo che i punti e appartengano al segmento:
.
Introduciamo e organizziamo la notazione:



.

Trasformiamo la prima disuguaglianza (3.1):
(3.1) per tutti .
;
;
;
(3.2) .
Poiché è strettamente monotono, ne consegue
(3.3.1) , se aumenta;
(3.3.2) se diminuisce.
Poiché anche la funzione inversa è strettamente monotona, le disuguaglianze (3.3) implicano le disuguaglianze (3.2).

Per qualsiasi ε > 0 esiste δ, quindi |f -1 (y) - f -1 (y 0) |< ε per tutti |y - y 0 | < δ .

Le disuguaglianze (3.3) definiscono un intervallo aperto i cui estremi sono separati dal punto da distanze e . Sia la più piccola di queste distanze:
.
A causa della rigida monotonia di , , . Ecco perchè . Quindi l'intervallo giace nell'intervallo definito dalle disuguaglianze (3.3). E per tutti i valori che gli appartengono, le disuguaglianze (3.2) saranno soddisfatte.

Quindi, abbiamo scoperto che per sufficientemente piccolo, esiste, quindi
a .
Ora cambiamo la notazione.
Per abbastanza piccolo, esiste tale che
a .
Ciò significa che la funzione inversa è continua nei punti interni.

3.2. Consideriamo ora gli estremi del dominio di definizione. Qui tutti gli argomenti rimangono gli stessi. È necessario considerare solo i quartieri unilaterali di questi punti. Invece di un punto ci sarà o , e invece di un punto - o .

Quindi, per una funzione crescente , .
a .
La funzione inversa è continua a , perché per ogni sufficientemente piccolo c'è , così che
a .

Per una funzione decrescente, .
La funzione inversa è continua a , perché per ogni sufficientemente piccolo c'è , così che
a .
La funzione inversa è continua a , perché per ogni sufficientemente piccolo c'è , così che
a .

Il teorema è stato dimostrato.

Dimostrazione del teorema sull'esistenza e continuità della funzione inversa sull'intervallo

Let denota il dominio della funzione - un intervallo aperto. Sia l'insieme dei suoi valori. Secondo quanto sopra, esiste una funzione inversa che ha un dominio di definizione, un insieme di valori ed è strettamente monotona (aumenta se aumenta e diminuisce se diminuisce). Sta a noi dimostrarlo
1) l'insieme è un intervallo aperto e quello
2) la funzione inversa è continua su di esso.
Qui .

1. Mostriamo che l'insieme dei valori della funzione è un intervallo aperto:
.

Come ogni insieme non vuoto i cui elementi hanno un'operazione di confronto, l'insieme di valori di funzione ha limiti inferiore e superiore:
.
Qui, e possono essere numeri finiti o simboli e .

1.1. Dimostriamo che i punti e non appartengono all'insieme dei valori della funzione. Cioè, l'insieme di valori non può essere un segmento.

Se o è punto all'infinito: o , allora tale punto non è un elemento dell'insieme. Pertanto, non può appartenere a un insieme di valori.

Sia (o ) un numero finito. Assumiamo il contrario. Lascia che il punto (o ) appartenga all'insieme dei valori della funzione. Cioè, esiste tale per cui (o ). Prendi punti e soddisfa le disuguaglianze:
.
Poiché la funzione è strettamente monotona, quindi
, se f aumenta;
se f è decrescente.
Cioè, abbiamo trovato un punto in cui il valore della funzione è minore (maggiore di ). Ma questo contraddice la definizione della faccia inferiore (superiore), secondo la quale
per tutti .
Pertanto, i punti e non possono appartenere all'insieme dei valori della funzione.

1.2. Mostriamo ora che l'insieme dei valori è un intervallo e non un'unione di intervalli e punti. Cioè, per qualsiasi punto esiste , per il quale .

Secondo le definizioni dei limiti inferiore e superiore, qualsiasi intorno dei punti e contiene almeno un elemento dell'insieme . Permettere - numero arbitrario, appartenente all'intervallo : . Poi per il quartiere esiste per cui
.
Per un quartiere esiste per cui
.

Da e, allora. Quindi
(4.1.1) se aumenta;
(4.1.2) se diminuisce.
Le disuguaglianze (4.1) sono facili da provare per assurdo. Ma si può usare , secondo la quale sull'insieme esiste una funzione inversa, che aumenta rigorosamente se aumenta e rigorosamente diminuisce se diminuisce. Quindi otteniamo immediatamente le disuguaglianze (4.1).

Quindi, abbiamo un segmento in cui se aumenta;
se diminuisce.
Alle estremità del segmento, la funzione assume i valori e . Poiché, quindi, per il teorema di Bolzano-Cauchy, esiste un punto per il quale.

Poiché , abbiamo così dimostrato che per ogni esiste , per cui . Ciò significa che il set di valori della funzione è un intervallo aperto.

2. Mostriamo ora che la funzione inversa è continua in un punto arbitrario dell'intervallo : . Per fare ciò, applica al segmento. Poiché , allora la funzione inversa è continua sull'intervallo , incluso nel punto .

Il teorema è stato dimostrato.

Riferimenti:
O.I. Demoni. Lezioni sull'analisi matematica. Parte 1. Mosca, 2004.
CENTIMETRO. Nicolsky. Bene analisi matematica. Volume 1. Mosca, 1983.

Guarda anche:

Cos'è una funzione inversa? Come trovare la funzione inversa di un dato?

Definizione.

Sia definita la funzione y=f(x) sull'insieme D ed E sia l'insieme dei suoi valori. Funzione inversa rispetto a la funzione y=f(x) è una funzione x=g(y), che è definita sull'insieme E e assegna ad ogni y∈E un valore x∈D tale che f(x)=y.

Pertanto, il dominio della funzione y=f(x) è il dominio della funzione inversa e il dominio di y=f(x) è il dominio della funzione inversa.

Per trovare la funzione inversa della funzione data y=f(x), si deve :

1) Nella formula della funzione, invece di y, sostituisci x, invece di x - y:

2) Dall'uguaglianza risultante, esprimi y in termini di x:

Trova la funzione inversa della funzione y=2x-6.

Le funzioni y=2x-6 e y=0,5x+3 sono reciprocamente inverse.

I grafici delle funzioni dirette e inverse sono simmetrici rispetto alla retta y=x(bisettrici di I e III coordinate quarti).

y=2x-6 e y=0,5x+3 - . Il grafico di una funzione lineare è . Per disegnare una linea retta, prendiamo due punti.

È possibile esprimere in modo univoco y in termini di x quando l'equazione x=f(y) ha una soluzione univoca. Questo può essere fatto se la funzione y=f(x) assume ciascuno dei suoi valori in un singolo punto del suo dominio di definizione (tale funzione è chiamata reversibile).

Teorema (necessario e condizione sufficiente reversibilità della funzione)

Se la funzione y=f(x) è definita e continua su un intervallo numerico, allora perché la funzione sia invertibile è necessario e sufficiente che f(x) sia strettamente monotona.

Inoltre, se y=f(x) aumenta sull'intervallo, allora aumenta anche la funzione inversa ad esso su questo intervallo; se y=f(x) è decrescente, anche la funzione inversa è decrescente.

Se la condizione di reversibilità non è soddisfatta sull'intero dominio di definizione, si può individuare un intervallo in cui la funzione aumenta o solo decresce, e su questo intervallo si trova una funzione inversa a quella data.

L'esempio classico è . Tra $

Poiché questa funzione è decrescente e continua sull'intervallo $X$, quindi sull'intervallo $Y=$, anch'esso decrescente e continuo su questo intervallo (Teorema 1).

Calcola $x$:

\ \

Scegli l'appropriato $x$:

Risposta: funzione inversa $y=-\sqrt(x)$.

Problemi per trovare funzioni inverse

In questa parte considereremo funzioni inverse per alcuni funzioni elementari. I compiti saranno risolti secondo lo schema sopra indicato.

Esempio 2

Trova la funzione inversa per la funzione $y=x+4$

Trova $x$ dall'equazione $y=x+4$:

Esempio 3

Trova la funzione inversa per la funzione $y=x^3$

Soluzione.

Poiché la funzione è crescente e continua sull'intero dominio di definizione, allora, per il Teorema 1, ha una funzione inversa continua e crescente su di essa.

Trova $x$ dall'equazione $y=x^3$:

Trovare valori adatti di $x$

Il valore nel nostro caso è adatto (poiché l'ambito è di tutti i numeri)

Ridefinendo le variabili, otteniamo che la funzione inversa ha la forma

Esempio 4

Trova la funzione inversa per la funzione $y=cosx$ sull'intervallo $$

Soluzione.

Considera la funzione $y=cosx$ sull'insieme $X=\left$. È continuo e decrescente sull'insieme $X$ e mappa l'insieme $X=\left$ sull'insieme $Y=[-1,1]$, quindi per il teorema sull'esistenza di un continuo inverso funzione monotona la funzione $y=cosx$ nell'insieme $Y$ ha una funzione inversa, che è anche continua e aumenta nell'insieme $Y=[-1,1]$ e mappa l'insieme $[-1,1]$ a l'insieme $\sinistra$ .

Trova $x$ dall'equazione $y=cosx$:

Trovare valori adatti di $x$

Ridefinendo le variabili, otteniamo che la funzione inversa ha la forma

Esempio 5

Trova la funzione inversa per la funzione $y=tgx$ nell'intervallo $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$.

Soluzione.

Considera la funzione $y=tgx$ sull'insieme $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$. È continuo e crescente sull'insieme $X$ e mappa l'insieme $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ sull'insieme $Y =R$, quindi, per il teorema sull'esistenza di una funzione monotona continua inversa, la funzione $y=tgx$ nell'insieme $Y$ ha una funzione inversa, anch'essa continua e crescente nell'insieme $Y=R $ e mappa l'insieme $R$ sull'insieme $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$

Trova $x$ dall'equazione $y=tgx$:

Trovare valori adatti di $x$

Ridefinendo le variabili, otteniamo che la funzione inversa ha la forma

Obiettivi della lezione:

Educativo:

• costruire la conoscenza nuovo argomento in conformità con il materiale del programma;
• studiare la proprietà dell'invertibilità di una funzione e insegnare a trovare una funzione inversa a una data;

Sviluppando:

• sviluppare capacità di autocontrollo, discorso soggetto;
• padroneggia il concetto di funzione inversa e impara i metodi per trovare una funzione inversa;

Educativo: formare la competenza comunicativa.

Attrezzatura: computer, proiettore, schermo, lavagna interattiva SMART Board, volantino ( lavoro indipendente) per il lavoro di gruppo.

Durante le lezioni.

1. Momento organizzativo.

Obbiettivo – preparare gli studenti al lavoro in classe:

Definizione di assente,

Atteggiamento degli studenti al lavoro, organizzazione dell'attenzione;

Messaggio sull'argomento e lo scopo della lezione.

2. Aggiornare le conoscenze di base degli studenti. sondaggio frontale.

Obbiettivo - stabilire la correttezza e consapevolezza del materiale teorico studiato, la ripetizione del materiale trattato.<Приложение 1 >

Un grafico della funzione viene visualizzato sulla lavagna interattiva per gli studenti. L'insegnante formula il compito: considerare il grafico della funzione ed elencare le proprietà studiate della funzione. Gli studenti elencano le proprietà di una funzione secondo il progetto di ricerca. L'insegnante, a destra del grafico della funzione, annota le proprietà nominate con un pennarello sulla lavagna interattiva.

Proprietà della funzione:

Alla fine dello studio, l'insegnante riferisce che oggi durante la lezione conosceranno un'altra proprietà della funzione: la reversibilità. Per uno studio significativo del nuovo materiale, l'insegnante invita i bambini a familiarizzare con le principali domande a cui gli studenti devono rispondere alla fine della lezione. Le domande sono scritte su una normale lavagna e ogni studente ha un volantino (distribuito prima della lezione)

1. Che cos'è una funzione reversibile?
2. Ogni funzione è reversibile?
3. Qual è la funzione data inversa?
4. Come sono correlati il ​​dominio di definizione e l'insieme dei valori di una funzione e la sua funzione inversa?
5. Se la funzione è data analiticamente, come si definisce la funzione inversa con una formula?
6. Se una funzione è data graficamente, come tracciare la sua funzione inversa?

3. Spiegazione del nuovo materiale.

Obbiettivo - formare conoscenze su un nuovo argomento in conformità con il materiale del programma; studiare la proprietà dell'invertibilità di una funzione e insegnare a trovare una funzione inversa a una data; sviluppare la materia.

L'insegnante conduce una presentazione del materiale in conformità con il materiale del paragrafo. Sulla lavagna interattiva, l'insegnante confronta i grafici di due funzioni i cui domini di definizione e insiemi di valori sono gli stessi, ma una delle funzioni è monotona e l'altra no, portando così gli studenti sotto il concetto di funzione invertibile .



L'insegnante formula quindi la definizione di funzione invertibile e dimostra il teorema della funzione invertibile utilizzando il grafico della funzione monotona sulla lavagna interattiva.

Definizione 1: Viene chiamata la funzione y=f(x), x X reversibile, se prende uno qualsiasi dei suoi valori solo in un punto dell'insieme X.

Teorema: se la funzione y=f(x) è monotona sull'insieme X , allora è invertibile.

Prova:

1. Lascia che la funzione y=f(x) aumenta di X Lasciarlo andare x 1 ≠ x 2- due punti del set X.
2. Per certezza, lascia x 1< x 2.
   Poi da cosa x 1< x 2 segue quello f(x 1) < f(x 2).
3. Pertanto, diversi valori dell'argomento corrispondono a diversi valori della funzione, ad es. la funzione è reversibile.



(Durante la dimostrazione del teorema, l'insegnante fa tutte le spiegazioni necessarie sul disegno con un pennarello)

Prima di formulare la definizione di funzione inversa, il docente chiede agli studenti di determinare quale delle funzioni proposte è reversibile? La lavagna interattiva mostra i grafici delle funzioni e vengono scritte diverse funzioni definite analiticamente:

B)

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

L'insegnante introduce la definizione di funzione inversa.

Definizione 2: Sia una funzione invertibile y=f(x) definito sul set X e E(f)=Y. Abbiniamo ciascuno y da Y allora l'unico significato X, al quale f(x)=y. Quindi otteniamo una funzione definita su Y, un Xè l'intervallo della funzione

Questa funzione è indicata x=f -1 (y) ed è chiamato l'inverso della funzione y=f(x).

Gli studenti sono invitati a trarre una conclusione sulla relazione tra il dominio di definizione e l'insieme dei valori delle funzioni inverse.

Per considerare la questione di come trovare la funzione inversa di un dato, l'insegnante ha coinvolto due studenti. Il giorno prima, i bambini hanno ricevuto dall'insegnante il compito di analizzare autonomamente i metodi analitici e grafici per trovare la funzione data inversa. L'insegnante ha agito come consulente nella preparazione degli studenti per la lezione.

Messaggio del primo studente.

Nota: la monotonia di una funzione è sufficiente condizione per l'esistenza di una funzione inversa. Ma ciò non è condizione necessaria.

Lo studente ha fornito esempi di varie situazioni in cui la funzione non è monotona, ma reversibile, quando la funzione non è monotona e non reversibile, quando è monotona e reversibile



Quindi lo studente introduce gli studenti al metodo per trovare la funzione inversa data analiticamente.

Algoritmo di ricerca

1. Assicurati che la funzione sia monotona.
2. Esprimi x in termini di y.
3. Rinominare le variabili. Invece di x \u003d f -1 (y) scrivono y \u003d f -1 (x)

Quindi risolve due esempi per trovare la funzione dell'inverso del dato.

Esempio 1: Mostra che esiste una funzione inversa per la funzione y=5x-3 e trova la sua espressione analitica.

Soluzione. Funzione lineare y=5x-3 è definito su R, aumenta su R e il suo intervallo è R. Quindi, la funzione inversa esiste su R. Per trovare la sua espressione analitica, risolviamo l'equazione y=5x-3 per x; otteniamo Questa è la funzione inversa desiderata. È definito e accresciuto da R.

Esempio 2: Mostra che esiste una funzione inversa per la funzione y=x 2 , x≤0 e trova la sua espressione analitica.



La funzione è continua, monotona nel suo dominio di definizione, quindi è invertibile. Dopo aver analizzato i domini di definizione e l'insieme dei valori della funzione, si trae una conclusione corrispondente sull'espressione analitica per la funzione inversa.

Il secondo studente fa una presentazione su grafico come trovare la funzione inversa. Nel corso della sua spiegazione, lo studente utilizza le capacità della lavagna interattiva.

Per ottenere il grafico della funzione y=f -1 (x), inverso alla funzione y=f(x), è necessario trasformare il grafico della funzione y=f(x) simmetricamente rispetto alla retta y=x.

Durante la spiegazione sulla lavagna interattiva, viene eseguita la seguente attività:

Costruisci un grafico di una funzione e un grafico della sua funzione inversa nello stesso sistema di coordinate. Scrivi un'espressione analitica per la funzione inversa.

4. Fissaggio primario del nuovo materiale.

Obbiettivo - stabilire la correttezza e la consapevolezza della comprensione del materiale studiato, identificare le lacune nella comprensione primaria del materiale, correggerle.

Gli studenti sono divisi in coppie. Vengono forniti fogli con compiti in cui lavorano in coppia. Il tempo per completare il lavoro è limitato (5-7 minuti). Una coppia di studenti lavora al computer, il proiettore è spento per questo periodo e il resto dei bambini non può vedere come lavorano gli studenti al computer.

Al termine del tempo (si presume che la maggior parte degli studenti abbia completato il lavoro), la lavagna interattiva (il proiettore si riaccende) mostra il lavoro degli studenti, dove viene chiarito durante la prova che il compito è stato completato in coppie. Se necessario, l'insegnante svolge un lavoro correttivo ed esplicativo.

Lavoro autonomo in coppia<Allegato 2 >

5. Il risultato della lezione. Sulle domande che sono state poste prima della lezione. Annuncio dei voti per la lezione.

Compiti a casa §10. №№ 10.6(а,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

L'algebra e gli inizi dell'analisi. Grado 10 In 2 parti per istituzioni educative (livello di profilo) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova e altri; ed. AG Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007