Poiché le aree indicate sono rispettivamente uguali

S∆OAC=0,5∙OC∙OA peccato α= 0,5 sinα, S sez. OAC= 0,5∙OC 2 ∙α=0,5α, S ∆ OBC=0,5∙OC∙BC= 0,5 tga.

Di conseguenza,

sinα< α < tg α.

Dividiamo tutti i termini della disuguaglianza per sin α > 0: .

Ma . Pertanto, sulla base del Teorema 4 sui limiti, concludiamo che la formula derivata è chiamata primo limite notevole.

Quindi, il primo limite notevole serve a rivelare l'incertezza. Si noti che la formula risultante non deve essere confusa con i limiti Esempi.

11. Limite e relativi limiti.

SECONDO LIMITE NOTEVOLE

Il secondo limite notevole serve a rivelare l'incertezza 1 ∞ e si presenta così

Prestiamo attenzione al fatto che nella formula per il secondo limite notevole l'esponente deve contenere un'espressione contraria a quella che si somma all'unità in base (poiché in questo caso è possibile introdurre un cambiamento di variabili e ridurre il limite desiderato al secondo limite notevole)

Esempi.

1. Funzione f(x)=(X-1) 2 è infinitamente piccolo per X→1, poiché (vedi Fig.).

2. Funzione f(x)=tg Xè infinitamente piccolo a X→0.

3. f(x)= registro(1+ X) è infinitamente piccolo a X→0.

4. f(x) = 1/Xè infinitamente piccolo a X→∞.

Stabiliamo la seguente relazione importante:

Teorema. Se la funzione y=f(x) rappresentabile a x→a come somma di un numero costante B e infinitamente piccolo α(x): f(x)=b+ α(x) poi .

Viceversa, se , allora f(x)=b+α(x), dove ascia)è infinitamente piccolo a x→a.

Prova.

1. Dimostriamo la prima parte dell'asserzione. Dall'uguaglianza f(x)=b+α(x) dovrebbe |f(x) – b|=| α|. Ma da allora ascia)è infinitesimale, allora per ε arbitrario c'è δ, un intorno del punto un, per tutti X da cui, valori ascia) soddisfare la relazione |α(x)|< ε. Quindi |f(x) – b|< ε. E questo significa che.

2. Se , allora per qualsiasi ε >0 per tutti X da alcuni δ è un intorno del punto un volere |f(x) – b|< ε. Ma se indichiamo f(x) – b= α, poi |α(x)|< ε, il che significa questo un- infinitamente piccolo.

Consideriamo le principali proprietà delle funzioni infinitesime.

Teorema 1. La somma algebrica di due, tre e in generale qualsiasi numero finito di infinitesimi è una funzione infinitesima.

Prova. Diamo una dimostrazione per due termini. Lascia stare f(x)=α(x)+β(x), dove e . Dobbiamo dimostrarlo per ε arbitrariamente arbitrariamente piccolo > 0 lì δ> 0, tale che per X soddisfare la disuguaglianza |x- un|<δ , eseguita |f(x)|< ε.

Quindi, fissiamo un numero arbitrario ε > 0. Poiché, secondo l'ipotesi del teorema, α(x)è una funzione infinitesimale, allora esiste δ 1 > 0, che a |x – a|< δ 1 abbiamo |α(x)|< ε / 2. Allo stesso modo, poiché β(x)è infinitesimo, allora esiste un tale δ 2 > 0, che a |x – a|< δ 2 abbiamo | β(x)|< ε / 2.

Prendiamo δ=min(δ1 , δ2 } .Poi in un quartiere del punto un raggio δ ciascuna delle disuguaglianze sarà soddisfatta |α(x)|< ε / 2 e | β(x)|< ε / 2. Pertanto, in questo quartiere ci sarà

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

quelli. |f(x)|< ε, che doveva essere dimostrato.

Teorema 2. Il lavoro è infinito piccola funzione ascia) per funzione limitata f(x) a x→a(o quando x→∞) è una funzione infinitesima.

Prova. Poiché la funzione f(x)è limitato, quindi c'è un numero m tale che per tutti i valori X da qualche quartiere del punto a|f(x)|≤M. Inoltre, poiché ascia)è una funzione infinitesima per x→a, quindi per ε arbitrario > 0 c'è un intorno del punto un, in cui la disuguaglianza |α(x)|< ε /M. Poi nel più piccolo di questi quartieri abbiamo | af|< ε /M= ε. E questo significa questo af- infinitamente piccolo. Per l'occasione x→∞ la dimostrazione viene eseguita in modo simile.

Dal teorema dimostrato segue:

Conseguenza 1. Se e poi

Conseguenza 2. Se e c= const, allora.

Teorema 3. Rapporto di una funzione infinitesima α(x) per funzione f(x), il cui limite è diverso da zero, è una funzione infinitesima.

Prova. Lascia stare. Poi 1 /f(x) c'è una funzione limitata. Pertanto, una frazione è il prodotto di una funzione infinitamente piccola e di una funzione limitata, cioè la funzione è infinitesimale.

Esempi.

1. È chiaro che per x→+∞ funzione y=x 2 + 1 è infinito. Ma allora, secondo il teorema sopra formulato, la funzione è infinitesimale a x→+∞, cioè. .

Si può anche dimostrare il teorema inverso.

Teorema 2. Se la funzione f(x)- infinitamente piccolo a x→a(o x→∞) e non svanisce, quindi y= 1/f(x)è una funzione infinita.

Dimostra tu stesso il teorema.

Esempi.

3. , poiché le funzioni e sono infinitesime per x→+∞, allora come la somma delle funzioni infinitesime è una funzione infinitesima. Una funzione è la somma di un numero costante e di una funzione infinitamente piccola. Pertanto, per il Teorema 1, per funzioni infinitesime otteniamo l'uguaglianza desiderata.

Pertanto, le proprietà più semplici di funzioni infinitamente piccole e infinitamente grandi possono essere scritte utilizzando le seguenti relazioni condizionali: UN≠ 0

13. Funzioni infinitamente piccole dello stesso ordine, equivalenti infinitamente piccole.

Funzioni infinitamente piccole e sono dette infinitesime dello stesso ordine di piccolezza se , denotano . E, infine, se non esiste, allora funzioni infinitesime e sono incomparabili.

ESEMPIO 2. Confronto di funzioni infinitesime

Funzioni infinitesime equivalenti.

Se , allora le funzioni infinitesime e sono chiamate equivalente, denota ~ .

Funzioni localmente equivalenti:

Quando se

Alcune equivalenze(a ):

Limiti unilaterali.

Finora abbiamo considerato la definizione del limite di una funzione quando x→a arbitrariamente, cioè il limite della funzione non dipendeva da come il X in direzione un, a sinistra oa destra di un. Tuttavia, è abbastanza comune trovare funzioni che non hanno limiti in questa condizione, ma hanno un limite se x→a, rimanendo su un lato di ma, sinistra o destra (vedi fig.). Pertanto, viene introdotto il concetto di limiti unilaterali.

Se f(x) tende al limite B a X cercando un certo numero un così X prende solo valori inferiori a un, quindi scrivi e chiama blimite della funzione f(x) nel punto a a sinistra.

Quindi il numero Bè chiamato limite della funzione y=f(x) a x→a a sinistra, se c'è un numero positivo ε, c'è un numero δ (minore di un

Allo stesso modo, se x→a e assume grandi valori un, quindi scrivi e chiama B limite di funzione in un punto ma sulla destra. Quelli. numero B chiamata limite della funzione y=f(x) in x→a a destra, se esiste un numero positivo ε, esiste un tale numero δ (maggiore di ma) che la disuguaglianza vale per tutti .

Nota che se i limiti sono sinistro e destro in un punto un per funzione f(x) non corrispondono, quindi la funzione non ha limiti (a due lati) in quel punto ma.

Esempi.

1. Considera la funzione y=f(x), definito sul segmento come segue

Troviamo i limiti della funzione f(x) a x→ 3. Ovviamente, a

In altre parole, per qualsiasi numero arbitrariamente piccolo di epsilon, esiste un delta tale, dipendente da epsilon, che dal fatto che per ogni x che soddisfa la disuguaglianza ne consegue che la differenza nei valori della funzione in questi punti sarà essere arbitrariamente piccolo.

Criterio per la continuità di una funzione in un punto:

Funzione volere continuo nel punto A se e solo se è continua nel punto A sia a destra che a sinistra, cioè affinché esistano due limiti unilaterali nel punto A, sono uguali tra loro e uguali al valore del funzione al punto A.

Definizione 2: La funzione è continua su un insieme se è continuo in tutti i punti di questo insieme.

Derivata di una funzione in un punto

Sia dato dato in un intorno di . Ritenere

Se questo limite esiste, viene chiamato la derivata della funzione f nel punto .

Derivata di funzione- il limite del rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento, quando l'argomento viene incrementato.

Viene chiamata l'operazione di calcolare o trovare la derivata in un punto differenziazione .

Regole di differenziazione.

derivato funzioni f(x) al punto x=x 0è il rapporto tra l'incremento della funzione a questo punto e l'incremento dell'argomento, poiché quest'ultimo tende a zero. Trovare la derivata viene chiamato differenziazione. La derivata di una funzione si calcola secondo la regola generale di differenziazione: indichiamo f(x) = u, g(x) = v- funzioni differenziabili in un punto X. Regole di base della differenziazione 1) (la derivata della somma è uguale alla somma delle derivate) 2) (quindi, in particolare, ne consegue che la derivata del prodotto di una funzione e di una costante è uguale al prodotto della derivata di tale funzione da una costante) 3) Derivata di un quoziente: se g  0 4) Derivata di una funzione complessa: 5) Se la funzione è impostata parametricamente: , allora

Esempi.

1. y = X un - funzione di potenza con un indice arbitrario.

Funzione implicita

Se la funzione è data dall'equazione y=ƒ(x) risolta rispetto a y, allora la funzione è data esplicitamente (funzione esplicita).

Sotto assegnazione implicita le funzioni comprendono l'assegnazione di una funzione sotto forma di un'equazione F(x;y)=0, non consentita rispetto a y.

Qualsiasi ovviamente data funzione y=ƒ(x) può essere scritto implicitamente come dato dall'equazioneƒ(x)-y=0, ma non viceversa.

Non è sempre facile, e talvolta impossibile, risolvere un'equazione per y (ad esempio, y+2x+cozy-1=0 o 2y-x+y=0).

Se la funzione implicita è data dall'equazione F(x; y)=0, allora per trovare la derivata di y rispetto a x non è necessario risolvere l'equazione rispetto a y: basta differenziare questa equazione rispetto a x, considerando y in funzione di x, e quindi risolvere l'equazione risultante rispetto a y".

La derivata di una funzione implicita è espressa nei termini dell'argomento x e della funzione y.

Esempio:

Trova la derivata della funzione y data dall'equazione x 3 +y 3 -3xy=0.

Soluzione: la funzione y è definita in modo implicito. Differenzia rispetto a x l'uguaglianza x 3 +y 3 -3xy=0. Dal rapporto risultante

3x 2 + 3y 2 y "-3 (1 y + x y") \u003d 0

ne consegue che y 2 y "-xy" \u003d y-x 2, ovvero y "= (y-x 2) / (y 2 -x).

Derivati ​​di ordini superiori

È chiaro che la derivata

funzioni y=f(x) c'è anche una funzione da X:

y"=f" (x)

Se la funzione f"(x)è differenziabile, quindi la sua derivata è indicata dal simbolo y""=f""(x) x due volte.
La derivata della seconda derivata, cioè funzioni y""=f""(x), è chiamato derivata terza della funzione y=f(x) o derivata della funzione f(x) del terzo ordine ed è simbolizzato

Affatto n-i derivato o derivato n- funzione di ordine y=f(x) indicato da simboli

F-la Leibniz:

Assumiamo che le funzioni e siano differenziabili insieme alle loro derivate fino all'n-esimo ordine compreso. Applicando la regola di differenziazione del prodotto di due funzioni, otteniamo

Confrontiamo queste espressioni con le potenze del binomio:

Colpisce la regola di corrispondenza: per ottenere una formula per la derivata del 1°, 2° o 3° ordine dal prodotto di funzioni e , è necessario sostituire i gradi e nell'espressione per (dove n= 1,2,3) derivati ​​degli ordini corrispondenti. Inoltre, le potenze zero di e dovrebbero essere sostituite da derivate di ordine zero, intendendo con esse le funzioni e :

Generalizzando questa regola al caso di una derivata di un ordine arbitrario n, noi abbiamo Formula di Leibniz,

dove sono i coefficienti binomiali:

Il teorema di Rolle.

Questo teorema permette di trovare i punti critici, e quindi, utilizzando condizioni sufficienti esplora f-yu per gli estremi.

Sia 1) la f-esima f(x) definita e continua su un intervallo chiuso ; 2) esiste una derivata finita, almeno nell'intervallo aperto (a;b); 3) alle estremità intervallo f-i assume valori uguali f(a) = f(b). Allora tra i punti aeb c'è un punto c tale che la derivata a questo punto sarà = 0.

Secondo il teorema sulla proprietà delle f-esima continua su un segmento, la f-esima f(x) assume su questo segmento i suoi valori max e min.

f (x 1) \u003d M - max, f (x 2) \u003d m - min; x 1 ; x 2 О

1) Sia M = m, cioè m £ f(x) £ M

Þ f-esimo f(x) assumerà l'intervallo da a a b valori costanti e Þ la sua derivata sarà uguale a zero. f'(x)=0

2) Sia M>m

Perché per le condizioni del teorema, f(a) = f(b) z è il suo minimo o massimo f-esimo valore prenderà non alle estremità del segmento, ma Þ prenderà M o m in un punto interno di questo segmento. Allora per il teorema di Fermat f'(c)=0.

Il teorema di Lagrange.

Formula di incremento finito o Teorema del valore medio di Lagrange afferma che se la funzione F continuo sul segmento [ un;B] e differenziabili nell'intervallo ( un;B), allora c'è un punto del genere

Il teorema di Cauchy.

Se le funzioni f(x) e g(x) sono continue sull'intervallo e differenziabili sull'intervallo (a, b) e g¢(x) ¹ 0 sull'intervallo (a, b), allora ne esiste almeno una punto e, a< e < b, такая, что

Quelli. il rapporto tra gli incrementi delle funzioni attivate questo segmentoè uguale al rapporto delle derivate al punto e. Esempi di lezioni di problem solving Calcolo del volume corporeo tramite piazze famose la sua sezioni parallele Calcolo integrale

Esempi di esecuzione tesina ingegnere elettrico

Per dimostrare questo teorema, a prima vista, è molto conveniente utilizzare il teorema di Lagrange. Annotare la formula alle differenze finite per ciascuna funzione, quindi dividerle l'una per l'altra. Tuttavia, questa visione è errata, perché il punto e per ciascuna delle funzioni è generalmente diverso. Naturalmente, in alcuni casi speciali questo punto di intervallo può essere lo stesso per entrambe le funzioni, ma questa è una coincidenza molto rara, non una regola, e quindi non può essere utilizzata per dimostrare il teorema.

Prova. Considera la funzione di supporto

Quando x→x 0, anche il valore di c tende a x 0; passiamo nell'uguaglianza precedente al limite:

Perché , poi .

Ecco perché

(il limite del rapporto di due infinitesimi è uguale al limite del rapporto delle loro derivate, se quest'ultima esiste)

Regola di L'Hopital, a ∞ / ∞.

Chiameremo la funzione y=f(x) BOUNDED UP (BOTTOM) sull'insieme A dal dominio D(f), se esiste un tale numero m , che per ogni x da questo imposta la condizione

Usando simboli logici, la definizione può essere scritta come:

f(x) – delimitata dall'alto sul set

(f(x) – delimitata dal basso sul set

Vengono anche prese in considerazione le funzioni limitate in valore assoluto o semplicemente limitate.

Chiameremo una funzione BOUNDED sull'insieme A dal dominio di definizione se esiste un numero positivo M tale che

Nel linguaggio dei simboli logici

f(x) – limitato sul set

Una funzione che non è limitata è chiamata illimitata. Sappiamo che le definizioni date attraverso la negazione hanno poco contenuto. Per formulare questa affermazione come definizione, utilizziamo le proprietà delle operazioni di quantificazione (3.6) e (3.7). Quindi la negazione della limitatezza della funzione nel linguaggio dei simboli logici darà:

f(x) – limitato sul set

Il risultato ottenuto permette di formulare la seguente definizione.

Una funzione si chiama UNLIMITED sull'insieme A, che appartiene al dominio della funzione, se su questo insieme per un qualsiasi numero positivo M esiste un tale valore dell'argomento x , che il valore supererà ancora il valore di M, cioè .

Ad esempio, considera la funzione

È definito sull'intero asse reale. Se prendiamo il segmento [–2;1] (imposta A), allora su di esso sarà delimitato sia dall'alto che dal basso.

Infatti, per mostrare che è delimitato dall'alto, dobbiamo considerare il predicato

e mostra che c'è (esiste) M tale che per ogni x presa sul segmento [–2;1], sarà vero

Non è difficile trovare una tale M. Possiamo assumere M = 7, il quantificatore di esistenza implica trovare almeno un valore di M. La presenza di tale M conferma il fatto che la funzione sul segmento [–2;1] è limitata dall'alto.

Per provare la sua limitatezza dal basso, dobbiamo considerare il predicato

Il valore di M, che assicura la verità di questo predicato, è, ad esempio, M = -100.

Si può dimostrare che anche la funzione sarà limitata modulo: per ogni x del segmento [–2;1], i valori della funzione coincidono con i valori di , quindi, come M, possiamo assumere , ad esempio, il valore precedente di M = 7.

Mostriamo che la stessa funzione, ma sull'intervallo , sarà illimitata, cioè

Per dimostrare che tale x esiste, si consideri l'affermazione

Cercando i valori richiesti di x tra i valori positivi dell'argomento, otteniamo

Ciò significa che, indipendentemente da ciò che M prendiamo positivo, i valori di x garantiscono il soddisfacimento della disuguaglianza

si ottengono dal rapporto

Considerando una funzione sull'intero asse reale, si può mostrare che è illimitata in valore assoluto.

Infatti, dalla disuguaglianza

Cioè, non importa quanto grande sia la M positiva, o garantirà il soddisfacimento della disuguaglianza.

FUNZIONE ESTREMA.

La funzione ha al punto da massimo locale (minimo) se esiste un tale vicinato di questo punto che per X¹ da questo quartiere soddisfa la disuguaglianza

soprattutto che il punto estremo può essere solo un punto interno dello spazio vuoto, e in esso deve essere definito f(x). Possibili casi di assenza di un estremo sono mostrati nelle Figg. 8.8.

Se una funzione aumenta (diminuisce) su un certo intervallo e diminuisce (aumenta) su un certo intervallo, allora il punto da è un punto massimo locale(minimo).

L'assenza di un massimo della funzione f(x) in un punto da può essere formulato così:

_______________________

f(x) ha un massimo in c

Ciò significa che se il punto c non è un punto di massimo locale, allora non importa quale sia l'intorno che include il punto c come interno, c'è almeno un valore di x diverso da c, per cui . Quindi, se non c'è un massimo nel punto c, allora potrebbe non esserci affatto un estremo a questo punto, o potrebbe essere un punto di minimo (Fig. 8.9).

Il concetto di extremum fornisce una valutazione comparativa del valore di una funzione in qualsiasi momento rispetto a quelle vicine. Un confronto simile dei valori delle funzioni può essere effettuato per tutti i punti di un certo intervallo.

Il valore PIÙ GRANDE (MINIMO) di una funzione su un insieme è il suo valore in un punto di questo insieme tale che – per . Il valore massimo della funzione viene raggiunto nel punto interno del segmento e il valore più piccolo – alla sua estremità sinistra.

Per determinare il valore più grande (minimo) di una funzione data su un segmento, è necessario scegliere il numero più grande (minimo) tra tutti i valori dei suoi massimi (minimi), nonché i valori presi a le estremità dell'intervallo. Sarà il valore più grande (più piccolo) della funzione. Questa regola verrà specificata in seguito.

Il problema di trovare il più grande e i valori più piccoli le funzioni su un intervallo aperto non sono sempre facilmente risolvibili. Ad esempio, la funzione

nell'intervallo (Fig. 8.11) non li ha.

Assicuriamoci, ad esempio, che questa funzione non abbia il massimo valore. Infatti, data la monotonia della funzione, si può sostenere che per quanto vicini poniamo i valori di x a sinistra dell'unità, ci saranno altre x in cui i valori della funzione saranno maggiori di i suoi valori nei punti fissi dati, ma comunque inferiori all'unità.

Teorema sul limite di una funzione monotona. La dimostrazione del teorema è data usando due metodi. Vengono inoltre fornite le definizioni di funzioni strettamente crescenti, non decrescenti, rigorosamente decrescenti e non crescenti. Definizione di funzione monotona.

La funzione non è limitata dall'alto

1.1. Sia finito il numero b: .
1.1.2. Lascia che la funzione sia illimitata dall'alto.

.

a .

Indichiamo . Quindi per qualsiasi esiste, quindi
a .
Ciò significa che il limite a sinistra nel punto b è (vedi "Definizioni dei limiti infiniti unilaterali di una funzione nel punto finale").

b presto più infinito

Funzione limitata dall'alto

1. Lasciare che la funzione non diminuisca sull'intervallo.
1.2.1. Sia delimitata dall'alto la funzione dal numero M : for .
Proviamo che in questo caso c'è un limite.

Poiché la funzione è limitata dall'alto, esiste un limite superiore finito
.
Secondo la definizione del limite minimo superiore, sono soddisfatte le seguenti condizioni:
;
per ogni positivo c'è un argomento per il quale
.

Poiché la funzione non diminuisce, allora per . Poi a. o
a .

Quindi abbiamo scoperto che per ogni esiste un numero , quindi quello
a .
"Definizioni di limiti unilaterali all'infinito").

La funzione non è limitata dall'alto

1. Lasciare che la funzione non diminuisca sull'intervallo.
1.2. Sia il numero b più infinito: .
1.2.2. Lascia che la funzione sia illimitata dall'alto.
Proviamo che in questo caso c'è un limite.

Poiché la funzione non è delimitata dall'alto, per qualsiasi numero M esiste un argomento , per il quale
.

Poiché la funzione non diminuisce, allora per . Poi a.

Quindi, per ogni c'è un numero , quindi quello
a .
Ciò significa che il limite a è (vedere "Definizioni dei limiti infiniti unilaterali all'infinito").

La funzione non aumenta

Consideriamo ora il caso in cui la funzione non aumenta. Puoi, come sopra, considerare ciascuna opzione separatamente. Ma li copriremo subito. Per questo usiamo . Proviamo che in questo caso c'è un limite.

Considera il limite inferiore finito dell'insieme dei valori delle funzioni:
.
Qui B può essere un numero finito o un punto all'infinito. Secondo la definizione del minimo esatto, sono soddisfatte le seguenti condizioni:
;
per ogni intorno del punto B c'è un argomento per il quale
.
Per la condizione del teorema, . Ecco perché .

Poiché la funzione non aumenta, allora per . Da allora
a .
o
a .
Inoltre, notiamo che la disuguaglianza definisce l'intorno perforato sinistro del punto b .

Quindi, abbiamo trovato che per ogni intorno del punto, c'è un tale intorno sinistro perforato del punto b che
a .
Ciò significa che il limite a sinistra al punto b è:

(vedi la definizione universale del limite di una funzione secondo Cauchy).

Limite al punto a

Ora mostriamo che c'è un limite nel punto a e troviamo il suo valore.

Consideriamo una funzione. Per la condizione del teorema, la funzione è monotona per . Sostituiamo la variabile x con -x (oppure eseguiamo la sostituzione e poi sostituiamo la variabile t con x ). Quindi la funzione è monotona per . Moltiplicando le disuguaglianze per -1 e cambiando il loro ordine, concludiamo che la funzione è monotona per .

Allo stesso modo, è facile dimostrare che se non diminuisce, non aumenta. Poi, secondo quanto sopra dimostrato, c'è un limite
.
Se non aumenta, non diminuisce. In questo caso c'è un limite
.

Ora resta da mostrare che se c'è un limite della funzione in , allora c'è un limite della funzione in , e questi limiti sono uguali:
.

Introduciamo la notazione:
(1) .
Esprimiamo f in termini di g :
.
Prendi un numero positivo arbitrario. Sia un intorno epsilon del punto A . Il quartiere di Epsilon è definito sia per valori finiti che infiniti di A (vedi "Quarto di un punto"). Poiché esiste un limite (1), quindi, secondo la definizione di limite, per ogni esiste tale che
a .

Sia a un numero finito. Esprimiamo l'intorno perforato a sinistra del punto -a usando le disuguaglianze:
a .
Sostituiamo x con -x e teniamo conto che:
a .
Le ultime due disuguaglianze definiscono un intorno destro perforato del punto a . Quindi
a .

Sia a un numero infinito, . Ripetiamo la discussione.
a ;
a ;
a ;
a .

Quindi, abbiamo scoperto che per qualsiasi esiste tale
a .
Significa che
.

Il teorema è stato dimostrato.

Lezione e presentazione sull'argomento: "Proprietà di una funzione. Incremento e decremento di funzione"

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Ragazzi, continuiamo a studiare funzioni numeriche. Oggi ci concentreremo su un argomento come le proprietà delle funzioni. Le funzioni hanno molte proprietà. Ricorda quali proprietà abbiamo studiato di recente. Esatto, ambito e ambito, sono una delle proprietà chiave. Non dimenticarli mai e ricorda che una funzione ha sempre queste proprietà.

In questa sezione definiremo alcune proprietà delle funzioni. Consiglio di seguire l'ordine in cui li determineremo quando si risolvono i problemi.

Funzione crescente e decrescente

La prima proprietà che definiremo è l'aumento e la diminuzione della funzione.

I concetti di "aumento" e "diminuzione" di una funzione sono molto facili da capire se si osservano da vicino i grafici della funzione. Per una funzione crescente: saliamo in un certo senso in salita, per una funzione decrescente, rispettivamente, scendiamo. Forma generale Le funzioni crescente e decrescente sono presentate nei grafici seguenti.

L'aumento e la diminuzione di una funzione è generalmente chiamato monotonia. Cioè, il nostro compito è trovare gli intervalli di funzioni decrescenti e crescenti. Nel caso generale, questo è formulato come segue: trova intervalli di monotonia o esamina una funzione per la monotonia.

Indagare la monotonia della funzione $y=3x+2$.
Soluzione: controlla la funzione per qualsiasi x1 e x2 e lascia x1< x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
Perché, x1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.

Limitazione delle funzioni

Una funzione $y=f(x)$ si dice limitata dal basso su un insieme X⊂D(f) se esiste un numero a tale che per ogni xϵX la disuguaglianza f(x)< a.

Una funzione $y=f(x)$ si dice limitata dall'alto su un insieme X⊂D(f) se esiste un numero a tale che per ogni xϵX la disuguaglianza f(x)< a.

Se l'intervallo X non è indicato, si considera che la funzione è limitata all'intero dominio di definizione. Una funzione limitata sia sopra che sotto è chiamata limitata.

La limitazione della funzione è facilmente leggibile dal grafico. È possibile tracciare una linea retta
$y=a$, e se la funzione è maggiore di questa riga, allora è delimitata dal basso. Se sotto, allora rispettivamente sopra. Di seguito è riportato un grafico di una funzione di limite inferiore. Grafico di una funzione limitata, ragazzi, provate a disegnarlo da soli.

Esaminare il limite della funzione $y=\sqrt(16-x^2)$.
Soluzione: la radice quadrata di un numero è maggiore o uguale a zero. Ovviamente anche la nostra funzione è maggiore o uguale a zero, cioè è delimitata dal basso.
Possiamo solo estrarre la radice quadrata da numero non negativo, quindi $16-x^2≥0$.
La soluzione alla nostra disuguaglianza sarà l'intervallo [-4;4]. Su questo segmento $16-x^2≤16$ o $\sqrt(16-x^2)≤4$, ma questo significa limite dall'alto.
Risposta: la nostra funzione è limitata da due righe $y=0$ e $y=4$.

Valore massimo e valore minimo

Il valore più piccolo della funzione y= f(x) sull'insieme Х⊂D(f) è un numero m, tale che:

b) Per ogni xϵX vale $f(x)≥f(x0)$.

Il massimo valore della funzione y=f(x) sull'insieme Х⊂D(f) è un numero m, tale che:
a) C'è qualche x0 tale che $f(x0)=m$.
b) Per ogni xϵX, $f(x)≤f(x0)$ è soddisfatto.

Il valore più grande e più piccolo è generalmente indicato con y max. e y nome. .

I concetti di limite e il più grande con il valore più piccolo di una funzione sono strettamente correlati. Sono vere le seguenti affermazioni:
a) Se esiste un valore più piccolo per una funzione, allora è limitato dal basso.
b) Se esiste valore più alto funzione, quindi è delimitata dall'alto.
c) Se la funzione non è delimitata dall'alto, non esiste un valore massimo.
d) Se la funzione non è delimitata al di sotto, il valore più piccolo non esiste.

Trova il valore più grande e più piccolo della funzione $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$.
Soluzione: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
Per $x=4$ $f(4)=5$, per tutti gli altri valori, la funzione assume valori più piccoli o non esiste, cioè questo è il valore più grande della funzione.
Per definizione: $9-4x^2+16x≥0$. Troviamo le radici trinomio quadrato$(2x+1)(2x-9)≥0$. A $x=-0.5$ e $x=4.5$ la funzione svanisce, in tutti gli altri punti è maggiore di zero. Quindi, per definizione, il valore più piccolo della funzione è zero.
Risposta: y max. =5 e y min. =0.

Ragazzi, abbiamo anche studiato i concetti di convessità di una funzione. Quando si risolvono alcuni problemi, potremmo aver bisogno di questa proprietà. Questa proprietà è anche facilmente determinabile utilizzando i grafici.

La funzione è convessa verso il basso se sono collegati due punti qualsiasi del grafico della funzione originale e il grafico della funzione è al di sotto della linea che collega i punti.

La funzione è convessa verso l'alto se sono collegati due punti qualsiasi del grafico della funzione originale e il grafico della funzione è sopra la linea che collega i punti.

Una funzione è continua se il grafico della nostra funzione non ha discontinuità, come il grafico della funzione sopra.

Se vuoi trovare le proprietà di una funzione, la sequenza di ricerca delle proprietà è la seguente:
a) Dominio di definizione.
b) Monotonia.
c) limitazione.
d) Il valore più grande e più piccolo.
e) Continuità.
f) Intervallo di valori.

Trova le proprietà della funzione $y=-2x+5$.
Soluzione.
a) Dominio di definizione D(y)=(-∞;+∞).
b) Monotonia. Controlliamo eventuali valori x1 e x2 e lasciamo x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Perché x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) limitazione. Ovviamente, la funzione non è limitata.
d) Il valore più grande e più piccolo. Poiché la funzione non è limitata, non esiste un valore massimo o minimo.
e) Continuità. Il grafico della nostra funzione non ha spazi vuoti, quindi la funzione è continua.
f) Intervallo di valori. E(y)=(-∞;+∞).

Compiti sulle proprietà di una funzione per soluzione indipendente