È assolutamente impossibile risolvere problemi fisici o esempi in matematica senza la conoscenza della derivata e dei metodi per calcolarla. Il derivato è uno dei concetti più importanti analisi matematica. Abbiamo deciso di dedicare l'articolo di oggi a questo argomento fondamentale. Cos'è un derivato, qual è il suo fisico e significato geometrico come calcolare la derivata di una funzione? Tutte queste domande possono essere combinate in una: come capire la derivata?

Significato geometrico e fisico della derivata

Lascia che ci sia una funzione f(x) , dato in un certo intervallo (a,b) . I punti x e x0 appartengono a questo intervallo. Quando x cambia, la funzione stessa cambia. Cambio di argomento - differenza dei suoi valori x-x0 . Questa differenza è scritta come delta x ed è chiamato incremento argomento. La modifica o l'incremento di una funzione è la differenza tra i valori della funzione in due punti. Definizione derivata:

La derivata di una funzione in un punto è il limite del rapporto tra l'incremento della funzione in un dato punto e l'incremento dell'argomento quando quest'ultimo tende a zero.

Altrimenti si può scrivere così:

Che senso ha trovare un tale limite? Ma quale:

la derivata di una funzione in un punto è uguale alla tangente dell'angolo tra l'asse OX e la tangente al grafico della funzione in un dato punto.

significato fisico derivato: la derivata temporale del percorso è uguale alla velocità del moto rettilineo.

Infatti, fin dai tempi della scuola, tutti sanno che la velocità è un percorso privato. x=f(t) E tempo t . velocità media per un certo periodo di tempo:

Per conoscere la velocità di movimento alla volta t0 devi calcolare il limite:

Regola uno: eliminare la costante

La costante può essere estratta dal segno della derivata. Inoltre, deve essere fatto. Quando risolvi esempi in matematica, prendi come regola: se puoi semplificare l'espressione, assicurati di semplificare .

Esempio. Calcoliamo la derivata:

Regola due: derivata della somma delle funzioni

La derivata della somma di due funzioni è uguale alla somma delle derivate di queste funzioni. Lo stesso vale per la derivata della differenza di funzioni.

Non daremo una dimostrazione di questo teorema, ma considereremo un esempio pratico.

Trova la derivata di una funzione:

Regola tre: la derivata del prodotto di funzioni

La derivata del prodotto di due funzioni differenziabili si calcola con la formula:

Esempio: trova la derivata di una funzione:

Decisione:

Qui è importante parlare del calcolo delle derivate di funzioni complesse. Derivato funzione complessaè uguale al prodotto della derivata di questa funzione rispetto all'argomento intermedio per la derivata dell'argomento intermedio rispetto alla variabile indipendente.

Nell'esempio sopra, incontriamo l'espressione:

In questo caso, l'argomento intermedio è 8x alla quinta potenza. Per calcolare la derivata di tale espressione, consideriamo prima la derivata della funzione esterna rispetto all'argomento intermedio, quindi moltiplichiamo per la derivata dell'argomento intermedio stesso rispetto alla variabile indipendente.

Regola quattro: La derivata del quoziente di due funzioni

Formula per determinare la derivata di un quoziente di due funzioni:

Abbiamo provato a parlare da zero di derivati ​​per manichini. Questo argomento non è così semplice come sembra, quindi attenzione: ci sono spesso delle insidie ​​negli esempi, quindi fai attenzione quando calcoli le derivate.

Per qualsiasi domanda su questo e altri argomenti, puoi contattare il servizio studenti. In breve tempo, ti aiuteremo a risolvere i controlli più difficili e ad affrontare i compiti, anche se non ti sei mai occupato del calcolo delle derivate prima.

L'operazione per trovare una derivata è chiamata differenziazione.

Come risultato della risoluzione dei problemi di trovare derivate delle funzioni più semplici (e non molto semplici) definendo la derivata come il limite del rapporto tra l'incremento e l'incremento dell'argomento, è apparsa una tabella di derivate e regole di differenziazione definite con precisione . Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) furono i primi a lavorare nel campo della ricerca di derivati.

Pertanto, ai nostri tempi, per trovare la derivata di una qualsiasi funzione, non è necessario calcolare il suddetto limite del rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento, ma basta usare la tabella delle derivate e le regole di differenziazione. Il seguente algoritmo è adatto per trovare la derivata.

Per trovare la derivata, hai bisogno di un'espressione sotto il segno del tratto scomporre semplici funzioni e determinare quali azioni (prodotto, somma, quoziente) queste funzioni sono correlate. Ulteriori derivati funzioni elementari troviamo nella tabella delle derivate e le formule per le derivate del prodotto, somma e quoziente - nelle regole di differenziazione. La tabella delle derivate e le regole di differenziazione sono riportate dopo i primi due esempi.

Esempio 1 Trova la derivata di una funzione

Decisione. Dalle regole di differenziazione scopriamo che la derivata della somma delle funzioni è la somma delle derivate delle funzioni, cioè

Dalla tabella delle derivate, scopriamo che la derivata di "X" è uguale a uno e la derivata del seno è coseno. Sostituiamo questi valori nella somma delle derivate e troviamo la derivata richiesta dalla condizione del problema:

Esempio 2 Trova la derivata di una funzione

Decisione. Differenziare come derivata della somma, in cui il secondo termine con fattore costante, può essere dedotto dal segno della derivata:

Se ci sono ancora domande su da dove viene qualcosa, di norma diventano chiare dopo aver letto la tabella dei derivati ​​e le regole di differenziazione più semplici. Stiamo andando da loro proprio ora.

Tabella delle derivate di funzioni semplici

1. Derivata di una costante (numero). Qualsiasi numero (1, 2, 5, 200...) che si trova nell'espressione della funzione. Sempre zero. Questo è molto importante da ricordare, poiché è richiesto molto spesso
2. Derivata della variabile indipendente. Molto spesso "x". Sempre uguale a uno. Anche questo è importante da ricordare
3. Derivato di laurea. Quando si risolvono i problemi, è necessario convertire le radici non quadrate in una potenza.
4. Derivata di una variabile alla potenza di -1
5. Derivato radice quadrata
6. Derivata seno
7. Derivata del coseno
8. Derivata tangente
9. Derivato di cotangente
10. Derivata dell'arcoseno
11. Derivata dell'arcocoseno
12. Derivata dell'arcotangente
13. Derivata della tangente inversa
14. Derivata del logaritmo naturale
15. Derivata di una funzione logaritmica
16. Derivata dell'esponente
17. Derivata di funzione esponenziale

Regole di differenziazione

1. Derivata della somma o della differenza
2. Derivato di un prodotto
2a. Derivata di un'espressione moltiplicata per un fattore costante
3. Derivata del quoziente
4. Derivata di una funzione complessa

Regola 1Se funziona

ad un certo punto sono differenziabili, quindi nello stesso punto le funzioni

e

quelli. la derivata della somma algebrica delle funzioni è uguale alla somma algebrica delle derivate di queste funzioni.

Conseguenza. Se due funzioni differenziabili differiscono per una costante, allora lo sono le loro derivate, cioè.

Regola 2Se funziona

sono differenziabili ad un certo punto, quindi anche il loro prodotto è differenziabile nello stesso punto

e

quelli. la derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla somma dei prodotti di ciascuna di queste funzioni e della derivata dell'altra.

Conseguenza 1. Il fattore costante può essere estratto dal segno della derivata:

Conseguenza 2. La derivata del prodotto di più funzioni differenziabili è uguale alla somma dei prodotti della derivata di ciascuno dei fattori e di tutti gli altri.

Ad esempio, per tre moltiplicatori:

Regola 3Se funziona

differenziabile a un certo punto e , allora a questo punto anche il loro quoziente è differenziabile.u/v , e

quelli. la derivata di un quoziente di due funzioni è uguale a una frazione il cui numeratore è la differenza tra i prodotti del denominatore e la derivata del numeratore e il numeratore e la derivata del denominatore, e il denominatore è il quadrato del numeratore precedente .

Dove cercare in altre pagine

Quando si trova la derivata del prodotto e il quoziente in problemi reali, è sempre necessario applicare più regole di differenziazione contemporaneamente, quindi nell'articolo ci sono più esempi su queste derivate."La derivata di un prodotto e un quoziente".

Commento. Non dovresti confondere una costante (cioè un numero) come un termine nella somma e come un fattore costante! Nel caso di un termine, la sua derivata è uguale a zero, e nel caso di un fattore costante, è tolta dal segno delle derivate. Questo è errore tipico, che si verifica nella fase iniziale dello studio delle derivate, ma poiché la soluzione di diversi esempi a due componenti è già stata effettuata, lo studente medio non commette più questo errore.

E se, nel differenziare un prodotto o un quoziente, hai un termine tu"v, in cui tu- un numero, ad esempio 2 o 5, cioè una costante, quindi la derivata di questo numero sarà uguale a zero e, quindi, l'intero termine sarà uguale a zero (un caso del genere è analizzato nell'esempio 10) .

Un altro errore comune è la soluzione meccanica della derivata di una funzione complessa come derivata di una funzione semplice. Così derivata di una funzione complessa dedicato ad un articolo a parte. Ma prima impareremo a trovare le derivate di funzioni semplici.

Lungo la strada, non puoi fare a meno di trasformazioni di espressioni. Per fare ciò, potrebbe essere necessario aprire nuovi manuali di Windows Azioni con poteri e radici e Azioni con frazioni .

Se stai cercando soluzioni per derivate con poteri e radici, cioè quando appare la funzione , quindi segui la lezione "Derivata della somma delle frazioni con poteri e radici".

Se hai un compito come , allora sei nella lezione "Derivati ​​di semplici funzioni trigonometriche".

Esempi passo passo: come trovare la derivata

Esempio 3 Trova la derivata di una funzione

Decisione. Determiniamo le parti dell'espressione della funzione: l'intera espressione rappresenta il prodotto e i suoi fattori sono somme, nella seconda delle quali uno dei termini contiene un fattore costante. Applichiamo la regola di differenziazione del prodotto: la derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla somma dei prodotti di ciascuna di queste funzioni e la derivata dell'altra:

Successivamente, applichiamo la regola di differenziazione della somma: la derivata della somma algebrica delle funzioni è uguale alla somma algebrica delle derivate di queste funzioni. Nel nostro caso, in ogni somma, il secondo termine con il segno meno. In ogni somma vediamo sia una variabile indipendente, la cui derivata è uguale a uno, sia una costante (numero), la cui derivata è uguale a zero. Quindi, "x" diventa uno e meno 5 - zero. Nella seconda espressione, "x" è moltiplicato per 2, quindi moltiplichiamo due per la stessa unità della derivata di "x". Otteniamo i seguenti valori di derivate:

Sostituiamo le derivate trovate nella somma dei prodotti e otteniamo la derivata dell'intera funzione richiesta dalla condizione del problema:

E puoi verificare la soluzione del problema sulla derivata su .

Esempio 4 Trova la derivata di una funzione

Decisione. Dobbiamo trovare la derivata del quoziente. Applichiamo la formula per differenziare un quoziente: la derivata di un quoziente di due funzioni è uguale a una frazione il cui numeratore è la differenza tra i prodotti del denominatore e la derivata del numeratore e il numeratore e la derivata del denominatore, e il denominatore è il quadrato del precedente numeratore. Noi abbiamo:

Abbiamo già trovato la derivata dei fattori nel numeratore nell'Esempio 2. Non dimentichiamo inoltre che il prodotto, che è il secondo fattore nel numeratore, è preso con un segno meno nell'esempio corrente:

Se stai cercando soluzioni a tali problemi in cui devi trovare la derivata di una funzione, dove c'è un mucchio continuo di radici e gradi, come, ad esempio, allora benvenuto in classe "La derivata della somma delle frazioni con potenze e radici" .

Se hai bisogno di saperne di più sulle derivate di seni, coseni, tangenti e altri funzioni trigonometriche, ovvero quando appare la funzione , allora hai una lezione "Derivati ​​di semplici funzioni trigonometriche" .

Esempio 5 Trova la derivata di una funzione

Decisione. In questa funzione vediamo un prodotto, uno dei cui fattori è la radice quadrata della variabile indipendente, con la derivata di cui abbiamo familiarizzato nella tabella delle derivate. In base alla regola di differenziazione del prodotto e al valore tabulare della derivata della radice quadrata, otteniamo:

Puoi controllare la soluzione del problema della derivata su calcolatrice derivati ​​online .

Esempio 6 Trova la derivata di una funzione

Decisione. In questa funzione vediamo il quoziente, il cui dividendo è la radice quadrata della variabile indipendente. Secondo la regola di differenziazione del quoziente, che abbiamo ripetuto e applicato nell'esempio 4, e il valore tabulare della derivata della radice quadrata, otteniamo:

Per eliminare la frazione nel numeratore, moltiplica il numeratore e il denominatore per .

Nel derivare la primissima formula della tabella, si procederà dalla definizione della derivata di una funzione in un punto. Portiamo dove X- qualunque numero reale, cioè, X– qualsiasi numero dall'area di definizione della funzione. Scriviamo il limite del rapporto tra la funzione incremento e l'argomento incremento in:

Si noti che sotto il segno del limite si ottiene un'espressione, che non è l'incertezza di zero divisa per zero, poiché il numeratore non contiene un valore infinitesimo, ma appunto zero. In altre parole, l'incremento di una funzione costante è sempre zero.

Così, derivata di una funzione costanteè uguale a zero sull'intero dominio di definizione.

Derivata di una funzione di potenza.

La formula per la derivata di una funzione di potenza ha la forma , dove l'esponente pè un numero reale.

Proviamo prima la formula dell'esponente naturale, cioè per p = 1, 2, 3, ...

Useremo la definizione di derivata. Scriviamo il limite del rapporto tra l'incremento della funzione potenza e l'incremento dell'argomento:

Per semplificare l'espressione al numeratore, passiamo alla formula binomiale di Newton:

Quindi,

Ciò dimostra la formula per la derivata di una funzione di potenza per un esponente naturale.

Derivata di funzione esponenziale.

Deriviamo la formula della derivata in base alla definizione:

È arrivato all'incertezza. Per espanderlo, introduciamo una nuova variabile e per . Quindi . Nell'ultima transizione, abbiamo utilizzato la formula per la transizione a una nuova base del logaritmo.

Eseguiamo una sostituzione nel limite originale:

Se ricordiamo il secondo meraviglioso limite, arriviamo alla formula per la derivata della funzione esponenziale:

Derivata di una funzione logaritmica.

Dimostriamo la formula per la derivata della funzione logaritmica per tutti X dall'ambito e tutti i valori di base validi un logaritmo. Per definizione della derivata si ha:

Come hai notato, nella dimostrazione le trasformazioni sono state effettuate utilizzando le proprietà del logaritmo. Uguaglianza è valido per il secondo limite notevole.

Derivate di funzioni trigonometriche.

Per derivare formule per derivate di funzioni trigonometriche, dovremo richiamare alcune formule trigonometriche, oltre al primo limite notevole.

Per definizione della derivata per la funzione seno, abbiamo .

Usiamo la formula per la differenza dei seni:

Resta da volgere al primo notevole limite:

Quindi la derivata della funzione peccato x c'è cos x.

La formula per la derivata del coseno si dimostra esattamente allo stesso modo.

Pertanto, la derivata della funzione cos x c'è –peccato x.

La derivazione delle formule per la tavola delle derivate per la tangente e la cotangente sarà effettuata utilizzando le comprovate regole di differenziazione (derivata di una frazione).

Derivati ​​di funzioni iperboliche.

Le regole di differenziazione e la formula per la derivata della funzione esponenziale dalla tabella delle derivate consentono di derivare formule per le derivate del seno iperbolico, coseno, tangente e cotangente.

Derivata della funzione inversa.

Affinché non ci sia confusione nella presentazione, indichiamo nell'indice inferiore l'argomento della funzione con cui viene eseguita la differenziazione, ovvero è la derivata della funzione f(x) su X.

Ora formuliamo regola per trovare la derivata della funzione inversa.

Passiamo alle funzioni y = f(x) e x = g(y) reciprocamente inverse, definite sugli intervalli e rispettivamente. Se in un punto esiste una derivata finita diversa da zero della funzione f(x), allora nel punto esiste una derivata finita della funzione inversa g(y), e . In un'altra voce .

Questa regola può essere riformulata per chiunque X dall'intervallo , quindi otteniamo .

Verifichiamo la validità di queste formule.

Troviamo la funzione inversa per il logaritmo naturale (qui yè una funzione, e X- discussione). Risolvere questa equazione per X, otteniamo (qui Xè una funzione, e y la sua argomentazione). Cioè, e funzioni reciprocamente inverse.

Dalla tabella delle derivate, lo vediamo e .

Assicuriamoci che le formule per trovare le derivate della funzione inversa ci portino agli stessi risultati:

Come puoi vedere, abbiamo ottenuto gli stessi risultati della tabella delle derivate.

Ora abbiamo le conoscenze per dimostrare formule per derivate di funzioni trigonometriche inverse.

Iniziamo con la derivata dell'arcoseno.

. Quindi, dalla formula per la derivata della funzione inversa, otteniamo

Resta da eseguire la trasformazione.

Poiché l'intervallo dell'arcoseno è l'intervallo , poi (vedi la sezione sulle funzioni elementari di base, le loro proprietà ei grafici). Pertanto, non consideriamo.

Quindi, . Il dominio di definizione della derivata dell'arcoseno è l'intervallo (-1; 1) .

Per l'arcoseno, tutto si fa esattamente allo stesso modo:

Trova la derivata dell'arcotangente.

Per la funzione inversa è .

Esprimiamo l'arcotangente attraverso l'arcocoseno per semplificare l'espressione risultante.

Lascia stare arctanx = z, poi

Quindi,

Allo stesso modo, si trova la derivata della tangente inversa:

Diamo senza dimostrazione la formula per le derivate delle funzioni elementari di base:

1. Funzione di potenza: (x n)` =nx n -1 .

2. Una funzione esponenziale: (a x)` = a x lna (in particolare, (e x)` = e x).

3. Funzione logaritmica: (in particolare, (lnx)` = 1/x).

4. Funzioni trigonometriche:

(cosx)` = -sinx

(tgх)` = 1/cos 2 x

(ctgх)` = -1/peccato 2 x

5. Funzioni trigonometriche inverse:

Si può dimostrare che per differenziare una funzione esponenziale di potenza, è necessario utilizzare due volte la formula per la derivata di una funzione complessa, ovvero differenziarla come funzione complessa funzione di potenza, e come esponenziale complesso, e aggiungi i risultati: (f(x)  (x))` =(x)*f(x)  (x)-1 *f(x)` +f(x)  ( x) *lnf(x)*(x)`.

Derivati ​​di ordini superiori

Poiché la derivata di una funzione è essa stessa una funzione, può anche avere una derivata. Il concetto di derivato, discusso sopra, si riferisce a una derivata del primo ordine.

derivaton-esimo ordineè detta derivata della derivata dell'(n-1)-esimo ordine. Ad esempio, f``(x) = (f`(x))` - derivata del secondo ordine (o derivata del secondo), f```(x) = (f``(x))` - derivata del terzo ordine ( o derivati ​​terzi), ecc. A volte i numeri arabi romani tra parentesi sono usati per indicare le derivate superiori, ad esempio f (5) (x) o f (V) (x) per una derivata di quinto ordine.

Il significato fisico delle derivate di ordine superiore è definito allo stesso modo della derivata prima: ciascuna di esse rappresenta il tasso di variazione della derivata dell'ordine precedente. Ad esempio, la seconda derivata è il tasso di variazione della prima, cioè velocità velocità. Per moto rettilineo si intende l'accelerazione di un punto alla volta.

Elasticità della funzione

Elasticità della funzione E x (y) è il limite del rapporto tra l'incremento relativo della funzione y e l'incremento relativo dell'argomento x con quest'ultimo tendente a zero:
.

L'elasticità di una funzione mostra approssimativamente di quanta percentuale cambierà la funzione y \u003d f (x) quando la variabile indipendente x cambia dell'1%.

In senso economico, la differenza tra questo indicatore e il derivato è che il derivato ha unità di misura, e quindi il suo valore dipende dalle unità in cui le variabili sono misurate. Ad esempio, se la dipendenza del volume di produzione dal tempo è espressa rispettivamente in tonnellate e mesi, la derivata mostrerà l'aumento marginale del volume in tonnellate al mese; se, tuttavia, questi indicatori vengono misurati, ad esempio, in chilogrammi e giorni, sia la funzione stessa che la sua derivata saranno diverse. L'elasticità è essenzialmente un valore adimensionale (misurato in percentuale o frazioni) e quindi non dipende dalla scala degli indicatori.

Teoremi di base sulle funzioni differenziabili e loro applicazioni

Il teorema di Fermat. Se una funzione derivabile su un intervallo raggiunge il suo valore massimo o minimo in un punto interno di questo intervallo, allora la derivata della funzione a questo punto è uguale a zero.

Senza prove.

Il significato geometrico del teorema di Fermat è che nel punto del valore più grande o più piccolo raggiunto all'interno del gap, la tangente al grafico della funzione è parallela all'asse delle ascisse (Figura 3.3).

Il teorema di Rolle. Lascia che la funzione y \u003d f (x) soddisfi le seguenti condizioni:

2) differenziabile sull'intervallo (a, b);

3) assume valori uguali alle estremità del segmento, ad es. f(a)=f(b).

Allora c'è almeno un punto all'interno del segmento in cui la derivata della funzione è uguale a zero.

Senza prove.

Il significato geometrico del teorema di Rolle è che c'è almeno un punto in cui la tangente al grafico della funzione sarà parallela all'asse delle ascisse (per esempio, ci sono due di questi punti nella Figura 3.4).

Se f(a) =f(b) = 0, allora il teorema di Rolle può essere formulato diversamente: tra due zeri successivi di una funzione derivabile c'è almeno uno zero della derivata.

Il teorema di Rolle è un caso speciale del teorema di Lagrange.

Il teorema di Lagrange. Lascia che la funzione y \u003d f (x) soddisfi le seguenti condizioni:

1) è continua sul segmento [a, b];

2) è differenziabile sull'intervallo (a, b).

Allora all'interno del segmento c'è almeno un tale punto c in cui la derivata è uguale al quoziente dell'incremento delle funzioni diviso per l'incremento dell'argomento su questo segmento:
.

Senza prove.

Per comprendere il significato fisico del teorema di Lagrange, lo notiamo
non è altro che il tasso medio di variazione della funzione sull'intero intervallo [a, b]. Pertanto, il teorema afferma che all'interno del segmento c'è almeno un punto in cui la velocità di variazione "istantanea" della funzione è uguale alla velocità media della sua variazione sull'intero segmento.

Il significato geometrico del teorema di Lagrange è illustrato nella Figura 3.5. Si noti che l'espressione
è la pendenza della retta su cui giace la corda AB. Il teorema afferma che c'è almeno un punto sul grafico di una funzione in cui la tangente ad essa sarà parallela a questa corda (cioè la pendenza della tangente - la derivata - sarà la stessa).

Corollario: se la derivata di una funzione è uguale a zero su un intervallo, allora la funzione è identica costante su questo intervallo.

In effetti, prendiamo un intervallo su questo intervallo. Per il teorema di Lagrange, c'è un punto c in questo intervallo per il quale
. Quindi f(a) - f(x) = f`(ñ)(a - x) = 0; f(x) = f(a) = cost.

La regola dell'Hopital. Il limite del rapporto di due funzioni infinitamente piccole o infinitamente grandi è uguale al limite del rapporto delle loro derivate (finite o infinite), se quest'ultima esiste nel senso indicato.

In altre parole, se c'è un'incertezza della forma
, poi
.

Senza prove.

L'applicazione della regola de L'Hospital per la ricerca dei limiti sarà oggetto di esercitazioni pratiche.

Condizione sufficiente per l'aumento (decremento) di una funzione. Se la derivata di una funzione derivabile è positiva (negativa) all'interno di un intervallo, allora la funzione aumenta (diminuisce) su questo intervallo.

Prova. Considera due valori x 1 e x 2 dall'intervallo dato (sia x 2 > x 1). Per il teorema di Lagrand, su [x 1 , x 2 ] c'è un punto c in cui
. Quindi f (x 2) -f (x 1) \u003d f` (c) (x 2 -x 1). Quindi per f`(c) > 0, il lato sinistro della disuguaglianza è positivo, cioè f(x 2) > f(x 1), e la funzione è crescente. A f`(s)< 0 левая часть неравенства отрицательна, т.е.f(х 2)

Il teorema è stato dimostrato.

Interpretazione geometrica della condizione di monotonia della funzione: se le tangenti alla curva in un certo intervallo sono dirette ad angoli acuti rispetto all'asse delle ascisse, la funzione aumenta e, se ad angoli ottusi, diminuisce (vedi Figura 3.6) .

Nota: la condizione necessaria per la monotonia è più debole. Se la funzione aumenta (diminuisce) su un certo intervallo, allora la derivata è non negativa (non positiva) su questo intervallo (cioè, in alcuni punti, la derivata di una funzione monotona può essere uguale a zero).

Il calcolo della derivata si trova spesso nelle assegnazioni USE. Questa pagina contiene un elenco di formule per trovare le derivate.

Regole di differenziazione

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Derivata di una funzione complessa. Se y=F(u) e u=u(x), allora la funzione y=f(x)=F(u(x)) è chiamata funzione complessa di x. È uguale a y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Derivata di una funzione implicita. La funzione y=f(x) è chiamata funzione implicita data dalla relazione F(x,y)=0 se F(x,f(x))≡0.
6. Derivata della funzione inversa. Se g(f(x))=x, allora la funzione g(x) è chiamata funzione inversa per la funzione y=f(x).
7. Derivata di una funzione data parametricamente. Siano xey come funzioni della variabile t: x=x(t), y=y(t). Si dice che y=y(x) è una funzione parametricamente definita sull'intervallo x∈ (a;b) se su questo intervallo l'equazione x=x(t) può essere espressa come t=t(x) e la funzione y=y( t(x))=y(x).
8. Derivata di funzione esponenziale. Si trova portando il logaritmo alla base del logaritmo naturale.

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