Definizione. Dicono che il numero a è divisibile per il numero b se esiste un tale numero cÎ N 0 , che cosa un=in· Insieme a.

In quel caso quando un diviso per in scrivere: corrente alternata. Lettura: " un diviso per in» ; « un multiplo in»; « in- divisorio un» . Ad esempio, 12 è divisibile per 6 perché c'è Insieme a= 2, che 12 = 6 2, altrimenti 12 6.

Commento. Voci e un :in non sono equivalenti. Il primo significa che tra i numeri un e in esiste una relazione di divisibilità (possibilmente un numero intero un dividere per numero in). La seconda è la notazione dei numeri privati un e in.

La relazione di divisibilità ha diverse proprietà.

1°. Zero è divisibile per qualsiasi numero naturale, cioè.

(" inÎ N ) .

Prova. 0 = in 0 per qualsiasi in, quindi per definizione segue che 0 in.

2°. Nessun numero naturale è divisibile per zero, cioè (" unÎ N ) [un 0].

Dimostrazione (per assurdo). Lascia che esista cÎ N 0 , tale che un= 0· Insieme a, ma per condizione un≠ 0, il che significa che in nessun caso Insieme a questa uguaglianza non regge. Quindi la nostra ipotesi sull'esistenza Insieme a era sbagliato e un 0.

3°. Qualsiasi numero intero non negativo è divisibile per uno, cioè

("unÎ N ) [un 1].

Prova. un= 1 un=>un 1.

4°. Qualsiasi numero naturale è divisibile per se stesso (riflessività), cioè (" unÎ N ) [aa].

Prova. un= un 1Þ aa.

5°. Divisore in dato numero naturale un non supera questo numero, cioè ( e dentroÙ un> 0) Þ ( un≥ in).

Prova. Perché e dentro, poi un= in · Insieme a, dove cÎ N 0 . Determiniamo il segno della differenza un– in.

un–in= sole– in= in(Insieme a– 1), poiché un> 0, poi Insieme a≥ 1, quindi, in(Insieme a– 1) ≥ 0, il che significa un–in≥ 0 Þ un≥in.

6°. La relazione di divisibilità è antisimmetrica, cioè

("un, dentroÎ N 0 )[(un inÙ in un) Þ un=in].

Prova.

1 caso . Permettere un> 0,in> 0, allora abbiamo:

(per proprietà 5°). Significa, un = in.

2° caso. Lascia almeno uno dei numeri un o inè uguale a 0.

Permettere un= 0, quindi in= da 0 a 2°, perché altrimenti in non può essere suddiviso in un. Significa un=in.

7°. La relazione di divisibilità è transitiva, cioè

("a, dentro, conÎ N 0 ) [(un inÙ dentro con)Þ corrente alternata].

Prova. e dentroÞ ($ a)[un=VC];dentro conÞ ($ ℓ )[in= cℓ].

un = VC= (sℓ)a= Insieme a(ℓk), ℓk – prodotto di due interi non negativi ℓ e a e quindi è esso stesso un intero non negativo, cioè come.

8°. Se ciascuno dei numeri un e in diviso per Insieme a, poi la loro somma un+ in diviso per Insieme a, quelli. (" a, c, cÎ N 0 ) [(corrente alternataÙ dentro con) Þ ( un+in) Insieme a].

Prova, corrente alternataÞ un= sk, in sÞ in= cℓ.

un+in= sk+cℓ=Insieme a(k + ℓ), perché a+ ℓ è un numero intero non negativo, quindi ( a + b) Insieme a.

L'affermazione provata vale anche nel caso in cui il numero dei termini sia superiore a due.

Se ciascuno dei numeri un 1 , ...,una pag diviso per Insieme a, poi la loro somma un 1 + ... + una pag diviso per Insieme a.

Inoltre, se i numeri un e in sono divisi in Insieme a, e un≥ in, quindi la loro differenza un–in diviso per Insieme a.

9°. Se numero un diviso per Insieme a, quindi il prodotto del modulo Oh, dove XÎ N 0 , diviso per Insieme a, quelli. corrente alternataÞ ( " x О N 0 )[ascia c].

Prova. corrente alternataÞ un=ck, ma allora Oh= skh = Insieme a(a· X), k, xÎ N 0 , significa ah s.

Corollario da 8°, 9°.

Se ciascuno dei numeri un 1 ,un 2 , ...,una pag diviso per Insieme a, quindi qualunque siano i numeri X 1 ,X 2 , ... , x n numero un 1 X 1 + un 2 X 2 + ... + un n x n diviso per Insieme a.

10°. Se una asso diviso per sole, e Insieme a≠ 0, poi un diviso per in, quelli. ( asso soleÙ Insieme a≠ 0) Þ corrente alternata.

Prova.

asso= sole· a; asso= (VC) · Insieme aÙ Insieme a≠ 0 Þ un=VC=> e dentro.

Segni di divisibilità

Ci sono problemi in cui, senza dividere, è necessario stabilire se un numero naturale è divisibile o meno un ad un numero naturale in. Molto spesso, tali problemi sorgono quando il numero un deve essere moltiplicato. In tali problemi vengono utilizzati criteri di divisibilità. Un test di divisibilità è una frase che permette di rispondere alla domanda se un certo numero è divisibile o meno per un dato divisore, senza effettuare la divisione stessa.

Applicando il segno di divisibilità, devi ancora dividere, ovviamente. A scuola è ben noto il segno di divisibilità di un numero per 3. Il numero 531246897 è divisibile per 3? Per rispondere alla domanda, determiniamo la somma delle cifre di questo numero 5 + 3 + 1 + 2 + 4 + 6 + 8 + 9 + 7 = 45, perché 45 è divisibile per 3, quindi questo numero è divisibile per 3.

Quindi, la questione della divisibilità di un dato numero naturale si riduce alla questione della divisibilità di un numero naturale più piccolo.

I segni di divisibilità dipendono dal sistema numerico. Considera alcuni segni di divisibilità nel sistema dei numeri decimali.

Lezione 4. Divisibilità sull'insieme degli interi non negativi

1. Il concetto di relazione di divisibilità, le sue proprietà.

2. Segni di divisibilità della somma, differenza, prodotto.

3. Segni di divisibilità per 2, 3, 4, 5, 9 (due per dimostrare).

A corso primario In matematica, la divisibilità dei numeri naturali, di regola, non viene studiata, ma vengono utilizzati implicitamente molti fatti di questa sezione della matematica.

Rapporto di divisibilità e sue proprietà

Si consideri la relazione di divisibilità sull'insieme degli interi non negativi.

Definizione 1. Siano dati interi non negativi un e b. Dicono che il numero un b se esiste un tale intero non negativo q, che cosa a=bq. In questo caso, il numero b chiamato divisore numeri un, e il numero un - multiplo numeri b.

Designazione: a b e dire un multiplo b, un b chiamato divisore un.

Si noti che il concetto di "divisore dato numero" deve essere distinto dal concetto di "divisore", che denota il numero per cui è diviso. Ad esempio, se 18 è diviso per 5, il numero 5 è un divisore, ma non è un divisore del numero 18. Se 18 è diviso per 6, quindi in questo caso i concetti "divisore" e "divisore del numero dato" sono gli stessi.

Commento. Dalla definizione 1 e uguaglianza a=1a, ne consegue che 1 è un divisore di qualsiasi intero non negativo.

Proprietà del rapporto di divisibilità:

La relazione di divisibilità è riflessiva, antisimmetrica, transitiva.

Teorema 1. La relazione di divisibilità è riflessiva, cioè ogni numero naturale è divisibile per se stesso
.

Prova:

Per vale l'uguaglianza a=a 1. 1, quindi secondo il def. uno .

Teorema 2. La relazione di divisibilità è antisimmetrica, cioè

Dimostrazione (per assurdo): supponiamo che
. Allora è ovvio che b≥a. Ma per condizione
e quindi a≥b. Il soddisfacimento di queste disuguaglianze è possibile solo quando a=b, il che contraddice la condizione. Pertanto, la nostra ipotesi è sbagliata e viene stabilita la validità della proprietà.

Teorema 3. La relazione di divisibilità è transitiva, cioè

Prova:

Perché
, quindi per definizione 1 . Allo stesso modo, poiché bc, quindi .

Allora a=bq=(cp)q=c(pq). Il numero pq è un numero naturale. Ciò significa, secondo def.1, che come con.

Pertanto, la relazione di divisibilità sull'insieme N, avente le proprietà di riflessività, antisimmetria e transitività, è relazione di ordine non stretto.

Divisibilità della somma, differenza, prodotto di numeri interi non negativi

Teorema 4 (test di divisibilità di una somma): Se ogni somma è divisibile per un numero naturale b, allora l'intera somma è divisibile per questo numero, cioè

Prova: Permettere
. Allora ci sono q 1 ,q 2 ,…q n
N tale che le uguaglianze siano soddisfatte: a 1 =bq 1 , a 2 =bq 2 , …, e 1 n = bq n . Da queste uguaglianze segue che a 1 + a 2 + ... a n \u003d bq 1 + bq 2 + ... + bq n \u003d b (q 1 + q 2 + ... + q n), dove q 1 + q 2 + ... + q n =q
N0. Per definizione del rapporto di divisibilità, ciò significa che .

Teorema 5 (test di divisibilità alle differenze): Se ciascuno dei numeri un e b diviso per Insieme a e a≥b, quindi la differenza a-b diviso per Insieme a, cioè se .

Prova: Permettere
. Allora ci sono q 1 ,q 2
N tale che a=cq 1 , b=cq 2 . Poiché a≥b, allora q 1 >q 2. Quindi, abbiamo a-b=cq 1 -cq 2 \u003d c (q 1 -q 2) \u003d cq, dove q 1 -q 2 \u003d q
N. Pertanto, .

Teorema 6 (test di divisibilità di un prodotto): Se almeno uno dei fattori del prodotto è divisibile per un numero naturale b, allora anche l'intero prodotto è divisibile per questo numero, cioè
.

Prova: Sia a k b, allora c'è q
N tale che a k = bq. Da qui, usando le leggi commutative e associative della moltiplicazione, possiamo scrivere . Poiché il prodotto di interi non negativi è un intero non negativo, l'ultima uguaglianza significa che
.

Teorema 7: Se nel lavoro ab fattore un divisibile per un numero naturale m, e il moltiplicatore b divisibile per un numero naturale n, quindi il prodotto ab suddiviso in prodotto nm, questo è .

Prova: Siano a m e b n, allora ci sono q 1 ,q 2
N tale che, a=mq 1 , b=nq 2 . Quindi, sulla base del comm. e assoc. leggi di moltiplicazione abbiamo ab=(mq 1)(nq 2)=(mn)(q 1 q 2)=(mn)q, dove q 1 q 2 =q
N. quindi ab mn.

Teorema 8: Se la somma ha un termine non condiviso ad un numero naturale b, e tutti gli altri termini Condividere per questo numero, quindi l'intera somma per il numero b non condivide.

Prova: Sia S=a 1 +a 2 +…+a n +c, dove a 1 b, a 2 b, …, a n b, ma
. Dimostriamolo
. Supponiamo il contrario, cioè S b. Allora ñ=S-(a 1 +a 2 +…+a n), dove S b, e (a 1 +a 2 +…+a n) b. Secondo il teorema della divisibilità per differenza, ciò significa che con b. La contraddizione risultante dimostra il teorema.

Segni di divisibilità

Teorema 9 (test di divisibilità per 2) Affinché il numero x sia divisibile per 2, è necessario e sufficiente che la sua notazione decimale termini con una delle cifre 0,2,4,6,8.

Prova. Lascia il numero X

x = un n 10 + un n-1 10 n-1 + ... + un 1 10 + a 0 , dove a n , a n-1,…, a 1 prendono i valori 0, 1, 2, ...9, un n ≠ 0 e uno 0 assume valori 0,2,4,6,8. Dimostriamo che allora x: .2.

Da 10: .2, quindi 10 2: .2, 10 3: .2,…,10 n: .2 e, quindi, ( un n 10 + un n-1 10 n-1 + ... + un 1 10): .2. Per la condizione, a 0 è anche divisibile per 2, quindi il numero x può essere considerato come la somma di due termini, ciascuno dei quali è divisibile per 2. Pertanto, secondo il segno di divisibilità della somma, il numero x è divisibile per 2.

Proviamo il contrario: se il numero Xè divisibile per 2, quindi la sua notazione decimale termina con una delle cifre 0,2,4,6,8.

Scriviamo l'uguaglianza x = un n 10 + un n-1 10 n-1 + ... + un 1 10 + a 0 in questa forma: a 0 \u003d x - ( un n 10 + un n-1 10 n-1 + ... + un 1 dieci). Ma poi, secondo il teorema di divisibilità, e 0: . 2 perché x: . 2 e ( un n 10 + un n-1 10 n-1 + ... + un 1 dieci) : . 2. Affinché un numero a una cifra uno 0 sia divisibile per 2, deve assumere i valori 0,2,4,6,8.

Teorema 10 (test di divisibilità per 5). In ordine per il numero Xè divisibile per 5, è necessario e sufficiente che la sua notazione decimale termini con 0 o 5.

Dimostra a te stesso!

La dimostrazione di questo test è simile alla prova del test di divisibilità per 2.

Teorema 11 (test di divisibilità per 4). In ordine per il numero Xè divisibile per 4, è necessario e sufficiente che il numero a due cifre formato dalle ultime due cifre della rappresentazione decimale del numero sia divisibile per 4 X.

Prova. Lascia il numero X scritto in notazione decimale, cioè

x = un n 10 + un n-1 10 n-1 + ... + un 1 10 + uno 0 e le ultime cifre di questa voce formano un numero divisibile per 4. Dimostriamo che allora x: . quattro.

Dal 100: . 4, quindi ( un n 10 + un n-1 10 n-1 + ... + un 2 10 2): . 4. A condizione, un 1 10 + uno 0 (questo è il record di un numero a due cifre) è anche divisibile per 4. Pertanto, il numero x può essere considerato come la somma di due termini, ciascuno dei quali è divisibile per 4. Pertanto, secondo il segno di divisibilità della somma, e Il numero x stesso è divisibile per 4.

Proviamo il contrario, cioè se il numero x è divisibile per 4, allora anche il numero a due cifre formato dalle ultime cifre della sua notazione decimale è divisibile per 4.

Scriviamo l'uguaglianza x = un n 10 + un n-1 10 n-1 + ... + un 1 10 + e 0 in questo modo:

un 1 10 + a 0 = x- ( un n 10 + un n-1 10 n-1 + ... + un 2 10 2) .

Poiché x: . 4 e ( un n 10 + un n-1 10 n-1 + ... + un 2 10 2): . 4, quindi dal teorema di divisibilità per la differenza ( un 1 10 + un 0) : . 4. Ma l'espressione un 1 10 + e 0 è un numero a due cifre formato dalle ultime cifre di x.

Teorema 12 (test di divisibilità per 9) Perché un numero x sia divisibile per 9, è necessario e sufficiente che la somma delle cifre della sua notazione decimale sia divisibile per 9.

Prova. Dimostriamo innanzitutto che i numeri della forma 10 n - 1 sono divisibili per 9. Infatti, 10 n - 1 = (9 10 n-1 + 10 n-1) - 1 = (9 10 n-1 +9 10 n - 2 + 10 n-2)-1 = (9 10 n-1 +9 10 n-2 + …+10)-1=9 10 n-1 +9 10 n-2 + …+9. Ogni termine della somma risultante è divisibile per 9, il che significa che anche il numero 10 n - 1 è divisibile per 9.

Sia il numero x = un n 10 + un n-1 10 n-1 + ... + un 1 10 + a 0 e (a n + a n-1 + ... + a 1 + a 0) : . 9. Dimostriamo che allora x: . 9.

Trasformiamo la somma un n 10 + un n-1 10 n-1 + ... + un 1 10 + a 0 , sommando e sottraendo da essa l'espressione a n + a n-1 + ... + a 1 + a 0 e scrivendo il risultato in questa forma:

x = ( un n 10 - a n)+( un n-1 10 n-1 - un n-1)+…+( un 1 10 - a 1) + (a 0 - a 0) + (a n + a n-1 + ... + a 1 + a 0) \u003d =a n (10 n -1)+ a n-1 (10 n-1 -1)+…+ a 1 (10 -1)+ (a n +a n-1 +…+a 1 +a 0) .

Nell'ultima somma, ogni termine è divisibile per 9:

un n (10 n -1) : . 9, poiché (10 n -1) : . 9,

a n-1 (10 n-1 -1) : . 9 poiché(10 n-1 -1) : . 9 ecc.

a 1 (10 -1) : . 9, poiché (10-1) : . 9,

(a n +a n-1 +…+a 1 +a 0) : . 9 per condizione.

Pertanto, x: . 9.

Proviamo il contrario, cioè se x: . 9, allora la somma delle cifre della sua notazione decimale è divisibile per 9.

Uguaglianza x = un n 10 + un n-1 10 n-1 + ... + un 1 10+ e 0 scriviamo in questa forma:

a n + a n-1 + ... + a 1 + a 0 \u003d x - (a n (10 n - 1) + a n-1 (10 n-1 -1) + ... + a 1 (10 -1).

Poiché a destra di questa uguaglianza sia il minuendo che il sottraendo sono multipli di 9, allora, secondo il teorema sulla divisibilità della differenza (a n + a n-1 + ... + a 1 + a 0): . 9, cioè la somma delle cifre della rappresentazione decimale del numero x è divisibile per 9, cosa che doveva essere dimostrata.

Teorema15 (test di divisibilità per 3): Perché un numero x sia divisibile per 3, è necessario e sufficiente che la somma delle cifre della sua notazione decimale sia divisibile per 3.

La prova di questa affermazione è simile alla prova del test di divisibilità per 9.

Come già notato, un numero naturale a è divisibile per un numero naturale b se esiste un numero naturale c, che moltiplicato per b dà a:

La parola "interamente" viene solitamente omessa - per brevità.

Se a è divisibile per b, allora diciamo anche che a è un multiplo di b. Ad esempio, il numero 48 è un multiplo di 24.

Teorema 1. Se uno dei fattori è divisibile per un numero, allora anche il prodotto è divisibile per questo numero.

Ad esempio, 15 è divisibile per 3, quindi 15∙11 è divisibile per 3, perché 15∙11=(3∙5)∙11=3∙(5∙11).

Queste considerazioni valgono anche per il caso generale. Sia il numero a divisibile per c, allora esiste un numero naturale n tale che a = n∙c. Si consideri il prodotto di un numero a e di un numero naturale arbitrario b. a∙b = n∙(c∙b) =
= n∙(b∙c) = (n∙b)∙c. Da ciò, per definizione, segue che il prodotto a ∙ b è anche divisibile per c. QED

Teorema 2. Se il primo numero è divisibile per il secondo e il secondo è divisibile per il terzo, il primo numero è divisibile per il terzo.

Ad esempio, 777 è divisibile per 111 perché 777=7∙111 e 111 è divisibile per 3 perché 111 = 3∙37. Ne consegue che 777 è divisibile per 3, poiché 777 = 3∙(37∙7).

Nel caso generale, questi argomenti possono essere ripetuti quasi alla lettera. Sia il numero a divisibile per il numero b e il numero b divisibile per il numero c. Ciò significa che esistono numeri naturali n ed m tali che a = n∙b e b = m∙c. Allora il numero a può essere rappresentato come: a = n∙b = n∙(m∙c) = (n∙m)∙c. L'uguaglianza a = (n∙m)∙c significa che anche il numero a è divisibile per c.

Teorema 3. Se ciascuno di due numeri è divisibile per un numero, la loro somma e differenza sono divisibili per questo numero.

Ad esempio, 100 è divisibile per 4 perché 100=25∙4; 36 è anche divisibile per 4 perché 36 = 9∙4. Ne consegue che 136 è divisibile per 4 perché

136 = 100+ 36 = 25∙4+ 9∙4 = (25+ 9)∙4 = 34∙4.

Possiamo anche concludere che il numero 64 è divisibile per 4, perché

64 = 100 – 36 = 25∙4 – 9∙4 =(25 – 9)∙4= 16∙4.

Dimostriamo il teorema nel caso generale. Sia ciascuno dei numeri aeb divisibile per il numero c. Allora, per definizione, ci sono numeri naturali n ed m tali che
a = n∙c e b = m∙c. Considera la somma dei numeri aeb.

a + b = n∙c + m∙c = (n + m)∙c.

Ne consegue che a + b è divisibile per c.

Allo stesso modo, a – b = n∙c – m∙c = (n – m)∙c. Pertanto, a - b è divisibile per c.

Teorema 4. Se uno dei due numeri è divisibile per un numero e l'altro non è divisibile per esso, la loro somma e differenza non sono divisibili per questo numero.

Ad esempio, 148 è divisibile per 37 perché 148 = 4∙37 e 11 non è divisibile per 37. Ovviamente, la somma di 148 + 11 e la differenza di 148 - 11 non sono divisibili per 37, altrimenti contraddirebbe la proprietà 3 .

Segni di divisibilità

Se un numero termina con 0, allora è divisibile per 10.

Ad esempio, il numero 4560 termina con il numero 0, può essere rappresentato come un prodotto di 456∙10, che è divisibile per 10 (per il Teorema 1).

Il numero 4561 non è divisibile per 10 perché 4561 = 4560+1 è la somma del numero 4560 divisibile per 10 e del numero 1 che non è divisibile per 10 (per il Teorema 4).

Se il numero termina con una delle cifre 0 o 5, allora è divisibile per 5.

Ad esempio, il numero 2300 è divisibile per 5 perché questo numero è divisibile per 10 e 10 è divisibile per 5 (per il Teorema 2).

Il numero 2305 termina con il numero 5, è divisibile per 5, poiché può essere scritto come somma di numeri divisibili per 5: 2300 + 5 (per il Teorema 3).

Il numero 52 non è divisibile per 5, perché 52 = 50 + 2 è la somma del numero 50, che è divisibile per 5, e del numero 2, che non è divisibile per 5 (per il Teorema 4).

Se il numero termina con una delle cifre 0, 2, 4, 6, 8, allora è divisibile per 2.

Ad esempio, il numero 130 termina con 0, è divisibile per 10 e 10 è divisibile per 2, quindi 130 è divisibile per 2.

Il numero 136 termina con il numero 6, è divisibile per 2, poiché può essere scritto come somma di numeri divisibili per 2: 130 + 6 (per il Teorema 3).

Il numero 137 non è divisibile per 2, perché 137 = 130 + 7 è la somma del numero 130, che è divisibile per 2, e del numero 7, che non è divisibile per 2 (per il Teorema 4).

Un numero divisibile per 2 si dice numero pari.

Un numero che non è divisibile per 2 si dice dispari..

Ad esempio, i numeri 152 e 790 sono pari e i numeri 111 e 293 sono dispari.

Se la somma delle cifre di un numero è divisibile per 9, il numero stesso è divisibile per 9.

Ad esempio, la somma delle cifre 7 + 2 + 4 + 5 = 18 del numero 7245 è divisibile per 9. Il numero 7245 è divisibile per 9 perché può essere rappresentato come somma di 7∙1000 +
+ 2∙100 + 4∙10 + 5 = 7 (999 + 1) + 2∙(99 + 1) + + 4∙(9 + 1) + 5 = (7∙999 + 2∙99 +
+ 4∙9) + (7 + 2 + 4 + 5), dove la somma tra le prime parentesi è divisibile per 9, e nelle seconde parentesi anche la somma delle cifre del numero dato, è divisibile per 9 ( dal Teorema 3).

Il numero 375 non è divisibile per 9 perché la somma delle sue cifre 3 + 7 + 5=15 non è divisibile per 9 Questo può essere dimostrato come segue: 375 = 3∙(99 + 1) + 7∙(9+1) + 5 =
+ (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), dove la somma nelle prime parentesi è divisibile per 9, e nelle seconde la somma delle cifre di 375 non è divisibile per 9 ( dal Teorema 4).

Se la somma delle cifre di un numero è divisibile per 3, il numero stesso è divisibile per 3.

Ad esempio, per il numero 375, la somma delle cifre 3 + 7 + 5=15 è divisibile per 3, ed è essa stessa divisibile per 3 perché 375 = (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), dove la somma delle prime parentesi quadre è divisibile per 3, e delle seconde parentesi - la somma delle cifre del numero 375 - è divisibile anche per 3.

La somma delle cifre di 679, che è 6 + 7 + 9 = 22, non è divisibile per 3, e il numero stesso non è divisibile per 3, perché 679 = (6∙99 + 7∙9) + (6 + 7 + 9), dove la somma tra le prime parentesi è divisibile per 3, e nelle seconde parentesi - la somma delle cifre del numero 679 - non è divisibile per 3.

Nota. Quando dicono "un numero finisce con una cifra..." significano "la notazione decimale di un numero finisce con una cifra..."

Numeri primi e compositi

Ogni numero naturale p è divisibile per 1 e per se stesso:

p:1=p, p:p=1.

numero primo chiama un numero naturale maggiore di uno e divisibile solo per 1 e per se stesso.

Ecco i primi dieci numeri primi:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

I numeri naturali non semplici, unità grandi, sono detti composti. Ogni numero composto è divisibile per 1, per se stesso e per almeno un altro numero naturale.

Ecco tutti i numeri composti inferiori a 20:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.

Pertanto, l'insieme di tutti i numeri naturali è costituito da numeri primi, numeri composti e uno.

Ci sono infiniti numeri primi, c'è il primo numero - 2, ma non c'è l'ultimo numero primo.

Divisori dei numeri naturali

Se un numero naturale a è divisibile per un numero naturale b, allora il numero b chiamato divisore numeri A.

Ad esempio, i divisori del numero 13 sono i numeri 1 e 13, i divisori del numero 4 sono i numeri 1, 2, 4 e i divisori del numero 12 sono i numeri 1, 2, 3, 4, 6 , 12.

Ogni numero primo ha solo due divisori, uno e se stesso, e ogni numero composto ha altri divisori oltre a uno e se stesso.

Se il divisore è un numero primo si parla di divisore primo. Ad esempio, il numero 13 ha un fattore primo di 13, il numero 4 ha un fattore primo di 2 e il numero 12 ha un fattore primo di 2 e 3.

Ogni numero composto può essere rappresentato come il prodotto dei suoi divisori primi. Per esempio,

28 = 2∙2∙7 = 2 2 ∙7;

81 \u003d 3 3 3 3 \u003d Z 4;

100 = 2∙2∙5∙5 = 2 2 ∙5 2 .

I membri di destra delle uguaglianze risultanti sono chiamati fattorizzazioni primi dei numeri 28, 22, 81 e 100.

Fattorizzare un dato numero composto in fattori primi significa rappresentarlo come un prodotto dei suoi vari divisori primi o delle loro potenze.

Mostriamo come puoi scomporre il numero 90 in fattori primi.

1) 90 è divisibile per 2, 90:2 = 45;

2) 45 non è divisibile per 2, ma è divisibile per 3, 45:3= 15;

3) 15 è divisibile per 3, 15:3 = 5;

4) 5 è divisibile per 5, 5:5 = 1.

Quindi, 90 = 2∙45 = 2∙3∙15 = 2∙3∙3∙5.

Massimo comun divisore

Il numero 12 ha divisori 1, 2, 3, 4, 12. Il numero 54 ha divisori 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54. Vediamo che i numeri 12 e 54 hanno divisori comuni 1, 2 , 3 .6.

Il massimo comun divisore di 12 e 54 è 6.

Il massimo comun divisore dei numeri aeb denota: MCD (a, b).

Ad esempio, gcd (12, 54) = 6.

Minimo comune multiplo

Un numero divisibile per 12 è chiamato multiplo di 12. Il numero 12 è un multiplo di 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, ecc. Il numero 18 è un multiplo di 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, ecc.

Vediamo che ci sono numeri che sono multipli di 12 e 18. Ad esempio, 36, 72, 108, ... . Questi numeri sono chiamati multipli comuni di 12 e 18.

Il minimo comune multiplo dei numeri naturali aeb è il più piccolo numero naturale divisibile anche per aeb. Questo numero è indicato da: NOC (a, b).

Il minimo comune multiplo di due numeri si trova solitamente in due modi. Consideriamoli.

Trova LCM(18, 24).

io modo. Scriviamo numeri multipli di 24 (il più grande di questi numeri), controllando se ognuno di essi è divisibile per 18: 24∙1=24 - non divisibile per 18, 24∙2 = 48 - non divisibile per 18, 24∙3 = 72 – è divisibile per 18, quindi LCM (24, 18) =
= 72.

II modo. Scomponiamo i numeri 24 e 18 in fattori primi: 24 = 2∙2∙2∙3,
18 = 2∙3∙3.

LCM(24, 18) deve essere divisibile sia per 24 che per 18. Pertanto, il numero desiderato contiene tutti i divisori primi Di più 24 (cioè i numeri 2, 2, 2, 3) e i fattori mancanti dall'espansione del numero minore 18 (altro numero 3). Quindi LCM(18, 24) = 2∙2∙2∙3∙3 = 72.

Poiché i numeri coprimi non hanno divisori primi comuni, il loro multiplo minimo comune è uguale al prodotto di questi numeri. Ad esempio, 24 e 25 sono numeri primi relativamente. Quindi LCM (24, 25) = 24∙25 = 600.

Se uno di due numeri è equamente divisibile per l'altro, il minimo comune multiplo di questi numeri è uguale al maggiore di essi. Ad esempio, 120 è equamente divisibile per 24, quindi LCM (120, 24) = 120.

Numeri interi

Promemoria. Vengono chiamati i numeri utilizzati per il conteggio del numero di oggetti numeri naturali. Zero non è considerato un numero naturale. I numeri naturali e lo zero, scritti in ordine crescente e senza spazi vuoti, formano una serie di interi non negativi:

Questa sezione introdurrà nuovi numeri − intero negativo.

Numeri interi negativi

Un esempio di base dalla vita è un termometro. Supponiamo che mostri una temperatura di 7°C. Se la temperatura scende di 4°, il termometro indicherà 3° di calore. Una diminuzione della temperatura corrisponde a un'azione di sottrazione: 7 - 4 \u003d 3. Se la temperatura scende di 7 °, il termometro mostrerà 0 °: 7 - 7 \u003d 0.

Se la temperatura scende di 8°, il termometro indicherà -1° (1° gelo). Ma il risultato della sottrazione di 7 - 8 non può essere scritto usando numeri naturali e zero, sebbene abbia un significato reale.

È impossibile contare 8 numeri dal numero 7 a sinistra in una serie di numeri interi non negativi. Per rendere fattibile l'azione 7 - 8, espandiamo l'intervallo degli interi non negativi. Per fare ciò, a sinistra di zero, scriviamo (da destra a sinistra) in ordine tutti i numeri naturali, aggiungendo a ciascuno di essi un segno "-", indicando che questo numero è a sinistra di zero.

Le voci -1, -2, -3, ... leggono "meno 1", "meno 2", "meno 3", ecc.:

–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... .

La serie di numeri risultante è chiamata serie di numeri interi. I punti a sinistra e a destra in questa voce indicano che la serie può essere continuata indefinitamente a destra ea sinistra.

A destra del numero 0 in questa riga ci sono numeri chiamati interi naturali o positivi.

Definizione.Siano dati i numeri naturali aeb. Un numero a si dice divisibile per un numero b se esiste un numero naturale q tale che a = bq.

In questo caso, il numero b chiamato divisore di a , e il numero a è un multiplo di b.

Per esempio, 24 è divisibile per 8, poiché tale esiste q = 3, che è 24 = 8×3. In altre parole, 8 è un divisore di 24 e 24 è un multiplo di 8.

In quel caso quando un diviso per b, scrivi: a M b. Questa voce viene spesso letta in questo modo: “e un multiplo b.

Si noti che il concetto di "divisore di un dato numero" dovrebbe essere distinto dal concetto di "divisore", che denota il numero per cui è diviso. Ad esempio, se 18 è diviso per 5, il numero 5 è un divisore, ma 5 non è un divisore del numero 18. Se 18 è diviso per 6, in questo caso i concetti di "divisore" e "divisore di questo numero” sono gli stessi.

Dalla definizione della relazione di divisibilità e dell'uguaglianza a = 1 × un, giusto per qualsiasi naturale un, ne consegue che 1 è un divisore di qualsiasi numero naturale.

Scopri quanti divisori può avere un numero naturale un. Consideriamo innanzitutto il seguente teorema.

Teorema 1. Il divisore b di un dato numero a non supera questo numero, cioè, se a M b, allora b £ a.

Prova. Poiché a M b, esiste una qО N tale che a = bq e, quindi, a - b = bq - b = b ×(q - 1). Poiché qО N, allora q ³ 1. . Allora b ×(q - 1) ³ 0 e, di conseguenza, b £ a.

Da questo teorema segue che l'insieme dei divisori di un dato numero è finito. Diamo un nome, ad esempio, a tutti i divisori del numero 36. Formano un insieme finito (1,2,3,4,6,9, 12, 18,36).

A seconda del numero di divisori tra i numeri naturali, si distinguono i numeri primi e composti.

Definizione.Un numero primo è un numero naturale maggiore di 1 che ha solo due divisori: uno e il numero stesso.

Per esempio, 13 è primo perché ha solo due divisori: 1 e 13.

Definizione.Un numero composto è un numero naturale che ha più di due divisori.

Quindi il numero 4 è composto, ha tre divisori: 1, 2 e 4. Il numero 1 non è né primo né numero composto perché ha un solo divisore.

I numeri che sono multipli di un dato numero possono essere chiamati quanti ne vuoi - ce ne sono un numero infinito. Quindi, i numeri multipli di 4 formano una serie infinita: 4, 8, 12, 16, 20, 24, .... e tutti possono essere ottenuti con la formula a = 4q, dove q assume i valori 1, 2, 3,... .

Sappiamo che la relazione di divisibilità sull'insieme N ha un certo numero di proprietà, in particolare è riflessiva, antisimmetrica e transitiva. Ora, avendo una definizione della relazione di divisibilità, possiamo provare queste ed altre sue proprietà.

Teorema 2. La relazione di divisibilità è riflessiva, cioè Ogni numero naturale è divisibile per se stesso.

Prova. Per qualsiasi naturale un equa uguaglianza a = a× 1. Da 1 н N quindi, per definizione della relazione di divisibilità, aMa.

Teorema 3. La relazione di divisibilità è antisimmetrica, cioè se a M b e a ¹ b, allora .

Prova. Supponiamo il contrario, cioè che bMa. Ma poi a £ b, secondo il teorema sopra discusso.

Per condizione a M b e a ¹ b. Allora, per lo stesso teorema, b £ a.

Le disuguaglianze a £ b e b £ a saranno valide solo quando a = b, il che contraddice la condizione del teorema. Pertanto, la nostra ipotesi è sbagliata e il teorema è dimostrato.

Teorema 4. La relazione di divisibilità è transitiva, cioè se una M b e b M s, quindi a M s.

Prova. Perché un Mb, q, che cosa un = bq, e da allora bM s, allora c'è un numero naturale R, che cosa b = cfr. Ma poi abbiamo: un = bq = (cp)q = c(pq). Numero pq - naturale. Quindi, per definizione della relazione di divisibilità, un. SM.

Teorema 5(segno di divisibilità della somma). Se ciascuno dei numeri naturali a 1, a 2, ... a p è divisibile per un numero naturale b, allora la loro somma a 1 + a 2 + ... + a p è divisibile per questo numero.

Per esempio, senza fare calcoli, possiamo dire che la somma 175 + 360 +915 è divisibile per 5, poiché ogni termine di tale somma è divisibile per 5.

Teorema 6(segno di divisibilità della differenza). Se i numeri a 1 e a 2 sono divisibili per b e a 1 ³ a 2, la loro differenza a 1 - a 2 è divisibile per b.

Teorema 7(segno della divisibilità dell'opera). Se il numero a è divisibile per b, allora il prodotto della forma ax, dove x e N. è divisibile per b.

Segue dal teorema che se uno dei fattori del prodotto è divisibile per un numero naturale b, allora anche l'intero prodotto è divisibile per b.

Per esempio, il prodotto 24×976×305 è divisibile per 12, poiché il fattore 24 è divisibile per 12.

Considera altri tre teoremi relativi alla divisibilità della somma e del prodotto, che sono spesso usati per risolvere i problemi di divisibilità.

Teorema 8. Se nella somma un termine non è divisibile per il numero b, e tutti gli altri termini sono divisibili per b, allora l'intera somma non è divisibile per b.

Per esempio, la somma 34 + 125 + 376 + 1024 non è divisibile per 2, poiché 34:2.376:2.124:2, ma 125 non è divisibile per 2.

Teorema 9. Se nel prodotto ab il fattore a è divisibile per un numero naturale m, e il fattore b è divisibile per un numero naturale n, allora a b è divisibile per m.

La validità di questa affermazione deriva dal teorema sulla divisibilità di un prodotto.

Teorema 10. Se il prodotto ac è divisibile per il prodotto bc, e c è un numero naturale, allora anche a è divisibile per b.

Fine del lavoro -

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Un sistema coerente di assiomi si dice indipendente se nessuno degli assiomi di questo sistema è una conseguenza di altri assiomi di questo sistema

In costruzione assiomatica teoria, in sostanza, tutte le affermazioni sono derivate dalla dimostrazione degli assiomi, quindi sono presentate al sistema di assiomi.

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Il processo descritto ci permette di formulare in forma generale l'algoritmo per la sottrazione dei numeri nel sistema dei numeri decimali
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La moltiplicazione di numeri a una cifra può essere eseguita in base alla definizione di questa operazione. Ma per non fare riferimento ogni volta alla definizione, tutti i prodotti di numeri a una cifra sono scritti in una tabella speciale

Algoritmo di divisione
Quando si parla della tecnica della divisione dei numeri, questo processo è considerato come l'azione della divisione con resto: dividere un intero non negativo a per un numero naturale b significa trovare

Una generalizzazione di vari casi di divisione di un intero non negativo a per un numero naturale b è il seguente algoritmo per la divisione per un angolo
1. Se a \u003d b, allora il quoziente q \u003d 1, il resto r \u003d 0. 2. Se a\u003e b e il numero di cifre nei numeri aeb è lo stesso, troviamo il quoziente q per enumerazione, moltiplicando successivamente b per 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

4. Numeri primi. 5. Metodi per trovare il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo di numeri. Letteratura principale; Aggiuntivo

Segni di divisibilità
Le relazioni di divisibilità considerate nelle proprietà consentono di provare i segni noti di divisibilità dei numeri scritti nel sistema dei numeri decimali per 2, 3, 4, 5, 9. I segni di divisibilità consentono

Minimo comune multiplo e massimo comune divisore
Consideriamo i concetti del minimo comune multiplo e del massimo comun divisore dei numeri naturali, noti dal corso di matematica della scuola, e formuliamo le loro principali proprietà, omettendo tutte le dimostrazioni

numeri primi
i numeri primi giocano grande ruolo in matematica - in sostanza, sono "mattoni" da cui vengono costruiti i numeri composti. Questo è affermato in un teorema chiamato il teorema fondamentale dell'aritmetica.

Modi per trovare il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo di numeri
Considera prima un metodo basato sulla scomposizione di questi numeri in fattori primi. Si danno due numeri 3600 e 288. Rappresentiamoli nella forma canonica: 3600 = 24×3

Sull'estensione dell'insieme dei numeri naturali
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Il concetto di frazione
Sia richiesto di misurare la lunghezza del segmento x usando singolo segmento e (Fig. 1). Una volta misurato, si è scoperto

Numeri razionali positivi
La relazione di uguaglianza è una relazione di equivalenza sull'insieme delle frazioni, quindi genera classi di equivalenza su di essa. Ciascuna di queste classi contiene frazioni uguali tra loro. Sul

L'addizione di numeri razionali positivi è commutativa e associativa,
("a, b Î Q+) a + b= b + a; ("a, b, c Î Q+) (a + b)+ c = a + (b+ c) Prima di formulare la definizione

Scrivere numeri razionali positivi come decimali
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27. Scrivi numeri razionali positivi come frazioni decimali. 28. Numeri reali. MODULO 4. FIGURE E VALORI GEOMETRICI

Il concetto di grandezza scalare positiva e la sua misura
Considera due affermazioni che usano la parola "lunghezza": 1) Molti oggetti intorno a noi hanno una lunghezza. 2) Il tavolo ha una lunghezza. La prima frase afferma

Definizione. Siano dati i numeri naturali aeb. Un numero a si dice divisibile per un numero b se esiste un numero naturale q tale che a = bq.

In questo caso viene chiamato il numero b divisore di numeri a, un numero a - multiplo di b.

Ad esempio, 24 è divisibile per 8, poiché esiste q = 3 tale che 24 = 8 3. Si può dire diversamente: 8 è un divisore di 24, e 24 è un multiplo di 8. Nel caso in cui a sia diviso per b, si scrivono: a:. b. Questo record "" si legge anche in questo modo: "a è un multiplo di b". Si noti che il concetto di "divisore di un dato numero" dovrebbe essere distinto dal concetto di "divisore", che denota il numero per cui è diviso. Ad esempio, se 18 divide per 5, il numero 5 è un divisore, ma 5 non è un divisore del numero 18. Se 18 divide 6, in questo caso i concetti di "divisore" e "divisore di questo numero" coincidere.

Dalla definizione della relazione di divisibilità e dell'uguaglianza a = 1·a, valida per ogni a naturale, segue che 1 è un divisore di qualsiasi numero naturale.

Scopriamo quanti divisori può avere un numero naturale a. Consideriamo innanzitutto il seguente teorema.

Teorema 1. Il divisore b di un dato numero a non supera questo numero, cioè Se

un: . b, poi b< а.

Prova. Dal: . b, allora esiste q Є N tale che a = bq u, quindi a-b = bq – b= b (q - uno). Poiché q Є N, allora q≥ 1. Allora b (q - 1) ≥ 0 e quindi , b ≤ a.

Da questo teorema segue che l'insieme dei divisori di un dato numero è finito. Chiamiamo, ad esempio, tutti i divisori del numero 36 formano un insieme finito (1,2,3,4,6,9,12,18,36).

A seconda del numero di divisori tra i numeri naturali, si distinguono i numeri primi e composti.

Definizione. Un numero primo è un numero naturale che ha solo due divisori: uno e il numero stesso.

Ad esempio, il numero 13 è primo perché ha solo due divisori: 1 e 13.

Definizione. Un numero composto è un numero naturale che ha più di due divisori.

Quindi il numero 4 è composto, ha tre divisori: 1,2 e 4.

Il numero 1 non è né primo né composto perché ha un solo divisore.

I numeri che sono multipli di un dato numero possono essere chiamati quanti ne vuoi - ce ne sono un numero infinito. Quindi, i numeri multipli di 4 formano una serie infinita: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ..., e tutti possono essere ottenuti con la formula a = 4q, dove q assume i valori 1, 2, 3, ... .

Sappiamo che la relazione di divisibilità ha una serie di proprietà, in particolare è riflessiva, antisimmetrica e transitiva. Ora, avendo una definizione della relazione di divisibilità, possiamo provare queste ed altre sue proprietà.

Teorema 2. La relazione di divisibilità è riflessiva, cioè Ogni numero naturale è divisibile per se stesso.

Prova. Per ogni a naturale, l'uguaglianza a = a 1 è vera. Poiché 1 Є N, quindi, per definizione della relazione di divisibilità, a: . un.

Teorema 3. La relazione di divisibilità è antisimmetrica, cioè se una: . b e a ≠ b,

poi b ⁞͞ a.

Prova. Supponiamo il contrario, cioè cosa b ⁞ un. Ma allora a ≤ b, secondo il teorema discusso sopra.

Per condizione e ⁞ . b e a ≠ b. Allora, per lo stesso teorema, b ≤ a.

Le disuguaglianze a ≤ b e b ≤ a saranno valide solo quando a = b, il che contraddice la condizione del teorema. Pertanto, la nostra ipotesi è sbagliata e il teorema è dimostrato.

Teorema 4. La relazione di divisibilità è transitiva, cioè se una ⁞ b e b ⁞ s, quindi a ⁞ Insieme a.

Prova. Dal: . b, allora esiste un numero naturale q tale che a = bq, e poiché b ⁞ c, allora esiste un numero naturale p tale che b = cp. Ma allora abbiamo: a = bq = (cp)q = c(pq)- Il numero pq è naturale. Quindi, per definizione della relazione di divisibilità,

un ⁞ Insieme a.

Teorema 5 (segno di divisibilità della somma). Se ciascuno dei numeri naturali a 1 , a 2 , ... e p è divisibile per un numero naturale b, allora la loro somma a 1 + a 2 + ... + a n è divisibile per questo numero.

Prova. Dal momento che un 1 ⁞ b, allora esiste un numero naturale q 1 tale che a 1 =bq 1 . Dal momento che un 2 ⁞ b, allora esiste un numero naturale q 2 tale che a 2 = bq 2 . Continuando il ragionamento, otteniamo che se a n: . b, allora esiste un numero naturale q n tale che a p = bq n . Queste uguaglianze ci permettono di trasformare la somma a 1 + a 2 + ... + a n in una somma della forma bq 1 + bq 2 + ... + bq n . Rimuoviamo il fattore comune b e il numero naturale q 1 + q 2 + ... + q n ottenuto tra parentesi è indicato dalla lettera q. Quindi un 1+ a 2 + ... + a n = b(q 1 + q 2 +... + q n) = bq, cioè la somma a 1 + a 2 +… + a p risulta essere rappresentata come un prodotto del numero b e di un certo numero naturale q. E questo significa che la somma a 1 + a 2 + ... + a p è divisibile per b, che doveva essere dimostrata.

Ad esempio, senza fare calcoli, possiamo dire che 175 + 360 + 915 è divisibile per 5, poiché ogni termine in questa somma è divisibile per 5.

Teorema 6 (test per la divisibilità di una differenza). Se i numeri a 1 e a 2 sono divisibili per b e a 1 ≥ a 2, allora la loro differenza a 1 - a 2 è divisibile per b.

La dimostrazione di questo teorema è simile alla dimostrazione del criterio di divisibilità di una somma.

Teorema 7 (test di divisibilità di un prodotto). Se il numero a è divisibile per b, allora il prodotto della forma ax, dove x Є N, è divisibile per b.

Prova. Dal: . b, allora esiste un numero naturale q tale che un= bq. Moltiplica entrambi i membri di questa uguaglianza per un numero naturale x. Allora ax=(bq)x, da cui, in base alla proprietà di associatività della moltiplicazione, (bq)x = b(qx) e, quindi, ax = b(qx), dove qx è un numero naturale. Secondo la definizione della relazione di divisibilità, ax: . b, che doveva essere dimostrato.

Segue dal teorema dimostrato che se uno dei fattori di un prodotto è divisibile per un numero naturale b, allora anche l'intero prodotto è divisibile per b. Ad esempio, il prodotto 24 976 305 è divisibile per 12, poiché il fattore 24 è divisibile per 12.

Considera altri tre teoremi relativi alla divisibilità della somma e del prodotto, che sono spesso usati per risolvere i problemi di divisibilità.

Teorema 8. Se nella somma un termine non è divisibile per il numero b, e tutti gli altri termini sono divisibili per il numero b, allora l'intera somma non è divisibile per il numero b.

Prova. Sia s = a 1 + a r + ... + a n + "c ed è noto che a 1: .B, e 2: .B,

un 3: . b, … e n: . b, ma con: . b. Dimostriamo che allora s: . b

Supponiamo il contrario, cioè Lets: . b. Trasformiamo la somma s nella forma ñ = s- ( un 1 + un 2 +… + un). Dal momento che: . b per ipotesi, ( un 1 + un 2 +… + un) : . b secondo il criterio di divisibilità della somma, quindi per il teorema di divisibilità della differenza c: .b

Arrivò ad una contraddizione con ciò che è dato. Pertanto, s: . b.

Ad esempio, la somma 34 + 125 + 376 + 1024 non è divisibile per 2, quindi 34: .2.376: .2.124: .2, ma 125 non è divisibile per 2.

Teorema 9 . Se nel prodotto ab il fattore unè divisibile per un numero naturale m, e il fattore b è divisibile per un numero naturale n, allora ab è divisibile per mn.

La validità di questa affermazione deriva dal teorema sulla divisibilità di un prodotto.

Teorema 10. Se il lavoro assoè divisibile per il prodotto bc, e c è quindi un numero naturale unè divisibile per b.

Prova. Dal momento che l'asso sta dividendo su bc, allora esiste un numero naturale q tale che ac = (bc)q, da cui ac = (bq)c e, di conseguenza, a = bq, cioè un:.b.

Esercizi

1. Spiega perché 15 è un divisore di 60 e non un divisore di 70.

2. Costruire un grafico della relazione "essere un divisore di un dato numero", dato sull'insieme X = (2, 6,. 12, 18, 24). Come le proprietà vengono riflesse in questo grafico data relazione?

3. È noto che il numero 24 è un divisore di 96 e il numero 96 è un divisore di 672. Dimostra che il numero 24 è un divisore di 672 senza dividere.

4. Annotare l'insieme dei divisori del numero.

a) 24; 6)13; in 1.

5 .Sull'insieme X =(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11; 12) è data la relazione "hanno lo stesso numero di divisori". È una relazione di equivalenza?

6 .Costruire una conclusione che dimostri che:

a) il numero 19 è primo;

b) il numero 22 è composto.

7. Dimostrare o smentire le seguenti affermazioni:

a) Se la somma di due termini è divisibile per un numero, allora ogni termine è anche divisibile per quel numero.

b) Se uno dei termini della somma non è divisibile per un numero, allora la somma non è divisibile per questo numero.

c) Se nessun termine è divisibile per un numero, la somma non è divisibile per quel numero.

d) Se uno dei termini della somma è divisibile per un numero e l'altro non è divisibile per questo numero, la somma non è divisibile per questo numero.

8. È vero che:

aa:. tipo b: . n =>ab: .mn

b) a: .n e b: .n => ab: .n;

c) ab: .n => a: .p o b: .n.