Si noti che gli elementi della matrice possono essere non solo numeri. Immagina di descrivere i libri che sono sulla tua libreria. Lascia che il tuo scaffale sia in ordine e tutti i libri stiano in luoghi rigorosamente definiti. Sarà una matrice anche la tabella che conterrà la descrizione della tua libreria (in base agli scaffali e alla sequenza dei libri sullo scaffale). Ma una tale matrice non sarà numerica. Un altro esempio. Al posto dei numeri esistono diverse funzioni, unite tra loro da una certa dipendenza. La tabella risultante sarà anche chiamata matrice. In altre parole, Matrix è un qualsiasi tavolo rettangolare composto da omogeneo elementi. Qui e sotto parleremo di matrici composte da numeri.

Invece delle parentesi, le matrici vengono scritte usando parentesi quadre o doppie linee verticali dritte.

(2.1*)

Definizione 2. Se nell'espressione(1) m = n , poi ne parlano matrice quadrata, cosa succede se , qualcosa a proposito di rettangolare.

A seconda dei valori di m e n, esistono alcuni tipi speciali di matrici:

La caratteristica più importante quadrato la matrice è sua determinante o determinante, che è composto da elementi di matrice ed è indicato

Ovviamente, D E =1 ; .

Definizione 3. Se una , poi la matrice UN chiamato non degenerato o Non è speciale.

Definizione 4. Se una detA = 0 , poi la matrice UN chiamato degenerare o speciale.

Definizione 5. Due matrici UN e B chiamato pari e scrivi A=B se hanno le stesse dimensioni e i loro elementi corrispondenti sono uguali, cioè.

Ad esempio, le matrici e sono uguali, perché hanno dimensioni uguali e ogni elemento di una matrice è uguale all'elemento corrispondente dell'altra matrice. Ma le matrici non possono essere chiamate uguali, sebbene i determinanti di entrambe le matrici siano uguali e le dimensioni delle matrici siano le stesse, ma non tutti gli elementi negli stessi posti sono uguali. Le matrici sono diverse perché hanno dimensioni diverse. La prima matrice è 2x3 e la seconda 3x2. Sebbene il numero di elementi sia lo stesso - 6 e gli elementi stessi sono gli stessi 1, 2, 3, 4, 5, 6, ma si trovano in luoghi diversi in ciascuna matrice. Ma le matrici e sono uguali, secondo la Definizione 5.

Definizione 6. Se fissiamo un certo numero di colonne di matrice UN e lo stesso numero delle sue righe, quindi gli elementi all'intersezione delle colonne e delle righe specificate formano una matrice quadrata n- esimo ordine, il cui determinante chiamato minore K- matrice dell'ordine UN.

Esempio. Scrivi tre minori del secondo ordine della matrice

Una matrice è una tabella rettangolare riempita con alcuni oggetti matematici. Per la maggior parte, considereremo matrici con elementi di qualche campo, sebbene molte proposizioni rimangano valide se consideriamo elementi di un anello associativo (non necessariamente commutativo) come elementi di matrici.

Molto spesso, gli elementi di una matrice sono indicati da una lettera con due indici che indicano l '"indirizzo" dell'elemento: il primo indice fornisce il numero della riga contenente l'elemento, il secondo - il numero della colonna. Pertanto, la matrice (di dimensioni ) è scritta nella forma

Le matrici inserite dai numeri sorgono naturalmente quando si considerano i sistemi equazioni lineari

L'input di questo problema è un insieme di coefficienti che formano naturalmente una matrice

e un insieme di termini liberi che formano una matrice con una sola colonna. Il desiderato è un insieme di valori delle incognite, che, a quanto pare, è anche conveniente rappresentare sotto forma di una matrice composta da una colonna.

Un ruolo importante è svolto dalle cosiddette matrici diagonali. Questo nome si riferisce a matrici quadrate che hanno tutti gli elementi uguali a zero, ad eccezione degli elementi della diagonale principale, cioè elementi in posizione

Si indica una matrice diagonale D con voci diagonali

Una matrice composta da elementi situati all'intersezione di più righe selezionate della matrice A e più colonne selezionate è chiamata sottomatrice per la matrice A. Se sono i numeri delle righe selezionate e sono i numeri delle colonne selezionate, la sottomatrice corrispondente è

In particolare, le righe e le colonne di una matrice possono essere considerate come sue sottomatrici.

Le matrici sono naturalmente correlate alla sostituzione lineare ( trasformazione lineare) variabili. Questo nome si riferisce al passaggio dal sistema originale di variabili ad un altro, nuovo, collegato da formule

La sostituzione lineare delle variabili è data dalla matrice dei coefficienti

Tra i sistemi di equazioni lineari valore più alto hanno sistemi in cui il numero di equazioni è uguale al numero di incognite. Tra le sostituzioni lineari di variabili, il ruolo principale è svolto dalle sostituzioni in cui il numero di variabili iniziali e nuove è lo stesso. In queste situazioni la matrice dei coefficienti risulta essere quadrata, cioè avente lo stesso numero di righe e colonne; questo numero è chiamato ordine della matrice quadrata.

Invece di dire "una matrice composta da una riga" e "una matrice composta da una colonna", dicono in breve: riga, colonna.

Matrice dimensione è chiamato tavolo rettangolare, costituito da elementi disposti in m linee e n colonne.

Elementi della matrice (primo indice io− numero di riga, secondo indice j− numero di colonna) possono essere numeri, funzioni, ecc. Le matrici sono indicate con lettere maiuscole dell'alfabeto latino.

La matrice è chiamata quadrato se il suo numero di righe è uguale al numero di colonne ( m = n). In questo caso, il numero nè chiamato ordine della matrice e la matrice stessa è chiamata matrice n-esimo ordine.

Elementi con lo stesso indice modulo diagonale principale matrice quadrata, e gli elementi (cioè aventi la somma degli indici uguale a n+1) − diagonale secondaria.

Solitario matrice chiamato matrice quadrata, tutti gli elementi della diagonale principale di cui sono uguali a 1 e gli elementi rimanenti sono uguali a 0. È indicato dalla lettera e.

Zero matriceè una matrice i cui elementi sono tutti uguali a 0. La matrice zero può essere di qualsiasi dimensione.

Al numero operazioni lineari su matrici relazionare:

1) addizione di matrici;

2) moltiplicazione di matrici per un numero.

L'operazione di addizione di matrici è definita solo per matrici della stessa dimensione.

La somma di due matrici MA e A chiamata matrice DA, i cui elementi sono tutti uguali alle somme dei corrispondenti elementi delle matrici MA e A:

.

Prodotto a matrice MA per numero K chiamata matrice A, i cui elementi sono tutti uguali agli elementi corrispondenti della matrice data MA moltiplicato per il numero K:

Operazione moltiplicazioni matriciali viene introdotto per le matrici che soddisfano la condizione: il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda.

Prodotto a matrice MA dimensioni alla matrice A dimensione è chiamata matrice DA dimensioni, elemento io-esima riga e j la cui colonna è uguale alla somma dei prodotti degli elementi io esima riga della matrice MA sugli elementi rilevanti j-esima colonna della matrice A:

Il prodotto delle matrici (a differenza del prodotto dei numeri reali) non obbedisce alla legge commutativa, cioè in generale MA A A MA.

1.2. Determinanti. Proprietà del qualificatore

Il concetto di determinante introdotto solo per matrici quadrate.

Il determinante di una matrice di 2° ordine è un numero calcolato secondo la seguente regola

.

Determinante della matrice del 3° ordine è un numero calcolato secondo la seguente regola:

Il primo dei termini con il segno “+” è il prodotto degli elementi situati sulla diagonale principale della matrice (). Gli altri due contengono elementi situati ai vertici dei triangoli con una base parallela alle diagonali principali. Con il segno "-" sono compresi i prodotti degli elementi della diagonale secondaria () e degli elementi che formano triangoli con basi parallele a questa diagonale (e).

Questa regola per calcolare il determinante del 3° ordine è chiamata regola dei triangoli (o regola di Sarrus).

Proprietà del qualificatore Consideriamo l'esempio dei determinanti di 3° ordine.

1. Quando si sostituiscono tutte le righe del determinante con colonne con gli stessi numeri delle righe, il determinante non cambia il suo valore, ad es. righe e colonne del determinante sono uguali

.

2. Quando due righe (colonne) vengono scambiate, il determinante cambia segno.

3. Se tutti gli elementi di una determinata riga (colonna) sono zeri, il determinante è 0.

4. Il fattore comune di tutti gli elementi di una riga (colonna) può essere estratto dal segno del determinante.

5. Il determinante contenente due righe (colonne) identiche è 0.

6. Il determinante contenente due righe proporzionali (colonne) è uguale a zero.

7. Se ogni elemento di una certa colonna (riga) di un determinante rappresenta la somma di due termini, allora il determinante è uguale alla somma di due determinanti, uno dei quali contiene i primi termini nella stessa colonna (riga) e il secondo - il secondo. Gli elementi rimanenti di entrambi i determinanti sono gli stessi. Così,

.

8. Il determinante non cambia se gli elementi corrispondenti di un'altra colonna (riga) moltiplicati per lo stesso numero vengono aggiunti agli elementi di una qualsiasi delle sue colonne (righe).

La prossima proprietà del determinante è relativa ai concetti di complemento minore e algebrico.

Minore elemento di un determinante è il determinante ottenuto dal dato cancellando la riga e la colonna all'intersezione di cui si trova questo elemento.

Ad esempio, l'elemento minore del determinanteè chiamato determinante.

Addizione algebrica elemento del determinante è detto minore moltiplicato per dove io− numero di riga, j− numero della colonna all'intersezione della quale si trova l'elemento. Il complemento algebrico è solitamente indicato. Per un elemento determinante di 3° ordine, il complemento algebrico

9. Il determinante è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di ogni riga (colonna) e delle corrispondenti addizioni algebriche.

Ad esempio, il determinante può essere esteso agli elementi della prima riga

,

o seconda colonna

Le proprietà dei determinanti vengono utilizzate per calcolarli.

Questo argomento tratterà operazioni come addizione e sottrazione di matrici, moltiplicazione di una matrice per un numero, moltiplicazione di una matrice per una matrice, trasposizione di matrici. Tutti i simboli utilizzati in questa pagina sono presi dall'argomento precedente.

Addizione e sottrazione di matrici.

La somma $A+B$ delle matrici $A_(m\times n)=(a_(ij))$ e $B_(m\times n)=(b_(ij))$ è la matrice $C_(m \times n) =(c_(ij))$, dove $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ per tutti $i=\overline(1,m)$ e $j=\overline( 1,n) $.

Una definizione simile viene introdotta per la differenza di matrici:

La differenza $A-B$ delle matrici $A_(m\times n)=(a_(ij))$ e $B_(m\times n)=(b_(ij))$ è la matrice $C_(m\times n)=( c_(ij))$, dove $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ per tutti $i=\overline(1,m)$ e $j=\overline(1, n)$.

Spiegazione per la voce $i=\overline(1,m)$: show\hide

La voce "$i=\overline(1,m)$" significa che il parametro $i$ cambia da 1 a m. Ad esempio, la voce $i=\overline(1,5)$ dice che il parametro $i$ assume i valori 1, 2, 3, 4, 5.

Vale la pena notare che le operazioni di addizione e sottrazione sono definite solo per matrici della stessa dimensione. In generale, l'addizione e la sottrazione di matrici sono operazioni intuitivamente chiare, perché significano, di fatto, solo la somma o la sottrazione degli elementi corrispondenti.

Esempio 1

Si danno tre matrici:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$

È possibile trovare la matrice $A+F$? Trova le matrici $C$ e $D$ se $C=A+B$ e $D=A-B$.

La matrice $A$ contiene 2 righe e 3 colonne (in altre parole, la dimensione della matrice $A$ è $2\x 3$) e la matrice $F$ contiene 2 righe e 2 colonne. Le dimensioni della matrice $A$ e $F$ non corrispondono, quindi non possiamo sommarle, ad es. l'operazione $A+F$ per queste matrici non è definita.

Le dimensioni delle matrici $A$ e $B$ sono le stesse, cioè i dati della matrice contengono pari importo righe e colonne, quindi l'operazione di addizione è applicabile a loro.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$

Trova la matrice $D=A-B$:

$$ D=AB=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$

Risposta: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 e 23 e -97 \\ 2 e 9 e 6 \end(array) \right)$.

Moltiplicare una matrice per un numero.

Il prodotto della matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ e il numero $\alpha$ è la matrice $B_(m\times n)=(b_(ij))$, dove $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ per tutti $i=\overline(1,m)$ e $j=\overline(1,n)$.

In poche parole, moltiplicare una matrice per un numero significa moltiplicare ogni elemento della matrice data per quel numero.

Esempio #2

Data una matrice: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Trova le matrici $3\cdot A$, $-5\cdot A$ e $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( array) (ccc) 3\cdot(-1) e 3\cdot(-2) e 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 e 3\cdot 9 e 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (array) (ccc) -1 e -2 e 7 \\ 4 e 9 e 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 e 10 e -35 \\ -20 e -45 e 0 \end(array) \right). $$

La notazione $-A$ è un'abbreviazione di $-1\cdot A$. Cioè, per trovare $-A$, devi moltiplicare tutti gli elementi della matrice $A$ per (-1). Ciò significa infatti che il segno di tutti gli elementi della matrice $A$ cambierà in senso opposto:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Risposta: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Il prodotto di due matrici.

La definizione di questa operazione è macchinosa e, a prima vista, incomprensibile. Pertanto, premetto che in primo luogo definizione generale, quindi analizzeremo in dettaglio cosa significa e come lavorarci.

Il prodotto della matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ e della matrice $B_(n\times k)=(b_(ij))$ è la matrice $C_(m\times k) )=(c_( ij))$ per cui ogni elemento $c_(ij)$ è uguale alla somma dei prodotti del corrispondente i-esimo elemento righe della matrice $A$ dagli elementi della j-esima colonna della matrice $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj ), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Passo dopo passo, analizzeremo la moltiplicazione delle matrici usando un esempio. Tuttavia, dovresti immediatamente prestare attenzione che non tutte le matrici possono essere moltiplicate. Se vogliamo moltiplicare la matrice $A$ per la matrice $B$, allora prima dobbiamo assicurarci che il numero di colonne della matrice $A$ sia uguale al numero di righe della matrice $B$ (tali matrici sono spesso chiamate concordato). Ad esempio, la matrice $A_(5\times 4)$ (la matrice contiene 5 righe e 4 colonne) non può essere moltiplicata per la matrice $F_(9\times 8)$ (9 righe e 8 colonne), poiché il numero di colonne di matrice $A $ non è uguale al numero di righe della matrice $F$, cioè $4\neq 9$. Ma è possibile moltiplicare la matrice $A_(5\times 4)$ per la matrice $B_(4\times 9)$, poiché il numero di colonne della matrice $A$ è uguale al numero di righe della matrice $B$. In questo caso, il risultato della moltiplicazione delle matrici $A_(5\times 4)$ e $B_(4\times 9)$ è la matrice $C_(5\times 9)$, contenente 5 righe e 9 colonne:

Esempio #3

Matrici date: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (array) \right)$ e $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. Trova la matrice $C=A\cpunto B$.

Per cominciare, determiniamo immediatamente la dimensione della matrice $C$. Poiché la matrice $A$ ha dimensione $3\volte 4$ e la matrice $B$ ha dimensione $4\volte 2$, la dimensione della matrice $C$ è $3\volte 2$:

Quindi, come risultato del prodotto delle matrici $A$ e $B$, dovremmo ottenere la matrice $C$, composta da tre righe e due colonne: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Se le designazioni degli elementi sollevano domande, puoi guardare l'argomento precedente: "Matrici. Tipi di matrici. Termini di base", all'inizio del quale viene spiegata la designazione degli elementi della matrice. Il nostro obiettivo è trovare i valori di tutti gli elementi della matrice $C$.

Iniziamo con l'elemento $c_(11)$. Per ottenere l'elemento $c_(11)$, devi trovare la somma dei prodotti degli elementi della prima riga della matrice $A$ e della prima colonna della matrice $B$:

Per trovare l'elemento $c_(11)$ stesso, devi moltiplicare gli elementi della prima riga della matrice $A$ per gli elementi corrispondenti della prima colonna della matrice $B$, cioè il primo elemento al primo, il secondo al secondo, il terzo al terzo, il quarto al quarto. Riassumiamo i risultati ottenuti:

$$ c_(11)=-1\cpunto (-9)+2\cpunto 6+(-3)\cpunto 7 + 0\cpunto 12=0. $$

Continuiamo la soluzione e troviamo $c_(12)$. Per fare ciò, devi moltiplicare gli elementi della prima riga della matrice $A$ e della seconda colonna della matrice $B$:

Analogamente al precedente, abbiamo:

$$ c_(12)=-1\cpunto 3+2\cpunto 20+(-3)\cpunto 0 + 0\cpunto (-4)=37. $$

Vengono trovati tutti gli elementi della prima riga della matrice $C$. Passiamo alla seconda riga, che inizia con l'elemento $c_(21)$. Per trovarlo, devi moltiplicare gli elementi della seconda riga della matrice $A$ e della prima colonna della matrice $B$:

$$ c_(21)=5\cpunto (-9)+4\cpunto 6+(-2)\cpunto 7 + 1\cpunto 12=-23. $$

L'elemento successivo $c_(22)$ si trova moltiplicando gli elementi della seconda riga della matrice $A$ per i corrispondenti elementi della seconda colonna della matrice $B$:

$$ c_(22)=5\cpunto 3+4\cpunto 20+(-2)\cpunto 0 + 1\cpunto (-4)=91. $$

Per trovare $c_(31)$ moltiplichiamo gli elementi della terza riga della matrice $A$ per gli elementi della prima colonna della matrice $B$:

$$ c_(31)=-8\cpunto (-9)+11\cpunto 6+(-10)\cpunto 7 + (-5)\cpunto 12=8. $$

Infine, per trovare l'elemento $c_(32)$, devi moltiplicare gli elementi della terza riga della matrice $A$ per i corrispondenti elementi della seconda colonna della matrice $B$:

$$ c_(32)=-8\cpunto 3+11\cpunto 20+(-10)\cpunto 0 + (-5)\cpunto (-4)=216. $$

Tutti gli elementi della matrice $C$ sono stati trovati, resta solo da scrivere che $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array ) \destra)$ . Oppure, per scriverlo per intero:

$$ C=A\cpunto B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Risposta: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

A proposito, spesso non c'è motivo di descrivere in dettaglio la posizione di ciascun elemento della matrice dei risultati. Per le matrici la cui dimensione è piccola, puoi fare quanto segue:

$$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 e 90 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 6\cdot(4)+3\cdot(-6) & 6\cdot(9)+3\cdot(90 ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(array) \right) =\left (\begin(array) (cc) 6 e 324 \\ -56 e -333 \end(array) \right) $$

Vale anche la pena notare che la moltiplicazione di matrici non è commutativa. Ciò significa che in generale $A\cdot B\neq B\cdot A$. Solo per alcuni tipi di matrici, che si chiamano permutativo(o pendolarismo), l'uguaglianza $A\cdot B=B\cdot A$ è vera. È sulla base della non commutatività della moltiplicazione che si richiede di indicare esattamente come moltiplichiamo l'espressione per l'una o l'altra matrice: a destra oa sinistra. Ad esempio, la frase "moltiplica entrambi i membri dell'uguaglianza $3E-F=Y$ per la matrice $A$ a destra" significa che vuoi ottenere la seguente uguaglianza: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Trasposta rispetto alla matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ è la matrice $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, per elementi in cui $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

In poche parole, per ottenere la matrice trasposta $A^T$, è necessario sostituire le colonne della matrice originale $A$ con le righe corrispondenti secondo questo principio: c'era la prima riga - diventerà la prima colonna; c'era una seconda riga: la seconda colonna diventerà; c'era una terza riga - ci sarà una terza colonna e così via. Ad esempio, troviamo la matrice trasposta nella matrice $A_(3\times 5)$:

Di conseguenza, se la matrice originale aveva dimensione $ 3 \ x 5 $, la matrice trasposta ha dimensione $ 5 \ x 3 $.

Alcune proprietà delle operazioni su matrici.

Si assume qui che $\alpha$, $\beta$ siano alcuni numeri e $A$, $B$, $C$ siano matrici. Per le prime quattro proprietà ho indicato i nomi, le altre possono essere nominate per analogia con le prime quattro.