Imposta. Operazioni sui set.
Imposta visualizzazione. Imposta la potenza

Ti do il benvenuto alla prima lezione di algebra superiore, che è apparsa ... alla vigilia del quinto anniversario del sito, dopo che avevo già creato più di 150 articoli di matematica e i miei materiali hanno iniziato a prendere forma in un corso completato . Tuttavia, spero di non essere in ritardo - dopotutto, molti studenti iniziano ad approfondire le lezioni solo per esami di stato =)

Il corso universitario di vyshmat si basa tradizionalmente su tre pilastri:

– analisi matematica (limiti, derivati eccetera.)

– e, infine, si apre con le lezioni la stagione accademica 2015/16 Algebra per manichini, Elementi di logica matematica, su cui analizzeremo le basi della sezione, oltre a conoscere i concetti matematici di base e la notazione comune. Devo dire che in altri articoli non abuso degli "scarabocchi" , tuttavia, questo è solo uno stile e, ovviamente, devono essere riconosciuti in qualsiasi stato =). Informo i nuovi lettori che le mie lezioni sono orientate alla pratica e il seguente materiale sarà presentato in questo senso. Per informazioni più complete e accademiche, si prega di contattare letteratura educativa. Andare:

Molti. Dare esempi

Un insieme è un concetto fondamentale non solo della matematica, ma del mondo intero che lo circonda. Prendi qualsiasi oggetto che hai in mano in questo momento. Qui hai un set composto da un elemento.

In senso lato, un set è una raccolta di oggetti (elementi) che sono intesi come un tutto(secondo determinati segni, criteri o circostanze). Inoltre, questi non sono solo oggetti materiali, ma anche lettere, numeri, teoremi, pensieri, emozioni, ecc.

Gli insiemi sono generalmente indicati con lettere latine maiuscole. (in opzione, con pedici: ecc.) e i suoi elementi sono scritti tra parentesi graffe, ad esempio:

- un insieme di lettere dell'alfabeto russo;
- molti numeri naturali;

Bene, è ora di conoscersi un po':
– molti studenti in prima fila

… sono felice di vedere i tuoi volti seri e concentrati =)

Insiemi e sono finale(costituito da un numero finito di elementi) e un insieme è un esempio infinito imposta. Inoltre, in teoria e in pratica, i cosiddetti set vuoto:

è un insieme che non contiene alcun elemento.

L'esempio ti è ben noto: il set dell'esame è spesso vuoto =)

L'appartenenza di un elemento ad un insieme è indicata dal simbolo , ad esempio:

- la lettera "be" appartiene all'insieme delle lettere dell'alfabeto russo;
- la lettera "beta" non appartiene all'insieme delle lettere dell'alfabeto russo;
– il numero 5 appartiene all'insieme dei numeri naturali;
- ma il numero 5.5 non c'è più;
- Voldemar non siede in prima fila (e ancor di più, non appartiene al set o =)).

In astratto e non così algebra, gli elementi di un insieme sono indicati da minuscole lettere latine e, di conseguenza, il fatto di appartenenza è redatto nel seguente stile:

– l'elemento appartiene all'insieme.

I set di cui sopra sono scritti trasferimento diretto elementi, ma questo non è l'unico modo. Molti set sono opportunamente definiti usando alcuni cartello (S), che è inerente a tutti i suoi elementi. Per esempio:

è l'insieme di tutti i numeri naturali minori di 100.

Ricorda: un lungo bastone verticale esprime il ribaltamento verbale "che", "tale che". Abbastanza spesso si usano invece i due punti: - leggiamo la voce in modo più formale: "l'insieme degli elementi appartenenti all'insieme dei numeri naturali, tale che » . Ben fatto!

Questo insieme può anche essere scritto per enumerazione diretta:

Altri esempi:
- e se ci sono molti studenti nella prima riga, allora un tale record è molto più conveniente del loro elenco diretto.

è l'insieme dei numeri appartenenti all'intervallo. Si noti che questo si riferisce al set valido numeri (su di loro più tardi), che non possono più essere elencati separati da virgole.

Va notato che gli elementi di un insieme non devono essere "omogenei" o logicamente correlati. Prendi una borsa grande e inizia a metterci dentro casualmente vari oggetti. Non c'è regolarità in questo, ma, tuttavia, stiamo parlando di una varietà di argomenti. In senso figurato, un set è un "pacchetto" separato in cui un determinato insieme di oggetti si è rivelato essere "per volontà del destino".

Sottoinsiemi

Quasi tutto è chiaro dal nome stesso: il set lo è sottoinsieme set se ogni elemento dell'insieme appartiene all'insieme. In altre parole, un insieme è contenuto in un insieme:

Un'icona è chiamata icona inclusione.

Torniamo all'esempio in cui è l'insieme di lettere dell'alfabeto russo. Denota con - l'insieme delle sue vocali. Quindi:

È anche possibile individuare un sottoinsieme di lettere consonantiche e, in generale, un sottoinsieme arbitrario costituito da un numero qualsiasi di lettere cirilliche prese casualmente (o non casualmente). In particolare, qualsiasi lettera cirillica è un sottoinsieme dell'insieme.

Le relazioni tra sottoinsiemi sono convenientemente rappresentate usando uno schema geometrico condizionale chiamato Cerchi di Eulero.

Sia un insieme di studenti nella prima riga, sia un insieme di studenti di gruppo e sia un insieme di studenti universitari. Allora la relazione di inclusioni può essere rappresentata come segue:

L'insieme degli studenti di un'altra università dovrebbe essere rappresentato come un cerchio che non interseca il cerchio esterno; la moltitudine di studenti del paese in un cerchio che contiene entrambi questi circoli, e così via.

Vediamo un tipico esempio di inclusioni quando si considerano insiemi numerici. Ripetiamo materiale scolastico, che è importante tenere a mente quando si studia matematica superiore:

Insiemi numerici

Com'è noto, storicamente sono stati i primi ad apparire i numeri naturali, atti a contare oggetti materiali (persone, galline, pecore, monete, ecc.). Questo set è già stato soddisfatto nell'articolo, l'unica cosa è che ora stiamo leggermente modificando la sua designazione. Il fatto è che gli insiemi numerici sono generalmente indicati da lettere in grassetto, stilizzate o addensate. Preferisco usare il grassetto:

A volte lo zero è incluso nell'insieme dei numeri naturali.

Se aggiungiamo gli stessi numeri con segno opposto e zero all'insieme, otteniamo insieme di numeri interi:

I razionalizzatori e i pigri scrivono i suoi elementi con le icone "più meno":))

È abbastanza chiaro che l'insieme dei numeri naturali è un sottoinsieme dell'insieme degli interi:
- poiché ogni elemento dell'insieme appartiene all'insieme. Pertanto, qualsiasi numero naturale può essere tranquillamente chiamato intero.

Anche il nome dell'insieme è "parlante": numeri interi - questo significa nessuna frazione.

E, non appena sono interi, ricordiamo subito gli importanti segni della loro divisibilità per 2, 3, 4, 5 e 10, che saranno richiesti nei calcoli pratici quasi ogni giorno:

Un intero è divisibile per 2 senza resto se termina con 0, 2, 4, 6 o 8 (cioè qualsiasi cifra pari). Ad esempio, i numeri:
400, -1502, -24, 66996, 818 - diviso per 2 senza resto.

E analizziamo subito il segno "correlato": numero intero divisibile per 4 se il numero è composto dalle ultime due cifre (nel loro ordine)è divisibile per 4.

400 è divisibile per 4 (perché 00 (zero) è divisibile per 4);
-1502 - non divisibile per 4 (perché 02 (due) non è divisibile per 4);
-24, ovviamente, è divisibile per 4;
66996 - divisibile per 4 (perché 96 è divisibile per 4);
818 - non divisibile per 4 (perché 18 non è divisibile per 4).

Fai la tua semplice giustificazione per questo fatto.

La divisibilità per 3 è un po' più difficile: un intero è divisibile per 3 senza resto se la somma delle sue cifreè divisibile per 3.

Verifichiamo se il numero 27901 è divisibile per 3. Per fare ciò, riassumiamo i suoi numeri:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 - non divisibile per 3
Conclusione: 27901 non è divisibile per 3.

Sommiamo le cifre del numero -825432:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 - divisibile per 3
Conclusione: il numero -825432 è divisibile per 3

Il numero intero è divisibile per 5, se termina con un cinque o uno zero:
775, -2390 - divisibile per 5

Il numero intero è divisibile per 10 se finisce per zero:
798400 - divisibile per 10 (e ovviamente a 100). Bene, probabilmente tutti ricordano: per dividere per 10, devi solo rimuovere uno zero: 79840

Ci sono anche segni di divisibilità per 6, 8, 9, 11, ecc., ma non hanno praticamente alcun senso pratico =)

Va notato che i criteri elencati (apparentemente così semplici) sono rigorosamente dimostrati teoria dei numeri. Questa sezione di algebra è generalmente piuttosto interessante, ma i suoi teoremi ... solo un'esecuzione cinese moderna =) E Voldemar all'ultimo banco è stato sufficiente ... ma va bene, presto faremo esercizi fisici vivificanti =)

Il prossimo numero impostato è molti numeri razionali :
- cioè qualsiasi numero razionale può essere rappresentato come una frazione con un intero numeratore e naturale denominatore.

Ovviamente, l'insieme degli interi lo è sottoinsieme insiemi di numeri razionali:

E infatti - dopotutto, qualsiasi numero intero può essere rappresentato come una frazione razionale, ad esempio: eccetera. Pertanto, un numero intero può essere legittimamente chiamato un numero razionale.

Un caratteristico segno "identificativo" di un numero razionale è il fatto che quando si divide il numeratore per il denominatore, si ottiene o
è un numero intero,

o
– ultimo decimale,

o
- infinito periodico decimale (la riproduzione potrebbe non iniziare immediatamente).

Ammira la divisione e cerca di eseguire questa azione il meno possibile! Nell'art Matematica superiore per manichini e in altre lezioni ho ripetuto, ripetuto e ripeterò più volte questo mantra:

A matematica superiore ci sforziamo di eseguire tutte le azioni in frazioni ordinarie (corrette e improprie).

D'accordo sul fatto che trattare con una frazione è molto più conveniente che con numero decimale 0,375 (per non parlare delle infinite frazioni).

Andiamo oltre. Oltre a quelli razionali, ce ne sono molti numeri irrazionali, ognuno dei quali può essere rappresentato come un infinito non periodico frazione decimale. In altre parole, non c'è regolarità nelle "code infinite" dei numeri irrazionali:
("anno di nascita di Leone Tolstoj" due volte)
eccetera.

Ci sono molte informazioni sulle famose costanti "pi" ed "e", quindi non mi soffermo su di esse.

Si forma l'unione di numeri razionali e irrazionali insieme di numeri reali (reali).:

- icona associazioni imposta.

L'interpretazione geometrica dell'insieme ti è familiare: è una linea numerica:


Ogni numero reale corrisponde a un certo punto della linea dei numeri e viceversa: ogni punto della linea dei numeri corrisponde necessariamente a un numero reale. In sostanza, ora ho formulato proprietà di continuità numeri reali, che, sebbene sembri ovvio, è rigorosamente dimostrato nel corso dell'analisi matematica.

La linea dei numeri è anche indicata da un intervallo infinito e la notazione o notazione equivalente simboleggia il fatto che appartiene all'insieme dei numeri reali (o semplicemente "x" - un numero reale).

Con gli embedding tutto è trasparente: l'insieme dei numeri razionali lo è sottoinsieme insiemi di numeri reali:
, quindi, qualsiasi numero razionale può essere tranquillamente chiamato un numero reale.

Anche l'insieme dei numeri irrazionali è sottoinsieme numeri reali:

Allo stesso tempo, sottoinsiemi e non si intersecano- cioè nessun numero irrazionale può essere rappresentato come frazione razionale.

Ci sono altri sistemi numerici? Esistere! Questo, per esempio, numeri complessi, con il quale vi consiglio di leggere letteralmente nei prossimi giorni o addirittura ore.

Nel frattempo, passiamo allo studio delle operazioni di set, il cui spirito si è già concretizzato alla fine di questo paragrafo:

Azioni sui set. Diagrammi di Venn

I diagrammi di Venn (simili ai cerchi di Eulero) sono una rappresentazione schematica di azioni con insiemi. Ancora una volta, ti avverto che non coprirò tutte le operazioni:

1) intersezione E ed è contrassegnato con

L'intersezione degli insiemi è chiamata insieme, a cui appartiene ogni elemento e impostare , e impostare . In parole povere, un'intersezione è una parte comune degli insiemi:

Quindi, ad esempio, per gli insiemi:

Se gli insiemi non hanno elementi identici, la loro intersezione è vuota. Ci siamo appena imbattuti in un esempio del genere quando si considerano gli insiemi numerici:

Gli insiemi di numeri razionali e irrazionali possono essere rappresentati schematicamente da due cerchi non sovrapposti.

L'operazione di intersezione è applicabile a un numero maggiore di insiemi, in particolare Wikipedia ne ha una buona un esempio dell'intersezione di insiemi di lettere di tre alfabeti.

2) Un'associazione set è caratterizzato da una connessione logica O ed è contrassegnato con

Un'unione di insiemi è un insieme, ogni elemento del quale appartiene all'insieme o impostare :

Scriviamo l'unione degli insiemi:
- grosso modo, qui devi elencare tutti gli elementi degli insiemi e , e gli stessi elementi (in questo caso, l'unità all'intersezione degli insiemi) deve essere specificato una volta.

Ma gli insiemi, ovviamente, potrebbero non intersecarsi, come nel caso dei numeri razionali e irrazionali:

In questo caso, puoi disegnare due cerchi ombreggiati non intersecanti.

L'operazione di unione è applicabile per più insiemi, ad esempio se , allora:

I numeri non devono essere in ordine crescente. (l'ho fatto solo per motivi estetici). Senza ulteriori indugi, il risultato può essere scritto in questo modo:

3) differenza e non appartiene all'insieme:

La differenza si legge come segue: “a senza essere”. E puoi argomentare esattamente allo stesso modo: considera gli insiemi. Per annotare la differenza, devi "buttare fuori" tutti gli elementi che sono nel set dal set:

Esempio con insiemi numerici:
- qui tutti i numeri naturali sono esclusi dall'insieme degli interi e la notazione stessa recita così: "l'insieme degli interi senza l'insieme dei naturali".

Specchio: differenza set e chiamare l'insieme, ogni elemento del quale appartiene all'insieme e non appartiene all'insieme:

Per gli stessi set
- dal set "butta fuori" ciò che c'è nel set.

Ma questa differenza risulta essere vuota: . E infatti - se gli interi sono esclusi dall'insieme dei numeri naturali, allora, in effetti, non rimarrà nulla :)

Inoltre, a volte considera simmetrico la differenza che unisce le due "mezzalune":
- in altre parole, è "tutto tranne l'intersezione degli insiemi".

4) Prodotto cartesiano (diretto). insiemi ed è chiamato insieme tutto ordinato coppie in cui l'elemento e l'elemento

Scriviamo prodotto cartesiano imposta :
- è conveniente enumerare le coppie secondo il seguente algoritmo: “prima, associamo in sequenza ogni elemento dell'insieme al 1° elemento dell'insieme, quindi associamo ogni elemento dell'insieme al 2° elemento dell'insieme, quindi attacca ogni elemento del set al 3° elemento del set»:

Specchio: prodotto cartesiano insiemi ed è chiamato l'insieme di tutti ordinato coppie in cui . Nel nostro esempio:
- qui lo schema di registrazione è simile: prima associamo in sequenza tutti gli elementi del set a "meno uno", quindi a "de" - gli stessi elementi:

Ma questo è puramente per comodità - in entrambi i casi, le coppie possono essere elencate in qualsiasi ordine - è importante scrivere qui tutto possibili coppie.

E ora il clou del programma: il prodotto cartesiano non è altro che un insieme di punti nel nostro nativo Sistema di coordinate cartesiano .

Esercizio per materiale autofissante:

Eseguire operazioni se:

Molti conviene descriverlo elencando i suoi elementi.

E una moda passeggera con intervalli di numeri reali:

Ricordiamo che la parentesi quadra significa inclusione numeri nell'intervallo e arrotondarlo esclusione, ovvero "meno uno" appartiene all'insieme e "tre" non appartiene all'insieme. Cerca di capire qual è il prodotto cartesiano di questi insiemi. In caso di difficoltà, segui il disegno;)

Breve soluzione del problema alla fine della lezione.

Imposta visualizzazione

Schermo impostato per impostare è regola, secondo cui ogni elemento dell'insieme è associato ad uno o più elementi dell'insieme . Nel caso in cui corrisponda l'unico elemento, questa regola viene chiamata chiaramente definito funzione o semplicemente funzione.

La funzione, come molte persone sanno, è spesso indicata da una lettera: associa a ogni element è l'unico valore che appartiene all'insieme.

Bene, ora disturberò di nuovo molti studenti della prima fila e offrirò loro 6 argomenti per abstract (set):

Installato (volontariamente o involontariamente =)) la regola associa ogni studente del set ad un unico argomento dell'abstract del set.

... e probabilmente non potresti nemmeno immaginare di interpretare il ruolo di un argomento di funzione =) =)

Gli elementi della forma impostata dominio funzioni (indicate da ), e gli elementi dell'insieme - gamma funzioni (indicate da ).

La mappatura costruita degli insiemi ha una caratteristica molto importante: lo è uno a uno o biettivo(biiezione). In questo esempio, questo significa che a ogni lo studente è allineato uno unico argomento del saggio e viceversa - per ciascuno uno e un solo studente è fissato dall'argomento dell'abstract.

Tuttavia, non si deve pensare che ogni mappatura sia biunivoca. Se il 7° studente viene aggiunto alla prima riga (al set), la corrispondenza uno a uno scomparirà o uno degli studenti rimarrà senza argomento (nessuna visualizzazione) o un argomento andrà a due studenti contemporaneamente. La situazione inversa: se un settimo argomento viene aggiunto al set, anche la mappatura uno-a-uno andrà persa - uno degli argomenti rimarrà non rivendicato.

Cari studenti, in prima fila, non siate arrabbiati: le restanti 20 persone dopo la lezione andranno a ripulire il territorio dell'università dal fogliame autunnale. Il responsabile delle forniture consegnerà venti golik, dopodiché verrà stabilita una corrispondenza uno a uno tra la parte principale del gruppo e le scope ..., e anche Voldemar avrà il tempo di correre al negozio =)). unico"y", e viceversa - per qualsiasi valore di "y" possiamo ripristinare inequivocabilmente "x". Quindi, è una funzione biunivoca.

! Per ogni evenienza, elimino un possibile malinteso: la mia costante riserva sulla portata non è casuale! La funzione potrebbe non essere definita per tutte le "x" e, inoltre, anche in questo caso potrebbe essere biunivoca. Esempio tipico:

Ma a funzione quadratica non si osserva nulla del genere, in primo luogo:
- ovvero, sono stati visualizzati diversi valori di "x". stesso che significa "y"; e in secondo luogo: se qualcuno ha calcolato il valore della funzione e ci ha detto che , allora non è chiaro - questa "y" è stata ottenuta a o a ? Inutile dire che qui non c'è nemmeno un odore di reciproca non ambiguità.

Compito 2: Visualizza grafici di funzioni elementari di base e scrivi funzioni biiettive su un pezzo di carta. Lista di controllo alla fine di questa lezione.

Imposta la potenza

L'intuizione suggerisce che il termine caratterizzi la dimensione dell'insieme, ovvero il numero dei suoi elementi. E l'intuizione non ci inganna!

La cardinalità dell'insieme vuoto è zero.

La cardinalità dell'insieme è sei.

Il potere dell'insieme di lettere dell'alfabeto russo è trentatré.

In generale, il potere di qualsiasi finale set è uguale al numero di elementi di questo set.

...forse non tutti capiscono appieno di cosa si tratta finale set - se inizi a contare gli elementi di questo set, prima o poi il conteggio terminerà. Come si chiama, e un giorno i cinesi si esauriranno.

Naturalmente, gli insiemi possono essere confrontati in cardinalità e viene chiamata la loro uguaglianza in questo senso uguale potenza. L'equivalenza è definita come segue:

Due insiemi sono equivalenti se è possibile stabilire una corrispondenza uno a uno tra di loro..

L'insieme degli studenti è equivalente all'insieme degli argomenti astratti, l'insieme delle lettere dell'alfabeto russo è equivalente a qualsiasi insieme di 33 elementi, ecc. Nota esattamente cosa chiunque un insieme di 33 elementi - in questo caso, conta solo il loro numero. Le lettere dell'alfabeto russo possono essere confrontate non solo con molti numeri
1, 2, 3, ..., 32, 33, ma anche in generale con una mandria di 33 vacche.

Le cose sono molto più interessanti con gli insiemi infiniti. Anche gli infiniti sono diversi! ...verde e rosso Gli insiemi infiniti "più piccoli" sono conteggio imposta. Se è abbastanza semplice, gli elementi di un tale insieme possono essere numerati. L'esempio di riferimento è l'insieme dei numeri naturali . Sì - è infinito, ma ciascuno dei suoi elementi in PRINCIPIO ha un numero.

Ci sono molti esempi. In particolare, l'insieme di tutti i numeri naturali pari è numerabile. Come dimostrarlo? È necessario stabilirne la corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali o semplicemente numerare gli elementi:

Viene stabilita una corrispondenza uno a uno, quindi gli insiemi sono equivalenti e l'insieme è numerabile. È paradossale, ma dal punto di vista del potere - ci sono tanti numeri naturali pari quanti naturali!

Anche l'insieme degli interi è numerabile. I suoi elementi possono essere numerati, ad esempio, in questo modo:

Inoltre, anche l'insieme dei numeri razionali è numerabile. . Poiché il numeratore è un numero intero (e, come appena mostrato, sono numerabili), e il denominatore è un numero naturale, quindi prima o poi "arriveremo" a qualsiasi frazione razionale e le assegneremo un numero.

Ma l'insieme dei numeri reali è già innumerevoli, cioè. i suoi elementi non possono essere numerati. Questo fatto sebbene ovvio, è rigorosamente dimostrato nella teoria degli insiemi. Viene anche chiamata la cardinalità dell'insieme dei numeri reali continuum, e rispetto a insiemi numerabiliè un insieme "più infinito".

Poiché esiste una corrispondenza uno a uno tra l'insieme e la linea dei numeri (vedi sopra), allora è anche l'insieme dei punti della retta reale innumerevoli. E per di più, ci sono lo stesso numero di punti su un chilometro e un segmento di millimetro! Esempio classico:


Ruotando la trave in senso antiorario fino a farla coincidere con la trave, stabiliremo una corrispondenza biunivoca tra i punti dei segmenti blu. Quindi, ci sono tanti punti sul segmento quanti sono sul segmento e !

Questo paradosso, a quanto pare, è connesso al mistero dell'infinito... ma ora non ci preoccuperemo dei problemi dell'universo, perché il prossimo passo è

Compito 2 Funzioni uno-a-uno nelle illustrazioni delle lezioni

IO. Un set è una raccolta di alcuni oggetti o numeri, compilati secondo alcuni proprietà generali o leggi (molte lettere su una pagina, molte frazioni proprie con un denominatore 5 , molte stelle nel cielo, ecc.).

Le parentesi graffe vengono utilizzate per scrivere un insieme: «{ »- il set si apre; "}" — il set è chiuso. E il set stesso è chiamato lettere latine maiuscole: A, B, C e così via.

Esempi.

1 . Scrivi insieme MA, composto da tutte le vocali della parola "matematica".

Soluzione. A \u003d (a, e, u). Vedete: nonostante il fatto che nella parola "matematica" ci sono tre lettere "un"- non sono ammesse ripetizioni multiple nel verbale e nella lettera "un" viene registrato una sola volta. Molti MAè composto da tre elementi.

2. Scrivi l'insieme di tutte le frazioni proprie con denominatore 5 .

Soluzione. Ricorda: una frazione regolare è chiamata frazione regolare, in cui il numeratore è minore del denominatore. Indica con A insieme desiderato. Quindi:

Molti Aè composto da quattro elementi.

II. Gli insiemi sono composti da elementi e sono finiti o infiniti. Un insieme che non contiene alcun elemento è chiamato insieme vuoto ed è indicato Ø.

III. Molti A chiamato sottoinsieme dell'insieme MA se tutti gli elementi dell'insieme A sono elementi dell'insieme MA.

3. Quale dei due insiemi dati A e DA Per,

Se A={-1; 3; 4}, C={0; 3; 4; 5), K={0; 2; 3; 4; 5; 6} ?

Soluzione. Tutti gli elementi del set DA sono anche elementi dell'insieme Per, quindi, l'insieme DAè un sottoinsieme dell'insieme A. Annota:

IV. Imposta incrocio MA e Aè un insieme i cui elementi appartengono all'insieme MA e molti A.

4. Mostra l'intersezione di due insiemi M e F usando i cerchi di Eulero.

Soluzione.

Dalla vasta varietà di imposta di particolare interesse sono i cosiddetti set di numeri, cioè insiemi i cui elementi sono numeri. È chiaro che per lavorare a proprio agio con loro devi essere in grado di scriverli. Con la notazione e i principi di scrittura di insiemi numerici, inizieremo questo articolo. E poi considereremo come sono rappresentati gli insiemi numerici sulla linea delle coordinate.

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Scrittura di insiemi numerici

Cominciamo con la notazione accettata. Come è noto, le lettere maiuscole dell'alfabeto latino sono usate per designare gli insiemi. Si indicano anche insiemi numerici, come caso speciale di insiemi. Ad esempio, possiamo parlare di insiemi numerici A , H , W , ecc. Di particolare importanza sono gli insiemi di naturale, intero, razionale, reale, numeri complessi ecc., le loro designazioni sono state adottate per loro:

• N è l'insieme di tutti i numeri naturali;
• Z è l'insieme degli interi;
• Q è l'insieme dei numeri razionali;
• J è l'insieme dei numeri irrazionali;
• R è l'insieme dei numeri reali;
• C è l'insieme dei numeri complessi.

Da ciò è chiaro che non è necessario denotare un insieme costituito, ad esempio, da due numeri 5 e −7 come Q, questa designazione sarà fuorviante, poiché la lettera Q di solito denota l'insieme di tutti i numeri razionali. Per designare il set numerico specificato, è meglio usare qualche altra lettera "neutra", ad esempio A.

Trattandosi di notazione, qui ricordiamo anche la notazione di un insieme vuoto, cioè un insieme che non contiene elementi. È indicato dal segno ∅.

Ricordiamo anche la designazione di appartenenza e non appartenenza di un elemento in un insieme. Per fare ciò, usa i segni ∈ - appartiene e ∉ - non appartiene. Ad esempio, la voce 5∈N significa che il numero 5 appartiene all'insieme dei numeri naturali e 5.7∉Z - la frazione decimale 5.7 non appartiene all'insieme degli interi.

Ricordiamo anche la notazione adottata per includere un insieme in un altro. È chiaro che tutti gli elementi dell'insieme N sono inclusi nell'insieme Z, quindi, numero impostato N è incluso in Z , questo è indicato come N⊂Z . Puoi anche usare la notazione Z⊃N , il che significa che l'insieme di tutti gli interi Z include l'insieme N . Le relazioni non incluse e non incluse sono indicate rispettivamente dai segni ⊄ e . Vengono utilizzati anche i segni di inclusione non rigorosa della forma ⊆ e ⊇, che significano, rispettivamente, incluso o corrisponde e include o corrisponde.

Abbiamo parlato della notazione, passiamo alla descrizione degli insiemi numerici. In questo caso, toccheremo solo i casi principali che vengono utilizzati più spesso nella pratica.

Iniziamo con insiemi numerici contenenti un numero finito e piccolo di elementi. Gli insiemi numerici costituiti da un numero finito di elementi possono essere convenientemente descritti elencando tutti i loro elementi. Tutti gli elementi numerici sono scritti separati da virgole e racchiusi tra , che è coerente con common impostare le regole di descrizione. Ad esempio, un insieme composto da tre numeri 0 , −0.25 e 4/7 può essere descritto come (0, −0.25, 4/7) .

A volte, quando il numero di elementi di un insieme numerico è sufficientemente grande, ma gli elementi obbediscono a uno schema, per descrivere vengono utilizzati i puntini di sospensione. Ad esempio, l'insieme di tutti i numeri dispari da 3 a 99 inclusi può essere scritto come (3, 5, 7, ..., 99) .

Quindi ci siamo avvicinati senza problemi alla descrizione degli insiemi numerici, il cui numero di elementi è infinito. A volte possono essere descritti usando tutti gli stessi puntini di sospensione. Ad esempio, descriviamo l'insieme di tutti i numeri naturali: N=(1, 2. 3, …) .

Usano anche la descrizione degli insiemi numerici indicando le proprietà dei suoi elementi. In questo caso viene utilizzata la notazione (x| properties). Ad esempio, la notazione (n| 8 n+3, n∈N) definisce l'insieme di tali numeri naturali che, divisi per 8, danno un resto di 3 . Lo stesso insieme può essere descritto come (11,19, 27, ...) .

In casi speciali, gli insiemi numerici con un numero infinito di elementi sono noti insiemi N , Z , R , ecc. o lacune numeriche. E in generale, gli insiemi numerici sono rappresentati come un'associazione singoli intervalli numerici che li compongono e insiemi numerici con un numero finito di elementi (di cui abbiamo parlato un po' più in alto).

Mostriamo un esempio. Sia il numero impostato i numeri −10 , −9 , −8.56 , 0 , tutti i numeri dell'intervallo [−5, −1.3] ei numeri del raggio dei numeri aperti (7, +∞) . In virtù della definizione dell'unione di insiemi, l'insieme numerico indicato può essere scritto come {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Tale notazione in realtà significa un insieme contenente tutti gli elementi degli insiemi (−10, −9, −8.56, 0) , [−5, −1.3] e (7, +∞) .

Allo stesso modo, combinando vari intervalli numerici e insiemi di singoli numeri, è possibile descrivere qualsiasi insieme di numeri (costituito da numeri reali). Qui diventa chiaro perché sono stati introdotti tali tipi di intervalli numerici come un intervallo, un semiintervallo, un segmento, un raggio numerico aperto e un raggio numerico: tutti, insieme alla notazione per insiemi di numeri individuali, rendono possibile per descrivere eventuali insiemi numerici attraverso la loro unione.

Si noti che quando si scrive un insieme numerico, i suoi numeri costitutivi e gli intervalli numerici sono ordinati in ordine crescente. Questa non è una condizione obbligatoria, ma desiderabile, poiché un insieme numerico ordinato è più facile da rappresentare e rappresentare su una linea di coordinate. Si noti inoltre che tali voci non utilizzano intervalli numerici con elementi comuni, poiché tali voci possono essere sostituite dall'unione di intervalli numerici senza elementi comuni. Ad esempio, l'unione di insiemi numerici con elementi comuni [−10, 0] e (−5, 3) è un semiintervallo [−10, 3) . Lo stesso vale per l'unione di intervalli numerici con gli stessi numeri limite, per esempio, l'unione (3, 5]∪(5, 7] è un insieme (3, 7] , ci soffermeremo su questo separatamente quando impareremo a trova l'intersezione e l'unione di insiemi numerici.

Immagine di insiemi di numeri sulla linea delle coordinate

In pratica, è conveniente utilizzare le immagini geometriche degli insiemi numerici - le loro immagini su . Ad esempio, quando risolvere le disuguaglianze, in cui è necessario tenere conto dell'ODZ, è necessario rappresentare insiemi numerici per trovarne l'intersezione e/o l'unione. Quindi sarà utile comprendere bene tutte le sfumature della rappresentazione degli insiemi numerici sulla linea delle coordinate.

È noto che tra i punti della linea delle coordinate ed i numeri reali c'è una corrispondenza biunivoca, il che significa che la linea delle coordinate stessa è modello geometrico l'insieme di tutti i numeri reali R . Pertanto, per rappresentare l'insieme di tutti i numeri reali, è necessario tracciare una linea di coordinate con tratteggio per tutta la sua lunghezza:

E spesso non indicano nemmeno l'origine e un solo segmento:

Parliamo ora dell'immagine degli insiemi numerici, che sono un numero finito di numeri individuali. Ad esempio, disegniamo il numero impostato (−2, −0.5, 1.2) . L'immagine geometrica di questo set, composto da tre numeri -2, -0.5 e 1.2, saranno tre punti della linea di coordinate con le coordinate corrispondenti:

Si noti che di solito per esigenze di pratica non è necessario eseguire il disegno in modo accurato. Spesso è sufficiente un disegno schematico, il che significa che non è necessario mantenere la scala, mentre è solo importante mantenere disposizione reciproca punti l'uno rispetto all'altro: qualsiasi punto con una coordinata più piccola deve trovarsi a sinistra di un punto con una coordinata più grande. Il disegno precedente sarà schematicamente simile a questo:

Separatamente, da tutti i possibili insiemi numerici, si distinguono intervalli numerici (intervalli, semiintervalli, raggi, ecc.), che rappresentano le loro immagini geometriche, che abbiamo esaminato in dettaglio nella sezione. Non ci ripeteremo qui.

E resta solo da soffermarsi sull'immagine degli insiemi numerici, che sono l'unione di più intervalli numerici e insiemi costituiti da singoli numeri. Non c'è niente di complicato qui: secondo il significato dell'unione, in questi casi, sulla linea delle coordinate, è necessario rappresentare tutti i componenti dell'insieme di un determinato insieme numerico. Ad esempio, mostriamo l'immagine di un insieme di numeri (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

E soffermiamoci su casi abbastanza comuni in cui l'insieme numerico rappresentato è l'intero insieme dei numeri reali, ad eccezione di uno o più punti. Tali insiemi sono spesso specificati da condizioni come x≠5 o x≠−1 , x≠2 , x≠3,7 ecc. In questi casi, geometricamente, rappresentano l'intera linea di coordinate, ad eccezione dei punti corrispondenti. In altre parole, questi punti devono essere "punzonati" dalla linea delle coordinate. Sono raffigurati come cerchi con un centro vuoto. Per chiarezza, rappresentiamo un insieme numerico corrispondente alle condizioni (questo set è essenzialmente):

Ricapitolare. Idealmente, le informazioni dei paragrafi precedenti dovrebbero formare la stessa vista della registrazione e rappresentazione di insiemi numerici come la vista di singoli intervalli numerici: la registrazione di un insieme numerico dovrebbe dare immediatamente la sua immagine sulla linea delle coordinate, e dall'immagine in poi la linea delle coordinate, dovremmo essere pronti a descrivere facilmente il corrispondente insieme numerico attraverso l'unione di singoli spazi e insiemi costituiti da singoli numeri.

Bibliografia.

• Algebra: manuale per 8 celle. educazione generale istituzioni / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. SA Telyakovsky. - 16a ed. - M.: Istruzione, 2008. - 271 p. : malato. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. Grado 9 Alle 14:00 Parte 1. Libro di testo dello studente istituzioni educative/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13a ed., Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.

Classe: 2

Presentazione per la lezione

Indietro avanti

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Obiettivi:

1. Introduci il concetto di "set".
2. Introdurre il concetto di "elementi di un insieme".
3. Impara a determinare se un elemento appartiene a un insieme.

Preparazione preliminare:

1. Porta la palla.
2. Porta immagini che mostrino oggetti con un nome comune (puoi usare le carte del loto per bambini).

Durante le lezioni

Ragazzi, oggi nella lezione impareremo cos'è un "set" e cosa si chiama "set elementi"!

Ho una borsa disegnata alla lavagna. Finché è vuoto. Raccogliamo gli animali che conosci al suo interno.

Il gioco:

L'insegnante cammina per la classe con la palla e lancia la palla allo studente, e lo studente deve nominare rapidamente un animale.

E ora raccogliamo tutti gli animali nominati nella nostra borsa.

I bambini ricordano e l'insegnante scrive sulla lavagna tutti gli animali nominati nel gioco (o usa carte con un magnete).

Quanti animali ci sono nella borsa?

In matematica viene chiamato un tale gruppo di oggetti (o esseri viventi) con un nome comune e riuniti "molti". "Molti" dalla parola MOLTO. (Diapositiva 3.4)

Prova a dare un nome al set.

"Dai un nome al set":

L'insegnante mostra immagini di oggetti simili. I bambini dovrebbero dare un nome a questo set, ad esempio: pesci, uccelli, piante, libri.

esso un sacco di pesce. (diapositiva 5)

esso molti uccelli. (Diapositiva 6)

Eseguiamo l'attività numero 1 nel taccuino.

Compito numero 1. (Diapositiva 7)

Gli studenti devono nominare e firmare il nome dei set proposti.

Molti: stoviglie, animali, scarpe, giocattoli, accessori per il bagno, oggetti per disegnare.

Ora giochiamo.

Gioco "Dai un nome al set" (Diapositive 8,9,10)

L'insegnante elenca un certo numero di oggetti e gli studenti escogitano un nome per questo set.

Abito, pantaloni, pelliccia, gonna, maglione, giacca… - Abiti.

(- armadio, sedia, tavolo, divano, comodino... - arredamento.)

Betulla, pino, abete rosso, pioppo, quercia, salice... - alberi.

(- Mosca, Odessa, Londra, Parigi, San Pietroburgo ... - città.)

Libellula, cavalletta, farfalla, mosca, ape... - insetti.

Dopo la partita, sul tabellone appare un'altra borsa, che elenca i nomi degli oggetti, ma nessun nome comune. I suoi figli devono inventare i propri. Ad esempio, stivali, stivali, scarpe da ginnastica, stivali, pantofole.

esso un sacco di scarpe.

Vengono chiamati tutti gli oggetti di questo set elementi di questo insieme. (Diapositiva 11,12)

Facciamo il compito numero 2.

Compito numero 2 .(Diapositiva 13)

Quando completi l'attività per ogni immagine, dovresti controllare ogni parola proposta.

Si può dire che un gregge di mucche pascola nel prato?

E uno sciame di mucche?

E il gruppo di mucche?

Quindi, per le mucche al pascolo nei prati, è adatta solo la parola "mandria".

Allo stesso modo, per il resto delle immagini, si muovono opzioni possibili e viene selezionata la parola corretta.

Quindi, per alcuni gruppi di oggetti ci sono alcune parole che chiamano questi gruppi, ad esempio "una mandria di mucche". Ma dire "sciame di mucche" non è più possibile. Ma d'altra parte, qualsiasi gruppo di oggetti messi insieme può essere definito un "set": tante mucche, tanti pesci, tanti fiori.

Ora giochiamo di nuovo. Per il gioco abbiamo bisogno dei tuoi palmi.

Gioco "Trova extra" (Slide 14,15,16)

L'insegnante nomina qualsiasi set e inizia a elencarne gli elementi. Gli studenti dovrebbero battere le mani se un oggetto con nome non è un elemento di un dato insieme.

Camminiamo attraverso il parco e vediamo alberi : betulla, quercia, rosa (cotone), pioppo, pino, camomilla (cotone) abete rosso, lilla (cotone)…

Andiamo in negozio e compriamo la verdura : pomodori, patate, arance (cotone), carota, salsiccia (cotone) cetrioli, barbabietole, mele (cotone)…

A palestra vediamo attrezzatura sportiva : palla, sci, manubri, poltrona (cotone), razzo da tennis, pettine (cotone) pattini, sedia (cotone)…

Svolgiamo i compiti nel taccuino.

Compito numero 3 . (Diapositiva 17)

Gli studenti devono identificare un oggetto che impedisce loro di nominare molti altri oggetti.

Ci sono molti uccelli nella gabbia e il coniglio è superfluo tra loro.

Compito numero 4 . (Diapositiva 18)

Simile al precedente.

Perché non so barrare il cerchio?

Perché tutti gli altri oggetti con angoli.

E se lasci il cerchio nel set iniziale, quale altra cifra può essere superflua e perché?

Un rettangolo, come una figura grigia, può essere superfluo.

Compito numero 5 . (Diapositiva 19)

Da un dato set, i bambini devono selezionare gli elementi dei set nominati: verdura e frutta. Ogni elemento viene esaminato: se è un ortaggio, sottolinea con una riga, se è un frutto, con due righe. Non è necessario enfatizzare un oggetto che non è incluso in nessuno degli insiemi denominati.

Dopodiché, dovresti elencare ad alta voce tutti i set risultanti.

Molte verdure: patate, barbabietole, carote, cetrioli, pomodori, zucche.

Tanta frutta: pera, mela, arancia, limone, ananas.

Non sottolineato: burro, pane, salsiccia, formaggio, palla.

Compito numero 6 . (Diapositiva 20)

La cosa principale dell'attività è che lo studente può nominare il set che ha selezionato ed elencarne gli elementi.

Molti strumenti musicali: tromba, violino, chitarra, armonica, tamburo.

Tanta attrezzatura sportiva: manubri, palla, pattini, racchetta.

Tantissimi strumenti di costruzione: sega, pinza, cacciavite.

E giochiamo di nuovo. È qui che è richiesta la tua conoscenza.

Il gioco "Continua la riga":

L'insegnante elenca una serie di elementi e gli studenti, indovinando il nome del set dagli elementi elencati, continuano con i propri elementi.

Assicurati di riassumere alla fine di ogni fase: ciò che è stato elencato, ad es. dare un nome all'insieme.

• russula, agarico di mosca, agarico di miele ... (porcini, porcini, finferli) - questo è ... un sacco di funghi
• volpe, orso, elefante, ippopotamo ... (lupo, lepre, tigre, rinoceronte) - questo è ... molti animali
• libellula, farfalla, cavalletta ... (coleottero, zanzara, ape, mosca) - questo è ... molti insetti
• berretto, cappello, panama ... (scialle, berretto, cappello) - questo è ... molti cappelli
• luccio, pesce persico, pesce gatto, triotto ... (squalo, carassio, orata) - questo è ... un sacco di pesci

Compito numero 7 . (Diapositiva 21)

I bambini lo fanno da soli. Puoi chiedere a 1-2 studenti di dare voce alle loro risposte.

Finito il tulipano, perché è un sacco di colori.

Ragazzi, nominate le città che conoscete (i bambini elencano i nomi delle città).

Puoi chiamare Volga una città?

No, è un fiume.

La Russia può essere definita una città?

No, questo è un paese.

Compito numero 8 . (Diapositiva 22)

Eseguito in modo indipendente.

Compito numero 9 . (Diapositiva 23)

Gli studenti devono dare un nome a ciascuna colonna con tre elementi (vestiti, pesci, alberi). Quindi quercia deve essere inserito nella colonna denominata "alberi" perché lui è un albero.

Altre voci vengono esaminate allo stesso modo: pesce persico, orata- "pesce", gonna- "Abiti".

Gonna	Pertica

Riepilogo della lezione:

Quindi, oggi nella lezione abbiamo familiarizzato con concetti come "set" ed "elementi del set". Abbiamo imparato a determinare l'insieme, così come l'appartenenza di un elemento a un dato insieme.

Schede attività (Diapositive 24-30)

Agli studenti vengono fornite schede con compiti sotto forma di test per due opzioni. Viene verificato il grado di assimilazione del nuovo materiale.

1 opzione:

Opzione 2:

Compiti a casa:(Diapositiva 31)

I bambini devono disegnare qualsiasi insieme di oggetti con un nome comune e firmare il nome sotto l'immagine.

Letteratura:

1. Linee guida per insegnanti, grado 2, A.V. Goryachev, K.I. Gorina, N.I. Suvorova.
2. Informatica in giochi e compiti, Grado 2, parte 2. A.V. Goryachev, K.I. Gorina, N.I. Suvorova.
3. Test di informatica, grado 2, O.N. Krylova.

Un insieme è un concetto base della matematica e quindi non è definito in termini di altri.

Solitamente, un set è inteso come una collezione di oggetti uniti da una caratteristica comune. Quindi, possiamo parlare di molti studenti in un gruppo, di molte lettere dell'alfabeto russo, ecc. Nella vita di tutti i giorni, al posto della parola "set", si usano le parole "set", "raccolta", "gruppo", ecc. Gli insiemi sono generalmente indicati lettere maiuscole Alfabeto latino: MA, A, DA, ..., Z.

Per gli insiemi numerici in matematica, è accettata una notazione speciale:

Nè l'insieme dei numeri naturali;

N 0 – l'insieme degli interi non negativi;

Zè l'insieme degli interi;

Qè l'insieme dei numeri razionali;

Rè l'insieme dei numeri reali.

Gli oggetti che compongono un insieme sono chiamati suoi elementi. Ad esempio, settembre è un elemento dell'insieme dei mesi in un anno, il numero 5 è un elemento dell'insieme dei numeri naturali. Gli elementi di un insieme sono solitamente indicati con lettere minuscole dell'alfabeto latino. Gli elementi di un insieme possono essere insiemi. Quindi puoi parlare dei tanti gruppi dell'istituto. Gli elementi di questo insieme sono gruppi, che a loro volta sono gruppi di studenti.

La relazione tra un insieme e il suo elemento si esprime con la parola "appartiene". L'affermazione "Elemento un appartiene all'insieme MA' è scritto così: un  MA, e questa voce può essere letta in modo diverso: " un- elemento dell'insieme MA", "molti MA contiene elemento un". L'affermazione "Elemento un non appartiene all'insieme MA' è scritto così: un  MA(altrimenti: " un non è un elemento dell'insieme MA", "molti MA non contiene un elemento un»).

Se nel linguaggio quotidiano viene associata la parola "molti". un largo numero oggetti, allora questo non è richiesto in matematica. Un set può contenere un elemento o non contenere alcun elemento.

Un insieme che non contiene alcun elemento si dice vuoto ed è indicato dal simbolo . C'è solo un set vuoto. Esempi dell'insieme vuoto sono l'insieme delle persone sul Sole, l'insieme delle radici naturali dell'equazione X+ 8 = 0.

Gli insiemi possono essere finiti o infiniti.

Un insieme si dice finito se esiste un numero naturale P, in modo tale che tutti gli elementi dell'insieme possano essere numerati da 1 a P. altrimenti l'insieme si dice infinito. Un esempio di insieme finito è l'insieme delle cifre, un insieme infinito è l'insieme dei numeri naturali.

§ 2. Modi di specificare gli insiemi

Un insieme è considerato dato se si può dire che un oggetto appartenga o meno a questo insieme.

Un insieme può essere definito elencando tutti i suoi elementi. Registrazione DA= (a, b, c, d) significa che l'insieme DA contiene elementi a, b, c, d.

Ogni elemento è incluso nel set una sola volta. Ad esempio, molte lettere diverse nella parola "matematica" saranno scritte in questo modo: (m, a, t, e, i, k).

Questo metodo è applicabile per insiemi finiti che contengono un numero ridotto di elementi.

A volte usando questo metodo, puoi impostare un insieme infinito. Ad esempio, l'insieme dei numeri naturali può essere rappresentato come: N= (1, 2, 3, 4, ...). Questo modo di registrare è possibile solo quando è chiaro dalla parte registrata dell'insieme cosa è nascosto sotto i puntini di sospensione.

Un altro modo per specificare gli insiemi è il seguente: specificare la proprietà caratteristica dei suoi elementi. Una proprietà caratteristica è una proprietà che possiede ogni elemento che appartiene all'insieme e nessun elemento che non gli appartiene.

Succede che uno stesso insieme può essere specificato specificando diverse proprietà caratteristiche dei suoi elementi. Ad esempio, l'insieme dei numeri a due cifre divisibili per 11 e l'insieme dei numeri naturali dei primi cento scritti in due cifre identiche contengono gli stessi elementi.

Con questo metodo di impostazione, l'insieme può essere scritto come segue: in primo luogo, la designazione dell'elemento viene scritta tra parentesi graffe, quindi viene tracciata una linea verticale, dopodiché viene scritta la proprietà che possiedono gli elementi di questo insieme. Ad esempio, molti MA i numeri naturali minori di 5 si scrivono così: MA = {X XN, X < 5}.