Lascia stare r Í X X Y.

relazione funzionaleè una relazione binaria r, in cui ogni elemento corrisponde esattamente uno tale che la coppia appartenga a una relazione o simili non esiste affatto: o.

Relazione funzionale - questa è una relazione binaria r, per cui: .

Ovunque una certa relazione– relazione binaria r, per cui D r = X("non ci sono solitudine X").

Relazione suriettiva– relazione binaria r, per cui J r = Y("non ci sono solitudine y").

Relazione iniettivaè una relazione binaria in cui diverso X corrispondono a diversi A.

Biiezione– relazione funzionale, ovunque definita, iniettiva, suriettiva, definisce una corrispondenza biunivoca di insiemi.

Per esempio:

Lascia stare r= ( (x, y) О R 2 | y 2 + x 2 = 1, y > 0 ).

Atteggiamento r- funzionale,

non definito ovunque ("ci sono solitario X"),

non iniettivo (ce ne sono diversi X, A),

non suriettivo ("ci sono solitario A"),

non una biiezione.

Per esempio:

Sia K= ((x,y) í R 2 | y = x+1)

La relazione à è funzionale,

La relazione Ã- è definita ovunque ("non ci sono solitudine X"),

La relazione Ã- è iniettiva (non ci sono differenti X, che corrispondono allo stesso A),

La relazione Ã- è suriettiva ("non ci sono solitudine A"),

La relazione à è biunivoca, una corrispondenza mutuamente omogenea.

Per esempio:

Sia j=((1,2), (2,3), (1,3), (3,4), (2,4), (1,4)) definito sull'insieme N 4.

La relazione j non è funzionale, x=1 corrisponde a tre y: (1,2), (1,3), (1,4)

Relazione j - non ovunque definita D j =(1,2,3)¹ N 4

Relazione j - non suriettiva io j =(1,2,3)¹ N 4

La relazione j non è iniettiva, x diverse corrispondono alla stessa y, ad esempio (2,3) e (1,3).

Incarico per attività di laboratorio

1. Vengono forniti gli insiemi N1 e N2. Calcola insiemi:

(N1 X N2) × (N2 X N1);

(N1 X N2) È (N2 X N1);

(N1 Ç N2) X (N1 Ç N2);

(N1 → N2) X (N1 → N2),

dove N1 = ( cifre numeriche registro, gli ultimi tre };

N2 = ( data e numero del mese di nascita }.

2. Relazioni r e g impostato sul set N 6 \u003d (1,2,3,4,5,6).

Descrivi le relazioni r,g,r -1 , r ○g, r- 1 ○g lista delle coppie.

Trova matrici di relazioni r e g.

Per ogni relazione, definire il dominio di definizione e l'intervallo di valori.

Definire le proprietà della relazione.

Identificare relazioni di equivalenza e costruire classi di equivalenza.

Identificare le relazioni di ordine e classificarle.

1) r= { (m,n) | m > n)

g= { (m,n) | confronto modulo 2 }

2) r= { (m,n) | (m - n) divisibile per 2 }

g= { (m,n) | m divisore n)

3) r= { (m,n) | m< n }

g= { (m,n) | confronto modulo 3 }

4) r= { (m,n) | (m+n)- Anche }

g= { (m,n) | m 2 \u003d n)

5) r= { (m,n) | m/n- grado 2 }

g= { (m,n) | m = n)

6) r= { (m,n) | m/n- Anche }

g = ((m,n) | m³ n)

7) r= { (m,n) | m/n- strano }

g= { (m,n) | confronto modulo 4 }

8) r= { (m,n) | m*n- Anche }

g= { (m,n) | m£ n)

9) r= { (m,n) | confronto modulo 5 }

g= { (m,n) | m diviso per n)

10) r= { (m,n) | m- Anche, n- Anche }

g= { (m,n) | m divisore n)

11) r= { (m,n) | m = n)

g= { (m,n) | (m+n)£ 5 }

12) r={ (m,n) | m e n hanno lo stesso resto diviso per 3 }

g= { (m,n) | (m-n)³2 }

13) r= { (m,n) | (m+n)è divisibile per 2 }

g = ((m,n) | £ 2 (m-n)£ 4 }

14) r= { (m,n) | (m+n) divisibile per 3 }

g= { (m,n) | m¹ n)

15) r= { (m,n) | m e n avere un divisore comune }

g= { (m,n) | m2£ n)

16) r= { (m,n) | (m - n)è divisibile per 2 }

g= { (m,n) | m< n +2 }

17) r= { (m,n) | confronto modulo 4 }

g= { (m,n) | m£ n)

18) r= { (m,n) | m diviso interamente in n)

g= { (m,n) | m¹ n, m- Anche }

19) r= { (m,n) | confronto modulo 3 }

g= { (m,n) | 1 £ (m-n)£ 3 }

20) r= { (m,n) | (m - n) divisibile per 4 }

g= { (m,n) | m¹ n)

21) r= { (m,n) | m- strano, n- strano }

g= { (m,n) | m£ n, n- Anche }

22) r= { (m,n) | m e n avere resto dispari quando diviso per 3 }

g= { (m,n) | (m-n)³1 }

23) r= { (m,n) | m*n- strano }

g= { (m,n) | confronto modulo 2 }

24) r= { (m,n) | m*n- Anche }

g= { (m,n) | 1 £ (m-n)£ 3 }

25) r= { (m,n) | (m+ n)- Anche }

g= { (m,n) | m non divisibile per n)

26) r= { (m,n) | m = n)

g= { (m,n) | m diviso interamente in n)

27) r= { (m,n) | (m-n)- Anche }

g= { (m,n) | m divisore n)

28) r= { (m,n) | (m-n)³2 }

g= { (m,n) | m diviso interamente in n)

29) r= { (m,n) | m2³ n)

g= { (m,n) | m / n- strano }

30) r= { (m,n) | m³ n, m - Anche }

g= { (m,n) | m e n avere un divisore comune diverso da 1 }

3. Determina se la relazione data è f- funzionale, ovunque definito, iniettivo, suriettivo, biiezione ( R- un mucchio di numeri reali). Costruisci un grafico della relazione, determina il dominio di definizione e l'intervallo di valori.

Fai lo stesso compito per le relazioni r e g dal punto 3 del lavoro di laboratorio.

1) f=( (x, y) Î R 2 | y=1/x +7x )

2) f=( (x, y) Î R 2 | X³ si)

3) f=( (x, y) Î R 2 | y³ X )

4) f=( (x, y) Î R 2 | y³ x, x³ 0 }

5) f=( (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 = 1)

6) f=( (x, y) Î R 2 | 2 | y | + | x | = 1)

7) f=( (x, y) Î R 2 | x+y£ 1 }

8) f=( (x, y) Î R 2 | x = y 2 )

9) f=( (x, y) Î R 2 | y = x 3 + 1)

10) f=( (x, y) Î R 2 | y = -x 2 )

11) f=( (x, y) Î R 2 | | y | + | x | = 1)

12) f=( (x, y) Î R 2 | x = y -2 )

13) f=( (x, y) Î R 2 | y2 + x2³ 1,y> 0 }

14) f=( (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 = 1, x> 0 }

15) f=( (x, y) Î R 2 | y2 + x2£ 1,x> 0 }

16) f=( (x, y) Î R 2 | x = y2 ,X³ 0 }

17) f=( (x, y) Î R 2 | y = peccato(3x + p) )

18) f=( (x, y) Î R 2 | y = 1/cos x )

19) f=( (x, y) Î R 2 | y=2| x | + 3)

20) f=( (x, y) Î R 2 | y=| 2x+1| )

21) f=( (x, y) Î R 2 | y = 3 x )

22) f=( (x, y) Î R 2 | y=ex-x)

23) f =( (x, y)Î R 2 | si=e | x | )

24) f=( (x, y) Î R 2 | y = cos(3x) - 2 )

25) f=( (x, y) Î R 2 | y = 3x 2 - 2 )

26) f=( (x, y) Î R 2 | y = 1 / (x + 2) )

27) f=( (x, y) Î R 2 | y = ln(2x) - 2 )

28) f=( (x, y) Î R 2 | y=| 4x -1| + 2)

29) f=( (x, y) Î R 2 | y = 1 / (x 2 + 2x-5))

30) f=( (x, y) Î R 2 | x = y 3, y³ - 2 }.

domande di prova

2. Definizione di una relazione binaria.

3. Metodi per descrivere relazioni binarie.

4. Ambito di definizione e intervallo di valori.

5. Proprietà delle relazioni binarie.

6. Relazione di equivalenza e classi di equivalenza.

7. Rapporti d'ordine: stretti e non, pieni e parziali.

8. Classi di residui modulo m.

9. Rapporti funzionali.

10. Iniezione, suriezione, biiezione.

Lavoro di laboratorio № 3

Relazioni. Concetti e definizioni di base

Definizione 2.1.coppia ordinata<X, y> è l'insieme di due elementi X e y disposti in un certo ordine.

Due paia ordinate<X, y> e<tu, v> sono uguali tra loro se e solo se X = tu e y= v.

Esempio 2.1.

<un, b>, <1, 2>, <X, 4> sono coppie ordinate.

Allo stesso modo, possiamo considerare triple, quadruple, n- elementi ki<X 1 , X 2 ,…xn>.

Definizione 2.2.Diretto(o cartesiano)lavoro due set UN e Bè un insieme di coppie ordinate tale che il primo elemento di ogni coppia appartenga all'insieme UN, e il secondo - sul set B:

UN ´ B = {<un, b>, ç unÎ MA e bÏ A}.

In generale, il prodotto diretto n imposta MA 1 ,MA 2 ,…Unè chiamato insieme MA uno MA 2´ …´ Un, costituito da insiemi ordinati di elementi<un 1 , un 2 , …,un> lunghezza n, tale che io- th un io appartiene all'insieme un io,un io Î un io.

Esempio 2.2.

Lascia stare MA = {1, 2}, A = {2, 3}.

Quindi UN ´ B = {<1, 2>, <1, 3>,<2, 2>,<2, 3>}.

Esempio 2.3.

Lascia stare MA= {X ç0 £ X£ 1) e B= {yç2 £ y£ 3)

Quindi UN ´ B = {<X, y >, ç0 £ X£ 1 e 2 £ y£ 3).

Così, l'insieme UN ´ Bè costituito da punti che giacciono all'interno e sul bordo di un rettangolo formato da linee rette X= 0 (asse y), X= 1,y= 2e y = 3.

Il matematico e filosofo francese Descartes è stato il primo a proporre una rappresentazione coordinata dei punti su un piano. Questo è storicamente il primo esempio di opera diretta.

Definizione 2.3.binario(o Doppio)rapporto rè chiamato insieme di coppie ordinate.

Se una coppia<X, y> appartiene r, allora si scrive come segue:<X, y> Î r oppure, che è lo stesso, xr y.

Esempio 2.4.

r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>}

Allo stesso modo, si può definire n-relazione locale come insieme di ordinati n-OK.

Poiché una relazione binaria è un insieme, i modi per specificare una relazione binaria sono gli stessi dei modi per specificare un insieme (vedere Sezione 1.1). Una relazione binaria può essere specificata elencando le coppie ordinate o specificando proprietà comune Coppie ordinate.

Esempio 2.5.

1. r = {<1, 2>, <2, 1>, <2, 3>) – la relazione è data dall'enumerazione di coppie ordinate;

2. r = {<X, y> ç X+ y = 7, X, y sono numeri reali) – il rapporto viene specificato specificando la proprietà X+ y = 7.

Inoltre, può essere data una relazione binaria matrice di relazioni binarie. Lascia stare MA = {un 1 , un 2 , …, un) è un insieme finito. matrice di relazioni binarie C c'è matrice quadrata ordine n, i cui elementi c ij sono definiti come segue:

Esempio 2.6.

MA= (1, 2, 3, 4). Definiamo una relazione binaria r nei tre modi elencati.

1. r = {<1, 2>, <1, 3>, <1, 4>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>) – la relazione è data dall'enumerazione di tutte le coppie ordinate.

2. r = {<un io, aj> ç un io < aj; un io, ajÎ MA) – la relazione viene specificata specificando la proprietà "minore di" sull'insieme MA.

3. - la relazione è data dalla matrice della relazione binaria C.

Esempio 2.7.

Consideriamo alcune relazioni binarie.

1. Relazioni sull'insieme dei numeri naturali.

a) la relazione £ vale per le coppie<1, 2>, <5, 5>, ma non è soddisfatto per la coppia<4, 3>;

b) vale per le coppie la relazione "hanno un divisore comune diverso da uno".<3, 6>, <7, 42>, <21, 15>, ma non è soddisfatto per la coppia<3, 28>.

2. Relazioni sull'insieme dei punti del piano reale.

a) la relazione "essere alla stessa distanza dal punto (0, 0)" vale per i punti (3, 4) e (–2, Ö21), ma non per i punti (1, 2) e (5, 3);

b) la relazione "essere simmetrico rispetto all'asse OY" viene eseguito per tutti i punti ( X, y) e (- X, –y).

3. Relazioni su una varietà di persone.

a) l'atteggiamento "vivere in una città";

b) l'attitudine a "studiare in un gruppo";

c) l'atteggiamento di "essere più vecchio".

Definizione 2.4. Il dominio di una relazione binaria r è l'insieme D r = (x ç c'è y tale che xr y).

Definizione 2.5. L'intervallo di una relazione binaria r è l'insieme R r = (y çesiste x tale che xr y).

Definizione 2.6. Il dominio di una relazione binaria r è l'insieme M r = D r ÈR r .

Utilizzando il concetto di prodotto diretto, possiamo scrivere:

rÎ Dott´ Rr

Se un Dott= Rr = UN, allora diciamo che la relazione binaria r impostato sul set UN.

Esempio 2.8.

Lascia stare r = {<1, 3>, <3, 3>, <4, 2>}.

Quindi D r ={1, 3, 4}, Rr = {3, 2}, Sig= {1, 2, 3, 4}.

Operazioni sulle relazioni

Poiché le relazioni sono insiemi, tutte le operazioni sugli insiemi sono valide per le relazioni.

Esempio 2.9.

r 1 = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.

r 2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 4>}.

r 1 È r 2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>}.

r 1Z r 2 = {<1, 2>}.

r 1 \ r 2 = {<2, 3>, <3, 4>}.

Esempio 2.10.

Lascia stare R- un mucchio di numeri reali. Considera le seguenti relazioni su questo insieme:

r 1 - "£"; r 2 – " = "; r 3 – " < "; r 4 - "³"; r 5 – " > ".

r 1 = r 2 È r 3 ;

r 2 = r 1Z r 4 ;

r 3 = r 1 \ r 2 ;

r 1 = ;

Definiamo altre due operazioni sulle relazioni.

Definizione 2.7. La relazione è chiamata inversione all'atteggiamento r(indicato r- 1) se

r- 1 = {<X, y> ç< y, x> Î r}.

Esempio 2.11.

r = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.

r- 1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>}.

Esempio 2.12.

r = {<X, y> ç X – y = 2, X, y Î R}.

r- 1 = {<X, y> ç< y, x> Î r} = r- 1 = {<X, y> ç y–X = 2, X, y Î R} = {<X, y> ç– X+ y = 2, X, y Î R}.

Definizione 2.8.Composizione di due rapporti r e s si chiama rapporto

sr= {<X, z> çc'è tale y, che cosa<X, y> Î r e< y, z> Î S}.

Esempio 2.13.

r = {<X, y> ç y = sinx}.

S= {<X, y> ç y = Ö X}.

sr= {<X, z> çc'è tale y, che cosa<X, y> Î r e< y, z> Î S} = {<X, z> çc'è tale y, che cosa y = sinx e z= Ö y} = {<X, z> ç z= Ö sinx}.

La definizione della composizione di due relazioni corrisponde alla definizione di una funzione complessa:

y = f(X), z= g(y) Þ z= g(f(X)).

Esempio 2.14.

r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <3, 1>}.

S = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <3, 2>, <3, 3>}.

Processo di ricerca sr secondo la definizione di composizione, è conveniente rappresentarla come una tabella in cui viene implementata l'enumerazione di tutti i valori possibili X, y, z. per ogni paio<X, y> Î r considera tutte le possibili coppie< y, z> Î S(Tabella 2.1).

Tabella 2.1

<X, y> Î r	< y, z> Î S	<X, z> Î sr
<1, 1> <1, 1> <1, 2> <1, 3> <1, 3> <3, 1> <3, 1>	<1, 2> <1, 3> <2, 2> <3, 2> <3, 3> <1, 2> <1, 3>	<1, 2> <1, 3> <1, 2> <1, 2> <1, 3> <3, 2> <3, 3>

Si noti che la prima, la terza e la quarta, nonché la seconda e la quinta riga dell'ultima colonna della tabella contengono coppie identiche. Quindi otteniamo:

sr= {<1, 2>, <1, 3>, <3, 2>, <3, 3>}.

Proprietà di relazione

Definizione 2.9. Atteggiamento r chiamata riflessivo sul set X, se per qualcuno XÎ X eseguita xr x.

Ne consegue dalla definizione che qualsiasi elemento<X,X > Î r.

Esempio 2.15.

a) Let Xè un insieme finito X= (1, 2, 3) e r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 2>, <3, 1>, <3, 3>). Atteggiamento r riflessivamente. Se un Xè un insieme finito, quindi la diagonale principale della matrice delle relazioni riflessive ne contiene solo uno. Per il nostro esempio

b) Let X r relazione di uguaglianza. Questa relazione è riflessiva, poiché ogni numero è uguale a se stesso.

c) Let X- molte persone e r atteggiamento "vivere in una città". Questa relazione è riflessiva, poiché ognuno vive nella stessa città con se stesso.

Definizione 2.10. Atteggiamento r chiamata simmetrico sul set X, se per qualcuno X, yÎ X a partire dal xry Dovrebbe anno x.

È ovvio che r simmetrico se e solo se r = r- 1 .

Esempio 2.16.

a) Let Xè un insieme finito X= (1, 2, 3) e r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <3, 1>, <3, 3>). Atteggiamento r simmetrico. Se un Xè un insieme finito, quindi la matrice del rapporto simmetrico è simmetrica rispetto alla diagonale principale. Per il nostro esempio

b) Let Xè l'insieme dei numeri reali e r relazione di uguaglianza. Questa relazione è simmetrica, poiché Se Xè uguale a y, poi e yè uguale a X.

c) Let X- molti studenti e r l'atteggiamento di "imparare in un gruppo". Questa relazione è simmetrica, poiché Se X studiare nello stesso gruppo y, poi e y studiare nello stesso gruppo X.

Definizione 2.11. Atteggiamento r chiamata transitivo sul set X, se per qualcuno X, y,zÎ X a partire dal xry e yrz Dovrebbe xrz.

Soddisfazione simultanea delle condizioni xry, yrz, xrz significa che una coppia<X,z>appartiene alla composizione r r. Pertanto, per la transitività r necessario e sufficiente che l'insieme r r era un sottoinsieme r, cioè. r rÍ r.

Esempio 2.17.

a) Let Xè un insieme finito X= (1, 2, 3) e r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>, <1, 3>). Atteggiamento rè transitivo, perché insieme alle coppie<X,y> e<y,z> ha una coppia<X,z>. Ad esempio, insieme alle coppie<1, 2>, e<2, 3>c'è una coppia<1, 3>.

b) Let Xè l'insieme dei numeri reali e r relazione £ (minore o uguale). Questa relazione è transitiva, poiché Se X£ y e y£ z, poi X£ z.

c) Let X- molte persone e r l'atteggiamento di essere più vecchio. Questa relazione è transitiva, poiché Se X più vecchio y e y più vecchio z, poi X più vecchio z.

Definizione 2.12. Atteggiamento r chiamata relazione di equivalenza sul set X, se è riflessivo, simmetrico e transitivo sull'insieme X.

Esempio 2.18.

a) Let Xè un insieme finito X= (1, 2, 3) e r = {<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>). Atteggiamento rè una relazione di equivalenza.

b) Let Xè l'insieme dei numeri reali e r relazione di uguaglianza. Questa è una relazione di equivalenza.

c) Let X- molti studenti e r l'atteggiamento di "imparare in un gruppo". Questa è una relazione di equivalenza.

Lascia stare r X.

Definizione 2.13. Lascia stare rè la relazione di equivalenza sull'insieme X e XÎ X. Classe di equivalenza, generato dall'elemento X, è chiamato sottoinsieme dell'insieme X, costituito da tali elementi yÎ X, per cui xry. Classe di equivalenza generata dall'elemento X, denotato da [ X].

Così, [ X] = {yÎ X|xry}.

Il modulo delle classi di equivalenza partizione imposta X, cioè un sistema di sottoinsiemi disgiunti a coppie non vuoti la cui unione coincide con l'intero insieme X.

Esempio 2.19.

a) La relazione di uguaglianza sull'insieme degli interi genera le seguenti classi di equivalenza: per ogni elemento X da questo insieme [ X] = {X), cioè. ogni classe di equivalenza è composta da un elemento.

b) La classe di equivalenza generata dalla coppia<X, y> è determinato dal rapporto:

[<X, y>] = .

Ciascuna classe di equivalenza generata da una coppia<X, y> definisce un numero razionale.

c) Per la relazione di appartenenza ad un gruppo studentesco, la classe di equivalenza è l'insieme degli studenti di un gruppo.

Definizione 2.14. Atteggiamento r chiamata antisimmetrico sul set X, se per qualcuno X, yÎ X a partire dal xry e anno x Dovrebbe X = y.

Ne consegue dalla definizione di antisimmetria che ogni volta una coppia<X,y> posseduto contemporaneamente r e r- 1, l'uguaglianza X = y. In altre parole, r Ç r- 1 è costituito solo da coppie del modulo<X,X >.

Esempio 2.20.

a) Let Xè un insieme finito X= (1, 2, 3) e r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>). Atteggiamento r antisimmetrico.

Atteggiamento S= {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 3>, <3, 3>) non è antisimmetrico. Per esempio,<1, 2> Î S, e<2, 1> Î S, ma 1 ¹2.

b) Let Xè l'insieme dei numeri reali e r relazione £ (minore o uguale). Questa relazione è antisimmetrica, poiché Se X £ y, e y £ X, poi X = y.

Definizione 2.15. Atteggiamento r chiamata relazione d'ordine parziale(o solo un ordine parziale) sul set X, se è riflessivo, antisimmetrico e transitivo sul set X. Un mucchio di X in questo caso si dice parzialmente ordinato, e questa relazione è spesso indicata dal simbolo £, se questo non porta a fraintendimenti.

La relazione inversa alla relazione di ordine parziale sarà ovviamente la relazione di ordine parziale.

Esempio 2.21.

a) Let Xè un insieme finito X= (1, 2, 3) e r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>). Atteggiamento r

b) Atteggiamento MAÍ A sull'insieme dei sottoinsiemi di qualche insieme uè una relazione di ordine parziale.

c) La relazione di divisibilità sull'insieme dei numeri naturali è una relazione di ordine parziale.

Funzioni. Concetti e definizioni di base

A analisi matematica viene adottata la seguente definizione di funzione.

Variabile yè chiamata funzione di una variabile X, se, secondo una norma o legge, ogni valore X corrisponde a uno certo valore y = f(X). Area variabile Xè chiamato ambito della funzione e ambito della variabile y– intervallo di valori della funzione. Se un valore X corrisponde a diversi (e anche infiniti) valori y), allora la funzione è chiamata multivalore. Tuttavia, nel corso dell'analisi delle funzioni di variabili reali si evitano le funzioni a più valori e si considerano le funzioni a valore singolo.

Consideriamo un'altra definizione di funzione in termini di relazioni.

Definizione 2.16. Funzioneè qualsiasi relazione binaria che non contiene due coppie con componenti prime uguali e seconde diverse.

Questa proprietà di relazione viene chiamata unicità o funzionalità.

Esempio 2.22.

un) (<1, 2>, <3, 4>, <4, 4>, <5, 6>) è una funzione.

b) (<X, y>: X, y Î R, y = X 2) è una funzione.

in) (<1, 2>, <1, 4>, <4, 4>, <5, 6>) è una relazione, non una funzione.

Definizione 2.17. Se un fè una funzione, quindi Df – dominio, un Rf – allineare funzioni f.

Esempio 2.23.

Ad esempio 2.22 a) Df – {1, 3, 4, 5}; Rf – {2, 4, 6}.

Ad esempio 2.22 b) Df = Rf = (–¥, ¥).

Ogni elemento X Df la funzione corrisponde l'unico elemento y Rf. Questo è indicato dalla nota notazione y = f(X). Elemento X chiamato un argomento di funzione o un elemento preimage y con la funzione f, e l'elemento y valore della funzione f sul X o immagine dell'elemento X A f.

Quindi, da tutte le relazioni, le funzioni si distinguono per il fatto che ogni elemento del dominio di definizione ha l'unico Immagine.

Definizione 2.18. Se un Df = X e Rf = Y, allora diciamo che la funzione f determinato su X e ne assume i valori Y, un f chiamata mappatura dell'insieme X su Y(X ® Y).

Definizione 2.19. Funzioni f e g sono uguali se il loro dominio di definizione è lo stesso insieme D, e per qualsiasi X Î D equa uguaglianza f(X) = g(X).

Questa definizione non contraddice la definizione di uguaglianza di funzioni come uguaglianza di insiemi (dopotutto, abbiamo definito una funzione come una relazione, cioè un insieme): insiemi f e g sono uguali se e solo se sono costituiti dagli stessi elementi.

Definizione 2.20. Funzione (visualizzazione) f chiamata suriettivo o semplicemente suriezione, se per qualsiasi elemento y Y l'elemento esiste X Î X, tale che y = f(X).

Quindi ogni funzione fè una mappatura suriettiva (surjection) Df® Rf.

Se un fè una suzione, e X e Y sono insiemi finiti, quindi ³ .

Definizione 2.21. Funzione (visualizzazione) f chiamata iniettiva o semplicemente iniezione o uno a uno se da f(un) = f(b) Dovrebbe un = b.

Definizione 2.22. Funzione (visualizzazione) f chiamata biettivo o semplicemente biiezione se è sia iniettiva che suriettiva.

Se un fè una biiezione, e X e Y sono insiemi finiti, allora = .

Definizione 2.23. Se l'intervallo della funzione Dfè costituito da un elemento f chiamata funzione costante.

Esempio 2.24.

un) f(X) = X 2 è una mappatura dell'insieme dei numeri reali sull'insieme dei numeri reali non negativi. Perché f(–un) = f(un), e un ¹ – un, allora questa funzione non è un'iniezione.

b) Per ciascuno X R= (– , ) funzione f(X) = 5 è una funzione costante. Ne mostra molti R all'insieme (5). Questa funzione è suriettiva, ma non iniettiva.

in) f(X) = 2X+ 1 è un'iniezione e una biiezione, perché da 2 X 1 +1 = 2X Segue 2+1 X 1 = X 2 .

Definizione 2.24. La funzione che implementa la visualizzazione X uno X 2 ´...´ X n ® Y chiamata n-locale funzione.

Esempio 2.25.

a) Addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione sono funzioni binarie sull'insieme R numeri reali, cioè funzioni del tipo R 2® R.

b) f(X, y) = è una funzione a due posizioni che implementa la mappatura R ´ ( R \ )® R. Questa funzione non è un'iniezione, perché f(1, 2) = f(2, 4).

c) La tabella delle vincite della lotteria definisce una funzione a due posizioni che stabilisce una corrispondenza tra le coppie da N 2 (Nè l'insieme dei numeri naturali) e l'insieme dei payoff.

Poiché le funzioni sono relazioni binarie, è possibile trovare funzioni inverse e applicare l'operazione di composizione. La composizione di due funzioni qualsiasi è una funzione, ma non per tutte le funzioni f atteggiamento f-1 è una funzione.

Esempio 2.26.

un) f = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>, <4, 2>) è una funzione.

Atteggiamento f –1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>, <2, 4>) non è una funzione.

b) g = {<1, un>, <2, b>, <3, c>, <4, D>) è una funzione.

g -1 = {<un, 1>, <b, 2>, <c, 3>, <D, 4>) è anche una funzione.

c) Trova la composizione delle funzioni f dall'esempio a) e g-1 dall'esempio b). abbiamo g -1f = {<un, 2>, <b, 3>, <c, 4>, <d, 2>}.

fg-1 = Æ.

Notare che ( g -1f)(un) = f(g -1 (un)) = f(1) = 2; (g -1f)(c) = f(g -1 (c)) = f(3) = 4.

funzione elementare nell'analisi matematica viene chiamata qualsiasi funzione f, che è una composizione di un numero finito di funzioni aritmetiche, nonché delle seguenti funzioni:

1) Funzioni frazionarie-razionali, cioè funzioni della forma

un 0 + un 1 X + ... + un n x n

b 0 + b 1 X + ... + bm x m.

2) Funzione di alimentazione f(X) = x m, dove mè un numero reale costante.

3) Funzione esponenziale f(X) = ex.

4) funzione logaritmica f(X) = registro x, un >0, un 1.

5) Funzioni trigonometriche sin, cos, tg, ctg, sec, csc.

6) Funzioni iperboliche sh, ch, th, cth.

7) Rovescio funzioni trigonometriche arco peccato, archi eccetera.

Ad esempio, la funzione tronco d'albero 2 (X 3 +sincos 3X) è elementare, perché è la composizione delle funzioni cosx, sinx, X 3 , X 1 + X 2 , logx, X 2 .

Un'espressione che descrive la composizione delle funzioni è chiamata formula.

Per una funzione multiposto è valido il seguente importante risultato, ottenuto da A. N. Kolmogorov e V. I. Arnold nel 1957 ed è una soluzione al 13° problema di Hilbert:

Teorema. Ogni funzione continua n le variabili possono essere rappresentate come una composizione funzioni continue due variabili.

Modi per impostare le funzioni

1. Il modo più semplice per impostare le funzioni sono le tabelle (Tabella 2.2):

Tabella 2.2

Tuttavia, le funzioni definite su insiemi finiti possono essere definite in questo modo.

Se una funzione definita su un insieme infinito (segmento, intervallo) è definita in un numero finito di punti, ad esempio, nella forma tavole trigonometriche, tabelle di funzioni speciali, ecc., quindi le regole di interpolazione vengono utilizzate per calcolare i valori delle funzioni nei punti intermedi.

2. Una funzione può essere definita come una formula che descrive una funzione come una composizione di altre funzioni. La formula specifica la sequenza in cui viene calcolata la funzione.

Esempio 2.28.

f(X) = peccato(X + Ö X) è una composizione delle seguenti funzioni:

g(y) = Ö y; h(tu, v) = tu+v; w(z) = sinz.

3. La funzione può essere data nel modulo procedura ricorsiva. La procedura ricorsiva definisce una funzione definita sull'insieme dei numeri naturali, cioè f(n), n= 1, 2,... come segue: a) il valore f(1) (o f(0)); b) significato f(n+ 1) è definito attraverso la composizione f(n) e altre funzioni ben note. L'esempio più semplice di una procedura ricorsiva è il calcolo n!: a) 0! = 1; b) ( n + 1)! = n!(n+ 1). Molte procedure del metodo numerico sono procedure ricorsive.

4. Esistono modi per definire una funzione che non contengono un modo per calcolare la funzione, ma solo per descriverla. Per esempio:

f m(X) =

Funzione f m(X) è la funzione caratteristica dell'insieme M.

Quindi, secondo il significato della nostra definizione, definiamo la funzione f- significa impostare il display X ® Y, cioè. definire un insieme X´ Y, quindi la domanda si riduce a specificare qualche insieme. Tuttavia, è possibile definire il concetto di funzione senza utilizzare il linguaggio della teoria degli insiemi, ovvero: una funzione è considerata data se è data una procedura computazionale che, dato il valore dell'argomento, trova il valore corrispondente della funzione. Viene chiamata una funzione definita in questo modo calcolabile.

Esempio 2.29.

Procedura di determinazione Numeri di Fibonacci, è data dal rapporto

F n= Fn- 1 + Fn- 2 (n³ 2) (2.1)

con valori iniziali F 0 = 1, F 1 = 1.

La formula (2.1), insieme ai valori iniziali, definisce la seguente serie di numeri di Fibonacci:

n	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
F n	1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 …

La procedura di calcolo per determinare il valore di una funzione da un dato valore di argomento non è altro che algoritmo.

Domande di sicurezza per l'argomento 2

1. Specificare i modi per specificare una relazione binaria.

2. La diagonale principale della matrice di quale rapporto ne contiene solo uno?

3. Per quale relazione r condizione è sempre soddisfatta r = r- 1 ?

4. Per quale relazione r condizione è sempre soddisfatta r rÍ r.

5. Introdurre relazioni di equivalenza e di ordine parziale sull'insieme di tutte le rette del piano.

6. Specificare i modi per impostare le funzioni.

7. Quale delle seguenti affermazioni è vera?

a) Ogni relazione binaria è una funzione.

b) Ogni funzione è una relazione binaria.

Argomento 3. GRAFICI

Il primo lavoro di Eulero sulla teoria dei grafi apparve nel 1736. All'inizio, questa teoria era associata a enigmi e giochi matematici. Tuttavia, la teoria dei grafi in seguito iniziò ad essere utilizzata in topologia, algebra e teoria dei numeri. Al giorno d'oggi, la teoria dei grafi trova applicazione in un'ampia varietà di campi della scienza, della tecnologia e della pratica. Viene utilizzato nella progettazione di reti elettriche, nella pianificazione dei trasporti, nella costruzione di schemi molecolari. La teoria dei grafi è utilizzata anche in economia, psicologia, sociologia e biologia.

Qualsiasi insieme di 2 liste o coppie è chiamato relazione. Le relazioni saranno particolarmente utili quando si discute il significato dei programmi.

La parola "relazione" può significare una regola di confronto, "equivalenza" o "è un sottoinsieme", ecc. Formalmente, le relazioni che sono insiemi di 2-liste possono descrivere queste regole informali esattamente includendo esattamente quelle coppie i cui elementi sono in la giusta connessione insieme. Ad esempio, la relazione tra caratteri e 1-stringhe contenenti tali caratteri è data dalla seguente relazione:

C = ( : x - carattere) = ( , , …}

Poiché una relazione è un insieme, è possibile anche una relazione vuota. Ad esempio, la corrispondenza tra pari numeri naturali e i loro quadrati dispari - non ce ne sono. Inoltre, le operazioni sugli insiemi si applicano alle relazioni. Se s e r sono relazioni, allora ci sono

s È r, s – r, s × r

poiché questi sono insiemi di coppie ordinate di elementi.

Un caso speciale di relazione è una funzione, una relazione con una proprietà speciale, caratterizzata dal fatto che ogni primo elemento è accoppiato con un secondo elemento unico. La relazione r è una funzione se e solo se esiste

О re О r, allora y = z.

In questo caso, ogni primo elemento può fungere da nome per il secondo nel contesto della relazione. Ad esempio, la relazione C tra caratteri e 1-stringhe descritta sopra è una funzione.

Le operazioni di impostazione si applicano anche alle funzioni. Sebbene il risultato di un'operazione su insiemi di coppie ordinate che sono funzioni sarà necessariamente un altro insieme di coppie ordinate, e quindi una relazione, ma non sempre una funzione.

Se f,g sono funzioni, anche f Ç g, f – g sono funzioni, ma f È g può o non può essere una funzione. Ad esempio, definiamo la testa di relazione

H = (< Θ y, y>: y - stringa) = ( , , …}

E prendi la relazione C sopra descritta. Allora dal fatto che C - H:

è una funzione,

H - C = (< Θ y, y>: y è una stringa di almeno 2 caratteri)

è una relazione, non una funzione,

è una funzione vuota, e

è una relazione.

L'insieme dei primi elementi delle coppie di una relazione o funzione è chiamato dominio e l'insieme dei secondi elementi delle coppie è chiamato intervallo. Per gli elementi di relazione, diciamo О r, x viene chiamato discussione r e y viene chiamato valore r.

quando Î reey è l'unico valore per x, notazione del valore:

legge "y è il valore r dell'argomento x" o, più concisamente, "y è il valore r di x" (notazione funzionale).

Impostiamo un rapporto arbitrario r e un argomento x, quindi ci sono tre opzioni per la loro corrispondenza:

1. x П dominio(r), in questo caso r non definito su x
2. x н domain(r), e ci sono y, z distinti tali che О re Оr. In questo caso, r è ambiguamente definito su x
3. x н domain(r), e c'è una coppia univoca Оr. In questo caso r è definito in modo univoco su x e y=r(x).

Pertanto, una funzione è una relazione definita in modo univoco per tutti gli elementi del suo dominio di definizione.

Ce ne sono tre funzioni speciali:

funzione vuota(), non ha argomenti e valori, cioè

dominio(()) = (), intervallo(()) = ()

Funzione di equivalenza, la funzione I è

che se x Î dominio(r), allora I(x) = x.

funzione costante, il cui intervallo è dato dall'1-set, ovvero lo stesso valore corrisponde a tutti gli argomenti.

Poiché le relazioni e le funzioni sono insiemi, possono essere descritte elencando elementi o specificando regole. Per esempio:

r = (<†ball†, †bat†>, <†ball†, †game†>, <†game†, †ball†>}

è una relazione poiché tutti i suoi elementi sono 2-liste

dominio(r) = (†palla†, †gioco†)

distanza (r) = (†palla†, †gioco†, †mazza†)

Tuttavia, r non è una funzione perché due significati diversi si verificano in coppia con un argomento †ball†.

Un esempio di relazione definita con una regola:

s = ( : la parola x precede immediatamente la parola y

nella riga †questa è una relazione che non è una funzione†)

Questa relazione può anche essere specificata con un enum:

s = (<†this†, †is†>, <†is†, †a†>, <†a†, †relation†>, <†relation†, †that†>,

<†that†, †is†>, <†is†, †not†>, <†not†, †a†>, <†a†, †function†>}

La seguente regola definisce una funzione:

f = ( : la prima istanza della parola immediatamente precedente alla parola y

nella riga †questa è una relazione che è anche una funzione†)

che può anche essere specificato da un enum:

f = (<†this†, †is†>, <†is†, †a†>, <†a†, †relation†>,

<†relation†, †that†>, <†that†, †is†>, <†also†, †a†>}

Il valore dei programmi.

Le relazioni e le funzioni sono vitali per la descrizione per descrivere il significato dei programmi. Utilizzando questi concetti, viene sviluppata una notazione per descrivere il significato dei programmi. Per programmi semplici il significato sarà ovvio, ma questi semplici esempi serviranno a padroneggiare la teoria nel suo insieme.

Nuove idee: notazione box, programma e significato del programma.

L'insieme delle coppie input-output per tutte le possibili esecuzioni normali del programma è chiamato valore del programma. I concetti possono anche essere utilizzati funzione di programma e atteggiamento del programma. È importante distinguere tra significato del programma ed elementi di significato. Per un input particolare, una macchina Pascal controllata da un programma Pascal può produrre un output particolare. Ma il significato di un programma è molto più di un modo per esprimere il risultato di una particolare esecuzione. Esprime tutto possibile eseguire un programma Pascal su una macchina Pascal.

Un programma può accettare l'input diviso in righe e produrre l'output diviso in righe. Pertanto le coppie in un valore di programma possono essere coppie di elenchi di stringhe di caratteri.

Notazione a scatola.

Qualsiasi programma Pascal è una stringa di caratteri passata alla macchina Pascal per l'elaborazione. Per esempio:

P = †PROGRAM PrintHello (INPUT, OUTPUT); BEGIN WRITELN('HELLO') END.†

Rappresenta uno dei primi programmi discussi all'inizio della Parte I come stringa.

Anche questa riga può essere scritta omettendo i marcatori di riga come

P = PROGRAMMA StampaCiao(INGRESSO, USCITA);

SCRITTO('CIAO')

La stringa P rappresenta la sintassi del programma e scriveremo il suo valore come P. Il valore di P è l'insieme di 2 liste (coppie ordinate) di liste di stringhe di caratteri in cui gli argomenti rappresentano l'input del programma e i valori ​rappresentano l'output del programma, cioè

P = ( : per l'elenco di input delle stringhe L, P viene eseguito correttamente

e restituisce un elenco di stringhe M)

La notazione box per un valore di programma contiene la sintassi e la semantica del programma, ma distingue chiaramente l'una dall'altra. Per il programma PrintHello sopra:

P = ( } =

{>: L - qualsiasi elenco di stringhe)

Inserendo il testo del programma in una casella:

P = PROGRAMMA StampaCiao(INGRESSO, USCITA); BEGIN WRITELN('HELLO') END

Poiché P è una funzione,

PROGRAMMA PrintHello(INPUT, OUTPUT); BEGIN WRITELN('HELLO') END (L) =<†HELLO†>

per qualsiasi elenco di stringhe L.

La notazione box nasconde il modo in cui il programma controlla la Pascal Machine e mostra solo ciò che va di pari passo con l'esecuzione. Il termine "scatola nera" è spesso usato per descrivere un meccanismo visto solo dall'esterno in termini di input e output. Pertanto, questa notazione è appropriata per il significato del programma in termini di I/O. Ad esempio, il programma R

PROGRAMMA PrintHelloInSteps(INPUT, OUTPUT);

SCRIVI('LEI');

SCRIVI('L');

SCRITTA('LO')

Ha lo stesso significato di P, cioè R = P.

Il programma R ha anche un nome CFPascal di PrintHelloInSteps. Ma poiché la stringa †PrintHelloInSteps† fa parte della stringa R, è meglio non usare PrintHelloInSteps come nome di un programma R nella notazione box.

Schermo f da un insieme X a un insieme Y è considerato dato se ogni elemento x di X è associato esattamente a un elemento y di Y, indicato con f(x).

Viene chiamato l'insieme X dominio di definizione mappatura f e l'insieme Y allineare. Set di coppie ordinate

à f = ((x, y) | x∈X, y∈Y, y = f(x))

chiamata grafico di visualizzazione f. Segue direttamente dalla definizione che il grafico della mappatura f è un sottoinsieme del prodotto cartesiano X×Y:

A rigor di termini, una mappatura è una tripla di insiemi (X, Y, G) tale che G⊂ X×Y, e ogni elemento x di X è il primo elemento esattamente di una coppia (x, y) di G. Denotando il secondo elemento di tale coppia per f(x), otteniamo una mappatura f dell'insieme X all'insieme Y. Inoltre, G=Г f . Se y=f(x), scriveremo f:x→y e diciamo che l'elemento x va o mappa all'elemento y; l'elemento f(x) è chiamato immagine dell'elemento x rispetto alla mappatura f. Per denotare le mappature, useremo la notazione f: X→Y.

Sia f: X→Y una mappatura da un insieme X a un insieme Y, e A e B siano rispettivamente sottoinsiemi degli insiemi X e Y. Viene chiamato l'insieme f(A)=(y| y=f(x) per alcuni x∈A). strada insieme A. L'insieme f − 1 (B)=(x| f(x) ∈B)

chiamata prototipo imposta B. Una mappatura f: A→Y tale che x→f(x) per ogni x∈A è chiamata costrizione mappature f all'insieme A; la restrizione sarà indicata con f| UN.

Siano presenti le mappature f: X→Y e g: Y→Z. Viene chiamata la mappa X→Z che porta x in g(f(x)). composizione mappature f e g ed è indicato da fg .

Viene chiamata una mappatura di un insieme X in X tale che ogni elemento vada in se stesso, x→x identico ed è indicato con id X .

Per una mappatura arbitraria f: X→Y abbiamo id X ⋅f = f⋅id Y .

Viene chiamata la mappatura f: X→Y iniettiva, se per qualsiasi elemento da e ne consegue che . Viene chiamata la mappatura f: X→Y suriettivo, se ogni elemento y di Y è l'immagine di un elemento x di X, cioè f(x)=y. Viene chiamata la mappatura f: X→Y biettivo se è sia iniettiva che suriettiva. Una mappatura biiettiva f: X→Y è invertibile. Ciò significa che esiste una mappatura g: Y→X chiamata inversione ad una mappatura f tale che g(f(x))=x e f(g(y))=y per ogni x∈X, y∈Y. La mappatura inversa alla mappatura f è indicata con f − 1 .

Viene stabilita una mappatura invertibile f: X→Y uno a uno corrispondenza tra elementi degli insiemi X e Y. La mappatura iniettiva f: X→Y stabilisce una corrispondenza biunivoca tra l'insieme X e l'insieme f(X).

Esempi. 1) La funzione f:R→R >0, f (x)=ex , stabilisce una corrispondenza biunivoca dell'insieme di tutti i numeri reali R con l'insieme dei numeri reali positivi R >0 . L'inverso della mappatura f è la mappatura g:R >0 →R, g(x)=ln x.

2) Mappare f:R→R ≥ 0 , f(x)=x 2 , l'insieme di tutte le R reali sull'insieme numeri non negativi R ≥ 0 è suriettivo ma non iniettivo e quindi non biiettivo.

Proprietà della funzione:

1. La composizione di due funzioni è una funzione, cioè se poi .

2. La composizione di due funzioni biiettive è una funzione biiettiva, se , allora .

3. Una mappatura ha una mappatura inversa se e

se e solo se f è una biiezione, cioè se poi .

Definizione. Relazione n - locale, o predicato n - locale Р, sugli insiemi А 1 ;А 2 ;…;А n è un qualsiasi sottoinsieme del prodotto cartesiano.

Designazione n - relazione locale P(x 1 ;x 2 ;…;x n). Per n=1 si chiama la relazione P unario ed è un sottoinsieme dell'insieme A 1 . binario(doppio per n=2) la relazione è un insieme di coppie ordinate.

Definizione. Per ogni insieme A, la relazione è chiamata relazione identica, o diagonale, e relazione intera, o quadrato pieno.

Sia P una relazione binaria. Quindi il dominio della relazione binaria P è chiamato insieme per alcune y), e allineareè un insieme per alcune x). Inversione Una relazione con P è un insieme.

Viene chiamato il rapporto R riflessivo se contiene tutte le coppie della forma (x, x) per ogni x in X. Viene chiamata la relazione P antiriflessivo, se non contiene coppie della forma (x,x). Ad esempio, la relazione x≤y è riflessiva e la relazione x

Viene chiamato il rapporto R simmetrico, se insieme ad ogni coppia (x,y) contiene anche la coppia (y,x). La simmetria della relazione P significa che P = P -1.

Viene chiamato il rapporto R antisimmetrico, se (x;y) e (y;x), allora x=y.

Viene chiamato il rapporto R transitivo se insieme a qualsiasi coppia (x, y) e (y, z) contiene anche la coppia (x, z), cioè xРy e yРz implica xРz.

Proprietà delle relazioni binarie:

Esempio. Sia A=(x/x è un numero arabo); P=((x;y)/x,yA,x-y=5). Trova D;R;P -1 .

Decisione. La relazione Р può essere scritta come Р=((5;0);(6;1);(7;2);(8;3);(9;4)), allora per essa abbiamo D=(5 ;6 ;7;8;9); E=(0;1;2;3;4); P -1 =((0;5);(1;6);(2;7);(3;8);(4;9)).

Considera due insiemi finiti e una relazione binaria. Introduciamo la matrice di relazioni binarie P come segue: .

La matrice di qualsiasi relazione binaria ha proprietà:

1. Se e , allora , e l'addizione degli elementi della matrice viene effettuata secondo le regole 0+0=0; 1+1=1; 1+0=0+1=1, e la moltiplicazione è termine per termine nel solito modo, cioè secondo le regole 1*0=0*1=0; 1*1=1.

2. Se , allora , e le matrici vengono moltiplicate secondo la regola usuale della moltiplicazione di matrici, ma il prodotto e la somma degli elementi durante la moltiplicazione di matrici si trovano secondo le regole dell'elemento 1.

4. Se , allora e

Esempio. La relazione binaria è mostrata in Fig. 2. La sua matrice ha la forma .

Decisione. Lasciate, allora;

Sia P una relazione binaria sull'insieme A, . Viene chiamata la relazione P sull'insieme A riflessivo if , dove gli asterischi denotano zeri o uno. Viene chiamato il rapporto R irriflessivo Se . Viene chiamata la relazione P sull'insieme A simmetrico, se pro e per ne consegue dalla condizione che . Significa che . Viene chiamato il rapporto R antisimmetrico, se segue dalle condizioni e che x=y, cioè o . Questa proprietà porta al fatto che tutti gli elementi della matrice al di fuori della diagonale principale saranno zero (potrebbero esserci anche zeri sulla diagonale principale). Viene chiamato il rapporto R transitivo, se da e ne consegue che , cioè .

Esempio. Dato il rapporto Р e .Qui, tutte le unità sono sulla diagonale principale della matrice, quindi Р è riflessiva. La matrice è asimmetrica, quindi la relazione P

Perché non tutti gli elementi al di fuori della diagonale principale sono zero, quindi la relazione P non è antisimmetrica.

Quelli. , quindi la relazione Р non è transitiva.

Si chiama relazione riflessiva, simmetrica e transitiva relazione di equivalenza. È consuetudine utilizzare il simbolo ~ per denotare relazioni di equivalenza. Le condizioni di riflessività, simmetria e transitività possono essere scritte come segue:

Esempio. 1) Sia X l'insieme di funzioni definite sull'intera retta reale. Assumeremo che le funzioni f e g siano correlate dalla relazione ~ se assumono gli stessi valori al punto 0, cioè f(x)~g(x) se f(0)=g(0). Ad esempio, sinx~x, e x ~cosx. La relazione ~ è riflessiva (f(0)=f(0) per qualsiasi funzione f(x)); simmetricamente (da f(0)=g(0) segue che g(0)=f(0)); transitivamente (se f(0)=g(0) e g(0)=h(0), allora f(0)=h(0)). Quindi ~ è una relazione di equivalenza.

2) Sia ~ una relazione sull'insieme dei numeri naturali tale che x~y se xey hanno lo stesso resto quando diviso per 5. Ad esempio, 6~11, 2~7, 1~6. È facile vedere che questa relazione è riflessiva, simmetrica e transitiva, e quindi è una relazione di equivalenza.

relazione d'ordine parziale una relazione binaria su un insieme si dice se è riflessiva, antisimmetrica, transitiva, cioè

1. - riflessività;

2. - antisimmetria;

3. - transitività.

stretta relazione d'ordine una relazione binaria su un insieme si dice se è antiriflessiva, antisimmetrica, transitiva. Entrambe queste relazioni sono chiamate relazioni di ordine. L'insieme su cui è data la relazione d'ordine, forse: un set completamente ordinato o parzialmente ordinato. L'ordine parziale è importante in quei casi in cui vogliamo caratterizzare in qualche modo l'anzianità, ad es. decidere a quali condizioni considerare che un elemento dell'insieme è superiore a un altro. Viene chiamato un insieme parzialmente ordinato linearmente ordinato, se non ha elementi incomparabili, cioè una delle condizioni o è soddisfatta. Ad esempio, gli insiemi con un ordine naturale su di essi sono ordinati linearmente.

funzione ". Iniziamo con un caso particolare ma importante di funzioni che agiscono da a .

Se capiamo cos'è una relazione, allora è abbastanza facile capire cos'è una funzione. Una funzione è un caso speciale di una relazione. Ogni funzione è una relazione, ma non tutte le relazioni sono una funzione. Quali relazioni sono le funzioni? Quale condizione aggiuntiva deve essere soddisfatta affinché una relazione sia una funzione?

Torniamo alla considerazione della relazione che agisce dal dominio di definizione al dominio dei valori. Considera un elemento da . Questo elemento corrisponde a un elemento tale a cui appartiene la coppia , che spesso viene scritto come: (ad esempio, ). Alla relazione possono appartenere anche altre coppie, il cui primo elemento può essere l'elemento . Per le funzioni, questa situazione è impossibile.

Una funzione è una relazione in cui un elemento del dominio di definizione corrisponde a un singolo elemento del dominio dei valori.

La relazione "avere un fratello", mostrata in Figura 1, non è una funzione. Due archi vanno da un punto nel dominio di definizione a diversi punti nel dominio dei valori, quindi questa relazione non è una funzione. Essenzialmente, Elena ha due fratelli, quindi non c'è corrispondenza uno a uno tra l'elemento da e l'elemento da.

Se consideriamo la relazione "avere un fratello maggiore" sugli stessi insiemi, allora tale relazione è una funzione. Ogni persona può avere molti fratelli, ma solo uno di loro è il fratello maggiore. Le funzioni sono anche relazioni simili come "padre" e "madre".

Di solito, quando si parla di funzioni, la lettera è usata per la designazione generale della funzione, e non, come nel caso delle relazioni, e la notazione generale ha la forma usuale: .

Considera la nota funzione . Lo scopo di questa funzione è l'intero asse reale: . L'intervallo della funzione è un intervallo chiuso sull'asse reale: . Il grafico di questa funzione è una sinusoide, ogni punto sull'asse corrisponde a un singolo punto sul grafico .

Funzione uno a uno

Lascia che la relazione definisca la funzione. Cosa si può dire del contrario? È anche una funzione? Per niente necessario. Considera esempi di relazioni che sono funzioni.

Per la relazione "ha un fratello maggiore", la relazione inversa è la relazione "ha un fratello o una sorella". Naturalmente, questa relazione non è una funzione. Un fratello maggiore può avere molte sorelle e fratelli.

Per il rapporto "padre" e "madre", il rapporto inverso è il rapporto "figlio o figlia", che non è nemmeno una funzione, poiché possono esserci molti figli.

Se consideriamo la funzione , quindi la relazione inversa non è una funzione, poiché un valore corrisponde a molti valori arbitrariamente. Considerare