Lo studio della funzione di continuità in un punto viene effettuato secondo lo schema di routine già sviluppato, che consiste nel verificare tre condizioni di continuità:

Esempio 1

Soluzione:

1) L'unico punto è sotto gli occhi, dove la funzione non è definita.

I limiti unilaterali sono finiti e uguali.

Così, a un certo punto, la funzione subisce una discontinuità discontinua.

Che aspetto ha il grafico di questa funzione?

Vorrei fare una semplificazione, e mi sembra una normale parabola. MA la funzione originale non è definita al punto , quindi è necessario il seguente avvertimento:

Eseguiamo il disegno:

Risposta: la funzione è continua su tutta la retta dei numeri tranne nel punto in cui subisce una discontinuità.

La funzione può essere ridefinita in modo buono o meno, ma ciò non è richiesto dalla condizione.

Dici che l'esempio è inverosimile? Affatto. È successo decine di volte in pratica. Quasi tutti i compiti del sito derivano da un vero lavoro indipendente e di controllo.

Analizziamo i nostri moduli preferiti:

Esempio 2

Indagare la funzione per la continuità. Determinare la natura delle interruzioni di funzione, se presenti. Esegui il disegno.

Soluzione: per qualche motivo, gli studenti hanno paura e non amano le funzioni con un modulo, anche se non c'è nulla di complicato in loro. Abbiamo già accennato un po' a queste cose nella lezione. Trasformazioni della trama geometrica. Poiché il modulo non è negativo, si espande come segue: , dove "alfa" è un'espressione. In questo caso, e la nostra funzione dovrebbe firmare a tratti:

Ma le frazioni di entrambi i pezzi devono essere ridotte di . La riduzione, come nell'esempio precedente, non sarà priva di conseguenze. La funzione originale non è definita nel punto perché il denominatore svanisce. Pertanto, il sistema dovrebbe specificare ulteriormente la condizione e rendere rigorosa la prima disuguaglianza:

Ora per un trucco MOLTO UTILE: prima di finalizzare il compito su una bozza, è utile fare un disegno (indipendentemente dal fatto che sia richiesto dalla condizione o meno). Ciò aiuterà, in primo luogo, a vedere immediatamente i punti di continuità e i punti di interruzione e, in secondo luogo, ti salverà al 100% dagli errori quando trovi limiti unilaterali.

Facciamo il trucco. Secondo i nostri calcoli, a sinistra del punto è necessario disegnare un frammento di parabola (blu) ea destra un pezzo di parabola (rosso), mentre la funzione non è definita nel punto stesso :

In caso di dubbio, prendi alcune x, inseriscile nella funzione (ricordando che il modulo distruggerà ogni possibile segno meno) e controlla il grafico.

Indaghiamo analiticamente la funzione per la continuità:

1) La funzione non è definita al punto, quindi possiamo subito dire che non è continua in esso.

2) Stabiliamo la natura della discontinuità, per questo calcoliamo limiti unilaterali:

I limiti unilaterali sono finiti e diversi, il che significa che la funzione subisce una discontinuità del 1° tipo con un salto nel punto . Si noti che non importa se la funzione al punto di interruzione è definita o meno.

Ora resta da trasferire il disegno dalla bozza (è stato realizzato, per così dire, con l'aiuto della ricerca ;-)) e completare il compito:

Risposta: la funzione è continua su tutta la retta dei numeri tranne il punto in cui subisce una discontinuità del primo tipo con un salto.

A volte è necessario indicare in aggiunta il salto di discontinuità. Viene calcolato in modo elementare: il limite sinistro deve essere sottratto dal limite destro: , cioè, al punto di interruzione, la nostra funzione è saltata di 2 unità in basso (di cui ci parla il segno meno).

Esempio 3

Indagare la funzione per la continuità. Determinare la natura delle interruzioni di funzione, se presenti. Fai un disegno.

Questo è un esempio per decisione indipendente, una soluzione di esempio alla fine della lezione.

Passiamo alla versione più popolare e comune dell'attività, quando la funzione è composta da tre pezzi:

Esempio 4

Esaminare la funzione per la continuità e tracciare il grafico della funzione

Soluzione: è ovvio che tutte e tre le parti della funzione sono continue sugli intervalli corrispondenti, quindi resta da controllare solo due punti di "giunzione" tra i pezzi. Per prima cosa, facciamo un disegno su una bozza, ho commentato la tecnica di costruzione in modo sufficientemente dettagliato nella prima parte dell'articolo. L'unica cosa è seguire attentamente i nostri punti singolari: per la disuguaglianza, il valore appartiene alla retta (punto verde), e per la disuguaglianza, il valore appartiene alla parabola (punto rosso):

Bene, in linea di principio, tutto è chiaro =) Resta da elaborare una decisione. Per ciascuno dei due punti "di testa", controlliamo di serie 3 condizioni di continuità:

IO)

I limiti unilaterali sono finiti e diversi, il che significa che la funzione subisce una discontinuità del 1° tipo con un salto nel punto .

Calcoliamo il salto di discontinuità come differenza tra i limiti destro e sinistro:
, ovvero il grafico è salito di un'unità.

II) Esaminiamo il punto di continuità

1) - la funzione è definita in un dato punto.

2) Trova i limiti unilaterali:

I limiti unilaterali sono finiti e uguali, quindi esiste un limite comune.

Nella fase finale, trasferiamo il disegno su una copia pulita, dopodiché inseriamo l'accordo finale:

Risposta: la funzione è continua su tutta la retta dei numeri, tranne nel punto in cui subisce una discontinuità del primo tipo con un salto.

Esempio 5

Esamina la funzione per la continuità e costruisci il suo grafico.

Questo è un esempio per una soluzione indipendente, una soluzione breve e un campione approssimativo del problema alla fine della lezione.

Si può avere l'impressione che in un punto la funzione debba essere necessariamente continua, e in un altro punto debba esserci necessariamente una discontinuità. In pratica, non è sempre così. Cerca di non trascurare gli esempi rimanenti: ci saranno diverse caratteristiche interessanti e importanti:

Esempio 6

Data una funzione. Esaminare la funzione per la continuità nei punti. Costruisci un grafico.

Soluzione: e di nuovo eseguire immediatamente il disegno sulla bozza:

La particolarità di questo grafico è che per la funzione a tratti è data dall'equazione dell'asse delle ascisse. Questa zona è mostrata qui in verde e in un taccuino di solito è evidenziato in grassetto con una semplice matita. E, naturalmente, non dimenticare le nostre pecore: il valore si riferisce al ramo tangente (punto rosso) e il valore appartiene alla retta.

Tutto è chiaro dal disegno: la funzione è continua sull'intera linea dei numeri, resta da elaborare una soluzione che viene portata al pieno automatismo letteralmente dopo 3-4 esempi simili:

IO) Esaminiamo il punto di continuità

1) - la funzione è definita in un dato punto.

2) Calcola i limiti unilaterali:

Quindi c'è un limite generale.

C'è stata una piccola svolta qui. Il fatto è che ho creato molti materiali sui limiti della funzione, e più volte l'ho voluto, ma più volte me ne sono dimenticato uno una semplice domanda. E così, con un incredibile sforzo di volontà, mi sono sforzato di non perdere il pensiero =) Molto probabilmente, alcuni lettori-"manichini" dubitano: qual è il limite della costante? Il limite di una costante è uguale alla costante stessa. In questo caso, il limite di zero è uguale a zero stesso (il limite di sinistra).

3) - il limite di una funzione in un punto è uguale al valore di questa funzione in un dato punto.

Pertanto, una funzione è continua in un punto per la definizione di una funzione che è continua in un punto.

II) Esaminiamo il punto di continuità

1) - la funzione è definita in un dato punto.

2) Trova i limiti unilaterali:

E qui, nel limite di destra, il limite dell'unità è uguale all'unità stessa.

C'è un limite generale.

3) - il limite di una funzione in un punto è uguale al valore di questa funzione in un dato punto.

Pertanto, una funzione è continua in un punto per la definizione di una funzione che è continua in un punto.

Come al solito, dopo lo studio, trasferiamo il nostro disegno su una copia pulita.

Risposta: la funzione è continua nei punti.

Si noti che nella condizione non ci è stato chiesto nulla sullo studio dell'intera funzione di continuità, ed è considerata una buona forma matematica da formulare preciso e chiaro risposta alla domanda posta. A proposito, se in base alla condizione non è necessario costruire un grafico, allora hai tutto il diritto di non costruirlo (anche se in seguito l'insegnante può costringerti a farlo).

Un piccolo "pattern" matematico per una soluzione indipendente:

Esempio 7

Data una funzione.

Esaminare la funzione per la continuità nei punti. Classifica i punti di interruzione, se presenti. Esegui il disegno.

Prova a "pronunciare" correttamente tutte le "parole" =) E disegna il grafico in modo più preciso, accuratezza, non sarà superfluo ovunque ;-)

Come ricordi, ti ho consigliato di disegnare immediatamente su una bozza, ma di tanto in tanto ci sono esempi in cui non puoi capire immediatamente come appare il grafico. Pertanto, in un certo numero di casi, è vantaggioso trovare prima dei limiti unilaterali e solo dopo, sulla base dello studio, rappresentare i rami. Negli ultimi due esempi, impareremo anche la tecnica di calcolo di alcuni limiti unilaterali:

Esempio 8

Indagare la funzione per la continuità e costruire il suo grafico schematico.

Soluzione: i punti negativi sono evidenti: (porta a zero il denominatore dell'esponente) e (porta a zero il denominatore dell'intera frazione). Non è chiaro come sia il grafico di questa funzione, il che significa che è meglio condurre prima uno studio:

IO) Esaminiamo il punto di continuità

2) Trova i limiti unilaterali:

prestare attenzione a un metodo tipico per calcolare un limite unilaterale: nella funzione al posto di "X" sostituiamo . Non c'è reato al denominatore: la “somma” “meno zero” non gioca un ruolo, e risulta “quattro”. Ma nel numeratore c'è un piccolo thriller: in primo luogo, uccidiamo -1 e 1 al denominatore dell'indicatore, in conseguenza del quale otteniamo . unità divisa per , è uguale a "meno infinito", quindi: . E infine, i "due" in infinitamente grande grado negativo è uguale a zero: . Oppure, più in dettaglio: .

Calcoliamo il limite di destra:

E qui - invece di "x" sostituiamo . Nel denominatore, "additivo" di nuovo non gioca un ruolo: . Nel numeratore vengono eseguite azioni simili al limite precedente: distruggiamo i numeri opposti e dividiamo l'unità per :

Il limite di destra è infinito, il che significa che la funzione subisce una discontinuità del 2° tipo nel punto .

II) Esaminiamo il punto di continuità

1) La funzione non è definita a questo punto.

2) Calcola il limite di sinistra:

Il metodo è lo stesso: sostituiamo nella funzione invece di "x". Non c'è niente di interessante nel numeratore - risulta un numero positivo finito. E nel denominatore apriamo le parentesi, togliamo le “triple”, e l'”additivo” gioca un ruolo decisivo.

Di conseguenza, un numero positivo finito diviso per numero infinitesimo positivo, dà "più infinito": .

Il limite di destra, come un fratello gemello, con l'unica eccezione che al denominatore esce numero infinitesimo negativo:

I limiti unilaterali sono infiniti, il che significa che la funzione subisce una discontinuità del 2° tipo nel punto .

Quindi, abbiamo due punti di interruzione e, ovviamente, tre rami del grafico. Per ogni diramazione si consiglia di realizzare una costruzione punto per punto, ad es. prendi diversi valori di "x" e sostituiscili in . Si noti che la condizione consente la costruzione di un disegno schematico e tale rilassamento è naturale per il lavoro manuale. Costruisco grafici usando un programma, quindi non ho tali difficoltà, ecco un'immagine abbastanza precisa:

Sono diretti asintoti verticali per il grafico di questa funzione.

Risposta: la funzione è continua su tutta la retta numerica, tranne nei punti in cui soffre di discontinuità di 2° tipo.

Una funzione più semplice per una soluzione fai-da-te:

Esempio 9

Indagare la funzione per la continuità e fare un disegno schematico.

Una soluzione campione alla fine che è passata inosservata.

A presto!

Soluzioni e risposte:

Esempio 3:Soluzione : trasforma la funzione: . Data la regola di espansione del modulo e il fatto che , riscriviamo la funzione a tratti:

Indaghiamo la funzione per la continuità.

1) Funzione non definita al punto .

I limiti unilaterali sono finiti e diversi, il che significa che la funzione subisce una discontinuità del 1° tipo con un salto nel punto . Eseguiamo il disegno:

Risposta: la funzione è continua su tutta la retta numerica eccetto il punto , in cui subisce una discontinuità del primo tipo con un salto. Salto a vuoto: (due unità in su).

Esempio 5:Soluzione : ciascuna delle tre parti della funzione è continua nel suo intervallo.
IO)
1)

2) Calcola i limiti unilaterali:

, quindi esiste un limite comune.
3) - il limite di una funzione in un punto è uguale al valore di questa funzione in un dato punto.
Quindi la funzione continuo al punto per definizione della continuità di una funzione in un punto.
II) Esaminiamo il punto di continuità

1) - la funzione è definita nel punto dato. la funzione subisce una discontinuità del 2° tipo, al punto

Come trovare l'ambito di una funzione?

Esempi di soluzioni

Se manca qualcosa da qualche parte, allora c'è qualcosa da qualche parte

Continuiamo a studiare la sezione "Funzioni e Grafici", e la prossima tappa del nostro viaggio è Ambito della funzione. Discussione attiva questo concetto iniziato nella prima lezione sui grafici delle funzioni dove ho recensito funzioni elementari, e, in particolare, i loro domini di definizione. Pertanto, consiglio che i manichini inizino con le basi dell'argomento, poiché non mi soffermerò più su alcuni punti di base.

Si presuppone che il lettore conosca le aree di definizione delle funzioni principali: funzioni lineari, quadratiche, cubiche, polinomi, esponente, logaritmo, seno, coseno. Sono definiti su . Per tangenti, arcoseni, così sia, ti perdono =) I grafici più rari non vengono ricordati immediatamente.

Il dominio della definizione sembra essere una cosa semplice e sorge spontanea una domanda: di cosa parlerà l'articolo? In questa lezione considererò le attività comuni per trovare il dominio di una funzione. Inoltre, lo ripeteremo disuguaglianze con una variabile, le abilità da risolvere che saranno richieste in altri compiti matematica superiore. Il materiale, tra l'altro, è tutto scuola, quindi sarà utile non solo agli studenti, ma anche agli studenti. L'informazione, ovviamente, non pretende di essere enciclopedica, ma d'altra parte non ci sono esempi "morti" inverosimili qui, ma caldarroste, che sono tratte da vere e proprie opere pratiche.

Iniziamo con un taglio rapido dell'argomento. Brevemente sulla cosa principale: stiamo parlando di una funzione di una variabile. Il suo dominio di definizione è insieme di valori "x"., per cui esistere il significato di "giochi". Considera un esempio ipotetico:

Il dominio di questa funzione è l'unione di intervalli:
(per chi ha dimenticato: - icona di unione). In altre parole, se prendiamo un qualsiasi valore di "x" dall'intervallo , o da , o da , allora per ciascuna di queste "x" ci sarà un valore di "y".

In parole povere, dove si trova il dominio di definizione, c'è un grafico della funzione. Ma il semiintervallo e il punto "ce" non sono inclusi nell'area di definizione, quindi non c'è alcun grafico lì.

A proposito, se qualcosa non è chiaro dalla terminologia e/o dal contenuto dei primi paragrafi, è meglio tornare all'articolo Grafici e proprietà delle funzioni elementari.

Lezione 4

Continuità delle funzioni

1. Continuità di una funzione in un punto

Definizione 1. Lascia che la funzione y=f(X) è definito al punto X 0 e in qualche quartiere di questo punto. Funzione y=f(X) è chiamato continuo in x 0 , se c'è un limite della funzione a questo punto ed è uguale al valore della funzione a questo punto, cioè

Quindi, la condizione per la continuità della funzione y=f(X) al punto X 0 è questo:

Perché
, allora l'uguaglianza (32) può essere scritta come

(33)

 Ciò significa che quando trovare il limite di una funzione continuaf(X) si può passare al limite sotto il segno della funzione, cioè in una funzione f(X) invece di un argomento X sostituire il suo valore limite X 0 .

lim peccato X=peccato(lim X);

lim arct X= arctg (lim X); (34)

lim log X= log (lim X).

Esercizio. Trova limite: 1)
; 2)
.

Diamo una definizione della continuità di una funzione, basata sui concetti di incremento di argomento e funzione.

Perché termini
e
sono gli stessi (Fig. 4), quindi l'uguaglianza (32) assume la forma:

o
.

Definizione 2. Funzione y=f(X) è chiamato continuo in x 0 , se è definito nel punto X 0 e il suo intorno, e un incremento infinitesimo dell'argomento corrisponde a un incremento infinitesimo della funzione.

Esercizio. Indagare per continuità una funzione y=2X 2 1.

Proprietà delle funzioni continue in un punto

1. Se funziona f(X) e φ (X) sono continue nel punto X 0 , quindi la loro somma
, opera
e privato
(a condizione
) sono funzioni continue nel punto X 0 .

2. Se funzione a=f(X) è continua nel punto X 0 e f(X 0)>0, allora esiste un intorno del punto X 0 , in cui f(X)>0.

3. Se funzione a=f(tu) è continua nel punto u 0 , e la funzione u= φ (X) è continua nel punto tu 0 = φ (X 0 ), poi funzione complessa y=f[φ (X)] è continua nel punto X 0 .

2. Continuità di una funzione in un intervallo e su un intervallo

Funzione y=f(X) è chiamato continuo nell'intervallo (un; b) se è continua in ogni punto di questo intervallo.

Funzione y=f(X) è chiamato continuo sul segmento [un; b] se è continuo nell'intervallo ( un; b), e al punto X=un continuo a destra (es.
), e al punto X=bè continua a sinistra (es.
).

3. Punti di interruzione di una funzione e loro classificazione

Vengono chiamati i punti in cui si interrompe la continuità di una funzione punti di rottura questa funzione.

Se una X=X 0  punto di interruzione della funzione y=f(X), allora almeno una delle condizioni della prima definizione della continuità di una funzione non è soddisfatta in essa.

Esempio.

1.
. 2.

3)
4)
.

▼ Punto di rottura X 0 è chiamato punto di interruzione primo tipo funzioni y=f(X) se a questo punto ci sono limiti finiti della funzione a sinistra e a destra (limiti unilaterali), cioè
e
. in cui:

Valore | UN 1 -UN 2 | chiamato funzione di salto al punto di discontinuità del primo tipo. ▲

▼ Punto di rottura X 0 è chiamato punto di interruzione secondo tipo funzioni y=f(X) se almeno uno dei limiti unilaterali (sinistro o destro) non esiste o è uguale all'infinito. ▲

Esercizio. Trova i punti di interruzione e scopri il loro tipo per le funzioni:

1)
; 2)
.

4. Teoremi di base sulle funzioni continue

I teoremi di continuità per le funzioni seguono direttamente dai corrispondenti teoremi limite.

Teorema 1. La somma, prodotto e quoziente di due funzioni continue è una funzione continua (per il quoziente, ad eccezione di quei valori dell'argomento in cui il divisore non è uguale a zero).

Teorema 2. Passiamo alle funzioni tu=φ (X) è continua nel punto X 0 e la funzione y=f(tu) è continua nel punto tu=φ (X 0 ). Poi la funzione complessa f(φ (X)) costituito da funzioni continue è continuo nel punto X 0 .

Teorema 3. Se la funzione y=f(X) è continuo e rigorosamente monotono su [ un; b] asse Oh, poi funzione inversa a=φ (X) è anche continua e monotona sul segmento corrispondente [ c;d] asse UO.

Ogni funzione elementare è continua in ogni punto in cui è definita.

5. Proprietà delle funzioni continue su un intervallo

Teorema di Weierstrass. Se una funzione è continua su un segmento, raggiunge i suoi valori massimo e minimo su questo segmento.

Conseguenza. Se una funzione è continua su un intervallo, allora è limitata sull'intervallo.

Teorema di Bolzano-Cauchy. Se la funzione y=f(X) è continua sull'intervallo [ un; b] e assume valori disuguali alle sue estremità f(un)=UN e f(b)=B,
, quindi qualunque sia il numero DA fra MA e A, c'è un punto
tale che f(c)=C.

Geometricamente il teorema è ovvio. Per qualsiasi numero DA fra MA e A, c'è un punto c all'interno di questo segmento tale che f(DA)=C. Dritto a=DA interseca il grafico della funzione almeno in un punto.

Conseguenza. Se la funzione y=f(X) è continua sull'intervallo [ un; b] e assume valori di segni diversi alle sue estremità, quindi all'interno del segmento [ un; b] c'è almeno un punto Insieme a, in cui la funzione y=f(X) scompare: f(c)=0.

Geometrico significato del teorema: se il grafico di una funzione continua passa da un lato dell'asse Oh a un altro, quindi incrocia l'asse Oh.

Questo articolo riguarda il continuo funzione numerica. Per le mappature continue in vari rami della matematica, vedere mappatura continua.

funzione continua- una funzione senza "salti", cioè quella in cui piccoli cambiamenti nell'argomento portano a piccoli cambiamenti nel valore della funzione.

Una funzione continua, in generale, è sinonimo del concetto di mappatura continua, tuttavia, il più delle volte questo termine è usato in un senso più stretto, per mappature tra spazi numerici, ad esempio, su una linea reale. Questo articolo è dedicato specificamente alle funzioni continue definite nel sottoinsieme numeri reali e assumendo valori reali.

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✪ Continuità della funzione e punti di interruzione della funzione

✪ 15 Funzione continua

✪ Funzionalità continue

✪ Analisi matematica, Lezione 5, Continuità di funzione

✪ Continuo valore casuale. funzione di distribuzione

Sottotitoli

Definizione

Se "correggiamo" la funzione f (\ displaystyle f) al punto di discontinuità e put f (a) = lim x → a f (x) (\ displaystyle f (a) = \ lim \ limiti _ (x \ a) f (x)), quindi otteniamo una funzione che è continua a questo punto. Viene chiamata tale operazione su una funzione estendendo la funzione a continua o estensione della funzione per continuità, che giustifica il nome del punto, come punti monouso spacco.

Punto di salto

Si verifica un "salto" di discontinuità se

lim x → un - 0 f (x) ≠ lim x → un + 0 f (x) (\ displaystyle \ lim \ limiti _ (x \ a-0) f (x) \ neq \ lim \ limiti _ (x \a+0)f(x)).

Punto di rottura "polo"

Una discontinuità del "polo" si verifica se uno dei limiti unilaterali è infinito.

lim x → a - 0 f (x) = ± ∞ (\ displaystyle \ lim \ limiti _ (x \ a-0) f (x) = \ pm \ infty ) o lim x → a + 0 f (x) = ± ∞ (\ displaystyle \ lim \ limiti _ (x \ a + 0) f (x) = \ pm \ infty ). [ ]

Punto di rottura significativo

Al punto di una discontinuità significativa, uno dei limiti unilaterali è del tutto assente.

Classificazione di punti singolari isolati in R n , n>1

Per le funzioni f: R n → R n (\ displaystyle f: \ mathbb (R) ^ (n) \ a \ mathbb (R) ^ (n)) e f: C → C (\ displaystyle f: \ mathbb (C) \ a \ mathbb (C)) non c'è bisogno di lavorare con punti di interruzione, ma spesso bisogna lavorare con punti speciali (punti dove la funzione non è definita). La classificazione è simile.

Manca il concetto di "salto". Cosa c'è dentro R (\ displaystyle \ mathbb (R) )è considerato un salto, negli spazi di dimensione superiore è un punto singolare essenziale.

Proprietà

Locale

• Funzione continua in un punto un (\ displaystyle a), è delimitato in qualche quartiere di questo punto.
• Se la funzione f (\ displaystyle f) continuo al punto un (\ displaystyle a) e f (a) > 0 (\ displaystyle f (a) > 0)(o fa)< 0 {\displaystyle f(a)<0} ), poi f (x) > 0 (\ displaystyle f (x)> 0)(o f(x)< 0 {\displaystyle f(x)<0} ) per tutti x (\ displaystyle x), abbastanza vicino a un (\ displaystyle a).
• Se funziona f (\ displaystyle f) e g (\ displaystyle g) continuo al punto un (\ displaystyle a), quindi le funzioni f+g (\ displaystyle f+g) e f ⋅ g (\ displaystyle f \ cpunto g) sono anche continui nel punto un (\ displaystyle a).
• Se funziona f (\ displaystyle f) e g (\ displaystyle g) continuo al punto un (\ displaystyle a) e dove g (a) ≠ 0 (\ displaystyle g (a) \ neq 0), quindi la funzione f / g (\ displaystyle f / g)è anche continua nel punto un (\ displaystyle a).
• Se la funzione f (\ displaystyle f) continuo al punto un (\ displaystyle a) e funzione g (\ displaystyle g) continuo al punto b = f (a) (\ displaystyle b = f (a)), quindi la loro composizione h = g ∘ f (\ displaystyle h = g \ circ f) continuo al punto un (\ displaystyle a).

Globale

• compact set) è uniformemente continuo su di esso.
• Una funzione che è continua su un segmento (o qualsiasi altro insieme compatto) è limitata e raggiunge i suoi valori massimo e minimo su di esso.
• Gamma di funzioni f (\ displaystyle f), continuo sul segmento , è il segmento [ min f , max f ] , (\ displaystyle [\ min f, \ \ max f],) dove il minimo e il massimo sono presi lungo il segmento [ a , b ] (\ displaystyle ).
• Se la funzione f (\ displaystyle f) continuo sul segmento [ a , b ] (\ displaystyle ) e f(a) ⋅ f(b)< 0 , {\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0,} poi c'è un punto in cui f (ξ) = 0 (\ displaystyle f (\ xi) = 0).
• Se la funzione f (\ displaystyle f) continuo sul segmento [ a , b ] (\ displaystyle ) e numero φ (\ displaystyle \ varphi ) soddisfa la disuguaglianza fa)< φ < f (b) {\displaystyle f(a)<\varphi o disuguaglianza f (a) > φ > f (b) , (\ displaystyle f (a)> \ varphi > f (b),) allora c'è un punto ξ ∈ (un , b) , (\ displaystyle \ xi \ in (a, b),) in cui f (ξ) = φ (\ displaystyle f (\ xi) = \ varphi ).
• Una mappatura continua da un segmento alla retta reale è iniettiva se e solo se la funzione data sul segmento è strettamente monotona.
• Monotono funzione su un segmento [ a , b ] (\ displaystyle )è continua se e solo se il suo intervallo è un segmento con estremità f (a) (\ displaystyle f (a)) e f (b) (\ displaystyle f (b)).
• Se funziona f (\ displaystyle f) e g (\ displaystyle g) continuo sul segmento [ a , b ] (\ displaystyle ), e fa)< g (a) {\displaystyle f(a) e f (b) > g (b) , (\ displaystyle f (b)> g (b),) allora c'è un punto ξ ∈ (un , b) , (\ displaystyle \ xi \ in (a, b),) in cui f (ξ) = g (ξ) . (\ displaystyle f(\xi)=g(\xi).) Da ciò, in particolare, ne consegue che ogni mappatura continua di un segmento in se stessa ha almeno un punto fisso.

Esempi

Funzioni elementari

Questa funzione è continua in ogni punto x ≠ 0 (\ displaystyle x \ neq 0).

Il punto è il punto di rottura primo tipo, inoltre

lim x → 0 - f (x) = - 1 ≠ 1 = lim x → 0 + f (x) (\displaystyle \lim \limits _(x\to 0-)f(x)=-1\neq 1= \lim \limits _(x\to 0+)f(x)),

mentre la funzione svanisce nel punto stesso.

funzione passo

Una funzione passo definita come

f (x) = ( 1 , x ≥ 0 0 , x< 0 , x ∈ R {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }

è continua ovunque tranne che in un punto x = 0 (\ displaystyle x=0), dove la funzione subisce una discontinuità del primo tipo. Tuttavia, al punto x = 0 (\ displaystyle x=0) esiste un limite di destra che coincide con il valore della funzione in un dato punto. Quindi questa funzione è un esempio diritto continuo funzioni in tutto il dominio di definizione.

Allo stesso modo, la funzione passo definita come

f (x) = ( 1 , x > 0 0 , x ≤ 0 , x ∈ R (\ displaystyle f (x)=(\begin(casi)1,&x>0\\0,&x\leqslant 0\end( casi)),\quad x\in \mathbb (R) )

è un esempio sinistra continua funzioni in tutto il dominio di definizione.

funzione Dirichlet

f (x) = ( 1 , x ∈ Q 0 , x ∈ R ∖ Q (\ displaystyle f (x)=(\begin(casi)1,&x\in \mathbb (Q) \\0,&x\in \ mathbb (R) \setminus \mathbb (Q) \end(casi)))

Continuità di una funzione in un punto

Sia definita la funzione f(x) in qualche intorno O(x0) del punto x0 (compreso il punto x0 stesso).

Una funzione f(x) si dice continua in un punto x0 se esiste limx → x0 f(x) uguale al valore della funzione f(x) in questo punto: lim

f(x) = f(x0), (1)

quelli. " O(f(x0)) $ O(x0) : x O O(x0) X f(x) O O(f(x0)) .

Commento. L'uguaglianza (1) può essere scritta come: lim

quelli. sotto il segno di una funzione continua si può passare al limite.

Sia Δx = x − x0 l'incremento dell'argomento, Δy = f(x) − f(x0) sia il corrispondente incremento della funzione.

Necessario e condizione sufficiente continuità di una funzione in un punto

La funzione y = f(x) è continua in x0 se e solo se

Commento. La condizione (2) può essere interpretata come la seconda definizione della continuità di una funzione in un punto. Entrambe le definizioni sono equivalenti.

Sia definita la funzione f(x) nell'intervallo .

Una funzione f(x) si dice continua in un punto x0 se esiste un limite unilaterale lim

Continuità di somma, prodotto e quoziente di due funzioni continue

Teorema 1. Se le funzioni f(x) e g(x) sono continue nel punto x0, allora f(x) ± g(x), f(x) g(x), f(x) sono continue in questo punto

Continuità di una funzione complessa

Teorema 2. Se la funzione u(x) è continua nel punto x0, e la funzione f(u) è continua nel punto corrispondente u0 = f(x0), allora la funzione composita f(u(x)) è continua nel punto x0.

Tutte le funzioni elementari sono continue in ogni punto dei loro domini.

Proprietà locali di funzioni continue

Teorema 3 (limitatezza di una funzione continua). Se la funzione f(x) è continua nel punto x0, allora esiste un intorno O(x0) in cui f(x) è limitato.

La dimostrazione deriva dall'asserzione che una funzione che ha un limite è limitata.

Teorema 4 (stabilità del segno di una funzione continua). Se la funzione f(x) è continua nel punto x0 e f(x0) ≠ 0, allora esiste un intorno del punto x0 dove f(x) ≠ 0, e il segno di f(x) in questo intorno coincide con il segno di f(x0).

Classificazione dei punti di interruzione

La condizione (1) della continuità della funzione f(x) nel punto x0 è equivalente alla condizione f(x0 − 0) = f(x0 + 0) = f(x0), (3)

dove f(x 0 − 0) = lim

f(x) e f(x0 + 0) = lim

f(x) - limiti unilaterali della funzione f(x) nel punto x0.

Se la condizione (3) viene violata, il punto x0 è chiamato punto di discontinuità della funzione f(x). A seconda del tipo di violazione della condizione (3), i breakpoint hanno carattere diverso e sono classificati come segue:

1. Se in un punto x0 esistono limiti unilaterali f(x0 − 0), f (x0 + 0), e

f(x0 − 0) = f(x0 + 0) ≠ f(x0), allora il punto x0 è detto punto di discontinuità della funzione f(x) (Fig. 1).

Commento. Nel punto x0, la funzione potrebbe non essere definita.

2. Se nel punto x0 esistono limiti unilaterali f(x0 − 0), f (x0 + 0), e

f(x0 − 0) ≠ f(x0 + 0), allora il punto x0 è detto punto di discontinuità con un salto finito della funzione f(x) (Fig. 2).

Commento. Nel punto di discontinuità con un salto finito, il valore della funzione può essere qualsiasi, oppure non essere definito.

I punti di una discontinuità amovibile e di un salto finito sono detti punti di discontinuità del 1° tipo. La loro caratteristica distintiva è l'esistenza di limiti unilaterali finiti f(x0 − 0) e

3. Se nel punto x0 almeno uno dei limiti unilaterali f(x0 − 0), f (x0 + 0) è uguale a infinito o non esiste, allora
x0 è chiamato punto di discontinuità del 2° tipo (Fig. 3).

Se almeno uno dei limiti unilaterali f(x0 − 0), f (x0 + 0) è uguale a infinito, allora la retta x = x 0 è chiamata asintoto verticale del grafico della funzione y = f( X).

Definizione. Una funzione f(x) definita in un intorno di un punto x0 si dice continua nel punto x0 se il limite della funzione e il suo valore in questo punto sono uguali, cioè

Lo stesso fatto si può scrivere diversamente:

Definizione. Se la funzione f(x) è definita in un intorno del punto x0, ma non è continua nel punto x0 stesso, allora è chiamata funzione discontinua e il punto x0 è chiamato punto di discontinuità.

Definizione. La funzione f(x) è chiamata continua nel punto x0 se esiste numero positivo e>0 esiste un numero tale D>0 che per ogni x che soddisfa la condizione

vera disuguaglianza.

Definizione. La funzione f(x) si dice continua nel punto x = x0 se l'incremento della funzione nel punto x0 è un valore infinitesimo.

f(x) = f(x0) + a(x)

dove a(x) è infinitamente piccolo per x®x0.

Proprietà delle funzioni continue.

1) La somma, differenza e prodotto di funzioni continue nel punto x0 è una funzione continua nel punto x0.

2) Il quoziente di due funzioni continue è una funzione continua purché g(x) non sia uguale a zero nel punto x0.

3) La sovrapposizione di funzioni continue è una funzione continua.

Questa proprietà può essere scritta come segue:

Se u = f(x), v = g(x) sono funzioni continue nel punto x = x0, allora anche la funzione v = g(f(x)) è una funzione continua in questo punto.

La validità delle suddette proprietà può essere facilmente dimostrata utilizzando i teoremi limite

Proprietà delle funzioni continue su un intervallo.

Proprietà 1: (Il primo teorema di Weierstrass (Weierstrass Karl (1815-1897) - matematico tedesco)). Una funzione che è continua su un intervallo è limitata a questo intervallo, ad es. la condizione –M £ f(x) £ M è soddisfatta sull'intervallo.

La dimostrazione di questa proprietà si basa sul fatto che una funzione che è continua nel punto x0 è limitata in qualche suo intorno, e se un segmento è diviso in un numero infinito di segmenti che si "contrano" nel punto x0, allora si forma un certo intorno del punto x0.

Proprietà 2: Una funzione continua sull'intervallo assume i suoi valori massimo e minimo.

Quelli. ci sono valori x1 e x2 tali che f(x1) = m, f(x2) = M e

Notiamo questi valori massimo e minimo che la funzione può assumere su un segmento e più volte (ad esempio f(x) = sinx).

La differenza tra il valore più grande e quello più piccolo di una funzione su un segmento è chiamata oscillazione di una funzione su un segmento.

Proprietà 3: (Secondo teorema di Bolzano–Cauchy). Una funzione continua su un segmento assume su questo segmento tutti i valori compresi tra due valori arbitrari.

Proprietà 4: Se la funzione f(x) è continua nel punto x = x0, allora esiste un intorno del punto x0 in cui la funzione mantiene il suo segno.

Proprietà 5: (Il primo teorema di Bolzano (1781-1848) - Cauchy). Se la funzione f(x) è continua su un segmento e ha valori di segno opposto alle estremità del segmento, allora esiste un punto all'interno di questo segmento dove f(x) = 0.

Quelli. se segno(f(a)) ¹ segno(f(b)), allora $ x0: f(x0) = 0.

Definizione. La funzione f(x) si dice uniformemente continua sull'intervallo se per ogni e>0 esiste D>0 tale che per ogni punto x1О e x2О tale che

х2 – х1п< D

la disuguaglianza ïf(x2) – f(x1)ï< e

La differenza tra continuità uniforme e continuità “ordinaria” è che per ogni e esiste la sua D che non dipende da x, mentre per continuità “ordinaria” D dipende da e e x.

Proprietà 6: Teorema di Cantor (Kantor Georg (1845-1918) - Matematico tedesco). Una funzione che è continua su un segmento è uniformemente continua su di esso.

(Questa proprietà è valida solo per i segmenti, non per gli intervalli e i semiintervalli.)

Definizione di continuità

Una funzione f (x) si dice continua in un punto a se: f () pp

1) la funzione f(x) è definita nel punto a,

2) ha un limite finito come x→ a 2) ha un limite finito come x→ a,

3) questo limite è uguale al valore della funzione a questo punto:

Continuità sull'intervallo

La funzione f (x) è chiamata continua sull'intervallo X se f () pp py

È continuo in ogni punto di questo intervallo.

Dichiarazione. Tutte le funzioni elementari sono continue

Aree della loro definizione.

funzione limitata

Una funzione è chiamata delimitata su un segmento se

esiste un numero M tale che per ogni x ∈

disuguaglianza:| f(x)| ≤M.

Due teoremi di Weierstrass

Primo teorema di Weierstrass. Se la funzione f (x p p p fu f (

è continua sul segmento , quindi è delimitata su questo segmento

Secondo teorema di Weierstrass. Se la funzione f(x

è continua sul segmento , quindi deve raggiungere questo segmento

il valore più piccolo m e il valore più grande M.

Teorema di Bolzano-Cauchy

Se la funzione f (x) è continua sull'intervallo e su fu f () pp p

alle estremità di questo segmento f(a) e f(b) hanno segni opposti,

allora all'interno del segmento c'è un punto c∈ (a,b) tale che f (c) = 0. ur p () f ()