Non è sorprendente divertente matematica divenne intrattenimento per tutti i tempi e tutti i popoli». Per risolvere tali problemi, non è richiesta alcuna conoscenza speciale: è sufficiente un'ipotesi, che, tuttavia, a volte è più difficile da trovare rispetto alla risoluzione metodica di un problema scolastico standard.

Risolvere un divertente problema aritmetico.
Per 3 - 5 classi

Quanti draghi?

I draghi a 2 e 7 teste si sono riuniti per un raduno.
Proprio all'inizio del raduno, il Dragon King - Drago a 7 teste contò tutte le teste di tutti quelli riuniti.

Si guardò intorno alla testa centrale coronata e vide 25 teste.
Il re è stato soddisfatto dei risultati dei calcoli e ha ringraziato tutti i presenti per la loro partecipazione alla manifestazione.

Quanti draghi sono venuti alla manifestazione?

(a) 7; (b) 8; nove; (d) 10; (e) 11;
Soluzione:

Sottrarre dalle 25 teste contate dal Re Drago, 6 teste che gli appartengono.

Rimarranno 19 gol. Tutti i draghi rimanenti non possono essere a due teste (19 è un numero dispari).

Può esserci solo 1 drago a 7 teste (se 2, allora ci sarà un numero dispari di teste per i draghi a due teste. E per tre draghi, non ci sono abbastanza teste: (7 3 = 21> 19).

Sottrae da 19 teste 7 teste di questo singolo drago e ottieni il numero totale di teste appartenenti a draghi a due teste.

Pertanto, i draghi a 2 teste:
(19 - 7) / 2 = 6 Draghi.

Totale: 6 +1 +1 (Re) = 8 Draghi.

Risposta corretta: b = 8 draghi

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Soluzione compito divertente matematica

Per 4 - 8 classi

Quante vittorie?

Nikita e Alexander stanno giocando a scacchi.
Prima dell'inizio del gioco, hanno concordato

che il vincitore del gioco riceverà 5 punti, il perdente non riceverà alcun punto e ogni giocatore riceverà 2 punti se il gioco finisce con un pareggio.

Hanno giocato 13 partite e ottenuto 60 punti insieme.
Alexander ha ottenuto tre volte più punti per le partite vinte rispetto a quelle pareggiate.

Quante vittorie ha vinto Nikita?

(a) 1; (b) 2; 3; (d) 4; (e) 5;
Risposta corretta: (b) 2 vittorie (vinte da Nikita)

Soluzione.

Ogni partita in pareggio dà 4 punti al salvadanaio e una vittoria - 5 punti.
Se tutte le partite finissero in parità, i ragazzi segnerebbero 4 13 = 52 punti.
Ma hanno segnato 60 punti.

Ne consegue che 8 partite si sono concluse con qualcuno che ha vinto.
E 13 - 5 = 5 partite finite in parità.

Alexander ha segnato 5 2 = 10 punti in 5 pareggi, il che significa che quando ha vinto ha segnato 30 punti, cioè ha vinto 6 partite.
Poi Nikita ha vinto (8-6=2) 2 partite.

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Risolvere un divertente problema aritmetico

Per 4 - 8 classi

Quanti giorni senza cibo?
La nave interplanetaria marziana è arrivata in visita sulla Terra.
I marziani mangiano al massimo una volta al giorno, al mattino, a mezzogiorno o alla sera.

Ma mangiano solo quando hanno fame. Possono rimanere senza cibo per diversi giorni.
Durante il soggiorno dei marziani sulla Terra, hanno mangiato 7 volte.
Sappiamo anche che sono rimasti senza cibo 7 volte al mattino, 6 volte a mezzogiorno e 7 sere.
Quanti giorni durante la loro visita i marziani sono rimasti senza cibo?

(a) 0 giorni; (b) 1 giorno; 2 giorni; (d) 3 giorni; (e) 4 giorni; a) 5 giorni;
Risposta corretta: 2 giorni (i marziani sono rimasti senza cibo)

Soluzione.
I marziani mangiavano 7 giorni, un pasto al giorno, e il numero di giorni in cui cenavano era uno più numero giorni in cui facevano colazione o cena.

Sulla base di questi dati, è possibile stilare un programma per mangiare i marziani. L'immagine probabile è questa.

Gli alieni hanno pranzato il primo giorno, cena il secondo, colazione il terzo, pranzo il quarto, cena il quinto, colazione il sesto e pranzo il settimo.

Cioè, i marziani hanno fatto colazione per 2 giorni e hanno trascorso 7 giorni senza colazione, cenato - 2 volte e trascorso 7 giorni senza cena, pranzato 3 volte e vissuto 6 giorni senza pranzo.

Quindi 7 + 2 = 9 e 6 + 3 = 9 giorni. Così vissero sulla Terra per 9 giorni e 2 di loro rimasero senza cibo (9 - 7 = 2).

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Risolvere un divertente problema non standard

Per 4 - 8 classi

Che ore sono?
Il ciclista e il pedone hanno lasciato contemporaneamente il punto A e si sono diretti verso il punto B a velocità costante.
Il ciclista è arrivato al punto B ed è subito tornato indietro e ha incontrato il Pedone un'ora dopo che questi avevano lasciato il punto A.
Qui il Ciclista si è voltato di nuovo ed entrambi hanno ripreso a muoversi in direzione del punto B.

Quando il ciclista ha raggiunto il punto B, è tornato indietro e ha incontrato di nuovo il Pedone 40 minuti dopo il loro primo incontro.
Qual è la somma delle cifre del numero che esprimono il tempo (in minuti) necessario al Pedone per andare dal punto A al punto B?
(a) 2; (b) 14; 12; (d) 7; (e)9.
Risposta corretta: e) 9 (la somma delle cifre del numero 180 minuti è il tempo che il Pedone percorre da A a B)

Tutto diventa chiaro se disegni un disegno.
Trova la differenza tra i due percorsi del Ciclista (un percorso va da A al primo incontro (linea verde continua), il secondo percorso dal primo incontro al secondo (linea verde tratteggiata)).

Otteniamo che questa differenza è esattamente uguale alla distanza dal punto A al secondo incontro.
Questa distanza è percorsa da un Pedone in 100 minuti e da un Ciclista in 60 minuti - 40 minuti = 20 minuti. Quindi il ciclista va 5 volte più veloce.

Indichiamo la distanza dal punto A al punto in cui si è svolto 1 incontro come una parte, e il percorso del Ciclista al 1° incontro come 5 parti.

Insieme, quando si sono incontrati per la prima volta, avevano coperto il doppio della distanza tra i punti A e B, cioè 5 + 1 = 6 parti.

Pertanto, da A a B - 3 parti. Dopo il primo incontro, il pedone dovrà percorrere altre 2 parti fino al punto B.

Coprirà l'intera distanza in 3 ore o 180 minuti, poiché copre 1 parte in 1 ora.

COMPITI NON STANDARD NELLE LEZIONI DI MATEMATICA

Insegnante scuola elementare Shamalova S.V.

Ogni generazione di persone fa le proprie richieste alla scuola. Un antico proverbio romano dice: "Non per la scuola, ma per la vita, impariamo". Il significato di questo proverbio è ancora attuale. Società moderna detta al sistema educativo un ordine per l'educazione di una persona pronta alla vita in condizioni in continuo mutamento, alla formazione continua, capace di apprendere per tutta la vita.

Tra le capacità spirituali dell'uomo ve n'è una che per molti secoli è stata oggetto di grande attenzione da parte degli scienziati e che, allo stesso tempo, è ancora la materia più difficile e misteriosa della scienza. Questa è la capacità di pensare. Lo incontriamo costantemente nel lavoro, nell'insegnamento, nella vita di tutti i giorni.

Qualsiasi attività di lavoratore, scolaro e scienziato è inseparabile dal lavoro mentale. In ogni cosa reale è necessario spaccare la testa, gettare la mente, cioè, nel linguaggio della scienza, bisogna compiere un'azione mentale, un lavoro intellettuale. È noto che il problema può essere risolto e non risolto, uno lo affronterà rapidamente, l'altro pensa a lungo. Ci sono compiti che sono fattibili anche per un bambino, e interi team di scienziati hanno lottato per alcuni per anni. Quindi, c'è la capacità di pensare. Alcuni sono più bravi, altri peggio. Qual è questa abilità? In che modo nasce? Come acquistarlo?

Nessuno discuterà con il fatto che ogni insegnante deve sviluppare il pensiero logico degli studenti. Questo è affermato nella letteratura metodologica, nelle note esplicative al curriculum. Tuttavia, noi insegnanti non sempre sappiamo come farlo. Ciò si traduce spesso nello sviluppo pensiero logico in larga misura procede spontaneamente, quindi la maggior parte degli studenti, anche quelli delle scuole superiori, non padroneggia i metodi iniziali del pensiero logico (analisi, confronto, sintesi, astrazione, ecc.).

Secondo gli esperti, il livello di cultura logica degli scolari oggi non può essere considerato soddisfacente. Gli esperti ritengono che la ragione di ciò risieda nella mancanza di lavoro sullo sviluppo logico mirato degli studenti nelle prime fasi dell'istruzione. La maggior parte dei manuali moderni per bambini in età prescolare e scolari minori contiene una serie di vari compiti che si concentrano su metodi di attività mentale come analisi, sintesi, analogia, generalizzazione, classificazione, flessibilità e variabilità del pensiero. In altre parole, lo sviluppo del pensiero logico avviene in gran parte spontaneamente, quindi la maggior parte degli studenti non padroneggia le tecniche del pensiero anche nelle classi superiori e queste tecniche devono essere insegnate agli studenti più giovani.

Nella mia pratica utilizzo moderne tecnologie educative, varie forme di organizzazione del processo educativo, un sistema di sviluppo dei compiti. Questi compiti dovrebbero essere di natura evolutiva (insegnare determinate tecniche di pensiero), dovrebbero tenere conto delle caratteristiche dell'età degli studenti.

Nel processo di risoluzione dei problemi educativi, i bambini sviluppano un'abilità tale da essere distratti da dettagli irrilevanti. Questa azione viene data agli studenti più giovani con non meno difficoltà che mettere in evidenza l'essenziale. Come risultato dello studio a scuola, quando è necessario completare regolarmente i compiti senza fallo, gli studenti più giovani imparano a controllare il proprio pensiero, a pensare quando necessario. In primo luogo, vengono introdotti esercizi logici accessibili ai bambini, volti a migliorare le operazioni mentali.

Nel processo di esecuzione di tali esercizi logici, gli studenti imparano praticamente a confrontare vari oggetti, compresi quelli matematici, per costruire giudizi corretti sulla base di prove accessibili e semplici basate sulla loro esperienza di vita. Gli esercizi di logica stanno gradualmente diventando più difficili.

Uso anche attività logiche di sviluppo non standard nella mia pratica. C'è un gran numero di tali problemi; soprattutto molta di tale letteratura specializzata è stata pubblicata negli ultimi anni.

Nella letteratura metodologica, ai compiti in via di sviluppo sono stati assegnati i seguenti nomi: compiti per ingegno, compiti per ingegno, compiti con un "gusto". In tutta la sua diversità, è possibile individuare in una classe speciale tali compiti che sono chiamati compiti: trappole, compiti provocatori. Nelle condizioni di tali compiti, ci sono vari tipi di riferimenti, indicazioni, spunti che spingono a scegliere la strada sbagliata della soluzione o la risposta sbagliata. Darò esempi di tali compiti.

Compiti che impongono una risposta abbastanza precisa.

Quale dei numeri 333, 555, 666, 999 non è divisibile per 3?

Compiti che ti incoraggiano a fare la scelta sbagliata di una risposta tra le risposte corrette e errate proposte.

Un asino trasporta 10 kg di zucchero e l'altro trasporta 10 kg di popcorn. Chi ha avuto il carico più pesante?

Compiti, le cui condizioni ti spingono a eseguire alcune azioni con determinati numeri, quando non è affatto necessario eseguire questa azione.

Un'auto Mercedes ha percorso 100 km. Quante miglia ha percorso ciascuna ruota?

Petya una volta disse ai suoi amici: "L'altro ieri avevo 9 anni e l'anno prossimo avrò 12 anni". In che data è nata Petya?

Risolvere problemi logici usando il ragionamento.

Vadim, Sergey e Mikhail stanno studiando vari lingue straniere: cinese, giapponese, arabo. Alla domanda su quale lingua studiava ciascuno di loro, uno ha risposto: "Vadim sta studiando il cinese, Sergey non sta studiando il cinese e Mikhail non sta studiando l'arabo". Successivamente, si è scoperto che in questa affermazione solo una affermazione è vera. Che lingua studia ciascuno di loro?

Gli shorties della Flower City hanno piantato un cocomero. Per la sua irrigazione è necessario esattamente 1 litro d'acqua. Hanno solo due lattine vuote con una capacità di 3 litri. E 5 l. Come usare queste lattine. Componi esattamente 1 litro dal fiume. acqua?

Per quanti anni Ilya Muromets si è seduto sui fornelli? È noto che se si fosse seduto altre 2 volte per così tanti, la sua età sarebbe stata il numero più grande a due cifre.

Il barone Munchausen contò il numero di peli magici nella barba del vecchio Hottabych. Risultò essere uguale alla somma del numero di tre cifre più piccolo e del numero di due cifre più grande. Qual è il numero?

Quando imparo a risolvere problemi non standard, osservo le seguenti condizioni:in primo , i compiti dovrebbero essere introdotti nel processo di apprendimento in un determinato sistema con un graduale aumento della complessità, poiché un compito schiacciante avrà scarso effetto sullo sviluppo degli studenti;in o secondo , è necessario fornire agli studenti la massima autonomia nel trovare soluzioni ai problemi, dare loro la possibilità di andare fino in fondo lungo la strada sbagliata per accertarsi dell'errore, tornare all'inizio e cercare un'altra, giusta via di risolvere;Terzo , è necessario aiutare gli studenti a comprendere alcuni modi, tecniche e approcci generali per risolvere problemi aritmetici non standard. Molto spesso, gli esercizi logici proposti non richiedono calcoli, ma costringono solo i bambini a formulare giudizi corretti e fornire semplici prove. Gli esercizi stessi sono divertenti, quindi contribuiscono all'emergere di interesse nei bambini nel processo di attività mentale. E questo è uno dei compiti cardine del processo educativo nella scuola.

Esempi di compiti utilizzati nella mia pratica.

Trova uno schema e continua le ghirlande

Trova uno schema e continua la serie

a B c D e F, …

1, 2, 4, 8, 16,…

Il lavoro è iniziato con lo sviluppo nei bambini della capacità di notare schemi, somiglianze e differenze con la graduale complicazione dei compiti. A questo scopo, ho sceltocompiti per identificare modelli, dipendenze e formulare una generalizzazionecon un graduale aumento del livello di difficoltà dei compiti.Il lavoro sullo sviluppo del pensiero logico dovrebbe diventare oggetto di seria attenzione da parte dell'insegnante ed essere svolto sistematicamente nelle lezioni di matematica. A tal fine, gli esercizi di logica dovrebbero essere costantemente inclusi nel lavoro orale della lezione. Per esempio:

Trova il risultato usando questa equazione:

3+5=8

3+6=

3+7=

3+8=

Confronta le espressioni, trova un terreno comune nelle disuguaglianze risultanti, formula una conclusione:

2+3*2x3

4+4*3x4

4+5*4x5

5+6*5x6

Continua con i numeri.

3. 5, 7, 9, 11…

1, 4, 7, 10…

Pensa a un esempio simile per ogni esempio dato.

12+6=18

16-4=12

Cosa è comune nello scrivere i numeri di ogni riga?

12 24 20 22

30 37 13 83

Numeri dati:

23 74 41 14

40 17 60 50

Quale numero manca in ogni riga?

Alle elementari, uso spesso i bastoncini per contare nelle mie lezioni di matematica. Questi sono compiti di natura geometrica, poiché nel corso della risoluzione, di regola, c'è una trasfigurazione, la trasformazione di una figura in un'altra e non solo un cambiamento nel loro numero. Non possono essere risolti in alcun modo precedentemente appreso. Nel corso della risoluzione di ogni nuovo problema, il bambino è coinvolto in una ricerca attiva di una soluzione, mentre si sforza per l'obiettivo finale, la necessaria modifica della figura.

Gli esercizi con i bastoncini di conteggio possono essere combinati in 3 gruppi: compiti per disegnare una determinata cifra da un certo numero di bastoncini; compiti per cambiare le figure, per la cui soluzione è necessario rimuovere o aggiungere il numero specificato di bastoncini; compiti, la cui soluzione è spostare i bastoncini per modificare, trasformare una determinata figura.

Esercizi con i bastoncini per contare.

Compiti per disegnare figure da un certo numero di bastoncini.

Crea due quadrati diversi di 7 bastoncini.

Compiti per modificare la figura, in cui è necessario rimuovere o aggiungere il numero specificato di bastoncini.

Data una figura di 6 quadrati. Devi rimuovere 2 bastoncini in modo che rimangano 4 quadrati"

Compiti per cambiare le levette ai fini della trasformazione.

Muovi due bastoncini in modo da ottenere 3 triangoli.

L'esercizio fisico regolare è una delle condizioni per lo sviluppo di successo degli studenti. Prima di tutto, di lezione in lezione, è necessario sviluppare la capacità del bambino di analizzare e sintetizzare; la formazione a breve termine sui concetti logici non dà effetto.

Risolvere problemi non standard forma la capacità degli studenti di formulare ipotesi, verificarne l'affidabilità e giustificarle logicamente. Parlare a scopo di evidenza, contribuisce allo sviluppo del linguaggio, allo sviluppo delle capacità di trarre conclusioni, trarre conclusioni. Nel processo di utilizzo di questi esercizi in classe e nel lavoro extracurriculare in matematica, è emersa una dinamica positiva dell'influenza di questi esercizi sul livello di sviluppo del pensiero logico degli studenti.

Lyabina TI

Insegnante di matematica la categoria più alta

MOU "Scuola Secondaria di Moshok"

Compiti non standard come mezzo per sviluppare il pensiero logico

Quale problema in matematica può essere definito non standard? Una buona definizione è data nel libro

I compiti non standard sono quelli per i quali non ci sono regole e regolamenti generali nel corso della matematica che determinano il programma esatto per la loro soluzione. Non devono essere confusi con compiti di maggiore complessità. Le condizioni di compiti di maggiore complessità sono tali da consentire agli studenti di individuarne uno abbastanza facilmente apparato matematico necessario per risolvere un problema di matematica. Il docente controlla il processo di consolidamento delle conoscenze fornite dal programma formativo risolvendo problemi di questo tipo. Ma un compito non standard implica la presenza di natura esplorativa. Tuttavia, se la soluzione di un problema in matematica per uno studente non è standard, poiché non ha familiarità con i metodi per risolvere problemi di questo tipo, per un altro la soluzione del problema avviene in modo standard, poiché ha già risolto tali problemi e più di uno. Lo stesso compito in matematica al 5° anno non è standard e al 6° anno è ordinario e nemmeno di maggiore complessità.

Quindi, se lo studente non sa su quale materiale teorico fare affidamento per risolvere il problema, anche lui non lo sa, allora in questo caso il problema in matematica può essere definito non standard per un determinato periodo di tempo.

Quali sono i metodi di insegnamento per risolvere i problemi in matematica, che attualmente consideriamo non standard? Sfortunatamente, nessuno ha escogitato una ricetta universale, data l'unicità di questi compiti. Alcuni insegnanti, come si suol dire, si allenano in esercizi modello. Ciò accade come segue: l'insegnante mostra il modo per risolvere, quindi lo studente lo ripete quando risolve i problemi molte volte. Allo stesso tempo, l'interesse degli studenti per la matematica viene ucciso, il che è almeno triste.

Puoi insegnare ai bambini a risolvere problemi di tipo non standard se susciti interesse, in altre parole, offri compiti interessanti e significativi per uno studente moderno. Oppure sostituisci la formulazione della domanda usando situazioni di vita problematiche. Ad esempio, invece del compito "risolvi l'equazione diafante", offri di risolvere il seguente problema. Potere

studente a pagare un acquisto del valore di 19 rubli, se ha solo banconote da tre rubli e il venditore ha banconote da dieci rubli?

Anche il metodo di selezione dei compiti ausiliari è efficace. Questo mezzo di insegnamento della risoluzione dei problemi indica un certo livello di realizzazione nella risoluzione dei problemi. Di solito in questi casi, lo studente pensante cerca da solo, senza l'aiuto di un insegnante, di trovare problemi ausiliari o di semplificare e modificare le condizioni di questi problemi.

La capacità di risolvere problemi non standard viene acquisita con la pratica. Non c'è da stupirsi che dicano che non puoi imparare la matematica guardando il tuo vicino mentre lo fa. L'autoapprendimento e l'aiuto di un insegnante sono la chiave per un apprendimento fruttuoso.

1. Compiti non standard e loro caratteristiche.

Le osservazioni mostrano che la matematica è principalmente amata da quegli studenti che sanno come risolvere i problemi. Pertanto, insegnando ai bambini a padroneggiare la capacità di risolvere i problemi, avremo un impatto significativo sul loro interesse per l'argomento, sullo sviluppo del pensiero e della parola.

I compiti non standard contribuiscono allo sviluppo del pensiero logico in misura ancora maggiore. Inoltre, sono un potente mezzo di attivazione attività cognitiva, cioè suscitare grande interesse e desiderio di lavorare nei bambini. Facciamo un esempio di compiti non standard.

IO. Compiti per ingegno.

1. La massa di un airone in piedi su una gamba è di 12 kg. Quanto peserà un airone se sta su 2 zampe?

2. Una coppia di cavalli ha corso per 40 km. Quanto è andato lontano ogni cavallo?

3. Sette fratelli hanno una sorella. Quanti bambini ci sono in famiglia?

4. Sei gatti mangiano sei topi in sei minuti. Quanti gatti ci vogliono per mangiare 100 topi in 100 minuti?

5. Ci sono 6 bicchieri, 3 con acqua, 3 vuoti. Come disporli in modo che i bicchieri d'acqua e quelli vuoti si alternino? È consentito spostare un solo bicchiere.

6. I geologi hanno trovato 7 pietre. Peso di ogni pietra: 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg, 5 kg, 6 kg e 7 kg. Queste pietre sono state disposte in 4 zaini così

che in ogni zaino la massa di pietre risultava essere la stessa.

Come hanno fatto?

7. Nella classe ci sono tante ragazze pettinate quanti sono i ragazzi spettinati. Chi c'è di più in classe, ragazze o studenti trasandati?

8. Le anatre volavano: una davanti e due dietro, una dietro e due davanti, una tra due e tre di fila. Quante anatre hanno volato in totale?

9. Misha dice: "L'altro ieri avevo 10 anni, e l'anno prossimo ne avrò 13". È possibile?

10. Andrey e Borya hanno 11 caramelle, Boris e Vova hanno 13 caramelle e Andrey e Vova ne hanno 12. Quante caramelle hanno i ragazzi in totale?

11. Un padre con due figli andava in bicicletta: a due ruote ea tre ruote. Avevano 7 ruote in totale. Quante biciclette c'erano e quali?

12. Polli e maialini nel cortile. Hanno tutti 5 teste e 14 gambe. Quanti polli e quanti maiali?

13. Polli e conigli girano per il cortile. Hanno 12 gambe in totale. Quanti polli e quanti conigli?

14. Ogni marziano ha 3 mani. Possono 13 marziani unire le mani in modo tale che non ci siano più mani libere?

15. Durante il gioco, ciascuna delle tre ragazze - Katya, Galya, Olya - ha nascosto uno dei giocattoli: un orso, una lepre e un elefante. Katya non ha nascosto la lepre, Olya non ha nascosto né la lepre né l'orso. Chi ha nascosto il giocattolo?

II. Compiti divertenti.

1. Come disporre 6 sedie contro 4 pareti in modo che ogni parete abbia 2 sedie.

2. Papà e i suoi due figli sono andati in campeggio. Lungo la strada incontrarono un fiume. C'è una zattera sulla riva. Sta sull'acqua un papà o due figli. Come passare dall'altra parte del padre con i suoi figli?

3. Per un cavallo e due mucche vengono somministrati 34 kg di fieno al giorno e per due cavalli e una mucca - 35 kg di fieno. Quanto fieno viene somministrato ogni giorno a un cavallo e quanto a una mucca?

4. Quattro anatroccoli e cinque papere pesano 4 kg100 ge cinque anatroccoli e quattro papere pesano 4 kg. Quanto pesa un'anatra?

5. Il ragazzo aveva 22 monete: cinque rubli e dieci rubli, per un totale di 150 rubli. Quante monete da cinque e dieci rubli c'erano?

6. Tre gattini vivono nell'appartamento n. 1, 2, 3: bianco, nero e rosso. Non era un gattino nero che viveva negli appartamenti 1 e 2. Il gattino bianco non viveva nell'appartamento numero 1. In quale appartamento viveva ciascuno dei gattini?

7. Per cinque settimane, il pirata Yerema è in grado di bere un barile di rum. E al pirata Emelya ci sarebbero volute due settimane per farlo. In quanti giorni i pirati finiranno il rum, agendo insieme?

8. Un cavallo mangia un carro di fieno in un mese, una capra in due mesi, una pecora in tre mesi. Quanto tempo impiegheranno un cavallo, una capra, una pecora a mangiare insieme lo stesso carico di fieno?

9. Due persone hanno sbucciato 400 patate; uno ha eliminato 3 pezzi al minuto, l'altro -2. Il secondo ha funzionato 25 minuti in più rispetto al primo. Per quanto tempo hanno funzionato ciascuno?

10. Tra i palloni da calcio, il rosso è più pesante del marrone e il marrone è più pesante del verde. Quale palla è più pesante: verde o rossa?

11. Tre salatini, cinque pan di zenzero e sei bagel costano 24 rubli insieme. Quale è più costoso: un pretzel o un bagel?

12. Come trovare una moneta contraffatta (più leggera) su 20 monete con tre pesate su una bilancia a piatto senza pesi?

13. Dall'angolo superiore della stanza, due mosche strisciarono lungo il muro. Dopo essere scesi a terra, sono tornati indietro. La prima mosca strisciava in entrambe le direzioni alla stessa velocità, e la seconda, sebbene saliva due volte più lentamente della prima, ma scendeva due volte più velocemente di essa. Quale delle mosche ritornerà indietro per prima?

14. Ci sono fagiani e conigli nella gabbia. Tutti gli animali hanno 35 teste e 94 zampe. Quanti conigli in una gabbia e quanti fagiani?

15. Dicono che alla domanda su quanti studenti avesse, l'antico matematico greco Pitagora rispose così: "Metà dei miei studenti studia matematica, un quarto studia la natura, un settimo passa il tempo in riflessione silenziosa, il resto sono 3 vergini" Come molti studenti erano a Pitagora?

III. Problemi geometrici.

1. Dividere la torta rettangolare in due fette in modo che abbiano una forma triangolare. Quante parti ha fatto?

2. Disegna una figura senza sollevare la punta della matita dal foglio e senza tracciare due volte la stessa linea.

3. Taglia il quadrato in 4 parti e piegale in 2 quadrati. Come farlo?

4. Rimuovere 4 bastoncini in modo che rimangano 5 quadrati.

5. Taglia il triangolo in due triangoli, un quadrilatero e un pentagono, disegnando due linee rette.

6. Si può dividere un quadrato in 5 parti e assemblare un ottagono?

IV. Quadrati logici.

1. Completa il quadrato (4 x 4) con i numeri 1, 2, 3, 6 in modo che la somma dei numeri in tutte le righe, colonne e diagonali sia la stessa. I numeri in righe, colonne e diagonali non devono essere ripetuti.

2. Colora il quadrato con i colori rosso, verde, giallo e blu in modo che i colori nelle righe, colonne e diagonali non si ripetano.

3. Nel quadrato, devi posizionare più numeri 2,2,2,3,3,3 in modo che per tutte le linee ottieni un totale di 6.

5. Nelle celle del quadrato metti i numeri 4,6,7,9,10,11,12 in modo che nelle colonne, nelle righe e lungo le diagonali ottieni la somma 24.

v. Problemi combinatori.

1. Dasha ha 2 gonne: rossa e blu e 2 camicette: a righe e a pois. Quanti abiti diversi ha Dasha?

2. Quanti numeri a due cifre ci sono in cui tutte le cifre sono dispari?

3. I genitori hanno acquistato un biglietto per la Grecia. La Grecia può essere raggiunta utilizzando uno dei tre modi di trasporto: aereo, nave o autobus. Componi tutte le opzioni possibili per l'utilizzo di questi modi di trasporto.

4. Quante parole diverse si possono formare usando le lettere della parola "connessione"?

5. Dai numeri 1, 3, 5, crea vari numeri a tre cifre in modo che non ci siano numeri identici nel numero.

6. Tre amici si sono incontrati: lo scultore Belov, il violinista Chernov e l'artista Ryzhov. “È fantastico che uno di noi sia biondo, l'altro sia bruna e il terzo sia rosso. Ma nessuno di loro ha i capelli del colore indicato dal suo cognome ", ha detto la bruna. "Hai ragione", disse Belov. Di che colore sono i capelli dell'artista?

7. Tre amici sono usciti per una passeggiata in abiti bianchi, verdi e blu e scarpe dello stesso colore. È noto che solo Anya ha lo stesso colore di vestito e scarpe. Né le scarpe né il vestito di Vali erano bianchi. Natasha indossava scarpe verdi. Determina il colore del vestito e delle scarpe su ciascuno degli amici.

8. Un cassiere, un controllore e un manager lavorano in una filiale bancaria. I loro cognomi sono Borisov, Ivanov e Sidorov. Il cassiere non ha fratelli né sorelle ed è il più basso di tutti. Sidorov è sposato con la sorella di Borisov ed è più alto del controllore. Fornire i nomi del responsabile del trattamento e del gestore.

9. Per un picnic, la golosa Masha ha preso caramelle, biscotti e una torta in tre scatole identiche. Le scatole erano etichettate "Candy", "Cookie" e "Cake". Ma Masha sapeva che a sua madre piaceva scherzare e ci metteva sempre il cibo

scatole con iscrizioni che non corrispondono al loro contenuto. Masha era sicura che i dolci non fossero nella scatola con la scritta "Torta". In che scatola è la torta?

10. Ivanov, Petrov, Markov, Karpov sono seduti in cerchio. I loro nomi sono Andrey, Sergey, Timofey, Alexey. È noto che Ivanov non è né Andrei né Alexei. Sergei siede tra Markov e Timofey. Petrov si trova tra Karpov e Andrey. Quali sono i nomi di Ivanova, Petrov, Markov e Karpov?

VI. Compiti trasfusionali.

1. È possibile, avendo solo due recipienti da 3 e 5 litri, prelevare 4 litri d'acqua da un rubinetto?

2. Come dividere equamente tra due famiglie 12 litri di kvas di pane, situato in una nave da dodici litri, usando due vasi vuoti per questo: uno da otto litri e uno da tre litri?

3. Come, avendo due recipienti con una capacità di 9 litri e 5 litri, prelevare esattamente 3 litri di acqua da un serbatoio?

4. Una lattina con una capacità di 10 litri viene riempita di succo. Ci sono ancora vasi vuoti da 7 e 2 litri. Come versare il succo in due recipienti da 5 litri ciascuno?

5. Ci sono due navi. La capacità di uno di essi è di 9 litri e l'altro di 4 litri. Come utilizzare questi recipienti per raccogliere 6 litri di liquido dal serbatoio? (Il liquido può essere scaricato nuovamente nel serbatoio).

Un'analisi dei compiti testuali proposti mostra che la loro soluzione non rientra nel quadro di un particolare sistema di compiti tipici. Tali problemi sono chiamati non standard (I. K. Andronov, A. S. Pchelko, ecc.) O non standard (Yu. M. Kolyagin, K. I. Neshkov, D. Poya, ecc.)

Riassumendo i vari approcci dei metodologi nella comprensione di compiti standard e non standard (D. Poya, Ya. M. Fridman, ecc.), in compito non standard comprendiamo un compito del genere, il cui algoritmo non è familiare allo studente e non è ulteriormente formato come requisito del programma.

analisi del libro di testo e aiuti per l'insegnamento in matematica mostra che ogni compito testuale in determinate condizioni può essere non standard e in altri - ordinario, standard. Un problema standard in un corso di matematica può non essere standard in un altro corso.

Per esempio. “C'erano 57 aerei e 79 elicotteri all'aeroporto, 60 auto sono decollate. Si può sostenere che vi sia: a) almeno 1 aeromobile in aria; b) almeno 1 elicottero?

Tali compiti erano facoltativi per tutti gli studenti, erano destinati ai più capaci di matematica.

"Se vuoi imparare a risolvere i problemi, allora risolvili!" - consiglia D. Poya.

La cosa principale in questo caso è formare un approccio così generale alla risoluzione dei problemi, quando il problema è considerato un oggetto di ricerca e la sua soluzione - come la progettazione e l'invenzione di un metodo di soluzione.

Naturalmente, un tale approccio richiede non una soluzione sconsiderata di un numero enorme di problemi, ma una soluzione lenta, attenta e completa di un numero molto minore di problemi, ma con una successiva analisi della soluzione.

Quindi, non ci sono regole generali per risolvere problemi non standard (ecco perché questi problemi sono chiamati non standard). Tuttavia, matematici e insegnanti eccezionali (S.A. Yanovskaya, L.M. Fridman,

E.N. Balayan) ha trovato una serie di linee guida e raccomandazioni generali che possono essere seguite per risolvere problemi non standard. Queste linee guida sono generalmente chiamate regole euristiche o, semplicemente, euristiche. La parola "euristica" origine greca e significa "l'arte di trovare la verità".

A differenza delle regole matematiche, le euristiche sono nella natura di raccomandazioni, consigli facoltativi, in seguito ai quali possono (o meno) portare alla risoluzione del problema.

Il processo di risoluzione di qualsiasi attività non standard (secondo

SA Yanovskaya) consiste nell'applicazione sequenziale di due operazioni:

1. riduzione mediante trasformazioni di un compito non standard in un altro, simile ad esso, ma già standard;

2. suddividere un'attività non standard in più attività secondarie standard.

Non ci sono regole specifiche per ridurre un'attività non standard a una standard. Tuttavia, se analizzi attentamente, attentamente, risolvi ogni problema, fissando nella tua memoria tutti i metodi con cui sono state trovate soluzioni, con quali metodi sono stati risolti i problemi, allora l'abilità viene sviluppata in tali informazioni.

Considera un'attività di esempio:

Lungo il sentiero, lungo i cespugli, camminavano una dozzina di code,

Bene, la mia domanda è questa: quanti galli c'erano?

E sarei felice di sapere: quanti maiali c'erano?

Se non è possibile risolvere questo problema, cercheremo di ridurlo a uno simile.

Riformuliamo:

1. Inventiamo e risolviamo uno simile, ma più semplice.

2. Usiamo la sua soluzione per risolvere questo.

La difficoltà è che ci sono due tipi di animali nel problema. Lascia che tutti siano maialini, quindi ci saranno 40 zampe.

Creiamo un problema simile:

Lungo il sentiero, lungo i cespugli, camminavano una dozzina di code.

Era insieme che galli e maialini stavano andando da qualche parte.

Bene, la mia domanda è: quanti galli c'erano?

E sarei felice di sapere: quanti maiali c'erano?

È chiaro che se ci sono 4 volte più zampe che code, tutti gli animali sono maialini.

In un problema simile sono state prese 40 gambe e in quella principale ce n'erano 30. Come ridurre il numero di gambe? Sostituisci il maialino con un galletto.

Soluzione al problema principale: se tutti gli animali fossero maialini, allora avrebbero 40 zampe. Quando sostituiamo un maiale con un galletto, il numero delle zampe si riduce di due. In totale, devi fare cinque sostituzioni per ottenere 30 gambe. Quindi, 5 galletti e 5 maialini hanno camminato.

Come risolvere un problema "simile"?

2 modi per risolvere il problema.

In questo problema, puoi applicare il principio di equalizzazione.

Lascia che tutti i maiali stiano sulle zampe posteriori.

10 * 2 \u003d 20 tanti piedi camminano lungo il sentiero

30 - 20 \u003d 10 tante zampe anteriori di suinetti

10:2 = 5 maiali hanno camminato lungo il sentiero

Bene, galletti 10 -5 \u003d 5.

Formuliamo alcune regole per risolvere problemi non standard.

1. Regola "facile": non saltare il compito più semplice.

Di solito un compito semplice viene trascurato. E devi iniziare con lei.

2. La regola del “successivo”: se possibile, le condizioni dovrebbero essere modificate una per una. Il numero di condizioni è un numero finito, quindi prima o poi tutti avranno un turno.

3. La regola “sconosciuta”: dopo aver cambiato una condizione, designa l'altra ad essa associata con x, quindi sceglila in modo che il problema ausiliario sia risolto a un dato valore e non risolto quando x viene aumentato di uno.

3. Regola "interessante": rendere più interessanti le condizioni del problema.

4. Regola "temporanea": se nell'attività è in corso un processo e lo stato finale è più definito di quello iniziale, vale la pena iniziare il tempo nella direzione opposta: considera l'ultimo passaggio del processo, quindi il penultimo uno, ecc.

Considera l'applicazione di queste regole.

Compito numero 1. Cinque ragazzi hanno trovato nove funghi. Dimostra che almeno due di loro hanno trovato lo stesso numero di funghi.

1° passo Ci sono molti ragazzi. Lascia che siano 2 in meno nel prossimo problema.

“Tre ragazzi hanno trovato x funghi. Dimostra che almeno due di loro hanno trovato funghi allo stesso modo.

Per dimostrarlo, stabiliamo per quale x il problema ha una soluzione.

Per x=0, x=1, x=2 il problema ha una soluzione, per x=3 il problema non ha soluzione.

Formuliamo un problema simile.

Tre ragazzi hanno trovato 2 funghi. Dimostra che almeno due di loro hanno trovato lo stesso numero di funghi.

Lascia che tutti e tre i ragazzi trovino un numero diverso di funghi. Allora il numero minimo di funghi è 3, perché 3=0+1+2. Ma secondo la condizione, il numero di funghi è inferiore a 3, quindi due ragazzi su tre hanno trovato lo stesso numero di funghi.

Quando si risolve il problema originale, il ragionamento è esattamente lo stesso. Che tutti, cinque ragazzi, trovino un numero diverso di funghi. Il numero minimo di funghi dovrebbe quindi essere 10. (10 =0+1+2+3+4). Ma secondo la condizione, il numero di funghi è inferiore a 10, quindi i due ragazzi hanno trovato lo stesso numero di funghi.

Per risolvere, è stata utilizzata la regola "sconosciuto".

Compito numero 2. I cigni volavano sui laghi. Metà dei cigni e mezzo cigno sono atterrati su ciascuno, il resto è volato avanti. Tutti si sedettero sui sette laghi. Quanti cigni c'erano?

1° passo C'è un processo, lo stato iniziale non è definito, lo stato finale è zero, cioè non c'erano cigni volanti.

Iniziamo il tempo nella direzione opposta, dopo aver escogitato il seguente compito:

I cigni volavano sui laghi. Su ciascuno decollava mezzo cigno e ne volavano tanti altri quanti adesso. Tutti decollarono da sette laghi. Quanti cigni c'erano?

2 gradini. Partiamo da zero:

(((((((0+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2 =127.

Compito numero 3.

Un fannullone e un diavolo si incontrarono al ponte sul fiume. Il fannullone si lamentava della sua povertà. In risposta, il diavolo ha suggerito:

Vi posso aiutare. Ogni volta che attraversi questo ponte, i tuoi soldi raddoppieranno. Ma ogni volta che attraversi il ponte, dovrai darmi 24 copechi. Il mocassino ha attraversato il ponte tre volte e quando ha guardato nel portafoglio, era vuoto. Quanti soldi aveva il fannullone?

(((0+24):2+24):2+24):2= 21

Quando si risolvono i problemi n. 2 e n. 3, è stata utilizzata la regola "temporanea".

Compito numero 4. Un fabbro infila uno zoccolo in 15 minuti. Quanto tempo impiegheranno 8 fabbri a ferrare 10 cavalli. (Un cavallo non può stare su due gambe.)

1° passo Ci sono troppi cavalli e fabbri, riduciamo proporzionalmente il loro numero, rimediando al problema.

Un maniscalco calza uno zoccolo in cinque minuti. Quanto tempo impiegano quattro fabbri a ferrare cinque cavalli?

È chiaro che il tempo minimo possibile è di 25 minuti, ma si può raggiungere? È necessario organizzare il lavoro dei fabbri senza tempi di fermo. Agiamo senza rompere la simmetria. Disporre cinque cavalli in cerchio. Dopo che quattro fabbri hanno ferrato uno zoccolo di cavallo ciascuno, i fabbri muovono un cavallo in cerchio. Per aggirare il cerchio completo, ci vorranno cinque cicli di lavoro per cinque minuti. Durante 4 cicli, ogni cavallo sarà ferrato e un ciclo sarà riposato. Di conseguenza, tutti i cavalli saranno ferrati in 25 minuti.

2 gradini. Tornando al problema originale, si noti che 8=2*4 e 10=2*5. Quindi 8 fabbri devono essere divisi in due brigate

4 persone ciascuno e cavalli - due mandrie di 5 cavalli ciascuna.

In 25 minuti, la prima squadra di fabbri forgerà la prima mandria e la seconda la seconda.

Per risolvere, è stata utilizzata la regola "successivo".

Naturalmente, potrebbe esserci un problema al quale nessuna delle regole di cui sopra può essere applicata. Quindi è necessario inventare un metodo speciale per risolvere questo problema.

Va ricordato che risolvere problemi non standard è un'arte che può essere padroneggiata solo come risultato della costante introspezione delle azioni per risolvere i problemi.

2. Funzioni educative di compiti non standard.

Il ruolo dei compiti non standard nella formazione del pensiero logico.

Nella fase attuale dell'istruzione, c'è stata la tendenza a utilizzare i compiti come una componente necessaria dell'insegnamento della matematica agli studenti. Ciò si spiega, in primo luogo, con le crescenti esigenze volte a rafforzare le funzioni evolutive della formazione.

Il concetto di "attività non standard" è utilizzato da molti metodologi. Così, Yu. M. Kolyagin amplia questa nozione come segue: non standard inteso un compito, alla presentazione del quale, gli studenti non conoscono in anticipo né il metodo per risolverlo, né su quale materiale didattico si basa la soluzione.

Sulla base dell'analisi della teoria e della pratica dell'utilizzo di compiti non standard nell'insegnamento della matematica, è stato stabilito il loro ruolo generale e specifico.

Compiti non standard:

Insegnano ai bambini a utilizzare non solo algoritmi già pronti, ma anche a trovare autonomamente nuovi modi per risolvere i problemi, ovvero contribuiscono alla capacità di trovare modi originali per risolvere i problemi;

Influenzare lo sviluppo dell'ingegno, l'ingegnosità degli studenti;

prevenire lo sviluppo di cliché dannosi nella risoluzione di problemi, distruggere associazioni errate nelle conoscenze e abilità degli studenti, comportare non tanto l'assimilazione di tecniche algoritmiche, ma la ricerca di nuove connessioni nella conoscenza, al trasferimento

conoscenza in nuove condizioni, per padroneggiare vari metodi di attività mentale;

Creano condizioni favorevoli per aumentare la forza e la profondità della conoscenza degli studenti, garantire l'assimilazione consapevole dei concetti matematici.

Compiti non standard:

Non dovrebbero avere algoritmi già pronti memorizzati dai bambini;

Dovrebbe essere accessibile nei contenuti a tutti gli studenti;

Deve essere interessante nei contenuti;

Per risolvere compiti non standard, gli studenti dovrebbero avere abbastanza conoscenze acquisite da loro nel programma.

3.Metodologia per la formazione della capacità di risolvere compiti non standard.

Compito numero 1.

Una carovana di cammelli si muove lentamente attraverso il deserto, ce ne sono in totale 40. Se si contano tutte le gobbe di questi cammelli, si ottengono 57 gobbe. Quanti cammelli con una gobba ci sono in questa carovana?

Quante gobbe possono avere i cammelli?

(potrebbero essercene due o uno)

Attacciamo un fiore a ogni cammello su una gobba.

Di quanti fiori avrai bisogno? (40 cammelli - 40 fiori)

Quanti cammelli rimarranno senza fiori?

(Ce ne saranno 57-40=17. Queste sono le seconde gobbe dei cammelli a due gobbe).

Quanti cammelli battriani? (17)

Quanti cammelli a gobbe? (40-17=23)

Qual è la risposta al problema? (17 e 23 cammelli).

Compito numero 2.

C'erano auto e moto con sidecar nel garage, tutte insieme 18. Auto e moto avevano 65 ruote. Quante moto con sidecar c'erano nel garage se le auto avevano 4 ruote e la moto aveva 3 ruote?

Riformuliamo il problema. I rapinatori che sono venuti al garage, dove c'erano 18 auto e moto con sidecar, hanno rimosso tre ruote da ogni auto e ogni moto e le hanno portate via. Quante ruote erano rimaste nel garage se ce ne fossero 65? Appartengono a un'auto o a una moto?

Quante ruote hanno preso i ladri? (3*18=54ruote)

Quante ruote sono rimaste? (65-54=11)

Quante auto c'erano nel garage?

C'erano 18 auto e moto con un sidecar nel garage. Auto e moto hanno 65 ruote. Quante moto ci sono nel garage se mettono una ruota di scorta in ogni sidecar?

Quante ruote avevano insieme auto e moto? (4*18=72)

Quante ruote di scorta hai messo in ogni passeggino? (72-65=7)

Quante auto ci sono nel garage? (18-7=1)

Compito numero 3.

Per un cavallo e due mucche, vengono somministrati 34 kg di fieno al giorno e per due cavalli e una mucca - 35 kg di fieno. Quanto fieno viene dato a un cavallo e quanto a una mucca?

Scriviamo una breve condizione del problema:

1 cavallo e 2 mucche -34kg.

2 cavalli e 1 mucca -35kg.

È possibile sapere quanto fieno è necessario per 3 cavalli e 3 mucche? (per 3 cavalli e 3 mucche - 34+35=69 kg)

È possibile sapere quanto fieno è necessario per un cavallo e una mucca? (69: 3 - 23 kg)

Quanto fieno è necessario per un cavallo? (35-23=12kg)

Quanto fieno è necessario per una mucca? (23 -13 =11kg)

Risposta: 12 kg e 11 kg

Compito numero 4.

- Le oche volavano: 2 davanti, 1 dietro, 1 davanti, 2 dietro.

Quante oche hanno volato?

Quante oche hanno volato, come indicato nella condizione? (2 avanti, 1 dietro)

Disegnalo con i punti.

Disegna con i punti.

Conta quello che hai (2 davanti, 1, 1, 2 dietro)

È quello che dice la condizione? (No)

Quindi hai disegnato oche in più. Puoi dire dal tuo disegno che 2 è davanti e 4 è dietro, o 4 è davanti e 2 è dietro. E questa non è una condizione. Cosa bisogna fare? (rimuovi gli ultimi 3 punti)

Cosa accadrà?

Quindi quante oche hanno volato? (3)

Compito numero 5.

Quattro anatroccoli e cinque papere pesano 4 kg e 100 g, cinque anatroccoli e quattro papere pesano 4 kg. Quanto pesa un'anatra?

Riformuliamo il problema.

Quattro anatroccoli e cinque papere pesano 4 kg e 100 g, cinque anatroccoli e quattro papere pesano 4 kg.

Quanto pesano insieme un anatroccolo e una papera?

Quanto pesano insieme 9 anatroccoli e 9 papere?

Applicare la soluzione del problema ausiliario per risolvere quello principale, sapendo quanto pesano insieme 3 anatroccoli e 3 bruchi?

Compiti con elementi di combinatoria e ingegno.

Compito numero 6.

Marina decise di fare colazione alla mensa della scuola. Guarda il menu e dimmi in quanti modi può scegliere una bevanda e un dolce?

Supponiamo che Marina scelga il tè tra le bevande. Quale pasticceria può scegliere per il tè? (tè - cheesecake, tè - biscotti, tè - roll)

In quanti modi? (3)

E se composta? (anche 3)

Allora come fai a sapere quanti modi può usare Marina per scegliere il suo pranzo? (3+3+3=9)

Si hai ragione. Ma per semplificarci la risoluzione di un problema del genere, utilizzeremo i grafici. Indichiamo con i punti bevande e dolci e colleghiamo le coppie di quei piatti che Marina sceglie.

composta di tè e latte

panino con biscotti cheesecake

Ora contiamo il numero di righe. Ce ne sono 9. Quindi, ci sono 9 modi per scegliere i piatti.

Compito numero 7.

Tre eroi: Ilya Muromets, Alyosha Popovich e Dobrynya Nikitich, che proteggono dall'invasione terra natia, abbatti il ​​Serpent Gorynych tutti e 13 gli obiettivi. Ilya Muromets ha tagliato il maggior numero di teste e Alyosha Popovich ha tagliato il minor numero. Quante teste ciascuno di loro potrebbe tagliare?

Chi può rispondere a questa domanda?

(l'insegnante chiede a più persone - ognuno ha risposte diverse)

Perché ci sono risposte diverse? (perché non è detto nello specifico quante teste siano state tagliate da almeno uno degli eroi)

Proviamo a trovare tutte le possibili soluzioni a questo problema. La tabella ci aiuterà in questo.

Quale condizione dobbiamo soddisfare per risolvere questo problema? (Tutti gli eroi abbattono importo diverso obiettivi, e Alyosha ne ha di meno, Ilya ne ha di più)

Quante possibili soluzioni ha questo problema? (8)

Tali problemi sono chiamati problemi con soluzioni multiple.

Componi il tuo problema con più soluzioni.

Compito numero 8.

-Nella battaglia con il serpente a tre teste Gorynych

Ivan Tsarevich con un colpo di spada può tagliare una testa, o due teste, o una coda o due code. Se tagli una testa, ne crescerà una nuova; se tagli una coda, ne cresceranno due nuove; se tagli due code, crescerà una testa; se tagli due teste, non crescerà nulla. Consiglia a Ivan Tsarevich cosa fare in modo che possa tagliare tutte le teste e le code del serpente.

Cosa accadrà se Ivan Tsarevich taglia una testa? (una nuova testa crescerà)

Ha senso tagliare una testa? (no, non cambierà nulla)

Quindi, è escluso il taglio di una testa: un'ulteriore perdita di tempo e fatica.

Cosa succede se una coda viene tagliata? (cresceranno due nuove code)

E se tagli due code? (cresce la testa)

E le due teste? (nulla crescerà)

Quindi, non possiamo tagliare una testa, perché nulla cambierà, la testa ricrescerà. È necessario raggiungere una situazione tale che ci sia un numero pari di teste e nessuna croce. Ma per questo è necessario che ci sia un numero pari di code.

Come puoi ottenere il risultato desiderato?

uno). 1° colpo: taglia 2 code - ci saranno 4 teste e 1 coda;

2° colpo: taglia 1 coda - ci saranno 4 teste e 2 code;

3° colpo: taglia 1 coda - ci saranno 4 teste e 3 code;

4° colpo: taglia 1 coda - ci saranno 4 teste e 4 code;

5° colpo: abbatti 2 code - ci saranno 5 teste e 2 code;

6° colpo: taglia 2 croce - ci saranno 6 teste e 0 croce;

7° colpo: taglia 2 teste - ci saranno 4 teste;

2). 1° colpo: taglia 2 teste - diventa 1 testa e 3 croce;

2° colpo: taglia 1 coda - ci saranno 1 testa e 4 code;

3° colpo: taglia 1 coda - ci saranno 1 testa e 5 code;

4° colpo: taglia 1 coda - ci saranno 1 testa e 6 code;

5° colpo: abbatti 2 code - ci saranno 2 teste e 4 code;

6° colpo: abbatti 2 code - ci saranno 3 teste e 2 code;

7° colpo: taglia 2 code - ci saranno 4 teste;

8° colpo: taglia 2 teste - ci saranno 2 teste;

9° colpo: taglia 2 teste - diventa 0 teste.

Compito numero 9.

Ci sono quattro figli in famiglia: Seryozha, Ira, Vitya e Galya. Hanno 5, 7, 9 e 11 anni. Quanti anni ha ciascuno di loro, se uno dei ragazzi va a Asilo, Ira è più giovane di Serezha e la somma degli anni delle ragazze è divisibile per 3?

Ripetere l'affermazione del problema.

Per non confonderci nel processo di ragionamento, disegniamo una tabella.

Cosa sappiamo di uno dei ragazzi? (va all'asilo)

Quanti anni ha questo ragazzo? (cinque)

Il nome di questo ragazzo potrebbe essere Seryozha? (no, Seryozha è più vecchio di Ira, quindi il suo nome è Vitya)

Mettiamo il segno "+" nella riga "Vitya", colonna "5". Quindi, il nome del bambino più piccolo è Vitya e ha 5 anni.

Cosa sappiamo di Ira? (è più giovane di Serezha e se aggiungiamo l'età di un'altra sorella alla sua età, questo importo sarà diviso per 3)

Proviamo a calcolare tutte le somme dei numeri 7, 9 e 11.

16 e 20 non sono divisibili per 3, ma 18 è divisibile per 3.

Quindi le ragazze hanno 7 e 11 anni.

Quanti anni ha Seryozha? (nove)

E Ire? (7, perché è più giovane di Serezha)

E Gale? (11 anni)

Inserimento di dati in una tabella:

Qual è la risposta al problema? (Vita ha 5 anni, Ira ha 7 anni, Serezha ha 9 anni e Galya ha 11 anni)

Compito numero 10.

Katya, Sonya, Galya e Toma sono nate il 2 marzo, 17 maggio, 2 giugno, 20 marzo. Sonya e Galya sono nate nello stesso mese, mentre Galya e Katya hanno festeggiato lo stesso compleanno. Chi, in che data e in che mese è nato?

Leggi il compito.

Cosa sappiamo? (che Sonya e Galya sono nate nello stesso mese e Galya e Katya sono nate nella stessa data)

Allora, in che mese è il compleanno di Sonya e Galya? (nel mese di marzo)

E cosa puoi dire di Galya, sapendo che è nata a marzo e anche il suo numero corrisponde al numero di Katya? (Galya è nata il 2 marzo)

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Gli studenti, i dottorandi, i giovani scienziati che utilizzano la base di conoscenze nei loro studi e nel loro lavoro ti saranno molto grati.

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introduzione

1. Fondamenti teorici per la formazione dell'interesse per la matematica

1.1 L'essenza del concetto di "interesse"

1.2 Compiti non standard e loro tipologie

1.3 Metodi per risolvere problemi non standard

2. Formazione delle abilità degli scolari per risolvere compiti non standard

2.1 Compiti non standard per gli studenti scuola elementare

2.2 Compiti non standard per la scuola principale

Conclusione

Letteratura

introduzione

Strategia educazione modernaè quello di offrire a tutti gli studenti l'opportunità di mostrare il proprio talento e la propria creatività, il che implica la possibilità di realizzare progetti personali. Pertanto, oggi è rilevante il problema di trovare mezzi per lo sviluppo delle capacità mentali associate all'attività creativa degli studenti, sia nelle forme di educazione collettiva che in quelle individuali. Il lavoro degli insegnanti TM è dedicato a questo problema. Davydenko, LV Zankova, AI Savenkov e altri, che si concentrano sulla determinazione dei mezzi per aumentare l'attività cognitiva produttiva degli studenti, organizzando la loro attività creativa.

L'interesse per la materia contribuisce all'acquisizione attiva delle conoscenze, poiché gli studenti studiano in virtù del loro desiderio interiore, su loro richiesta. Quindi imparano il materiale educativo abbastanza facilmente e completamente. Ma ultimamente si è notato un fatto allarmante e paradossale: l'interesse per l'apprendimento sta diminuendo di classe in classe, nonostante l'interesse per i fenomeni e gli eventi del mondo circostante continui a svilupparsi, diventando più complesso nei contenuti.

Aumentando l'interesse degli scolari per la matematica, lo sviluppo delle loro capacità matematiche è impossibile senza l'uso di compiti di intelligenza, compiti di scherzo, enigmi numerici, compiti di fiabe, ecc. Nel processo educativo. A questo proposito, c'è stata una tendenza a utilizzare compiti non standard come una componente necessaria dell'insegnamento della matematica agli studenti (S. G. Guba, 1972).

L'esperienza pedagogica mostra che “... un'attività educativa organizzata in modo efficace degli studenti nel processo di risoluzione di problemi non standard è il mezzo più importante per formare la cultura matematica e le qualità del pensiero matematico; la combinazione organica di queste qualità si manifesta nelle abilità speciali di una persona, dandogli l'opportunità di svolgere con successo un'attività creativa.

Pertanto, da un lato, è necessario insegnare agli studenti a risolvere compiti non standard, poiché tali compiti svolgono un ruolo speciale nel plasmare l'interesse per la materia e nel plasmare personalità creativa D'altra parte, numerosi dati indicano che la questione dello sviluppo della capacità di risolvere tali problemi, imparando a trovare soluzioni ai problemi, non riceve la dovuta attenzione.

Quanto sopra ha determinato la scelta del tema di ricerca: "Compiti fuori standard come mezzo per formare l'interesse degli studenti per la matematica".

Oggetto di studio - il processo di formazione dell'interesse per la matematica tra gli scolari.

Materia di studio- la formazione delle competenze degli studenti per risolvere problemi non standard per la formazione di interessi per la matematica.

Scopo dello studio- dimostrare che la conoscenza dei vari metodi contribuisce alla formazione delle capacità degli studenti per risolvere problemi non standard.

In accordo con l'obiettivo, il gli obiettivi della ricerca:

Studio di psicologia, pedagogia e scientifica letteratura metodica e caratterizzazione dei concetti di "interesse" e "compito non standard".

· Identificazione dei tipi di compiti non standard.

· Conoscenza di metodi per risolvere problemi non standard.

· Compilazione di materiali didattici per gli studenti sulla formazione delle competenze per risolvere problemi non standard utilizzando diverse modalità.

Questo lavoro consiste in un'introduzione, due capitoli, una conclusione e un elenco di riferimenti. Il primo capitolo è di natura teorica, discute varie interpretazioni del concetto di "interesse", evidenzia il ruolo dei compiti non standard nel plasmare l'interesse degli studenti per la matematica e fornisce alcune classificazioni di compiti non standard. Il secondo capitolo presenta l'autore dello studio materiale didattico finalizzato a sviluppare la capacità di risolvere problemi non standard utilizzando metodi diversi

Nel corso dello studio sono stati utilizzati un metodo teorico, l'analisi della letteratura didattica e metodologica e la modellizzazione.

1. Fondamenti teorici per la formazione dell'interesse per la matematica

1.1 Essenza compresae io« interesse»

Esistono diversi approcci al concetto di "interesse". Vari metodisti e studiosi lo interpretano in modo diverso. Quindi, ad esempio, un linguista, lessicografo, dottore in scienze filologiche e il professor Sergey Ivanovich Ozhegov danno diverse definizioni del concetto di "interesse":

1. Particolare attenzione a qualcosa, il desiderio di approfondire l'essenza, imparare, capire. (Mostra interesse per il caso. Perdi interesse per l'interlocutore. Aumentato interesse per tutto ciò che è nuovo).

2. Divertimento, significato. (L'interesse della storia è nella trama. Il caso è di interesse pubblico).

3. Numerosi bisogni, bisogni. (Interessi di gruppo. Proteggere i nostri interessi. Interessi spirituali. Non è nel nostro interesse).

4. Beneficio, interesse personale (colloquiale). (Ha i suoi interessi qui. Gioca per interesse - per soldi) (SI Ozhegov, 2009).

Lo scienziato e scrittore russo Vladimir Ivanovich Dal, divenuto famoso come autore del Dizionario esplicativo della grande lingua russa vivente, dà la seguente definizione:

"Interesse - beneficio, beneficio, profitto; interesse, crescita sul denaro; simpatia per qualcuno o qualcosa, partecipazione, cura. Divertimento o significato, l'importanza della questione.

L'interesse è l'orientamento selettivo di una persona, la sua attenzione, i suoi pensieri, i suoi pensieri (S.L. Rubinshtein).

L'interesse è una sorta di fusione di processi emotivo-volitivi e intellettuali, che aumenta l'attività della coscienza e l'attività umana (LA Gordon).

L'interesse è un orientamento cognitivo attivo di una persona verso un particolare oggetto, fenomeno e attività, creato con un atteggiamento emotivo positivo nei suoi confronti (V.A. Krutetsky)".

Gli interessi di una persona sono determinati dalle condizioni socio-storiche e individuali della sua vita. Con l'aiuto dell'interesse, viene stabilita la connessione del soggetto con il mondo oggettivo. Tutto ciò che costituisce il soggetto di interesse viene raccolto da una persona dalla realtà circostante. Ma l'argomento di interesse per una persona è lontano da tutto ciò che lo circonda, ma solo da ciò che è necessario per lui, significato, valore e attrattiva.

Gli interessi delle persone sono estremamente diversi. Esistono diverse classificazioni di interessi:

interessi materiali (manifestati nel desiderio di alloggio, prodotti gastronomici, abbigliamento, ecc.);

interessi spirituali (Questi sono interessi cognitivi in ​​matematica, fisica, chimica, biologia, filosofia, psicologia, ecc., interessi in letteratura e tipi diversi arti (musica, pittura, teatro). caratterizzare alto livello crescita personale.);

interessi pubblici (includere l'interesse per il lavoro sociale, per le attività organizzative.);

per direzione:

interessi ampi (una varietà di interessi in presenza di un interesse principale e centrale.);

interessi ristretti (la presenza di uno o due interessi limitati e isolati con completa indifferenza per tutto il resto.);

interessi profondi (la necessità di studiare a fondo l'oggetto in tutti i dettagli e le sottigliezze.);

interessi superficiali (scivolare sulla superficie del fenomeno e non c'è reale interesse per l'oggetto.);

Per forza:

interessi sostenibili (persistono a lungo, svolgono un ruolo significativo nella vita e nelle attività di una persona e sono caratteristiche relativamente fisse della sua personalità.);

interessi instabili (relativamente a breve termine: sorgono rapidamente e svaniscono rapidamente.);

Per mediazione:

interessi diretti (immediati) (chiamati dal contenuto stesso di un particolare campo di conoscenza o attività, il suo divertimento e il suo fascino.);

interessi indiretti (mediati) (non sono causati dal contenuto dell'oggetto, ma dal valore che ha, essendo associato a un altro oggetto che è di diretto interesse per una persona.);

In termini di efficacia:

interessi passivi;

interessi contemplativi (Quando una persona è limitata alla percezione di un oggetto di interesse.);

interessi attivi;

interesse effettivo (Quando una persona non si limita alla contemplazione, ma agisce per dominare l'oggetto di interesse.) (GI Shchukina, 1988).

Esiste tipo speciale interessi umani - interesse cognitivo.

"L'interesse cognitivo è l'orientamento selettivo della personalità, rivolto al campo della conoscenza, al suo lato soggetto e allo stesso processo di padronanza della conoscenza".

L'interesse cognitivo può essere ampio, estendendosi all'ottenimento di informazioni in generale e approfondito in un'area specifica della conoscenza. Ha lo scopo di padroneggiare le conoscenze presentate nelle materie scolastiche. Allo stesso tempo, è rivolto non solo al contenuto di questa materia, ma anche al processo di acquisizione di questa conoscenza, all'attività cognitiva. studente di pedagogia matematica

In pedagogia, insieme al termine "interesse cognitivo", viene utilizzato il termine "interesse per l'apprendimento". Il concetto di "interesse cognitivo" è più ampio, poiché nella zona di interesse cognitivo non ci sono solo conoscenze limitate dai curricula, ma anche ben oltre i suoi limiti.

Nella letteratura straniera il termine "interesse cognitivo" è assente, ma c'è il concetto di "interesse intellettuale". Questo termine inoltre non include tutto ciò che è incluso nel concetto di "interesse cognitivo", poiché la cognizione include non solo i processi intellettuali, ma anche elementi di azioni pratiche legate alla cognizione.

L'interesse cognitivo è una connessione processo mentale: intellettuale, volitivo ed emotivo. Sono molto importanti per lo sviluppo personale.

Nell'attività intellettuale, procedendo sotto l'influenza dell'interesse cognitivo, si manifestano:

· ricerca attiva;

· indovinare;

approccio di ricerca;

prontezza a risolvere i problemi.

Manifestazioni emotive che accompagnano l'interesse cognitivo:

emozioni di sorpresa

un senso di anticipazione di qualcosa di nuovo;

sentimento di gioia intellettuale;

sensazione di successo.

Le manifestazioni volitive caratteristiche dell'interesse cognitivo sono:

iniziativa di ricerca;

indipendenza nell'acquisizione della conoscenza;

Promozione e impostazione dei compiti cognitivi.

Quindi, gli aspetti intellettuali, volitivi ed emotivi dell'interesse cognitivo agiscono come un unico insieme interconnesso.

L'originalità dell'interesse conoscitivo si esprime nell'approfondimento, nell'acquisizione costante e indipendente di conoscenze nell'area di interesse, nell'acquisizione attiva dei metodi necessari per questo, nel persistente superamento delle difficoltà che si trovano in il modo di padroneggiare la conoscenza e i modi per ottenerla.

Psicologi ed educatori identificano tre motivi principali che incoraggiano gli studenti a imparare:

Interesse per la materia (studio matematica non perché persegua qualche obiettivo, ma perché lo stesso processo di studio mi dà piacere). Il più alto grado di interesse è la passione. Le attività appassionate generano forza emozioni positive, e l'incapacità di praticare è percepita come privazione.

· Coscienza. (Le lezioni su questo argomento non mi interessano, ma sono consapevole della loro necessità e con uno sforzo di volontà mi costringo a studiare).

· Coercizione. (Studio perché i miei genitori e i miei insegnanti mi costringono). Spesso la compulsione è supportata dalla paura della punizione o dal richiamo della ricompensa. Varie misure coercitive nella maggior parte dei casi non danno risultati positivi (25, p. 24).

Interessato a alto grado migliora l'efficacia delle lezioni. Se gli studenti studiano per la loro inclinazione interiore, di loro spontanea volontà, imparano il materiale educativo abbastanza facilmente e completamente, per questo hanno buoni voti nella materia. La maggior parte degli studenti con risultati insufficienti mostra un atteggiamento negativo nei confronti dell'apprendimento. Pertanto, maggiore è l'interesse dello studente per la materia, più attivo è l'apprendimento e migliori sono i suoi risultati. Minore è l'interesse, più formale è la formazione, peggiori saranno i risultati. La mancanza di interesse porta a una bassa qualità dell'apprendimento, alla rapida dimenticanza e persino alla completa perdita delle conoscenze, abilità e abilità acquisite.

Formando gli interessi cognitivi degli studenti, va tenuto presente che non possono coprire tutto soggetti. Gli interessi sono selettivi e uno studente, di regola, può dedicarsi alla vera passione solo in una o due materie. Ma la presenza di un interesse stabile in una particolare materia ha un effetto positivo sul lavoro accademico in altre materie, sia i fattori intellettuali che morali contano qui. intensivo sviluppo mentale associato all'approfondimento di una materia, facilita e rende più efficace l'insegnamento dello studente in altre materie. D'altra parte, i progressi raggiunti nel lavoro accademico nelle materie preferite rafforzano l'autostima dello studente e in generale si sforza di studiare diligentemente.

Un compito importante dell'insegnante è formare i primi due motivi per l'apprendimento negli scolari: interesse per la materia e senso del dovere, responsabilità nell'apprendimento. La loro combinazione consentirà allo studente di raggiungere buoni risultati nelle attività educative.

La formazione degli interessi cognitivi inizia molto prima della scuola, in famiglia, il loro verificarsi è associato alla comparsa nei bambini di domande come "Perché?", "Perché?", "Perché?". L'interesse appare inizialmente sotto forma di curiosità. Fino alla fine prima età scolastica sotto l'influenza degli anziani, il bambino sviluppa un interesse per l'apprendimento a scuola: non solo gioca a scuola, ma fa anche tentativi riusciti di padroneggiare la lettura, la scrittura, il conteggio, ecc.

Nella scuola primaria, gli interessi cognitivi si approfondiscono. Si forma una coscienza del significato vitale dell'insegnamento. Nel tempo, gli interessi cognitivi si differenziano: ad alcuni piace di più la matematica, ad altri la lettura, ecc. I bambini mostrano grande interesse per il processo lavorativo, soprattutto se svolto in gruppo. L'insegnamento e altri tipi di cognizione entrano in conflitto, poiché i nuovi interessi degli scolari non sono sufficientemente soddisfatti a scuola. Gli interessi dispersi e instabili degli adolescenti si spiegano anche con il fatto che essi “cercano” il loro interesse principale, centrale e cardine come base del loro orientamento di vita e si cimentano in aree diverse. Quando gli interessi e le inclinazioni degli adolescenti sono finalmente determinati, le loro capacità iniziano a formarsi e a manifestarsi chiaramente. Entro la fine dell'adolescenza, iniziano a formarsi interessi in una particolare professione. In età scolare, lo sviluppo degli interessi cognitivi, la crescita di un atteggiamento consapevole nei confronti dell'apprendimento determinano l'ulteriore sviluppo dell'arbitrarietà dei processi cognitivi, la capacità di gestirli e di regolarli consapevolmente. Alla fine della terza età, gli studenti padroneggiano i loro processi cognitivi, subordinano la loro organizzazione a determinati compiti della vita e dell'attività.

Uno dei mezzi per sviluppare l'interesse per la matematica sono i compiti non standard. Soffermiamoci su di loro in modo più dettagliato.

1. 2 Compiti non standard e loro tipi

Il concetto di "attività non standard" è utilizzato da molti metodologi. Quindi, Yu. M. Kolyagin rivela questo concetto come segue: “Sotto non standard inteso un compito, alla presentazione del quale, gli studenti non conoscono in anticipo né il metodo per risolverlo, né su quale materiale didattico si basa la soluzione.

La definizione di problema non standard è data anche nel libro “Come imparare a risolvere i problemi” degli autori L.M. Fridman, E.N. Turco: " Compiti non standard- questi sono quelli per i quali non ci sono regole e regolamenti generali nel corso di matematica che determinano il programma esatto per la loro soluzione.

Non confondere attività non standard con attività di maggiore complessità. Le condizioni dei problemi di maggiore complessità sono tali da consentire agli studenti di selezionare abbastanza facilmente l'apparato matematico necessario per risolvere un problema in matematica. Il docente controlla il processo di consolidamento delle conoscenze fornite dal programma formativo risolvendo problemi di questo tipo. Ma un compito non standard implica la presenza di natura esplorativa. Tuttavia, se la soluzione di un problema in matematica per uno studente non è standard, poiché non ha familiarità con i metodi per risolvere problemi di questo tipo, per un altro la soluzione del problema avviene in modo standard, poiché ha già risolto tali problemi e più di uno. Lo stesso compito in matematica al 5° anno non è standard e al 6° anno è ordinario e nemmeno di maggiore complessità.

Un'analisi dei libri di testo e dei sussidi didattici in matematica mostra che ogni compito testuale in determinate condizioni può essere non standard e, in altre, ordinario, standard. Un problema standard in un corso di matematica può non essere standard in un altro corso.

Sulla base dell'analisi della teoria e della pratica dell'utilizzo di compiti non standard nell'insegnamento della matematica, è possibile stabilirne il ruolo generale e specifico. Compiti non standard:

· insegnare ai bambini non solo ad utilizzare algoritmi già pronti, ma anche a trovare autonomamente nuovi modi per risolvere i problemi, ad es. contribuire alla capacità di trovare modi originali per risolvere i problemi;

influenzare lo sviluppo dell'ingegno, l'ingegnosità degli studenti;

Impediscono lo sviluppo di cliché dannosi nella risoluzione dei problemi, distruggono associazioni errate nelle conoscenze e abilità degli studenti, implicano non tanto l'assimilazione di tecniche algoritmiche, ma la scoperta di nuove connessioni nella conoscenza, il trasferimento della conoscenza a nuove condizioni e la padronanza di vari metodi di attività mentale;

creare condizioni favorevoli per aumentare la forza e la profondità della conoscenza degli studenti, garantire l'assimilazione consapevole dei concetti matematici.

Compiti non standard:

non dovrebbe avere algoritmi già pronti memorizzati dai bambini;

dovrebbe essere accessibile a tutti gli studenti in termini di contenuto;

deve essere interessante nei contenuti;

Per risolvere problemi non standard, gli studenti dovrebbero avere una conoscenza sufficiente da loro acquisita nel programma.

Risolvere compiti non standard attiva l'attività degli studenti. Gli studenti imparano a confrontare, classificare, generalizzare, analizzare e questo contribuisce a un'assimilazione più forte e consapevole delle conoscenze.

Come ha dimostrato la pratica, i compiti non standard sono molto utili non solo per le lezioni, ma anche per le attività extracurriculari, per i compiti delle Olimpiadi, poiché questo apre l'opportunità di differenziare veramente i risultati di ciascun partecipante. Tali attività possono essere utilizzate con successo come incarichi individuali per quegli studenti che affrontano facilmente e rapidamente la parte principale del lavoro indipendente durante la lezione o per coloro che desiderano compiti aggiuntivi. Di conseguenza, gli studenti ricevono sviluppo intellettuale e la preparazione per un'attività pratica attiva.

Non esiste una classificazione generalmente accettata di compiti non standard, ma B.A. Kordemsky identifica i seguenti tipi di tali attività:

· Compiti relativi al corso di matematica della scuola, ma di maggiore difficoltà, come i compiti delle Olimpiadi matematiche. Sono destinati principalmente agli scolari con un preciso interesse per la matematica; tematicamente, questi compiti sono solitamente associati all'una o all'altra sezione specifica del curriculum scolastico. Le esercitazioni relative a questo approfondiscono il materiale didattico, integrano e generalizzano le singole disposizioni del percorso scolastico, ampliano gli orizzonti matematici e sviluppano abilità nella risoluzione di problemi difficili.

· Problemi del tipo di intrattenimento matematico. relazione diretta con curriculum scolastico non hanno e, di regola, non richiedono un grande background matematico. Ciò non significa, tuttavia, che la seconda categoria di compiti comprenda solo esercizi facili. Qui ci sono problemi con una soluzione molto difficile e tali problemi, la cui soluzione non è stata ancora ottenuta. “I compiti non standard, presentati in modo divertente, portano un momento emotivo alle attività mentali. Non associati alla necessità di applicare ogni volta regole e tecniche apprese per risolverli, richiedono la mobilitazione di tutte le conoscenze accumulate, insegnano loro a cercare metodi di risoluzione originali e non basati su modelli, arricchiscono l'arte di risolvere bellissimi esempi, farti ammirare il potere della mente”.

Questi tipi di attività includono:

una varietà di enigmi numerici ("... esempi in cui tutti o alcuni dei numeri sono sostituiti da asterischi o lettere. Le stesse lettere sostituiscono gli stessi numeri, lettere diverse - numeri diversi".) e puzzle per ingegnosità;

compiti logici, la cui soluzione non richiede calcoli, ma si basa sulla costruzione di una catena di ragionamenti esatti;

compiti, la cui soluzione si basa su una combinazione di sviluppo matematico e ingegno pratico: pesatura e trasfusioni in condizioni difficili;

il sofisma matematico è una conclusione deliberata e falsa che sembra corretta. (Il sofismo è una prova di una falsa affermazione, e l'errore nella dimostrazione è abilmente mascherato. Sofismo in greco significa un'invenzione astuta, un trucco, un enigma);

compiti scherzosi;

problemi combinatori, in cui vengono considerate varie combinazioni di dati oggetti che soddisfano determinate condizioni (B.A. Kordemsky, 1958).

Non meno interessante è la classificazione dei problemi non standard data da I.V. Egorchenko:

compiti volti a trovare relazioni tra determinati oggetti, processi o fenomeni;

compiti che sono irrisolvibili o irrisolvibili attraverso un corso scolastico ad un determinato livello di conoscenza degli studenti;

Compiti che richiedono:

condurre e utilizzare analogie, determinare le differenze tra determinati oggetti, processi o fenomeni, stabilire l'opposto di determinati fenomeni e processi oi loro antipodi;

implementazione di una dimostrazione pratica, astrazione da determinate proprietà di un oggetto, processo, fenomeno o concretizzazione dell'uno o dell'altro lato di questo fenomeno;

l'instaurazione di relazioni causali tra determinati oggetti, processi o fenomeni;

costruzione di catene causali in modo analitico o sintetico con successiva analisi delle opzioni risultanti;

la corretta attuazione di una sequenza di determinate azioni, evitando errori- "trappole";

implementazione della transizione da una versione planare a una spaziale di un determinato processo, oggetto, fenomeno o viceversa (I.V. Egorchenko, 2003).

Quindi, non esiste una classificazione unificata delle attività non standard. Ce ne sono diversi, ma l'autore dell'opera ha utilizzato la classificazione proposta da I.V. Egorchenko.

1.3 Metodi risolutivicompiti standard

Il filologo russo Dmitry Nikolaevich Ushakov nel suo dizionario esplicativo fornisce una tale definizione del concetto di "metodo": un modo, un metodo, un metodo di ricerca teorica o un'implementazione pratica di qualcosa (D. N. Ushakov, 2000).

Quali sono i metodi di insegnamento per risolvere i problemi in matematica, che attualmente consideriamo non standard? Sfortunatamente, nessuno ha escogitato una ricetta universale, data l'unicità di questi compiti. Alcuni insegnanti si allenano con esercizi modello. Ciò accade come segue: l'insegnante mostra il modo per risolvere, quindi lo studente lo ripete quando risolve i problemi molte volte. Allo stesso tempo, l'interesse degli studenti per la matematica viene ucciso, il che è almeno triste.

In matematica non esistono regole generali che consentano di risolvere problemi non standard, poiché tali problemi sono in una certa misura unici. Un compito non standard nella maggior parte dei casi è percepito come "una sfida all'intelletto, e fa sorgere la necessità di realizzarsi nel superare gli ostacoli, nello sviluppare capacità creative".

Considera diversi metodi per risolvere problemi non standard:

· algebrico;

· aritmetica;

metodo di conteggio;

metodo di ragionamento;

pratico;

il metodo di indovinare.

Metodo algebrico si sviluppa la risoluzione dei problemi Abilità creative, la capacità di generalizzare, forma il pensiero astratto e presenta vantaggi come la brevità della scrittura e il ragionamento quando si elaborano le equazioni, fa risparmiare tempo.

Per risolvere un problema metodo algebrico necessario:

· analizzare il problema per selezionare l'incognita principale e identificare la relazione tra le quantità, nonché l'espressione di queste dipendenze in linguaggio matematico sotto forma di due espressioni algebriche;

trova la base per collegare queste espressioni con il segno "=" e crea un'equazione;

trovare soluzioni all'equazione risultante, organizzare un controllo della soluzione dell'equazione.

Tutte queste fasi di risoluzione del problema sono logicamente interconnesse. Ad esempio, citiamo la ricerca di una base per collegare due espressioni algebriche con segno di uguale come fase speciale, ma è chiaro che nella fase precedente queste espressioni non sono formate arbitrariamente, ma tenendo conto della possibilità di connetterle con il segno “=”.

Sia l'identificazione delle dipendenze tra quantità che la traduzione di queste dipendenze nel linguaggio matematico richiedono un'intensa attività mentale analitica e sintetica. Il successo in questa attività dipende, in particolare, dal fatto che gli studenti sappiano quali relazioni possono avere queste grandezze in generale, e se comprendano il reale significato di tali relazioni (ad esempio, relazioni espresse dai termini “più tardi da …”, “ più vecchio di ... volte " ecc.). Inoltre, è richiesta una comprensione di quale tipo di azione matematica o, proprietà dell'azione, o quale connessione (dipendenza) tra le componenti e il risultato dell'azione, questa o quella particolare relazione può essere descritta.

Diamo un esempio di risoluzione di un problema non standard con il metodo algebrico.

Un compito. Il pescatore ha preso un pesce. Alla domanda: “Qual è la sua massa?”, ha risposto: “La massa della coda è di 1 kg, la massa della testa è la stessa della massa della coda e di metà del corpo. E la massa del corpo è la stessa della massa della testa e della coda insieme. Qual è la massa del pesce?

Sia x kg la massa del corpo; allora (1+1/2x) kg è la massa della testa. Poiché, per condizione, la massa del corpo è uguale alla somma delle masse della testa e della coda, componiamo e risolviamo l'equazione:

x = 1 + 1/2x + 1,

4 kg è la massa del corpo, quindi 1+1/2 4=3 (kg) è la massa della testa e 3+4+1=8 (kg) è la massa del pesce intero;

Risposta: 8 kg.

Metodo aritmetico le soluzioni richiedono anche molto stress mentale, che ha un effetto positivo sullo sviluppo delle capacità mentali, sull'intuizione matematica, sulla formazione della capacità di prevedere una situazione di vita reale.

Considera un esempio di risoluzione di un problema non standard con un metodo aritmetico:

Un compito. A due pescatori è stato chiesto: "Quanti pesci ci sono nelle vostre ceste?"

"Nel mio cestino c'è la metà di quello che ha nel cestino e altri 10", ha risposto il primo. "E ne ho tanti nel mio paniere quanti ne ha lui, e anche 20", calcolò il secondo. Abbiamo contato e ora tu conti.

Costruiamo un diagramma per il problema. Lascia che il primo segmento del diagramma indichi il numero di pesci che ha il primo pescatore. Il secondo segmento indica il numero di pesci del secondo pescatore.

A causa di uomo modernoè necessario avere un'idea dei principali metodi di analisi dei dati e dei pattern probabilistici che giocano ruolo importante in scienze, tecnologia ed economia, nel corso di matematica della scuola vengono introdotti elementi di combinatoria, teoria della probabilità e statistica matematica, che sono facilmente comprensibili con l'ausilio di metodo di numerazione.

L'inclusione di problemi combinatori nel corso di matematica prevede influenza positiva sullo sviluppo degli studenti. “L'apprendimento mirato a risolvere problemi combinatori contribuisce allo sviluppo di una tale qualità del pensiero matematico come la variabilità. Per variabilità del pensiero, intendiamo la direzione dell'attività mentale dello studente per cercare varie soluzioni al problema nel caso in cui non ci siano istruzioni speciali per questo.

I problemi combinatori possono essere risolti con vari metodi. Convenzionalmente, questi metodi possono essere suddivisi in "formali" e "informali". Con il metodo della soluzione "formale", è necessario determinare la natura della scelta, selezionare la formula o la regola combinatoria appropriata (ci sono regole di somma e prodotto), sostituire i numeri e calcolare il risultato. Il risultato è l'importo opzioni, ma in questo caso non si formano le varianti.

Con il metodo "informale" di risoluzione, il processo stesso di elaborazione viene alla ribalta. varie opzioni. E la cosa principale non è quanto, ma quali opzioni possono essere ottenute. Tali metodi includono metodo di numerazione. Questo metodo è disponibile anche per gli studenti più giovani e consente di acquisire esperienza soluzione pratica problemi combinatori, che funge da base per l'introduzione di principi e formule combinatorie in futuro. Inoltre, nella vita una persona deve non solo determinare il numero di opzioni possibili, ma anche comporre direttamente tutte queste opzioni e, dopo aver padroneggiato i metodi di enumerazione sistematica, questo può essere fatto in modo più razionale.

Le attività sono divise in tre gruppi in base alla complessità dell'enumerazione:

uno . Attività in cui è necessario eseguire un'enumerazione completa di tutte le opzioni possibili.

2. Attività in cui non è pratico utilizzare la tecnica di enumerazione completa ed è necessario escludere immediatamente alcune opzioni senza considerarle (ovvero eseguire un'enumerazione abbreviata).

3. Compiti in cui l'operazione di enumerazione viene eseguita più volte e in relazione a vari tipi di oggetti.

Ecco gli esempi rilevanti di attività:

Un compito. Inserendo i segni "+" e "-" tra i numeri dati 9 ... 2 ... 4, compongono tutte le espressioni possibili.

C'è un elenco completo di opzioni:

a) due caratteri nell'espressione possono essere gli stessi, quindi otteniamo:

9 + 2 + 4 o 9 - 2 - 4;

b) due segni possono essere diversi, quindi otteniamo:

9 + 2 - 4 o 9 - 2 + 4.

Un compito. L'insegnante dice di aver disegnato 4 figure di seguito: quadrati grandi e piccoli, cerchi grandi e piccoli in modo che il cerchio sia in primo luogo e le figure della stessa forma non stiano fianco a fianco, e invita gli studenti a indovinare la sequenza in cui queste figure sono disposte.

Ci sono 24 diverse disposizioni di queste figure in totale. E non è consigliabile comporli tutti, quindi scegliere quelli che corrispondono a questa condizione, quindi viene eseguita un'enumerazione abbreviata.

Un cerchio grande può essere al primo posto, quindi uno piccolo può essere solo al terzo posto, mentre i quadrati grandi e piccoli possono essere posizionati in due modi: al secondo e al quarto posto.

Un ragionamento simile viene eseguito se il primo posto è un piccolo cerchio e vengono compilate anche due opzioni.

Un compito. Tre soci della stessa azienda custodiscono i titoli in una cassaforte con 3 serrature. Gli accompagnatori vogliono distribuire tra loro le chiavi delle serrature in modo che la cassaforte possa essere aperta solo in presenza di almeno due accompagnatori, ma non uno. Come posso fare ciò?

Innanzitutto, vengono enumerati tutti i possibili casi di distribuzione delle chiavi. Ad ogni accompagnatore può essere data una chiave, o due chiavi diverse, o tre.

Supponiamo che ogni compagno abbia tre chiavi diverse. Quindi la cassaforte può essere aperta da un compagno e questo non soddisfa la condizione.

Supponiamo che ogni compagno abbia una chiave. Poi se ne arrivano due, non potranno aprire la cassaforte.

Diamo a ciascun compagno due chiavi diverse. Il primo - 1 e 2 chiavi, il secondo - 1 e 3 chiavi, il terzo - 2 e 3 chiavi. Controlliamo quando due compagni qualsiasi vengono a vedere se possono aprire la cassaforte.

Possono venire il primo ed il secondo accompagnatore, avranno tutte le chiavi (1 e 2, 1 e 3). Possono venire il primo ed il terzo accompagnatore, avranno anche tutte le chiavi (1 e 2, 2 e 3). Infine potranno venire il secondo ed il terzo accompagnatore, avranno anche tutte le chiavi (1 e 3, 2 e 3).

Pertanto, per trovare la risposta a questo problema, è necessario eseguire l'operazione di iterazione più volte.

Quando si selezionano problemi combinatori, si dovrebbe prestare attenzione all'argomento e alla forma di presentazione di questi problemi. È auspicabile che i compiti non sembrino artificiali, ma siano comprensibili e interessanti per i bambini, evochino in essi emozioni positive. Puoi usare materiale pratico dalla vita per elaborare compiti.

Ci sono altri problemi che possono essere risolti dall'enumerazione.

Ad esempio, risolviamo il problema: “Il marchese Karabas aveva 31 anni e il suo giovane energico Il gatto con gli stivali aveva 3 anni, quando si verificarono gli eventi conosciuti dalla fiaba. Quanti anni sono passati da allora, se ora il Gatto è tre volte più giovane del suo padrone? L'enumerazione delle opzioni è rappresentata da una tabella.

Età del marchese di Carabas e il gatto con gli stivali

14 - 3 = 11 (anni)

Risposta: sono passati 11 anni.

Allo stesso tempo, lo studente, per così dire, sperimenta, osserva, confronta i fatti e, sulla base di conclusioni particolari, trae alcune conclusioni generali. Nel processo di queste osservazioni, la sua esperienza reale-pratica si arricchisce. Questo è precisamente il valore pratico dei problemi di enumerazione. In questo caso, la parola "enumerazione" è usata nel senso di analizzare tutti i possibili casi che soddisfano le condizioni del problema, mostrando che non possono esserci altre soluzioni.

Questo problema può essere risolto anche con un metodo algebrico.

Lascia che il gatto abbia x anni, quindi il marchese è 3x, in base alla condizione del problema, comporremo l'equazione:

Il gatto ora ha 14 anni, quindi sono passati 14 - 3 = 11 (anni).

Risposta: sono passati 11 anni.

metodo di ragionamento può essere utilizzato per risolvere sofismi matematici.

Gli errori commessi nel sofisma di solito si riducono a: eseguire azioni "proibite", utilizzare disegni errati, uso errato delle parole, formulazioni imprecise, generalizzazioni "illegali", applicazioni errate di teoremi.

Rivelare il sofisma significa segnalare un errore di ragionamento, in base al quale si è creata l'apparenza esteriore della prova.

L'analisi dei sofismi, prima di tutto, sviluppa il pensiero logico, infonde le capacità del pensiero corretto. Individuare un errore nel sofisma significa riconoscerlo, e la consapevolezza di un errore impedisce che si ripeta in altri ragionamenti matematici. Oltre alla criticità del pensiero matematico, questo tipo di compiti non standard rivela la flessibilità del pensiero. Riuscirà lo studente a “sfuggire dalla morsa” di questo percorso, che a prima vista è strettamente logico, spezzare la catena delle deduzioni proprio nell'anello che è erroneo e rende erroneo ogni ulteriore ragionamento?

L'analisi dei sofismi aiuta anche l'assimilazione consapevole del materiale studiato, sviluppa l'osservazione e un atteggiamento critico nei confronti di ciò che viene studiato.

a) Ecco, ad esempio, un sofisma con un'errata applicazione del teorema.

Dimostriamo che 2 2 = 5.

Prendiamo la seguente ovvia uguaglianza come rapporto iniziale: 4: 4 = 5: 5 (1)

Togliamo tra parentesi il fattore comune nelle parti sinistra e destra, otteniamo:

4 (1: 1) = 5 (1: 1) (2)

I numeri tra parentesi sono uguali, quindi 4 = 5 o 2 2 = 5.

Nel ragionamento, passando dall'uguaglianza (1) all'uguaglianza (2), si crea un'illusione di verosimiglianza sulla base di una falsa analogia con la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.

b) Sofismo con generalizzazioni "illegali".

Ci sono due famiglie: Ivanov e Petrov. Ciascuno è composto da 3 persone: padre, madre e figlio. Il padre di Ivanov non conosce il padre di Petrov. La madre di Ivanov non conosce la madre di Petrova. L'unico figlio degli Ivanov non conosce l'unico figlio dei Petrov. Conclusione: nessun membro della famiglia Ivanov conosce un solo membro della famiglia Petrov. È vero?

Se un membro della famiglia Ivanov non conosce un membro della famiglia Petrov con pari stato civile, ciò non significa che non conosca l'intera famiglia. Ad esempio, il padre di Ivanov potrebbe conoscere la madre e il figlio di Petrov.

Il metodo del ragionamento può essere utilizzato anche per risolvere problemi logici. Le attività sublogiche sono generalmente intese come attività che vengono risolte utilizzando solo operazioni logiche. A volte la loro soluzione richiede lunghi ragionamenti, la cui direzione necessaria non può essere prevista in anticipo.

Un compito. Dicono che Tortila abbia dato la chiave d'oro a Pinocchio non semplicemente come disse A. N. Tolstoj, ma in un modo completamente diverso. Ha tirato fuori tre scatole: rossa, blu e verde. Sulla scatola rossa c'era scritto: "Qui giace una chiave d'oro", e su quella blu - "La scatola verde è vuota", e su quella verde - "Qui siede un serpente". Tortila lesse le iscrizioni e disse: “In effetti, c'è una chiave d'oro in una scatola, un serpente nell'altra e la terza è vuota, ma tutte le iscrizioni sono sbagliate. Se indovini quale scatola contiene la chiave d'oro, è tua." Dov'è la chiave d'oro?

Poiché tutte le iscrizioni sulle scatole non sono corrette, la scatola rossa non contiene una chiave d'oro, la scatola verde non è vuota e non c'è nessun serpente, il che significa che la chiave è nella scatola verde, il serpente è dentro quello rosso e quello blu è vuoto.

Quando si risolvono problemi logici, si attiva il pensiero logico, e questa è la capacità di dedurre conseguenze dalle premesse, che è essenziale per la padronanza riuscita della matematica.

Un rebus è un indovinello, ma un indovinello non è del tutto ordinario. Parole e numeri dentro enigmi di matematica rappresentato con disegni, asterischi, numeri e segni vari. Per leggere cosa è crittografato nel rebus, devi nominare correttamente tutti gli oggetti raffigurati e capire quale segno raffigura cosa. Le persone usavano i puzzle anche quando non sapevano scrivere. Hanno composto le loro lettere da oggetti. Ad esempio, i capi di una tribù una volta hanno inviato un uccello, un topo, una rana e cinque frecce invece di una lettera ai loro vicini. Ciò significava: “Puoi volare come uccelli e nasconderti nel terreno come topi, saltare attraverso le paludi come rane? Se non sai come fare, non provare a combatterci. Ti bombarderemo di frecce non appena entrerai nel nostro Paese”.

A giudicare dalla prima lettera della somma 1), D = 1 o 2.

Supponiamo che D = 1. Allora, Y? 5. Y \u003d 5 è escluso, perché P non può essere uguale a 0. Y? 6, perché 6 + 6 = 12, cioè P = 2. Ma un tale valore di P non è adatto per ulteriori verifiche. Allo stesso modo, U? 7.

Supponiamo Y = 8. Quindi, P = 6, A = 2, K = 5, D = 1.

Un quadrato magico (magico) è un quadrato in cui la somma dei numeri verticalmente, orizzontalmente e diagonalmente è la stessa.

Un compito. Disporre i numeri da 1 a 9 in modo che verticalmente, orizzontalmente e diagonalmente si ottenga la stessa somma di numeri, pari a 15.

Sebbene non ci siano regole generali per risolvere problemi non standard (motivo per cui questi problemi sono chiamati non standard), abbiamo cercato di fornire una serie di linee guida generali - raccomandazioni che dovrebbero essere seguite quando si risolvono problemi non standard di vario tipo .

Ogni attività non standard è originale e unica nella sua soluzione. A questo proposito, la metodologia sviluppata per insegnare l'attività di ricerca quando si risolvono compiti non standard non forma abilità per risolvere compiti non standard, possiamo solo parlare di sviluppare determinate abilità:

capacità di comprendere il compito, evidenziare le parole principali (di supporto);

la capacità di identificare la condizione e la domanda, nota e sconosciuta nel problema;

la capacità di trovare una connessione tra i dati e il desiderato, ovvero di analizzare il testo del problema, il cui risultato è la scelta operazione aritmetica o un'operazione logica per risolvere un problema non standard;

la capacità di registrare lo stato di avanzamento della soluzione e la risposta al problema;

La capacità di svolgere lavoro extra sul compito;

la capacità di selezionare le informazioni utili contenute nel problema stesso, nel processo di risoluzione dello stesso, di sistematizzare queste informazioni, correlandole con le conoscenze esistenti.

I compiti non standard sviluppano il pensiero spaziale, che si esprime nella capacità di ricreare nella mente le immagini spaziali degli oggetti ed eseguire operazioni su di essi. Il pensiero spaziale si manifesta quando si risolvono problemi come: “Sulla sommità del bordo di una torta rotonda, sono stati posti 5 punti di crema alla stessa distanza l'uno dall'altro. I tagli sono stati effettuati attraverso tutte le coppie di punti. Quanti pezzi di torta hai preso in totale?

metodo pratico può essere considerato per problemi di divisione non standard.

Un compito. Il bastoncino deve essere tagliato in 6 pezzi. Quanti tagli saranno necessari?

Soluzione: i tagli avranno bisogno di 5.

Quando si studiano problemi di divisione non standard, è necessario comprendere: per tagliare un segmento in parti P, è necessario eseguire un taglio (P - 1). Questo fatto deve essere stabilito con i bambini induttivamente e quindi utilizzato per risolvere i problemi.

Un compito. In una barra di tre metri - 300 cm Deve essere tagliato in barre lunghe 50 cm ciascuna. Quanti tagli devi fare?

Soluzione: otteniamo 6 barre 300: 50 = 6 (barre)

Sosteniamo come segue: per dividere la barra a metà, cioè in due parti, è necessario eseguire 1 taglio, in 3 parti - 2 tagli e così via, in 6 parti - 5 tagli.

Quindi, devi fare 6 - 1 = 5 (tagli).

Risposta: 5 tagli.

Quindi, uno dei principali motivi che incoraggiano gli studenti a studiare è l'interesse per la materia. L'interesse è un orientamento cognitivo attivo di una persona verso un particolare oggetto, fenomeno e attività, creato con un atteggiamento emotivo positivo nei suoi confronti. Uno dei mezzi per sviluppare l'interesse per la matematica sono i compiti non standard. Un compito non standard è inteso come quei compiti per i quali non ci sono regole e regolamenti generali nel corso della matematica che determinano il programma esatto per la loro soluzione. Risolvere tali problemi consente agli studenti di impegnarsi attivamente in attività di apprendimento. Esistono varie classificazioni di problemi e metodi per la loro soluzione. I più usati sono l'algebrica, l'aritmetica, metodi pratici e il metodo di enumerazione, ragionamento e congettura.

2. Formazionescolaricapacità di risolvere compiti non standard

2.1 Compiti non standard per gli studenti delle scuole elementari

Il materiale didattico è destinato agli studenti e agli insegnanti delle scuole elementari. Contiene problemi matematici non standard che possono essere utilizzati in classe e nelle attività extracurriculari. I compiti sono strutturati in base a metodi risolutivi: aritmetica, metodi pratici, enumerazione, ragionamento e ipotesi. Compiti presentati tipi diversi: intrattenimento matematico; vari enigmi numerici; compiti logici; compiti, la cui soluzione si basa su una combinazione di sviluppo matematico e ingegno pratico: pesatura e trasfusioni in condizioni difficili; sofismi matematici; compiti scherzosi; compiti combinatori. Vengono fornite soluzioni e risposte per tutti i problemi.

· Risolvi i problemi con il metodo aritmetico:

1. Sommato 111 mila, 111 centinaia e 111 unità. Qual era il numero?

2. Quanto otterrai se aggiungi i numeri: la più piccola a due cifre, la più piccola a tre cifre, la più piccola a quattro cifre?

3. Un compito:

"Al cappello grigio per la lezione

Arrivarono le sette e quaranta

E di loro solo 3 gazze

Lezioni preparate.

Quanti mocassini-quaranta

Sei arrivato alla lezione?

4. Petya ha bisogno di fare 4 volte più passi di Kolya. Kolya abita al terzo piano. A che piano abita Petya?

5. Secondo la prescrizione del medico per il paziente, in farmacia sono state acquistate 10 compresse. Il medico ha prescritto di assumere la medicina 3 compresse al giorno. Quanti giorni durerà questo medicinale?

· Risolvi i problemi con l'enumerazione:

6. Inserisci i segni "+" o "-" al posto dell'asterisco in modo da ottenere la corretta uguaglianza:

a) 2 * 3 * 1 = 6;

b) 6 * 2 * 3 = 1;

c) 2 * 3 * 1 = 4;

d) 8 * 1 * 4 = 5;

e) 7 * 2 * 4 = 5.

7. Non ci sono segni "+" e "-" tra i numeri. È necessario disporre i segni il più rapidamente possibile in modo tale che risulti 12.

a) 2 6 3 4 5 8 = 12;

b) 9 8 1 3 5 2 = 12;

c) 8 6 1 7 9 5 = 12;

d) 3 2 1 4 5 3 = 12;

e) 7 9 8 4 3 5 = 12.

8. Olya ha ricevuto 4 libri con fiabe e poesie per il suo compleanno. C'erano più libri di fiabe che libri di poesie. Quanti libri di fiabe sono stati presentati a Olya?

9. Vanya e Vasya hanno deciso di comprare caramelle con tutti i loro soldi. Sì, porta sfortuna: avevano i soldi per 3 kg di caramelle e il venditore aveva solo pesi di 5 kg e 2 kg. Ma Vanya e Vasya hanno "A" in matematica e sono riusciti a comprare quello che volevano. Come hanno fatto?

10. Tre amiche - Vera, Olya e Tanya - sono andate nella foresta a raccogliere bacche. Per raccogliere le bacche avevano un cesto, un cesto e un secchio. È noto che Olya non era con un cestino e non con un cestino, Vera non era con un cestino. Cosa portava con sé ciascuna delle ragazze per raccogliere le bacche?

11. Nelle gare di ginnastica Hare, Monkey, Boa constrictor e Parrot hanno preso i primi 4 posti. Determina chi ha preso quale posto, se è noto che la Lepre - 2, il Pappagallo non è diventato il vincitore, ma è entrato nei vincitori e il Boa ha perso contro la Scimmia.

12. Latte, limonata, kvas e acqua vengono versati in una bottiglia, un bicchiere, una brocca e un barattolo. È noto che l'acqua e il latte non sono in una bottiglia, in un barattolo non c'è né limonata né acqua, ma un vaso con limonata si trova tra una brocca e un vaso con kvas. Un bicchiere si trova vicino a un barattolo e un recipiente con il latte. Determina quale liquido è quale.

13. Alla festa di Capodanno, tre amiche, Anya, Vera e Dasha, partecipavano attivamente, una delle quali era la fanciulla di neve. Quando i loro amici hanno chiesto chi di loro fosse la fanciulla delle nevi, Anya ha detto loro: “Ognuno di noi darà la tua risposta alla tua domanda. Da queste risposte, devi indovinare da solo chi di noi era in realtà la fanciulla di neve. Ma sappi che Dasha dice sempre la verità". - "Va bene", risposero gli amici, "ascoltiamo le tue risposte. È persino interessante".

Anya: "Io ero la fanciulla delle nevi."

Vera: "Non ero una fanciulla delle nevi."

Dasha: "Uno di loro dice la verità e l'altro mente".

Allora, quale degli amici alla festa di Capodanno era la fanciulla di neve?

14. La scala è composta da 9 gradini. Su quale gradino devi stare in piedi per essere esattamente nel mezzo delle scale?

15. Qual è il gradino centrale di una scala a 12 gradini?

16. Anya ha detto a suo fratello: “Ho 3 anni più di te. Quanti anni avrò più di te tra 5 anni?

17. Dividi il quadrante dell'orologio in due parti con una linea retta in modo che le somme dei numeri in queste parti siano uguali.

18. Dividi il quadrante dell'orologio con due linee rette in tre parti in modo che, sommando i numeri, si ottengano le stesse quantità in ogni parte.

· Risolvi i problemi con un metodo pratico:

19. La corda è stata tagliata in 6 punti. Quante parti ha fatto?

20. C'erano 5 fratelli. Ogni fratello ha una sorella. Quante persone stavano camminando?

21. Qual è più pesante: un chilogrammo di cotone idrofilo o mezzo chilogrammo di ferro?

22. Un gallo, in piedi su una gamba, pesa 3 kg. Quanto peserà un gallo in piedi su due gambe?

· Risolvere problemi metodo di indovinare:

23. Come scrivere il numero 10 con cinque numeri identici, collegandoli con segni di azione?

24. Come scrivere il numero 10 in quattro vari numeri, collegandoli con segnali di azione?

25. Come si può scrivere il numero 5 come tre numeri identici, collegandoli con segni di azione?

26. Come si può scrivere il numero 1 come tre numeri diversi collegandoli con segni di azione?

27. Come prelevare 2 litri d'acqua dal rubinetto usando recipienti da sei litri e quattro litri?

28. Una nave da sette litri è piena d'acqua. C'è una nave da cinque litri nelle vicinanze e contiene già 4 litri d'acqua. Quanti litri d'acqua devono essere versati dal recipiente più grande a quello più piccolo per riempirlo fino in cima? Quanti litri d'acqua rimarranno nel vaso più grande dopo questo?

29. L'elefantino si è ammalato. Per il suo trattamento sono necessari esattamente 2 litri di succo d'arancia e il dottor Aibolit ha solo un barattolo di succo pieno da cinque litri e un barattolo vuoto da tre litri. Come può Aibolit misurare esattamente 2 litri di succo?

30. È successa una storia incredibile a Winnie the Pooh, Piglet e Rabbit. In precedenza, Winnie the Pooh amava il miele, Coniglio - cavolo, Maialino - ghiande. Ma una volta nella foresta incantata e affamati, hanno scoperto che i loro gusti sono cambiati, ma tutti comunque preferiscono una cosa. Il coniglio disse: "Io non mangio cavoli e ghiande". Maialino rimase in silenzio e Winnie the Pooh osservò: "Ma non mi piace il cavolo". Chi ama mangiare?

Risposte e soluzioni

1. 111000 + 11100 + 111 = 122211.

2. 10 + 100 + 1000 = 110.

4. Petya abita al 9° piano. Kolya abita al terzo piano. Ci sono 2 “voli” per il terzo piano: dal primo al secondo, dal secondo al terzo. Dal momento che Petya ha bisogno di passare 4 volte più passaggi, quindi 2 4 = 8. Quindi, Kolya deve attraversare 8 "voli" e fino al 9° piano 8 "voli".

5. 3+3+3+1=10. Il quarto giorno rimarrà solo 1 compressa.

a) 2 + 3 - 1 = 4;

b) 2 + 3 + 1 = 6;

c) 6 - 2 - 3 = 1;

d) 8 + 1 - 4 = 5;

e) 7 + 2 - 4 = 5.

a) 2 + 6 - 3 + 4 - 5 + 8 = 12;

b) 9 + 8 + 1 - 3 - 5 + 2 = 12;

c) 8 - 6 - 1 + 7 + 9 - 5 = 12;

d) 3-2-1 + 4 + 5 + 3 = 12;

e) 7 + 9 + 8 - 4 - 3 - 5 = 12.

8. Il numero 4 può essere rappresentato come la somma di due termini diversi in un modo unico: 4 - 3 + 1. C'erano più libri con le fiabe, il che significa che ce n'erano 3.

9. Metti un peso di 5 kg su un piatto della bilancia e metti i lecca lecca e un peso di 2 kg sull'altro.

	piccolo cestino

10. Mettiamo nella tabella le condizioni del problema e, ove possibile, organizziamo i pro e i contro:

scimmia

Si è scoperto che la Scimmia e il Boa Constrictor erano al primo e al quarto posto, ma poiché, in base alla condizione, il Boa Constrictor ha perso contro la Scimmia, si scopre che la Scimmia è in primo luogo, il Pappagallo è in il secondo e il Boa Constrictor è nel quarto.

11. Le condizioni che l'acqua non è in una bottiglia, il latte non è in una bottiglia, la limonata non è in un barattolo, l'acqua non è in un barattolo saranno inserite nella tabella. Dalla condizione che un vaso con limonata si trovi tra una brocca e un vaso con kvas, concludiamo che la limonata non è in una brocca e il kvas non è in una brocca. E siccome il bicchiere è vicino al vaso e al recipiente con il latte, possiamo concludere che il latte non è nel vaso e non nel bicchiere. Sistemiamo il "+", di conseguenza otteniamo che il latte è in una brocca, la limonata è in una bottiglia, il kvas è in un barattolo e l'acqua è in un bicchiere.

12. Dalla dichiarazione di Dasha, otteniamo che tra le affermazioni di Anya e Vera, una è vera e l'altra è falsa. Se l'affermazione di Vera è falsa, allora otteniamo che sia Anya che Vera erano fanciulle delle nevi, il che non può essere. Quindi, l'affermazione di Anya deve essere falsa. In questo caso, otteniamo che Anya non era una fanciulla delle nevi, e nemmeno Vera era una fanciulla delle nevi. Resta che la fanciulla di neve era Dasha.

Moltiplicando il numero 51 per un singolo numero, otteniamo di nuovo un numero a due cifre. Questo è possibile solo se moltiplicato per 1. Quindi, il secondo fattore è 11.

13. Moltiplicando il primo fattore per 2, si ottiene un numero di quattro cifre e moltiplicando per la cifra delle centinaia e la cifra delle unità si ottiene un numero di tre cifre. Concludiamo che il secondo fattore è 121. La prima cifra del primo fattore è 7 e l'ultima è 6. Otteniamo il prodotto dei numeri 746 e 121. La prima cifra del primo fattore è 7, l'ultima è 6 .

14. Al quinto gradino.

15. Una scala di 12 gradini non avrà un gradino intermedio, avrà solo un paio di gradini centrali: il sesto e il settimo. La soluzione a questo problema, così come il precedente, può essere verificata disegnando.

16. Per 3 anni.

17. Devi tracciare una linea tra i numeri 3 e 4 e tra 10 e 9.

18. 11, 12, 1, 2; 9, 10, 3, 4: 5, 6, 7, 8.

19. Riceverai 7 parti.

20. 6 persone 5 fratelli e 1 sorella.

21. Chilogrammo di cotone

22. 3 kg.

23. 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10.

24. 1 + 2 + 3 + 4 = 10

25. 5 + 5 - 5 = 5

26. 4 - 2 - 1; 4 - 1 - 2; 5 - 3 - 1; 6 - 4 - 1; 6 - 2 - 3 ecc.

27. Componi un sei litri, versa l'acqua da esso in un quattro litri, ci saranno 2 litri.

28. È necessario versare 1 litro d'acqua, mentre 6 litri rimarranno in un recipiente più grande.

29. Versare 3 litri di succo in un barattolo da tre litri, quindi rimarranno 2 litri di succo in un barattolo grande.

30. Coniglio - miele, Winnie the Pooh - ghiande, Maialino - cavolo.

...

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Il concetto di "attività non standard" è utilizzato da molti metodologi. Quindi, Yu. M. Kolyagin rivela questo concetto come segue: “Sotto non standard inteso un compito, alla presentazione del quale, gli studenti non conoscono in anticipo né il metodo per risolverlo, né su quale materiale didattico si basa la soluzione.

La definizione di problema non standard è data anche nel libro “Come imparare a risolvere i problemi” degli autori L.M. Fridman, E.N. Turco: " Compiti non standard- questi sono quelli per i quali non ci sono regole e regolamenti generali nel corso di matematica che determinano il programma esatto per la loro soluzione.

Non confondere attività non standard con attività di maggiore complessità. Le condizioni dei problemi di maggiore complessità sono tali da consentire agli studenti di selezionare abbastanza facilmente l'apparato matematico necessario per risolvere un problema in matematica. Il docente controlla il processo di consolidamento delle conoscenze fornite dal programma formativo risolvendo problemi di questo tipo. Ma un compito non standard implica la presenza di natura esplorativa. Tuttavia, se la soluzione di un problema in matematica per uno studente non è standard, poiché non ha familiarità con i metodi per risolvere problemi di questo tipo, per un altro la soluzione del problema avviene in modo standard, poiché ha già risolto tali problemi e più di uno. Lo stesso compito in matematica al 5° anno non è standard e al 6° anno è ordinario e nemmeno di maggiore complessità.

Un'analisi dei libri di testo e dei sussidi didattici in matematica mostra che ogni compito testuale in determinate condizioni può essere non standard e, in altre, ordinario, standard. Un problema standard in un corso di matematica può non essere standard in un altro corso.

Sulla base dell'analisi della teoria e della pratica dell'utilizzo di compiti non standard nell'insegnamento della matematica, è possibile stabilirne il ruolo generale e specifico. Compiti non standard:

• · insegnare ai bambini non solo ad utilizzare algoritmi già pronti, ma anche a trovare autonomamente nuovi modi per risolvere i problemi, ad es. contribuire alla capacità di trovare modi originali per risolvere i problemi;
• influenzare lo sviluppo dell'ingegno, l'ingegnosità degli studenti;
• Impediscono lo sviluppo di cliché dannosi nella risoluzione dei problemi, distruggono associazioni errate nelle conoscenze e abilità degli studenti, implicano non tanto l'assimilazione di tecniche algoritmiche, ma la scoperta di nuove connessioni nella conoscenza, il trasferimento della conoscenza a nuove condizioni e la padronanza di vari metodi di attività mentale;
• creare condizioni favorevoli per aumentare la forza e la profondità della conoscenza degli studenti, garantire l'assimilazione consapevole dei concetti matematici.

Compiti non standard:

• non dovrebbe avere algoritmi già pronti memorizzati dai bambini;
• dovrebbe essere accessibile a tutti gli studenti in termini di contenuto;
• deve essere interessante nei contenuti;
• Per risolvere problemi non standard, gli studenti dovrebbero avere una conoscenza sufficiente da loro acquisita nel programma.

Risolvere compiti non standard attiva l'attività degli studenti. Gli studenti imparano a confrontare, classificare, generalizzare, analizzare e questo contribuisce a un'assimilazione più forte e consapevole delle conoscenze.

Come ha dimostrato la pratica, i compiti non standard sono molto utili non solo per le lezioni, ma anche per le attività extracurriculari, per i compiti delle Olimpiadi, poiché questo apre l'opportunità di differenziare veramente i risultati di ciascun partecipante. Tali compiti possono essere utilizzati con successo come compiti individuali per quegli studenti che affrontano facilmente e rapidamente la parte principale del lavoro indipendente durante la lezione, o per coloro che lo desiderano come compiti aggiuntivi. Di conseguenza, gli studenti ricevono sviluppo intellettuale e preparazione per un lavoro pratico attivo.

Non esiste una classificazione generalmente accettata di compiti non standard, ma B.A. Kordemsky identifica i seguenti tipi di tali attività:

• · Compiti relativi al corso di matematica della scuola, ma di maggiore difficoltà, come i compiti delle Olimpiadi matematiche. Sono destinati principalmente agli scolari con un preciso interesse per la matematica; tematicamente, questi compiti sono solitamente associati all'una o all'altra sezione specifica del curriculum scolastico. Le esercitazioni relative a questo approfondiscono il materiale didattico, integrano e generalizzano le singole disposizioni del percorso scolastico, ampliano gli orizzonti matematici e sviluppano abilità nella risoluzione di problemi difficili.
• · Problemi del tipo di intrattenimento matematico. Non sono direttamente collegati al curriculum scolastico e, di regola, non richiedono molta preparazione matematica. Ciò non significa, tuttavia, che la seconda categoria di compiti comprenda solo esercizi facili. Qui ci sono problemi con una soluzione molto difficile e tali problemi, la cui soluzione non è stata ancora ottenuta. “I compiti non standard, presentati in modo divertente, portano un momento emotivo alle attività mentali. Non legate alla necessità di applicare regole e tecniche memorizzate per risolverle ogni volta, richiedono la mobilitazione di tutte le conoscenze accumulate, insegnare loro a cercare modi originali e non standard di risolvere, arricchire l'arte di risolvere con bei esempi, fare ammirano il potere della mente.

Questi tipi di attività includono:

una varietà di enigmi numerici ("... esempi in cui tutti o alcuni dei numeri sono sostituiti da asterischi o lettere. Le stesse lettere sostituiscono gli stessi numeri, lettere diverse - numeri diversi".) e puzzle per ingegnosità;

compiti logici, la cui soluzione non richiede calcoli, ma si basa sulla costruzione di una catena di ragionamenti esatti;

compiti, la cui soluzione si basa su una combinazione di sviluppo matematico e ingegno pratico: pesatura e trasfusioni in condizioni difficili;

il sofisma matematico è una conclusione deliberata e falsa che sembra corretta. (Il sofismo è una prova di una falsa affermazione, e l'errore nella dimostrazione è abilmente mascherato. Sofismo in greco significa un'invenzione astuta, un trucco, un enigma);

compiti scherzosi;

problemi combinatori, in cui vengono considerate varie combinazioni di dati oggetti che soddisfano determinate condizioni (B.A. Kordemsky, 1958).

Non meno interessante è la classificazione dei problemi non standard data da I.V. Egorchenko:

• compiti volti a trovare relazioni tra determinati oggetti, processi o fenomeni;
• compiti che sono irrisolvibili o irrisolvibili attraverso un corso scolastico ad un determinato livello di conoscenza degli studenti;
• Compiti che richiedono:

condurre e utilizzare analogie, determinare le differenze tra determinati oggetti, processi o fenomeni, stabilire l'opposto di determinati fenomeni e processi oi loro antipodi;

implementazione di una dimostrazione pratica, astrazione da determinate proprietà di un oggetto, processo, fenomeno o concretizzazione dell'uno o dell'altro lato di questo fenomeno;

l'instaurazione di relazioni causali tra determinati oggetti, processi o fenomeni;

costruzione di catene causali in modo analitico o sintetico con successiva analisi delle opzioni risultanti;

la corretta attuazione di una sequenza di determinate azioni, evitando errori- "trappole";

implementazione della transizione da una versione planare a una spaziale di un determinato processo, oggetto, fenomeno o viceversa (I.V. Egorchenko, 2003).

Quindi, non esiste una classificazione unificata delle attività non standard. Ce ne sono diversi, ma l'autore dell'opera ha utilizzato la classificazione proposta da I.V. Egorchenko.