Dividiamo il segmento di integrazione in un numero pari di segmenti elementari di uguale lunghezza con punti con un gradino
(
). Su ogni segmento
Approssimiamo l'integrando con un polinomio di secondo grado, che su questo segmento ha la forma
. notare che io prende solo valori dispari da 1 a
. Pertanto, l'integrando è approssimato da un insieme di polinomi quadrati o da una spline di secondo grado.

Calcoliamo un integrale arbitrario dal lato destro.

Probabilità ,e può essere trovato dalla condizione di interpolazione, cioè dalle equazioni

Nota che il punto è il punto medio del segmento
, Di conseguenza
. Sostituisci questa espressione nella seconda equazione di interpolazione:

Moltiplica questa equazione per 4 e aggiungila al resto:

L'ultima espressione coincide esattamente con l'espressione tra parentesi quadre della formula (5.1). Di conseguenza,

Che significa

Pertanto, la formula di Simpson ha la forma:

Stima dell'errore delle formule di quadratura.

Stimiamo l'errore quando si utilizza il metodo dei rettangoli medi assumendo che la funzione
infinitamente differenziabile.

Espandiamo l'integrando
in una serie di Taylor in prossimità del punto ,
.

L'ultima riga contiene solo poteri dispari X. Quindi

Con un piccolo passo h il principale contributo all'errore R contribuirà con il valore
, chiamato il termine principale dell'errore R.

Applichiamo il metodo dei rettangoli centrali alla funzione
sul segmento
passo dopo passo h. Quindi

Così,
, dove
è un valore costante. Errore nell'uguaglianza approssimativa
è una quantità infinitesima di ordine superiore rispetto a a
.

Grado di grado h, che è proporzionale al resto R, è chiamato l'ordine di precisione del metodo di integrazione. Il metodo dei rettangoli centrali ha il secondo ordine di precisione.

Stimiamo l'errore quando si utilizza il metodo del trapezio anche assumendo che la funzione
infinitamente differenziabile.

Espandiamo l'integrando in una serie di Taylor in prossimità del punto (
).

Termine di errore principale R:

Applicando il metodo della casella di sinistra a una funzione
sul segmento
passo dopo passo h, noi abbiamo

Quindi, il metodo trapezoidale ha anche il secondo ordine di precisione.

Allo stesso modo, si può dimostrare che i metodi dei rettangoli sinistro e destro hanno il primo, il metodo di Simpson, il quarto ordine di precisione.

Lezione 17

“Regola di Runge sulla valutazione pratica dell'errore.

Il concetto di algoritmi adattivi.

Casi particolari di integrazione numerica.

metodo cellulare. Calcolo di integrali multipli.»

La regola di Runge per la stima pratica dell'errore.

Lascia che qualche metodo di integrazione abbia l'ordine di precisione K, cioè
, dove - errore, UNè un coefficiente che dipende dal metodo di integrazione e dall'integrando, hè la fase di scissione. Quindi

e ad un passo

La formula derivata è chiamata prima formula di Runge. È di grande importanza pratica. Se devi calcolare l'integrale con precisione  , quindi dobbiamo calcolare i valori approssimativi dell'integrale, raddoppiando il numero dei segmenti elementari, fino a raggiungere il compimento della disuguaglianza

Quindi, trascurando le quantità infinitesime, possiamo supporre che

Se vogliamo ottenere un valore più accurato dell'integrale desiderato, allora per il valore raffinato J possiamo invece prendere
Quantità

Questa è la seconda formula di Runge. Sfortunatamente, l'errore di questo valore rivisto rimane incerto, ma di solito è un ordine di grandezza superiore all'accuratezza del metodo originale (quando il valore J accettiamo
).

Si consideri ad esempio il metodo del trapezio. Come mostrato sopra, l'ordine di precisione K questo metodo è 2.

dove
. Secondo la formula del secondo Runge

dove
è il valore approssimativo dell'integrale trovato dal metodo Simpson con un passo. Poiché l'ordine di questo metodo è 4, in questo esempio, l'applicazione della seconda formula di Runge ha aumentato l'ordine di precisione di 2.

C'è un problema su calcolo numerico un integrale definito, risolto con l'aiuto di formule dette quadrature.

Richiama le formule più semplici per l'integrazione numerica.

Calcoliamo il valore numerico approssimativo di . Dividiamo l'intervallo di integrazione [а, b] in n parti uguali dividendo i punti
, detti nodi della formula di quadratura. Lascia che i valori nei nodi siano noti
:

Valore

è chiamato intervallo di integrazione o passo. Si noti che nella pratica dei -calcoli, il numero i è scelto piccolo, di solito non è più di 10-20. Su un intervallo parziale

l'integrando è sostituito dal polinomio di interpolazione

che rappresenta approssimativamente la funzione f(x) sull'intervallo considerato.

a) Tenere solo un primo termine nel polinomio di interpolazione, quindi

La formula quadratica risultante

chiamata formula dei rettangoli.

b) Conservare i primi due termini nel polinomio di interpolazione, quindi

(2)

La formula (2) è chiamata formula trapezoidale.

c) Intervallo di integrazione
dividiamo in un numero pari di 2n parti uguali, mentre il passo di integrazione h sarà uguale a . Sull'intervallo
di lunghezza 2h, sostituiamo l'integrando con un polinomio di interpolazione di secondo grado, cioè manteniamo i primi tre termini nel polinomio:

La formula di quadratura risultante è chiamata formula di Simpson

(3)

Le formule (1), (2) e (3) hanno un semplice senso geometrico. Nella formula dei rettangoli, l'integrando f(x) sull'intervallo
è sostituito da un segmento di retta y \u003d uk, parallelo all'asse x, e nella formula trapezoidale - da un segmento di retta
e viene calcolata rispettivamente l'area di un rettangolo e di un trapezio rettilineo, che vengono poi sommati. Nella formula di Simpson, la funzione f(x) sull'intervallo
la lunghezza 2h è sostituita da un trinomio quadrato - una parabola
viene calcolata l'area di un trapezio parabolico curvilineo, quindi si sommano le aree.

CONCLUSIONE

In conclusione, vorrei sottolineare alcune caratteristiche dell'applicazione dei metodi sopra discussi. Ogni metodo per la soluzione approssimativa di un integrale definito ha i suoi vantaggi e svantaggi, a seconda del compito da svolgere, dovrebbero essere utilizzati metodi specifici.

Metodo di sostituzione delle variabiliè uno dei metodi principali per il calcolo degli integrali indefiniti. Anche quando integriamo con qualche altro metodo, dobbiamo spesso ricorrere a un cambio di variabili nei calcoli intermedi. Il successo dell'integrazione dipende in larga misura dal fatto che possiamo trovare un cambiamento così buono di variabili che semplificherebbe l'integrale dato.

In sostanza, lo studio dei metodi di integrazione si riduce a scoprire che tipo di cambiamento di variabile dovrebbe essere fatto per una forma o l'altra dell'integrando.

In questo modo, integrazione di ogni frazione razionale si riduce a integrare un polinomio e poche semplici frazioni.

L'integrale di qualsiasi funzione razionale può essere espresso in termini di funzioni elementari nella forma finale, vale a dire:

attraverso logaritmi - nei casi delle frazioni più semplici di tipo 1;

attraverso funzioni razionali - nel caso di frazioni semplici di tipo 2

attraverso logaritmi e arcotangenti - nel caso di frazioni semplici di tipo 3

attraverso funzioni razionali e arcotangenti - nel caso delle frazioni più semplici di tipo 4. La sostituzione trigonometrica universale razionalizza sempre l'integrando, ma spesso porta a frazioni razionali molto ingombranti, per le quali, in particolare, è praticamente impossibile trovare le radici del denominatore. Pertanto, se possibile, vengono utilizzate sostituzioni parziali, che razionalizzano anche l'integrando e portano a frazioni meno complesse.

Formula di Newton-Leibniz rappresenta approccio generale alla ricerca di integrali definiti.

Per quanto riguarda i metodi per il calcolo degli integrali definiti, praticamente non differiscono da tutti quei metodi e metodi.

Lo stesso vale metodi di sostituzione(cambio di variabile), il metodo di integrazione per parti, gli stessi metodi per trovare antiderivate per funzioni trigonometriche, irrazionali e trascendentali. L'unica particolarità è che nell'applicazione di queste tecniche è necessario estendere la trasformazione non solo alla funzione sub-integrale, ma anche ai limiti dell'integrazione. Quando si modifica la variabile di integrazione, ricordarsi di modificare i limiti di integrazione di conseguenza.

Bene dal teorema, la condizione di continuità della funzioneè una condizione sufficiente per l'integrabilità della funzione. Ma questo non significa questo integrale definito esiste solo per funzioni continue. La classe delle funzioni integrabili è molto più ampia. Quindi, ad esempio, esiste un integrale definito di funzioni che hanno un numero finito di punti di discontinuità.

Il calcolo di un integrale definito di una funzione continua mediante la formula di Newton-Leibniz si riduce a trovare un'antiderivata, che esiste sempre, ma non è sempre una funzione elementare o per la quale si compilano tabelle che permettano di ottenere il valore dell'integrale. In numerose applicazioni, la funzione integrabile è data in una tabella e la formula di Newton-Leibniz non è direttamente applicabile.

Se vuoi il risultato più accurato, l'ideale metodo simpson.

Da quanto sopra studiato, si può trarre la seguente conclusione che l'integrale è usato in scienze come la fisica, la geometria, la matematica e altre scienze. Con l'aiuto dell'integrale si calcola il lavoro della forza, si trovano le coordinate del centro di massa, il percorso percorso dal punto materiale. In geometria, viene utilizzato per calcolare il volume di un corpo, trovare la lunghezza di un arco di curva, ecc.

Metodo della parabola (Simpson)

L'essenza del metodo, formula, stima dell'errore.

Sia la funzione y = f(x) continua su un segmento e dobbiamo calcolare un integrale definito.

Dividi il segmento in n elementari

segmenti [;], i = 1., n di lunghezza 2*h = (b-a)/ n punti

un =< < < < = b. Пусть точки, i = 1., n являются серединами отрезков [;], i = 1., n соответственно. В этом случае все «узлы» определяются из равенства = a + i*h, i = 0,1., 2*n.

Su ciascun intervallo [;], i = 1,2., n l'integrando

è approssimata da una parabola quadratica y = a* + b*x + c passante per i punti (; f ()), (; f ()), (; f ()). Da qui il nome del metodo: il metodo delle parabole.

Questo viene fatto per prendere come valore approssimativo un certo integrale, che possiamo calcolare usando la formula di Newton-Leibniz. Questo è ciò che essenza del metodo della parabola.

Derivazione della formula di Simpson.

Per ottenere la formula per il metodo della parabola (Simpson), dobbiamo calcolare

Mostriamo che attraverso i punti (; f ()), (; f ()), (; f ()) uno solo parabola quadratica y = a* + b*x + c. In altre parole, dimostriamo che i coefficienti sono definiti l'unico modo.

Poiché (; f ()), (; f ()), (; f ()) sono punti della parabola, quindi ciascuna delle equazioni del sistema

Il sistema di equazioni scritto è un sistema lineare equazioni algebriche rispetto a variabili incognite, . Il determinante della matrice principale di questo sistema di equazioni è il determinante di Vandermonde, ed è diverso da zero per i punti non corrispondenti. Ciò indica che il sistema di equazioni ha una soluzione unica (questo è discusso nell'articolo sulla risoluzione dei sistemi di equazioni algebriche lineari), ovvero i coefficienti sono determinati in modo univoco e attraverso i punti (; f ()), (; f ( )), (; f ()) passa per un'unica parabola quadratica.

Passiamo alla ricerca dell'integrale.

Ovviamente:

f() = f(0) = + + =

f() = f(h) = + +

f() = f(2*h) = + +

Usiamo queste uguaglianze per fare l'ultima transizione nella seguente catena di uguaglianze:

= = (++) = h/3*(f()+4*f()+f())

Quindi, puoi ottenere la formula del metodo della parabola:

Un esempio del metodo di Simpson.

Calcola l'integrale approssimativo usando la formula di Simpson con lo 0,001 più vicino. La divisione inizia con due segmenti

L'integrale, tra l'altro, non viene preso.

Soluzione: Attiro immediatamente l'attenzione sul tipo di attività: è necessario calcolare un integrale definito con una certa precisione. Come per il metodo trapezoidale, esiste una formula che consentirà di determinare immediatamente il numero di segmenti richiesto per garantire la precisione richiesta. Vero, dovremo trovare la quarta derivata e risolvere il problema dell'estremo. In pratica, viene quasi sempre utilizzato un metodo semplificato per stimare l'errore.

Sto iniziando a decidere. Se abbiamo due segmenti di partizione, i nodi lo saranno uno in più: , . E la formula di Simpson assume una forma molto compatta:

Calcoliamo il passaggio della partizione:

Compiliamo la tabella di calcolo:

Nella riga in alto scriviamo il "contatore" degli indici

Nella seconda riga, scriviamo prima il limite di integrazione inferiore a = 1,2, quindi aggiungiamo successivamente il passaggio h = 0,4.

Nella terza riga inseriamo i valori dell'integrando. Ad esempio, se = 1,6, allora. Quanti decimali lasciare? In effetti, la condizione ancora una volta non dice nulla al riguardo. Il principio è lo stesso del metodo trapezoidale, osserviamo la precisione richiesta: 0,001. E aggiungi altre 2-3 cifre. Cioè, devi arrotondare per eccesso a 5-6 cifre decimali.

Di conseguenza:

Il primo risultato è stato ottenuto. Adesso Doppio numero di segmenti fino a quattro: . La formula di Simpson per questa partizione assume la forma seguente:

Calcoliamo il passaggio della partizione:

Compiliamo la tabella di calcolo:

In questo modo:

Stimiamo l'errore:

L'errore è maggiore della precisione richiesta: 0,002165 > 0,001, quindi è necessario raddoppiare nuovamente il numero di segmenti: .

La formula di Simpson diventa più grande:

Calcoliamo il passo:

Compiliamo di nuovo il foglio di calcolo:

In questo modo:

Si noti che qui è opportuno descrivere i calcoli in modo più dettagliato, poiché la formula Simpson è piuttosto ingombrante:

Stimiamo l'errore:

L'errore è inferiore alla precisione richiesta: 0,000247< 0,001. Осталось взять наиболее точное приближение, округлить его до трёх знаков после запятой и записать.

L'essenza del metodo di Simpson è l'approssimazione dell'integrando su un segmento mediante un polinomio di interpolazione di secondo grado p2(x), cioè approssimazione del grafico di una funzione su un segmento mediante una parabola. Tre punti sono usati per interpolare l'integrando.

Considera un integrale arbitrario. Usiamo il cambio di variabile in modo che i confini del segmento di integrazione diventino invece [-1,1]. Per fare ciò, introduciamo la variabile z:

Si consideri il problema dell'interpolazione dell'integrando utilizzando tre punti nodali equidistanti z = -1, z = 0, z = +1 come nodi (il passo è 1, la lunghezza del segmento di integrazione è 2). Indichiamo i valori corrispondenti dell'integrando ai nodi di interpolazione:

Il sistema di equazioni per trovare i coefficienti di un polinomio passante per tre punti (-1, f-1), (0, f0) e (1, f-+1) assume la forma:

I coefficienti si ottengono facilmente:

Calcoliamo ora il valore dell'integrale del polinomio di interpolazione:

Con un cambio di variabile inverso, torniamo all'integrale originale. Teniamo conto che:

corrisponde

Otteniamo la formula di Simpson per un intervallo di integrazione arbitrario:

Il valore risultante coincide con l'area del trapezio curvilineo delimitata dall'asse x, le rette x = x0, x = x2 e la parabola passante per i punti

Se necessario, il segmento iniziale di integrazione può essere suddiviso in N segmenti doppi, a ciascuno dei quali viene applicata la formula di Simpson. La fase di interpolazione in questo caso sarà:

Per il primo segmento di integrazione i nodi di interpolazione saranno punti a, a+h, a+2h, per il secondo a+2h, a+3h, a+4h, il terzo a+4h, a+5h, a+ 6 ore, ecc. Il valore approssimativo dell'integrale si ottiene sommando N aree:

metodo numerico di integrazione simpson

Questa somma include gli stessi termini (per i nodi interni con un valore di indice pari - 2i). Pertanto, possiamo riordinare i termini in questa somma in questo modo:

Considerando cosa otteniamo:

Stimiamo ora l'errore di integrazione con la formula di Simpson. Assumiamo che la funzione sull'intervallo abbia derivate continue. Facciamo la differenza:

Applicando successivamente il teorema del valore medio a questa differenza e differenziando R(h), otteniamo l'errore del metodo di Simpson:

L'errore del metodo diminuisce proporzionalmente alla lunghezza del passo di integrazione alla quarta potenza, cioè raddoppiando il numero di intervalli, l'errore diminuisce di un fattore 16.

Vantaggi e svantaggi

Le formule di Simpson e Newton-Cotes sono un buon strumento per calcolare l'integrale definito di una funzione che è continuamente differenziabile un numero sufficiente di volte. Quindi, a patto che la quarta derivata non sia troppo grande, il metodo di Simpson consente di ottenere una precisione abbastanza elevata. Allo stesso tempo, il suo ordine algebrico di accuratezza è 3 e la formula di Simpson è esatta per polinomi di grado al massimo tre.

Inoltre, i metodi di Newton-Cotes e, in particolare, il metodo Simpson saranno più efficaci nei casi in cui non ci sono informazioni a priori sulla levigatezza dell'integrando, ad es. quando l'integrando è dato in una tabella.

Quando si calcola un integrale definito, non sempre si ottiene una soluzione esatta. Non è sempre possibile rappresentare nella forma funzione elementare. La formula di Newton-Leibniz non è adatta per il calcolo, quindi è necessario utilizzare metodi di integrazione numerica. Questo metodo consente di ottenere dati con elevata precisione. Il metodo di Simpson è tale.

Per fare ciò, è necessario fornire una rappresentazione grafica della derivazione della formula. Segue la registrazione della stima dell'errore assoluto utilizzando il metodo Simpson. In conclusione, confronteremo tre metodi: Simpson, rettangoli, trapezi.

Metodo della parabola: essenza, formula, stima, errori, illustrazioni

Si dà una funzione della forma y = f (x), che ha continuità sull'intervallo [ a ; b ] , è necessario calcolare l'integrale definito ∫ a b f (x) d x

È necessario dividere il segmento [ a ; b ] in n segmenti della forma x 2 i - 2 ; x 2 io , io = 1 , 2 , . . . , n con lunghezza 2 h = b - a n e punti a = x 0< x 2 < x 4 < . . . < x 2 π - 2 < x 2 π = b . Тогда точки x 2 i - 1 , i = 1 , 2 , . . . , n считаются серединами отрезков x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n . Данный случай показывает, что определение узлов производится через x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

Ogni intervallo x 2 i-2; x 2 io , io = 1 , 2 , . . . , n dell'integrando è approssimato dalla parabola definita da y = a i x 2 + b i x + c i , passante per i punti di coordinate x 2 i - 2 ; f (x 2 io - 2), x 2 io - 1 ; x 2 io - 1 , x 2 io ; f (x 2 i) . Pertanto, il metodo ha un tale nome.

Queste azioni vengono eseguite per prendere l'integrale ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x come valore approssimativo ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x . Possiamo calcolare usando la formula di Newton-Leibniz. Questa è l'essenza del metodo della parabola Considera la figura seguente.

Illustrazione grafica del metodo della parabola (Simpson)

La linea rossa mostra il grafico della funzione y = f (x), la linea blu mostra l'approssimazione del grafico y = f (x) mediante parabole quadratiche.

In base alla quinta proprietà dell'integrale definito, otteniamo ∫ abf (x) dx = ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 se (x) dx ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i (aix 2 + bix + ci) dx

Per ottenere una formula utilizzando il metodo della parabola, è necessario calcolare:

∫ x 2 io - 2 x 2 io (a io x 2 + b io x + c io) d x

Sia x 2 i - 2 = 0 . Considera la figura seguente.

Rappresentiamolo attraverso punti con coordinate x 2 i - 2 ; f (x 2 io - 2), x 2 io - 1 ; x 2 io - 1 , x 2 io ; f (x 2 i) può esserci una parabola quadratica della forma y = a i x 2 + b i x + c i . In altre parole, è necessario dimostrare che i coefficienti possono essere determinati solo in modo univoco.

Abbiamo che x 2 i - 2 ; f (x 2 io - 2), x 2 io - 1 ; x 2 io - 1 , x 2 io ; f (x 2 i) sono punti della parabola, quindi ciascuna delle equazioni presentate è valida. Lo capiamo

ai (x 2 i - 2) 2 + bi x 2 i - 2 + ci = f (x 2 i - 2) ai (x 2 i - 1) 2 + bi x 2 i - 1 + ci = f ( x 2 io - 1) ai (x 2 i) 2 + bi x 2 io + ci = f (x 2 i)

Il sistema risultante viene risolto rispetto a a i , b i , c i , dove è necessario cercare il determinante di Vandermonde della matrice. Lo capiamo

(x 2 i - 2) 2 x 2 i - 2 1 x 2 i - 1) 2 x 2 i - 1 1 (x 2 i) 2 x 2 i 1 , ed è considerato diverso da zero e non coincide con i punti x 2 i - 2 , x 2 i - 1 , x 2 i . Questo è un segno che l'equazione ha una sola soluzione, quindi i coefficienti scelti a i ; b io ; c i può essere definito solo in modo univoco, quindi attraverso i punti x 2 i - 2 ; f (x 2 io - 2), x 2 io - 1 ; x 2 io - 1 , x 2 io ; f (x 2 i) può passare una sola parabola.

Si può procedere alla ricerca dell'integrale ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x .

È chiaro che

f (x 2 i - 2) = f (0) = ai 0 2 + bi 0 + ci = cif (x 2 i - 1) = f (h) = ai h 2 + bi h + cif ( x 2 i) = f (0) = 4 ai h 2 + 2 bi h + ci

Per implementare l'ultima transizione, è necessario utilizzare una disuguaglianza del modulo

∫ x 2 i - 2 x 2 i (aix 2 + bix + ci) dx = ∫ 0 2 h (aix 2 + bix + ci) dx = = aix 3 3 + bix 2 2 + cix 0 2 h = 8 aih 3 3 + 2 bih 2 + 2 cih = = h 3 8 aih 2 + 6 bih + 6 ci = h 3 fx 2 i - 2 + 4 f 2 2 i - 1 + fx 2 i

Quindi, otteniamo la formula usando il metodo della parabola:

∫ abf (x) dx ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 iaix 2 + bix + cidx = = ∑ i = 1 nh 3 (f (x 2 i - 2) + 4 f (x 2 i - 1) + f (x 2 i)) = = h 3 f (x 0) + 4 f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + 4 f (x 3) + f (x 4) + . . . + + f (x 2 n - 2) + 4 f (x 2 n - 1) + f (x 2 n) = = h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 nf (x 2 i - 1) + 2 ∑ io = 1 n - 1 f (x 2 io) + f (x 2 n)

Definizione 1

La formula per il metodo di Simpson è ∫ abf (x) dx ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 nf (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) .

La formula per stimare l'errore assoluto è δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) (b - a) 5 2880 n 4 .

Esempi di Calcolo Approssimativo di Integrali Definiti con il Metodo Parabolico

Il metodo di Simpson prevede il calcolo approssimativo di determinati integrali. Molto spesso, ci sono due tipi di problemi per i quali questo metodo è applicabile:

nel calcolo approssimativo di un integrale definito;
quando si trova un valore approssimativo con una precisione di δ n .

L'accuratezza del calcolo è influenzata dal valore di n, maggiore n, più accurati saranno i valori intermedi.

Esempio 1

Calcola l'integrale definito ∫ 0 5 x d x x 4 + 4 usando il metodo Simpson, dividendo l'intervallo di integrazione in 5 parti.

Soluzione

Per condizione è noto che a = 0 ; b=5; n = 5 , f(x) = x x 4 + 4 .

Quindi scriviamo la formula Simpson nella forma

∫ un b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

Per applicarlo completamente, è necessario calcolare il passo utilizzando la formula h = b - a 2 n, determinare i punti x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , 2 n e trova i valori dell'integrando f (x i) , i = 0 , 1 , . . . , 2n.

I calcoli intermedi devono essere arrotondati al quinto decimale. Sostituisci i valori e ottieni

h \u003d b - a 2 n \u003d 5 - 0 2 5 \u003d 0. cinque

Troviamo il valore della funzione in punti

io = 0: x io = x 0 = un + io h = 0 + 0 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 0 0 4 + 4 = 0 io = 1: x io = x 1 = a + io h = 0 + 1 0 . 5 = 0. 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 0 . cinquanta. 5 4 + 4 ≈ 0 . 12308. . . io = 10: x io = x 10 = un + io h = 0 + 10 0 . 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 5 5 4 + 4 ≈ 0 . 00795

Chiarezza e convenienza sono redatte nella tabella seguente.

io	1	2	3	4	5
x io	0 . 5	1	1 . 5	2	2 . 5
fx io	0 . 12308	0 . 2	0 . 16552	0 . 1	0 . 05806

io	6	7	8	9	10
x io	3	3 . 5	4	4 . 5	5
fx io	0 . 03529	0 . 02272	0 . 01538	0 . 01087	0 . 00795

È necessario sostituire i risultati nella formula del metodo della parabola:

∫ 0 5 xdxx 4 + 4 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 nf (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n ) = = 0 . 5 3 0 + 4 0 . 12308 + 0 . 16552 + 0 . 05806 + + 0 . 02272 + 0 . 01087 + 2 0 . 2+0. 1++0. 03529 + 0 . 01538 + 0 . 00795 ≈ ≈ 0 . 37171

Per il calcolo abbiamo scelto un integrale definito, che può essere calcolato secondo Newton-Leibniz. Noi abbiamo:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 = 1 2 ∫ 0 5 d (x 2) x 2 2 + 4 = 1 4 a r c t g x 2 2 0 5 = 1 4 a r c t g 25 2 ≈ 0 . 37274

Risposta: I risultati corrispondono fino ai centesimi.

Esempio 2

Calcolare integrale indefinito∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x usando il metodo di Simpson entro 0 , 001 .

Soluzione

A condizione, abbiamo che a \u003d 0, b \u003d π, f (x) \u003d sin 3 x 2 + 1 2, δ n ≤ 0. 001. Devi determinare il valore di n . Per questo, la formula per stimare l'errore assoluto del metodo Simpson della forma δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001

Quando troviamo il valore n , allora la disuguaglianza m a x [ a ; b ] f (4) (x) (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001 verrà eseguito. Quindi, utilizzando il metodo della parabola, l'errore nel calcolo non supererà 0. 001. L'ultima disuguaglianza prende la forma

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88

Ora dobbiamo scoprire quale valore più alto può assumere il modulo della derivata quarta.

f "(x) = sin 3 x 2 + 1 2" = 3 2 cos 3 x 2 ⇒ f "" (x) = 3 2 cos 3 x 2 " = - 9 4 sin 3 x 2 ⇒ f " "" ( x) = - 9 4 sin 3 x 2 " = - 27 8 cos 3 x 2 ⇒ f (4) (x) = - 27 8 cos 3 x 2 " = 81 16 sin 3 x 2

Il dominio di definizione f (4) (x) = 81 16 sin 3 x 2 appartiene all'intervallo - 81 16 ; 81 16 , e il segmento di integrazione stesso [ 0 ; π) ha un punto estremo, ne segue che m a x [ 0 ; π ] f (4) (x) = 81 16 .

Facciamo una sostituzione:

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88 ⇔ n 4 ≥ 81 16 π - 0 5 2 . 88 ⇔ ⇔ n 4 > 537 . 9252 ⇔ n > 4 . 8159

Abbiamo quel n- numero naturale, allora il suo valore può essere uguale a n = 5 , 6 , 7 ... prima devi prendere il valore n = 5 .

Le azioni vengono eseguite in modo simile all'esempio precedente. Devi calcolare il passo. Per questo

h \u003d b - a 2 n \u003d π - 0 2 5 \u003d π 10

Trova i nodi x i = a + i h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n , allora il valore dell'integrando sarà simile

io = 0: x io = x 0 = a + io h = 0 + 0 π 10 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = sin 3 0 2 + 1 2 = 0 . 5 io = 1: x io = x 1 = a + io h = 0 + 1 π 10 = π 10 ⇒ f (x 1) = f (π 10) = sin 3 π 10 2 + 1 2 ≈ 0. 953990. . . io = 10: x io = x 10 = a + io h = 0 + 10 π 10 = π ⇒ f (x 10) = f (π) = peccato 3 π 2 + 1 2 ≈ - 0. 5 7 π 10

4 π 5 9 π 10 π f (x i) 1 . 207107 0 . 809017 0 . 343566 - 0 . 087785 - 0 . 391007 - 0 . 5

Resta da sostituire i valori nella formula della soluzione con il metodo parabolico e ottenere

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 nf (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f ( x 2 n) \u003d \u003d π 30 0, 5 + 4 0. 953990 + 1 . 487688 + 1 . 207107 ++ 0 . 343566 - 0 . 391007 + 2 1 . 309017 + 1 . 451056 + + 0 . 809017 - 0 . 87785 - 0 . 5 = = 2. 237650

Il metodo di Simpson ci permette di ottenere un valore approssimativo dell'integrale definito ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237 entro 0,001 .

Quando calcoliamo con la formula di Newton-Leibniz, otteniamo come risultato

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 dx = - 2 3 cos 3 x 2 + 1 2 x 0 π = = - 3 2 cos 3 π 2 + π 2 - - 2 3 cos 0 + 1 2 0 = π 2 + 2 3 ≈ 2 . 237463

Risposta:∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237

Commento

Nella maggior parte dei casi, trovando m a x [ a ; b ] f (4) (x) è problematico. Pertanto, viene utilizzata un'alternativa: il metodo delle parabole. Il suo principio è spiegato in dettaglio nella sezione sul metodo trapezoidale. Il metodo della parabola è considerato il metodo preferito per risolvere l'integrale. L'errore di calcolo influisce sul risultato n . Minore è il suo valore, più accurato sarà il numero approssimativo desiderato.

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