Definizione 1

L'antiderivata $F(x)$ per la funzione $y=f(x)$ sul segmento $$ è una funzione differenziabile in ogni punto di questo segmento e per la sua derivata vale la seguente uguaglianza:

Definizione 2

L'insieme di tutte le antiderivate di una data funzione $y=f(x)$ definita su un segmento è chiamato integrale indefinito della data funzione $y=f(x)$. L'integrale indefinito è indicato dal simbolo $\int f(x)dx $.

Dalla tabella delle derivate e dalla Definizione 2, otteniamo una tabella degli integrali di base.

Esempio 1

Verificare la validità della formula 7 dalla tabella degli integrali:

\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=cost.\]

Differenziamo il lato destro: $-\ln |\cos x|+C$.

\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Esempio 2

Verificare la validità della formula 8 dalla tabella degli integrali:

\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=cost.\]

Differenzia il lato destro: $\ln |\sin x|+C$.

\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]

La derivata risulta essere uguale all'integrando. Pertanto, la formula è corretta.

Esempio 3

Verificare la validità della formula 11" dalla tabella degli integrali:

\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]

Differenzia il lato destro: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.

\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]

La derivata risulta essere uguale all'integrando. Pertanto, la formula è corretta.

Esempio 4

Verificare la validità della formula 12 dalla tabella degli integrali:

\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+ C,\, \, C=cost.\]

Differenzia il lato destro: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.

$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $La derivata è uguale all'integrando. Pertanto, la formula è corretta.

Esempio 5

Verificare la validità della formula 13" dalla tabella degli integrali:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=cost.\]

Differenzia il lato destro: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.

\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]

La derivata risulta essere uguale all'integrando. Pertanto, la formula è corretta.

Esempio 6

Verificare la validità della formula 14 dalla tabella degli integrali:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C,\, \, C=cost.\]

Differenzia il lato destro: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.

\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]

La derivata risulta essere uguale all'integrando. Pertanto, la formula è corretta.

Esempio 7

Trova l'integrale:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]

Usiamo il teorema integrale della somma:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]

Usiamo il teorema sull'estrazione del fattore costante dal segno di integrale:

\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]

Secondo la tabella degli integrali:

\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]

Quando calcoliamo il primo integrale, utilizziamo la regola 3:

\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]

Quindi,

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]

Integrali principali che ogni studente dovrebbe conoscere

Gli integrali elencati sono la base, la base dei fondamenti. Queste formule, ovviamente, dovrebbero essere ricordate. Quando calcoli integrali più complessi, dovrai usarli costantemente.

Prestare particolare attenzione alle formule (5), (7), (9), (12), (13), (17) e (19). Non dimenticare di aggiungere una costante C arbitraria alla risposta durante l'integrazione!

Integrale di una costante

∫ UN d x = UN x + C (1)

Integrazione della funzione di alimentazione

In effetti, ci si potrebbe limitare alle formule (5) e (7), ma il resto degli integrali di questo gruppo sono così comuni che vale la pena prestare loro un po' di attenzione.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = log | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Integrali della funzione esponenziale e delle funzioni iperboliche

Naturalmente, la formula (8) (forse la più comoda da ricordare) può essere considerata un caso speciale della formula (9). Le formule (10) e (11) per gli integrali del seno iperbolico e del coseno iperbolico sono facilmente derivate dalla formula (8), ma è meglio ricordare solo queste relazioni.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Integrali di base delle funzioni trigonometriche

Un errore che spesso gli studenti fanno: confondono i segni nelle formule (12) e (13). Ricordando che la derivata del seno è uguale al coseno, per qualche ragione molte persone credono che l'integrale della funzione sinx sia uguale a cosx. Questo non è vero! L'integrale di seno è "meno coseno", ma l'integrale di cosx è "solo seno":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 peccato 2 x d x = − c t g x + C (15)

Integrali che si riducono a funzioni trigonometriche inverse

La formula (16), che porta all'arcotangente, è naturalmente un caso speciale della formula (17) per a=1. Allo stesso modo, (18) è un caso speciale di (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = un r c t g x + C = - un r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Integrali più complessi

Queste formule sono anche desiderabili da ricordare. Sono anche usati abbastanza spesso e il loro output è piuttosto noioso.

∫ 1 x 2 + un 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − un 2 d x = ln | x + x 2 − un 2 | +C(21)
∫ un 2 − x 2 d x = x 2 un 2 − x 2 + un 2 2 arcsin x un + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + un 2 d x = x 2 x 2 + un 2 + un 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − un 2 d x = x 2 x 2 − un 2 − un 2 2 ln | x + x 2 − un 2 | + C (a > 0) (24)

Regole generali di integrazione

1) L'integrale della somma di due funzioni è uguale alla somma degli integrali corrispondenti: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Integrale della differenza di due funzioni è uguale alla differenza integrali corrispondenti: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) La costante può essere detratta dal segno di integrale: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

È facile vedere che la proprietà (26) è semplicemente una combinazione di proprietà (25) e (27).

4) Integrale di funzione complessa, Se funzione interioreè lineare: ∫ f (LA x + B) d x = 1 A F (LA x + B) + C (LA ≠ 0) (28)

Qui F(x) è l'antiderivata per la funzione f(x). Nota che questa formula funziona solo quando la funzione interna è Ax + B.

Importante: non esiste una formula universale per l'integrale del prodotto di due funzioni, così come per l'integrale di una frazione:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (trenta)

Ciò non significa, ovviamente, che una frazione o un prodotto non possa essere integrato. È solo che ogni volta che vedi un integrale come (30), devi inventare un modo per "combattere" con esso. In alcuni casi, l'integrazione per parti ti aiuterà, da qualche parte dovrai apportare un cambio di variabile e talvolta anche formule "scolastiche" di algebra o trigonometria possono aiutare.

Un semplice esempio per calcolare l'integrale indefinito

Esempio 1. Trova l'integrale: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Usiamo le formule (25) e (26) (l'integrale della somma o differenza delle funzioni è uguale alla somma o differenza degli integrali corrispondenti. Otteniamo: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 dx

Ricordiamo che la costante può essere estratta dal segno di integrale (formula (27)). L'espressione viene convertita nel form

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ peccato x d x − 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Ora usiamo solo la tabella degli integrali di base. Dovremo applicare le formule (3), (12), (8) e (1). Integriamo funzione di potenza, seno, esponente e costante 1. Non dimenticare di aggiungere una costante arbitraria C alla fine:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

Dopo trasformazioni elementari otteniamo la risposta finale:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Mettiti alla prova con la differenziazione: prendi la derivata della funzione risultante e assicurati che sia uguale all'integrando originale.

Tabella riassuntiva degli integrali

∫ UN d x = UN x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = log | x | +C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 peccato 2 x d x = - c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = un r c t g x + C = - un r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + un 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C

∫ 1 x 2 − un 2 d x = ln | x + x 2 − un 2 | +C

∫ un 2 − x 2 d x = x 2 un 2 − x 2 + un 2 2 arcsin x un + C (a > 0)

∫ x 2 + un 2 d x = x 2 x 2 + un 2 + un 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − un 2 d x = x 2 x 2 − un 2 − un 2 2 ln | x + x 2 − un 2 | + C (a > 0)

Scarica la tabella degli integrali (parte II) da questo link

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L'integrazione è una delle operazioni di base nell'analisi matematica. Le tabelle di antiderivate note possono essere utili, ma ora, dopo l'avvento dei sistemi di computer algebra, stanno perdendo il loro significato. Di seguito è riportato un elenco degli antiderivati ​​più comuni.

Tabella degli integrali di base

Un'altra versione compatta

Tabella degli integrali da funzioni trigonometriche

Dalle funzioni razionali

Dalle funzioni irrazionali

Integrali di funzioni trascendentali

"C" è una costante di integrazione arbitraria, che viene determinata se il valore dell'integrale a un certo punto è noto. Ogni funzione ha un numero infinito di antiderivate.

La maggior parte degli scolari e degli studenti ha problemi con il calcolo degli integrali. Questa pagina contiene tabelle di integrali da funzioni trigonometriche, razionali, irrazionali e trascendentali che aiuteranno nella risoluzione. Anche la tabella dei derivati ​​ti aiuterà.

Video: come trovare gli integrali

Se non sei completamente chiaro su questo argomento, guarda il video, che spiega tutto in dettaglio.

Risolvere integrali è un compito facile, ma solo per l'élite. Questo articolo è per coloro che vogliono imparare a capire gli integrali, ma ne sanno poco o nulla. Integrale... Perché è necessario? Come calcolarlo? Cosa sono gli integrali definiti e indefiniti?

Se l'unico uso dell'integrale che conosci è ottenere qualcosa di utile da luoghi difficili da raggiungere con un gancio a forma di icona integrale, allora benvenuto! Scopri come risolvere integrali semplici e di altro tipo e perché non puoi farne a meno in matematica.

Studiamo il concetto « integrante »

L'integrazione era nota nell'antico Egitto. Certo, non in una forma moderna, ma comunque. Da allora, i matematici hanno scritto moltissimi libri sull'argomento. Particolarmente distinto Newton e Leibniz ma l'essenza delle cose non è cambiata.

Come capire gli integrali da zero? Non c'è modo! Per comprendere questo argomento, avrai comunque bisogno di una conoscenza di base delle basi. analisi matematica. Le informazioni su , che sono anche necessarie per comprendere gli integrali, sono già nel nostro blog.

Integrale indefinito

Diamo qualche funzione f(x) .

L'integrale indefinito della funzione f(x) viene chiamata tale funzione F(x) , la cui derivata è uguale alla funzione f(x) .

In altre parole, un integrale è una derivata o antiderivativa inversa. A proposito, su come leggere nel nostro articolo.

Il primitivo esiste per tutti funzioni continue. Inoltre, all'antiderivata viene spesso aggiunto un segno costante, poiché le derivate di funzioni che differiscono di una costante coincidono. Il processo per trovare un integrale è chiamato integrazione.

Esempio semplice:

Per non calcolare costantemente le primitive funzioni elementari, è conveniente riassumerli in una tabella e utilizzare valori già pronti.

Tabella completa degli integrali per gli studenti

Integrale definito

Quando si tratta del concetto di integrale, si tratta di quantità infinitesime. L'integrale aiuterà a calcolare l'area della figura, la massa di un corpo disomogeneo attraversato movimento irregolare percorso e altro ancora. Va ricordato che l'integrale è la somma di infinito un largo numero termini infinitesimi.

Ad esempio, immagina un grafico di una funzione.

Come trovare l'area di una figura delimitata da un grafico di una funzione? Con l'aiuto di un integrale! Rompiamo il trapezio curvilineo, delimitato dagli assi delle coordinate e dal grafico della funzione, in segmenti infinitesimi. Pertanto, la figura sarà divisa in colonne sottili. La somma delle aree delle colonne sarà l'area del trapezio. Ma ricorda che un tale calcolo darà un risultato approssimativo. Tuttavia, più piccoli e stretti sono i segmenti, più accurato sarà il calcolo. Se li riduciamo a tal punto che la lunghezza tende a zero, la somma delle aree dei segmenti tenderà all'area della figura. Questo è l'integrale definito, che si scrive come segue:

I punti aeb sono detti limiti di integrazione.

« Integrante »

A proposito! Per i nostri lettori c'è ora uno sconto del 10%.

Regole per il calcolo degli integrali per i manichini

Proprietà dell'integrale indefinito

Come risolvere un integrale indefinito? Qui considereremo le proprietà dell'integrale indefinito, che saranno utili nella risoluzione di esempi.

• La derivata dell'integrale è uguale all'integrando:

• La costante può essere estratta da sotto il segno di integrale:

• L'integrale della somma è uguale alla somma degli integrali. Vale anche per la differenza:

Proprietà dell'integrale definito

• Linearità:

• Il segno dell'integrale cambia se i limiti di integrazione sono invertiti:

• In qualunque punti un, b e insieme a:

Abbiamo già scoperto che l'integrale definito è il limite della somma. Ma come ottenere un valore specifico quando si risolve un esempio? Per questo esiste la formula di Newton-Leibniz:

Esempi di risoluzione di integrali

Di seguito consideriamo l'integrale indefinito e gli esempi con soluzioni. Ti offriamo di comprendere in modo indipendente le complessità della soluzione e, se qualcosa non è chiaro, fai domande nei commenti.

Per consolidare il materiale, guarda un video su come vengono risolti in pratica gli integrali. Non disperare se l'integrale non è dato subito. Contatta un servizio studentesco professionale e qualsiasi triplo o integrale curvilineo su una superficie chiusa sarà in tuo potere.

Funzione antiderivativa e integrale indefinito

Fatto 1. L'integrazione è l'opposto della differenziazione, vale a dire, il ripristino di una funzione dalla derivata nota di questa funzione. La funzione ripristinata in questo modo F(X) è chiamato primitivo per funzione f(X).

Definizione 1. Funzione F(X f(X) su un certo intervallo X, se per tutti i valori X da questo intervallo l'uguaglianza F "(X)=f(X), cioè data funzione f(X) è la derivata della funzione antiderivativa F(X). .

Ad esempio, la funzione F(X) = peccato X è l'antiderivata della funzione f(X) = cos X sull'intera riga dei numeri, poiché per qualsiasi valore di x (peccato X)" = (cos X) .

Definizione 2. Integrale indefinito di una funzione f(X) è la raccolta di tutti i suoi antiderivati. Questo usa la notazione

∫

f(X)dx

,

dov'è il segno ∫ è chiamato segno di integrale, la funzione f(X) è un integrando, e f(X)dx è l'integrando.

Quindi, se F(X) è un antiderivato per f(X) , poi

∫

f(X)dx = F(X) +C

dove C - costante arbitraria (costante).

Per comprendere il significato dell'insieme delle antiderivate di una funzione come integrale indefinito, è appropriata la seguente analogia. Lascia che ci sia una porta (una tradizionale porta di legno). La sua funzione è "essere una porta". Di cosa è fatta la porta? Da un albero. Ciò significa che l'insieme delle antiderivate dell'integrando "essere una porta", cioè il suo integrale indefinito, è la funzione "essere un albero + C", dove C è una costante, che in questo contesto può denotare, per esempio, una specie di albero. Così come una porta è fatta di legno con alcuni utensili, il derivato di una funzione è "fatto" della funzione antiderivativa con formula che abbiamo appreso studiando la derivata .

Quindi la tabella delle funzioni degli oggetti comuni e delle loro corrispondenti primitive ("essere una porta" - "essere un albero", "essere un cucchiaio" - "essere un metallo", ecc.) è simile alla tabella di integrali indefiniti di base, che verranno riportati di seguito. La tabella degli integrali indefiniti elenca le funzioni comuni, indicando le antiderivate da cui queste funzioni sono "fatte". Come parte dei compiti per trovare l'integrale indefinito, sono dati tali integrandi che possono essere integrati direttamente senza particolari sforzi, cioè secondo la tabella degli integrali indefiniti. In problemi più complessi, l'integrando deve prima essere trasformato in modo da poter utilizzare gli integrali tabulari.

Fatto 2. Ripristinando una funzione come antiderivata, dobbiamo prendere in considerazione una costante arbitraria (costante) C e per non scrivere un elenco di antiderivate con costanti diverse da 1 a infinito, è necessario annotare un insieme di antiderivate con una costante arbitraria C, in questo modo: 5 X³+C. Quindi, una costante arbitraria (costante) è inclusa nell'espressione dell'antiderivativa, poiché l'antiderivativa può essere una funzione, ad esempio 5 X³+4 o 5 X³+3 e quando si differenzia 4 o 3 o qualsiasi altra costante svanisce.

Poniamo il problema di integrazione: per una data funzione f(X) trovare una tale funzione F(X), il cui derivatoè uguale a f(X).

Esempio 1 Trova l'insieme delle antiderivate di una funzione

Decisione. Per questa funzione, l'antiderivata è la funzione

Funzione F(X) è chiamata antiderivata per la funzione f(X) se la derivata F(X) è uguale a f(X), o, che è la stessa cosa, il differenziale F(X) è uguale a f(X) dx, cioè.

(2)

Pertanto, la funzione è antiderivata per la funzione . Tuttavia, non è l'unico antiderivato per . Sono anche funzioni

dove Insieme aè una costante arbitraria. Questo può essere verificato per differenziazione.

Quindi, se esiste un'antiderivativa per una funzione, allora per essa esiste un insieme infinito di antiderivate che differiscono per una somma costante. Tutte le antiderivate per una funzione sono scritte nella forma precedente. Ciò segue dal seguente teorema.

Teorema (affermazione formale del fatto 2). Se un F(X) è l'antiderivata della funzione f(X) su un certo intervallo X, quindi qualsiasi altro antiderivato per f(X) sullo stesso intervallo può essere rappresentato come F(X) + C, dove Insieme aè una costante arbitraria.

Nell'esempio seguente, passiamo già alla tabella degli integrali, che sarà data nel paragrafo 3, dopo le proprietà dell'integrale indefinito. Lo facciamo prima di familiarizzare con l'intera tabella, in modo che l'essenza di quanto sopra sia chiara. E dopo la tabella e le proprietà, le useremo nella loro interezza durante l'integrazione.

Esempio 2 Trova insiemi di antiderivate:

Decisione. Troviamo insiemi di funzioni antiderivate da cui queste funzioni sono "fatte". Quando menzioniamo le formule dalla tabella degli integrali, per ora, accetta solo che ci siano tali formule e studieremo la tabella degli integrali indefiniti per intero un po' più avanti.

1) Applicazione della formula (7) dalla tabella degli integrali per n= 3, otteniamo

2) Utilizzando la formula (10) dalla tabella degli integrali per n= 1/3, abbiamo

3) Dal momento che

quindi secondo la formula (7) a n= -1/4 trova

Sotto il segno di integrale non scrivono la funzione stessa f, e il suo prodotto per il differenziale dx. Questo viene fatto principalmente per indicare quale variabile viene ricercata l'antiderivata. Per esempio,

, ;

qui in entrambi i casi l'integrando è uguale a , ma i suoi integrali indefiniti nei casi considerati risultano diversi. Nel primo caso, questa funzione è considerata come una funzione di una variabile X, e nel secondo - in funzione di z .

Il processo per trovare l'integrale indefinito di una funzione è chiamato integrazione di quella funzione.

Il significato geometrico dell'integrale indefinito

Sia richiesto di trovare una curva y=F(x) e sappiamo già che la tangente della pendenza della tangente in ciascuno dei suoi punti è data funzione f(x) ascissa di questo punto.

Secondo senso geometrico derivata, tangente della pendenza della tangente in un dato punto della curva y=F(x) uguale al valore della derivata F"(x). Quindi, dobbiamo trovare una tale funzione F(x), per cui F"(x)=f(x). Funzione richiesta nell'attività F(x)è derivato da f(x). La condizione del problema è soddisfatta non da una curva, ma da una famiglia di curve. y=F(x)- una di queste curve, e da essa si può ricavare qualsiasi altra curva trasferimento parallelo lungo l'asse Ehi.

Chiamiamo il grafico della funzione antiderivativa di f(x) curva integrale. Se un F"(x)=f(x), quindi il grafico della funzione y=F(x)è una curva integrale.

Fatto 3. L'integrale indefinito è geometricamente rappresentato dalla famiglia di tutte le curve integrali come nella foto qui sotto. La distanza di ciascuna curva dall'origine è determinata da una costante arbitraria (costante) di integrazione C.

Proprietà dell'integrale indefinito

Fatto 4. Teorema 1. La derivata di un integrale indefinito è uguale all'integrando e il suo differenziale è uguale all'integrando.

Fatto 5. Teorema 2. L'integrale indefinito del differenziale di una funzione f(X) è uguale alla funzione f(X) fino a un termine costante , cioè.

(3)

I teoremi 1 e 2 mostrano che differenziazione e integrazione sono operazioni reciprocamente inverse.

Fatto 6. Teorema 3. Il fattore costante nell'integrando può essere dedotto dal segno dell'integrale indefinito , cioè.