È noto da un corso di matematica scolastica che un vettore su un piano è un segmento diretto. Il suo inizio e la sua fine hanno due coordinate. Le coordinate vettoriali vengono calcolate sottraendo le coordinate iniziali dalle coordinate finali.
Il concetto di vettore può essere esteso anche a uno spazio n-dimensionale (invece di due coordinate ci saranno n coordinate).
Pendenza grad z della funzione z = f(х 1 , х 2 , …х n) è il vettore delle derivate parziali della funzione nel punto, cioè vettore con coordinate.
Si può dimostrare che il gradiente di una funzione caratterizza la direzione della crescita più rapida del livello della funzione in un punto.
Ad esempio, per la funzione z \u003d 2x 1 + x 2 (vedi Figura 5.8), il gradiente in qualsiasi punto avrà coordinate (2; 1). Puoi costruirlo su un aereo diversi modi, prendendo qualsiasi punto come inizio del vettore. Ad esempio, puoi collegare il punto (0; 0) al punto (2; 1) o il punto (1; 0) al punto (3; 1) o il punto (0; 3) al punto (2; 4), o t .P. (vedi figura 5.8). Tutti i vettori costruiti in questo modo avranno coordinate (2 - 0; 1 - 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).
La Figura 5.8 mostra chiaramente che il livello della funzione cresce nella direzione del gradiente, poiché le linee di livello costruite corrispondono ai valori di livello 4 > 3 > 2.
Figura 5.8 - Funzione gradiente z \u003d 2x 1 + x 2
Considera un altro esempio: la funzione z = 1/(x 1 x 2). Il gradiente di questa funzione non sarà più sempre lo stesso in punti diversi, poiché le sue coordinate sono determinate dalle formule (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)).
La Figura 5.9 mostra le linee di livello della funzione z = 1 / (x 1 x 2) per i livelli 2 e 10 (la linea retta 1 / (x 1 x 2) = 2 è indicata da una linea tratteggiata e la linea retta
1 / (x 1 x 2) \u003d 10 - linea continua).
Figura 5.9 - Gradienti della funzione z \u003d 1 / (x 1 x 2) in vari punti
Prendi, ad esempio, il punto (0,5; 1) e calcola il gradiente a questo punto: (-1 / (0,5 2 * 1); -1 / (0,5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . Si noti che il punto (0,5; 1) si trova sulla linea di livello 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, perché z \u003d f (0,5; 1) \u003d 1 / (0,5 * 1) \u003d 2. A rappresentiamo il vettore (-4; -2) in Figura 5.9, colleghiamo il punto (0.5; 1) con il punto (-3.5; -1), perché
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).
Prendiamo un altro punto sulla stessa linea di livello, ad esempio punto (1; 0.5) (z = f(1; 0.5) = 1/(0.5*1) = 2). Calcola il gradiente a questo punto
(-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Per rappresentarlo nella Figura 5.9, colleghiamo il punto (1; 0.5) con il punto (-1; -3.5), perché (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - 4).
Prendiamo un altro punto sulla stessa linea di livello, ma solo ora in un quarto di coordinate non positivo. Ad esempio, punto (-0,5; -1) (z = f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Il gradiente a questo punto sarà
(-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Rappresentiamolo in Figura 5.9 collegando il punto (-0.5; -1) con il punto (3.5; 1), perché (3.5 - (-0.5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).
Lezione 15
Il gradiente di una funzione di due variabili e la derivata direzionale.
Definizione. Gradiente di funzione
chiamato vettore
.
Come si può notare dalla definizione del gradiente della funzione, le componenti del vettore gradiente sono le derivate parziali della funzione.
Esempio. Calcola gradiente di funzione
al punto A(2,3).
Soluzione. Calcoliamo le derivate parziali della funzione.
In generale, il gradiente della funzione ha la forma:
=
Sostituisci le coordinate del punto A(2,3) nelle espressioni delle derivate parziali
Il gradiente di funzione nel punto A(2,3) ha la forma:
Allo stesso modo, possiamo definire il concetto di gradiente di una funzione di tre variabili:
Definizione. Funzione gradiente di tre variabili
chiamato vettore
Altrimenti, questo vettore può essere scritto come segue:
Definizione derivata di direzione.
Sia data una funzione di due variabili
e un vettore arbitrario
Consideriamo l'incremento di questa funzione dato vettore
Quelli. il vettore è collineare rispetto al vettore. Lunghezza dell'incremento dell'argomento
La derivata in una certa direzione è il limite del rapporto tra l'incremento di una funzione lungo una data direzione e la lunghezza dell'incremento dell'argomento, quando la lunghezza dell'incremento dell'argomento tende a 0.
Formula derivata direzionale.
In base alla definizione del gradiente, la derivata di una funzione rispetto alla direzione può essere calcolata come segue.
qualche vettore. Un vettore con la stessa direzione ma separare chiamiamo la lunghezza
Le coordinate di questo vettore sono calcolate come segue:
Dalla definizione della derivata direzionale, la derivata direzionale può essere calcolata utilizzando la seguente formula:
Il lato destro di questa formula è il prodotto scalare di due vettori
Pertanto, la derivata direzionale può essere rappresentata come la seguente formula:
Diverse importanti proprietà del vettore gradiente derivano da questa formula.
La prima proprietà del gradiente deriva dal fatto ovvio che prende il prodotto scalare di due vettori valore più alto quando i vettori sono nella stessa direzione. La seconda proprietà deriva dal fatto che il prodotto scalare dei vettori perpendicolari è uguale a zero. Inoltre, il significato geometrico del gradiente deriva dalla prima proprietà: il gradiente è un vettore, lungo la direzione, di cui la derivata lungo la direzione è la più grande. Poiché la derivata direzionale determina la tangente della pendenza della tangente alla superficie della funzione, il gradiente è diretto lungo la pendenza maggiore della tangente.
Esempio 2 Per una funzione (dall'esempio 1)
Calcola la derivata direzionale
al punto A(2,3).
Soluzione. Per calcolare la derivata direzionale, è necessario calcolare il vettore del gradiente nel punto specificato e vettore unitario direzioni (cioè normalizza il vettore).
Il vettore del gradiente è stato calcolato nell'esempio 1:
Calcola il vettore di direzione dell'unità:
Calcoliamo la derivata nella direzione:
#2. Massimo e minimo di una funzione di più variabili.
Definizione. Funzione
Ha un massimo in un punto (cioè in e ) se
Definizione. Esattamente allo stesso modo, diciamo che la funzione
Ha un minimo in un punto (cioè in e ) se
per tutti i punti sufficientemente vicini al punto e distinti da esso.
Il massimo e il minimo di una funzione sono detti estremi della funzione, cioè dicono che la funzione ha un estremo in un dato punto se questa funzione ha un massimo o un minimo in un dato punto.
Ad esempio, la funzione
Ha un minimo ovvio z = -1 a x = 1 e y = 2.
Ha un massimo in un punto in x = 0 e y = 0.
Teorema.(condizioni estreme necessarie).
Se la funzione raggiunge un estremo in , , allora ogni derivata parziale del primo ordine di z svanisce a questi valori degli argomenti o non esiste.
Commento. Questo teorema non è sufficiente per studiare la questione dei valori estremi di una funzione. È possibile fornire esempi di funzioni che hanno derivate parziali zero in alcuni punti, ma non hanno un estremo in questi punti.
Esempio. Una funzione che ha zero derivate parziali ma nessun estremo.
Infatti:
Condizioni sufficienti per un estremo.
Teorema. Sia in qualche area contenente il punto , la funzione ha derivate parziali continue fino al terzo ordine compreso; sia, inoltre, il punto un punto critico della funzione , cioè
Poi a,
Esempio 3.2. Esaminare la funzione al massimo e al minimo
Troviamo i punti critici, es. punti in cui le prime derivate parziali sono uguali a zero o non esistono.
Innanzitutto, calcoliamo le derivate parziali stesse.
Uguagliamo le derivate parziali a zero e risolviamo il seguente sistema di equazioni lineari
Moltiplica la seconda equazione per 2 e aggiungila alla prima. Ottieni un'equazione solo da y.
Trova e sostituisci nella prima equazione
Trasformiamo
Pertanto, il punto () è critico.
Calcoliamo le derivate seconde del secondo ordine e sostituiamo in esse le coordinate del punto critico.
Nel nostro caso non è necessario sostituire i valori dei punti critici, poiché le derivate seconde sono numeri.
Di conseguenza abbiamo:
Pertanto, il punto critico trovato è il punto estremo. Inoltre, poiché
allora questo è il punto minimo.
Definizione 1
Se per ogni coppia $(x,y)$ di valori di due variabili indipendenti di qualche dominio, certo valore$z$, allora si dice che $z$ è una funzione di due variabili $(x,y)$. Notazione: $z=f(x,y)$.
Si consideri la funzione $z=f(x,y)$, che è definita in alcuni domini nello spazio $Oxy$.
Di conseguenza,
Definizione 3
Se per ogni tripla $(x,y,z)$ di valori di tre variabili indipendenti di qualche dominio viene assegnato un certo valore $w$, allora $w$ si dice funzione di tre variabili $(x, y,z)$ in quest'area.
Designazione:$w=f(x,y,z)$.
Si consideri la funzione $w=f(x,y,z)$, che è definita in alcuni domini nello spazio $Oxyz$.
Per data funzione definire un vettore per il quale le proiezioni sugli assi delle coordinate sono i valori delle derivate parziali della funzione data ad un certo punto $\frac(\partial z)(\partial x) ;\frac(\partial z)(\ parziale y) $.
Definizione 4
Il gradiente di una data funzione $w=f(x,y,z)$ è un vettore $\overrightarrow(gradw) $ della forma seguente:
Teorema 3
Sia definito un campo gradiente in un campo scalare $w=f(x,y,z)$
\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\parziale w)(\parziale x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\parziale w)(\parziale y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\parziale w)(\parziale z) \cdot \overrightarrow(k) .\]
La derivata $\frac(\partial w)(\partial s) $ nella direzione del vettore dato $\overrightarrow(s) $ è uguale alla proiezione del vettore gradiente $\overrightarrow(gradw) $ sul vettore dato $\freccia(e) superiore(e) $.
Esempio 4
Soluzione:
L'espressione per il gradiente è trovata dalla formula
\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\parziale w)(\parziale x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\parziale w)(\parziale y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\parziale w)(\parziale z) \cdot \overrightarrow(k) .\]
\[\frac(\parziale w)(\parziale x) =2x;\frac(\parziale w)(\parziale y) =4y;\frac(\parziale w)(\parziale z) =2.\]
Di conseguenza,
\[\overrightarrow(gradw) =2x\cdot \overrightarrow(i) +4y\cdot \overrightarrow(j) +2\cdot \overrightarrow(k) .\]
Esempio 5
Determina il gradiente di una data funzione
nel punto $M(1;2;1)$. Calcola $\left(|\overrightarrow(gradz) |\right)_(M) $.
Soluzione:
L'espressione per il gradiente in un dato punto è trovata dalla formula
\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =\left(\frac(\parziale w)(\parziale x) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(i) +\left (\frac(\w parziale)(\y parziale) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(j) +\left(\frac(\w parziale)(\z parziale) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(k) .\]
Le derivate parziali hanno la forma:
\[\frac(\parziale w)(\parziale x) =2x;\frac(\parziale w)(\parziale y) =4y;\frac(\parziale w)(\parziale z) =6z^(2) .\]
Derivati al punto $M(1;2)$:
\[\frac(\w parziale)(\x parziale) =2\cdot 1=2;\frac(\w parziale)(\y parziale) =4\cdot 2=8;\frac(\w parziale)( \z parziale) =6\cpunto 1^(2) =6.\]
Di conseguenza,
\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =2\cdot \overrightarrow(i) +8\cdot \overrightarrow(j) +6\cdot \overrightarrow(k) \]
\[\left(|\overrightarrow(gradw) |\right)_(M) =\sqrt(2^(2) +8^(2) +6^(2) ) =\sqrt(4+64+36 ) =\sqrt(104) .\]
Elenchiamo alcuni proprietà del gradiente:
La derivata di una data funzione in un dato punto nella direzione di qualche vettore $\overrightarrow(s)$ ha il valore maggiore se la direzione del dato vettore $\overrightarrow(s)$ coincide con la direzione del gradiente. In questo caso, questo valore massimo della derivata coincide con la lunghezza del vettore gradiente, cioè $|\overrightarrow(gradw) |$.
La derivata della funzione data rispetto alla direzione del vettore che è perpendicolare al vettore gradiente, cioè $\overrightarrow(gradw) $ è uguale a 0. Poiché $\varphi =\frac(\pi )(2) $, allora $\cos \varphi =0$; quindi $\frac(\parziale w)(\parziale s) =|\overrightarrow(gradw) |\cdot \cos \varphi =0$.
Gradiente di funzione in un punto si dice vettore le cui coordinate sono uguali alle corrispondenti derivate parziali e si denota.
Se consideriamo il vettore unitario e=(), allora secondo la formula (3), la derivata in direzione è il prodotto scalare del gradiente per il vettore unitario che specifica la direzione. È noto che il prodotto scalare di due vettori è massimo se hanno la stessa direzione. Pertanto, il gradiente della funzione in un dato punto caratterizza la direzione e l'entità della massima crescita della funzione in questo punto.
Teorema . Se la funzione è derivabile e nel punto M 0 Se il valore del gradiente è diverso da zero, il gradiente è perpendicolare alla linea di livello che lo attraversa dato punto e allo stesso tempo è diretto nella direzione della funzione crescente
CONCLUSIONE: 1) La derivata di una funzione in un punto nella direzione determinata dal gradiente di questa funzione nel punto specificato ha valore massimo rispetto alla derivata in quel punto in qualsiasi altra direzione.
- 2) Il valore della derivata della funzione nella direzione, che determina il gradiente di questa funzione in un dato punto, è uguale a.
- 3) Conoscendo il gradiente della funzione in ogni punto, è possibile costruire linee di livello con qualche errore. Partiamo dal punto M 0 . Costruiamo un gradiente a questo punto. Imposta la direzione perpendicolare al gradiente. Costruiamo una piccola parte della linea di livello. Considera un punto vicino M 1 , costruisci un gradiente su di esso e così via.
Se in ogni punto dello spazio o parte dello spazio è definito il valore di una certa quantità, allora si dice che il campo di tale quantità è dato. Il campo è detto scalare se il valore considerato è scalare, cioè ben caratterizzato dal suo valore numerico. Ad esempio, il campo della temperatura. Il campo scalare è dato dalla funzione scalare del punto u = /(M). Se un sistema di coordinate cartesiane viene introdotto nello spazio, allora esiste una funzione di tre variabili x, yt z - le coordinate del punto M: Definizione. La superficie piana di un campo scalare è l'insieme di punti in cui la funzione f(M) assume lo stesso valore. Equazione della superficie di livello Esempio 1. Trova le superfici di livello di un campo scalare ANALISI VETTORIALE Campo scalare Superfici di livello e linee di livello Derivata direzionale Derivata Gradiente di un campo scalare Proprietà di base del gradiente Invariante Definizione di un gradiente Regole per il calcolo di un gradiente -4 Per definizione, un livello sarà l'equazione di superficie. Questa è l'equazione di una sfera (con Ф 0) centrata nell'origine. Un campo scalare si dice piatto se il campo è lo stesso in tutti i piani paralleli a qualche piano. Se il piano indicato viene preso come piano xOy, la funzione di campo non dipenderà dalla coordinata z, ovvero sarà una funzione solo degli argomenti xey e anche del significato. Equazione della linea di livello - Esempio 2. Trova le linee di livello di un campo scalare Le linee di livello sono date da equazioni A c = 0, otteniamo una coppia di linee, otteniamo una famiglia di iperboli (Fig. 1). 1.1. Derivata direzionale Sia un campo scalare definito da una funzione scalare u = /(Af). Prendiamo il punto Afo e scegliamo la direzione determinata dal vettore I. Prendiamo un altro punto M in modo che il vettore M0M sia parallelo al vettore 1 (Fig. 2). Indichiamo la lunghezza del vettore MoM con A/, e l'incremento della funzione /(Af) - /(Afo), corrispondente allo spostamento D1, di Di. L'atteggiamento determina velocità media cambiamento del campo scalare per unità di lunghezza nella direzione data Let ora tende a zero in modo che il vettore М0М rimanga sempre parallelo al vettore I. Definizione. Se per D/O esiste un limite finito della relazione (5), allora si dice derivata della funzione in un dato punto Afo alla direzione data I ed è indicata dal simbolo zr!^. Quindi, per definizione, questa definizione non è correlata alla scelta del sistema di coordinate, cioè ha un carattere **variante. Troviamo un'espressione per la derivata rispetto alla direzione nel sistema di coordinate cartesiane. Lascia che la funzione / sia differenziabile in un punto. Considera il valore /(Af) in un punto. Quindi pieno incremento le funzioni possono essere scritte nella forma seguente: dove e i simboli significano che le derivate parziali sono calcolate nel punto Afo. Quindi Qui le quantità jfi, ^ sono i coseni di direzione del vettore. Poiché i vettori MoM e I sono co-diretti, i loro coseni di direzione sono gli stessi: poiché M Afo, stabilendosi sempre su una retta, parallela al vettore 1, allora gli angoli sono costanti, quindi Infine, dalle uguaglianze (7) e (8) otteniamo Eamuan e 1. Le derivate parziali sono derivate della funzione e nelle direzioni degli assi coordinati con l'esterno nno- Esempio 3. Trova la derivata della funzione verso il punto Il vettore ha una lunghezza. I suoi coseni di direzione: Con la formula (9) avremo Il fatto che, significa che il campo scalare in un punto in una data direzione di età- Per un campo piatto, la derivata nella direzione I in un punto è calcolata dalla formula dove a è l'angolo formato dal vettore I con l'asse Oh. Zmmchmm 2. La formula (9) per calcolare la derivata lungo la direzione I in un dato punto Afo resta in vigore anche quando il punto M tende al punto Mo lungo una curva per cui il vettore I è tangente al punto PrISp 4. Calcola la derivata del campo scalare nel punto Afo(l, 1). appartenente ad una parabola nel senso di questa curva (nel senso dell'ascissa crescente). La direzione ] di una parabola in un punto è la direzione della tangente alla parabola in questo punto (Fig. 3). Lascia che la tangente alla parabola nel punto Afo formi un angolo o con l'asse Ox. Quindi da dove dirigere i coseni di una tangente Calcoliamo i valori e in un punto. Abbiamo Ora dalla formula (10) che otteniamo. Trova la derivata del campo scalare in un punto nella direzione del cerchio L'equazione vettoriale del cerchio ha la forma. Troviamo il vettore unitario m della tangente alla circonferenza, il punto corrisponde al valore del parametro. Gradiente di campo scalare Lascia che un campo scalare sia definito da una funzione scalare che si presume sia derivabile. Definizione. Il gradiente di un campo scalare » in un dato punto M è un vettore indicato dal simbolo grad e definito dall'uguaglianza È chiaro che questo vettore dipende sia dalla funzione / sia dal punto M in cui viene calcolata la sua derivata. Sia 1 un vettore unitario nella direzione Allora la formula per la derivata direzionale può essere scritta come segue: . quindi, la derivata della funzione e nella direzione 1 è uguale a prodotto a punti del gradiente della funzione u(M) per unità vettore 1° della direzione I. 2.1. Proprietà di base del teorema del gradiente 1. Il gradiente di campo scalare è perpendicolare alla superficie piana (o alla linea di livello se il campo è piatto). (2) Tracciamo una superficie piana u = const per un punto arbitrario M e scegliamo una curva liscia L su questa superficie passante per il punto M (Fig. 4). Sia I un vettore tangente alla curva L nel punto M. Poiché sulla superficie piana u(M) = u(M|) per ogni punto Mj ∈ L, allora D'altra parte, = (gradu, 1°) . Ecco perché. Ciò significa che i vettori grad e e 1° sono ortogonali, quindi il vettore grad e è ortogonale a qualsiasi tangente alla superficie piana nel punto M. Pertanto, è ortogonale alla superficie piana stessa nel punto M. Teorema 2 Il gradiente è diretto nella direzione della funzione di campo crescente. In precedenza abbiamo dimostrato che il gradiente del campo scalare è diretto lungo la normale alla superficie piana, che può essere orientata o verso l'aumento della funzione u(M) o verso la sua diminuzione. Indichiamo con n la normale della superficie piana orientata nella direzione della funzione crescente ti(M), e troviamo la derivata della funzione u nella direzione di questa normale (Fig. 5). Abbiamo Poiché secondo la condizione di Fig. 5 e quindi ANALISI VETTORIALE Campo scalare Superfici e linee di livello Derivata in direzione Derivata Gradiente di un campo scalare Proprietà di base del gradiente Definizione invariante del gradiente Regole per il calcolo del gradiente Ne consegue che grad e è diretta nella stessa direzione di quella in cui abbiamo scelto la normale n, cioè nella direzione della funzione crescente u(M). Teorema 3. La lunghezza del gradiente è uguale alla derivata più grande rispetto alla direzione in un dato punto del campo, (qui, max $ è preso in tutte le direzioni possibili in un dato punto M al punto). Abbiamo dove è l'angolo tra i vettori 1 e grad n. Poiché il valore più grande è l'Esempio 1. Trova la direzione del campo scalare più grande e assoluto nel punto e anche l'entità di questo cambiamento più grande nel punto specificato. La direzione del maggior cambiamento nel campo scalare è indicata da un vettore. Abbiamo così Questo vettore determina la direzione del maggiore aumento del campo fino a un punto. Il valore della più grande variazione nel campo a questo punto è 2,2. Definizione invariante del gradiente Le grandezze che caratterizzano le proprietà dell'oggetto in studio e non dipendono dalla scelta del sistema di coordinate sono dette invarianti dell'oggetto dato. Ad esempio, la lunghezza di una curva è un'invariante di questa curva, ma l'angolo della tangente alla curva con l'asse x non è un invariante. Sulla base delle tre proprietà precedenti del gradiente di campo scalare, possiamo dare la seguente definizione invariante del gradiente. Definizione. Il gradiente di campo scalare è un vettore diretto lungo la normale alla superficie piana nella direzione della funzione di campo crescente e avente una lunghezza uguale alla più grande derivata direzionale (in un dato punto). Sia un vettore normale unitario diretto nella direzione del campo crescente. Quindi Esempio 2. Trova il gradiente di distanza - un punto fisso e M(x,y,z) - quello corrente. 4 Abbiamo dove è il vettore di direzione dell'unità. Regole per il calcolo del gradiente dove c è un numero costante. Le formule di cui sopra si ottengono direttamente dalla definizione del gradiente e dalle proprietà delle derivate. Secondo la regola della differenziazione del prodotto. La dimostrazione è simile alla dimostrazione della proprietà. Sia F(u) un differenziabile funzione scalare. Quindi 4 Per la definizione del gradiente, abbiamo Applica a tutti i termini sul lato destro la regola di differenziazione funzione complessa. Otteniamo In particolare, la Formula (6) segue dal piano della formula a due punti fissi di questo piano. Considera un'ellisse arbitraria con fuochi Fj e F] e dimostra che qualsiasi raggio di luce che emerge da un fuoco dell'ellisse, dopo la riflessione dall'ellisse, entra nell'altro fuoco. Le linee di livello della funzione (7) sono ANALISI VETTORIALE Campo scalare Superfici e linee di livello Derivata direzionale Derivata gradiente di campo scalare Proprietà di base del gradiente Definizione invariante del gradiente Regole di calcolo del gradiente Le equazioni (8) descrivono una famiglia di ellissi con fuochi nei punti F ) e Fj. Secondo il risultato dell'Esempio 2, abbiamo e vettori di raggio. tratto dal punto P(x, y) dai fuochi F| e Fj, e quindi giace sulla bisettrice dell'angolo tra questi raggi vettori (Fig. 6). Secondo Tooromo 1, il gradiente PQ è perpendicolare all'ellisse (8) nel punto. Pertanto, Fig.6. la normale all'ellisse (8) in qualsiasi punto biseca l'angolo tra i vettori raggio disegnati fino a questo punto. Da qui e dal fatto che l'angolo di incidenza è uguale all'angolo di riflessione, otteniamo: un raggio di luce che esce da un fuoco dell'ellisse, riflesso da esso, cadrà sicuramente nell'altro fuoco di questa ellisse.