1°. Piano tangente ed equazioni normali per il caso di specificazione esplicita della superficie.
Si consideri una delle applicazioni geometriche delle derivate parziali di una funzione di due variabili. Lascia che la funzione z = f(X;si) differenziabile in un punto (x0; a 0) qualche zona DÎ R2. Tagliamo la superficie S , raffigurante la funzione z, aerei x = x 0 e y = y 0(Fig. 11).
Aereo X = x0 attraversa la superficie S lungo una linea z 0 (si), la cui equazione si ottiene per sostituzione nell'espressione della funzione originaria z==f(X;si) invece di X numeri x 0. Punto M 0 (x 0 ;si0,f(x 0 ;si 0)) appartiene alla curva z 0 (y). A causa della funzione differenziabile z al punto M0 funzione z 0 (si)è anche differenziabile al punto y = y 0 . Pertanto, a questo punto dell'aereo x = x 0 alla curva z 0 (si) la tangente può essere disegnata l 1 .
Svolgendo un ragionamento simile per la sezione a = si 0 , costruire una tangente l 2 alla curva z 0 (X ) al punto X = x 0 - Diretto 1 1 e 1 2 definire un piano chiamato piano tangente alla superficie S al punto M0.
Facciamo un'equazione per questo. Poiché l'aereo passa per il punto Mo(x 0 ;y0;z0), allora la sua equazione può essere scritta come
A (x - ho) + B (y - yo) + C (z - zo) \u003d 0,
che si può riscrivere così:
z -z 0 \u003d A 1 (x - x 0) + B 1 (y - y 0) (1)
(dividendo l'equazione per -C e denotando 
).
Cerchiamo A 1 e B1.
Equazioni tangenti 1 1 e 1 2 assomigliare
rispettivamente.
Tangente l 1 giace nell'aereo a , quindi le coordinate di tutti i punti l 1 soddisfare l'equazione (1). Questo fatto può essere scritto come un sistema
Risolvendo questo sistema rispetto a B 1 , otteniamo che . Svolgendo un ragionamento simile per la tangente l 3, è facile stabilirlo .
Sostituzione dei valori A 1 e B 1 nell'equazione (1), otteniamo l'equazione desiderata del piano tangente:
Una retta passante per un punto M0 e perpendicolare al piano tangente costruito in questo punto della superficie è detto suo normale.
Utilizzando la condizione di perpendicolarità di una retta e di un piano, è facile ottenere le equazioni canoniche della normale:
Commento. Le formule per il piano tangente e per la normale alla superficie si ottengono per punti ordinari, cioè non singolari, sulla superficie. Punto M0 si chiama superficie speciale, se a questo punto tutte le derivate parziali sono uguali a zero o almeno una di esse non esiste. Non consideriamo tali punti.
Esempio. Scrivi le equazioni del piano tangente e la normale alla superficie nel suo punto M(2; -1; 1).
Soluzione. Trova le derivate parziali di questa funzione e i loro valori nel punto M
Quindi, applicando le formule (2) e (3), avremo: z-1=2(x-2)+2(y+1) o 2x+2y-z-1=0- equazione piana tangente e 
sono le equazioni normali.
2°. Piano tangente ed equazioni normali per il caso di specificazione implicita della superficie.
Se la superficie S dato dall'equazione F(X; si;z)= 0, quindi le equazioni (2) e (3), tenendo conto del fatto che le derivate parziali possono essere trovate come derivate di una funzione implicita.
Equazione del piano normale
1.
4.
Piano tangente e normale alla superficie
Sia data una superficie, A è un punto fisso della superficie e B è un punto variabile della superficie,
(Fig. 1).
Vettore diverso da zero
| → |
| n |
|
Un punto della superficie F (x, y, z) = 0 si dice ordinario se a questo punto
- le derivate parziali F " x , F " y , F " z sono continue;
- (F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 ≠ 0 .
Se almeno una di queste condizioni viene violata, viene chiamato un punto sulla superficie punto singolare della superficie .
Teorema 1. Se M(x 0 , y 0 , z 0 ) è un punto ordinario della superficie F (x , y , z) = 0 , quindi il vettore
|
(1) |
è normale a questa superficie nel punto M (x 0 , y 0 , z 0 ) .
Prova data nel libro di I.M. Petrushko, LA Kuznetsova, VI Prokhorenko, VF Safonova ``Corso matematica superiore: Calcolo integrale. Funzioni di più variabili. Equazioni differenziali. M.: Casa editrice MEI, 2002 (pag. 128).
Normale alla superficie ad un certo punto è chiamata una linea il cui vettore di direzione è normale alla superficie in questo punto e che passa per questo punto.
Canonico equazioni normali può essere rappresentato come
|
(2) |
Piano tangente alla superficie in un punto è detto piano che passa per questo punto perpendicolare alla normale alla superficie in quel punto.
Da questa definizione ne consegue che equazione del piano tangente sembra:
Se un punto sulla superficie è singolare, allora a questo punto il vettore normale alla superficie potrebbe non esistere e, di conseguenza, la superficie potrebbe non avere un piano normale e uno tangente.
senso geometrico differenziale totale funzioni di due variabili
Sia la funzione z = f (x , y ) derivabile nel punto a (x 0 , y 0 ) . Il suo grafico è la superficie
f (x, y) - z = 0.
Mettiamo z 0 = f (x 0 , y 0 ) . Allora il punto A (x 0 , y 0 , z 0 ) appartiene alla superficie.
Le derivate parziali della funzione F (x , y , z) = f (x , y) − z sono
F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = - 1
e al punto A (x 0 , y 0 , z 0 )
- sono continui;
- F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0 .
Pertanto, A è un punto ordinario della superficie F (x, y, z) e in questo punto esiste un piano tangente alla superficie. Secondo (3), l'equazione del piano tangente ha la forma:
f "x (x 0 , y 0 ) (x - X 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y - y 0 ) - (z - z 0 ) = 0.
Lo spostamento verticale di un punto sul piano tangente durante la transizione dal punto a (x 0 , y 0 ) a un punto arbitrario p (x , y) è BQ (Fig. 2). L'incremento dell'applique corrispondente è
(z - z 0 ) \u003d f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0)
Qui sul lato destro c'è il differenziale d z della funzione z = f (x, y) nel punto a (x 0 , x 0 ). Di conseguenza,
d f (x 0 , y 0 ). è l'incremento dell'applicata del punto del piano tangente al grafico della funzione f (x, y) nel punto (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0 )).
Dalla definizione del differenziale segue che la distanza tra il punto P sul grafico della funzione e il punto Q sul piano tangente è un infinitesimo più ordine elevato rispetto alla distanza dal punto p al punto a.
Il grafico di una funzione di 2 variabili z = f(x, y) è una superficie proiettata aereo XOY nel dominio della funzione D.
Considera la superficie σ
, data dall'equazione z = f(x,y) , dove f(x,y) è una funzione derivabile, e sia M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) un punto fisso sulla superficie σ , cioè z 0 = f(x 0 ,y 0). Appuntamento. Il calcolatore online è progettato per trovare equazioni del piano tangente e delle normali alla superficie. La decisione viene presa in formato Word. Se hai bisogno di trovare l'equazione della tangente alla curva (y = f(x)), allora devi usare questo servizio.
Regole di immissione delle funzioni:
Regole di immissione delle funzioni:
Piano tangente alla superficie σ
al suo punto M 0 è il piano in cui giacciono le tangenti a tutte le curve disegnate sulla superficie σ
attraverso un punto M 0 .
L'equazione del piano tangente alla superficie, dato dall'equazione z = f(x,y) , nel punto M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) ha la forma:
z - z 0 \u003d f 'x (x 0, y 0) (x - x 0) + f ' y (x 0, y 0) (y - y 0)
Il vettore è chiamato vettore normale alla superficie σ nel punto M 0 . Il vettore normale è perpendicolare al piano tangente.
Normale alla superficie σ al punto M 0 è una retta passante per questo punto e avente la direzione del vettore N.
Le equazioni canoniche della normale alla superficie date dall'equazione z = f(x,y) nel punto M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), dove z 0 = f(x 0 ,y 0), avere la forma:
Esempio 1. La superficie è data dall'equazione x 3 +5y . Trova l'equazione del piano tangente alla superficie nel punto M 0 (0;1).
Soluzione. Scriviamo le equazioni della tangente in vista generale: z - z 0 \u003d f "x (x 0, y 0, z 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0, z 0) (y - y 0)
Per la condizione del problema x 0 = 0, y 0 = 1, quindi z 0 = 5
Trova le derivate parziali della funzione z = x^3+5*y:
f" x (x, y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x, y) = (x 3 +5 y)" y = 5
Al punto M 0 (0,1), i valori delle derivate parziali:
f"x(0;1) = 0
f" y (0; 1) = 5
Usando la formula, otteniamo l'equazione del piano tangente alla superficie nel punto M 0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) o -5 y + z = 0
Esempio #2. La superficie è data implicitamente y 2 -1/2*x 3 -8z. Trova l'equazione del piano tangente alla superficie nel punto M 0 (1;0;1).
Soluzione. Troviamo derivate parziali della funzione. Poiché la funzione è data in una forma implicita, cerchiamo derivate dalla formula: 
Per la nostra funzione:
Quindi: 
Al punto M 0 (1,0,1) i valori delle derivate parziali:
f "x (1; 0; 1) \u003d -3 / 16
f"y(1;0;1) = 0
Usando la formula, otteniamo l'equazione del piano tangente alla superficie nel punto M 0: z - 1 \u003d -3 / 16 (x - 1) + 0 (y - 0) o 3 / 16 x + z- 19 / 16 \u003d 0
Esempio. Superficie σ
dato dall'equazione z= y/x + xy – 5X 3. Trova l'equazione del piano tangente e normale alla superficie σ
al punto M 0 (X 0 ,y 0 ,z 0) appartenente ad esso se X 0 = –1, y 0 = 2.
Troviamo le derivate parziali della funzione z= f(X,y) = y/x + xy – 5X 3:
f x '( X,y) = (y/x + xy – 5X 3)' x \u003d - y / x 2 + y – 15X 2 ;
f y' ( X,y) = (y/x + xy – 5X 3)' y = 1/x + X.
Punto M 0 (X 0 ,y 0 ,z 0) appartiene alla superficie σ
, quindi possiamo calcolare z 0 , sostituendo il dato X 0 = -1 e y 0 = 2 nell'equazione della superficie:
z= y/x + xy – 5X 3
z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.Al punto M 0 (–1, 2, 1) valori di derivate parziali:
f x '( M 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; fy'( M 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Usando la formula (5), otteniamo l'equazione del piano tangente alla superficie σ al punto M 0:
z – 1= –15(X + 1) – 2(y – 2) z – 1= –15X – 15 – 2y + 4 15X + 2y + z + 10 = 0.
Usando la formula (6), otteniamo le equazioni canoniche della normale alla superficie σ al punto M 0:
.
Risposte: equazione del piano tangente: 15 X + 2y + z+ 10 = 0; equazioni normali:
.
Esempio 1. Data una funzione z \u003d f (x, y) e due punti A (x 0, y 0) e B (x 1, y 1). Richiesto: 1) calcolare il valore z 1 della funzione al punto B; 2) calcolare il valore approssimativo z 1 della funzione al punto B in base al valore z 0 della funzione al punto A, sostituendo l'incremento della funzione durante il passaggio dal punto A al punto B con un differenziale; 3) comporre l'equazione del piano tangente alla superficie z = f(x,y) nel punto C(x 0 ,y 0 ,z 0).
Soluzione.
Scriviamo le equazioni tangenti in forma generale:
z - z 0 \u003d f "x (x 0, y 0, z 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0, z 0) (y - y 0)
Secondo la condizione del problema x 0 = 1, y 0 = 2, quindi z 0 = 25
Trova le derivate parziali della funzione z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f "x (x, y) \u003d (x 2 +3 x y + y 2)" x \u003d 2 x + 3 y 3
f "x (x, y) \u003d (x 2 +3 x y + y 2)" y \u003d 9 x y 2
Al punto M 0 (1.2), i valori delle derivate parziali:
f" x (1; 2) = 26
f" y (1; 2) = 36
Usando la formula, otteniamo l'equazione del piano tangente alla superficie nel punto M 0:
z - 25 = 26(x - 1) + 36(y - 2)
o
-26x-36y+z+73 = 0
Esempio #2. Scrivi le equazioni del piano tangente e della normale a paraboloide ellittico z = 2x 2 + y 2 nel punto (1;-1;3).
Definizione 1 : Il piano tangente alla superficie in un dato punto P (x 0, y 0, z 0) è il piano passante per il punto P e contenente tutte le tangenti costruite nel punto P a tutte le curve possibili su questa superficie passante per il punto P.
Sia data la superficie s dall'equazione F (X, a, z) = 0 e punto P (X 0 ,y 0 , z 0) appartiene a questa superficie. Scegliamo una curva sulla superficie l passando per il punto R.
Permettere X = X(t), a = a(t), z = z(t) - equazioni parametriche linee l.
Supponiamo che: 1) la funzione F(X, a, z) è differenziabile al punto R e non tutte le sue derivate parziali a questo punto sono uguali a zero; 2) caratteristiche X(t), a(t), z(t) sono anche differenziabili.
Poiché la curva appartiene alla superficie s, le coordinate di qualsiasi punto di questa curva, essendo sostituite nell'equazione della superficie, la trasformeranno in un'identità. Quindi, l'identica uguaglianza è vera: F [X(t), a(t), z (t)]= 0.
Differenziare questa identità rispetto alla variabile t, usando la regola della catena, otteniamo una nuova identica uguaglianza valida in tutti i punti della curva, compreso il punto P (X 0 ,y 0 , z 0):
Lascia che il punto P corrisponda al valore del parametro t 0, cioè X 0 = X (t 0), y 0 = y (t 0), z 0 = z (t 0). Quindi l'ultima relazione calcolata nel punto R, prende la forma
Questa formula è prodotto scalare due vettori. Il primo è un vettore costante
indipendente dalla scelta della curvatura sulla superficie.
Il secondo vettore è tangente in un punto R alla linea l, il che significa che dipende dalla scelta della linea sulla superficie, cioè è un vettore variabile.
Con la notazione introdotta, l'uguaglianza:
riscrivi come.
Il suo significato è il seguente: il prodotto scalare è uguale a zero, quindi i vettori e sono perpendicolari. Scegliendo tutte le curve possibili passanti per il punto R sulla superficie s avremo diversi vettori tangenti costruiti nel punto R a queste righe il vettore non dipende da questa scelta e sarà perpendicolare a nessuno di essi, ovvero tutti i vettori tangenti si trovano sullo stesso piano, che, per definizione, è tangente alla superficie s, e il punto R in questo caso è chiamato punto di contatto. Il vettore è il vettore di direzione della normale alla superficie.
Definizione 2: La normale alla superficie s nel punto P è la retta passante per il punto P e perpendicolare al piano tangente costruito in questo punto.
Abbiamo dimostrato l'esistenza di un piano tangente e, di conseguenza, di una normale alla superficie. Scriviamo le loro equazioni:
L'equazione del piano tangente costruito nel punto P (x0, y0, z0) alla superficie s, data dall'equazione F(x, y, z) = 0;
Equazione di una normale costruita in un punto R alla superficie s.
Esempio: Trova l'equazione della superficie formata dalla rotazione di una parabola:
z 2 = 2 pence (s +2)
attorno all'asse y, calcola assumendo che il punto M(3, 1, - 3) appartiene alla superficie. Trova le equazioni del piano normale e tangente alla superficie nel punto M.
Soluzione. Usando la regola per scrivere una superficie di rivoluzione, otteniamo:
z 2 + X 2 = 2 pence (s +2) .
Sostituendo le coordinate del punto M in questa equazione, calcoliamo il valore del parametro p: 9 + 9 = 2p(1 + 2) . Scriviamo la forma finale della superficie di rivoluzione che passa per il punto M:
z 2 + X 2 = 6 (a +2).
Ora troviamo le equazioni del piano normale e tangente usando le formule, per le quali calcoliamo prima le derivate parziali della funzione:
F(x, y) = z 2 + X 2- 6 (a +2):
Quindi assume la forma l'equazione del piano tangente 6(x - 3) - 6(y - 1) - 6(z + 3) = 0 oppure x - y - z - 5 = 0;