Derivate parziali di funzioni di due variabili.
Concetto ed esempi di soluzioni

In questa lezione, continueremo la nostra conoscenza della funzione di due variabili e considereremo, forse, il compito tematico più comune: trovare derivate parziali del primo e del secondo ordine, nonché il differenziale totale della funzione. Gli studenti part-time, di norma, affrontano le derivate parziali al 1° anno del 2° semestre. Inoltre, secondo le mie osservazioni, il compito di trovare le derivate parziali si trova quasi sempre nell'esame.

Per studiare efficacemente il seguente materiale, tu necessario essere in grado di trovare più o meno con sicurezza le "solite" derivate di una funzione di una variabile. Puoi imparare a gestire correttamente i derivati ​​nelle lezioni Come trovare la derivata? e Derivata di una funzione composta. Abbiamo anche bisogno di una tabella di derivate di funzioni elementari e regole di differenziazione, è più conveniente se è a portata di mano in forma stampata. Puoi trovare materiale di riferimento sulla pagina Formule e tabelle matematiche.

Ripetiamo velocemente il concetto di funzione di due variabili, cercherò di limitarmi al minimo indispensabile. Una funzione di due variabili viene solitamente scritta come , con le variabili chiamate variabili indipendenti o argomenti.

Esempio: - una funzione di due variabili.

A volte viene utilizzata la notazione. Ci sono anche attività in cui viene utilizzata la lettera invece di una lettera.

Da un punto di vista geometrico, una funzione di due variabili è il più delle volte una superficie di uno spazio tridimensionale (un piano, un cilindro, una palla, un paraboloide, un iperboloide, ecc.). Ma, in effetti, questa è già una geometria più analitica, e abbiamo all'ordine del giorno l'analisi matematica, che il mio professore universitario non mi ha mai lasciato cancellare è il mio "cavallo".

Passiamo alla questione della ricerca di derivate parziali del primo e del secondo ordine. Ho delle buone notizie per quelli di voi che hanno bevuto qualche tazza di caffè e sono dell'umore giusto per materiale inimmaginabilmente difficile: le derivate parziali sono quasi le stesse delle derivate "ordinarie" di una funzione di una variabile.

Per le derivate parziali valgono tutte le regole di derivazione e la tavola delle derivate di funzioni elementari. Ci sono solo un paio di piccole differenze che conosceremo in questo momento:

... si, comunque, per questo argomento l'ho creato io piccolo libro pdf, che ti permetterà di "riempire la tua mano" in appena un paio d'ore. Ma, usando il sito, ovviamente otterrai anche il risultato, forse solo un po' più lento:

Esempio 1

Trova le derivate parziali del primo e del secondo ordine di una funzione

Per prima cosa troviamo le derivate parziali del primo ordine. Ce ne sono due.

Notazione:
o - derivata parziale rispetto a "x"
o - derivata parziale rispetto a "y"

Iniziamo con . Quando troviamo la derivata parziale rispetto a "x", allora la variabile è considerata una costante (numero costante).

Commenti sulle azioni intraprese:

(1) La prima cosa che facciamo quando troviamo la derivata parziale è concludere Tutto funzione tra parentesi sotto il trattino con pedice.

Attenzione importante! Gli indici NON PERDONO nel corso della soluzione. In questo caso, se disegna un "tratto" da qualche parte senza, l'insegnante, almeno, può metterlo accanto al compito (morde immediatamente parte del punteggio per disattenzione).

(2) Utilizzare le regole di differenziazione , . Per un esempio semplice come questo, entrambe le regole possono essere applicate nello stesso passaggio. Presta attenzione al primo termine: poiché è considerata una costante e qualsiasi costante può essere estratta dal segno della derivata, quindi lo togliamo dalle parentesi. Cioè, in questa situazione, non è migliore di un numero normale. Ora guardiamo al terzo termine: qui, al contrario, non c'è niente da togliere. Poiché è una costante, è anche una costante, e in questo senso non è migliore dell'ultimo termine: il "sette".

(3) Utilizziamo derivate tabulari e .

(4) Semplifichiamo, o, come mi piace dire, "combiniamo" la risposta.

Adesso . Quando troviamo la derivata parziale rispetto a "y", allora la variabileconsiderata una costante (numero costante).

(1) Usiamo le stesse regole di differenziazione , . Nel primo termine togliamo la costante oltre il segno della derivata, nel secondo termine non si toglie nulla perché è già una costante.

(2) Usiamo la tabella delle derivate di funzioni elementari. Cambia mentalmente nella tabella tutte le "X" in "Y". Cioè, questa tabella è ugualmente valida per (e in effetti per quasi tutte le lettere). In particolare, le formule che utilizziamo si presentano così: e .

Qual è il significato delle derivate parziali?

Al loro interno, somigliano le derivate parziali di 1° ordine derivata "ordinaria".:

- Questo funzioni, che caratterizzano tasso di cambio funzioni nella direzione degli assi e rispettivamente. Quindi, ad esempio, la funzione caratterizza la pendenza di "salite" e "pendii" superfici nella direzione dell'asse delle ascisse, e la funzione ci parla del "rilievo" della stessa superficie nella direzione dell'asse delle ordinate.

! Nota : qui si fa riferimento alle indicazioni che sono paralleli assi coordinati.

Per una migliore comprensione, consideriamo un punto specifico del piano e calcoliamo il valore della funzione ("altezza") in esso:
- e ora immagina di essere qui (SULLA SUPERFICIE).

Calcoliamo la derivata parziale rispetto a "x" in un dato punto:

Ci dice il segno negativo della derivata "X". discendente funziona in un punto nella direzione dell'asse x. In altre parole, se facciamo un piccolo-piccolo (infinitesimale) passo verso la punta dell'asse (parallelo a questo asse), quindi scendere il pendio della superficie.

Ora scopriamo la natura del "terreno" nella direzione dell'asse y:

La derivata rispetto a "y" è positiva, quindi, in un punto lungo l'asse, la funzione aumenta. Se è abbastanza semplice, allora eccoci in attesa di una salita.

Inoltre, caratterizza la derivata parziale in un punto tasso di cambio funzioni nella direzione pertinente. Maggiore è il valore risultante modulo- più la superficie è ripida, e viceversa, più è vicina allo zero, più la superficie è piatta. Quindi, nel nostro esempio, la "pendenza" nella direzione dell'asse delle ascisse è più ripida della "montagna" nella direzione dell'asse delle ordinate.

Ma quelli erano due percorsi privati. È abbastanza chiaro che dal punto in cui ci troviamo, (e in generale da qualsiasi punto della superficie data) possiamo muoverci in qualche altra direzione. Pertanto, c'è interesse a compilare una "carta di navigazione" generale che ci parli del "paesaggio" della superficie. se possibile in ogni punto portata di questa funzione in tutti i modi disponibili. Di questo e di altre cose interessanti parlerò in una delle prossime lezioni, ma per ora torniamo al lato tecnico della questione.

Sistemiamo le regole elementari applicate:

1) Quando distinguiamo per , la variabile è considerata una costante.

2) Quando la differenziazione viene effettuata secondo, allora è considerata una costante.

3) Le regole e la tabella delle derivate di funzioni elementari sono valide e applicabili per qualsiasi variabile (o qualsiasi altra) rispetto alla quale si effettua la differenziazione.

Passo due. Troviamo derivate parziali del secondo ordine. Ci sono quattro di loro.

Notazione:
oppure - la seconda derivata rispetto a "x"
oppure - la seconda derivata rispetto a "y"
o - misto derivata "x per y"
o - misto derivata "Y con X"

Non ci sono problemi con la derivata seconda. In parole povere, la derivata seconda è la derivata della derivata prima.

Per comodità riscrivo le derivate parziali del primo ordine già trovate:

Per prima cosa troviamo le derivate miste:

Come puoi vedere, tutto è semplice: prendiamo la derivata parziale e la differenziamo ancora, ma in questo caso già per “y”.

Allo stesso modo:

In esempi pratici, puoi concentrarti sulla seguente uguaglianza:

Così, attraverso derivate miste del secondo ordine, è molto conveniente verificare se abbiamo trovato correttamente le derivate parziali del primo ordine.

Troviamo la derivata seconda rispetto a "x".
Nessuna invenzione, prendiamo e differenzialo di nuovo per "X":

Allo stesso modo:

Va notato che quando trovi , devi mostrare maggiore attenzione, poiché non ci sono uguaglianze miracolose per metterle alla prova.

Anche le derivate seconde trovano ampia applicazione pratica, in particolare, sono utilizzate nel problema della ricerca estremi di una funzione di due variabili. Ma ogni cosa ha il suo tempo:

Esempio 2

Calcola le derivate parziali del primo ordine della funzione nel punto . Trova le derivate del secondo ordine.

Questo è un esempio di self-solving (risposte alla fine della lezione). Se hai difficoltà a differenziare le radici, torna alla lezione Come trovare la derivata? In generale, molto presto imparerai come trovare derivati ​​simili al volo.

Ci riempiamo la mano di esempi più complessi:

Esempio 3

Controllalo . Scrivi il differenziale totale del primo ordine.

Soluzione: troviamo derivate parziali del primo ordine:

Fai attenzione al pedice: accanto alla "x" non è vietato scrivere tra parentesi che è una costante. Questo segno può essere molto utile per i principianti per facilitare la navigazione nella soluzione.

Ulteriori commenti:

(1) Eliminiamo tutte le costanti al di fuori del segno della derivata. In questo caso, e , e, quindi, il loro prodotto è considerato un numero costante.

(2) Non dimenticare come differenziare correttamente le radici.

(1) Prendiamo tutte le costanti dal segno della derivata, in questo caso la costante è .

(2) Sotto il primo, abbiamo il prodotto di due funzioni, quindi, dobbiamo usare la regola di differenziazione del prodotto .

(3) Non dimenticare che è una funzione complessa (sebbene la più semplice di quelle complesse). Usiamo la regola corrispondente: .

Ora troviamo derivate miste del secondo ordine:

Ciò significa che tutti i calcoli sono corretti.

Scriviamo il differenziale totale. Nel contesto del compito in esame, non ha senso dire quale sia il differenziale totale di una funzione di due variabili. È importante che molto spesso questo molto differenziale debba essere trascritto in problemi pratici.

Differenziale totale del primo ordine funzioni di due variabili ha la forma:

In questo caso:

Cioè, nella formula devi solo sostituire stupidamente le derivate parziali del primo ordine già trovate. Icone differenziali e in questa e in situazioni simili, se possibile, è meglio scrivere in numeratori:

E su ripetuta richiesta dei lettori, differenziale completo del secondo ordine.

Si presenta così:

Trova ATTENTAMENTE i derivati ​​"a lettera singola" del 2° ordine:

e annota il "mostro", "attaccando" accuratamente i quadrati, il prodotto e senza dimenticare di raddoppiare la derivata mista:

Va bene se qualcosa ti sembra difficile, puoi sempre tornare alle derivate in un secondo momento, dopo aver ripreso la tecnica di differenziazione:

Esempio 4

Trova le derivate parziali del primo ordine di una funzione . Controllalo . Scrivi il differenziale totale del primo ordine.

Considera una serie di esempi con funzioni complesse:

Esempio 5

Trova le derivate parziali del primo ordine della funzione.

Decisione:

Esempio 6

Trova le derivate parziali del primo ordine di una funzione .
Annota il differenziale totale.

Questo è un esempio di auto-risoluzione (risposta alla fine della lezione). Non pubblicherò la soluzione completa perché è abbastanza semplice.

Abbastanza spesso, tutte le regole di cui sopra vengono applicate in combinazione.

Esempio 7

Trova le derivate parziali del primo ordine di una funzione .

(1) Usiamo la regola della differenziazione della somma

(2) Il primo termine in questo caso è considerato una costante, poiché non c'è nulla nell'espressione che dipenda da "x" - solo "y". Sai, è sempre bello quando una frazione può essere trasformata in zero). Per il secondo termine, applichiamo la regola della differenziazione dei prodotti. A proposito, in questo senso, non cambierebbe nulla se fosse data invece una funzione - è importante che qui il prodotto di due funzioni, OGNUNO ​​dei quali dipende "X", e quindi, è necessario utilizzare la regola di differenziazione del prodotto. Per il terzo termine, applichiamo la regola di differenziazione di una funzione complessa.

(1) Il primo termine sia al numeratore che al denominatore contiene una "y", quindi è necessario utilizzare la regola per differenziare il quoziente: . Il secondo termine dipende SOLO da "x", il che significa che è considerato una costante e diventa zero. Per il terzo termine, utilizziamo la regola di differenziazione di una funzione complessa.

Per quei lettori che coraggiosamente sono arrivati ​​quasi alla fine della lezione, ti racconto un vecchio aneddoto di Mekhmatov sulla distensione:

Un tempo un derivato del male compariva nello spazio delle funzioni e come andava a differenziare tutti. Tutte le funzioni si disperdono in tutte le direzioni, nessuno vuole girare! E solo una funzione non sfugge da nessuna parte. La derivata si avvicina e chiede:

"Perché non scappi da me?"

- Ah. Ma non mi interessa, perché sono "e alla potenza di x", e non puoi farmi niente!

Al che il malvagio derivato con un sorriso insidioso risponde:

- Qui è dove ti sbagli, ti differenzierò per "y", quindi sii zero per te.

Chi ha capito la battuta, ha imparato i derivati, almeno per la "troika").

Esempio 8

Trova le derivate parziali del primo ordine di una funzione .

Questo è un esempio fai da te. Una soluzione completa e un progetto di esempio del problema sono alla fine della lezione.

Bene, questo è quasi tutto. Infine, non posso fare a meno di accontentare i matematici con un altro esempio. Non si tratta nemmeno di dilettanti, ognuno ha un diverso livello di formazione matematica: ci sono persone (e non così rare) a cui piace competere con compiti più difficili. Anche se l'ultimo esempio di questa lezione non è tanto complicato quanto ingombrante in termini di calcoli.

Il concetto di funzione di due variabili

Valore z chiamata funzione di due variabili indipendenti x e y, se ad ogni coppia di valori ammissibili di queste grandezze, secondo una certa legge, corrisponde un valore ben definito della quantità z. Variabili indipendenti X e y chiamata argomenti funzioni.

Tale dipendenza funzionale è denotata analiticamente

Z = f (x, y),(1)

Valori degli argomenti xey che corrispondono ai valori effettivi della funzione z, considerato ammissibile, e viene chiamato l'insieme di tutte le coppie ammissibili di valori xey dominio di definizione funzioni di due variabili.

Per una funzione di più variabili, in contrasto con una funzione di una variabile, i suoi concetti incrementi parziali per ciascuno degli argomenti e del concetto pieno incremento.

Incremento parziale Δ x z della funzione z=f (x,y) per argomento x è l'incremento che questa funzione riceve se il suo argomento x viene incrementato Δx con lo stesso y:

Δxz = f (x + Δx, y) -f (x, y), (2)

L'incremento parziale Δ y z della funzione z= f (x, y) rispetto all'argomento y è l'incremento che questa funzione riceve se il suo argomento y riceve un incremento Δy con x invariato:

Δy z= f (x, y + Δy) – f (x, y) , (3)

Incremento completo Δz funzioni z= f (x, y) per argomenti X e yè chiamato l'incremento che una funzione riceve se entrambi i suoi argomenti sono incrementati:

Δz= f (x+Δx, y+Δy) – f (x, y) , (4)

Per incrementi sufficientemente piccoli Δx e Sì argomenti di funzione

c'è un'uguaglianza approssimativa:

∆z ∆xz + ∆yz , (5)

ed è il più preciso, il meno Δx e Sì.

Derivate parziali di funzioni di due variabili

La derivata parziale della funzione z=f (x, y) rispetto all'argomento x nel punto (x, y)è chiamato limite del rapporto di incremento parziale ∆xz questa funzione all'incremento corrispondente Δx argomento x quando si sforza Δx a 0 e a condizione che esista questo limite:

, (6)

La derivata della funzione è definita in modo simile z=f (x, y) per argomento y:

Oltre alla notazione indicata, le derivate parziali di funzioni sono indicate anche con , z΄ x , f΄ x (x, y); , z΄ y , f΄ y (x, y).

Il significato principale della derivata parziale è il seguente: la derivata parziale di una funzione di più variabili rispetto a uno qualsiasi dei suoi argomenti caratterizza la velocità di cambiamento di questa funzione quando questo argomento cambia.

Quando si calcola la derivata parziale di una funzione di più variabili rispetto a qualsiasi argomento, tutti gli altri argomenti di questa funzione sono considerati costanti.

Esempio 1. Trova le derivate parziali delle funzioni

f (x, y)= x 2 + y 3

Decisione. Quando si trova la derivata parziale di questa funzione rispetto all'argomento x, l'argomento y è considerato un valore costante:

;

Quando si trova la derivata parziale rispetto all'argomento y, l'argomento x è considerato un valore costante:

.

Differenziali parziali e totali di una funzione di più variabili

Il differenziale parziale di una funzione di più variabili rispetto alla quale-né dalle sue argomentazioniè il prodotto della derivata parziale di questa funzione rispetto all'argomento dato e il differenziale di questo argomento:

dxz= ,(7)

diz= (8)

Qui dxz e d e z-differenziali parziali di una funzione z= f (x, y) per argomenti X e y. in cui

dx= ∆x; dy=Δy, (9)

differenziale completo Una funzione di più variabili è chiamata somma dei suoi differenziali parziali:

dz= d x z + d y z, (10)

Esempio 2 Trova i differenziali parziali e totali della funzione f (x, y)= x 2 + y 3 .

Poiché le derivate parziali di questa funzione si trovano nell'Esempio 1, otteniamo

dxz= 2xdx; d y z= 3y 2 gg;

dz= 2xdx + 3a 2a

Il differenziale parziale di una funzione di più variabili rispetto a ciascuno dei suoi argomenti è la parte principale del corrispondente incremento parziale della funzione.

Di conseguenza, si può scrivere:

∆xz dxz, ∆yz d yz, (11)

Il significato analitico del differenziale totale è che il differenziale totale di una funzione di più variabili è la parte principale dell'incremento totale di questa funzione.

Quindi, c'è un'uguaglianza approssimativa

∆zdz, (12)

L'uso della formula (12) si basa sull'uso del differenziale totale nei calcoli approssimativi.

Immagina un incremento Δz come

f (x + Δx; y + Δy) – f (x, y)

e il differenziale totale nella forma

Quindi otteniamo:

f (x + Δx, y + Δy) – f (x, y) ,

, (13)

3. Lo scopo degli studenti nella lezione:

Lo studente deve conoscere:

1. Definizione di una funzione di due variabili.

2. Il concetto di incremento parziale e totale di una funzione di due variabili.

3. Determinazione della derivata parziale di una funzione di più variabili.

4. Il significato fisico della derivata parziale di una funzione di più variabili rispetto a uno qualsiasi dei suoi argomenti.

5. Determinazione del differenziale parziale di una funzione di più variabili.

6. Determinazione del differenziale totale di una funzione di più variabili.

7. Significato analitico del differenziale totale.

Lo studente deve essere in grado di:

1. Trova gli incrementi privati ​​e totali di una funzione di due variabili.

2. Calcola le derivate parziali di una funzione di più variabili.

3. Trova i differenziali parziali e totali di una funzione di più variabili.

4. Applicare il differenziale totale di una funzione di più variabili in calcoli approssimativi.

Parte teorica:

1. Il concetto di funzione di più variabili.

2. Funzione di due variabili. Incremento parziale e totale di una funzione di due variabili.

3. Derivata parziale di una funzione di più variabili.

4. Differenziali parziali di una funzione di più variabili.

5. Differenziale totale di una funzione di più variabili.

6. Applicazione del differenziale totale di una funzione di più variabili in calcoli approssimativi.

Parte pratica:

1. Trova le derivate parziali delle funzioni:

1) ; 4) ;

2) z \u003d e xy + 2 x; 5) z= 2tg xx y;

3) z \u003d x 2 sin 2 y; 6) .

4. Definire la derivata parziale di una funzione rispetto a un dato argomento.

5. Come si chiama differenziale parziale e totale di una funzione di due variabili? Come sono correlati?

6. Elenco di domande per verificare il livello di conoscenza finale:

1. Nel caso generale di una funzione arbitraria di più variabili, il suo incremento totale è uguale alla somma di tutti gli incrementi parziali?

2. Qual è il significato principale della derivata parziale di una funzione di più variabili rispetto a uno qualsiasi dei suoi argomenti?

3. Qual è il significato analitico del differenziale totale?

7. Timeline della lezione:

1. Momento organizzativo - 5 minuti.

2. Analisi dell'argomento - 20 min.

3. Risolvere esempi e problemi - 40 min.

4. Controllo attuale della conoscenza -30 min.

5. Riassumendo la lezione - 5 min.

8. Elenco della letteratura educativa per la lezione:

1. Morozov Yu.V. Fondamenti di matematica e statistica superiori. M., "Medicina", 2004, §§ 4.1–4.5.

2. Pavlushkov IV et al Fondamenti di matematica superiore e statistica matematica. M., "GEOTAR-Media", 2006, § 3.3.

Ogni derivata parziale (over X e da y) di una funzione di due variabili è la derivata ordinaria di una funzione di una variabile con un valore fisso dell'altra variabile:

(dove y= cost),

(dove X= cost).

Pertanto, le derivate parziali sono calcolate da formule e regole per il calcolo delle derivate di funzioni di una variabile, considerando l'altra variabile come una costante (costante).

Se non hai bisogno di un'analisi di esempi e della teoria minima necessaria per questo, ma hai solo bisogno di una soluzione al tuo problema, procedi con calcolatore di derivate parziali online .

Se è difficile concentrarsi sul tenere traccia di dove si trova la costante nella funzione, puoi sostituire qualsiasi numero nella bozza della soluzione dell'esempio invece di una variabile con un valore fisso, quindi puoi calcolare rapidamente la derivata parziale come ordinaria derivata di una funzione di una variabile. È solo necessario non dimenticare di riportare la costante (una variabile con un valore fisso) al suo posto al termine.

La proprietà delle derivate parziali sopra descritta deriva dalla definizione di derivata parziale, che si trova nelle domande d'esame. Pertanto, per familiarizzare con la definizione di seguito, è possibile aprire il riferimento teorico.

Il concetto di continuità di una funzione z= f(X, y) in un punto è definito in modo simile a questo concetto per una funzione di una variabile.

Funzione z = f(X, y) è detto continuo in un punto se

La differenza (2) è chiamata incremento totale della funzione z(si ottiene incrementando entrambi gli argomenti).

Lascia che la funzione z= f(X, y) e punto

Se la funzione cambia z si verifica quando cambia solo uno degli argomenti, ad esempio X, con un valore fisso dell'altro argomento y, quindi la funzione verrà incrementata

chiamato incremento parziale della funzione f(X, y) su X.

Considerando il cambio di funzione z a seconda della modifica di uno solo degli argomenti, si passa effettivamente a una funzione di una variabile.

Se c'è un limite finito

allora è chiamata derivata parziale della funzione f(X, y) per argomento X ed è indicato da uno dei simboli

(4)

L'incremento parziale è definito in modo simile z su y:

e derivata parziale f(X, y) su y:

(6)

Esempio 1

Decisione. Troviamo la derivata parziale rispetto alla variabile "x":

(y fisso);

Troviamo la derivata parziale rispetto alla variabile "y":

(X fisso).

Come puoi vedere, non importa in quale misura la variabile che viene fissata: in questo caso, è solo un numero che è un fattore (come nel caso della solita derivata) con la variabile per cui troviamo il parziale derivato. Se la variabile fissa non viene moltiplicata per la variabile rispetto alla quale troviamo la derivata parziale, allora questa costante solitaria, non importa in quale misura, come nel caso di una derivata ordinaria, svanisce.

Esempio 2 Data una funzione

Trova derivati ​​parziali

(per x) e (per y) e calcola i loro valori nel punto MA (1; 2).

Decisione. A un fisso y la derivata del primo termine si trova come derivata della funzione di potenza ( tabella delle funzioni derivate di una variabile):

.

A un fisso X la derivata del primo termine si trova come derivata della funzione esponenziale e il secondo - come derivata della costante:

Ora calcoliamo i valori di queste derivate parziali nel punto MA (1; 2):

Puoi controllare la soluzione dei problemi con le derivate parziali calcolatore di derivate parziali online .

Esempio 3 Trova le derivate parziali delle funzioni

Decisione. In un passaggio troviamo

(y X, come se l'argomento di seno fosse 5 X: allo stesso modo, 5 compare prima del segno della funzione);

(Xè fisso ed è in questo caso un fattore a y).

Puoi controllare la soluzione dei problemi con le derivate parziali calcolatore di derivate parziali online .

Le derivate parziali di una funzione di tre o più variabili sono definite in modo simile.

Se ogni insieme di valori ( X; y; ...; t) variabili indipendenti dall'insieme D corrisponde a un valore specifico tu da molti e, poi tuè chiamata funzione di variabili X, y, ..., t e denotare tu= f(X, y, ..., t).

Per funzioni di tre o più variabili, non esiste un'interpretazione geometrica.

Le derivate parziali di una funzione di più variabili sono anche definite e calcolate partendo dal presupposto che solo una delle variabili indipendenti cambia, mentre le altre sono fisse.

Esempio 4 Trova le derivate parziali delle funzioni

.

Decisione. y e z fisso:

X e z fisso:

X e y fisso:

Trova le derivate parziali da solo e poi vedi le soluzioni

Esempio 5

Esempio 6 Trova le derivate parziali di una funzione.

La derivata parziale di una funzione di più variabili ha lo stesso valore significato meccanico come derivata di una funzione di una variabile, è la velocità con cui la funzione cambia rispetto a una modifica in uno degli argomenti.

Esempio 8 quantità di flusso P i passeggeri ferroviari possono essere espressi come una funzione

dove P- il numero di passeggeri, N- il numero dei residenti dei punti corrispondenti, R– distanza tra i punti.

Derivata parziale di una funzione P su R uguale a

mostra che la diminuzione del flusso di passeggeri è inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra i punti corrispondenti a parità di abitanti nei punti.

Derivata parziale P su N uguale a

mostra che l'aumento del flusso di passeggeri è proporzionale al doppio del numero di abitanti degli insediamenti con la stessa distanza tra i punti.

Puoi controllare la soluzione dei problemi con le derivate parziali calcolatore di derivate parziali online .

Differenziale completo

Il prodotto della derivata parziale per l'incremento della corrispondente variabile indipendente è detto differenziale parziale. I differenziali parziali sono indicati come segue:

La somma dei differenziali parziali su tutte le variabili indipendenti dà il differenziale totale. Per una funzione di due variabili indipendenti, il differenziale totale è espresso dall'uguaglianza

(7)

Esempio 9 Trova il differenziale completo di una funzione

Decisione. Il risultato dell'utilizzo della formula (7):

Una funzione che ha un differenziale totale in ogni punto di un dominio è chiamata differenziabile in quel dominio.

Trova il differenziale totale da solo e poi vedi la soluzione

Proprio come nel caso di una funzione di una variabile, la differenziabilità di una funzione in una determinata regione implica la sua continuità in tale regione, ma non viceversa.

Formuliamo senza dimostrazione una condizione sufficiente per la derivabilità di una funzione.

Teorema. Se la funzione z= f(X, y) ha derivate parziali continue

in una data regione, allora è differenziabile in questa regione e il suo differenziale è espresso dalla formula (7).

Si può dimostrare che, proprio come nel caso di una funzione di una variabile, il differenziale della funzione è la parte lineare principale dell'incremento della funzione, così nel caso di una funzione di più variabili il differenziale totale è il principale, lineare rispetto agli incrementi di variabili indipendenti, parte dell'incremento totale della funzione.

Per una funzione di due variabili, l'incremento totale della funzione ha la forma

(8)

dove α e β sono infinitesimi per e .

Derivati ​​parziali di ordini superiori

Derivate parziali e funzioni f(X, y) sono esse stesse alcune funzioni delle stesse variabili e, a loro volta, possono avere derivate rispetto a variabili diverse, che sono dette derivate parziali di ordini superiori.

Linearizzazione delle funzioni. Piano tangente e normale alla superficie.

Derivati ​​e differenziali di ordini superiori.

1. Derivati ​​parziali di FNP *)

Considera la funzione e = f(P), RÎDÌR n oppure, che è lo stesso,

e = f(X 1 , X 2 , ..., x n).

Fissiamo i valori delle variabili X 2 , ..., x n, e la variabile X 1 incrementiamo D X uno . Poi la funzione e riceverà un incremento determinato dall'uguaglianza

= f (X 1+D X 1 , X 2 , ..., x n) – f(X 1 , X 2 , ..., x n).

Questo incremento viene chiamato incremento privato funzioni e per variabile X 1 .

Definizione 7.1. Derivata parziale di una funzione e = f(X 1 , X 2 , ..., x n) per variabile X 1 è il limite del rapporto tra l'incremento parziale della funzione e l'incremento dell'argomento D X 1 al d X 1 ® 0 (se esiste questo limite).

La derivata parziale rispetto a X 1 caratteri

Quindi per definizione

Analogamente sono definite le derivate parziali rispetto alle restanti variabili. X 2 , ..., x n. Dalla definizione si evince che derivata parziale di una funzione rispetto alla variabile x ioè la derivata ordinaria di una funzione di una variabile x io quando le altre variabili sono considerate costanti. Pertanto, tutte le regole e le formule di differenziazione studiate in precedenza possono essere utilizzate per trovare la derivata di una funzione di più variabili.

Ad esempio, per la funzione tu = X 3 + 3xy – z 2 abbiamo

Quindi, se una funzione di più variabili è data esplicitamente, allora le domande sull'esistenza e sulla ricerca delle sue derivate parziali si riducono alle corrispondenti domande riguardanti la funzione di una variabile - quella per cui è necessario determinare la derivata.

Si consideri una funzione definita implicitamente. Sia l'equazione F( X, y) = 0 definisce una funzione implicita di una variabile X. giusto

Teorema 7.1.

Sia F( X 0 , y 0) = 0 e funzioni F( X, y), F¢ X(X, y), F¢ A(X, y) sono continue in qualche intorno del punto ( X 0 , A 0) e F¢ A(X 0 , y 0) ¹ 0. Quindi la funzione A, data implicitamente dall'equazione F( X, y) = 0, ha nel punto ( X 0 , y 0) derivata, che è uguale a

.

Se le condizioni del teorema sono soddisfatte in qualsiasi punto del dominio DÌ R 2 , allora in ogni punto di questo dominio .

Ad esempio, per la funzione X 3 –2A 4 + oh!+ 1 = 0 trova

Sia ora l'equazione F( X, y, z) = 0 definisce una funzione implicita di due variabili. Troviamo e. Poiché il calcolo della derivata rispetto a X prodotto a tempo fisso (costante) A, allora in queste condizioni l'uguaglianza F( X, y= cost, z) = 0 definisce z in funzione di una variabile X e secondo il Teorema 7.1 otteniamo

.

Allo stesso modo .

Quindi, per una funzione di due variabili data implicitamente dall'equazione , le derivate parziali si trovano con le formule: ,

Le derivate parziali di una funzione nel caso in cui esistano non in un punto, ma su un determinato insieme, sono funzioni definite su questo insieme. Queste funzioni possono essere continue e in alcuni casi possono anche avere derivate parziali in vari punti del dominio.

Le derivate parziali di queste funzioni sono dette derivate parziali del secondo ordine o derivate parziali seconde.

Le derivate parziali del secondo ordine si dividono in due gruppi:

derivate parziali seconde rispetto alla variabile;

· derivate parziali miste rispetto alle variabili e.

Con la successiva differenziazione si possono determinare derivate parziali di terzo ordine e così via. Le derivate parziali di ordine superiore sono definite e scritte con ragionamento analogo.

Teorema. Se tutte le derivate parziali incluse nel calcolo, considerate come funzioni delle loro variabili indipendenti, sono continue, il risultato della differenziazione parziale non dipende dalla sequenza di differenziazione.

Spesso è necessario risolvere un problema inverso, che consiste nel determinare se il differenziale totale di una funzione è un'espressione della forma in cui funzioni continue con derivate continue del primo ordine.

La condizione necessaria per il differenziale totale può essere formulata come un teorema, che accettiamo senza dimostrazione.

Teorema. Affinché un'espressione differenziale sia in un dominio il differenziale totale di una funzione definita e differenziabile in questo dominio, è necessario che la condizione per ogni coppia di variabili indipendenti u sia identicamente soddisfatta in questo dominio.

Il compito di calcolare il differenziale totale del secondo ordine di una funzione può essere risolto come segue. Se anche l'espressione del differenziale totale è differenziabile, allora il secondo differenziale totale (o il differenziale totale del secondo ordine) può essere considerato l'espressione ottenuta applicando l'operazione di differenziazione al primo differenziale totale, cioè . L'espressione analitica per il secondo differenziale totale è:

Tenendo conto del fatto che le derivate miste non dipendono dall'ordine di differenziazione, la formula può essere raggruppata e rappresentata come una forma quadratica:

La matrice della forma quadratica è:

Sia la sovrapposizione di funzioni definite in e

Certo dentro. in cui. Allora, se e abbiamo derivate parziali continue fino al secondo ordine nei punti e, allora c'è un secondo differenziale totale della funzione composta della seguente forma:

Come puoi vedere, il secondo differenziale totale non ha la proprietà di invarianza di forma. L'espressione del secondo differenziale di una funzione complessa include termini della forma che sono assenti nella formula del secondo differenziale di una funzione semplice.

La costruzione di derivate parziali di una funzione di ordini superiori può essere continuata eseguendo differenziazioni successive di questa funzione:

Dove gli indici prendono valori da a, cioè la derivata dell'ordine è considerata la derivata parziale del primo ordine della derivata dell'ordine. Allo stesso modo, possiamo introdurre il concetto di differenziale totale dell'ordine di una funzione, come differenziale totale del primo ordine del differenziale d'ordine: .

Nel caso di una funzione semplice di due variabili, la formula per calcolare il differenziale totale dell'ordine di una funzione è

L'uso dell'operatore di differenziazione consente di ottenere una notazione compatta e facile da ricordare per il calcolo del differenziale totale dell'ordine di una funzione, simile alla formula binomiale di Newton. Nel caso bidimensionale, ha la forma