Esempio 2 Si consideri, ad esempio, una funzione di tre variabili f(X,a,z), avente la seguente tavola di verità:

Con l'ordine lessicografico della posizione dei vettori di valori variabili  X n possono essere omessi e la funzione sarà completamente definita da se stessa vettore di valori di verità f= (10110110).

Metodo matriciale

Significa che molte variabili  X n si divide in due parti  a m e  z n–m tale che tutti i possibili valori di verità del vettore  a m vengono tracciati lungo le righe della matrice e tutti i possibili valori di verità del vettore  z n-m— per colonne. Valori di verità della funzione f su ogni set   n = ( 1 , ...,  m ,  m+ 1 ,...,  n) sono posti nelle celle formate dall'intersezione della linea ( 1 , ...,  m) e colonna ( m+ 1 ,...,  n).

Nell'Esempio 2 sopra considerato, nel caso di suddivisione delle variabili ( x, y, z) in sottoinsiemi ( X) e ( y, z) la matrice assume la forma:

	si,z

Una caratteristica essenziale del metodo di impostazione della matrice è che gli insiemi completi di variabili  X n, corrispondenti a celle adiacenti (sia verticalmente che orizzontalmente), differiscono in una coordinata.

Assegnazione utilizzando un albero binario completo

Per descrizione n-funzione locale f( X n) utilizza la proprietà dell'albero binario dell'altezza n, che consiste nel fatto che ogni vertice sospeso in esso corrisponde uno a uno a un determinato insieme di valori del vettore  X n. Di conseguenza, a questo vertice sospeso può essere assegnato lo stesso valore di verità che la funzione ha su questo insieme f. A titolo di esempio (Fig. 1.3), presentiamo il compito con l'aiuto di un albero binario della funzione a tre posizioni considerata sopra f=(10110110).

La prima riga di cifre assegnata ai vertici pendenti dell'albero denota il numero lessicografico dell'insieme, la seconda è l'insieme stesso e la terza è il valore della funzione su di esso.

Lavoro conn - cubo unitario dimensionaleA n

Perché le cime A n può anche essere mappato uno a uno sull'insieme di tutti gli insiemi  X n, poi n-funzione locale f(X n) può essere specificato assegnando i suoi valori di verità ai vertici corrispondenti del cubo A n . La Figura 1.4 mostra il compito della funzione f= (10110110) a Cuba A 3. I valori di verità sono assegnati ai vertici del cubo.

Definizione . Algebra della logica nominare l'insieme di costanti e variabili booleane insieme ai connettivi logici introdotti su di esse.

compito di formula

Le funzioni di algebra logica possono essere date come espressioni analitiche.

Definizione. Permettere X― alfabeto di variabili e costanti usato nell'algebra della logica, F― l'insieme delle notazioni per tutte le funzioni elementari e le loro generalizzazioni per il numero di variabili superiori a 2.

Formula su X, F(formula di algebra logica) diamo un nome a tutti i record del modulo:

un) X, dove X X;

b)  F 1 , F 1 &F 2 ,F 1 F 2 , F 1 F 2 , F 1  F 2 , F 1 F 2 ,F 1 F 2 ,F 1 F 2 , dove F 1 , F 2 sono formule finite X, F;

in) h(F 1 , … ,F n ), dove n > 2, F 1 ,… ,F n sono formule finite X,F, h ― la notazione per la funzione di soglia generalizzata da F .

Come segue dalla definizione, per le funzioni binarie elementari si usa la forma infisso, in cui il simbolo della funzione è posto tra gli argomenti, per le funzioni di negazione e generalizzate si usa la forma del prefisso, in cui il simbolo della funzione è posto prima dell'argomento elenco.

Esempio 3

1. Espressioni X(az); ( X, y, z  tu) sono formule dell'algebra della logica, poiché soddisfano la definizione data sopra.

2. Espressione  X (a z) non è una formula dell'algebra della logica, perché l'operazione è applicata in modo errato  .

Definizione. La funzione realizzata dalla formula F, è la funzione ottenuta sostituendo i valori delle variabili in F. Indichiamolo f(F).

Esempio 4 Considera la formula F=eh (Xz). Per costruire la tavola di verità della funzione implementata, è necessario sequenzialmente, tenendo conto della forza dei connettivi logici, eseguire la moltiplicazione logica eh, quindi l'implicazione ( Xz), quindi sommare i valori di verità ottenuti modulo 2. Il risultato delle azioni è riportato nella tabella:

				X z

La formula di rappresentazione delle funzioni permette di stimare a priori molte proprietà delle funzioni. Il passaggio da un compito di formula a una tavola di verità può sempre essere eseguito mediante sostituzioni successive di valori di verità nelle funzioni elementari incluse nella formula. La transizione inversa è ambigua, poiché la stessa funzione può essere rappresentata da formule diverse. Richiede una considerazione separata.

Riduci l'insieme di valori della funzione vettoriale dell'argomento scalare a un'origine comune nel punto 0. Combiniamo l'origine del sistema di coordinate cartesiane con questo punto. Quindi per qualsiasi vettore può essere espanso in termini di ort

Pertanto, specificare una funzione vettoriale di un argomento scalare significa specificare tre funzioni scalari Quando il valore dell'argomento cambia, la fine del vettore descriverà una curva nello spazio, che è chiamata odografo del vettore

Lascia che ci sia un valore vicino per Quindi viene chiamata la derivata della funzione vettoriale per l'argomento scalare

№17 Velocità e accelerazione di un punto in moto curvilineo

Velocità

La velocità viene inserita come caratteristica del movimento di un punto materiale. La velocità è una grandezza vettoriale, caratterizzata sia dalla velocità di movimento (il modulo del vettore velocità) che dalla sua direzione (la direzione del vettore velocità) in un dato momento. Permettere punto materiale si muove lungo una traiettoria curvilinea, e all'istante t corrisponde al vettore raggio r0 (Fig. 1). Per un piccolo intervallo di tempo Δt, il punto compirà un percorso Δs e allo stesso tempo riceverà uno spostamento elementare (infinitamente piccolo) Δr.

Vettore di velocità media è il rapporto tra l'incremento Δr del raggio vettore del punto e l'intervallo di tempo Δt:

La direzione del vettore velocità media coincide con la direzione di Δr. Con una diminuzione infinita di Δt, la velocità media tende ad un valore chiamato velocità istantanea v:

Quindi la velocità istantanea v è una grandezza vettoriale, che è uguale alla derivata prima del raggio-vettore del punto in movimento rispetto al tempo. Perché al limite la secante coincide con la tangente, quindi il vettore velocità v è diretto tangenzialmente alla traiettoria nella direzione del moto (Fig. 2).

Fig.2

Al diminuire di Δt, Δs si avvicinerà sempre più a |Δr|, quindi il modulo velocità istantanea

Ciò significa che il modulo di velocità istantanea è uguale alla derivata prima del percorso rispetto al tempo:

Quando no moto uniforme il modulo di velocità istantanea è diverso in momenti diversi. In questo caso viene utilizzato il valore scalare - velocità media di movimento irregolare:

Se integriamo nel tempo nell'intervallo da t a t + Δt l'espressione ds=vdt (vedi formula (2)), allora troveremo la lunghezza del cammino percorso dal punto nel tempo Δt:

Nel caso di moto uniforme, il valore numerico della velocità istantanea è costante; Quindi l'espressione (3) assume la forma

La lunghezza del cammino percorso da un punto nell'intervallo di tempo da t1 a t2 è data dall'integrale

ACCELERAZIONE

Con movimenti irregolari, è spesso necessario sapere quanto velocemente la velocità cambia nel tempo. Quantità fisica, che caratterizza la velocità di variazione della velocità in magnitudine e direzione, è chiamata accelerazione. Si consideri un movimento piano - un movimento in cui le traiettorie di ciascun punto del sistema in esame giacciono sullo stesso piano. Sia il vettore v la velocità del punto A al tempo t. Durante il tempo Δt, il punto si è spostato in posizione B e ha ricevuto una velocità diversa da v sia nel modulo che nella direzione e pari a v1 + Δv. Trasferiamo il vettore v1 al punto A e troviamo Δv (Fig. 1).

L'accelerazione media del movimento non uniforme nell'intervallo da t a t + Δt è una quantità vettoriale uguale al rapporto tra la variazione di velocità Δv e l'intervallo di tempo Δt:

Accelerazione istantanea e la (accelerazione) di un punto materiale al tempo t sarà una quantità vettoriale:

uguale alla derivata prima della velocità rispetto al tempo.

Scomponiamo il vettore Δv in due componenti. Per fare ciò, dal punto A (Fig. 1) nella direzione della velocità v, mettiamo da parte il vettore AD, modulo uguale a v1. Ovviamente il vettore CD, pari a Δvτ, determina la variazione di velocità nel tempo Δt modulo: Δvτ=v1-v. La seconda componente Δvn del vettore Δv caratterizza la variazione di velocità nel tempo Δt in direzione.

Componente di accelerazione tangenziale:

cioè uguale alla prima derivata temporale del modulo di velocità, determinando così la velocità di variazione del modulo di velocità.

Stiamo cercando la seconda componente dell'accelerazione. Assumiamo che il punto B sia molto vicino al punto A, quindi Δs può essere considerato un arco di cerchio di un certo raggio r, leggermente diverso dalla corda AB. Il triangolo AOB è simile al triangolo EAD, che implica Δvn/AB=v1/r, ma poiché AB=vΔt, allora

Nel limite a Δt→0 otteniamo v1→v.

Perché v1→v, l'angolo EAD tende a zero, e poiché triangolo EAD è isoscele, quindi l'angolo ADE tra v e Δvn tende ad angolo retto. Pertanto, come Δt→0, i vettori Δvn e v diventano reciprocamente perpendicolari. Perché il vettore velocità è diretto tangenzialmente alla traiettoria, quindi il vettore Δvn, perpendicolare al vettore velocità, è diretto al centro di curvatura della traiettoria del punto. La seconda componente dell'accelerazione, pari a

è detta componente normale dell'accelerazione ed è diretta lungo una retta perpendicolare alla tangente alla traiettoria (detta normale) al centro della sua curvatura (quindi detta anche accelerazione centripeta).

L'accelerazione totale del corpo è somma geometrica componenti tangenziali e normali (Fig. 2):

Ciò significa che la componente tangenziale dell'accelerazione è una caratteristica della velocità di variazione della velocità in valore assoluto (diretta tangenzialmente alla traiettoria), e la componente normale dell'accelerazione è una caratteristica della velocità di variazione della velocità in direzione (diretta verso il centro di curvatura della traiettoria). A seconda delle componenti tangenziali e normali dell'accelerazione, il movimento può essere classificato come segue:

1)aτ=0, an=0 - moto rettilineo uniforme;

2)aτ=an=const, an=0 - rettilineo moto uniforme. Con questo tipo di movimento

Se il momento iniziale t1 = 0, e la velocità iniziale v1 = v0, allora, indicando t2=t e v2 = v, otteniamo a=(v-v0)/t, da cui

Integrando questa formula da zero ad un tempo t arbitrario, troviamo che la lunghezza del percorso percorso dal punto nel caso di moto uniformemente variabile

3)aτ=f(t), an=0 - moto rettilineo con accelerazione variabile;

4)aτ=0, an=cost. Quando aτ=0, la velocità del modulo non cambia, ma cambia di direzione. Dalla formula an=v2/r segue che il raggio di curvatura deve essere costante. Pertanto, il moto circolare è uniforme, uniforme moto curvilineo;

5)aτ=0, an≠0 moto curvilineo uniforme;

6)aτ=const, an≠0 - moto curvilineo uniforme;

7)aτ=f(t), an≠0 - moto curvilineo con accelerazione variabile.

#18 Equazioni del piano tangente e delle normali alla superficie

Definizione. Sia una funzione di due variabili z =f(х,у), M0(x0;y0) un punto interno di D, M(x0+Δx;y+Δy) sia un punto da D "vicino" a M0.

Ritenere pieno incremento caratteristiche:

Se Δz è rappresentato come:

dove A, B sono costanti (indipendenti da Δx, Δy), - distanza tra M e M0, α(Δx,Δy) - infinitamente piccola a Δx 0, Δy 0; allora la funzione z = f(x, y) si dice differenziabile nel punto M0, e l'espressione

è detto differenziale totale della funzione z = f(x; y) nel punto M0.

Teorema 1.1. Se z =f(x;y) è derivabile nel punto M0, allora

Prova

Poiché nella (1.16) Δx, Δy sono arbitrariamente infinitesimi, possiamo assumere Δy =0, Δx≠0, Δx 0, allora

dopo di che segue da (1.16)

Allo stesso modo, è dimostrato che

e Teorema 1.1. provato.

Nota: la differenziabilità di z = f(x, y) nel punto M0 implica l'esistenza di derivate parziali. Non è vero il contrario (l'esistenza di derivate parziali nel punto M0 non implica differenziabilità nel punto M0).

Di conseguenza, tenendo conto del Teorema 1.1, la formula (1.18) assume la forma:

Conseguenza. La funzione derivabile nel punto M0 è a questo punto continua (poiché (1.17) implica che per Δx 0, Δy 0: Δz 0, z(M) z(M0)).

Nota: allo stesso modo nel caso di tre o più variabili. L'espressione (1.17) assumerà la forma:

Usando senso geometrico(Fig. 1.3) delle derivate parziali e si ottiene la seguente equazione (1.24) del piano tangente πcass alla superficie: z = f (x, y) nel punto C0 (x0, y0, z0), z0 = z (M):

Dal confronto di (1.24) e (1.21) otteniamo il significato geometrico differenziale totale funzioni di due variabili:

Incremento dell'applicata z durante lo spostamento del punto C lungo il piano tangente dal punto C0 al punto

da dove viene (1.24).

L'equazione della normale Ln alla superficie: z \u003d f (x, y) nel punto C0 si ottiene come l'equazione di una retta passante per C0 perpendicolare al piano tangente:

N. 19 Derivato in direzione. Pendenza

Lascia che la funzione e punto . Tracciamo un vettore dal punto, la cui direzione dei coseni . Sul vettore, a distanza dalla sua origine, si consideri il punto, cioè .

Assumiamo che la funzione e le sue derivate parziali del primo ordine sono continue nel dominio.

Il limite della relazione a è chiamato derivata della funzione al punto nella direzione del vettore ed è indicato con , cioè .

Per trovare la derivata di una funzione in dato punto nella direzione del vettore usa la formula:

dove sono i coseni di direzione del vettore , che si calcolano con le formule:
.

Lascia che la funzione .

Il vettore le cui proiezioni sugli assi delle coordinate sono i valori delle derivate parziali di questa funzione nel punto corrispondente è chiamato gradiente della funzione ed è denotato o (leggi "nabla u"): .

In questo caso, diciamo che nel dominio è definito un campo vettoriale di gradienti.

Per trovare il gradiente di una funzione a un dato punto usa la formula: .

№22 proprietà di base dell'integrale indefinito

Integrale indefinito

dove F è l'antiderivata della funzione f (sull'intervallo); C è una costante arbitraria.

Proprietà di base

1.

2.

3. Se poi

24)

25)

28)

Questo metodo viene utilizzato nei casi in cui l'integrando è un prodotto o quoziente di funzioni eterogenee. In questo caso, V'(x) è considerata la parte facilmente integrabile.

29)

32) Scomposizione di una frazione razionale in frazioni semplici.

Ogni propria frazione razionale
può essere rappresentato come somma di un numero finito di semplici frazioni razionali del primo - quarto tipo. Per decomposizione
il denominatore deve essere scomposto in frazioni semplici Qm (x) a lineare e fattori quadrati, per cui devi risolvere l'equazione:

- (5)

Teorema.Frazione razionale corretta
, dove
, Potere l'unico modo scomponi nella somma di semplici frazioni:

- (6)

(A 1 , A 2 , …, A k , B 1 , B 2 , …, B 1 , M 1 , N 1 , M 2 , M 2 , …, M s , N s sono dei numeri reali).

33) Scomposizione di una frazione propria in frazioni più semplici con radici complesse del denominatore

Formulazione del problema. Trova l'integrale indefinito

1 . Introduciamo la notazione:

Confronta le potenze del numeratore e del denominatore.

Se l'integrando è una frazione razionale impropria, cioè grado numeratoren maggiore o uguale alla potenza del denominatorem , quindi selezioniamo prima la parte intera della funzione razionale dividendo il numeratore per il denominatore:

Qui il polinomio è il resto della divisione per e il gradopk(x) meno gradoQm

2 . Espandere una frazione razionale propria

in frazioni elementari.

Se il suo denominatore è primo radici complesse quelli.

allora la decomposizione ha la forma

3 . Per calcolare i coefficienti incerti,A1,A2,A3...B1,B1,B3... riduciamo la frazione sul lato destro dell'identità a un denominatore comune, dopodiché uguagliamo i coefficienti alle stesse potenzeX nei numeratori a sinistra e a destra. Prendiamo il sistema 2 S equazioni con 2 S sconosciuto, che ha una soluzione unica.

4 Integriamo frazioni elementari della forma

47) Se esiste un limite finito I della somma integrale come λ → 0, e non dipende da come vengono scelti i punti ξ i, da come è diviso il segmento, allora questo limite è chiamato integrale definito della funzione f (x) sul segmento ed è indicato come segue:

In questo caso, la funzione f (x) è chiamata integrabile su . I numeri aeb sono chiamati rispettivamente i limiti inferiore e superiore dell'integrazione, f (x) - l'integrando, x - la variabile di integrazione. Va notato che non importa quale lettera indichi la variabile di integrazione di un integrale definito

poiché la modifica della notazione di questo tipo non influisce in alcun modo sul comportamento della somma integrale. Nonostante le somiglianze nella notazione e nella terminologia, un certo e integrali indefiniti diverso

48) Teorema sull'esistenza di un integrale definito

Dividiamo il segmento in parti per punti x1,x2,x3... in modo che

Indichiamo con deltaX la lunghezza dell'i-esimo pezzo e con il massimo di queste lunghezze.

Scegliamo arbitrariamente un punto su ogni segmento in modo che (è chiamato il "punto medio") e componiamo

quantità, che è chiamata somma integrale

Troviamo il limite

Definizione. Se esiste e non dipende

a) un metodo per dividere un segmento in parti e da

b) metodo di scelta punto medio,

è un integrale definito della funzione f(x) sul segmento .

La funzione f(x) è chiamata in questo caso integrabile sul segmento . I valori a e b sono chiamati rispettivamente i limiti inferiore e superiore di integrazione.

50) Proprietà fondamentali di un integrale definito

1) Se l'intervallo di integrazione è diviso in un numero finito di intervalli parziali, allora l'integrale definito preso sull'intervallo è uguale alla somma degli integrali definiti presi su tutti i suoi intervalli parziali.

2) il teorema del valore medio.

Sia la funzione y = f(x) integrabile sul segmento ,m=min f(x) e M=max f(x) , allora esiste un tale numero

Conseguenza.

Se la funzione y = f(x) è continua sul segmento , allora esiste un numero tale che.

3) Quando i limiti dell'integrazione sono riordinati, l'integrale definito cambia il suo segno nel contrario.

4) Un integrale definito con gli stessi limiti di integrazione è uguale a zero.

5) Integrazione del modulo funzione

Se la funzione f(x) è integrabile, allora anche il suo modulo è integrabile sull'intervallo.

6) Integrazione della disuguaglianza

Se f(x) e q(x) sono integrabili su un intervallo e x appartiene

poi

7) Linearità

Il fattore costante può essere estratto dal segno di un integrale definito

se f(x) esiste ed è integrabile sull'intervallo , A=const

Se la funzione y=f(x) è continua sull'intervallo e F(x) è una delle sue antiderivate su (F'(x)=f(x)), allora la formula

Calcoliamo l'integrale di funzione continua viene effettuata la sostituzione x=α(t).

1) La funzione x=α(t) e la sua derivata x'=α'(t) sono continue per t appartenenti a

2) L'insieme dei valori della funzione x=α(t) con t appartenente è il segmento

3) UN α(c)=a e α(v)=b

Sia la funzione f(x) continua sull'intervallo e con discontinuità infinita in x=b. Se c'è un limite, allora è chiamato integrale improprio del secondo tipo e indicato con .

Quindi, per definizione,

Se esiste il limite sul lato destro, allora l'integrale improprio converge. Se il limite indicato non esiste o è infinito, allora si dice integrale diverge.

Definizione 1. Un vettore r è chiamato funzione vettoriale di un argomento scalare t se ogni valore scalare dall'intervallo di valori ammissibili corrisponde a certo valore vettore r Scriviamola così: Se il vettore r è una funzione dell'argomento scalare t, allora anche le coordinate x, y, z del vettore r saranno funzioni dell'argomento t: La funzione vettoriale dell'argomento scalare . odografo. Limite e continuità della funzione vettoriale di un argomento scalare Viceversa, se le coordinate del vettore r sono funzioni di t%, anche il vettore r stesso sarà una funzione di t: Quindi, specificando la funzione vettoriale r(f) è equivalente a specificare tre funzioni scalari y(t), z( t). Definizione 2. L'odografo della funzione vettoriale r(t) di un argomento scalare è il luogo dei punti che descrive la fine del vettore r(*) quando cambia lo scalare t, quando l'inizio del vettore r(f) è posto in un punto fisso O dello spazio (Fig. I). L'odografo del vettore raggio r = r(*) si muove 1 del punto di contatto sarà la traiettoria L di questo punto stesso. L'odografo della velocità v = v(J) di questo punto sarà un'altra linea L\ (Fig. 2). Quindi, se un punto materiale si muove lungo una circonferenza a velocità costante |v| = const, allora anche il suo odografo di velocità è una circonferenza centrata nel punto 0\ e di raggio pari a |v|. Esempio 1. Costruisci l'odografo del vettore r = ti + t\ + t\. Soluzione. 1. Questa costruzione può essere eseguita punto per punto, creando una tabella: Fig.3 2i Puoi anche fare questo. Indicando le coordinate del vettore V con x, y, z, avremo Hc E la chiave da queste equazioni, il parametro 1U, otterremo le equazioni delle superfici y - z = x1, la linea di intersezione L di cui determinerà l'odografo del vettore r() (Fig. 3). D> Compiti per soluzione indipendente. Costruiamo gli odografi dei vettori: Sia definita la funzione vettoriale r = dell'argomento scalare t in qualche intorno del valore a dell'argomento t, eccetto, forse, per il valore di estensione 1. Il vettore costante A è chiamato limite del vettore r(t) at, se per ogni e > 0 esiste b > 0 tale che per ogni t φ a soddisfare la condizione 11 - la disuguaglianza è soddisfatta Come nell'analisi ordinaria, scrivono limr(0=A. Ed entrambi in lunghezza e in direzione (Fig. 4). definizione 2. Un vettore a(t) si dice infinitesimale come t -> to se a(t) ha un limite come t -* to e questo limite è uguale a zero: La funzione vettoriale dell'argomento scalare. odografo. Il limite e la continuità della funzione vettoriale dell'argomento scalare, ovvero, che è lo stesso, per ogni e esiste 6 > 0 tale che per ogni t ↦ a soddisfare la condizione, la disuguaglianza |a(t)| Esempio 1. Mostra che un vettore è un vettore infinitamente scarlatto per t -* 0. Soluzione. Abbiamo dove è chiaro che se per ogni e 0 prendiamo 6 = ~, allora a -0| segneremo |. Secondo la definizione, ciò significa che a(t) è un vettore infinitamente scarlatto come t 0. 1> problemi per una soluzione indipendente di r. Mostrare che il limite del modulo del vettore è uguale al modulo del suo limite se quest'ultimo limite esiste. . Dimostrare che affinché la funzione vettoriale r(*) abbia un limite A per to, è necessario e sufficiente che r( possa essere rappresentato nella forma t) sia un vettore all'infinito per t -* t0 14. La funzione vettoriale a + b(*) è continua per t = t0 Ne consegue che i vettori a(t) e b(J) sono continui anche per t - a 15. Dimostra che se a( sono funzioni vettoriali continue, allora le loro prodotto scalare(a(*),b(f)) e prodotto vettoriale|a(f),b(t)] sono anche continue.

e la sua differenziazione.

Uno dei modi più semplici per definire una curva spaziale è definire un'equazione vettoriale:

dove è il vettore raggio del punto della curva, e - parametro che determina la posizione del punto.

Quella. vettore variabile è una funzione scalare . Tali funzioni nell'analisi matematica sono chiamate funzioni vettoriali di un argomento scalare.

in decomposizione in termini di vettori, l'equazione (1) può assumere la forma:

Questa scomposizione permette di passare all'equazione parametrica della curva:

In altre parole, specificare una funzione vettoriale equivale a specificare tre funzioni scalari.

Rispetto alla funzione vettoriale (1) che definisce la curva data, la curva stessa è chiamata odografo di questa funzione. L'origine delle coordinate è chiamata in questo caso il polo dell'odografo.

Lascia ora
e
- punti della curva definiti dall'equazione (1). E
, un
I vettori del raggio di questi punti saranno

e
.

Vettore
è chiamato incremento della funzione vettoriale
corrispondente all'incremento
il suo argomento, e denotato da
,

funzione vettoriale
sarà una funzione continua , Se

.

Per trovare la derivata di
facciamo così -

.

Imposta la direzione ora
. È ovvio che collineare con
e a
diretto nella stessa direzione di
e a
- nella direzione opposta. Ma nel primo caso
e nel secondo
Quella. vettore sempre diretto lungo la secante dell'odografo
verso l'alto .

Se usiamo l'espansione e per orts, quindi

Da qui dividendo (*) per
e andando al limite
per
noi abbiamo

Sulla base della (4), si può dimostrare che valgono le seguenti formule:

(5)

(6)

è una funzione scalare.

Dimostrazione (7).

Esaminiamo ora alcune proprietà
. Prima di tutto, troviamo il suo modulo:

.

Perché consideriamo quindi rettificabile l'arco dell'odografo
è la lunghezza della corda, e
- lunghezza dell'arco. Ecco perchè

Quella. il modulo della derivata della funzione vettoriale dell'argomento scalare è uguale alla derivata dell'arco odografico rispetto allo stesso argomento.

Corollario 1. Se - vettore unitario diretto tangenzialmente all'odografo in direzione di aumento , poi

Corollario 2. Se si prende come argomento della funzione vettoriale la lunghezza dell'arco dell'odografo , poi

(perché
)

Quella. la derivata della funzione vettoriale lungo la lunghezza dell'arco dell'odografo è uguale al vettore unitario della tangente all'odografo, diretta nella direzione di aumentare la lunghezza dell'arco.

Corollario 3. Se l'odografo di una funzione vettoriale è considerato come una traiettoria di un punto, e - come il tempo del movimento, contato da alcuni , poi
in grandezza e direzione coincide con il vettore velocità
.

Infatti, il valore scalare della velocità è uguale alla derivata del percorso rispetto al tempo:

Inoltre, il vettore diretto tangenzialmente alla traiettoria nella direzione del movimento, che corrisponde alla direzione di aumento , cioè. corrisponde alla direzione .

Quella.
.

Considera ora
, la cui lunghezza è costante,
, cioè.

(*)
dove

Differenziando (*), troviamo:

Quelli.

In particolare, il vettore derivato di qualsiasi variabile nella direzione dell'unità sempre
.

Lascia ora
l'angolo tra i raggi della sfera unitaria disegnata ai punti
e
odografo
. Poi la lunghezza dell'accordo
da un triangolo
sarà uguale a

Il modulo della derivata di un vettore variabile unitario è uguale alla velocità angolare di rotazione di questo vettore.

Per quanto riguarda le funzioni scalari, il differenziale di una funzione vettoriale si scrive come

Ma anche allora

Curvatura di una curva spaziale.

Triedro di accompagnamento.

Secondo il Corollario 2, per puoi scrivere la formula:

Cambio di direzione , associato a una variazione della tangente alla curva spaziale, caratterizza la curvatura della curva. Per una misura della curvatura di una curva spaziale, come per una piana, prendono il limite del rapporto tra l'angolo di adiacenza e la lunghezza dell'arco, quando

curvatura,
angolo di adiacenza,
lunghezza dell'arco.

D'altro canto,
vettore unitario e suo vettore derivato perpendicolare ad esso, e il suo modulo
differenziando Su e introduzione
vettore unitario con direzione , noi troviamo:

Vettore
il vettore di curvatura della curva spaziale. La sua direzione, perpendicolare alla direzione della tangente, è la direzione della normale della curva spaziale. Ma la curva spaziale ha in ogni punto un innumerevole insieme di normali, che giacciono tutte nel piano passante dato punto curva e perpendicolare alla tangente nel punto dato. Questo piano è chiamato piano normale della curva spaziale.

Definizione. La normale della curva lungo la quale il vettore di curvatura della curva è diretto in un dato punto è la normale principale della curva spaziale. Quella.
il vettore unitario della normale principale.

Costruiamo ora il terzo vettore unitario uguale al prodotto vettoriale e

Vettore , piace anche perpendicolare quelli. giace sul piano normale. La sua direzione è chiamata direzione del binormale della curva spaziale nel punto dato. Vettore
e costituiscono una tripla di vettori unitari tra loro perpendicolari, la cui direzione dipende dalla posizione del punto sulla curva spaziale e varia da punto a punto. Questi vettori formano il cosiddetto. il triangolo di accompagnamento (triedro di Frenet) della curva spaziale. Vettore
e formare una tripla destra, proprio come i vettori unitari
nel giusto sistema di coordinate.

Presi in coppia
definire tre piani passanti per lo stesso punto sulla curva e formare le facce del triangolo di accompagnamento. in cui e determinare il piano di contatto (b.m. l'arco di curva in prossimità di un dato punto è l'arco di una curva piana nel piano contiguo, fino a b.m. di ordine superiore);

e - piano di raddrizzatura;

e è il piano normale.

Equazioni tangenti, normali e binormali.

Equazioni dei piani del triangolo di accompagnamento.

Conoscere
e , o qualsiasi vettore non unitario ad essi collineare T, N e B deriviamo le equazioni nominate in questa sezione.

Per questo in equazione canonica dritto

e nell'equazione del piano passante per il punto dato

rilevare
coordinate di un punto selezionato sulla curva, oltre
o rispettivamente per
accetta le coordinate di quella dei vettori
o
, che determina la direzione della linea desiderata o normale al piano desiderato:

o - per un piano tangente o normale,

o - per il piano principale normale e raddrizzante,

o - per il binormale e il piano contiguo.

Se la curva è data dall'equazione vettoriale
o
quindi per il vettore
può essere presa la direzione tangente

Per trovare
e troviamo prima l'espansione
da vettori
In precedenza (corollario 1) l'abbiamo trovato
Differenziando rispetto a , noi abbiamo:

Ma perché

Moltiplica ora vettore e

(*)

Basato su (*) per vettore , che ha la direzione del binormale, possiamo prendere il vettore

Ma poi, per
puoi prendere il prodotto vettoriale di questi ultimi:

Quella. in qualsiasi punto di una curva arbitraria, possiamo determinare tutti gli elementi del triangolo che lo accompagna.

Esempio. L'equazione della tangente, normale e binormale all'elica destra in qualsiasi punto.

Tangente

normale principale

Binormale

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GEOMETRIA DIFFERENZIALE

io. FUNZIONE VETTORIALE DELL'ARGOMENTO SCALARE

Funzione vettoriale (definizione 1.1), modi per definirla.

Vettore del raggio e odografo, definizione parametrica dell'odografo.

Derivata di una funzione vettoriale (Definizione 1.6).

Il significato geometrico della derivata di una funzione vettoriale.

Regole per la differenziazione delle funzioni vettoriali.

1.1. DEFINIZIONE DI UNA FUNZIONE VETTORIALE

Definizione 1.1Se ogni valore dell'argomento scalarevettore allineato
spazio tridimensionale R3 , allora diciamo che la funzione vettoriale (o funzione vettoriale) dell'argomento scalare è data sull'insieme Xt .

Se nello spazio R3 dato il sistema di coordinate cartesianeo xyz , quindi il compito sono le funzioni vettoriali
,
equivale a specificare tre funzioni scalariX( t ), y ( t ), z ( t ) – coordinate del vettore:

= { X ( t ), y ( t ), z ( t )} (1.1)

o , (1.2)

dove
sono i vettori di coordinate.

1.2. UNA LINEA SPAZIALE COME HODOGRAFO DI UN RAGGIO-VETTORE

Definizione 1.2 Se l'inizio di tutti i vettori,posti all'origine, sono detti raggi vettori.

Definizione 1.3 La linea, che è il luogo delle estremità dei vettori raggio , , è chiamata odografo della funzione vettoriale e il loro inizio comune è chiamato polo dell'odografo.

Se il parametro t è il tempo, ed è il vettore del raggio del punto in movimento, quindi l'odografo della funzione è la traiettoria del punto in movimento.

L'equazione odografica può essere scritta in forma vettoriale (1.2) o in forma parametrica:

(1.3)

In particolare, se la funzione vettorialecon un cambiamento nell'argomento, cambia solo il suo modulo e la direzione non cambia (), quindi l'odografo di tale funzione vettoriale sarà un raggio rettilineo che emana dall'origine; se cambia solo la direzione del vettore e il suo modulo rimane invariato (
), allora l'odografo della funzione vettoriale sarà una curva posta su una sfera con centro al polo e raggio uguale al modulo costante del vettore.

Immagine 1.

1.3. LIMITE, CONTINUITÀ E DERIVATA DELLA FUNZIONE VETTORIALE

Definizione 1. 4 vettore è chiamato limite della funzione vettorialea
, Se

. (1.4)

Definizione 1.5 Viene chiamata la funzione vettoriale continuo in un puntot 0, se ha un limite a questo punto uguale al valore della funzione vettoriale a questo punto:

. (1.5)

Definizione 1.6Funzione vettoriale derivativa al punto t è chiamato limite del rapporto tra l'incremento della funzione vettoriale e l'incremento dell'argomento
a
:

(1.6)

1.4. SIGNIFICATO GEOMETRICO E MECCANICO DELLA PRIMA FUNZIONE VETTORIALE DERIVATA

Il significato geometrico della derivata prima della funzione vettoriale dell'argomento scalare è che questa derivata è un nuovo vettore diretto tangenzialmente all'odografo:
. Mostriamolo.

figura 2

Assumeremo che l'odografo della funzione vettoriale considerata sia una retta continua che ha una tangente in uno qualsiasi dei suoi punti.

Diamo un argomento t incremento, quindi geometricamente il rapporto
è un vettore
giacente sulla secante MM'. Con questo vettore ruota e si trasforma in un vettore
, adagiato su una tangente e diretto nella direzione di aumentot . Quindi il vettore

(1.7)

sarà vettore unitario tangente, orientata nella direzione del parametro crescentet .

Pertanto, il vettore
può essere preso come vettore di direzione della tangente alla curva nel punto ), (o
), e scrivi l'equazione della tangente come segue:

(1.8)

Se una t – tempo e è il vettore raggio del punto
entrando in spazio tridimensionale, poi circasi chiama relazione velocità media punti sul segmento [t; t+t].

senso meccanicola derivata prima della funzione vettoriale è che questa derivata è la velocità del punto M in questo momentot :

Regole per la differenziazione delle funzioni vettoriali

Dimostriamo la regola 1 usando le regole per sottrarre vettori e dividere un vettore per un numero:

La dimostrazione del resto delle regole si basa sulla regola 1 e sulle regole per le operazioni con i vettori.

Esempio 1.1: Data una funzione vettoriale.Costruisci il suo odografo e formula la sua equazione tangente in un punto arbitrario.

Soluzione. Per qualsiasi punto ( X , y , z ) vettore odografo - funzioni che abbiamo:X = costo ; y = asint ; z = bt e quindi, per qualsiasi
uguaglianzaX 2 + y 2 = un 2 , e la generatrice è parallela all'asse Oz. Se il parametro t interpretato come tempo, quindi con moto uniforme attorno alla circonferenza della proiezione dell'estremità del vettore raggio sul pianoOssi la sua proiezione sull'asseOz si muoverà uniformemente e in linea retta ad una velocitàb . In altre parole, l'applicata del punto odografo della funzione vettoriale cresce proporzionalmente all'angolo di rotazione della sua proiezione sul pianoOssi . Pertanto, l'odografo desiderato avrà la forma mostrata in Fig. 3 ed è chiamato elica. Per trovare le tangenti all'odografo (elica), troviamo la derivata della funzione vettoriale.

Soluzione. Perché il, poi e