Metodo grafico. Piano delle coordinate (x;a)

L'equazione
superfici
F(x,y,z)=0
.

Aereo. Equazione di un piano rispetto ad un punto e ad un vettore normale

La posizione dell'aereo nello spazio
può essere determinato impostando any
punto M0 sull'aereo e alcuni
vettore normale. normale
un vettore piano è qualsiasi
vettore perpendicolare a questo
aerei.

Sia il punto M0(x0,y0,z0) giacente nel piano.
Introduciamo un punto arbitrario
piano M(x, y, z).
z
n (A,B,C)
M
y
M0
X

Vettori n(A, B, C) e M 0 M (x x0 , y y0 , z z0)
ortogonale.
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Equazione piana per punto e
vettore normale.

Esempio 1:

passante per il punto M(2,3,-1)
perpendicolare al vettore n(1,2, 3)
Decisione:
Secondo la formula: 1(x-2)+2(y-3)-3(z+1)=0
oppure x+2y-3z-11=0

Esempio 2:
Scrivi l'equazione del piano,
passante per il punto M(1,0,0)
perpendicolare al vettore n(2,0,1) .
Decisione:
Otteniamo: 2(x-1)+0(y-0)+1(z-0)=0
o 2x+z-2=0.

Equazione generale del piano

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, espandilo
parentesi e denotano –Aх0-Ву0-Сz0=D.
Diamo l'equazione del considerato
aereo da vedere:
Ax+By+Cz+D=0 - equazione generale del piano.
I coefficienti A,B,C sono
coordinate vettoriali normali
aerei.

Casi particolari dell'equazione generale del piano

1. Sia A=0, B, C, D≠0. Quindi: Per+Cz+D=0.
Vettore normale del piano n(0, B, C)
perpendicolare all'asse x e quindi
il piano è parallelo all'asse x.
z
y
X

Equazioni Ax+Cz+D=0 e Ax+By+D=0
esprimere piani paralleli agli assi della y
e O.Z.
2. D=0, LA, B, C≠0. Equazione piana:
Ax+By+Cz=0. Il punto O(0,0,0) soddisfa
equazione piana. L'equazione specifica
piano passante per l'origine
coordinate.
3. A=0, D=0, B, C≠0. Equazione piana:
Per+Cz=0. Aereo allo stesso tempo
è parallela all'asse x e passa per l'origine
coordinate, cioè passa per l'asse x.

Allo stesso modo, le equazioni Ax+Cz=0 e Ax+By=0
esprimere piani che passano per gli assi
OY e OZ.
4. A=0, B=0, C, D≠0. Equazione piana:
Cz+D=0. Aereo allo stesso tempo
parallelamente agli assi OX e OU, cioè coordinata
Piano OXY. Equazioni
Con+D=0 e Ax+D=0 piani espressi,
parallelamente ai piani delle coordinate OXZ
e OYZ.

Esempio:
Z=3
z
3
y
X

A=0, B=0, D=0, C≠0.
Equazione piana: Cz=0 o z=0. Questo è
il piano è parallelo
piano delle coordinate OXY, cioè se stessa
piano delle coordinate OXY. Allo stesso modo:
y=0 e x=0 sono equazioni di coordinate
aerei OXZ e OYZ.

Equazione di un piano passante per tre punti dati

Tre punti che non giacciono su una retta M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3).
M(x,y,z) è un punto arbitrario del piano.
z
M2
M1
M3
M

Vettori M1M , M 1M 2 , M 1 M 3 ,
Complanare. Il loro misto
il prodotto è zero.
xx1
x2 x1
y y1
y2 y1
zz1
z 2 z1 0
x3 x1
y3 y1
z3 z1
Questa è l'equazione desiderata del piano,
passando per tre punti dati.

Esempio. Scrivi l'equazione del piano,
passando per i punti M1(1,2,1),
M2(0,1,4), M3(-3,3,2).
Soluzione: utilizzare il risultato
equazione, abbiamo:
x 1 y 2 z 1
1
4
2
1
3 0
1
Oppure 4x+11 anni+5z-31=0

Angolo tra piani, condizione di parallelismo e perpendicolarità di due piani

Due piani: A1x+B1y+C1z+D1=0 e
A2x+B2y+C2z+D2=0. La loro normalità
vettori n1 (A1 , B1 , C1) , n2 (A2 , B2 , C2)
Angolo tra due piani
chiamato l'angolo tra la loro normale
vettori
n1 n2
Cosω=
n1 n2
A1 A2 B1 B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22

Se i piani sono perpendicolari, allora loro
anche vettori normali
sono perpendicolari e quindi
prodotto in punti è zero:
A1 A2+B1 B2+C1 C2=0.
Se i piani sono paralleli, allora
i loro vettori normali sono paralleli, e
Ciò significa che sono soddisfatte le seguenti relazioni:
A1 B1 C1
A2 B2 C2

Esempio: scrivi l'equazione del piano,
passante per il punto M(0,1,4)
parallela al piano 2x-4y-z+1=0.
Soluzione: il vettore normale di un dato
l'aereo sarà normale
vettore e per il piano desiderato.
Usiamo l'equazione del piano per il punto
e vettore normale:
2(x-0)-4(y-1)-(z-4)=0 o 2x-4y-z+8=0.

.Distanza dal punto al piano

trovare la distanza dal punto M(x0, y0, z0) a
piano: Ax+By+Cz+D=0. Scendi dal punto
M è perpendicolare alla MK rispetto al piano (d).
z
M
n
K
X
y

Sia il punto K di coordinate x1,y1,z1
n KM n KM d n
Oppure n KM A(x0-x1)+B(y0-y1)+C(z0-z1)=
= Ax0+By0+Cz0-(Ax1+By1+Cz1).
Il punto K giace su un piano, il suo
le coordinate soddisfano l'equazione
piano, ovvero Ax1+By1+Cz1+D=0.

Considerando ciò, otteniamo: n KM
Ax0+By0+Cz0+D-(Ax1+By1+Cz1+D)=
Ax0+By0+Cz0+D.
Allora: Ax0+By0+Cz0+D= d n ;
d
Ax0 di 0 Cz0 D
A B C
2
2
2

Esempio:
Trova la distanza dal punto M (-1,2,3) a
piano 2x-6y-3z+2=0.
Decisione:
Usiamo la formula e sostituiamo in
equazione del piano delle coordinate
punto di riferimento:
d
2 (1) (6) 2 3 (3) 2
2 2 (6) 2 32
21
=
=3
7

Equazioni generali di una retta nello spazio

Si considera una linea nello spazio
come linea di intersezione di due piani.
A1 x B1 e C1 z D1 0
A2 x B2 e C2 z D2 0
Il sistema definisce una retta se
i piani non sono paralleli
A1 B1 C1
A2 B2 C2

Equazioni canoniche di una retta nello spazio

La posizione della linea L nello spazio
determinato in modo univoco se noto
su un punto M0(x0, y0, z0) giacente
retta L, e viene dato il vettore di direzione
S (m, n, p)
S
M
M0

M(x, y, z) è un punto arbitrario su questo
dritto. Poi i vettori
M 0 M \u003d (x-x0, y-y0, z-z0) e S (m, n, p)
sarà collineare:
x x0 y y 0 z z 0
m
n
p
sono le equazioni canoniche della linea in
spazio o l'equazione di una retta in
vettore punto e direzione.

Esempio 1:

per il punto M(1,2,3), parallelo alla retta
x 1 e 7 z
2
5
3
Decisione:
Poiché le rette sono parallele, allora S (2,5,3)
è un vettore di direzione e il desiderato
dritto. Quindi:
x 1 y 2 z 3
2
5
3

Esempio 2:
Scrivi l'equazione della retta L passante
per il punto M(1,2,3), e avendo
vettore di direzione S(2,0,5)
Decisione:
Usiamo la formula:
x 1 z 3
e
2
5
y-2=0,
cioè 5x-2z+1=0 e y=2. Significa che
la retta giace nel piano y=2

Equazioni di una retta nello spazio per due punti

Sono dati due punti M1(x1,y1,z1) e M2(x2,y2,z2).
Scrivi l'equazione di una retta passante
attraverso due punti.
M1
M2

La retta passa per il punto M1 e ha
come vettore guida M 1M 2
L'equazione è simile a:
xx1
y y1
zz1
x2 x1 y 2 y1 z 2 z1
Esempio: scrivere l'equazione di una retta,
passando per i punti М1(1,4,-3) e
M2(2,1,1).
Soluzione: usiamo la formula
x 2 y 1 z 1
1
3
4

Equazioni parametriche di una retta nello spazio

Considera le equazioni canoniche
diretto: x x0 y y0 z z 0
m
n
p
Introduciamo il parametro t:
x x0 y y 0 z z 0
t
m
n
p
-∞ < t <+∞.

Noi abbiamo:
xx0
t
y mia y
0
t
n
z z0 t
p
o
x x0 mt
y y0 nt
z z pt
0
equazioni parametriche della retta in
spazio. In questa forma sono spesso
utilizzato in meccanica e fisica, parametro t,
di solito il tempo.

Ridurre le equazioni generali di una retta nello spazio a una forma canonica

Si riportano le equazioni generali della retta
spazio
A1 x B1 e C1 z D1 0 (1)
A2 x B2 e C2 z D2 0
Portali alla forma canonica
x x0 y y 0 z z 0
m
n
p

Per risolvere il problema è necessario:
1. trova le coordinate (x0, y0, z0) di qualsiasi
punto su una retta
2. trova le coordinate (m,n,p) della guida
il vettore di questa linea.
Per trovare le coordinate del punto M0 aggiungiamo
una delle coordinate numeriche arbitrarie
valore, ad esempio assumiamo x=x0. Presentandolo
nel sistema (1), otteniamo un sistema di due
equazioni con incognite y e z. Lo risolviamo.
Di conseguenza, si trova un punto sulla linea
M0(x0, y0, z0).

Come vettore guida, prendiamo
il vettore che è il risultato
prodotto vettoriale della normale
vettori di due piani.
S (m, n, p) n1 n2
io
A1
j
B1
A2
B2
K
B1
C1
B2
C2
C1
C2
io
A1
C1
A2
C2
j
A1
B1
A2
B2
K

Ottenere le coordinate della guida
vettore:
A1 B1
A1 C1
B1 C1
p
n
m
A2 B2
A2 C2
B2 C2
Equazioni generali di una retta, scritte
forma canonica:
xx0
si si0
z z0
B1 C1
C1 A1
A1 B1
B2
C2
C2
A2
A2
B2

Esempio: scrivi l'equazione canonica
dritto
x 2 y z 5 0
x y z 1 0
Soluzione: Sia z0=0. Quindi:
x 2 e 5
x y 1
Quindi: y0=-6, x0=7. Punto M0 sdraiato
retta, ha coordinate: (7,-6,0).

Troviamo il vettore di direzione. Normale
i vettori piani hanno coordinate
n1(1,2,1)
Quindi
n2(1,1,1)
io j k
S n1 n2 1 2 1 3i 2 j k
1 1
1
Le equazioni canoniche della retta hanno la forma:
x 7 e 6 z
3
2
1

L'angolo tra due rette nello spazio, la condizione di perpendicolarità e parallelismo delle rette

le righe L1 e L2 sono date in forma canonica con
vettori di direzione
S 1 (m1 , n1 , p1) e S 2 (m2 , n2 , p2)
x x1 y y1 z z1
m1
n1
p1
x x2 y y 2 z z 2
m2
n2
p2

L'angolo tra due rette si chiama angolo
tra i loro vettori di direzione.
S1 S2
cos (L1 , L2) cos(S1 , S 2)
S1 S2
cos(L1 , L2)
m1m2 n1n2 p1 p2
m12 n12 p12 m22 n22 p22

Le linee sono perpendicolari se
i loro vettori di direzione sono perpendicolari:
Cioè, S1 S2 0 , o
m1m2+n1n2+p1p2=0.
Le rette sono parallele se sono parallele
vettori di direzione:
m1 n1
p1
m2 n 2 p 2

Esempio: trova l'angolo tra le linee
x 2 e 7
z
1
3
2
e
x 10 e 3 z 5
4
1
2
Soluzione: vettori di direzione delle linee
hanno coordinate: (1,3,-2) e (4,1,2).
Quindi,
1 4 3 1 (2) 2
3
cos(L1 , L2)
1 9 4 16 1 4 7 16
3
(L1 , L2) arcos
7 16

Angolo tra linea e piano

Il piano P è dato: Ax+By+Cz+D=0, e
dritto L:
x x0 y y 0 z z 0
m
n
p
n
S
ω
φ

Angolo tra linea e piano
detto angolo φ tra la retta e la proiezione
lei all'aereo.
ω - angolo tra il vettore normale
vettore piano e direzione
dritto. ω=π/2-φ. Allora sinφ=cos(π/2-φ)=
=cosω. Ma cosω=cos (n, S)
Quindi
n S
sinφ= cos (n, S)
n S

sinφ =
Am Bn Cp
m 2 n 2 p 2 A2 B 2 C 2
Esempio: trova l'angolo tra una linea:
x 2 e 1 z
3
2
6
e piano: 2x+y+2z-5=0.
Soluzione: vettore piano normale
ha coordinate: (2,1,2), guida
il vettore di linea ha coordinate: (3,2,-6).
peccato
6 2 12
4
2
2
2
2
2
2
21
2 1 2 3 2 6

La condizione di perpendicolarità e parallelismo di una retta e di un piano.

x x0 y y 0 z z 0
m
n
p
P
La riga L è data:
e piano P: Ax+By+Cz+D=0.
Se la retta è parallela al piano, allora
guida il vettore dritto
perpendicolare al vettore normale
aerei.
S
n
l

Pertanto, il loro prodotto scalare
è uguale a zero: A·m+B·n+C·p=0.
Se la retta è perpendicolare al piano, allora
questi vettori sono paralleli.
S
n
R
l
In questo caso:
A B C
m n p

Esempio:
Scrivi l'equazione di una retta
passante per il punto M(1,2,-3),
perpendicolare al piano
4x+2y-z+5=0.
Decisione:
Poiché il piano è perpendicolare
retta, quindi un vettore normale e
direzione vettore parallelo:
x 1 y 2 z 3
4
2
1

Diamo un'occhiata a un problema tipico.
I vertici della piramide ABCD sono dati: A(1,0,0);
B(0,2,0); C(0,0,3), D(2,3,4). Trovare:
1. La lunghezza e l'equazione del bordo AB,
2. Equazione e area della faccia ABC,
3. Equazione e lunghezza dell'altezza omesse
dal vertice D alla faccia ABC,
4. Angolo tra il bordo AD e la faccia ABC,
5. Il volume della piramide.

Disegno:
z
D
C
B
UN
X
y

1. Introduciamo in considerazione il vettore AB. La sua
coordinate: (0-1;2-0;0-0) o (-1;2;0). Lunghezza
il bordo AB è uguale al modulo del vettore.
AB= 1 4 0 5
L'equazione della retta AB (l'equazione della retta lungo
due punti):
x 1 anno
1 2
Oppure 2x+y-2=0

2. Equazione della faccia ABC (equazione
piano di tre punti):
x 1 e z
1 2 0 0
1
0 3
Quindi: (x-1)∙6-y∙(-3)+z∙2=0,
o 6x+3y+2z-6=0.
Trova l'area del triangolo ABC con
prodotto incrociato
vettori AB e AC

Coordinate vettoriali AB =(-1;2;0),
vettore AC =(-1,0,3).
1
S∆ABC= AB AC
mq
2
Prodotto vettoriale:
io
jk
AB AC 1 2 0 6i 3 j 2k
1 0 3

Quindi
1
S ABC 6i 3 j 2k
2
1
7
36 9 4 3,5 q.b.
2
2

Equazione dell'altezza - equazione di una retta lungo
punto D(2,3,4) e vettore di direzione. A
come vettore guida -
faccia normale vettore ABC: n (6,3,2)
x 2 y 3 z 4
6
3
2
Per trovare la lunghezza dell'altezza, usa
formula:
Ax0 di 0 Cz0 D
d
A2 B2 C2

Noi abbiamo:
d
6 2 3 3 2 4 6
36 9 4
27
3
4. Angolo tra il bordo AD e la faccia ABC.
Equazione del bordo ABC: 6x+3y+2z-6=0,
il vettore normale ha coordinate:
(6,3,2). Scriviamo le equazioni della retta,
passanti per i punti A(1,0,0) e D(2,3,4):
x 1 y 0 z 0
2 1 3 0 4 0

Questa linea ha un vettore di direzione con
coordinate:(1,3,4). Quindi
peccato
=
Am Bn Cp
m n p A B C
2
2
2
2
6 1 3 3 2 4
12 32 4 2 6 2 32 2 2
arco peccato
2
23
7 26
2
=
23
23
26 7 7 26

5. Il volume della piramide è 1/6 del volume
parallelepipedo costruito su
vettori, come sui lati. Noi usiamo
prodotto misto di vettori.
Coordinate vettoriali: AB =(-1,2,0),
AC○=(-1,0,3), AD=(1,3,4)
○ Vbox
1 2 0
1 0 3 23
1
3 4
○ Vpiramidi=23/6 unità cubiche

ANGOLO TRA I PIANI

Consideriamo due piani α 1 e α 2 dati rispettivamente dalle equazioni:

Sotto angolo tra due piani si intende uno degli angoli diedri formati da questi piani. Ovviamente l'angolo tra i vettori normali ed i piani α 1 e α 2 è uguale ad uno degli angoli diedri adiacenti indicati o . Così . Perché e , poi

Esempio. Determina l'angolo tra i piani X+2y-3z+4=0 e 2 X+3y+z+8=0.

Condizione di parallelismo di due piani.

Due piani α 1 e α 2 sono paralleli se e solo se i loro vettori normali e sono paralleli, e quindi .

Quindi, due piani sono paralleli tra loro se e solo se i coefficienti alle coordinate corrispondenti sono proporzionali:

Condizione di perpendicolarità dei piani.

È chiaro che due piani sono perpendicolari se e solo se i loro vettori normali sono perpendicolari, e quindi, o .

Così, .

Esempi.

DIRETTA NELLO SPAZIO.

EQUAZIONE VETTORIALE DIRETTA.

EQUAZIONI PARAMETRICHE DIRETTE

La posizione di una retta nello spazio è completamente determinata specificando uno qualsiasi dei suoi punti fissi M 1 e un vettore parallelo a questa retta.

Viene chiamato un vettore parallelo a una retta guida il vettore di questa linea.

Quindi andiamo dritto l passa per un punto M 1 (X 1 , y 1 , z 1) giacente su una retta parallela al vettore.

Considera un punto arbitrario M(x,y,z) su una linea retta. Si può vedere dalla figura che .

I vettori e sono collineari, quindi esiste un tale numero t, cosa , dov'è il moltiplicatore t può assumere qualsiasi valore numerico a seconda della posizione del punto M su una linea retta. Fattore tè chiamato parametro. Indicazione dei vettori raggio dei punti M 1 e M rispettivamente, attraverso e , otteniamo . Questa equazione è chiamata vettore equazione di linea retta. Mostra che ogni valore di parametro t corrisponde al vettore raggio di un punto M sdraiato su una linea retta.

Scriviamo questa equazione in forma di coordinate. Notare che , e da qui

Le equazioni risultanti sono chiamate parametrico equazioni in linea retta.

Quando si modifica il parametro t cambiano le coordinate X, y e z e punto M si muove in linea retta.

EQUAZIONI CANONICHE DIRETTE

Lascia stare M 1 (X 1 , y 1 , z 1) - un punto che giace su una linea retta l, e è il suo vettore di direzione. Ancora una volta, prendi un punto arbitrario su una linea retta M(x,y,z) e considera il vettore.

È chiaro che i vettori e sono collineari, quindi le rispettive coordinate devono essere proporzionali, quindi

– canonico equazioni in linea retta.

Nota 1. Si noti che le equazioni canoniche della retta possono essere ottenute dalle equazioni parametriche eliminando il parametro t. Infatti, dalle equazioni parametriche otteniamo o .

Esempio. Scrivi l'equazione di una retta in modo parametrico.

Denota , quindi X = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Nota 2. Lascia che la linea sia perpendicolare a uno degli assi delle coordinate, ad esempio l'asse Bue. Allora il vettore di direzione della retta è perpendicolare Bue, quindi, m=0. Di conseguenza, le equazioni parametriche della retta prendono la forma

Eliminazione del parametro dalle equazioni t, otteniamo le equazioni della retta nella forma

Tuttavia, anche in questo caso, accettiamo di scrivere formalmente le equazioni canoniche della retta nella forma . Pertanto, se il denominatore di una delle frazioni è zero, significa che la linea è perpendicolare all'asse delle coordinate corrispondente.

Allo stesso modo, le equazioni canoniche corrisponde ad una retta perpendicolare agli assi Bue e Ehi o asse parallelo Oz.

Esempi.

EQUAZIONI GENERALI UNA LINEA DIRETTA COME LINEA DI INTERCETTAZIONE DI DUE AEREI

Per ogni retta nello spazio passa un numero infinito di piani. Due di loro, intersecantisi, lo definiscono nello spazio. Pertanto, le equazioni di due piani qualsiasi, considerati insieme, sono le equazioni di questa retta.

In generale, due piani non paralleli qualsiasi dati dalle equazioni generali

determinare la loro linea di intersezione. Queste equazioni sono chiamate equazioni generali dritto.

Esempi.

Costruisci una retta data da equazioni

Per costruire una retta basta trovare due dei suoi punti. Il modo più semplice è scegliere i punti di intersezione della linea con i piani delle coordinate. Ad esempio, il punto di intersezione con il piano xOy otteniamo dalle equazioni di una retta, assumendo z= 0:

Risolvendo questo sistema, troviamo il punto M 1 (1;2;0).

Allo stesso modo, supponendo y= 0, otteniamo il punto di intersezione della retta con il piano xOz:

Dalle equazioni generali di una retta si può procedere alle sue equazioni canoniche o parametriche. Per fare questo, devi trovare un punto M 1 sulla retta e il vettore di direzione della retta.

Coordinate del punto M 1 otteniamo da questo sistema di equazioni, dando a una delle coordinate un valore arbitrario. Per trovare il vettore di direzione, si noti che questo vettore deve essere perpendicolare a entrambi i vettori normali e . Pertanto, per il vettore di direzione della retta l puoi prendere il prodotto incrociato di vettori normali:

Esempio. Fornisci le equazioni generali della retta alla forma canonica.

Trova un punto su una retta. Per fare ciò, scegliamo arbitrariamente una delle coordinate, ad esempio, y= 0 e risolvi il sistema di equazioni:

I vettori normali dei piani che definiscono la linea hanno coordinate Pertanto, il vettore di direzione sarà dritto

. Quindi, l: .

ANGOLO TRA DIRITTI

angolo tra rette nello spazio chiameremo uno qualsiasi degli angoli adiacenti formati da due rette tracciate attraverso un punto arbitrario parallelo ai dati.

Siano date due rette nello spazio:

Ovviamente, l'angolo φ tra le linee può essere preso come l'angolo tra i loro vettori di direzione e . Poiché , quindi secondo la formula per il coseno dell'angolo tra i vettori otteniamo

Tutte le equazioni del piano discusse nei paragrafi seguenti possono essere ottenute dall'equazione generale del piano e anche ridotte all'equazione generale del piano. Quindi, quando si parla di equazione di un piano, si intende l'equazione generale di un piano, se non diversamente indicato.

Equazione di un piano in segmenti.

Visualizza l'equazione del piano , dove a , b e c sono numeri reali diversi da zero, viene chiamato equazione piana in segmenti.

Questo nome non è casuale. I valori assoluti dei numeri a, b e c sono uguali alle lunghezze dei segmenti che il piano taglia sugli assi coordinati rispettivamente Ox, Oy e Oz, contando dall'origine. Il segno dei numeri a, b e c mostra in quale direzione (positiva o negativa) devono essere tracciati i segmenti sugli assi delle coordinate.

Ad esempio, costruiamo un piano nel sistema di coordinate rettangolare Oxyz, definito dall'equazione del piano nei segmenti . A tal fine, contrassegnare un punto distante 5 unità dall'origine nella direzione negativa dell'asse delle ascisse, 4 unità nella direzione negativa dell'asse y e 4 unità nella direzione positiva dell'asse dell'applicata. Resta da collegare questi punti con linee rette. Il piano del triangolo risultante è il piano corrispondente all'equazione del piano in segmenti della forma .

Per maggiori informazioni fare riferimento all'articolo equazione di un piano in segmenti, mostra la riduzione dell'equazione del piano in segmenti all'equazione generale del piano, nello stesso posto troverai anche soluzioni dettagliate ad esempi e problemi tipici.

Equazione normale del piano.

Viene chiamata l'equazione del piano della vista generale equazione normale del piano, Se è uguale a uno, cioè , e .

Puoi spesso vedere che l'equazione normale del piano è scritta come . Ecco i coseni di direzione del vettore normale di un dato piano di lunghezza unitaria, cioè p è un numero non negativo uguale alla distanza dall'origine al piano.

L'equazione normale di un piano nel sistema di coordinate rettangolare Oxyz definisce un piano che si trova a una distanza p dall'origine nella direzione positiva del vettore normale di questo piano . Se p=0 , allora il piano passa per l'origine.

Diamo un esempio di un'equazione piana normale.

Sia dato il piano in un sistema di coordinate rettangolare Oxyz dall'equazione generale del piano della forma . Questa equazione generale del piano è l'equazione normale del piano. Infatti, e il vettore normale di questo piano ha lunghezza uguale a uno, perché .

L'equazione piana nella sua forma normale permette di trovare distanza da punto a piano.

Ti consigliamo di trattare questo tipo di equazione piana in modo più dettagliato, vedere soluzioni dettagliate a esempi e problemi tipici e anche imparare a portare l'equazione piana generale in forma normale. Puoi farlo facendo riferimento all'articolo.

Bibliografia.

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev SB, Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Libro di testo per 10-11 classi di scuola superiore.
Bugrov Ya.S., Nikolsky SM Matematica Superiore. Volume uno: Elementi di algebra lineare e geometria analitica.
Ilyin VA, Poznyak E.G. Geometria analitica.

Si consideri un sistema di coordinate rettangolare Oxyz nello spazio.

equazione di superficie si chiama un'equazione F(x,y,z)=0, che è soddisfatta dalle coordinate di ciascun punto giacente sulla superficie, e non soddisfatta dalle coordinate dei punti non giacenti sulla superficie.

Ad esempio, una sfera è il luogo di punti equidistanti da un punto, chiamato centro della sfera. Quindi tutti i punti soddisfano l'equazione
giacciono su una sfera centrata nel punto O(0.0.0) e raggio R (Fig.1).

Le coordinate di qualsiasi punto non giacente sulla sfera data non soddisfano questa equazione.

Linea nello spazio può essere considerata come la linea di intersezione di due superfici. Quindi nella Figura 1, l'intersezione della sfera con il piano Oxy è un cerchio centrato nel punto O e nel raggio R.

La superficie più semplice è aereo, la linea più semplice nello spazio è dritto.

2. Piano nello spazio.

2.1. Equazione di un piano rispetto ad un punto e ad un vettore normale.

Nel sistema di coordinate Oxyz, considera il piano (Fig.2). La sua posizione è determinata impostando il vettore perpendicolare a questo piano e un punto fisso
sdraiato su questo piano. Vettore
perpendicolare al piano
chiamata vettore normale(vettore normale). Si consideri un punto arbitrario M(x,y,z) del piano . Vettore
piatto
sarà perpendicolare al vettore normale Utilizzando la condizione di ortogonalità del vettore
otteniamo l'equazione: dove

L'equazione ( 2.2.1 )

è chiamata equazione di un piano rispetto a un punto e a un vettore normale.

Se nell'equazione (2.1.1) apriamo le parentesi e riorganizziamo i termini, otteniamo l'equazione o Ax + By + Cz + D = 0, dove

D=
.

2.2. Equazione generale del piano.

L'equazione Ax + By + Cz + D = 0 ( 2.2.1 )

è chiamata equazione generale del piano, dove
è un vettore normale.

Consideriamo casi particolari di questa equazione.

1).D = 0. L'equazione ha la forma: Ax + By + Cz = 0. Tale piano passa per l'origine. Il suo vettore normale

2). C \u003d 0: Ax + By + D \u003d 0
il piano è parallelo all'asse delle oz (Fig.3).

3). B = 0: Ax + Cz + D = 0
il piano è parallelo all'asse y (Fig.4).

4). A = 0: per + Cz + D = 0

il piano è parallelo all'asse del bue (Fig.5).

5). C=D=0: Ax+By=0
l'aereo passa per l'asse oz (Fig.6).

6).B = D = 0: Ax + Cz = 0
l'aereo passa per l'asse y (Fig. 7).

7). A = D = 0: per + Cz = 0
l'aereo passa per l'asse del bue (Fig. 8).

8).A = B = 0: Cz + D = 0

||oz
il piano è parallelo al piano Oxy (Fig. 9).

nove). B=C=0: Ascia+D=0

||bue
aereo

P parallela al piano di Oyz (Fig. 10).

10).A = C = 0: per + D = 0

||oy
il piano è parallelo al piano di Oxz (Fig.11).

Esempio 1 Scrivi un'equazione per un piano passante per un punto
perpendicolare al vettore
Trova i punti di intersezione di questo piano con gli assi delle coordinate.

Decisione. Per la formula (2.1.1) abbiamo

2x - y + 3z + 3 = 0.

Per trovare l'intersezione di questo piano con l'asse bue, sostituiamo nell'equazione risultante y = 0, z = 0. Abbiamo 2x + 3 = 0; x \u003d - 1.5.

Il punto di intersezione del piano desiderato con l'asse bue ha le coordinate:

Trova l'intersezione del piano con l'asse y. Per questo prendiamo x = 0; z = 0. Abbiamo

– y + 3 = 0 y = 3. Quindi,

Per trovare il punto di intersezione con l'asse delle oz, prendiamo x = 0; y=0
3z + 3 = 0
z = – 1. Quindi,

Risposta: 2x – y + 3z + 3 = 0,
,
,
.

Esempio 2 Esplora i piani dati dalle equazioni:

un). 3x – y + 2z = 0

b). 2x + z - 1 = 0

in). – y + 5 = 0

Decisione. un). Questo piano passa per l'origine (D = 0) e ha un vettore normale

b). Nell'equazione
coefficiente B = 0. Pertanto,
Il piano è parallelo all'asse y.

in). Nell'equazione - y + 5 = 0, i coefficienti A = 0, C = 0. Quindi

Il piano è parallelo al piano oxz.

G). L'equazione x = 0 definisce il piano oyz, poiché a B = 0, C = 0 il piano è parallelo al piano oyz, e dalla condizione D = 0 segue che il piano passa per l'origine.

Esempio 3 Scrivi un'equazione per il piano passante per il punto A(2,3,1) e perpendicolare al vettore
dove B(1.0, –1), C(–2.2.0).

Decisione. Troviamo il vettore

Vettore
è un vettore normale del piano desiderato passante per il punto A(2,3,1). Per la formula (2.1.1) abbiamo:

– 3x + 2y + z + 6 – 6 – 1 = 0
– 3x + 2y + z – 1 = 0 3x - 2y - z + 1 = 0.

Risposta: 3x - 2y - z + 1 = 0.

2.3. Equazione di un piano passante per tre punti.

Tre punti che non giacciono sulla stessa retta definiscono un unico piano (vedi Fig. 12). Lascia che i punti non giacciono su una linea retta. Per scrivere l'equazione del piano, devi conoscere un punto del piano e il vettore normale. I punti che giacciono sul piano sono noti:
Puoi prenderne uno qualsiasi. Per trovare un vettore normale, utilizziamo la definizione del prodotto vettoriale dei vettori. Lascia stare
Allora, quindi,
Conoscere le coordinate del punto
e vettore normale troviamo l'equazione del piano usando la formula (2.1.1).

In un altro modo, l'equazione di un piano passante per tre punti dati può essere ottenuta utilizzando la condizione di complanarità dei tre vettori. Infatti, i vettori
dove M(x,y,z) è un punto arbitrario del piano desiderato, sono complanari (vedi Fig.13). Pertanto, il loro prodotto misto è 0:

Applicando la formula del prodotto misto in forma coordinata, otteniamo:

(2.3.1)

Esempio 1 Scrivi un'equazione per un piano passante per i punti

Decisione. Per la formula (2.3.1) abbiamo

Espandendo il determinante, otteniamo:

Il piano risultante è parallelo all'asse y. Il suo vettore normale

Risposta: x + z - 4 = 0.

2.4. Angolo tra due linee.

Due piani, che si intersecano, formano quattro angoli diedri uguali a coppie (vedi Fig. 14). Uno degli angoli diedri è uguale all'angolo tra i vettori normali di questi piani.

Si danno gli aerei:

I loro vettori normali hanno coordinate:

È noto dall'algebra vettoriale che
o

(2.4.1)

Esempio: Trova l'angolo tra i piani:

Decisione: Trova le coordinate dei vettori normali: Per la formula (2.4.1) abbiamo:

Uno degli angoli diedri ottenuti all'intersezione di questi piani è uguale a
Puoi anche trovare il secondo angolo:

Risposta:

2.5. Condizione di parallelismo di due piani.

Siano dati due piani:

Se questi piani sono paralleli, allora i loro vettori normali

collineare (vedi Fig. 15).

Se i vettori sono collineari, le rispettive coordinate sono proporzionali:

(2.5.1 )

Vale anche il contrario: se i vettori normali dei piani sono collineari, allora i piani sono paralleli.

Esempio 1 Quale dei seguenti piani è parallelo:

Decisione: un). Scriviamo le coordinate dei vettori normali.

Verifichiamo la loro collinearità:

Quindi ne consegue che

b). Scriviamo le coordinate

Verifichiamo la collinearità:

vettori
non collineari, piani
non sono paralleli.

Esempio 2 Scrivi un'equazione per un piano passante per un punto

M(2, 3, –2) parallela al piano

Decisione: Il piano desiderato è parallelo al piano dato. Pertanto, il vettore normale del piano può essere preso come il vettore normale del piano desiderato.
Applicando l'equazione (2.1.1), otteniamo:

Risposta:
.

Esempio 3 Determina per quali a e b i piani sono paralleli:

Decisione: Scriviamo le coordinate dei vettori normali:

Poiché i piani sono paralleli, i vettori
collineare Per condizione (2.5.1)
Quindi b = – 2; a = 3.

Risposta: a = 3; b = -2.

2.6. La condizione di perpendicolarità di due piani.

Se l'aereo
sono perpendicolari, quindi i loro vettori normali
sono anche perpendicolari (vedi Fig. 16) Ne consegue che il loro prodotto scalare è uguale a zero, cioè
o in coordinate:

Questa è la condizione affinché due piani siano perpendicolari. Vale anche l'affermazione inversa, cioè se la condizione (2.6.1) è soddisfatta, allora i vettori
quindi,