Metodo grafico. Piano delle coordinate (x;y)

Le equazioni con un parametro causano serie difficoltà logiche. Ciascuna di queste equazioni è essenzialmente una scorciatoia per una famiglia di equazioni. È chiaro che è impossibile scrivere ogni equazione di una famiglia infinita, ma, tuttavia, ognuna di esse deve essere risolta. Il modo più semplice per farlo è rappresentare graficamente la dipendenza di una variabile da un parametro.

Sul piano, la funzione definisce una famiglia di curve in funzione di un parametro. Saremo interessati a quale trasformazione del piano può essere utilizzata per passare ad altre curve della famiglia (vedi , , , , , , ).

Trasferimento parallelo

Esempio. Per ogni valore di parametro, determinare il numero di soluzioni dell'equazione.

Decisione. Costruiamo un grafico della funzione.

Tenere conto. Questa linea è parallela all'asse x.

Risposta. Se, allora non ci sono soluzioni;

se, allora 3 soluzioni;

se, allora 2 soluzioni;

se, 4 soluzioni.

Giro

Va subito notato che la scelta di una famiglia di curve non è uniforme (a differenza dei problemi stessi), o meglio, è la stessa: in tutti i problemi - rette. Inoltre, il centro di rotazione appartiene alla linea.

Esempio. Per quali valori del parametro l'equazione ha una soluzione univoca?

Decisione. Consideriamo la funzione e. Il grafico della seconda funzione è un semicerchio centrato in un punto di coordinate e raggio =1 (Fig. 2).

Arco AB.

Tutti i raggi che passano tra OA e OB si intersecano in un punto e OB e OM si intersecano in un punto (tangente). I coefficienti angolari OA e OB sono rispettivamente uguali. La pendenza della tangente è uguale a. Facilmente trovato fuori dal sistema

Pertanto, le famiglie dirette hanno un solo punto in comune con un arco.

Risposta. .

Esempio. Per quale equazione ha una soluzione?

Decisione. Consideriamo una funzione. Esaminandolo per la monotonia, scopriamo che aumenta sull'intervallo e diminuisce. Punto - è il punto massimo.

Una funzione è una famiglia di rette passanti per un punto. Passiamo alla Figura 2. Il grafico della funzione è l'arco AB. Le linee che saranno tra le linee OA e OB soddisfano la condizione del problema. Il coefficiente di pendenza della retta OA è un numero e OB è .

Risposta. Quando l'equazione ha 1 soluzione;

per altri valori del parametro non ci sono soluzioni.

Omoteità. Compressione in linea retta

Esempio. Trova tutti i valori del parametro, per ognuno dei quali l'equazione ha esattamente 8 soluzioni.

Decisione. Abbiamo. Consideriamo una funzione. Il primo definisce una famiglia di semicerchi centrati in un punto con coordinate, la seconda famiglia di rette parallele all'asse x.

Il numero di radici corrisponderà al numero 8 quando il raggio del semicerchio è sempre più grande, cioè. Nota che c'è.

Risposta. o.

Metodo grafico. Piano delle coordinate (x;a)

In generale, le equazioni, contenenti un parametro, non sono provvisti di alcun sistema di soluzione chiaro e metodicamente progettato. Questi o altri valori del parametro devono essere ricercati al tatto, per enumerazione, risolvendo un gran numero di equazioni intermedie. Un tale approccio non garantisce sempre il successo nel trovare tutti i valori del parametro per il quale l'equazione non ha soluzioni, ha una, due o più soluzioni. Spesso, alcuni dei valori dei parametri vengono persi o compaiono valori extra. Affinché questi ultimi, si deve svolgere uno studio speciale, che può essere abbastanza difficile.

Considera un metodo che semplifica il lavoro di risoluzione delle equazioni con un parametro. Il metodo è il seguente

1. Da un'equazione con una variabile X e parametro un esprimere il parametro in funzione di X: .

2. Nel piano delle coordinate X o un costruire un grafico della funzione.

3. Considera le linee e seleziona quegli intervalli dell'asse O un, in cui tali linee soddisfano le seguenti condizioni: a) non interseca il grafico della funzione, b) interseca il grafico della funzione in un punto, c) in due punti, d) in tre punti, e così via.

4. Se il compito è trovare i valori X, quindi esprimiamo X attraverso un per ciascuno degli intervalli trovati del valore un separatamente.

La visualizzazione del parametro come variabile uguale si riflette nei metodi grafici. Quindi, c'è un piano di coordinate. Sembrerebbe un dettaglio così insignificante come il rifiuto della tradizionale designazione del piano delle coordinate con le lettere X e y definisce uno dei metodi più efficienti per risolvere i problemi con i parametri.

Il metodo descritto è molto chiaro. Inoltre in esso trovano applicazione quasi tutti i concetti di base del corso di algebra e gli inizi dell'analisi. È coinvolto tutto l'insieme delle conoscenze relative allo studio della funzione: l'applicazione della derivata per determinare i punti estremi, trovare il limite della funzione, gli asintoti, ecc.. ecc. (vedi , , ).

Esempio. A quali valori del parametro l'equazione ha due radici?

Decisione. Passiamo al sistema equivalente

Il grafico mostra che quando l'equazione ha 2 radici.

Risposta. Quando l'equazione ha due radici.

Esempio. Trova l'insieme di tutti i numeri, per ciascuno dei quali l'equazione ha solo due radici diverse.

Decisione. Riscriviamo questa equazione nella forma seguente:

Ora è importante non perderlo, e - vengono fornite solo le radici dell'equazione originale. Prestiamo attenzione al fatto che è più conveniente costruire un grafico sul piano delle coordinate. Nella Figura 5, il grafico desiderato è l'unione di linee continue. Qui la risposta è "letta" da linee verticali.

Risposta. A, o, o.

LEZIONI 6-7. Elementi di geometria analitica.

Superfici e loro equazioni.

Esempio 1

Sfera

Esempio 2

F(x,y,z)=0(*),

Questo è - equazione di superficie

Esempi:

x 2 + y 2 - z 2 \u003d 0 (cono)

Aereo.

Equazione di un piano passante per un dato punto perpendicolare a un dato vettore.

Considera un piano nello spazio. Sia M 0 (x 0, y 0, z 0) un dato punto del piano Р, e sia un vettore perpendicolare al piano ( vettore normale aerei).

(1) è l'equazione vettoriale del piano.

In forma coordinata:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0 (2)

Abbiamo ottenuto l'equazione di un piano passante per un dato punto.

Equazione generale del piano.

Apriamo le parentesi in (2): Ax + By + Cz + (-Ax 0 - By 0 - Cz 0) = 0 o

Ax + By + Cz + D = 0 (3)

L'equazione piana risultante linearmente, cioè. Equazione di 1° grado rispetto alle coordinate x, y, z. Pertanto, l'aereo superficie del primo ordine .

Dichiarazione: Qualsiasi equazione lineare in x, y, z definisce un piano.

Qualsiasi aereo può esserlo data dall'equazione (3), che viene chiamata l'equazione generale del piano.

Casi particolari dell'equazione generale.

a) D=0: Ax + By + Cz = 0. le coordinate del punto O(0, 0, 0) soddisfano questa equazione, quindi il piano da esso dato passa per l'origine.

b) С=0: Ax + By + D = 0. In questo caso, il vettore normale del piano , quindi il piano dato dall'equazione è parallelo all'asse OZ.

c) C=D=0: Ax + By = 0. Il piano è parallelo all'asse OZ (perché C=0) e passa per l'origine (perché D=0). Quindi passa per l'asse OZ.

d) B=C=0: Ax + D = 0 o . vettore, cioè e . Pertanto, il piano è parallelo agli assi OY e OZ, cioè è parallela al piano YOZ e passa per il punto.

Considera i casi da solo: B=0, B=D=0, A=0, A=D=0, A=C=0, A=B=0/

Equazione di un piano passante per tre punti dati.

Perché tutti e quattro i punti appartengono al piano, quindi questi vettori sono complanari, cioè il loro prodotto misto è zero:

Abbiamo ottenuto l'equazione di un piano passante per tre punti in forma vettoriale.

In forma coordinata:

(7)

Se apriamo il determinante, otteniamo l'equazione del piano nella forma:

Ax + By + Cz + D = 0.

Esempio. Scrivi l'equazione del piano passante per i punti M 1 (1, -1,0);

M 2 (-2.3.1) e M 3 (0.0.1).

, (x - 1) 3 - (y + 1)(-2) + z 1 = 0;

3x + 2y + z - 1 = 0.

Equazione di un piano in segmenti

Sia data l'equazione generale del piano Ax + By + Cz + D = 0 e D ≠ 0, cioè l'aereo non passa per l'origine. Dividi entrambe le parti per -D: e denota: ; ; . Quindi

avuto equazione di un piano in segmenti .

dove a, b, c sono i valori dei segmenti tagliati dal piano sugli assi delle coordinate.

Esempio 1 Scrivi l'equazione del piano passante per i punti A(3, 0, 0);

B(0, 2, 0) e C(0, 0, -3).

a=3; b=2; c=-3 o 2x + 3y - 2z - 6 = 0.

Esempio 2 Trova i valori dei segmenti che tagliano l'aereo

4x – y – 3z – 12 = 0 sugli assi delle coordinate.

4x-y-3z = 12 a=3, b=-12, c=-4.

Equazione normale del piano.

Sia dato un piano Q. Dall'origine tracciamo una OP perpendicolare al piano. Siano dati |OP|=р e vettore :. Prendiamo il punto corrente M(x, y, z) del piano e calcoliamo il prodotto scalare dei vettori e : .

Se proiettiamo il punto M nella direzione , arriveremo al punto PTO, otterremo l'equazione

(9).

Impostare una linea nello spazio.

La linea L nello spazio può essere definita come l'intersezione di due superfici. Lascia che il punto M(x, y, z) giacente sulla retta L appartenga sia alla superficie P1 che alla superficie P2. Quindi le coordinate di questo punto devono soddisfare le equazioni di entrambe le superfici. Pertanto, sotto l'equazione della retta L nello spazio comprendere l'insieme di due equazioni, ciascuna delle quali è un'equazione della superficie corrispondente:

La linea L appartiene a quei e solo quei punti le cui coordinate soddisfano entrambe le equazioni in (*). Più avanti esamineremo altri modi per definire le linee nello spazio.

Un mucchio di aerei.

Pacchetto aereoè l'insieme di tutti i piani che passano per una data retta - l'asse della trave.

Per definire un fascio di piani è sufficiente specificarne l'asse. Sia data l'equazione di questa retta in forma generale:

.

Scrivi un'equazione del raggio significa comporre un'equazione dalla quale si può ottenere, in una condizione aggiuntiva, l'equazione di qualsiasi piano della trave, ad eccezione del b.m. uno. Moltiplichiamo la II equazione per l e la aggiungiamo all'equazione I:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + l(LA 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2) = 0 (1) o

(LA 1 + lA 2)x + (LA 1 + lB 2)y + (C 1 + lC 2)z + (D 1 + lD 2) = 0 (2).

l - parametro - un numero che può assumere valori reali. Per qualsiasi valore scelto di l, le equazioni (1) e (2) sono lineari, cioè queste sono le equazioni di qualche piano.

1. Mostriamo che questo piano passi per l'asse della trave L. Prendi un punto arbitrario M 0 (x 0 , y 0 , z 0) L. Pertanto, M 0 R 1 e M 0 R 2 . Si intende:

Pertanto, il piano descritto dall'equazione (1) o (2) appartiene alla trave.

2. Puoi anche dimostrare il contrario.: qualsiasi piano passante per la retta L è descritto dall'equazione (1) con un'opportuna scelta del parametro l.

Esempio 1. Componi un'equazione per un piano passante per la linea di intersezione dei piani x + y + 5z - 1 = 0 e 2x + 3y - z + 2 = 0 e per il punto M (3, 2, 1).

Scriviamo l'equazione della trave: x + y + 5z - 1 + l (2x + 3y - z + 2) = 0. Per trovare l, prendiamo in considerazione che М Р:

Qualsiasi superficie nello spazio può essere considerata come un luogo di punti con qualche proprietà comune a tutti i punti.

Esempio 1

Sfera - un insieme di punti equidistanti da un dato punto C (centro). С(x 0, y 0, z 0). Per definizione |CM|=R o o . Questa equazione è valida per tutti i punti della sfera e solo per loro. Se x 0 =0, y 0 =0, z 0 =0, allora .

In modo simile, si può formulare un'equazione per qualsiasi superficie se si sceglie un sistema di coordinate.

Esempio 2 x=0 è l'equazione del piano YOZ.

Esprimendo la definizione geometrica della superficie in termini di coordinate del suo punto attuale e raccogliendo tutti i termini in una parte, otteniamo un'uguaglianza della forma

F(x,y,z)=0(*),

Questo è - equazione di superficie , se le coordinate di tutti i punti sulla superficie soddisfano questa uguaglianza, ma non le coordinate dei punti che non giacciono sulla superficie.

Pertanto, ogni superficie nel sistema di coordinate selezionato ha la propria equazione. Tuttavia, non tutte le equazioni della forma (*) corrispondono a una superficie nel senso della definizione.

Esempi:

2x - y + z - 3 = 0 (piano)

x 2 + y 2 - z 2 \u003d 0 (cono)

x 2 + y 2 +3 = 0 - le coordinate di qualsiasi punto non soddisfano.

x 2 + y 2 + z 2 =0 è l'unico punto (0,0,0).

x 2 \u003d 3y 2 \u003d 0 - linea retta (asse OZ).

Le equazioni canoniche di una retta nello spazio sono equazioni che definiscono una retta passante per un dato punto in modo collineare rispetto a un vettore di direzione.

Si danno un punto e un vettore di direzione. Un punto arbitrario giace su una retta l solo se i vettori e sono collineari, cioè soddisfano la condizione:

.

Le equazioni di cui sopra sono le equazioni canoniche della retta.

Numeri m , n e p sono proiezioni del vettore di direzione sugli assi delle coordinate. Poiché il vettore è diverso da zero, allora tutti i numeri m , n e p non può essere zero allo stesso tempo. Ma uno o due di loro possono essere zero. Nella geometria analitica, ad esempio, è consentita la seguente notazione:

,

il che significa che le proiezioni del vettore sugli assi Ehi e Oz sono uguali a zero. Pertanto, sia il vettore che la retta dati dalle equazioni canoniche sono perpendicolari agli assi Ehi e Oz, cioè aerei yOz .

Esempio 1 Componi le equazioni di una retta nello spazio perpendicolare ad un piano e passando per il punto di intersezione di questo piano con l'asse Oz .

Decisione. Trova il punto di intersezione del piano dato con l'asse Oz. Da qualsiasi punto sull'asse Oz, ha coordinate , quindi, assumendo nell'equazione data del piano x=y= 0, otteniamo 4 z- 8 = 0 o z= 2. Pertanto, il punto di intersezione del piano dato con l'asse Oz ha coordinate (0; 0; 2) . Poiché la retta desiderata è perpendicolare al piano, è parallela al suo vettore normale. Pertanto, il vettore normale può fungere da vettore di direzione della retta dato piano.

Ora scriviamo le equazioni desiderate della retta passante per il punto UN= (0; 0; 2) nella direzione del vettore:

Equazioni di una retta passante per due punti dati

Una retta può essere definita da due punti che giacciono su di essa e In questo caso, il vettore diretto della retta può essere il vettore . Quindi prendono la forma le equazioni canoniche della retta

.

Le equazioni precedenti definiscono una retta passante per due punti dati.

Esempio 2 Scrivi l'equazione di una retta nello spazio passante per i punti e .

Decisione. Scriviamo le equazioni desiderate della retta nella forma data sopra nel riferimento teorico:

.

Poiché , la retta desiderata è perpendicolare all'asse Ehi .

Retta come una linea di intersezione di piani

Una retta nello spazio può essere definita come una linea di intersezione di due piani non paralleli e, cioè, come un insieme di punti che soddisfano un sistema di due equazioni lineari

Le equazioni del sistema sono anche dette equazioni generali di una retta nello spazio.

Esempio 3 Componi le equazioni canoniche di una retta nello spazio dato dalle equazioni generali

Decisione. Per scrivere le equazioni canoniche di una retta o, che è la stessa, l'equazione di una retta passante per due punti dati, è necessario trovare le coordinate di due punti qualsiasi sulla retta. Possono essere i punti di intersezione di una retta con due piani di coordinate qualsiasi, per esempio yOz e xOz .

Punto di intersezione di una retta con un piano yOz ha un'ascissa X= 0. Pertanto, assumendo in questo sistema di equazioni X= 0 , otteniamo un sistema con due variabili:

La sua decisione y = 2 , z= 6 insieme a X= 0 definisce un punto UN(0; 2; 6) della riga desiderata. Assumendo quindi nel dato sistema di equazioni y= 0 , otteniamo il sistema

La sua decisione X = -2 , z= 0 insieme a y= 0 definisce un punto B(-2; 0; 0) intersezione di una retta con un piano xOz .

Ora scriviamo le equazioni di una retta passante per i punti UN(0; 2; 6) e B (-2; 0; 0) :

,

o dopo aver diviso i denominatori per -2:

,