Vengono fornite le formule di base della cinematica di un punto materiale, la loro derivazione e la presentazione della teoria.

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Guarda anche: Un esempio di risoluzione del problema (metodo delle coordinate per specificare il movimento di un punto)

Formule di base per la cinematica di un punto materiale

Presentiamo le formule di base per la cinematica di un punto materiale. Successivamente, diamo la loro derivazione e presentazione della teoria.

Vettore raggio di un punto materiale M in un sistema di coordinate rettangolare Oxyz :
,
dove sono i vettori unitari (orth) nella direzione degli assi x, y, z.

Velocità di punta:
;
.
.
Vettore unitario nella direzione della tangente al percorso del punto:
.

Accelerazione del punto:
;
;
;
; ;

Accelerazione tangenziale (tangenziale):
;
;
.

Accelerazione normale:
;
;
.

Vettore unitario diretto verso il centro di curvatura della traiettoria del punto (lungo la normale principale):
.

.

Vettore del raggio e traiettoria del punto

Si consideri il moto di un punto materiale M . Scegliamo un sistema di coordinate rettangolare fisso Oxyz centrato su alcuni Punto fisso o. Quindi la posizione del punto M è determinata in modo univoco dalle sue coordinate (x, y, z). Queste coordinate sono componenti del vettore raggio del punto materiale.

Il vettore raggio del punto M è il vettore tracciato dall'origine del sistema di coordinate fisse O al punto M.
,
dove sono i vettori unitari nella direzione degli assi x, y, z.

Quando il punto si sposta, le coordinate cambiano nel tempo. Cioè, sono funzioni del tempo. Poi il sistema di equazioni
(1)
può essere visto come l'equazione di una curva data da equazioni parametriche. Tale curva è la traiettoria di un punto.

La traiettoria di un punto materiale è la linea lungo la quale si muove il punto.

Se il punto si sposta su un piano, puoi scegliere gli assi e i sistemi di coordinate in modo che giacciono su questo piano. Quindi la traiettoria è determinata da due equazioni

In alcuni casi, il tempo può essere escluso da queste equazioni. Quindi l'equazione della traiettoria avrà gentile dipendenza:
,
dov'è qualche funzione. Questa dipendenza contiene solo variabili e . Non contiene un parametro.

Velocità del punto materiale

La velocità di un punto materiale è la derivata temporale del suo vettore raggio.

Secondo la definizione di velocità e la definizione di derivata:

Le derivate temporali, in meccanica, sono indicate da un punto sopra il simbolo. Sostituisci qui l'espressione per il vettore raggio:
,
dove abbiamo esplicitamente indicato la dipendenza delle coordinate dal tempo. Noi abbiamo:

,
dove
,
,

- proiezioni di velocità sugli assi delle coordinate. Si ottengono differenziando rispetto al tempo le componenti del raggio vettore
.

In questo modo
.
Modulo di velocità:
.

Tangente al percorso

Da un punto di vista matematico, il sistema di equazioni (1) può essere considerato come l'equazione di una retta (curva) data da equazioni parametriche. Il tempo, in questa considerazione, gioca il ruolo di parametro. Dal corso analisi matematicaè noto che il vettore di direzione per la tangente a questa curva ha componenti:
.
Ma queste sono le componenti del vettore di velocità del punto. Questo è la velocità del punto materiale è diretta tangenzialmente alla traiettoria.

Tutto questo può essere dimostrato direttamente. Sia al momento il punto in posizione con il vettore raggio (vedi figura). E al momento - in una posizione con un vettore raggio. Traccia una linea retta attraverso i punti. Per definizione, una tangente è una retta a cui tende la retta quando .
Introduciamo la notazione:
;
;
.
Quindi il vettore è diretto lungo la retta.

Quando tende, la retta tende alla tangente e il vettore tende alla velocità del punto in quel momento:
.
Poiché il vettore è diretto lungo la retta e la retta è a , il vettore velocità è diretto lungo la tangente.
Cioè, il vettore velocità del punto materiale è diretto lungo la tangente alla traiettoria.

Presentiamo vettore di direzione tangente di lunghezza unitaria:
.
Mostriamo che la lunghezza di questo vettore è uguale a uno. Infatti, perché
, poi:
.

Quindi il vettore velocità punto può essere rappresentato come:
.

Accelerazione del punto materiale

L'accelerazione di un punto materiale è la derivata della sua velocità rispetto al tempo.

Analogamente alla precedente, otteniamo le componenti di accelerazione (proiezioni di accelerazione sugli assi delle coordinate):
;
;
;
.
Modulo di accelerazione:
.

Accelerazioni tangenziali (tangenziali) e normali

Consideriamo ora la questione della direzione del vettore di accelerazione rispetto alla traiettoria. Per fare ciò, applica la formula:
.
Differenziarlo rispetto al tempo utilizzando la regola di differenziazione del prodotto:
.

Il vettore è diretto tangenzialmente alla traiettoria. In quale direzione è diretta la sua derivata temporale?

Per rispondere a questa domanda, utilizziamo il fatto che la lunghezza del vettore è costante e uguale a uno. Allora anche il quadrato della sua lunghezza è uguale a uno:
.
Qui e sotto, i due vettori tra parentesi denotano prodotto scalare vettori. Differenzia l'ultima equazione rispetto al tempo:
;
;
.
Poiché il prodotto scalare dei vettori è uguale a zero, questi vettori sono perpendicolari tra loro. Poiché il vettore è tangente al percorso, il vettore è perpendicolare alla tangente.

Il primo componente è chiamato accelerazione tangenziale o tangenziale:
.
La seconda componente è chiamata accelerazione normale:
.
Allora l'accelerazione totale è:
(2) .
Questa formula è una scomposizione dell'accelerazione in due componenti reciprocamente perpendicolari: tangente alla traiettoria e perpendicolare alla tangente.

Da allora
(3) .

Accelerazione tangenziale (tangenziale).

Moltiplica entrambi i membri dell'equazione (2) scalare a:
.
Perché poi . Quindi
;
.
Qui mettiamo:
.
Da qui è chiaro che accelerazione tangenzialeè uguale alla proiezione dell'accelerazione totale sulla direzione della tangente alla traiettoria o, che è la stessa, sulla direzione della velocità del punto.

L'accelerazione tangenziale (tangenziale) di un punto materiale è la proiezione della sua piena accelerazione sulla direzione della tangente alla traiettoria (o sulla direzione della velocità).

Il simbolo indica il vettore di accelerazione tangenziale diretto lungo la tangente alla traiettoria. Allora è un valore scalare uguale alla proiezione dell'accelerazione totale sulla direzione della tangente. Può essere sia positivo che negativo.

Sostituendo , abbiamo:
.

Sostituisci nella formula:
.
Quindi:
.
Cioè, l'accelerazione tangenziale è uguale alla derivata temporale del modulo della velocità del punto. In questo modo, l'accelerazione tangenziale porta ad una variazione del valore assoluto della velocità del punto. All'aumentare della velocità, l'accelerazione tangenziale è positiva (o diretta lungo la velocità). Al diminuire della velocità, l'accelerazione tangenziale è negativa (o opposta alla velocità).

Ora esaminiamo il vettore.

Ritenere vettore unitario tangente alla traiettoria. Posizioniamo la sua origine all'origine del sistema di coordinate. Quindi la fine del vettore sarà su una sfera di raggio unitario. Quando si sposta un punto materiale, l'estremità del vettore si sposterà lungo questa sfera. Cioè, ruoterà attorno alla sua origine. Sia la velocità angolare istantanea di rotazione del vettore al tempo . Quindi la sua derivata è la velocità di movimento dell'estremità del vettore. È diretto perpendicolarmente al vettore. Applichiamo la formula per il moto di rotazione. Modulo vettoriale:
.

Consideriamo ora la posizione del punto per due tempi ravvicinati. Lascia che al momento il punto sia nella posizione, e al momento - nella posizione. Siano e siano vettori unitari diretti tangenzialmente alla traiettoria in questi punti. Attraverso i punti e disegnare piani perpendicolari ai vettori e . Sia una retta formata dall'intersezione di questi piani. Rilascia una perpendicolare da un punto a una linea. Se le posizioni dei punti e sono abbastanza vicine, il movimento del punto può essere considerato come una rotazione lungo un cerchio di raggio attorno all'asse, che sarà l'asse istantaneo di rotazione del punto materiale. Poiché i vettori e sono perpendicolari ai piani e , l'angolo tra questi piani uguale all'angolo tra vettori e . Quindi la velocità istantanea di rotazione del punto attorno all'asse è uguale alla velocità istantanea di rotazione del vettore:
.
Ecco la distanza tra i punti e .

Quindi, abbiamo trovato il modulo della derivata temporale del vettore:
.
Come accennato in precedenza, il vettore è perpendicolare al vettore. Dal ragionamento di cui sopra si evince che esso è diretto verso il centro istantaneo di curvatura della traiettoria. Questa direzione è chiamata normale principale.

Accelerazione normale

Accelerazione normale

diretto lungo il vettore. Come abbiamo scoperto, questo vettore è diretto perpendicolarmente alla tangente, verso il centro istantaneo di curvatura della traiettoria.
Sia un vettore unitario diretto da un punto materiale al centro istantaneo di curvatura della traiettoria (lungo la normale principale). Quindi
;
.
Poiché entrambi i vettori e hanno la stessa direzione - verso il centro di curvatura della traiettoria, quindi
.

Dalla formula (2) noi abbiamo:
(4) .
Dalla formula (3) trova il modulo di accelerazione normale:
.

Moltiplica entrambi i membri dell'equazione (2) scalare a:
(2) .
.
Perché poi . Quindi
;
.
Ciò mostra che il modulo dell'accelerazione normale è uguale alla proiezione dell'accelerazione totale sulla direzione della normale principale.

L'accelerazione normale di un punto materiale è la proiezione della sua piena accelerazione sulla direzione perpendicolare alla tangente alla traiettoria.

Sostituiamo. Quindi
.
Cioè, l'accelerazione normale provoca un cambiamento nella direzione della velocità del punto ed è correlata al raggio di curvatura della traiettoria.

Da qui puoi trovare il raggio di curvatura della traiettoria:
.

Infine, notiamo che la formula (4) può essere riscritto nella forma seguente:
.
Qui abbiamo applicato la formula per prodotto vettoriale tre vettori:
,
in cui si sono inquadrati
.

Quindi abbiamo:
;
.
Identifichiamo i moduli delle parti sinistra e destra:
.
Ma i vettori e sono reciprocamente perpendicolari. Ecco perchè
.
Quindi
.
Questa è una formula ben nota della geometria differenziale per la curvatura di una curva.

Guarda anche:

Viene considerato un esempio di risoluzione di un problema con un movimento complesso di un punto. Il punto si muove in linea retta lungo il piatto. Il piatto ruota intorno asse fisso. Vengono determinate la velocità assoluta e l'accelerazione assoluta del punto.

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L'obiettivo

Una piastra rettangolare ruota attorno ad un asse fisso secondo la legge φ = 6 t 2 - 3 t 3. La direzione positiva di lettura dell'angolo φ è indicata nelle figure da una freccia ad arco. Asse di rotazione OO 1 giace sul piano della piastra (la piastra ruota nello spazio).

Il punto M si muove lungo la retta BD lungo il piatto. La sua legge è data moto relativo, cioè la dipendenza s = AM = 40(t - 2 t 3) - 40(s - in centimetri, t - in secondi). Distanza b = 20 cm. Nella figura, il punto M è mostrato nella posizione in cui s = AM > 0 (per s< 0 il punto M è dall'altra parte del punto A).

Trova la velocità assoluta e l'accelerazione assoluta del punto M al tempo t 1 = 1 s.

Indicazioni. Questo compito è movimento complesso punti. Per risolverlo è necessario utilizzare i teoremi sull'addizione delle velocità e sull'addizione delle accelerazioni (il teorema di Coriolis). Prima di eseguire tutti i calcoli, è necessario determinare, in base alle condizioni del problema, dove si trova il punto M sulla piastra al momento t 1 = 1 s, e disegnare un punto esattamente in questa posizione (e non in una arbitraria mostrata nella figura per il problema).

La soluzione del problema

Dato: b= 20 cm, φ = 6 t 2 - 3 t 3, s = |AM| = 40(t - 2 t 3) - 40, t 1 = 1 s.

Trova: v abs , a abs

Determinazione della posizione di un punto

Determinare la posizione del punto al tempo t = t 1 = 1 s.
s= 40(t 1 - 2 t 1 3) - 40 = 40 (1 - 2 1 3) - 40 \u003d -80 cm.
Perché s< 0 , allora il punto M è più vicino al punto B che a D.
|AM| = |-80| = 80 cm.
Facciamo un disegno.

Secondo il teorema dell'addizione della velocità, la velocità assoluta di un punto è somma vettoriale velocità relative e portatili:
.

Determinazione della velocità relativa di un punto

Determina la velocità relativa. Per fare ciò, assumiamo che la piastra sia ferma e che il punto M compia un determinato movimento. Cioè, il punto M si muove lungo la retta BD. Differenziando s rispetto al tempo t, troviamo la proiezione della velocità sulla direzione BD:
.
Al tempo t = t 1 = 1 s,
cm/s.
Poiché , allora il vettore è diretto nella direzione opposta a BD . Cioè, dal punto M al punto B. Modulo di velocità relativa
v da = 200 cm/sec.

Determinazione della velocità di trasferimento di un punto

Determinazione della velocità di trasporto. Per fare ciò, assumiamo che il punto M sia rigidamente collegato alla piastra e che la piastra esegua un determinato movimento. Cioè, la piastra ruota attorno all'asse OO 1. Differenziando φ rispetto al tempo t, troviamo la velocità angolare di rotazione della piastra:
.
Al tempo t = t 1 = 1 s,
.
Poiché , allora il vettore della velocità angolare è diretto verso l'angolo di rotazione positivo φ, cioè dal punto O al punto O 1 . Modulo velocità angolare:
ω = 3 secondi -1.
Rappresentiamo il vettore della velocità angolare della piastra nella figura.

Dal punto M abbassiamo la perpendicolare HM all'asse OO 1 .
Durante il moto traslatorio, il punto M si muove lungo una circonferenza di raggio |HM| centrato nel punto H.
|HM| = |HK| + |KM| = 3b + |AM| peccato 30° = 60 + 80 0,5 = 100 cm;
Velocità di trasporto:
corsia v = ω|HM| = 3 100 = 300 cm/sec.

Il vettore è diretto tangenzialmente al cerchio nel senso di rotazione.

Determinazione della velocità assoluta di un punto

Determina la velocità assoluta. La velocità assoluta di un punto è uguale alla somma vettoriale delle velocità relative e traslazionali:
.
Disegna gli assi del sistema di coordinate fisse Oxyz . Dirigiamo l'asse z lungo l'asse di rotazione della piastra. Lascia che l'asse x sia perpendicolare alla piastra nel momento considerato, l'asse y giace sul piano della piastra. Quindi il vettore della velocità relativa giace nel piano yz. Vettore velocità portatile diretto opposto all'asse x. Poiché il vettore è perpendicolare al vettore, secondo il teorema di Pitagora, il modulo di velocità assoluto:
.

Determinazione dell'accelerazione assoluta di un punto

Secondo il teorema dell'addizione dell'accelerazione (teorema di Coriolis), l'accelerazione assoluta di un punto è uguale alla somma vettoriale delle accelerazioni relative, traslazionali e di Coriolis:
,
dove
- Accelerazione di Coriolis.

Definizione di accelerazione relativa

Determina l'accelerazione relativa. Per fare ciò, assumiamo che la piastra sia ferma e che il punto M compia un determinato movimento. Cioè, il punto M si muove lungo la retta BD. Differenziando s due volte rispetto al tempo t, troviamo la proiezione dell'accelerazione sulla direzione BD:
.
Al tempo t = t 1 = 1 s,
cm/s 2 .
Poiché , allora il vettore è diretto nella direzione opposta a BD . Cioè, dal punto M al punto B. Modulo di accelerazione relativa
a da = 480 cm/s 2.
Rappresentiamo il vettore nella figura.

Definizione di accelerazione traslazionale

Definisci l'accelerazione portatile. Durante il moto di traslazione, il punto M è rigidamente connesso alla piastra, cioè si muove lungo una circonferenza di raggio |HM| centrato nel punto H. Scomponiamo l'accelerazione portatile nella tangente al cerchio e l'accelerazione normale:
.
Differenziando φ due volte rispetto al tempo t, troviamo la proiezione accelerazione angolare piastre per asse OO 1 :
.
Al tempo t = t 1 = 1 s,
con -2.
Poiché , allora il vettore di accelerazione angolare è diretto nella direzione opposta all'angolo di rotazione positivo φ, cioè dal punto O 1 al punto O. Modulo di accelerazione angolare:
ε = 6 sec -2.
Rappresentiamo il vettore dell'accelerazione angolare della piastra nella figura.

Accelerazione tangenziale portatile:
una corsia τ = ε |HM| \u003d 6 100 \u003d 600 cm/s 2.
Il vettore è tangente al cerchio. Poiché il vettore di accelerazione angolare è diretto nella direzione opposta all'angolo di rotazione positivo φ, è diretto nella direzione opposta alla direzione di rotazione positiva φ. Cioè, è diretto verso l'asse x.

Accelerazione normale portatile:
una corsia n = ω 2 |HM| = 3 2 100 = 900 cm/s 2.
Il vettore è diretto verso il centro del cerchio. Cioè, nella direzione opposta all'asse y.

Definizione di accelerazione di Coriolis

Accelerazione di Coriolis (rotativa).:
.
Il vettore della velocità angolare è diretto lungo l'asse z. Il vettore della velocità relativa è diretto lungo la retta |DB| . L'angolo tra questi vettori è 150°. Per la proprietà del prodotto vettoriale,
.
La direzione del vettore è determinata dalla regola del gimlet. Se la maniglia del succhiello viene ruotata da una posizione all'altra , la vite del succhiello si sposterà nella direzione opposta all'asse x.

Definizione di accelerazione assoluta

Accelerazione assoluta:
.
Proiettiamo questa equazione vettoriale sull'asse xyz del sistema di coordinate.

;

;

.
Modulo di accelerazione assoluta:

.

Velocità assoluta;
accelerazione assoluta.

Il movimento meccanico è un cambiamento nel tempo nella posizione nello spazio di punti e corpi rispetto a qualsiasi corpo principale a cui è fissato il sistema di riferimento. Studi cinematografici movimento meccanico punti e corpi, indipendentemente dalle forze che causano questi movimenti. Qualsiasi movimento, come il riposo, è relativo e dipende dalla scelta del quadro di riferimento.

La traiettoria di un punto è una linea continua descritta da un punto in movimento. Se la traiettoria è una retta, il movimento del punto è detto rettilineo, se è una curva è curvilineo. Se la traiettoria è piatta, il movimento del punto è detto piatto.

Il moto di un punto o di un corpo si considera dato o noto se per ogni momento di tempo (t) è possibile indicare la posizione del punto o del corpo rispetto al sistema di coordinate selezionato.

La posizione di un punto nello spazio è determinata dal compito:

a) traiettorie di punti;

b) l'inizio della lettura della distanza O 1 lungo la traiettoria (Figura 11): s = O 1 M - coordinata curvilinea del punto M;

c) la direzione della lettura positiva delle distanze s;

d) equazione o legge del moto di un punto lungo una traiettoria: S = s(t)

Velocità di punta. Se un punto percorre distanze uguali in intervalli di tempo uguali, il suo moto è detto uniforme. La velocità del moto uniforme è misurata dal rapporto tra il percorso z percorso da un punto in un certo periodo di tempo e il valore di questo periodo di tempo: v = s / 1. Se un punto percorre percorsi disuguali in intervalli di tempo uguali, il suo movimento è detto irregolare. Anche la velocità in questo caso è variabile ed è funzione del tempo: v = v(t). Consideriamo il punto A, che si muove lungo una data traiettoria secondo una certa legge s = s(t) (Figura 12):

Per un periodo di tempo t t A si è spostato in posizione A 1 lungo l'arco AA. Se l'intervallo di tempo Δt è piccolo, allora l'arco AA 1 può essere sostituito da una corda e, in prima approssimazione, si può trovare la velocità media del movimento del punto v cp = Ds/Dt. La velocità media è diretta lungo la corda da t.A a t.A 1.

La vera velocità del punto è diretta tangenzialmente alla traiettoria e il suo valore algebrico è determinato dalla derivata prima del percorso rispetto al tempo:

v = limΔs/Δt = ds/dt

Unità di velocità del punto: (v) = lunghezza/tempo, ad es. m/s. Se il punto si muove nella direzione della coordinata curvilinea crescente s, allora ds > 0, e quindi v > 0, altrimenti ds< 0 и v < 0.

Accelerazione puntuale. La variazione di velocità per unità di tempo è determinata dall'accelerazione. Si consideri il movimento del punto A lungo una traiettoria curvilinea nel tempo Δt dalla posizione A alla posizione A 1 . In posizione A, il punto aveva velocità v e in posizione A 1 - velocità v 1 (Figura 13). quelli. la velocità del punto è cambiata in grandezza e direzione. Troviamo la differenza geometrica, velocità Δv, costruendo un vettore v 1 dal punto A.

L'accelerazione di un punto è chiamata vettore", uguale alla derivata prima del vettore velocità del punto rispetto al tempo:

Il vettore di accelerazione trovato a può essere scomposto in due componenti tra loro perpendicolari ma la tangente e la normale alla traiettoria del moto. L'accelerazione tangenziale a 1 coincide in direzione con la velocità durante il movimento accelerato o è opposta ad essa durante il movimento sostituito. Caratterizza la variazione del valore di velocità ed è uguale alla derivata temporale del valore di velocità

Il vettore di accelerazione normale a è diretto lungo la normale (perpendicolare) alla curva verso la concavità della traiettoria e il suo modulo è uguale al rapporto il quadrato della velocità del punto al raggio di curvatura della traiettoria nel punto in esame.

L'accelerazione normale caratterizza il cambiamento di velocità lungo
direzione.

Valore di piena accelerazione: , m/s 2

Tipi di movimento del punto in base all'accelerazione.

Uniforme moto rettilineo (moto per inerzia) è caratterizzato dal fatto che la velocità di movimento è costante e il raggio di curvatura della traiettoria è uguale all'infinito.

Cioè, r = ¥, v = const, quindi ; e quindi . Quindi, quando un punto si muove per inerzia, la sua accelerazione è zero.

Movimento rettilineo non uniforme. Il raggio di curvatura della traiettoria è r = ¥, e n = 0, quindi a = a t e a = a t = dv/dt.

Velocità di punta.

Passiamo alla risoluzione del secondo problema principale della cinematica di un punto: determinare la velocità e l'accelerazione in base al vettore, alla coordinata o al movimento naturale già dato.

1. La velocità di un punto è una grandezza vettoriale che caratterizza la velocità e la direzione del movimento di un punto. Nel sistema SI, la velocità è misurata in m/s.

un) Determinazione della velocità con il metodo vettoriale per specificare il movimento .

Sia dato il movimento del punto modo vettoriale, cioè. l'equazione vettoriale (2.1) è nota: .

Riso. 2.6. Per determinare la velocità di un punto

Lascia per tempo Dt vettore raggio punto M cambierà di . Quindi velocità media punti M in occasione Dtè chiamata quantità vettoriale

Richiamando la definizione di derivata, concludiamo:

Qui e in quanto segue, il segno denota differenziazione rispetto al tempo. Quando si lotta Dt azzerare il vettore e, di conseguenza, il vettore, ruotare attorno al punto M e nel limite coincidono con la tangente alla traiettoria a questo punto. In questo modo, il vettore velocità è uguale alla derivata prima del vettore raggio rispetto al tempo ed è sempre diretto tangenzialmente alla traiettoria del punto.

b) Velocità del punto a modo coordinato compiti di movimento.

Ricaviamo formule per determinare la velocità con il metodo delle coordinate per specificare il movimento. In accordo con l'espressione (2.5), abbiamo:

Poiché le derivate dei vettori unitari costanti in grandezza e direzione sono uguali a zero, otteniamo

Un vettore, come qualsiasi vettore, può essere espresso in termini di proiezioni:

Confrontando le espressioni (2.6) e (2.7) vediamo che le derivate temporali delle coordinate hanno una ben definita significato geometrico- sono proiezioni del vettore di velocità su assi coordinati. Conoscendo le proiezioni, è facile calcolare il modulo e la direzione del vettore velocità (Fig. 2.7):

Riso. 2.7.Per determinare l'intensità e la direzione della velocità

c) Determinazione della velocità con il modo naturale di impostare il movimento.

Riso. 2.8. Velocità del punto con impostazione del movimento naturale

Secondo (2.4) ,

dove è il vettore unitario della tangente. In questo modo,

Valore V=ds/dt prende il nome di velocità algebrica. Se una dS/dt>0, quindi la funzione S = S(t) aumenta e il punto si sposta nella direzione della coordinata dell'arco crescente S, quelli. il punto si muove in direzione positiva ds/dt<0 , quindi il punto si sposta nella direzione opposta.

2. accelerazione puntiforme

L'accelerazione è una grandezza vettoriale che caratterizza la velocità di variazione nel modulo e la direzione del vettore velocità. Nel sistema SI l'accelerazione è misurata in m/s 2 .

un) Determinazione dell'accelerazione con il metodo vettoriale per specificare il movimento .

Lascia il punto M al momento tè in posizione M(t) e ha una velocità V(t), e al momento t + Dtè in posizione M(t + Dt) e ha una velocità V(t + Dt)(Vedi Figura 2.9).

Riso. 2.9. Accelerazioni di un punto con il metodo vettoriale per specificare il movimento

Accelerazione media su un periodo di tempo Dtè il rapporto tra la variazione di velocità e Dt, quelli.

Limita a Dt® 0è chiamata istantanea (o semplicemente accelerazione) del punto M al momento t

Secondo (2.11), l'accelerazione con il metodo vettoriale per specificare il movimento è uguale alla derivata vettoriale della velocità rispetto al tempo.

b). In accelerazioni con il metodo delle coordinate per specificare il movimento .

Sostituendo (2.6) in (2.11) e differenziando i prodotti tra parentesi, troviamo:

Dato che le derivate dei vettori unitari sono uguali a zero, otteniamo:

Un vettore può essere espresso in termini di sue proiezioni:

Il confronto tra (2.12) e (2.13) mostra che le derivate temporali seconde delle coordinate hanno un significato geometrico ben definito: sono uguali alle proiezioni dell'accelerazione totale sugli assi delle coordinate, cioè

Conoscendo le proiezioni, è facile calcolare il modulo di accelerazione totale e i coseni di direzione che ne determinano la direzione:

in). Accelerazione di un punto con un modo naturale di specificare il movimento

Presentiamo alcune informazioni dalla geometria differenziale necessarie per determinare l'accelerazione nel modo naturale di specificare il moto.

Lascia il punto M si muove lungo una certa curva spaziale. Ciascun punto di questa curva è associato a tre direzioni reciprocamente ortogonali (tangenziale, normale e binormale) che caratterizzano in modo univoco l'orientamento spaziale di un elemento infinitamente piccolo della curva vicino al punto dato. Quella che segue è una descrizione del processo per determinare queste direzioni.

Per disegnare una tangente ad una curva in un punto M, disegna attraverso di essa e un punto vicino M1 secante MM 1.

Riso. 2.10. Definizione di una tangente alla traiettoria di un punto

Tangente ad una curva in un punto M definita come la posizione limite della secante MM 1 mentre si lotta per un punto M1 al punto M(Fig. 2.10). Il vettore tangente unitario è solitamente indicato dalla lettera greca .

Tracciamo vettori unitari di tangenti alla traiettoria nei punti M e M1. Sposta il vettore in un punto M(Fig. 2.11) e formare un piano passante per questo punto ei vettori e . Ripetere il processo di formazione di piani simili mentre si cerca un punto M1 al punto M, otteniamo al limite un piano chiamato contiguo aereo.

Riso. 2.11. Definizione di piano commovente

Ovviamente, per una curva piana, il piano di contatto coincide con il piano in cui si trova questa stessa curva. Piano passante per un punto M e si dice perpendicolare alla tangente in quel punto normale aereo. L'intersezione dei piani contigui e normali forma una retta detta normale principale (Fig. 2.12).

La traiettoria del movimento di un punto materiale attraverso il vettore raggio

Avendo dimenticato questa sezione di matematica, nella mia memoria le equazioni del moto di un punto materiale sono sempre state rappresentate utilizzando la dipendenza a noi familiare y(x), e guardando il testo dell'attività, sono rimasto un po' sorpreso quando ho visto i vettori. Si è scoperto che esiste una rappresentazione della traiettoria di un punto materiale utilizzando raggio-vettore- un vettore che specifica la posizione di un punto nello spazio rispetto a un punto prefissato, chiamato origine.

Allo stesso modo viene descritta la formula per la traiettoria di un punto materiale, oltre al vettore raggio orti- vettori unitari io, j, k nel nostro caso coincidente con gli assi del sistema di coordinate. E, infine, consideriamo un esempio dell'equazione per la traiettoria di un punto materiale (nello spazio bidimensionale):

Cosa c'è di interessante in questo esempio? La traiettoria del movimento del punto è data da seno e coseno, come pensi che apparirà il grafico nella rappresentazione familiare di y(x) ? "Probabilmente una specie di inquietante", hai pensato, ma non è tutto così difficile come sembra! Proviamo a costruire la traiettoria del punto materiale y(x), se si muove secondo la legge sopra presentata:

Qui ho notato il quadrato del coseno, se in qualche esempio vedi il quadrato del seno o del coseno, significa che devi applicare l'identità trigonometrica di base, cosa che ho fatto (seconda formula) e trasformato la formula delle coordinate y per sostituirvi la formula del cambiamento al posto del seno X:

Di conseguenza, la terribile legge del moto di un punto si rivelò ordinaria parabola i cui rami sono diretti verso il basso. Spero che tu capisca l'algoritmo approssimativo per costruire la dipendenza y(x) dalla rappresentazione del movimento attraverso il vettore raggio. Passiamo ora alla nostra domanda principale: come trovare il vettore di velocità e accelerazione di un punto materiale, nonché i loro moduli.

Vettore di velocità del punto materiale

Tutti sanno che la velocità di un punto materiale è il valore della distanza percorsa dal punto nell'unità di tempo, cioè la derivata della formula della legge del moto. Per trovare il vettore velocità, devi prendere la derivata rispetto al tempo. Diamo un'occhiata a un esempio specifico di trovare il vettore velocità.

Un esempio per trovare il vettore velocità

Abbiamo la legge dello spostamento di un punto materiale:

Ora devi prendere la derivata di questo polinomio, se hai dimenticato come si fa, allora eccoti qui. Di conseguenza, il vettore di velocità sarà simile a questo:

Tutto si è rivelato più facile di quanto pensassi, ora troviamo il vettore di accelerazione di un punto materiale secondo la stessa legge presentata sopra.

Come trovare il vettore di accelerazione di un punto materiale

Vettore di accelerazione puntuale questa è una grandezza vettoriale che caratterizza la variazione del modulo e della direzione della velocità di un punto nel tempo. Per trovare il vettore di accelerazione di un punto materiale nel nostro esempio, devi prendere la derivata, ma dalla formula del vettore di velocità presentata appena sopra:

Modulo vettore velocità punto

Troviamo ora il modulo del vettore velocità di un punto materiale. Come sai dalla 9a elementare, il modulo di un vettore è la sua lunghezza, in coordinate cartesiane rettangolari è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle sue coordinate. E dove chiedi al vettore di velocità che abbiamo ottenuto sopra di prendere le sue coordinate? Tutto è molto semplice:

Ora è sufficiente sostituire il tempo specificato nell'attività e ottenere un valore numerico specifico.

Modulo vettore di accelerazione

Come hai capito da quanto scritto sopra (e dal 9° grado), trovare il modulo del vettore accelerazione avviene allo stesso modo del modulo del vettore velocità: estraiamo la radice quadrata dalla somma dei quadrati del vettore coordinate, tutto è semplice! Bene, ecco un esempio per te:

Come puoi vedere, l'accelerazione di un punto materiale secondo la legge data sopra non dipende dal tempo e ha una grandezza e una direzione costanti.

Altri esempi di soluzioni al problema di trovare il vettore velocità e accelerazione

E qui puoi trovare esempi di risoluzione di altri problemi in fisica. E per coloro che non capiscono come trovare il vettore di velocità e accelerazione, ecco un altro paio di esempi dalla rete senza alcuna spiegazione aggiuntiva, spero che ti aiutino.

Se avete domande, potete farle nei commenti.