L'essenza della matrice

Definizione 1

Una matrice è una tabella rettangolare contenente numeri e con un certo numero di righe ($m$) e colonne ($n$). Le righe della matrice sono gli elementi sulla stessa riga che vanno da sinistra a destra e le colonne sono gli elementi sulla stessa riga che vanno dall'alto verso il basso.

I numeri m e n determinano l'ordine (dimensione) della matrice.

Un analogo di una matrice è una normale tabella bidimensionale.

Operazioni di base sulle matrici

È possibile eseguire le seguenti azioni di base sulle matrici:

Addizione di matrici;
Moltiplicare una matrice per un numero;
Moltiplicazione di matrici tra loro (applicabile se le matrici sono coerenti tra loro, ovvero la matrice $A$ deve avere il numero di colonne pari al numero di righe della matrice $B$);
Trasposizione di matrici; * Moltiplicazione di matrici per vettore colonna o riga;
Calcolo del determinante matriciale.

Di norma, una matrice di ordine $m\volte n$ si scrive come segue:

$\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (...) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_( 22) ) & (...) & (a_(2n) ) \\ (...) & (...) & (...) & (...) \\ (a_(m1) ) & (a_(m2) ) & (...) & (a_(mn) ) \end(array)\right)$ o $\left(a_(ij) \right)$ dove $i=1... m ,j=1..n$.

Più raramente, al posto delle parentesi vengono utilizzate doppie linee verticali per scrivere una matrice, ad esempio $\left\| a_(ij)\destra\| $, dove $i=1...m,j=1..n$.

Osservazione 1

I numeri $a_(ij)$ dalla voce della matrice sono chiamati elementi di matrice, dove $i$ è il numero di riga, $j$ è il numero di colonna.

Per designare una matrice si usano spesso lettere maiuscole dell'alfabeto latino: $A, B, C$, ecc.

Esempio 1

Data una matrice $A=\left(\begin(array)(cc) (1) & (3) \\ (6) & (-2) \end(array)\right)$

Determina la dimensione della matrice e scrivi gli elementi della matrice con i loro numeri.

Soluzione:

Ordine della matrice $A$: $2\volte 2$.

Elementi della matrice A: $a_(11) =1,a_(12) =3,a_(21) =6,a_(22) =-2$.

Esistono diversi tipi di matrici:

Quadrato e rettangolare;
Vettore riga e vettore colonna;
Scalare;
Diagonale;
Singolo e zero;
Triangolare.

Matrice quadrata di ordine $n$ è una matrice di dimensione $n\volte n$, cioè il numero di righe e colonne è lo stesso, ovvero il numero di elementi in righe e colonne è uguale.

Matrice rettangolareè chiamata matrice di dimensione $m\volte n$, cioè il numero di righe e colonne non è lo stesso.

Vettore rigaè una matrice che consiste di una sola riga di elementi, cioè dimensione della matrice è $1\volte n$.

Vettore di colonnaè una matrice che consiste di una sola colonna, cioè dimensione della matrice è $m\volte 1$.

scalareè detta matrice contenente un solo elemento, cioè la dimensione della matrice è $1\volte 1$.

Esempio 2

Dati matrice:

$A=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (1) & (19) \\ (-3) & (2) & (1) \\ (1) & (4) & ( 3) \end(array)\right), B=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (-4) & (3) \\ (0) & (5) & (-4) \end(array)\right),$ $C=\left(\begin(array)(c) (1) \\ (-4) \\ (5) \end(array)\right), D=\ sinistra(\begin(array)(cccc) (-2) & (-3) & (0) & (9) \end(array)\destra), F=\sinistra(1\destra).$

Soluzione:

$A=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (1) & (19) \\ (-3) & (2) & (1) \\ (1) & (4) & ( 3) \end(array)\right)$ - matrice quadrata;

$B=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (-4) & (3) \\ (0) & (5) & (-4) \end(array)\right)$ - matrice rettangolare;

$C=\left(\begin(array)(c) (1) \\ (-4) \\ (5) \end(array)\right)$ - vettore colonna; $D=\left(\begin(array)(cccc) (-2) & (-3) & (0) & (9) \end(array)\right)$ - vettore riga;

$F=\left(1\right)$ è uno scalare.

matrice quadrata ha una diagonale principale e una secondaria e:

Gli elementi della diagonale principale si trovano su una linea diretta dall'angolo superiore sinistro della matrice (elemento $a_(11) $) all'angolo inferiore destro della matrice (elemento $a_(nn) $);
Gli elementi della diagonale secondaria si trovano su una linea diretta dall'angolo in alto a destra della matrice (elemento $a_(1n) $) all'angolo in basso a sinistra della matrice (elemento $a_(n1) $).

Matrice diagonaleè una matrice quadrata in cui tutti gli elementi al di fuori della diagonale principale sono uguali a zero.

Matrice identitàè una matrice diagonale in cui tutti gli elementi sulla diagonale principale sono uguali a uno, tale matrice può essere utilizzata per la trasposizione. La notazione per la matrice identità è $E$.

Matrice nullaè una matrice con tutti gli elementi uguali a zero.

matrice triangolareè una matrice quadrata i cui elementi sotto o sopra la diagonale principale sono uguali a zero.

Osservazione 2

Esistono matrici triangolari superiori e triangolari inferiori. Nel primo caso gli elementi zero sono al di sotto della diagonale principale, nel secondo caso sono al di sopra della diagonale principale.

Esempio 3

Dati matrice:

$A=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (0) & (0) \\ (0) & (2) & (0) \\ (0) & (0) & (3 ) \end(array)\right), B=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (0) & (0) \\ (-2) & (2) & (0) \\ (1) & (4) & (3) \end(array)\right), C=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (5) & (2) \\ (0) & (2) & (-1) \\ (0) & (0) & (3) \end(array)\right), E=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (0) \\ (0) & (1) & (0) \\ (0) & (0) & (1) \end(array)\right), D=\left(\begin(array)( ccc) (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) \end(array)\right).$

Determina il tipo di ciascuna matrice.

Soluzione:

$A=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (0) & (0) \\ (0) & (2) & (0) \\ (0) & (0) & (3 ) \end(array)\right)$ - matrice diagonale;

$B=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (0) & (0) \\ (-2) & (2) & (0) \\ (1) & (4) & ( 3) \end(array)\right)$ - matrice triangolare inferiore;

$C=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (5) & (2) \\ (0) & (2) & (-1) \\ (0) & (0) & ( 3) \end(array)\right)$ - matrice triangolare superiore;

$E=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (0) \\ (0) & (1) & (0) \\ (0) & (0) & (1 ) \end(array)\right)$ - matrice identità;

$D=\left(\begin(array)(ccc) (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0 ) \end(array)\right)$ - matrice zero.

In questo argomento considereremo il concetto di matrice, nonché i tipi di matrici. Poiché ci sono molti termini in questo argomento, aggiungerò riepilogo per facilitare la navigazione nel materiale.

Definizione di matrice e suo elemento. Notazione.

Matriceè una tabella con $m$ righe e $n$ colonne. Gli elementi di una matrice possono essere oggetti di natura completamente diversa: numeri, variabili o, ad esempio, altre matrici. Ad esempio, la matrice $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ ha 3 righe e 2 colonne; i suoi elementi sono numeri interi. La matrice $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ contiene 2 righe e 4 colonne.

Diversi modi per scrivere matrici: mostra\nascondi

La matrice può essere scritta non solo tra parentesi tonde, ma anche tra parentesi quadre o doppie diritte. Di seguito è riportata la stessa matrice in notazione diversa:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

Viene chiamato il prodotto $m\volte n$ dimensione della matrice. Ad esempio, se la matrice contiene 5 righe e 3 colonne, allora si parla di matrice $5\volte 3$. La matrice $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ ha dimensione $3 \times 2$.

Le matrici sono generalmente indicate con lettere maiuscole dell'alfabeto latino: $A$, $B$, $C$ e così via. Ad esempio, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. La numerazione delle righe va dall'alto verso il basso; colonne - da sinistra a destra. Ad esempio, la prima riga della matrice $B$ contiene gli elementi 5 e 3 e la seconda colonna contiene gli elementi 3, -87, 0.

Gli elementi delle matrici sono generalmente indicati con lettere minuscole. Ad esempio, gli elementi della matrice $A$ sono indicati con $a_(ij)$. Il doppio indice $ij$ contiene informazioni sulla posizione dell'elemento nella matrice. Il numero $i$ è il numero della riga e il numero $j$ è il numero della colonna, all'intersezione della quale si trova l'elemento $a_(ij)$. Ad esempio, all'intersezione della seconda riga e della quinta colonna della matrice $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ elemento $ a_(25)= $59:

Allo stesso modo, all'intersezione della prima riga e della prima colonna, abbiamo l'elemento $a_(11)=51$; all'intersezione della terza riga e della seconda colonna - l'elemento $a_(32)=-15$ e così via. Si noti che $a_(32)$ viene letto come "un tre due" ma non come "un trentadue".

Per la designazione abbreviata della matrice $A$, la cui dimensione è pari a $m\volte n$, si utilizza la notazione $A_(m\volte n)$. Viene spesso utilizzata la seguente notazione:

$$ A_(m\volte(n))=(a_(ij)) $$

Qui $(a_(ij))$ indica la designazione degli elementi della matrice $A$, cioè dice che gli elementi della matrice $A$ sono indicati come $a_(ij)$. In forma espansa, la matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ può essere scritta come segue:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

Introduciamo un altro termine - matrici uguali.

Vengono chiamate due matrici della stessa dimensione $A_(m\times n)=(a_(ij))$ e $B_(m\times n)=(b_(ij))$ pari se i loro elementi corrispondenti sono uguali, cioè $a_(ij)=b_(ij)$ per tutti $i=\overline(1,m)$ e $j=\overline(1,n)$.

Spiegazione per la voce $i=\overline(1,m)$: mostra\nascondi

La voce "$i=\overline(1,m)$" significa che il parametro $i$ cambia da 1 a m. Ad esempio, la voce $i=\overline(1,5)$ indica che il parametro $i$ assume i valori 1, 2, 3, 4, 5.

Quindi, per l'uguaglianza delle matrici, sono richieste due condizioni: la coincidenza delle dimensioni e l'uguaglianza degli elementi corrispondenti. Ad esempio, la matrice $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ non è uguale alla matrice $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ perché la matrice $A$ è $3\times 2$ e la matrice $B$ è $2\volte 2$. Anche la matrice $A$ non è uguale alla matrice $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right) $ perché $a_( 21)\neq c_(21)$ (ovvero $0\neq 98$). Ma per la matrice $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$, possiamo tranquillamente scrivere $A =F$ perché coincidono sia le grandezze che gli elementi corrispondenti delle matrici $A$ e $F$.

Esempio 1

Determina la dimensione della matrice $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\ \end(array) \right)$. Specifica a cosa sono uguali gli elementi $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.

Questa matrice contiene 5 righe e 3 colonne, quindi la sua dimensione è $5\volte 3$. La notazione $A_(5\times 3)$ può essere utilizzata anche per questa matrice.

L'elemento $a_(12)$ si trova all'intersezione della prima riga e della seconda colonna, quindi $a_(12)=-2$. L'elemento $a_(33)$ si trova all'intersezione della terza riga e della terza colonna, quindi $a_(33)=23$. L'elemento $a_(43)$ si trova all'intersezione della quarta riga e della terza colonna, quindi $a_(43)=-5$.

Risposta: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Tipi di matrici a seconda della loro dimensione. Diagonali principali e laterali. Traccia matrice.

Sia data una certa matrice $A_(m\times n)$. Se $m=1$ (la matrice è composta da una riga), viene chiamata la matrice data matrice-riga. Se $n=1$ (la matrice è composta da una colonna), viene chiamata tale matrice matrice di colonne. Ad esempio, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ è una matrice riga, e $\left(\begin(array ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ - matrice di colonne.

Se la condizione $m\neq n$ è vera per la matrice $A_(m\times n)$ (ovvero, il numero di righe non è uguale al numero di colonne), allora si dice spesso che $A$ è una matrice rettangolare. Ad esempio, la matrice $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ ha dimensione $2\times 4 $, quelli. contiene 2 righe e 4 colonne. Poiché il numero di righe non è uguale al numero di colonne, questa matrice è rettangolare.

Se la condizione $m=n$ è vera per la matrice $A_(m\per n)$ (cioè il numero di righe è uguale al numero di colonne), allora $A$ si dice matrice quadrata di ordine $n$. Ad esempio, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ è una matrice quadrata di secondo ordine; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ è una matrice quadrata del 3° ordine. A vista generale la matrice quadrata $A_(n\times n)$ può essere scritta come segue:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

Gli elementi $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ si dicono attivi diagonale principale matrici $A_(n\volte n)$. Questi elementi sono chiamati principali elementi diagonali(o solo elementi diagonali). Gli elementi $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ sono attivi diagonale laterale (secondaria).; sono chiamati elementi diagonali secondari. Ad esempio, per la matrice $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( array) \destra)$ abbiamo:

Gli elementi $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ sono gli elementi diagonali principali; gli elementi $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ sono elementi diagonali secondari.

Viene chiamata la somma dei principali elementi diagonali seguito da una matrice e indicato con $\Tr A$ (o $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Ad esempio, per la matrice $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ abbiamo:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Il concetto di elementi diagonali viene utilizzato anche per le matrici non quadrate. Ad esempio, per la matrice $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ gli elementi della diagonale principale saranno $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Tipi di matrici a seconda dei valori dei loro elementi.

Se tutti gli elementi della matrice $A_(m\times n)$ sono uguali a zero, viene chiamata tale matrice nullo ed è solitamente indicato dalla lettera $O$. Ad esempio, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ sono matrici zero.

Considera una riga diversa da zero della matrice $A$, ad es. una stringa che contiene almeno un elemento diverso da zero. elemento di punta di una stringa diversa da zero, chiamiamolo il primo (contando da sinistra a destra) elemento diverso da zero. Si consideri ad esempio la seguente matrice:

$$W=\left(\begin(array)(cccc) 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\\ 0 & -9 & 5 & 9 \end(array)\right)$ $

Nella seconda riga, il quarto elemento sarà in testa, ad es. $w_(24)=12$, e nella terza riga l'elemento iniziale sarà il secondo elemento, cioè $w_(32)=-9$.

Viene chiamata la matrice $A_(m\times n)=\left(a_(ij)\right)$ calpestato se soddisfa due condizioni:

Le righe nulle, se presenti, si trovano sotto tutte le righe non nulle.
I numeri di elementi iniziali di stringhe diverse da zero formano una sequenza strettamente crescente, ad es. se $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ sono elementi iniziali di righe diverse da zero della matrice $A$, allora $k_1\lt(k_2)\lt\ldots\ lt(k_r)$.

Esempi di matrici a gradini:

$$ \left(\begin(array)(cccccc) 0 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(array)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -10 \end(array)\right). $$

Per confronto: matrice $Q=\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6\end(array)\right)$ non è una matrice a gradini, poiché la seconda condizione nella definizione di una matrice a gradini viene violata. Gli elementi iniziali nella seconda e terza riga $q_(24)=7$ e $q_(32)=10$ sono numerati $k_2=4$ e $k_3=2$. Per una matrice a gradini deve essere soddisfatta la condizione $k_2\lt(k_3)$, che in questo caso viene violata. Noto che se scambiamo la seconda e la terza riga, otteniamo una matrice a gradini: $\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \\0 & 0 & 0 & 7 & 9\end(array)\right)$.

Viene chiamata la matrice del passo trapezoidale o trapezoidale, se gli elementi iniziali $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ soddisfano le condizioni $k_1=1$, $k_2=2$,..., $k_r = r$, cioè gli elementi diagonali stanno conducendo. In generale, una matrice trapezoidale può essere scritta come segue:

$$ A_(m\times(n)) =\left(\begin(array) (cccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & \ldots & a_(1n)\\ 0 & a_(22) & \ldots & a_(2r) & \ldots & a_(2n)\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_(rr) & \ldots & a_(rn)\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end(array)\right) $$

Esempi di matrici trapezoidali:

$$ \left(\begin(array)(cccccc) 4 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & -2 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(array)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & -10 \end(array)\right). $$

Diamo altre definizioni per le matrici quadrate. Se tutti gli elementi matrice quadrata situati sotto la diagonale principale sono uguali a zero, quindi viene chiamata tale matrice matrice triangolare superiore. Ad esempio, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ - matrice triangolare superiore. Si noti che la definizione della matrice triangolare superiore non dice nulla sui valori degli elementi situati sopra la diagonale principale o sulla diagonale principale. Possono o non possono essere zero, non importa. Ad esempio, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ è anche una matrice triangolare superiore.

Se tutti gli elementi di una matrice quadrata situata sopra la diagonale principale sono uguali a zero, viene chiamata tale matrice matrice triangolare inferiore. Ad esempio, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - matrice triangolare inferiore. Si noti che la definizione di una matrice triangolare inferiore non dice nulla sui valori degli elementi sottostanti o sulla diagonale principale. Possono o non possono essere nulli, non importa. Ad esempio, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ e $\left(\ begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ sono anche matrici triangolari inferiori.

La matrice quadrata è chiamata diagonale se tutti gli elementi di questa matrice che non sono sulla diagonale principale sono uguali a zero. Esempio: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(array)\destra)$. Gli elementi sulla diagonale principale possono essere qualsiasi cosa (uguale a zero o meno) - questo non è essenziale.

Viene chiamata la matrice diagonale separare se tutti gli elementi di questa matrice situati sulla diagonale principale sono uguali a 1. Ad esempio, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - matrice identità di 4° ordine; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ è la matrice identità di secondo ordine.

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Nozioni di base sulla matrice

In questa sezione vengono fornite le informazioni di base sulle matrici necessarie per comprendere le statistiche e analizzare i dati.

matrice dimensionalem X n (leggere m sul n) è chiamato una tabella rettangolare di numeri contenentem linee e n colonne.

I numeri che compongono una matrice sono chiamati elementi di matrice.

Le matrici sono denotate da lettere maiuscole (maiuscole) dell'alfabeto latino, ad esempio, LA, SI, DO,….

Gli elementi della matrice sono indicati da lettere minuscole con un doppio indice, ad esempio: aij , dove io - numero di riga, j- numero di colonna.

Ad esempio, matrice:

In notazione abbreviata, denotiamo LA =( aij) ; io=1,2,…m ; j =1,2,…,n

Ecco un esempio di matrice 2 per 2:

Vedi che A 11 = 1, un 12 = 0, un 21 = 2, un 22 = 5

Insieme alle parentesi, vengono utilizzate anche altre notazioni matriciali:

Vengono chiamate due matrici A e B della stessa dimensione pari se corrispondono elemento per elemento, aij = b ij per ogni io=1,2,…m ; j =1,2,…n

Tipi di matrici

Una matrice composta da una riga è chiamata matrice (vettore) - riga e da una colonna - matrice (vettore) - colonna:

UN =(a 11 ,a 12 ,…,a 1n) - matrice - riga

La matrice è chiamata quadrata n esimo ordine, se il numero delle sue righe è uguale al numero di colonne ed è uguale a n.

Per esempio,

Elementi di matrice aij , il cui numero di colonna uguale al numero di riga modulo diagonale principale matrici. Per una matrice quadrata, la diagonale principale è formata dagli elementi un 11 , un 22 ,…, anna.

Se tutte le voci fuori diagonale di una matrice quadrata sono zero, viene chiamata la matrice diagonale.

Operazioni matriciali

Sulle matrici, oltre che sui numeri, è possibile eseguire numerose operazioni, alcune delle quali sono simili alle operazioni sui numeri e altre sono specifiche.

1. Moltiplicazione di una matrice per un numero. Il prodotto della matrice A per un numero si chiama matrice B=A, i cui elementi bij=aij per i=1,2,…m; j=1,2,…n

Conseguenza: il fattore comune di tutti gli elementi della matrice può essere tolto dal segno della matrice.

In particolare, il prodotto della matrice A e del numero 0 è una matrice nulla.

2. Addizione di matrici. La somma di due matrici A e B della stessa dimensione m è la matrice C \u003d A + B, i cui elementi c ij =a ij +b ij per i=1,2,…m; j=1,2,…n(ovvero le matrici vengono aggiunte elemento per elemento).

3. Sottrazione di matrici. La differenza di due matrici della stessa dimensione è determinata attraverso le operazioni precedenti: A -B =A +(-1)∙B .

4. Moltiplicazione di matrici. La moltiplicazione della matrice A per la matrice B è definita quando il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda. Allora il prodotto di matrici A m ∙B k è tale matrice C m , di cui ogni elemento cij è uguale alla somma dei prodotti degli elementi della i-esima riga della matrice A e dei corrispondenti elementi della j- esima colonna della matrice B:

io=1,2,…,m; j=1,2,…,n

Molte proprietà inerenti alle operazioni sui numeri sono valide anche per le operazioni sulle matrici (che segue da queste operazioni):

A+B=B+A

(A+B)+C=A +(Si+Do)

λ (A+B)= λA + λB

UN( B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ (AB)=( λA )B=A(λB )

UN( aC)=(AB)C

Tuttavia, ci sono anche proprietà specifiche delle matrici. Quindi, l'operazione di moltiplicazione di matrici presenta alcune differenze rispetto alla moltiplicazione di numeri:

a) Se AB esiste, dopo aver riordinato i fattori, il prodotto matriciale BA potrebbe non esistere.

Questo argomento tratterà operazioni come addizione e sottrazione di matrici, moltiplicazione di una matrice per un numero, moltiplicazione di una matrice per una matrice, trasposizione di matrici. Tutti i simboli utilizzati in questa pagina sono presi dall'argomento precedente.

Addizione e sottrazione di matrici.

La somma $A+B$ delle matrici $A_(m\times n)=(a_(ij))$ e $B_(m\times n)=(b_(ij))$ è la matrice $C_(m \times n) =(c_(ij))$, dove $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ per tutti $i=\overline(1,m)$ e $j=\overline( 1,n) $.

Una definizione simile è introdotta per la differenza di matrici:

La differenza $A-B$ delle matrici $A_(m\times n)=(a_(ij))$ e $B_(m\times n)=(b_(ij))$ è la matrice $C_(m\times n) n)=( c_(ij))$, dove $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ per tutti $i=\overline(1,m)$ e $j=\overline(1, n)$.

Spiegazione per la voce $i=\overline(1,m)$: mostra\nascondi

La voce "$i=\overline(1,m)$" significa che il parametro $i$ cambia da 1 a m. Ad esempio, la voce $i=\overline(1,5)$ indica che il parametro $i$ assume i valori 1, 2, 3, 4, 5.

Vale la pena notare che le operazioni di addizione e sottrazione sono definite solo per matrici della stessa dimensione. In generale, l'addizione e la sottrazione di matrici sono operazioni intuitivamente chiare, perché significano, appunto, solo la somma o la sottrazione degli elementi corrispondenti.

Esempio 1

Sono date tre matrici:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$

È possibile trovare la matrice $A+F$? Trova le matrici $C$ e $D$ se $C=A+B$ e $D=A-B$.

La matrice $A$ contiene 2 righe e 3 colonne (in altre parole, la dimensione della matrice $A$ è $2\volte 3$) e la matrice $F$ contiene 2 righe e 2 colonne. Le dimensioni della matrice $A$ e $F$ non coincidono, quindi non possiamo sommarle, cioè l'operazione $A+F$ per queste matrici non è definita.

Le dimensioni delle matrici $A$ e $B$ sono le stesse, cioè i dati della matrice contengono pari importo righe e colonne, quindi l'operazione di addizione è applicabile a loro.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$

Trova la matrice $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$

Risposta: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Moltiplicare una matrice per un numero.

Il prodotto della matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ e il numero $\alpha$ è la matrice $B_(m\times n)=(b_(ij))$, dove $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ per tutti $i=\overline(1,m)$ e $j=\overline(1,n)$.

In poche parole, moltiplicare una matrice per un numero significa moltiplicare ogni elemento della matrice data per quel numero.

Esempio #2

Data una matrice: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Trova le matrici $3\cdot A$, $-5\cdot A$ e $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( array) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right). $$

La notazione $-A$ è una scorciatoia per $-1\cdot A$. Cioè, per trovare $-A$, devi moltiplicare tutti gli elementi della matrice $A$ per (-1). Infatti, questo significa che il segno di tutti gli elementi della matrice $A$ cambierà nell'opposto:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ sinistra(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Risposta: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Il prodotto di due matrici.

La definizione di questa operazione è macchinosa e, a prima vista, incomprensibile. Pertanto, in primo luogo indicherò definizione generale, quindi analizzeremo in dettaglio cosa significa e come lavorarci.

Il prodotto della matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ e la matrice $B_(n\times k)=(b_(ij))$ è la matrice $C_(m\times k )=(c_( ij))$ per cui ogni elemento $c_(ij)$ è uguale alla somma dei prodotti del corrispondente elementi i-esimi righe della matrice $A$ per gli elementi della j-esima colonna della matrice $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj ), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Passo dopo passo, analizzeremo la moltiplicazione delle matrici usando un esempio. Tuttavia, dovresti immediatamente prestare attenzione al fatto che non tutte le matrici possono essere moltiplicate. Se vogliamo moltiplicare la matrice $A$ per la matrice $B$, allora dobbiamo prima assicurarci che il numero di colonne della matrice $A$ sia uguale al numero di righe della matrice $B$ (tali matrici sono spesso chiamate concordato). Ad esempio, la matrice $A_(5\times 4)$ (la matrice contiene 5 righe e 4 colonne) non può essere moltiplicata per la matrice $F_(9\times 8)$ (9 righe e 8 colonne), poiché il numero di colonne di la matrice $A $ non è uguale al numero di righe della matrice $F$, cioè $4\neq 9$. Ma è possibile moltiplicare la matrice $A_(5\times 4)$ per la matrice $B_(4\times 9)$, poiché il numero di colonne della matrice $A$ è uguale al numero di righe della matrice $B$. In questo caso, il risultato della moltiplicazione delle matrici $A_(5\times 4)$ e $B_(4\times 9)$ è la matrice $C_(5\times 9)$, contenente 5 righe e 9 colonne:

Esempio #3

Matrici date: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (array) \right)$ e $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. Trova la matrice $C=A\cdot B$.

Per cominciare, determiniamo immediatamente la dimensione della matrice $C$. Poiché la matrice $A$ ha dimensione $3\per 4$ e la matrice $B$ ha dimensione $4\per 2$, la dimensione della matrice $C$ è $3\per 2$:

Quindi, come risultato del prodotto delle matrici $A$ e $B$, dovremmo ottenere la matrice $C$, composta da tre righe e due colonne: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Se le designazioni degli elementi sollevano domande, puoi consultare l'argomento precedente: "Matrici. Tipi di matrici. Termini di base", all'inizio del quale viene spiegata la designazione degli elementi della matrice. Il nostro obiettivo è trovare i valori di tutti gli elementi della matrice $C$.

Iniziamo con l'elemento $c_(11)$. Per ottenere l'elemento $c_(11)$, devi trovare la somma dei prodotti degli elementi della prima riga della matrice $A$ e della prima colonna della matrice $B$:

Per trovare l'elemento $c_(11)$ stesso, devi moltiplicare gli elementi della prima riga della matrice $A$ per i corrispondenti elementi della prima colonna della matrice $B$, cioè il primo elemento al primo, il secondo al secondo, il terzo al terzo, il quarto al quarto. Riassumiamo i risultati ottenuti:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Continuiamo la soluzione e troviamo $c_(12)$. Per fare ciò, devi moltiplicare gli elementi della prima riga della matrice $A$ e della seconda colonna della matrice $B$:

Analogamente al precedente, abbiamo:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Vengono trovati tutti gli elementi della prima riga della matrice $C$. Passiamo alla seconda riga, che inizia con l'elemento $c_(21)$. Per trovarlo devi moltiplicare gli elementi della seconda riga della matrice $A$ e della prima colonna della matrice $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

L'elemento successivo $c_(22)$ si trova moltiplicando gli elementi della seconda riga della matrice $A$ per i corrispondenti elementi della seconda colonna della matrice $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Per trovare $c_(31)$ moltiplichiamo gli elementi della terza riga della matrice $A$ per gli elementi della prima colonna della matrice $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

E, infine, per trovare l'elemento $c_(32)$, bisogna moltiplicare gli elementi della terza riga della matrice $A$ per i corrispondenti elementi della seconda colonna della matrice $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Vengono trovati tutti gli elementi della matrice $C$, resta solo da scrivere che $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array ) \destra)$ . Oppure, per scriverlo per intero:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Risposta: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

A proposito, spesso non c'è motivo di descrivere in dettaglio la posizione di ciascun elemento della matrice dei risultati. Per le matrici, la cui dimensione è piccola, puoi fare quanto segue:

$$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 & 90 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 6\cdot(4)+3\cdot(-6) & 6\cdot(9)+3\cdot(90 ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(array) \right) =\sinistra (\begin(array) (cc) 6 & 324 \\ -56 & -333 \end(array) \right) $$

Vale anche la pena notare che la moltiplicazione di matrici non è commutativa. Ciò significa che in generale $A\cdot B\neq B\cdot A$. Solo per alcuni tipi di matrici, che vengono chiamate permutazionale(o pendolarismo), l'uguaglianza $A\cdot B=B\cdot A$ è vera. È sulla base della non commutatività della moltiplicazione che è necessario indicare esattamente come moltiplichiamo l'espressione per l'una o l'altra matrice: a destra oa sinistra. Ad esempio, la frase "moltiplica entrambi i lati dell'uguaglianza $3E-F=Y$ per la matrice $A$ a destra" significa che vuoi ottenere la seguente uguaglianza: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Trasposta rispetto alla matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ è la matrice $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, per gli elementi dove $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

In poche parole, per ottenere la matrice trasposta $A^T$, è necessario sostituire le colonne nella matrice originale $A$ con le righe corrispondenti secondo questo principio: c'era la prima riga - la prima colonna diventerà; c'era una seconda riga: la seconda colonna diventerà; c'era una terza riga - ci sarà una terza colonna e così via. Ad esempio, troviamo la matrice trasposta nella matrice $A_(3\times 5)$:

Di conseguenza, se la matrice originale aveva dimensione $3\volte 5$, allora la matrice trasposta ha dimensione $5\volte 3$.

Alcune proprietà delle operazioni su matrici.

Si presume qui che $\alpha$, $\beta$ siano alcuni numeri e $A$, $B$, $C$ siano matrici. Per le prime quattro proprietà ho indicato i nomi, le altre si possono nominare per analogia con le prime quattro.

Definizione 1. Dimensione matrice Am nè una tabella rettangolare di m righe e n colonne, costituita da numeri o altre espressioni matematiche (dette elementi di matrice), i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, o

Definizione 2. Due matrici
e
le stesse dimensioni sono chiamate pari, se corrispondono elemento per elemento, ad es. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

Con l'aiuto delle matrici è facile annotare alcune dipendenze economiche, ad esempio tabelle della distribuzione delle risorse per determinati settori dell'economia.

Definizione 3. Se il numero di righe della matrice corrisponde al numero delle sue colonne, ad es. m = n, quindi viene chiamata la matrice ordine quadraton, altrimenti rettangolare.

Definizione 4. Il passaggio da una matrice A ad una matrice A m, in cui le righe e le colonne sono scambiate con la conservazione dell'ordine, è chiamato trasposizione matrici.

Tipi di matrici: quadrate (dimensione 33) -
,

rettangolare (misura 25) -
,

diagonale -
, separare -
, zero -
,

matrice-riga -
, matrice-colonna -.

Definizione 5. Gli elementi di una matrice quadrata di ordine n con gli stessi indici sono chiamati elementi della diagonale principale, cioè questi gli elementi:
.

Definizione 6. Gli elementi di una matrice quadrata di ordine n sono detti elementi diagonali secondari se la somma dei loro indici è pari a n + 1, cioè questi gli elementi: .

1.2. Operazioni su matrici.

1 0 . somma due matrici
e
della stessa dimensione è chiamata matrice С = (с ij), i cui elementi sono determinati dall'uguaglianza con ij = a ij + b ij , (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2 ,3,…,n).

Proprietà dell'operazione di addizione di matrici.

Per ogni matrici A,B,C della stessa dimensione, sono soddisfatte le seguenti uguaglianze:

1) A + B = B + A (commutatività),

2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (associatività).

2 0 . opera matrici
per numero  chiamata matrice
la stessa dimensione della matrice A, e b ij =  (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Proprietà dell'operazione di moltiplicazione di una matrice per un numero.

(А) = ()А (associatività della moltiplicazione);

(А+В) = А+В (distributività della moltiplicazione rispetto all'addizione di matrici);

(+)A = A+A (distributività della moltiplicazione rispetto all'addizione di numeri).

Definizione 7. Combinazione lineare di matrici
e
della stessa dimensione è chiamata un'espressione della forma A + B, dove  e  sono numeri arbitrari.

3 0 . Prodotto A  Nelle matrici A e B, rispettivamente, di dimensioni mn e nk, si dice matrice C di dimensione mk, tale che l'elemento con ij sia uguale alla somma dei prodotti degli elementi della riga i-esima della matrice A e la j-esima colonna della matrice B, cioè con ij = a io 1 b 1 j +a io 2 b 2 j +…+a ik b kj .

Il prodotto AB esiste solo se il numero di colonne della matrice A è uguale al numero di righe della matrice B.

Proprietà dell'operazione di moltiplicazione di matrici:

(АВ)С = А(ВС) (associatività);

(А+В)С = АС+ВС (distributività rispetto all'addizione di matrici);

А(В+С) = АВ+АС (distributività rispetto all'addizione di matrici);

АВ  ВА (non commutatività).

Definizione 8. Le matrici A e B, per le quali AB = BA, sono chiamate commutanti o permutanti.

La moltiplicazione di una matrice quadrata di qualsiasi ordine per la corrispondente matrice identità non modifica la matrice.

Definizione 9. Trasformazioni elementari matrici sono chiamate le seguenti operazioni:

Scambia due righe (colonne).

Moltiplica ogni elemento di una riga (colonna) per un numero diverso da zero.

Aggiungendo agli elementi di una riga (colonna) gli elementi corrispondenti di un'altra riga (colonna).

Definizione 10. Viene chiamata la matrice B ottenuta dalla matrice A con l'aiuto di trasformazioni elementari equivalente(indicato BA).

Esempio 1.1. Trova combinazione lineare matrici 2A–3B, se

,
.

,
,

Esempio 1.2. Trova prodotto di matrici
, Se

Soluzione: poiché il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda matrice, allora esiste il prodotto di matrice. Di conseguenza, otteniamo una nuova matrice
, dove

Di conseguenza, otteniamo
.

Lezione 2. Determinanti. Calcolo delle determinanti del secondo, terzo ordine. Proprietà del qualificatoren-esimo ordine.