1° anno, matematica superiore, studio matrici e azioni di base su di essi. Qui sistemiamo le principali operazioni che possono essere eseguite con le matrici. Come iniziare con le matrici? Naturalmente, dal più semplice: definizioni, concetti di base e operazioni più semplici. Vi assicuriamo che le matrici saranno capite da chiunque vi dedichi almeno un po' di tempo!

Definizione di matrice

Matriceè una tavola rettangolare di elementi. Bene, se in termini semplici - una tabella di numeri.

Le matrici sono generalmente indicate con lettere latine maiuscole. Ad esempio, matrice UN , matrice B eccetera. Le matrici possono essere di diverse dimensioni: rettangolari, quadrate, ci sono anche matrici di righe e matrici di colonne dette vettori. La dimensione della matrice è determinata dal numero di righe e colonne. Ad esempio, scriviamo una matrice rettangolare di dimensione m sul n , dove m è il numero di righe e n è il numero di colonne.

Elementi per cui io=j (a11, a22, .. ) formano la diagonale principale della matrice e sono detti diagonali.

Cosa si può fare con le matrici? Aggiungi/Sottrai, moltiplicare per un numero, moltiplicarsi tra loro, trasporre. Ora su tutte queste operazioni di base sulle matrici in ordine.

Operazioni di addizione e sottrazione di matrici

Ti avvertiamo subito che puoi aggiungere solo matrici della stessa dimensione. Il risultato è una matrice della stessa dimensione. L'addizione (o sottrazione) di matrici è facile − basta aggiungere i loro elementi corrispondenti . Facciamo un esempio. Eseguiamo l'addizione di due matrici A e B di dimensione due per due.

La sottrazione viene eseguita per analogia, solo con il segno opposto.

Qualsiasi matrice può essere moltiplicata per un numero arbitrario. Per farlo, devi moltiplicare per questo numero ciascuno dei suoi elementi. Ad esempio, moltiplichiamo la matrice A del primo esempio per il numero 5:

Operazione di moltiplicazione di matrici

Non tutte le matrici possono essere moltiplicate tra loro. Ad esempio, abbiamo due matrici: A e B. Possono essere moltiplicate tra loro solo se il numero di colonne della matrice A è uguale al numero di righe della matrice B. Inoltre, ogni elemento della matrice risultante nella i-esima riga e nella j-esima colonna sarà uguale alla somma dei prodotti degli elementi corrispondenti nella i-esima riga del primo fattore e della j-esima colonna del secondo. Per comprendere questo algoritmo, scriviamo come si moltiplicano due matrici quadrate:

E un esempio con numeri reali. Moltiplichiamo le matrici:

Operazione di trasposizione della matrice

La trasposizione della matrice è un'operazione in cui le righe e le colonne corrispondenti vengono scambiate. Ad esempio, trasponiamo la matrice A del primo esempio:

Determinante della matrice

Il determinante, oh il determinante, è uno dei concetti base dell'algebra lineare. C'era una volta, le persone inventavano equazioni lineari e dopo di esse dovevano inventare un determinante. Alla fine, sta a te affrontare tutto questo, quindi l'ultima spinta!

Il determinante è una caratteristica numerica di una matrice quadrata, necessaria per risolvere molti problemi.
Per calcolare il determinante della matrice quadrata più semplice, è necessario calcolare la differenza tra i prodotti degli elementi della diagonale principale e secondaria.

Il determinante di una matrice del primo ordine, cioè costituita da un elemento, è uguale a questo elemento.

E se la matrice fosse tre per tre? Questo è più difficile, ma si può fare.

Per tale matrice, il valore del determinante è uguale alla somma dei prodotti degli elementi della diagonale principale e dei prodotti degli elementi giacenti su triangoli con una faccia parallela alla diagonale principale, da cui il prodotto degli elementi della diagonale secondaria e il prodotto degli elementi che giacciono su triangoli con faccia parallela alla diagonale secondaria vengono sottratti.

Fortunatamente, nella pratica è raramente necessario calcolare i determinanti di grandi matrici.

Qui abbiamo considerato le operazioni di base sulle matrici. Ovviamente, nella vita reale non puoi mai nemmeno imbatterti in un accenno di un sistema di equazioni a matrice, o viceversa, potresti incontrare casi molto più complessi in cui devi davvero scervellarti. È per questi casi che esiste un servizio professionale per gli studenti. Chiedi aiuto, ottieni una soluzione dettagliata e di alta qualità, goditi il ​​successo scolastico e il tempo libero.

Innanzitutto, QUALE dovrebbe essere il risultato della moltiplicazione di tre matrici? Un gatto non darà alla luce un topo. Se la moltiplicazione di matrici è fattibile, anche il risultato sarà una matrice. Ebbene, il mio insegnante di algebra non vede come spiego la chiusura della struttura algebrica rispetto ai suoi elementi =)

Il prodotto di tre matrici può essere calcolato in due modi:

1) trova e poi moltiplica per la matrice "ce": ;

2) prima trova , quindi esegui la moltiplicazione.

I risultati coincideranno necessariamente, e in teoria questa proprietà è chiamata associatività della moltiplicazione di matrici:

Esempio 6

Moltiplica le matrici in due modi

Algoritmo soluzioni in due passaggi: trova il prodotto di due matrici, quindi trova di nuovo il prodotto di due matrici.

1) Usa la formula

Azione uno:

Azione due:

2) Usa la formula

Azione uno:

Azione due:

Risposta:

Più familiare e standard, ovviamente, è il primo modo di risolvere, lì "come se tutto fosse in ordine". A proposito, sull'ordine. Nel compito in esame, sorge spesso l'illusione che si parli di una sorta di permutazione delle matrici. Loro non sono qui. Te lo ricordo ancora nel caso generale, LE MATRICI NON DEVONO ESSERE SOSTITUITE. Quindi, nel secondo paragrafo, al secondo passaggio, eseguiamo la moltiplicazione, ma in nessun caso. Con i numeri ordinari, un tale numero passerebbe, ma non con le matrici.

La proprietà dell'associatività della moltiplicazione è valida non solo per il quadrato, ma anche per le matrici arbitrarie, purché siano moltiplicate:

Esempio 7

Trova il prodotto di tre matrici

Questo è un esempio fai da te. Nella soluzione di esempio, i calcoli sono stati eseguiti in due modi, analizzare quale modo è più redditizio e più breve.

La proprietà di associatività della moltiplicazione di matrici si verifica per un numero maggiore di fattori.

Ora è il momento di tornare ai poteri delle matrici. Il quadrato della matrice è considerato proprio all'inizio ed è all'ordine del giorno.

Questo argomento tratterà operazioni come addizione e sottrazione di matrici, moltiplicazione di una matrice per un numero, moltiplicazione di una matrice per una matrice, trasposizione di matrici. Tutti i simboli utilizzati in questa pagina sono presi dall'argomento precedente.

Addizione e sottrazione di matrici.

La somma $A+B$ delle matrici $A_(m\times n)=(a_(ij))$ e $B_(m\times n)=(b_(ij))$ è la matrice $C_(m \times n) =(c_(ij))$, dove $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ per tutti $i=\overline(1,m)$ e $j=\overline( 1,n) $.

Una definizione simile viene introdotta per la differenza di matrici:

La differenza $A-B$ delle matrici $A_(m\times n)=(a_(ij))$ e $B_(m\times n)=(b_(ij))$ è la matrice $C_(m\times n)=( c_(ij))$, dove $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ per tutti $i=\overline(1,m)$ e $j=\overline(1, n)$.

Spiegazione per la voce $i=\overline(1,m)$: show\hide

La voce "$i=\overline(1,m)$" significa che il parametro $i$ cambia da 1 a m. Ad esempio, la voce $i=\overline(1,5)$ dice che il parametro $i$ assume i valori 1, 2, 3, 4, 5.

Vale la pena notare che le operazioni di addizione e sottrazione sono definite solo per matrici della stessa dimensione. In generale, l'addizione e la sottrazione di matrici sono operazioni intuitivamente chiare, perché significano, di fatto, solo la somma o la sottrazione degli elementi corrispondenti.

Esempio 1

Si danno tre matrici:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$

È possibile trovare la matrice $A+F$? Trova le matrici $C$ e $D$ se $C=A+B$ e $D=A-B$.

La matrice $A$ contiene 2 righe e 3 colonne (in altre parole, la dimensione della matrice $A$ è $2\volte 3$) e la matrice $F$ contiene 2 righe e 2 colonne. Le dimensioni della matrice $A$ e $F$ non corrispondono, quindi non possiamo sommarle, ad es. l'operazione $A+F$ per queste matrici non è definita.

Le dimensioni delle matrici $A$ e $B$ sono le stesse, cioè i dati della matrice contengono un numero uguale di righe e colonne, quindi l'operazione di addizione è applicabile a loro.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$

Trova la matrice $D=A-B$:

$$ D=AB=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$

Risposta: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 e 23 e -97 \\ 2 e 9 e 6 \end(array) \right)$.

Moltiplicare una matrice per un numero.

Il prodotto della matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ e il numero $\alpha$ è la matrice $B_(m\times n)=(b_(ij))$, dove $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ per tutti $i=\overline(1,m)$ e $j=\overline(1,n)$.

In poche parole, moltiplicare una matrice per un numero significa moltiplicare ogni elemento della matrice data per quel numero.

Esempio #2

Data una matrice: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Trova le matrici $3\cdot A$, $-5\cdot A$ e $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( array) (ccc) 3\cdot(-1) e 3\cdot(-2) e 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 e 3\cdot 9 e 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (array) (ccc) -1 e -2 e 7 \\ 4 e 9 e 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 e 10 e -35 \\ -20 e -45 e 0 \end(array) \right). $$

La notazione $-A$ è un'abbreviazione di $-1\cdot A$. Cioè, per trovare $-A$, devi moltiplicare tutti gli elementi della matrice $A$ per (-1). Ciò significa infatti che il segno di tutti gli elementi della matrice $A$ cambierà in senso opposto:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Risposta: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Il prodotto di due matrici.

La definizione di questa operazione è macchinosa e, a prima vista, incomprensibile. Pertanto, indicherò prima una definizione generale, quindi analizzeremo in dettaglio cosa significa e come lavorarci.

Il prodotto della matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ e della matrice $B_(n\times k)=(b_(ij))$ è la matrice $C_(m\times k) )=(c_( ij))$, per cui ogni elemento di $c_(ij)$ è uguale alla somma dei prodotti dei corrispondenti elementi della i-esima riga della matrice $A$ e degli elementi della j-esima colonna della matrice $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Passo dopo passo, analizzeremo la moltiplicazione delle matrici usando un esempio. Tuttavia, dovresti immediatamente prestare attenzione che non tutte le matrici possono essere moltiplicate. Se vogliamo moltiplicare la matrice $A$ per la matrice $B$, allora prima dobbiamo assicurarci che il numero di colonne della matrice $A$ sia uguale al numero di righe della matrice $B$ (tali matrici sono spesso chiamate concordato). Ad esempio, la matrice $A_(5\times 4)$ (la matrice contiene 5 righe e 4 colonne) non può essere moltiplicata per la matrice $F_(9\times 8)$ (9 righe e 8 colonne), poiché il numero di colonne di matrice $A $ non è uguale al numero di righe della matrice $F$, cioè $4\neq 9$. Ma è possibile moltiplicare la matrice $A_(5\times 4)$ per la matrice $B_(4\times 9)$, poiché il numero di colonne della matrice $A$ è uguale al numero di righe della matrice $B$. In questo caso, il risultato della moltiplicazione delle matrici $A_(5\times 4)$ e $B_(4\times 9)$ è la matrice $C_(5\times 9)$, contenente 5 righe e 9 colonne:

Esempio #3

Matrici date: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (array) \right)$ e $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. Trova la matrice $C=A\cpunto B$.

Per cominciare, determiniamo immediatamente la dimensione della matrice $C$. Poiché la matrice $A$ ha dimensione $3\volte 4$ e la matrice $B$ ha dimensione $4\volte 2$, la dimensione della matrice $C$ è $3\volte 2$:

Quindi, come risultato del prodotto delle matrici $A$ e $B$, dovremmo ottenere la matrice $C$, composta da tre righe e due colonne: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Se le designazioni degli elementi sollevano domande, puoi guardare l'argomento precedente: "Matrici. Tipi di matrici. Termini di base", all'inizio del quale viene spiegata la designazione degli elementi della matrice. Il nostro obiettivo è trovare i valori di tutti gli elementi della matrice $C$.

Iniziamo con l'elemento $c_(11)$. Per ottenere l'elemento $c_(11)$, devi trovare la somma dei prodotti degli elementi della prima riga della matrice $A$ e della prima colonna della matrice $B$:

Per trovare l'elemento $c_(11)$ stesso, è necessario moltiplicare gli elementi della prima riga della matrice $A$ per gli elementi corrispondenti della prima colonna della matrice $B$, cioè il primo elemento al primo, il secondo al secondo, il terzo al terzo, il quarto al quarto. Riassumiamo i risultati ottenuti:

$$ c_(11)=-1\cpunto (-9)+2\cpunto 6+(-3)\cpunto 7 + 0\cpunto 12=0. $$

Continuiamo la soluzione e troviamo $c_(12)$. Per fare ciò, devi moltiplicare gli elementi della prima riga della matrice $A$ e della seconda colonna della matrice $B$:

Analogamente al precedente, abbiamo:

$$ c_(12)=-1\cpunto 3+2\cpunto 20+(-3)\cpunto 0 + 0\cpunto (-4)=37. $$

Vengono trovati tutti gli elementi della prima riga della matrice $C$. Passiamo alla seconda riga, che inizia con l'elemento $c_(21)$. Per trovarlo, devi moltiplicare gli elementi della seconda riga della matrice $A$ e della prima colonna della matrice $B$:

$$ c_(21)=5\cpunto (-9)+4\cpunto 6+(-2)\cpunto 7 + 1\cpunto 12=-23. $$

L'elemento successivo $c_(22)$ si trova moltiplicando gli elementi della seconda riga della matrice $A$ per i corrispondenti elementi della seconda colonna della matrice $B$:

$$ c_(22)=5\cpunto 3+4\cpunto 20+(-2)\cpunto 0 + 1\cpunto (-4)=91. $$

Per trovare $c_(31)$ moltiplichiamo gli elementi della terza riga della matrice $A$ per gli elementi della prima colonna della matrice $B$:

$$ c_(31)=-8\cpunto (-9)+11\cpunto 6+(-10)\cpunto 7 + (-5)\cpunto 12=8. $$

Infine, per trovare l'elemento $c_(32)$, devi moltiplicare gli elementi della terza riga della matrice $A$ per i corrispondenti elementi della seconda colonna della matrice $B$:

$$ c_(32)=-8\cpunto 3+11\cpunto 20+(-10)\cpunto 0 + (-5)\cpunto (-4)=216. $$

Tutti gli elementi della matrice $C$ sono stati trovati, resta solo da scrivere che $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array ) \destra)$ . Oppure, per scriverlo per intero:

$$ C=A\cpunto B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Risposta: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

A proposito, spesso non c'è motivo di descrivere in dettaglio la posizione di ciascun elemento della matrice dei risultati. Per le matrici la cui dimensione è piccola, puoi fare quanto segue:

$$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 e 90 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 6\cdot(4)+3\cdot(-6) & 6\cdot(9)+3\cdot(90 ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(array) \right) =\left (\begin(array) (cc) 6 e 324 \\ -56 e -333 \end(array) \right) $$

Vale anche la pena notare che la moltiplicazione di matrici non è commutativa. Ciò significa che in generale $A\cdot B\neq B\cdot A$. Solo per alcuni tipi di matrici, che si chiamano permutativo(o pendolarismo), l'uguaglianza $A\cdot B=B\cdot A$ è vera. È sulla base della non commutatività della moltiplicazione che si richiede di indicare esattamente come moltiplichiamo l'espressione per l'una o l'altra matrice: a destra oa sinistra. Ad esempio, la frase "moltiplica entrambi i membri dell'uguaglianza $3E-F=Y$ per la matrice $A$ a destra" significa che vuoi ottenere la seguente uguaglianza: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Trasposta rispetto alla matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ è la matrice $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, per elementi in cui $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

In poche parole, per ottenere la matrice trasposta $A^T$, è necessario sostituire le colonne della matrice originale $A$ con le righe corrispondenti secondo questo principio: c'era la prima riga - diventerà la prima colonna; c'era una seconda riga: la seconda colonna diventerà; c'era una terza riga - ci sarà una terza colonna e così via. Ad esempio, troviamo la matrice trasposta nella matrice $A_(3\times 5)$:

Di conseguenza, se la matrice originale aveva dimensione $ 3 \ x 5 $, la matrice trasposta ha dimensione $ 5 \ x 3 $.

Alcune proprietà delle operazioni su matrici.

Si assume qui che $\alpha$, $\beta$ siano alcuni numeri e $A$, $B$, $C$ siano matrici. Per le prime quattro proprietà ho indicato i nomi, le altre possono essere nominate per analogia con le prime quattro.

Definizione 1

Il prodotto di matrici (C=AB) è un'operazione solo per matrici coerenti A e B, in cui il numero di colonne della matrice A è uguale al numero di righe della matrice B:

C ⏟ m × n = UN ⏟ m × p × B ⏟ p × n

Esempio 1

Dati matrice:

• A = a (i j) di dimensioni m × n;
• B = b (io j) p × n

Matrice C , i cui elementi c i j sono calcolati dalla seguente formula:

c io j = un io 1 × b 1 j + un io 2 × b 2 j + . . . + un io p × b p j , io = 1 , . . . m , j = 1 , . . . m

Esempio 2

Calcoliamo i prodotti AB=BA:

A = 1 2 1 0 1 2 , B = 1 0 0 1 1 1

Soluzione usando la regola della moltiplicazione delle matrici:

A ⏟ 2 × 3 × B ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2

B ⏟ 3 × 2 × A ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3×3

Si trovano i prodotti A B e B A, ma sono matrici di dimensioni diverse: A B non è uguale a B A.

Proprietà della moltiplicazione di matrici

Proprietà di moltiplicazione di matrici:

• (A B) C = A (B C) - associatività della moltiplicazione di matrici;
• A (B + C) \u003d A B + A C - moltiplicazione distributiva;
• (A + B) C \u003d A C + B C - distributività della moltiplicazione;
• λ (AB) = (λ A) B

Esempio 1

Controllare la proprietà n. 1: (A B) C = A (B C):

(A × B) × A = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100,

A (B × C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100 .

Esempio 2

Controlliamo la proprietà n. 2: A (B + C) \u003d A B + A C:

A × (B + C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58,

A B + A C \u003d 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 \u003d 19 22 43 50 + 1 4 3 8 \u003d 20 26 46 58 .

Prodotto di tre matrici

Il prodotto di tre matrici A B C si calcola in 2 modi:

• trova A B e moltiplica per C: (AB) C;
• oppure trova prima B C, quindi moltiplica A (B C) .

Esempio 3

Moltiplica le matrici in 2 modi:

4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 × 7 3 2 1

Algoritmo di azione:

• trova il prodotto di 2 matrici;
• quindi trova di nuovo il prodotto di 2 matrici.

uno). A B \u003d 4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 \u003d 4 (- 28) + 3 × 38 4 × 93 + 3 (- 126) 7 (- 28) + 5 × 38 7 × 93 + 5 (- 126 ) = 2 - 6 - 6 21

2). A B C = (A B) C = 2 - 6 - 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 - 6 × 2 2 × 3 - 6 × 1 - 6 × 7 + 21 × 2 - 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3 .

Usiamo la formula A B C \u003d (AB) C:

uno). B C = - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = - 28 × 7 + 93 × 2 - 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 - 126 × 2 38 × 3 - 126 × 1 = - 10 9 14 - 12

2). A B C \u003d (AB) C \u003d 7 3 2 1 - 10 9 14 - 12 \u003d 4 (- 10) + 3 × 14 4 × 9 + 3 (- 12) 7 (- 10) + 5 × 14 7 × 9 + 5 (- 12) = 2 0 0 3

Risposta: 4 3 7 5 - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3

Moltiplicare una matrice per un numero

Definizione 2

Il prodotto della matrice A per il numero k è la matrice B \u003d A k della stessa dimensione, che si ottiene dall'originale moltiplicando per un dato numero di tutti i suoi elementi:

b io , j = k × un io , j

Proprietà di moltiplicare una matrice per un numero:

• 1 × A = A
• 0 × A = matrice zero
• k(A + B) = kA + kB
• (k + n) A = k A + n A
• (k×n)×A = k(n×A)

Esempio 4

Trova il prodotto della matrice A \u003d 4 2 9 0 per 5.

5 A = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0

Moltiplicazione di una matrice per un vettore

Definizione 3

Per trovare il prodotto di una matrice e di un vettore, devi moltiplicare secondo la regola riga per colonna:

• se moltiplichi una matrice per un vettore colonna, il numero di colonne nella matrice deve corrispondere al numero di righe nel vettore colonna;
• il risultato della moltiplicazione di un vettore colonna è solo un vettore colonna:

A B = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × b 1 + a 12 × b 2 + ⋯ + a 1 n × b n un 21 × b 1 + un 22 × b 2 + ⋯ + un 2 n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ un m 1 × b 1 + un m 2 × b 2 + ⋯ + un m n × b n = c 1 c 2 ⋯ c 1 m

• se moltiplichi una matrice per un vettore riga, la matrice da moltiplicare deve essere esclusivamente un vettore colonna e il numero di colonne deve corrispondere al numero di colonne nel vettore riga:

A B = a a ⋯ a b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × b n a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n × b 1 a n × b 2 ⋯ un n × b n = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n

Esempio 5

Trova il prodotto della matrice A e del vettore colonna B:

A B \u003d 2 4 0 - 2 1 3 - 1 0 1 1 2 - 1 \u003d 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × (- 1) - 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × (- 1) - 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × (- 1) = 2 + 8 + 0 - 2 + 2 - 3 - 1 + 0 - 1 = 10 - 3 - 2

Esempio 6

Trova il prodotto della matrice A e del vettore riga B:

A \u003d 3 2 0 - 1, B \u003d - 1 1 0 2

A B = 3 2 0 1 × - 1 1 0 2 = 3 × (- 1) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × (- 1) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × (- 1) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × (- 1) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Risposta: A B \u003d - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

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Le principali applicazioni delle matrici sono legate all'operazione moltiplicazione.

Date due matrici:

A - taglia mn

B - taglia n K

Perché la lunghezza della riga nella matrice A coincide con l'altezza della colonna nella matrice B, si può definire la matrice C=AB, che avrà dimensioni m K. Elemento la matrice C, situata in una i-esima riga arbitraria (i=1,…,m) e in una j-esima colonna arbitraria (j=1,…,k), è per definizione uguale al prodotto scalare di due vettori da
:i-esima riga della matrice A e j-esima colonna della matrice B:

Proprietà:

Come si determina l'operazione di moltiplicazione di una matrice A per un numero λ?

Il prodotto di A per un numero λ è una matrice, ogni elemento della quale è uguale al prodotto dell'elemento corrispondente di A per λ. Conseguenza: il fattore comune di tutti gli elementi della matrice può essere tolto dal segno della matrice.

13. Definizione di matrice inversa e sue proprietà.

Definizione. Se esistono matrici quadrate X e A dello stesso ordine che soddisfano la condizione:

dove E è la matrice identità dello stesso ordine della matrice A, allora viene chiamata la matrice X inversione alla matrice A ed è indicato con A -1.

Proprietà delle matrici inverse

Indichiamo le seguenti proprietà di matrici inverse:

1) (LA -1) -1 = LA;

2) (AB) -1 = B -1 LA -1

3) (LA T) -1 = (LA -1) T .

1. Se esiste una matrice inversa, allora è unica.

2. Non tutte le matrici quadrate diverse da zero hanno un'inversa.

14. Fornire le principali proprietà dei determinanti. Verificare la proprietà |AB|=|A|*|B| per matrici

A= e B=

Proprietà dei determinanti:

1. Se una qualsiasi riga del determinante è composta da zeri, il determinante stesso è uguale a zero.

2. Quando due stringhe vengono scambiate, il determinante viene moltiplicato per -1.

3. Il determinante con due stringhe identiche è uguale a zero.

4. Il fattore comune degli elementi di ogni riga può essere dedotto dal segno del determinante.

5. Se gli elementi di una certa riga del determinante A sono presentati come somma di due termini, allora il determinante stesso è uguale alla somma di due determinanti B e D. Nel determinante B, la stringa specificata è costituita dal primo termini, in D - dei secondi termini. Le restanti righe dei determinanti B e D sono le stesse di A.

6. Il valore del determinante non cambierà se un'altra stringa viene aggiunta a una delle stringhe, moltiplicata per qualsiasi numero.

7. La somma dei prodotti degli elementi di qualsiasi riga e delle addizioni algebriche agli elementi corrispondenti di un'altra riga è 0.

8. Il determinante della matrice A è uguale al determinante della matrice trasposta A m, cioè il determinante non cambia una volta trasposto.

15. Definire il modulo e l'argomento di un numero complesso. Scrivi in ​​forma trigonometrica i numeri √3+io, -1+ io.

Ad ogni numero complesso z=a+ib può essere assegnato un vettore (a,b)€R 2. Si chiama la lunghezza di questo vettore, pari a √a 2 + b 2 modulo numerico complesso z ed è indicato da |z|. Viene chiamato l'angolo φ tra il vettore dato e la direzione positiva dell'asse Ox argomento numero complesso z e indicato con arg z.

Qualsiasi numero complesso z≠0 può essere rappresentato come z=|z|(cosφ +isinφ).

Questa forma di scrittura di un numero complesso è chiamata trigonometrica.

√3+i=2(√3/2+1/2i)=2(cosπ/6+isinπ/6);

1+i=2(-√2/2+i√2/2)=2(cosπ/4+isinπ/4).

Ad ogni numero complesso Z = a + ib può essere assegnato un vettore (a; b) appartenente a R^2. La lunghezza di questo vettore, uguale alla CV di a^2 + b^2, è chiamata modulo del numero complesso ed è indicata dal modulo Z. Si chiama l'angolo tra questo vettore e la direzione positiva dell'asse Ox l'argomento del numero complesso (indicato con arg Z).