Alcune proprietà delle operazioni su matrici.
Espressioni matriciali

E ora seguirà la continuazione dell'argomento, in cui considereremo non solo nuovo materiale, ma lavoreremo operazioni matriciali.

Alcune proprietà delle operazioni su matrici

Ci sono parecchie proprietà che riguardano operazioni con matrici, nella stessa Wikipedia puoi ammirare i ranghi snelli delle regole corrispondenti. Tuttavia, in pratica, molte proprietà sono in un certo senso "morte", poiché solo alcune di esse vengono utilizzate nel corso della risoluzione di problemi reali. Il mio obiettivo è esaminare l'applicazione applicata delle proprietà con esempi specifici e, se hai bisogno di una teoria rigorosa, utilizza un'altra fonte di informazioni.

Considera alcuni eccezioni alla regola necessario per svolgere compiti pratici.

Se una matrice quadrata ha matrice inversa, allora la loro moltiplicazione è commutativa:

matrice identità si chiama matrice quadrata con diagonale principale le unità si trovano e gli elementi rimanenti sono uguali a zero. Ad esempio: , ecc.

In cui vale la seguente proprietà: se viene moltiplicata una matrice arbitraria sinistra o destra da una matrice identità di opportune dimensioni, allora il risultato è la matrice originale:

Come puoi vedere, anche qui avviene la commutatività della moltiplicazione di matrici.

Prendiamo una matrice, beh, diciamo la matrice del problema precedente: .

Gli interessati possono verificare e accertarsi che:

La matrice identità per le matrici è un analogo dell'unità numerica per i numeri, che si vede particolarmente chiaramente dagli esempi appena considerati.

Commutatività di un fattore numerico rispetto alla moltiplicazione di matrici

Per matrici e numero reale vale la seguente proprietà:

Cioè, il fattore numerico può (e dovrebbe) essere spostato in avanti in modo che "non interferisca" con la moltiplicazione delle matrici.

Nota : In generale, la formulazione della proprietà è incompleta - "lambda" può essere posizionato ovunque tra le matrici, anche alla fine. La regola rimane valida se si moltiplicano tre o più matrici.

Esempio 4

Calcola prodotto

Soluzione:

(1) Secondo la proprietà spostare il fattore numerico in avanti. Le matrici stesse non possono essere riorganizzate!

(2) - (3) Eseguire la moltiplicazione di matrici.

(4) Qui puoi dividere ogni numero 10, ma poi ci saranno tra gli elementi della matrice decimali che non va bene. Tuttavia, notiamo che tutti i numeri nella matrice sono divisibili per 5, quindi moltiplichiamo ogni elemento per .

Risposta:

Piccola sciarada per decisione indipendente:

Esempio 5

Calcola se

Soluzione e risposta alla fine della lezione.

Quale tecnica è importante nel corso della risoluzione esempi simili? Trattare con i numeri scorso .

Attacchiamo un altro vagone alla locomotiva:

Come moltiplicare tre matrici?

Prima di tutto, QUALE dovrebbe essere il risultato della moltiplicazione di tre matrici? Un gatto non partorirà un topo. Se la moltiplicazione di matrici è fattibile, anche il risultato sarà una matrice. Ebbene, il mio insegnante di algebra non vede come spiego la chiusura della struttura algebrica rispetto ai suoi elementi =)

Il prodotto di tre matrici può essere calcolato in due modi:

1) trova e poi moltiplica per la matrice "ce": ;

2) prima find , quindi esegui la moltiplicazione.

I risultati coincideranno necessariamente, e in teoria questa proprietà è chiamata associatività della moltiplicazione di matrici:

Esempio 6

Moltiplicare le matrici in due modi

Algoritmo soluzioni in due fasi: trova il prodotto di due matrici, quindi trova di nuovo il prodotto di due matrici.

1) Usa la formula

Azione uno:

Azione due:

2) Usa la formula

Azione uno:

Azione due:

Risposta:

Più familiare e standard, ovviamente, è il primo modo di risolvere, lì "come se tutto fosse in ordine". A proposito, sull'ordine. Nel compito in esame, sorge spesso l'illusione che si tratti di una sorta di permutazione di matrici. Loro non sono qui. Te lo ricordo ancora una volta generalmente NON SOSTITUIRE LE MATRICI. Quindi, nel secondo paragrafo, al secondo passaggio, eseguiamo la moltiplicazione, ma in nessun caso. Con i numeri ordinari, tale numero passerebbe, ma non con le matrici.

La proprietà dell'associatività della moltiplicazione è valida non solo per quadrati, ma anche per matrici arbitrarie, purché vengano moltiplicate:

Esempio 7

Trova il prodotto di tre matrici

Questo è un esempio fai da te. Nella soluzione di esempio, i calcoli sono stati eseguiti in due modi, analizza quale è più redditizio e più breve.

La proprietà di associatività della moltiplicazione di matrici ha luogo per un numero maggiore di fattori.

Ora è il momento di tornare ai poteri delle matrici. Il quadrato della matrice è considerato all'inizio e all'ordine del giorno c'è la domanda:

Come cubettare una matrice e potenze superiori?

Anche queste operazioni sono definite solo per matrici quadrate. Per elevare una matrice quadrata a cubo, devi calcolare il prodotto:

In effetti, questo è un caso speciale di moltiplicazione di tre matrici, secondo la proprietà di associatività della moltiplicazione di matrici: . E una matrice moltiplicata per se stessa è il quadrato della matrice:

Otteniamo così la formula di lavoro:

Cioè, l'attività viene eseguita in due passaggi: prima, la matrice deve essere quadrata, quindi la matrice risultante viene moltiplicata per la matrice.

Esempio 8

Eleva la matrice a un cubo.

Questo è un piccolo problema da risolvere da solo.

L'elevazione di una matrice alla quarta potenza avviene in modo naturale:

Usando l'associatività della moltiplicazione di matrici, deriviamo due formule di lavoro. Primo: è il prodotto di tre matrici.

1). In altre parole, prima troviamo, poi lo moltiplichiamo per "essere" - otteniamo un cubo e, infine, eseguiamo di nuovo la moltiplicazione - ci sarà un quarto grado.

2) Ma c'è una soluzione un passo più breve: . Cioè, al primo passaggio troviamo il quadrato e, scavalcando il cubo, eseguiamo la moltiplicazione

Attività aggiuntiva all'esempio 8:

Elevare la matrice alla quarta potenza.

Come appena notato, questo può essere fatto in due modi:

1) Non appena il cubo è noto, eseguiamo la moltiplicazione.

2) Tuttavia, se, secondo la condizione del problema, è necessario costruire una matrice solo di quarto grado, allora è vantaggioso accorciare il percorso - trovare il quadrato della matrice e usare la formula .

Entrambe le soluzioni e la risposta sono alla fine della lezione.

Allo stesso modo, la matrice viene elevata al quinto o più alti gradi. Per esperienza pratica posso dire che a volte ci sono esempi di elevazione al 4° grado, ma non ricordo già qualcosa del quinto grado. Ma per ogni evenienza, darò l'algoritmo ottimale:

1) trovare;
2) trova;
3) elevare la matrice alla quinta potenza: .

Ecco, forse, tutte le principali proprietà delle operazioni matriciali che possono essere utili in problemi pratici.

Nella seconda sezione della lezione non è prevista una festa meno colorata.

Espressioni matriciali

Ripetiamo le solite espressioni scolastiche con i numeri. Un'espressione numerica è costituita da numeri, simboli matematici e parentesi, ad esempio: . Nei calcoli vale la familiare priorità algebrica: primo, il parentesi, quindi eseguito esponenziazione / estrazione di radici, Poi moltiplicazione/divisione e infine - addizione/sottrazione.

Se un'espressione numerica ha senso, il risultato della sua valutazione è un numero, Per esempio:

Espressioni matriciali quasi esattamente lo stesso! Con la differenza che il principale attori appaiono le matrici. Più alcune operazioni matriciali specifiche, come trasporre e trovare l'inverso di una matrice.

Considera l'espressione della matrice , dove sono alcune matrici. Questa espressione matriciale ha tre termini e le operazioni di addizione/sottrazione vengono eseguite per ultime.

Nel primo termine, devi prima trasporre la matrice "be": , quindi eseguire la moltiplicazione e aggiungere "due" alla matrice risultante. notare che l'operazione di trasposizione ha una precedenza maggiore rispetto all'operazione di moltiplicazione. Le parentesi, come nelle espressioni numeriche, cambiano l'ordine delle operazioni: - qui, prima viene eseguita la moltiplicazione, quindi la matrice risultante viene trasposta e moltiplicata per 2.

Nel secondo termine, la moltiplicazione della matrice viene eseguita per prima e la matrice inversa è già stata trovata dal prodotto. Se le parentesi vengono rimosse: , quindi prima devi trovare matrice inversa, quindi moltiplicare le matrici: . Trovare la matrice inversa ha anche la precedenza sulla moltiplicazione.

Con il terzo termine, tutto è ovvio: eleviamo la matrice in un cubo e aggiungiamo il "cinque" alla matrice risultante.

Se l'espressione di matrice ha senso, allora il risultato della sua valutazione è una matrice.

Tutti i compiti saranno reali il controllo funziona, e inizieremo con il più semplice:

Esempio 9

Dati di matrice . Trovare:

Soluzione: l'ordine delle operazioni è ovvio, si esegue prima la moltiplicazione, poi l'addizione.

L'addizione non è possibile perché le matrici hanno dimensioni diverse.

Non essere sorpreso, azioni ovviamente impossibili sono spesso offerte in compiti di questo tipo.

Proviamo a calcolare la seconda espressione:

Va tutto bene qui.

Risposta: l'azione non può essere eseguita, .

Matrici e determinanti

1.1 Matrici. Concetti.

Matrice di dimensioni rettangolari M X N si chiama totalità mn numeri disposti in una tabella rettangolare contenente M linee e N colonne. Scriveremo la matrice come

o abbreviato come A = (a ij) (i = ; j = ). I numeri a ij che compongono questa matrice sono detti suoi elementi; il primo indice punta al numero di riga, il secondo indice al numero di colonna. Due matrici A = (a ij) e B = (b ij) della stessa dimensione sono dette uguali se i loro elementi nelle stesse posizioni sono uguali a due a due, cioè A = B se a ij = b ij .

Una matrice costituita da una riga o da una colonna è chiamata rispettivamente vettore riga o vettore colonna. I vettori colonna e i vettori riga sono semplicemente chiamati vettori.

Una matrice composta da un numero è identificata con questo numero. Matrice delle dimensioni M X N, i cui elementi sono tutti uguali a zero, è chiamata matrice zero ed è indicata con 0. Gli elementi della matrice con gli stessi indici sono chiamati elementi della diagonale principale. Se il numero di righe della matrice è uguale al numero di colonne, cioè M = N, allora la matrice si chiama quadrato di ordine N. Le matrici quadrate, in cui solo gli elementi della diagonale principale sono diversi da zero, sono chiamate matrici diagonali e si scrivono come segue:

Se tutti gli elementi a ii della matrice diagonale sono uguali a 1, la matrice è chiamata matrice identità ed è indicata dalla lettera E:

Una matrice quadrata è detta triangolare se tutti gli elementi sopra (o sotto) la diagonale principale sono uguali a zero. Una trasposizione è una trasformazione di una matrice in cui righe e colonne vengono scambiate mantenendo i loro numeri. La trasposizione è indicata da una T in alto.

Sia data la matrice (4.1). Scambia le righe con le colonne. Ottieni la matrice

che verrà trasposto rispetto alla matrice A. In particolare trasponendo un vettore colonna si ottiene un vettore riga e viceversa.

Operazioni di base sulle matrici.

Le principali operazioni aritmetiche sulle matrici sono la moltiplicazione di una matrice per un numero, l'addizione e la moltiplicazione di matrici.

Procediamo alla definizione delle operazioni di base sulle matrici.

Addizione di matrici : La somma di due matrici, ad esempio: A e B, aventi lo stesso numero di righe e di colonne, cioè dello stesso ordine m e n, è la matrice С = (Сij) (i = 1, 2, ... m; j = 1, 2, …n) degli stessi ordini m ed n, i cui elementi Cij sono uguali.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2)

La notazione C = A + B è usata per denotare la somma di due matrici.L'operazione di composizione della somma delle matrici è chiamata la loro addizione

Quindi per definizione abbiamo:

Segue direttamente dalla definizione della somma delle matrici, o meglio dalla formula (1.2), che l'operazione di addizione di matrici ha le stesse proprietà dell'operazione di addizione numeri reali, vale a dire:

1) proprietà commutativa: A + B = B + A

2) proprietà associativa: (A + B) + C = A + (B + C)

Queste proprietà consentono di non preoccuparsi dell'ordine dei termini delle matrici quando si aggiungono due o Di più matrici.

Moltiplicare una matrice per un numero :

Il prodotto della matrice A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) per un numero reale è la matrice C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n), i cui elementi sono uguali

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (1.3)

Per indicare il prodotto di una matrice per un numero, viene utilizzata la notazione C \u003d A o C \u003d A. L'operazione di compilare il prodotto di una matrice per un numero si chiama moltiplicare una matrice per questo numero.

È chiaro dalla formula (1.3) che la moltiplicazione di una matrice per un numero ha le seguenti proprietà:

1) proprietà di distribuzione rispetto alla somma delle matrici:

(A + B) = A + B

2) proprietà associativa rispetto al fattore numerico:

3) proprietà distributiva rispetto alla somma dei numeri:

( + ) LA = LA + LA.

Commento: Differenza di due matrici A e B degli stessi ordini, è naturale chiamare tale matrice C degli stessi ordini, che, insieme alla matrice B, dà la matrice A. Per indicare la differenza di due matrici, viene utilizzata la notazione naturale: C = A-B.

Moltiplicazione di matrici :

Il prodotto della matrice A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n), che ha rispettivamente ordini pari a m e n, per la matrice B = (Bij ) (i = 1, 2 , …, n;

j = 1, 2, …, p), che ha ordini rispettivamente pari a n e p, è detta matrice C = (Сij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p), che ha ordini , rispettivamente uguali a m e p, e gli elementi Cij definiti dalla formula

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4)

Per indicare il prodotto di una matrice A per una matrice B, utilizzare la notazione

DO=AB. L'operazione di compilazione del prodotto della matrice A per la matrice B è chiamata moltiplicazione di queste matrici. Dalla definizione sopra formulata segue che la matrice A non può essere moltiplicata per nessuna matrice B: è necessario che il numero di colonne della matrice A sia equivale numero di righe della matrice B. Affinché entrambi i prodotti AB e BA non solo siano definiti, ma abbiano lo stesso ordine, è necessario e sufficiente che entrambe le matrici A e B siano matrici quadrate dello stesso ordine.

La formula (1.4) è una regola per compilare gli elementi della matrice C,

che è il prodotto della matrice A e della matrice B. Questa regola può anche essere formulata verbalmente: L'elemento Cij in piedi i-esimo incrocio riga e j-esima colonna della matrice C = AB, è uguale alla somma prodotto a coppie del corrispondente elementi i-esimi righe della matrice A e j-esima colonna della matrice B. Come esempio di applicazione di questa regola, presentiamo la formula per moltiplicare matrici quadrate del secondo ordine

La formula (1.4) implica le seguenti proprietà del prodotto della matrice A e della matrice B:

1) proprietà associativa: (AB) C = A (BC);

2) proprietà distributiva rispetto alla somma delle matrici:

(A + B) C = AC + BC o A (B + C) = AB + AC.

La questione della proprietà di permutazione del prodotto di matrici ha senso solo per matrici quadrate dello stesso ordine. Esempi elementari mostrano che i prodotti di due matrici quadrate dello stesso ordine non hanno, in generale, la proprietà di permutazione. Infatti, se mettiamo

A = , B = , quindi AB = e BA =

Le stesse matrici, per il prodotto di cui vale la proprietà di permutazione, sono solitamente chiamate commutative.

Tra le matrici quadrate, individuiamo una classe di cosiddette matrici diagonali, ciascuna delle quali ha elementi situati all'esterno della diagonale principale pari a zero. Tra tutte le matrici diagonali con voci coincidenti sulla diagonale principale, in particolare ruolo importante riprodurre due matrici. La prima di queste matrici si ottiene quando tutti gli elementi della diagonale principale sono uguali a uno, si chiama matrice identità dell'ennesimo ordine ed è indicata con il simbolo E . La seconda matrice è ottenuta con tutti gli elementi uguali a zero ed è chiamata matrice zero dell'ennesimo ordine ed è indicata dal simbolo O. Supponiamo che esista una matrice arbitraria A, quindi

AE=EA=LA, AO=OA=O.

La prima delle formule caratterizza il ruolo speciale della matrice identità E, simile al ruolo svolto dal numero 1 nella moltiplicazione dei numeri reali. Quanto al ruolo speciale della matrice zero O, esso è rivelato non solo dalla seconda delle formule, ma anche dall'uguaglianza elementare verificabile: A + O = O + A = A. Il concetto di matrice nulla può anche essere introdotto per matrici non quadrate.

Rango della matrice

Prendere in considerazione matrice rettangolare(4.1). Se selezioniamo arbitrariamente k righe in questa matrice e K colonne, gli elementi all'intersezione delle righe e delle colonne selezionate formano una matrice quadrata K-esimo ordine. Il determinante di questa matrice si chiama k-esimo ordine minore della matrice A. Ovviamente, la matrice A ha minori di qualsiasi ordine da 1 al più piccolo dei numeri M E N. Tra tutti i minori diversi da zero della matrice A, c'è almeno un minore il cui ordine è il più grande. Il più grande degli ordini diversi da zero dei minori di una data matrice è chiamato rango della matrice. Se il rango della matrice A è R, allora questo significa che la matrice A ha un minore di ordine diverso da zero R, ma ogni minore di ordine maggiore di r è uguale a zero. Il rango di una matrice A è indicato con r(A). È ovvio che la relazione

0 ≤ r(A) ≤ min(m,n).

Il rango di una matrice si trova con il metodo del bordo minore o con il metodo trasformazioni elementari. Nel calcolare il rango di una matrice nel primo modo, si dovrebbe passare da minori di ordine inferiore a minori di ordine superiore ordine elevato. Se è già stato trovato un D minore diverso da zero del k-esimo ordine della matrice A, allora devono essere calcolati solo i (k + 1)-mi minori di ordine che confinano con il minore D, cioè contenerlo come minorenne. Se sono tutti uguali a zero, allora il rango della matrice è k.

Le seguenti trasformazioni matriciali sono dette elementari:

1) permutazione di due righe (o colonne),

2) moltiplicando una riga (o colonna) per qualcosa di diverso da numero zero,

3) aggiungendo a una riga (o colonna) un'altra riga (o colonna) moltiplicata per un numero.

Due matrici si dicono equivalenti se una di esse è ottenuta dall'altra mediante un insieme finito di trasformazioni elementari.

Le matrici equivalenti non sono, in generale, uguali, ma i loro ranghi sono uguali. Se le matrici A e B sono equivalenti, allora questo è scritto come segue:

Una matrice canonica è una matrice la cui iniziale

la diagonale principale sono diverse unità di fila (il cui numero

può essere uguale a zero), e tutti gli altri elementi sono uguali a zero,

Per esempio, .

Con l'aiuto di trasformazioni elementari di righe e colonne, qualsiasi matrice può essere ridotta a una canonica. Rango della matrice canonica è uguale al numero unità sulla sua diagonale principale.

matrice inversa

Considera una matrice quadrata

Indichiamo Δ = detA.

Una matrice quadrata A è detta non degenere, o non singolare, se il suo determinante è diverso da zero, e degenere, o speciale, se Δ = 0.

Una matrice quadrata B è detta l'inversa di una matrice quadrata A dello stesso ordine se il loro prodotto A B = B A = E, dove E è la matrice identità dello stesso ordine delle matrici A e B.

Teorema. Affinché la matrice A abbia un'inversa, è necessario e sufficiente che il suo determinante sia diverso da zero.

La matrice inversa della matrice A è indicata con A -1 . La matrice inversa è calcolata dalla formula

LA -1 \u003d 1 / Δ, (4.5)

dove А ij - complementi algebrici di elementi a ij .

Il calcolo della matrice inversa mediante la formula (4.5) per matrici di ordine elevato è molto laborioso, quindi in pratica è conveniente trovare la matrice inversa utilizzando il metodo delle trasformazioni elementari (ET). Qualsiasi matrice A non singolare può essere ridotta dall'EP di sole colonne (o solo righe) alla matrice identità E. Se gli EP eseguiti sulla matrice A vengono applicati nello stesso ordine alla matrice identità E, allora il risultato è una matrice inversa. È conveniente eseguire un EP sulle matrici A ed E contemporaneamente, scrivendo entrambe le matrici una accanto all'altra attraverso la riga. Notiamo ancora una volta che quando si cerca la forma canonica di una matrice per trovarne il rango, si possono usare trasformazioni di righe e colonne. Se devi trovare la matrice inversa, dovresti usare solo righe o solo colonne nel processo di trasformazione.

2. Determinanti

Per ogni matrice quadrata viene definito un numero, chiamato determinante della matrice, determinante della matrice o semplicemente determinante (determinante).

Definizione. Il determinante di una matrice quadrata del primo ordine è un numero uguale all'unico elemento di questa matrice: A=(a), detA=|A|=a.

Sia A una matrice quadrata arbitraria di ordine n, n>1:

Definizione Il determinante dell'ennesimo ordine (determinante della matrice quadrata dell'ennesimo ordine n), n>1, è il numero pari a

dove è il determinante della matrice quadrata ottenuta dalla matrice A eliminando la prima riga e la j-esima colonna.

Per determinanti del 2° e 3° ordine è facile ottenere semplici espressioni in termini di elementi di matrice.

Determinante di secondo ordine:

Determinante di 3° ordine:

2.1. Complemento di elementi minori e algebrici

Definizione. Il minore di un elemento di matrice è il determinante della matrice ottenuta eliminando la riga e la colonna in cui si trova l'elemento. Denota: il minore dell'elemento a ij - .

Definizione. Il complemento algebrico di un elemento di matrice è il suo minore moltiplicato per -1 a una potenza pari alla somma dei numeri di riga e colonna in cui si trova l'elemento. Denota: complemento algebrico dell'elemento a ij - .

Quindi, possiamo riformulare la definizione del determinante di n-esimo ordine:

il determinante dell'ennesimo ordine, n>1, è uguale alla somma dei prodotti degli elementi della prima riga e dei loro complementi algebrici.

Esempio.

Teorema sul calcolo del determinante per espansione su qualsiasi riga

Teorema. Il determinante di ordine n-esimo, n>1, è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di qualsiasi riga (colonna) e dei loro complementi algebrici.

Esempio. Calcoliamo il determinante dall'esempio precedente espandendo sulla seconda riga:

Conseguenza. Il determinante di una matrice triangolare è uguale al prodotto degli elementi diagonali. (Dimostra a te stesso).

Matrice dimensione è chiamato un tavolo rettangolare, costituito da elementi disposti in M linee e N colonne.

Elementi della matrice (primo indice io− numero di riga, secondo indice J− numero di colonna) possono essere numeri, funzioni, ecc. Le matrici sono denotate da lettere maiuscole dell'alfabeto latino.

La matrice è chiamata piazza se il suo numero di righe è uguale al numero di colonne ( M = N). In questo caso, il numero Nè chiamato l'ordine della matrice e la matrice stessa è chiamata matrice N-esimo ordine.

Elementi con lo stesso indice modulo diagonale principale matrice quadrata, e gli elementi (cioè aventi la somma degli indici pari a N+1) − diagonale secondaria.

Solitario matriceè chiamata matrice quadrata, tutti gli elementi della diagonale principale sono uguali a 1 e gli elementi rimanenti sono uguali a 0. È indicato dalla lettera E.

Zero matriceè una matrice i cui elementi sono tutti uguali a 0. La matrice nulla può essere di qualsiasi dimensione.

Al numero operazioni lineari su matrici relazionare:

1) addizione di matrici;

2) moltiplicazione di matrici per un numero.

L'operazione di addizione di matrici è definita solo per matrici della stessa dimensione.

La somma di due matrici UN E IN chiamata matrice CON, i cui elementi sono tutti uguali alle somme degli elementi corrispondenti delle matrici UN E IN:

.

Prodotto di matrice UN per numero K chiamata matrice IN, i cui elementi sono tutti uguali ai corrispondenti elementi della matrice data UN moltiplicato per il numero K:

Operazione moltiplicazioni di matrici viene introdotto per le matrici che soddisfano la condizione: il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda.

Prodotto di matrice UN dimensioni a matrice IN dimensione si chiama matrice CON dimensioni, elemento io-esima riga e J la cui esima colonna è uguale alla somma dei prodotti degli elementi io esima riga della matrice UN sugli elementi rilevanti J-esima colonna della matrice IN:

Il prodotto di matrici (a differenza del prodotto di numeri reali) non obbedisce alla legge commutativa, cioè generalmente UN IN IN UN.

1.2. Determinanti. Proprietà qualificatore

Il concetto di determinante introdotto solo per matrici quadrate.

Il determinante di una matrice del 2° ordine è un numero calcolato secondo la seguente regola

.

Determinante di matrice di 3° ordine è un numero calcolato secondo la seguente regola:

Il primo dei termini con il segno “+” è il prodotto degli elementi posti sulla diagonale principale della matrice (). Gli altri due contengono elementi situati ai vertici di triangoli con base parallela alla/e diagonale/e principale/i. Con il segno "-" si comprendono i prodotti degli elementi della diagonale secondaria () e degli elementi formanti triangoli con basi parallele a tale diagonale (e).

Questa regola per il calcolo del determinante del 3° ordine è chiamata regola dei triangoli (o regola di Sarrus).

Proprietà qualificatore Consideriamo l'esempio delle determinanti del 3° ordine.

1. Quando si sostituiscono tutte le righe del determinante con colonne con gli stessi numeri delle righe, il determinante non cambia il suo valore, cioè righe e colonne del determinante sono uguali

.

2. Quando due righe (colonne) vengono scambiate, il determinante cambia segno.

3. Se tutti gli elementi di una determinata riga (colonna) sono zero, allora il determinante è 0.

4. Il fattore comune di tutti gli elementi di una riga (colonna) può essere tolto dal segno del determinante.

5. Il determinante contenente due righe (colonne) identiche è 0.

6. Il determinante contenente due righe proporzionali (colonne) è uguale a zero.

7. Se ogni elemento di una determinata colonna (riga) di un determinante rappresenta la somma di due termini, allora il determinante è uguale alla somma di due determinanti, uno dei quali contiene i primi termini nella stessa colonna (riga) e il secondo - il secondo. Gli elementi rimanenti di entrambi i determinanti sono gli stessi. COSÌ,

.

8. Il determinante non cambia se gli elementi corrispondenti di un'altra colonna (riga) moltiplicati per lo stesso numero vengono aggiunti agli elementi di una qualsiasi delle sue colonne (righe).

La prossima proprietà del determinante è legata ai concetti di minore e complemento algebrico.

Minore elemento di un determinante è il determinante ottenuto dal dato eliminando la riga e la colonna all'intersezione delle quali si trova questo elemento.

Ad esempio, l'elemento minore del determinante si chiama determinante.

Addizione algebrica l'elemento del determinante è chiamato il suo minore moltiplicato per dove io− numero di riga, J− numero della colonna all'intersezione della quale si trova l'elemento. Il complemento algebrico è solitamente indicato. Per un elemento determinante di 3° ordine, il complemento algebrico

9. Il determinante è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di qualsiasi riga (colonna) e delle loro corrispondenti addizioni algebriche.

Ad esempio, il determinante può essere espanso sugli elementi della prima riga

,

o seconda colonna

Le proprietà dei determinanti vengono utilizzate per calcolarli.

In questo articolo capiremo come viene eseguita l'operazione di addizione su matrici dello stesso ordine, l'operazione di moltiplicazione di una matrice per un numero e l'operazione di moltiplicazione di matrici di un ordine appropriato, imposteremo assiomaticamente le proprietà delle operazioni, e discutere anche la priorità delle operazioni sulle matrici. Parallelamente alla teoria, presenteremo soluzioni dettagliate esempi in cui si eseguono operazioni su matrici.

Notiamo subito che tutto quanto segue si applica a matrici i cui elementi sono numeri reali (o complessi).

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L'operazione di addizione di due matrici.

Definizione dell'operazione di addizione di due matrici.

L'operazione di addizione è definita SOLO PER MATRICI DELLO STESSO ORDINE. In altre parole, è impossibile trovare la somma di matrici di dimensioni diverse, e in generale è impossibile parlare di addizione di matrici di dimensioni diverse. Inoltre, non si può parlare della somma di una matrice e di un numero, o della somma di una matrice e di qualche altro elemento.

Definizione.

Somma di due matrici ed è una matrice i cui elementi sono uguali alla somma dei corrispondenti elementi delle matrici A e B, cioè .

Pertanto, il risultato dell'operazione di somma di due matrici è una matrice dello stesso ordine.

Proprietà dell'operazione di addizione di matrici.

Quali sono le proprietà dell'operazione di addizione tra matrici? A questa domanda è abbastanza facile rispondere, partendo dalla definizione della somma di due matrici di un dato ordine e ricordando le proprietà dell'operazione di addizione di numeri reali (o complessi).

1. Per le matrici A, B e C dello stesso ordine, la proprietà dell'associatività dell'addizione è caratteristica A + (B + C) \u003d (A + B) + C.
2. Per matrici di un dato ordine esiste un elemento neutro rispetto all'addizione, che è la matrice nulla. Cioè, la proprietà A + O \u003d A è vera.
3. Per una matrice A diversa da zero di un dato ordine, esiste una matrice (-A) , la loro somma è una matrice zero: A + (-A) \u003d O .
4. Per le matrici A e B di un dato ordine vale la proprietà di commutatività dell'addizione A+B=B+A.

Di conseguenza, l'insieme delle matrici di un dato ordine genera un gruppo Abel additivo (un gruppo abeliano rispetto all'operazione algebrica di addizione).

Addizione di matrici - esempi di risoluzione.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi di addizione di matrici.

Esempio.

Trova la somma delle matrici e .

Soluzione.

Gli ordini delle matrici A e B sono uguali e pari a 4 per 2, quindi possiamo eseguire l'operazione di addizione di matrici e come risultato dovremmo ottenere una matrice di ordine 4 per 2. Secondo la definizione dell'operazione di aggiunta di due matrici, eseguiamo l'addizione elemento per elemento:

Esempio.

Trova la somma di due matrici E i cui elementi sono numeri complessi.

Soluzione.

Poiché gli ordini di matrice sono uguali, possiamo eseguire l'addizione.

Esempio.

Eseguire l'addizione di tre matrici .

Soluzione.

Innanzitutto, aggiungi la matrice A con B, quindi aggiungi C alla matrice risultante:

Abbiamo una matrice zero.

L'operazione di moltiplicazione di una matrice per un numero.

Definizione dell'operazione di moltiplicazione di una matrice per un numero.

L'operazione di moltiplicazione di una matrice per un numero è definita PER MATRICI DI QUALSIASI ORDINE.

Definizione.

Prodotto di una matrice e di un numero reale (o complesso).è una matrice i cui elementi si ottengono moltiplicando gli elementi corrispondenti della matrice originale per un numero, cioè .

Pertanto, il risultato della moltiplicazione di una matrice per un numero è una matrice dello stesso ordine.

Proprietà dell'operazione di moltiplicazione di una matrice per un numero.

Dalle proprietà dell'operazione di moltiplicazione di una matrice per un numero, ne consegue che moltiplicando una matrice zero per un numero zero si otterrà una matrice zero e il prodotto numero arbitrario e una matrice zero è una matrice zero.

Moltiplicazione di una matrice per un numero - esempi e loro soluzione.

Affrontiamo l'operazione di moltiplicazione di una matrice per un numero utilizzando esempi.

Esempio.

Trova il prodotto del numero 2 e della matrice .

Soluzione.

Per moltiplicare una matrice per un numero, devi moltiplicare ciascuno dei suoi elementi per questo numero:

Esempio.

Esegui la moltiplicazione di matrici per un numero.

Soluzione.

Moltiplichiamo ogni elemento della matrice data per il numero dato:

L'operazione di moltiplicazione di due matrici.

Definizione dell'operazione di moltiplicazione di due matrici.

L'operazione di moltiplicazione di due matrici A e B è definita solo per il caso in cui il NUMERO DI COLONNE DELLA MATRICE A È UGUALE AL NUMERO DI RIGHE DELLA MATRICE B.

Definizione.

Il prodotto di una matrice A di ordine e una matrice B di ordine- questa è una tale matrice C di ordine, ogni elemento del quale è uguale alla somma dei prodotti degli elementi dell'i-esima riga della matrice A per i corrispondenti elementi della j-esima colonna della matrice B, cioè ,

Pertanto, il risultato dell'operazione di moltiplicazione di una matrice di ordine per una matrice di ordine è una matrice di ordine.

Moltiplicazione di una matrice per una matrice - soluzioni di esempi.

Tratteremo la moltiplicazione di matrici utilizzando esempi, dopodiché passeremo all'elenco delle proprietà dell'operazione di moltiplicazione di matrici.

Esempio.

Trova tutti gli elementi della matrice C, che si ottiene moltiplicando le matrici E .

Soluzione.

L'ordine della matrice A è p=3 per n=2 , l'ordine della matrice B è n=2 per q=4 , quindi l'ordine del prodotto di queste matrici è p=3 per q=4 . Usiamo la formula

Sequenzialmente prendiamo i valori i da 1 a 3 (poiché p=3 ) per ogni j da 1 a 4 (poiché q=4 ), e n=2 nel nostro caso, quindi

In questo modo vengono calcolati tutti gli elementi della matrice C e la matrice ottenuta moltiplicando due matrici date ha la forma .

Esempio.

Eseguire la moltiplicazione di matrici e .

Soluzione.

Gli ordini delle matrici originarie ci permettono di eseguire l'operazione di moltiplicazione. Come risultato, dovremmo ottenere una matrice di ordine 2 per 3.

Esempio.

Matrici date e . Trova il prodotto delle matrici A e B, nonché delle matrici B e A.

Soluzione.

Poiché l'ordine della matrice A è 3 per 1 e la matrice B è 1 per 3, allora A⋅B avrà ordine 3 per 3 e il prodotto delle matrici B e A avrà ordine 1 per 1.

Come potete vedere, . Questa è una delle proprietà dell'operazione di moltiplicazione di matrici.

Proprietà dell'operazione di moltiplicazione di matrici.

Se le matrici A, B e C sono di ordine opportuno, allora vale quanto segue proprietà dell'operazione di moltiplicazione di matrici.

Va notato che per ordini opportuni, il prodotto della matrice zero O e della matrice A dà una matrice zero. Il prodotto di A per O dà anche una matrice nulla se gli ordini consentono l'operazione di moltiplicazione di matrici.

Tra le matrici quadrate ci sono le cosiddette matrici di permutazione, l'operazione di moltiplicazione per loro è commutativa, cioè . Un esempio di matrici di permutazione è una coppia della matrice identità e qualsiasi altra matrice dello stesso ordine, poiché .

Priorità delle operazioni sulle matrici.

Le operazioni di moltiplicazione di una matrice per un numero e moltiplicazione di una matrice per una matrice sono dotate di uguale priorità. Allo stesso tempo, queste operazioni hanno una priorità maggiore rispetto all'operazione di somma di due matrici. Pertanto, prima la matrice viene moltiplicata per il numero e le matrici vengono moltiplicate, e solo allora vengono aggiunte le matrici. Tuttavia, l'ordine in cui le operazioni vengono eseguite sulle matrici può essere specificato in modo esplicito utilizzando le parentesi.

Quindi, la priorità delle operazioni sulle matrici è simile alla priorità assegnata alle operazioni di addizione e moltiplicazione di numeri reali.

Esempio.

Dati di matrice . Eseguire le azioni specificate con le matrici date .

Soluzione.

Iniziamo moltiplicando la matrice A per la matrice B:

Ora moltiplichiamo la matrice identità di secondo ordine E per due:

Aggiungiamo le due matrici risultanti:

Resta da eseguire l'operazione di moltiplicazione della matrice risultante per la matrice A:

Si noti che l'operazione di sottrazione di matrici dello stesso ordine A e B in quanto tale non esiste. La differenza di due matrici è essenzialmente la somma della matrice A e della matrice B moltiplicata in via preliminare per meno uno: .

L'operazione di elevare al quadrato una matrice in grado naturale inoltre non è indipendente, poiché è una successiva moltiplicazione di matrici.

Riassumere.

Tre operazioni sono definite sull'insieme delle matrici: addizione di matrici dello stesso ordine, moltiplicazione di una matrice per un numero e moltiplicazione di matrici di ordini opportuni. L'operazione di addizione su un insieme di matrici di un dato ordine genera un gruppo di Abele.

Passiamo alla definizione di operazioni su matrici.

1) Addizione di matrici . La somma di due matrici UN=(UN ij) E B=(B ij) della stessa dimensione M× N chiamata matrice C=(C ij) della stessa dimensione M× N, i cui elementi sono uguali

Con ij = un ij + b ij (io= 1,2, … ,M; j= 1,2, … ,N). (1)

Per indicare la somma delle matrici, usiamo la notazione C=UN+ B.

2) Moltiplicare una matrice per un numero . Prodotto ( M× N)- matrici UN al numero λ si chiama ( M× N)-matrice C= (C ij), i cui elementi sono uguali

Con ij = λ UN ij (io= 1,2, … , M;j= 1,2, … ,N). (2)

Per indicare il prodotto di una matrice per un numero, viene utilizzata la notazione C= λ∙ UN.

È chiaro dalle formule (1) e (2) che le due operazioni introdotte hanno le seguenti proprietà:

UN) A+B = B+A – commutatività dell'addizione;

B) ( A+B)+C \u003d LA +(B+C) è l'associatività dell'addizione;

c) (λμ) UN=λ(μ UN) è l'associatività della moltiplicazione per un numero;

d) λ( A+B) = λ UN+λ INè la distributività della moltiplicazione rispetto all'addizione.

Osservazione 1. La differenza di matrice può essere definita come segue:

A-B = A+(–1)IN.

In breve, l'addizione, la sottrazione di matrici e la moltiplicazione di una matrice per un numero vengono eseguite elemento per elemento.

Esempio:

3) Moltiplicazione di matrici . Prodotto ( M× N)-matrici UN=(UN ij) SU ( N× P)- matrice B=(B ij) è chiamato ( M× P)-matrice CON=(Con ij), i cui elementi sono calcolati dalla formula

C ij = UN io 1 B 1 J + UN io 2 B 2 J +…+ UN In B nj ,

che, usando il simbolo di sommatoria, può essere scritto come

(io= 1,2, … , M; J= 1,2, … ,P).

Indicare il prodotto di una matrice UN a matrice IN usa il registro DO=LA∙SI.

Notiamo subito che la matrice UN può essere moltiplicato per qualsiasi matrice IN: è necessario che il numero di colonne della matrice UN era uguale al numero di righe della matrice IN.

La formula (3) rappresenta la regola per trovare gli elementi della matrice A∙B. Formuliamo verbalmente questa regola: l'elemento C ij in piedi io-esima riga e J-esima colonna della matrice A∙B, è uguale alla somma dei prodotti a coppie degli elementi corrispondenti io-esima riga della matrice UN E J-esima colonna della matrice IN.

Ecco un esempio di moltiplicazione di matrici quadrate del secondo ordine:

.

La moltiplicazione di matrici ha le seguenti proprietà:

UN) ( AB)CON = UN(Sole) - associatività;

B) ( A+B)CON = AC+Sole O UN(B+C) = AB+ACè la distributività della moltiplicazione rispetto all'addizione.

Ha senso sollevare la questione della commutatività della moltiplicazione solo per matrici quadrate dello stesso ordine, perché solo per tali matrici UN E IN entrambi i lavori AB E VA sono definiti e sono matrici dello stesso ordine. Esempi elementari mostrano che la moltiplicazione di matrici è, in generale, non commutativa. Ad esempio, se

Quello

Esempio . Per matrice
trovare tutte le matrici IN tale che

AB = BA.

Soluzione . Introduciamo la notazione
Poi

Uguaglianza AB = BA è equivalente al sistema di equazioni

che, a sua volta, è equivalente al sistema

Quindi, la matrice desiderata ha la forma
Dove X E z.z sono numeri arbitrari. Si può scrivere anche così: IN = zA+(X– z.z)E.

Commento. Identità e matrici zero N esimo ordine sono permutabili da qualsiasi matrice quadrata dello stesso ordine, e AA = =EA = A, UN∙0 = 0∙UN = 0.

Usando l'operazione di moltiplicazione, diamo la forma più breve - matrice - di scrittura del sistema di equazioni lineari (1.1). Introduciamo la notazione: UN=(UN ij) – (M× N)-matrice dei coefficienti del sistema di equazioni; –M colonna dimensionale di termini liberi e

–N colonna dimensionale di incognite. Per definizione, un'opera LA∙X rappresenta M colonna dimensionale. Il suo elemento, in piedi io-esima riga ha la forma

UN io 1 X 1 + UN io 2 X 2 +…+ UN In X N .

Ma questa somma non è altro che il lato sinistro io esima equazione del sistema (1.1) e per ipotesi è uguale a B io, cioè. elemento in io-esima riga della colonna IN. Da qui otteniamo: LA∙ X = B . Questa è la notazione matriciale per il sistema lineare

equazioni. Qui: UN è la matrice dei coefficienti del sistema, IN – colonna di membri gratuiti, X è una colonna di incognite.

4) Trasposizione matriciale. La trasposizione di qualsiasi matrice è un'operazione che scambia righe e colonne mantenendone l'ordine. Per effetto del recepimento ( M× N)-matrici UN si scopre ( M× N)-matrice, indicata dal simbolo UN e detto trasposto rispetto alla matrice UN.

Esempio . Per UN= (UN 1 UN 2 UN 3) trovare LA∙LA E UN´∙ UN.

Soluzione . La riga trasposta è una colonna. Ecco perché:

è una matrice quadrata del 1° ordine.

–matrice quadrata del 3°