La somma degli angoli di un triangolo- un argomento importante, ma piuttosto semplice, che viene insegnato al 7° anno in geometria. L'argomento consiste in un teorema, una breve dimostrazione e diverse conseguenze logiche. La conoscenza di questo argomento aiuta a risolvere problemi geometrici nel successivo studio dell'argomento.

Teorema: quali sono gli angoli di un triangolo arbitrario piegati insieme?

Il teorema dice: se prendi un triangolo, indipendentemente dal suo tipo, la somma di tutti gli angoli sarà invariabilmente di 180 gradi. Ciò è dimostrato come segue:

• ad esempio prendiamo il triangolo ABC, tracciamo una retta passante per il punto B che si trova in alto e designiamolo come “a”, mentre la retta “a” è rigorosamente parallela al lato AC;
• tra la retta "a" ei lati AB e BC designare gli angoli, contrassegnandoli con i numeri 1 e 2;
• l'angolo 1 è riconosciuto uguale all'angolo A e l'angolo 2 è uguale all'angolo C, poiché questi angoli sono considerati distesi trasversalmente;
• quindi, la somma tra gli angoli 1, 2 e 3 (che è indicata al posto dell'angolo B) è riconosciuta uguale all'angolo espanso con vertice B - ed è 180 gradi.

Se la somma degli angoli indicati dai numeri è 180 gradi, la somma degli angoli A, B e C è riconosciuta uguale a 180 gradi. Questa regola vale per qualsiasi triangolo.

Quanto segue dal teorema geometrico

È consuetudine individuare diversi corollari dal teorema di cui sopra.

• Se il problema considera un triangolo con un angolo retto, uno dei suoi angoli sarà predefinito a 90 gradi e anche la somma degli angoli acuti sarà di 90 gradi.
• Se stiamo parlando di un triangolo isoscele rettangolo, i suoi angoli acuti, per un totale di 90 gradi, saranno individualmente uguali a 45 gradi.
• Un triangolo equilatero è costituito da tre angoli uguali, rispettivamente, ciascuno di essi sarà uguale a 60 gradi e in totale saranno 180 gradi.
• L'angolo esterno di qualsiasi triangolo sarà uguale alla somma tra i due angoli interni non adiacenti ad esso.

Possiamo dedurre la seguente regola: in uno qualsiasi dei triangoli ci sono almeno due angoli acuti. In alcuni casi, il triangolo è composto da tre angoli acuti e, se ce ne sono solo due, il terzo angolo sarà ottuso o retto.

Prova

Permettere ABC" è un triangolo arbitrario. Andiamo oltre B retta parallela alla retta corrente alternata (una tale retta è chiamata retta euclidea). Segna un punto su di esso D in modo che i punti UN e D giacciono ai lati opposti di una retta AVANTI CRISTO.Angoli DBC e ACB uguale a croce interna, formata da una secante AVANTI CRISTO con rette parallele corrente alternata e BD. Pertanto, la somma degli angoli di un triangolo ai vertici B e DA uguale all'angolo ABD.La somma di tutti e tre gli angoli di un triangolo è uguale alla somma degli angoli ABD e BAC. Poiché questi angoli sono interni unilaterali per paralleli corrente alternata e BD a secante AB, allora la loro somma è 180°. Il teorema è stato dimostrato.

Conseguenze

Dal teorema segue che ogni triangolo ha due angoli acuti. Infatti, applicando la dimostrazione per assurdo, supponiamo che il triangolo abbia un solo angolo acuto o nessun angolo acuto. Allora questo triangolo ha almeno due angoli, ciascuno dei quali è di almeno 90°. La somma di questi angoli non è inferiore a 180°. Ma questo è impossibile, poiché la somma di tutti gli angoli di un triangolo è 180°. QED

Generalizzazione alla teoria dei simplessi

Dove è l'angolo tra le facce i e j del simplesso.

Appunti

• Su una sfera la somma degli angoli di un triangolo supera sempre i 180°, la differenza si chiama eccesso sferico ed è proporzionale all'area del triangolo.
• Nel piano di Lobachevsky, la somma degli angoli di un triangolo è sempre inferiore a 180°. La differenza è anche proporzionale all'area del triangolo.

Guarda anche

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Prova:

• Viene dato il triangolo ABC.
• Traccia una linea DK attraverso il vertice B parallela alla base AC.
• \angle CBK= \angle C come interno disteso trasversalmente con parallele DK e AC, e secante BC.
• \angolo DBA = \angolo A interno trasversalmente giacente in DK \parallelo AC e secante AB. L'angolo DBK è diritto e uguale a
• \angolo DBK = \angolo DBA + \angolo B + \angolo CBK
• Poiché l'angolo retto è 180 ^\circ , e \angle CBK = \angle C e \angle DBA = \angle A , otteniamo 180 ^\circ = \angolo A + \angolo B + \angolo C.

Teorema dimostrato

Conseguenze del teorema sulla somma degli angoli di un triangolo:

1. La somma degli angoli acuti di un triangolo rettangolo è 90°.
2. In un triangolo rettangolo isoscele ogni angolo acuto è 45°.
3. In un triangolo equilatero ogni angolo è 60°.
4. In ogni triangolo, o tutti gli angoli sono acuti, oppure due angoli sono acuti e il terzo è ottuso o retto.
5. Un angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma di due angoli interni che non sono adiacenti ad esso.

Teorema dell'angolo esterno del triangolo

Un angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma dei due angoli rimanenti del triangolo che non sono adiacenti a quell'angolo esterno.

Prova:

• Viene dato il triangolo ABC, dove BCD è l'angolo esterno.
• \angolo BAC + \angolo ABC +\angolo BCA = 180^0
• Dalle uguaglianze, l'angolo \angolo BCD + \angolo BCA = 180^0
• Noi abbiamo \angolo BCD = \angolo BAC+\angolo ABC.

La somma degli angoli interni di un triangolo è 180 0 . Questo è uno degli assiomi fondamentali della geometria di Euclide. È questa geometria che studiano gli studenti. La geometria è definita come la scienza che studia le forme spaziali del mondo reale.

Cosa spinse gli antichi greci a sviluppare la geometria? La necessità di misurare campi, prati - aree della superficie terrestre. Allo stesso tempo, gli antichi greci accettavano che la superficie della Terra fosse orizzontale, piatta. Con questa ipotesi in mente, furono creati gli assiomi di Euclide, inclusa la somma degli angoli interni di un triangolo a 180 0 .

Un assioma è un'affermazione che non richiede prove. Come dovrebbe essere inteso? Viene espresso un desiderio che si adatta a una persona e poi viene confermato dalle illustrazioni. Ma tutto ciò che non è provato è finzione, qualcosa che non è nella realtà.

Prendendo la superficie terrestre in orizzontale, gli antichi greci assumevano automaticamente la forma della Terra come piatta, ma è diversa: sferica. Non ci sono affatto piani orizzontali e linee rette in natura, perché la gravità piega lo spazio. Linee rette e piani orizzontali si trovano solo nel cervello della testa umana.

Pertanto, la geometria di Euclide, che spiega le forme spaziali di un mondo immaginario, è un simulacro, una copia che non ha un originale.

Uno degli assiomi di Euclide afferma che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180 0 . Infatti, in uno spazio curvo reale, o sulla superficie sferica della Terra, la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre maggiore di 180 0 .

Ragioniamo così. Qualsiasi meridiano del globo si interseca con l'equatore con un angolo di 90°. Per ottenere un triangolo, devi allontanare un altro meridiano dal meridiano. La somma degli angoli del triangolo tra i meridiani e il lato dell'equatore sarà 180 0 . Ma ci sarà ancora un angolo al palo. Di conseguenza, la somma di tutti gli angoli e sarà maggiore di 180 0.

Se i lati si intersecano al polo con un angolo di 90 0, la somma degli angoli interni di un tale triangolo sarà 270 0. Due meridiani che si intersecano con l'equatore ad angolo retto in questo triangolo saranno paralleli tra loro e al polo, intersecandosi tra loro con un angolo di 90 0, diventeranno perpendicolari. Si scopre che due linee parallele sullo stesso piano non solo si intersecano, ma possono essere perpendicolari al polo.

Naturalmente, i lati di un tale triangolo non saranno linee rette, ma convessi, ripetendo la forma sferica del globo. Ma, proprio un tale mondo reale di spazio.

La geometria dello spazio reale, tenendo conto della sua curvatura a metà del XIX secolo. sviluppato dal matematico tedesco B. Riemann (1820-1866). Ma agli studenti non viene detto.

Quindi, la geometria euclidea, che assume la forma di una Terra piatta con una superficie orizzontale, cosa che in realtà non è il caso, è un simulacro. Nootic - Geometria riemanniana che tiene conto della curvatura dello spazio. La somma degli angoli interni di un triangolo al suo interno è maggiore di 180 0 .

Sezioni: Matematica

Presentazione . (Diapositiva 1)

Tipo di lezione: lezione imparando nuovo materiale.

Obiettivi della lezione:

• Educativo:
  • considera la somma del teorema degli angoli triangolari,
  • mostrare l'applicazione del teorema nella risoluzione di problemi.
• Educativo:
  • promuovere un atteggiamento positivo degli studenti nei confronti della conoscenza,
  • infondere fiducia negli studenti attraverso una lezione.
• Educativo:
  • sviluppo del pensiero analitico,
  • sviluppo delle “capacità di apprendere”: utilizzare conoscenze, abilità e abilità nel processo educativo,
  • sviluppo del pensiero logico, la capacità di articolare chiaramente i propri pensieri.

Attrezzatura: lavagna interattiva, presentazione, schede.

DURANTE LE LEZIONI

I. Momento organizzativo

- Oggi nella lezione ricorderemo le definizioni di triangoli rettangoli, isoscele, equilateri. Ripetiamo le proprietà degli angoli dei triangoli. Usando le proprietà degli angoli interni unilaterali e trasversali interni, dimostreremo il teorema sulla somma degli angoli di un triangolo e impareremo come applicarlo nella risoluzione dei problemi.

II. Per via orale(Diapositiva 2)

1) Trova nelle figure triangoli rettangoli, isoscele ed equilateri.
2) Definisci questi triangoli.
3) Formulare le proprietà degli angoli di un triangolo equilatero e isoscele.

4) Nella figura KE II NH. (diapositiva 3)

– Specificare le secanti per queste righe
– Trova angoli unilaterali interni, angoli trasversali interni, denomina le loro proprietà

III. Spiegazione del nuovo materiale

Teorema. La somma degli angoli di un triangolo è 180°

Secondo la formulazione del teorema, i ragazzi costruiscono un disegno, annotano la condizione, la conclusione. Rispondendo alle domande, dimostrare indipendentemente il teorema.

Dato: Dimostra:

Prova:

1. Traccia una linea BD II AC attraverso il vertice B del triangolo.
2. Specificare le secanti per le rette parallele.
3. Cosa si può dire degli angoli CBD e ACB? (Fai un record)
4. Cosa sappiamo degli angoli CAB e ABD? (Fai un record)
5. Sostituire l'angolo CBD con l'angolo ACB
6. Trai una conclusione.

IV. Completa l'offerta.(Diapositiva 4)

1. La somma degli angoli di un triangolo è ...
2. In un triangolo, uno degli angoli è uguale, l'altro, il terzo angolo del triangolo è uguale a ...
3. La somma degli angoli acuti di un triangolo rettangolo è ...
4. Gli angoli di un triangolo rettangolo isoscele sono uguali a ...
5. Gli angoli di un triangolo equilatero sono uguali ...
6. Se l'angolo tra i lati di un triangolo isoscele è 1000, gli angoli alla base sono ...

V. Un po' di storia.(Diapositive 5-7)

Dimostrazione del teorema sulla somma degli angoli di un triangolo "La somma degli interni gli angoli di un triangolo sono uguali a due angoli retti" attribuito a Pitagora (580-500 a.C.)
Lo studioso di greco antico Proclo (410-485 d.C.),