Abbiamo scoperto che il comportamento delle funzioni trigonometriche e le funzioni y = peccato x in particolare, sull'intera riga numerica (o per tutti i valori dell'argomento X) è completamente determinato dal suo comportamento nell'intervallo 0 < X < π / 2 .

Pertanto, prima di tutto, tracciamo la funzione y = peccato x esattamente in questo intervallo.

Facciamo la seguente tabella di valori della nostra funzione;

Contrassegnando i punti corrispondenti sul piano delle coordinate e collegandoli con una linea liscia, otteniamo la curva mostrata in figura

La curva risultante potrebbe anche essere costruita geometricamente senza compilare una tabella di valori di funzione y = peccato x .

1. Il primo quarto di un cerchio di raggio 1 è diviso in parti uguali 8. Le ordinate dei punti di divisione del cerchio sono i seni degli angoli corrispondenti.

2. Il primo quarto del cerchio corrisponde agli angoli da 0 a π / 2 . Pertanto, sull'asse X Prendi un segmento e dividilo in 8 parti uguali.

3.Tracciamo linee rette parallele all'asse X, e dai punti di divisione ripristiniamo le perpendicolari all'intersezione con le linee orizzontali.

4. Collegare i punti di intersezione con una linea liscia.

Ora diamo un'occhiata all'intervallo π / 2 < X < π .
Ogni valore di argomento X da questo intervallo può essere rappresentato come

X = π / 2 + φ

dove 0 < φ < π / 2 . Secondo le formule di riduzione

peccato( π / 2 + φ ) = cos φ = peccato ( π / 2 - φ ).

Punti dell'asse X con ascisse π / 2 + φ e π / 2 - φ simmetriche tra loro rispetto al punto dell'asse X con ascisse π / 2 , e i seni in questi punti sono gli stessi. Ciò consente di ottenere un grafico della funzione y = peccato x nell'intervallo [ π / 2 , π ] semplicemente visualizzando simmetricamente il grafico di questa funzione nell'intervallo relativo alla retta X = π / 2 .

Ora utilizzando la proprietà funzione dispari y \u003d peccato x,

peccato(- X) = -peccato X,

è facile tracciare questa funzione nell'intervallo [- π , 0].

La funzione y \u003d sin x è periodica con un periodo di 2π ;. Pertanto, per costruire l'intero grafico di questa funzione, è sufficiente continuare periodicamente la curva mostrata nella figura a sinistra e a destra con un punto 2π .

La curva risultante viene chiamata sinusoide . È il grafico della funzione y = peccato x.

La figura illustra bene tutte queste proprietà della funzione y = peccato x , che erano stati precedentemente provati da noi. Richiama queste proprietà.

1) Funzione y = peccato x definito per tutti i valori X , in modo che il suo dominio sia l'insieme di tutti i numeri reali.

2) Funzione y = peccato x limitato. Tutti i valori necessari sono compresi tra -1 e 1, compresi quei due numeri. Pertanto, l'intervallo di questa funzione è determinato dalla disuguaglianza -1 < a < 1. Quando X = π / 2 + 2k π la funzione assume i valori maggiori pari a 1, e per x = - π / 2 + 2k π - i valori più piccoli pari a - 1.

3) Funzione y = peccato x è dispari (la sinusoide è simmetrica rispetto all'origine).

4) Funzione y = peccato x periodico con periodo 2 π .

5) Negli intervalli 2n π < X < π + 2n π (n è un numero intero) è positivo ea intervalli π + 2k π < X < 2π + 2k π (k è un numero intero) è negativo. Per x = k π la funzione va a zero. Pertanto, questi valori dell'argomento x (0; ± π ; ±2 π ; ...) sono chiamati zeri della funzione y = peccato x

6) A intervalli - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funzione y = peccato X aumenta in modo monotono ea intervalli π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π diminuisce monotonicamente.

Prestare particolare attenzione al comportamento della funzione y = peccato x vicino al punto X = 0 .

Ad esempio, sin 0,012 ≈ 0,012; peccato(-0,05) ≈ -0,05;

sin2° = peccato π 2 / 180=peccato π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Tuttavia, va notato che per qualsiasi valore di x

| peccato X| < | x | . (1)

Sia infatti il ​​raggio della circonferenza mostrata in figura uguale a 1,
un / AOB = X.

Poi il peccato X= AC. Ma AU< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. La lunghezza di questo arco è ovviamente uguale a X, poiché il raggio del cerchio è 1. Quindi, per 0< X < π / 2

peccato x< х.

Quindi, a causa della stranezza della funzione y = peccato x è facile dimostrare che quando - π / 2 < X < 0

| peccato X| < | x | .

Infine, a X = 0

| peccato x | = | x |.

Quindi, per | X | < π / 2 la disuguaglianza (1) è dimostrata. In effetti, questa disuguaglianza vale anche per | X | > π / 2 per il fatto che | | peccato X | < 1, a π / 2 > 1

Esercizi

1.Secondo il programma delle funzioni y = peccato x determinare: a) peccato 2; b) peccato 4; c) peccato (-3).

2. Funzione di pianificazione y = peccato x determinare quale numero dall'intervallo
[ - π / 2 , π / 2 ] ha un seno pari a: a) 0,6; b) -0,8.

3. Funzione programmata y = peccato x determinare quali numeri hanno un seno,
pari a 1/2.

4. Trovare approssimativamente (senza utilizzare tabelle): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) peccato (-0,015); d) peccato (-2°30").

"Yoshkar-Ola College of Service Technologies"

Costruzione e studio del grafico della funzione trigonometrica y=sinx nel foglio di calcoloSM eccellere

/sviluppo metodologico/

Yoshkar - Olà

Argomento. Costruzione e studio del grafico di una funzione trigonometricay = sinx nel foglio di calcolo MS Excel

Tipo di lezione– integrato (acquisizione di nuove conoscenze)

Obiettivi:

Obiettivo didattico - esplorare il comportamento dei grafici di una funzione trigonometricay= sinxa seconda dei coefficienti utilizzando un computer

Esercitazioni:

1. Scopri la variazione nel grafico della funzione trigonometrica y= peccato X a seconda dei coefficienti

2. Mostra l'introduzione della tecnologia informatica nell'insegnamento della matematica, l'integrazione di due materie: algebra e informatica.

3. Formare le abilità di utilizzo della tecnologia informatica nelle lezioni di matematica

4. Rafforzare le capacità di ricercare funzioni e tracciare i loro grafici

Sviluppando:

1. Sviluppare l'interesse cognitivo degli studenti per le discipline accademiche e la capacità di applicare le proprie conoscenze in situazioni pratiche

2. Sviluppa la capacità di analizzare, confrontare, evidenziare la cosa principale

3. Contribuire al miglioramento del livello complessivo di sviluppo degli studenti

educatori :

1. Coltivare l'indipendenza, l'accuratezza, la diligenza

2. Promuovere una cultura del dialogo

Forme di lavoro nella lezione - combinato

Dotazioni e attrezzature didattiche:

1. Computer

2. Proiettore multimediale

4. Dispensa

5. Diapositive di presentazione

Durante le lezioni

io. Organizzazione dell'inizio della lezione

Saluto studenti e ospiti

· Prepararsi per la lezione

II. Definizione degli obiettivi e attualizzazione del tema

Ci vuole molto tempo per studiare una funzione e costruirne il grafico, devi eseguire molti calcoli ingombranti, questo non è conveniente, le tecnologie informatiche vengono in soccorso.

Oggi impareremo come creare grafici di funzioni trigonometriche nell'ambiente del foglio di calcolo MS Excel 2007.

L'argomento della nostra lezione è “Costruzione e studio del grafico di una funzione trigonometrica y= sinx in un foglio di calcolo"

Dal corso di algebra, conosciamo lo schema per studiare una funzione e costruirne il grafo. Ricordiamo come farlo.

diapositiva 2

Schema di studio della funzione

1. Dominio delle funzioni (D(f))

2. Area dei valori della funzione Е(f)

3. Definizione di parità

4. Periodicità

5. Funzione zeri (y=0)

6. Intervalli di segno costante (y>0, y<0)

7. Intervalli di monotonia

8. Funzioni estreme

III. Assimilazione primaria di nuovo materiale educativo

Apri MS Excel 2007.

Tracciamo la funzione y=sin X

Tracciare in un foglio di calcoloSM eccellere 2007

Il grafico di questa funzione sarà costruito sul segmento XЄ [-2π; 2π]

Prenderemo i valori dell'argomento con un passo , per rendere il grafico più accurato.

Poiché l'editor lavora con i numeri, convertiamo i radianti in numeri, sapendo questo P ≈ 3,14 . (tabella di traduzione nella dispensa).

1. Trova il valore della funzione nel punto x \u003d -2P. Per il resto, l'editor calcola automaticamente i valori della funzione corrispondenti per i valori corrispondenti dell'argomento.

2. Ora abbiamo una tabella con argomenti e valori di funzione. Con questi dati, dobbiamo tracciare questa funzione usando il Chart Wizard.

3. Per costruire un grafico, è necessario selezionare l'intervallo di dati desiderato, le righe con i valori degli argomenti e le funzioni

4..jpg" width="667" height="236 src=">

Scriviamo le conclusioni su un quaderno (diapositiva 5)

Produzione. Il grafico della funzione della forma y=sinx+k è ottenuto dal grafico della funzione y=sinx utilizzando una traslazione parallela lungo l'asse y di k unità

Se k >0, il grafico viene spostato verso l'alto di k unità

Se k<0, то график смещается вниз на k единиц

Costruzione e studio della funzione di vistay=K*sinx,K- cost

Compito 2. Al lavoro Foglio2 plot funzioni in un sistema di coordinate y= sinx y=2* sinx, y= * sinx, sull'intervallo (-2π; 2π) e vedere come cambia il grafico.

(Per non reimpostare il valore dell'argomento, copiamo i valori esistenti. Ora è necessario impostare la formula e costruire un grafico utilizzando la tabella risultante.)

Confrontiamo i grafici ottenuti. Analizziamo insieme agli studenti il ​​comportamento del grafico della funzione trigonometrica in funzione dei coefficienti. (Diapositiva 6)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" width="16" height="41 src=">x , sull'intervallo (-2π; 2π) e vedere come cambia il grafico.

Confrontiamo i grafici ottenuti. Analizziamo insieme agli studenti il ​​comportamento del grafico della funzione trigonometrica in funzione dei coefficienti. (Diapositiva 8)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" width="649" height="281 src=">

Scriviamo le conclusioni su un quaderno (diapositiva 11)

Produzione. Il grafico della funzione della forma y \u003d sin (x + k) è ottenuto dal grafico della funzione y \u003d sinx usando la traslazione parallela lungo l'asse OX di k unità

Se k >1, il grafico viene spostato a destra lungo l'asse OX

Se 0

IV. Consolidamento primario delle conoscenze acquisite

Schede differenziate con il compito di costruire e studiare una funzione utilizzando un grafico

	Y=6*peccato(x)	Y=1-2 peccatoX	Y=- peccato(3x+)
1. Dominio
2. Ambito di valore
3. Parità
4. Periodicità
5. Intervalli di costanza
6. lacunemonotonia
La funzione aumenta
Funzione diminuisce
7. Estremi di funzione
Minimo
Massimo

V. Organizzazione dei compiti

Tracciare la funzione y=-2*sinх+1 , indagare e verificare la correttezza della costruzione nell'ambiente del foglio di calcolo Microsoft Excel. (Diapositiva 12)

VI. Riflessione

Come tracciare la funzione y=sin x? Per prima cosa, considera il grafico del seno sull'intervallo.

Prendiamo un singolo segmento con una lunghezza di 2 celle di un quaderno. Contrassegniamo l'unità sull'asse Oy.

Per comodità, arrotondiamo il numero π/2 a 1,5 (e non a 1,6, come richiesto dalle regole di arrotondamento). In questo caso, un segmento di lunghezza π/2 corrisponde a 3 celle.

Sull'asse Ox, non segniamo singoli segmenti, ma segmenti di lunghezza π / 2 (ogni 3 celle). Di conseguenza, un segmento di lunghezza π corrisponde a 6 celle, un segmento di lunghezza π/6 corrisponde a 1 cella.

Con questa scelta di un solo segmento, il grafico rappresentato su un foglio di quaderno in una scatola corrisponde il più possibile al grafico della funzione y=sin x.

Facciamo una tabella dei valori del seno sull'intervallo:

I punti risultanti sono contrassegnati sul piano delle coordinate:

Poiché y=sin x è una funzione dispari, il grafico seno è simmetrico rispetto all'origine - punto O(0;0). Tenendo conto di questo fatto, continuiamo a tracciare il grafico a sinistra, quindi i punti -π:

La funzione y=sin x è periodica con periodo T=2π. Pertanto, il grafico della funzione, preso sull'intervallo [-π; π], si ripete infinite volte a destra ea sinistra.

Allungando il grafico y=sinx lungo l'asse y. Viene data la funzione y=3sinx. Per costruire il suo grafico, devi allungare il grafico y=sinx in modo che E(y): (-3; 3).

Immagine 7 dalla presentazione "Grafica una funzione" alle lezioni di algebra sull'argomento "Grafico di una funzione"

Dimensioni: 960 x 720 pixel, formato: jpg. Per scaricare gratuitamente un'immagine per una lezione di algebra, fai clic con il pulsante destro del mouse sull'immagine e fai clic su "Salva immagine con nome...". Per mostrare le immagini della lezione, puoi anche scaricare gratuitamente la presentazione completa “Build a graph of a function.ppt” con tutte le immagini in un archivio zip. Dimensione archivio - 327 KB.

Scarica la presentazione

Grafico delle funzioni

"Grafica la funzione" - Contenuto: Allunga il grafico y=sinx lungo l'asse y. Viene data la funzione y=3sinx. Viene data la funzione y=sinx+1. Viene data la funzione y=3cosx. Traccia il grafico della funzione. Grafico della funzione y= m*cos x. Completato da: cadetto del 52° gruppo di studio Alexey Levin. Il grafico sposta verticalmente y=cosx. Per andare alle attività di esempio, fare clic su l. pulsante del mouse.

"Sistema di coordinate nello spazio" - Il chiavistello è chiuso. Altezza, larghezza, profondità. Sistema di coordinate rettangolari nello spazio. Coordinate di un punto nello spazio. Il lavoro di M. Escher riflette l'idea di introdurre un sistema di coordinate rettangolare nello spazio. Ox è l'asse delle ascisse, Oy è l'asse delle ordinate, Oz è l'asse dell'applicata. Ascolta le sfere della sonata con Pitagora, gli atomi contano a lungo, come Democrito.

"Piano di coordinate Grado 6" - U. Matematica Grado 6. 1. Trova e annota le coordinate dei punti A, B, C, D: O. X. Piano delle coordinate. -3. uno.

"Funzioni e loro grafici" - Esempi di funzioni dispari: y = x3; y = x3 + x. (y = x3; y(1) = 13 = 1; y(-1) = (-1)3 = -1; y(-1) = -y(1)). 3. Se k? 0 e b? 0, allora y = kx + b. La funzione è definita sull'insieme di tutti i numeri reali. Una funzione lineare della forma y = kx è chiamata proporzionalità diretta. Energia. y = seno. Periodicità.

"Ricerca di funzione" - Funzioni. Dorokhova Yu.A. Ricordiamoci... Piano di lavoro della lezione. Utilizzando lo schema di ricerca della funzione, completare il compito: p.24; n. 296 (a; b), n. 299 (a; b). Lo sapevi che... Scopo della lezione: Applicazione della derivata. L'obiettivo. Lavoro di verifica: eseguire oralmente: per la funzione f (x) \u003d x3, determinare D (f), parità, aumento, diminuzione.

"Aumento e decremento di funzione" - Aumento e decremento di funzioni. Diamo un'occhiata a un esempio di funzioni crescenti e decrescenti. A causa della periodicità della funzione seno, la dimostrazione è sufficiente per il segmento [-? / 2; ?/2]. Consideriamo un altro esempio. Se -?/2 ? t1< t2 ? ?/2, то точка Pt2 имеет ординату большую, чем точка Pt1. Докажем, что синус возрастает на промеждутках [-?/2+2?n ; ?/2+2?n], n - целое.

Ci sono 25 presentazioni in totale nell'argomento

Lezione e presentazione sul tema: "Funzione y=sin(x). Definizioni e proprietà"

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Cosa studieremo:

• Proprietà della funzione Y=sin(X).
• Grafico delle funzioni.
• Come costruire un grafico e la sua scala.
• Esempi.

proprietà seno. Y=peccato(X)

Ragazzi, abbiamo già incontrato le funzioni trigonometriche di un argomento numerico. Te li ricordi?

Diamo un'occhiata più da vicino alla funzione Y=sin(X).

Scriviamo alcune proprietà di questa funzione:
1) Il dominio di definizione è l'insieme dei numeri reali.
2) La funzione è dispari. Ricordiamo la definizione di funzione dispari. Una funzione si dice dispari se l'uguaglianza è vera: y(-x)=-y(x). Come ricordiamo dalle formule fantasma: sin(-x)=-sin(x). La definizione è soddisfatta, quindi Y=sin(X) è una funzione dispari.
3) La funzione Y=sin(X) aumenta sull'intervallo e diminuisce sull'intervallo [π/2; π]. Quando ci muoviamo lungo il primo quarto (in senso antiorario), l'ordinata aumenta e quando ci muoviamo lungo il secondo quarto, diminuisce.

4) La funzione Y=sin(X) è delimitata dal basso e dall'alto. Questa proprietà deriva dal fatto che
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Il valore più piccolo della funzione è -1 (per x = - π/2+ πk). Il valore più grande della funzione è 1 (per x = π/2+ πk).

Usiamo le proprietà 1-5 per tracciare la funzione Y=sin(X). Costruiremo il nostro grafico in sequenza, applicando le nostre proprietà. Iniziamo a costruire un grafico sul segmento.

Particolare attenzione dovrebbe essere prestata alla scala. Sull'asse delle ordinate, è più conveniente prendere un singolo segmento uguale a 2 celle e sull'asse delle ascisse un singolo segmento (due celle) da prendere uguale a π / 3 (vedi figura).

Tracciare la funzione seno x, y=sin(x)

Calcoliamo i valori della funzione sul nostro segmento:

Costruiamo un grafico per i nostri punti, tenendo conto della terza proprietà.

Tabella di conversione per formule fantasma

Usiamo la seconda proprietà, che dice che la nostra funzione è dispari, il che significa che può essere riflessa simmetricamente sull'origine:

Sappiamo che sin(x+ 2π) = sin(x). Ciò significa che sull'intervallo [- π; π] il grafico ha lo stesso aspetto del segmento [π; 3π] o o [-3π; - pi] e così via. Resta da noi ridisegnare attentamente il grafico nella figura precedente sull'intero asse x.

Il grafico della funzione Y=sin(X) è detto sinusoide.

Scriviamo alcune altre proprietà secondo il grafo costruito:
6) La funzione Y=sin(X) aumenta su qualsiasi segmento della forma: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k è un intero e decresce su qualsiasi segmento della forma: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k è un numero intero.
7) La funzione Y=sin(X) è una funzione continua. Diamo un'occhiata al grafico della funzione e assicuriamoci che la nostra funzione non abbia interruzioni, questo significa continuità.
8) Intervallo di valori: segmento [- 1; uno]. Questo è chiaramente visibile anche dal grafico della funzione.
9) La funzione Y=sin(X) è una funzione periodica. Osserviamo nuovamente il grafico e vediamo che la funzione assume gli stessi valori ad alcuni intervalli.

Esempi di problemi con il seno

1. Risolvi l'equazione sin(x)= x-π

Soluzione: Costruiamo 2 grafici della funzione: y=sin(x) e y=x-π (vedi figura).
I nostri grafici si intersecano in un punto A(π; 0), questa è la risposta: x = π

2. Tracciare la funzione y=sin(π/6+x)-1

Soluzione: Il grafico desiderato si ottiene spostando il grafico della funzione y=sin(x) di π/6 unità a sinistra e 1 unità in basso.

Soluzione: costruiamo un grafico della funzione e consideriamo il nostro segmento [π/2; 5π/4].
Il grafico della funzione mostra che i valori massimo e minimo si raggiungono alle estremità del segmento, rispettivamente nei punti π/2 e 5π/4.
Risposta: sin(π/2) = 1 è il valore più grande, sin(5π/4) = il valore più piccolo.

Problemi di seno per soluzione indipendente

• Risolvi l'equazione: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Traccia la funzione y=sin(π/3+x)-2
• Traccia la funzione y=sin(-2π/3+x)+1
• Trova il valore più grande e più piccolo della funzione y=sin(x) sul segmento
• Trova il valore più grande e più piccolo della funzione y=sin(x) sul segmento [- π/3; 5π/6]