Equazioni di gradi superiori. Equazioni di potenza o esponenziali Equazione di 5° grado

Al canale youtube del nostro sito sito per essere a conoscenza di tutte le nuove video lezioni.

Per prima cosa, ricordiamo le formule di base dei gradi e le loro proprietà.

Prodotto di un numero un accade su se stesso n volte, possiamo scrivere questa espressione come a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. un n un m = un n + m

4. (un n) m = un nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Equazioni di potenza o esponenziali- Sono equazioni in cui le variabili sono in potenze (o esponenti) e la base è un numero.

Esempi di equazioni esponenziali:

In questo esempio, il numero 6 è la base, è sempre in basso, e la variabile X grado o misura.

Diamo altri esempi di equazioni esponenziali.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Ora diamo un'occhiata a come vengono risolte le equazioni esponenziali?

Prendiamo una semplice equazione:

2x = 2 3

Un tale esempio può essere risolto anche nella mente. Si può notare che x=3. Dopotutto, affinché i lati sinistro e destro siano uguali, devi inserire il numero 3 invece di x.
Ora vediamo come dovrebbe essere presa questa decisione:

2x = 2 3
x = 3

Per risolvere questa equazione, abbiamo rimosso stessi motivi(cioè, due) e annota ciò che è rimasto, questi sono gradi. Abbiamo ottenuto la risposta che stavamo cercando.

Ora riassumiamo la nostra soluzione.

Algoritmo per risolvere l'equazione esponenziale:
1. Necessità di controllare lo stesso se le basi dell'equazione a destra ea sinistra. Se i motivi non sono gli stessi, stiamo cercando opzioni per risolvere questo esempio.
2. Dopo che le basi sono le stesse, equiparare grado e risolvere la nuova equazione risultante.

Ora risolviamo alcuni esempi:

Iniziamo in modo semplice.

Le basi sui lati sinistro e destro sono uguali al numero 2, il che significa che possiamo scartare la base ed eguagliare i loro gradi.

x+2=4 L'equazione più semplice è risultata.
x=4 - 2
x=2
Risposta: x=2

Nell'esempio seguente, puoi vedere che le basi sono diverse, queste sono 3 e 9.

3 3x - 9x + 8 = 0

Per cominciare, trasferiamo i nove sul lato destro, otteniamo:

Ora devi fare le stesse basi. Sappiamo che 9=3 2 . Usiamo la formula della potenza (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Otteniamo 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 ora è chiaro che le basi sui lati sinistro e destro sono le stesse e uguali a tre, il che significa che possiamo scartarle ed eguagliare i gradi.

3x=2x+16 ha ottenuto l'equazione più semplice
3x-2x=16
x=16
Risposta: x=16.

Diamo un'occhiata al seguente esempio:

2 2x + 4 - 10 4x \u003d 2 4

Prima di tutto, guardiamo le basi, le basi sono due e quattro diverse. E dobbiamo essere gli stessi. Trasformiamo la quadrupla secondo la formula (a n) m = a nm .

4x = (2 2)x = 2 2x

E usiamo anche una formula a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Aggiungi all'equazione:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Abbiamo fatto un esempio per le stesse ragioni. Ma altri numeri 10 e 24 interferiscono con noi: cosa farne? Se guardi da vicino, puoi vedere che sul lato sinistro ripetiamo 2 2x, ecco la risposta: possiamo mettere 2 2x tra parentesi:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Calcoliamo l'espressione tra parentesi:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Dividiamo l'intera equazione per 6:

Immagina 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 basi sono le stesse, scartale e identifica i gradi.
2x \u003d 2 si è rivelata l'equazione più semplice. Lo dividiamo per 2, otteniamo
x = 1
Risposta: x = 1.

Risolviamo l'equazione:

9 x - 12*3 x +27= 0

Trasformiamo:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Otteniamo l'equazione:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Le nostre basi sono le stesse, pari a 3. In questo esempio è chiaro che la prima tripla ha un grado doppio (2x) rispetto alla seconda (solo x). In questo caso, puoi decidere metodo di sostituzione. Il numero con il grado più piccolo è sostituito da:

Quindi 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Sostituiamo tutti i gradi con x nell'equazione con t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Otteniamo un'equazione quadratica. Risolviamo attraverso il discriminante, otteniamo:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Torna a Variabile X.

Prendiamo t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Questo è,

3x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

È stata trovata una radice. Cerchiamo il secondo, da t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Risposta: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Sul sito puoi nella sezione AIUTARE A DECIDERE di porre domande di tuo interesse, ti risponderemo sicuramente.

Unisciti a un gruppo

A giudicare dall'inizio della pubblicazione, che qui ometteremo, il testo è stato scritto da Yuri Ignatievich. Ed è ben scritto, e i problemi sono di attualità, è proprio come chiamare la Russia, come fa Mukhin ...

Non importa come si tratti il governo antipopolare, la Russia è al di sopra di esso e non merita insulti. Anche dal talentuoso ingannatore dell'agenzia americana NASA.

Appello al compagno. Mukhin Yu.I.

Caro Yuri Ignatievich! So che visiti queste pagine. Pertanto, mi rivolgo direttamente a te.

Apprezziamo tutti il tuo lavoro disinteressato nel campo dell'esporre le bugie dell'Occidente, le bugie dell'America, le bugie degli pseudo-scienziati, le bugie dei liberali. Con piacere e beneficio per noi stessi e per la società, pensiamo a temi seri che ci lanciate di volta in volta, che si tratti di meritocrazia o metafisica, amore per storia nazionale o ripristino della giustizia.

Tuttavia, le tue definizioni della nostra Patria comune con te sono perplessi e molto sconvolti.

Tuttavia, giudica tu stesso: come definiresti una persona che ha iniziato a insultare sua madre che si è ammalata e per questo ha temporaneamente smesso di lavorare?

Ma Russia, non importa come viene chiamata, e non importa quanto possa essere buono o disgustoso il potere, la Russia è la nostra Patria. Patria. Per lei, i nostri nonni hanno versato il loro sangue e hanno dato la vita.

Pertanto, metterlo alla pari con il potere significa abbassare il sublime spirituale al livello del materiale, e anche basso. Quelli. stai confrontando categorie completamente diverse. Una cosa inaccettabile per qualsiasi persona sana di mente.

Ti prego, caro compagno. Mukhin, pensaci seriamente.

... E con le equazioni (questo non lo sapevo), la situazione è la seguente. Come trovare le radici equazione quadrata indovinato nell'antico Egitto.

Come trovare le radici di un'equazione cubica e di un'equazione di quarto grado è stato trovato nel sedicesimo secolo, ma non sono riusciti a trovare le radici di un'equazione di quinto grado fino al 2016. E lontano dalla gente comune ci ha provato.

Nel XVI secolo, il fondatore dell'algebra simbolica François Viet cercò di trovare le radici dell'equazione di quinto grado; nel XIX secolo, il fondatore dell'algebra superiore moderna, il matematico francese Evariste Galois, tentò di farlo; dopo di lui , il matematico norvegese Niels Henrik Abel ha cercato di trovare le radici delle equazioni di quinto grado, che, alla fine, ha rinunciato e ha dimostrato l'impossibilità di risolvere l'equazione di quinto grado in forma generale.

Leggiamo in Wikipedia sui meriti di Abele: “Abele completò un brillante studio di un antico problema:ha dimostrato l'impossibilità di risolvere in forma generale (in radicali) un'equazione di 5° grado ...

In algebra, trovò Abele condizione necessaria in modo che la radice dell'equazione sia espressa "in radicali" attraverso i coefficienti di questa equazione. La condizione sufficiente fu presto scoperta da Galois, i cui risultati furono basati sul lavoro di Abele.

Abele ha fornito esempi specifici di un'equazione di 5° grado le cui radici non possono essere espresse in radicali, e quindi ha in gran parte chiuso l'antico problema.

Come puoi vedere, se hanno provato a dimostrare il teorema di Poincaré tutto il tempo e Perelman si è rivelato più efficace di altri matematici, dopo Abel non hanno portato la matematica alle equazioni di quinto grado.

E nel 2014 matematico di Tomsk Sergey Zaikov, che si può giudicare dalla foto che è già da anni e, secondo i dati dell'articolo su di lui, che è laureato alla Facoltà di Matematica Applicata e Cibernetica di Tomsk Università Statale, nel corso del suo lavoro ricevette equazioni di quinto grado. Senza uscita? Sì, vicolo cieco! Ma Sergey Zaikov si è impegnato a sfondarlo.

E nel 2016 ha trovato il modo di risolvere le equazioni di quinto grado in una forma generale! Fece ciò che i matematici Galois e Abel dimostrarono l'impossibilità di fare.

Ho cercato di trovare informazioni su Sergei Zaikov su Wikipedia, ma vaffanculo! Sul matematico Sergey Zaikov e sul trovare da lui la soluzione di equazioni di quinto grado nessuna informazione!

La piccantezza della questione è data anche dal fatto che per i matematici esiste un analogo del Premio Nobel - Premio Abele(Nobel ha proibito di dare il premio ai matematici e ora viene assegnato ai movimenti intestinali matematici, chiamandoli "fisica").

Questo premio matematico è in onore dello stesso Abele che ha dimostrato l'impossibilità di ciò che ha fatto Zaikov. Tuttavia, l'autocandidatura per questo premio non è consentita. Ma Zaikov è un matematico solitario e non ci sono organizzazioni che potrebbero nominarlo per questo premio.

È vero, abbiamo l'Accademia delle scienze, ma dopotutto gli accademici siedono lì non per lo sviluppo della matematica, ma per "tagliare il bottino". Chi ha bisogno di questo Zaikov lì?

Bene, per le agenzie di stampa, Zaikov non è Perelman per te! Pertanto, la scoperta di Zaikov per i media non fa scalpore.

Ecco il fatto che Poroshenko ha commesso un errore con la porta - sì! Questa è una vera sensazione!

Il matematico di Tomsk ha risolto un problema che non poteva essere risolto per duecento anni

Con l'avvento dell'algebra, il suo compito principale era considerato la soluzione di equazioni algebriche. La soluzione dell'equazione di secondo grado era già nota a Babilonia e nell'antico Egitto. Esaminiamo queste equazioni a scuola. Ricordi l'equazione x2 + ax + b = 0 e il discriminante?

Sergei Zaikov con un libro

La soluzione delle equazioni algebriche di terzo e quarto grado si trova nel XVI secolo. Ma non è stato possibile risolvere l'equazione di quinto grado. Il motivo è stato trovato da Lagrange. Dimostrò che la soluzione di equazioni di terzo e quarto grado è diventata possibile perché possono essere ridotte a equazioni che erano già state risolte in precedenza. Un'equazione di terzo grado può essere ridotta a un'equazione di secondo grado e un'equazione di quarto grado può essere ridotta a un'equazione di terzo grado. Ma l'equazione del quinto grado è ridotta all'equazione del sesto, cioè più complessa, per cui i metodi tradizionali di soluzione non sono applicabili.

La questione della risoluzione di un'equazione di quinto grado è andata avanti solo duecento anni fa, quando Abel ha dimostrato che non tutte le equazioni di quinto grado possono essere risolte in radicali, cioè in quadrate, cubiche e altre radici a noi note a scuola. E Galois ben presto, cioè duecento anni fa, trovò un criterio per determinare quali equazioni di quinto grado possono essere risolte in radicali e quali no. Sta nel fatto che il gruppo di Galois di equazioni radicalmente risolvibili di quinto grado deve essere o ciclico o metaciclico. Ma Galois non ha trovato un modo per risolvere in radicali quelle equazioni di quinto grado che sono risolvibili in radicali. La teoria di Galois è molto famosa, sono stati scritti molti libri su di essa.

Finora sono state trovate solo soluzioni particolari per equazioni di quinto grado risolvibili in radicali. E solo quest'anno il matematico di Tomsk Sergey Zaikov ha risolto un problema che non poteva essere risolto per duecento anni. Ha pubblicato il libro "Come vengono risolte le equazioni algebriche del quinto grado nei radicali", in cui indicava un metodo per risolvere eventuali equazioni di quinto grado risolvibili in radicali. Zaikov si è laureato alla Facoltà di Matematica Applicata e Cibernetica della Tomsk State University. Abbiamo potuto intervistarlo.

— Sergey, perché hai iniziato a risolvere questo problema?

— Avevo bisogno di una soluzione a un'equazione di quinto grado per risolvere un problema di un altro ramo della matematica. Ho iniziato a capire come trovarlo e ho scoperto che non tutti si risolvono nei radicali. Poi ho cercato di trovare nella letteratura scientifica un modo per risolvere quelle equazioni che sono risolvibili in radicali, ma ho trovato solo un criterio con cui si può determinare quali sono risolvibili e quali no. Non sono un algebrista, ma, ovviamente, come laureato alla FPMK, posso anche applicare metodi algebrici. Pertanto, dal 2014, ho iniziato seriamente a cercare una soluzione e l'ho trovata da solo.

Il metodo è stato trovato da me due anni fa, ho preparato un libro in cui non solo è stato descritto, ma anche metodi per risolvere alcune equazioni di gradi maggiori della quinta. Ma non avevo i soldi per pubblicarlo. Quest'anno ho deciso che sarebbe stato più facile pubblicare solo una parte di questo lavoro, e ne ho preso solo la metà, dedicato a un metodo per risolvere un'equazione di quinto grado in radicali.

Il mio obiettivo era pubblicare qualcosa come una guida per risolvere questo problema, comprensibile per i matematici che hanno bisogno di risolvere un'equazione specifica. Pertanto, l'ho semplificato rimuovendo molte formule lunghe e una parte significativa della teoria, riducendola di oltre la metà, lasciando solo il necessario. Pertanto, ho ottenuto qualcosa come un libro "per manichini", secondo il quale i matematici che non hanno familiarità con la teoria di Galois possono risolvere l'equazione di cui hanno bisogno.

- Per questo, molte grazie a Vladislav Beresnev, che conosciamo da molti anni. Ha sponsorizzato la pubblicazione del libro.

È possibile per te ricevere qualche premio in matematica per aver risolto questo problema? Ad esempio, hai citato Abele. Ma esiste un Premio Abel in matematica, considerato un analogo del Premio Nobel?

“Questa possibilità non può essere completamente esclusa. Ma non dovresti nemmeno sperarlo.

Ad esempio, le domande per i candidati al Premio Abel 2019 devono essere presentate entro il 15 settembre. Inoltre, non è consentita l'autocandidatura. Sono un matematico solitario. Non ci sono organizzazioni o noti matematici che mi nomineranno. Pertanto, non sarà considerato a prescindere dal fatto che il mio lavoro meriti questo premio, e se è nello spirito di questo premio che venga assegnato a coloro che continuano l'opera di Abele. Ma anche se viene presentato, tutto dipende anche dal livello di lavoro degli altri candidati.

Il libro è destinato a coloro che non hanno familiarità con la teoria di Galois. I fondamenti della teoria di Galois sono dati solo nella parte in cui sono necessari per risolvere l'equazione, viene descritto in dettaglio il metodo risolutivo e vengono mostrate le tecniche che semplificano la soluzione. Una parte significativa del libro è dedicata a un esempio di risoluzione di una particolare equazione. I revisori del libro sono il dottore in scienze tecniche Gennady Petrovich Agibalov e il dottore in fisica. stuoia. Scienze, Professor Petr Andreevich Krylov.

PREPARATO ANASTASIA SKIRNEVSKAYA

In generale, un'equazione che ha un grado maggiore di 4 non può essere risolta in radicali. Ma a volte possiamo ancora trovare le radici del polinomio a sinistra nell'equazione di grado più alto, se lo rappresentiamo come prodotto di polinomi in un grado non superiore a 4. La soluzione di tali equazioni si basa sulla scomposizione del polinomio in fattori, quindi ti consigliamo di rivedere questo argomento prima di studiare questo articolo.

Molto spesso devi affrontare le equazioni gradi superiori con coefficienti interi. In questi casi, possiamo provare a trovare radici razionali, e quindi fattorizzare il polinomio per poi convertirlo in un'equazione di grado inferiore, che sarà facile da risolvere. Nell'ambito di questo materiale, considereremo proprio questi esempi.

Equazioni di grado superiore a coefficienti interi

Tutte le equazioni della forma a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 , possiamo ridurre a un'equazione dello stesso grado moltiplicando entrambi i membri per a n n - 1 e cambiando la variabile della forma y = a n x:

un n x n + un n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 ann xn + an - 1 ann - 1 xn - 1 + … + a 1 (an) n - 1 x + a 0 (an) n - 1 = 0 y = anx ⇒ yn + bn - 1 yn - 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

Anche i coefficienti risultanti saranno interi. Pertanto, dovremo risolvere l'equazione di cui sopra ennesimo grado a coefficienti interi, aventi la forma x n + a n x n - 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 .

Calcoliamo le radici intere dell'equazione. Se l'equazione ha radici intere, devi cercarle tra i divisori del termine libero a 0. Scriviamoli e li sostituiamo nell'uguaglianza originale uno per uno, controllando il risultato. Una volta ottenuta un'identità e trovata una delle radici dell'equazione, possiamo scriverla nella forma x - x 1 · P n - 1 (x) = 0 . Qui x 1 è la radice dell'equazione e P n - 1 (x) è il quoziente di x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 diviso per x - x 1 .

Sostituisci i restanti divisori in P n - 1 (x) = 0 , iniziando con x 1 , poiché le radici possono essere ripetute. Dopo aver ottenuto l'identità, si considera trovata la radice x 2 e l'equazione può essere scritta come (x - x 1) (x - x 2) P n - 2 (x) \u003d 0. Qui P n - 2 (x ) sarà quoziente dalla divisione di P n - 1 (x) per x - x 2 .

Continuiamo a selezionare i divisori. Trova tutte le radici intere e denota il loro numero come m. Dopodiché, l'equazione originale può essere rappresentata come x - x 1 x - x 2 · … · x - x m · P n - m (x) = 0 . Qui P n - m (x) è un polinomio di n - m -esimo grado. Per il calcolo è conveniente utilizzare lo schema di Horner.

Se la nostra equazione originale ha coefficienti interi, non possiamo finire con radici frazionarie.

Di conseguenza, abbiamo ottenuto l'equazione P n - m (x) = 0, le cui radici possono essere trovate in qualsiasi modo conveniente. Possono essere irrazionali o complessi.

Mostriamo su un esempio specifico come viene applicato un tale schema di soluzione.

Esempio 1

Condizione: trova la soluzione dell'equazione x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0 .

Soluzione

Iniziamo con la ricerca di radici intere.

Abbiamo un'intercettazione pari a meno tre. Ha divisori pari a 1 , - 1 , 3 e - 3 . Sostituiamoli nell'equazione originale e vediamo quale di essi darà identità come risultato.

Per x uguale a uno, otteniamo 1 4 + 1 3 + 2 1 2 - 1 - 3 = 0, quindi uno sarà la radice data equazione.

Ora dividiamo il polinomio x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 per (x - 1) in una colonna:

Quindi x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 - 1 + 3 = 0

Abbiamo un'identità, il che significa che abbiamo trovato un'altra radice dell'equazione, uguale a - 1.

Dividiamo il polinomio x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 per (x + 1) in una colonna:

Lo capiamo

x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

Sostituiamo il prossimo divisore nell'equazione x 2 + x + 3 = 0, partendo da - 1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

Le uguaglianze risultanti non saranno corrette, il che significa che l'equazione non ha più radici intere.

Le radici rimanenti saranno le radici dell'espressione x 2 + x + 3 .

D \u003d 1 2 - 4 1 3 \u003d - 11< 0

Ne consegue che questo trinomio quadrato non ci sono radici reali, ma ce ne sono di coniugate complesse: x = - 1 2 ± i 11 2 .

Chiariamo che invece di dividere in una colonna, si può usare lo schema di Horner. Questo viene fatto in questo modo: dopo aver determinato la prima radice dell'equazione, riempiamo la tabella.

Nella tabella dei coefficienti, possiamo vedere immediatamente i coefficienti del quoziente dalla divisione dei polinomi, che significa x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

Dopo aver trovato la radice successiva, uguale a - 1 , otteniamo quanto segue:

Risposta: x \u003d - 1, x \u003d 1, x \u003d - 1 2 ± io 11 2.

Esempio 2

Condizione: risolvi l'equazione x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0.

Soluzione

Il membro libero ha divisori 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , 4 , - 4 , 6 , - 6 , 12 , - 12 .

Controlliamoli in ordine:

1 4 - 1 3 - 5 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 2 3 - 5 2 2 + 12 = 0

Quindi x = 2 sarà la radice dell'equazione. Dividi x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 per x - 2 usando lo schema di Horner:

Di conseguenza, otteniamo x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0 .

2 3 + 2 2 - 3 2 - 6 = 0

Quindi 2 sarà di nuovo una radice. Dividi x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 per x - 2:

Di conseguenza, otteniamo (x - 2) 2 (x 2 + 3 x + 3) = 0 .

Controllare i restanti divisori non ha senso, poiché l'uguaglianza x 2 + 3 x + 3 = 0 è più veloce e conveniente da risolvere usando il discriminante.

Risolviamo l'equazione quadratica:

x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0

Otteniamo una complessa coppia coniugata di radici: x = - 3 2 ± i 3 2 .

Risposta: x = - 3 2 ± io 3 2 .

Esempio 3

Condizione: trova le radici reali per l'equazione x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0.

Soluzione

x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0

Eseguiamo la moltiplicazione 2 3 di entrambe le parti dell'equazione:

2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0

Sostituiamo le variabili y = 2 x:

2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 = 0

Di conseguenza, abbiamo ottenuto un'equazione standard di 4° grado, che può essere risolta secondo lo schema standard. Controlliamo i divisori, dividiamo e alla fine otteniamo che ha 2 radici reali y \u003d - 2, y \u003d 3 e due complesse. Non presenteremo l'intera soluzione qui. In virtù della sostituzione, le radici reali di questa equazione saranno x = y 2 = - 2 2 = - 1 e x = y 2 = 3 2 .

Risposta: x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d 3 2

Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio

Nel XVI secolo, i matematici si imbattono in numeri complessi quasi per caso (vedi capitolo 11). A XVIII secolo i numeri complessi erano considerati un'estensione del dominio numeri reali, ma lavorare con loro portava comunque a un errore di parità, poiché Leonard E, nel suo grande lavoro sulla teoria dei numeri, Arithmetical Investigations (1801), evitava l'uso dei cosiddetti "numeri immaginari". Mi sembra che la parte più importante di questo lavoro sia la prima dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra. Gauss si rese conto dell'importanza di questo teorema, creando diverse dimostrazioni aggiuntive negli anni successivi. Nel 1849 ha rivisto la prima versione, questa volta utilizzando numeri complessi. Usando termini moderni, possiamo dire che per qualsiasi equazione polinomiale finita con coefficienti reali o complessi, tutte le sue radici saranno reali o numeri complessi. Quindi, otteniamo una risposta negativa all'annosa domanda se la soluzione delle equazioni polinomiali richieda ordine elevato creare numeri di ordine superiore a quelli complessi.

Uno dei problemi più spinosi dell'algebra a quel tempo era la domanda se metodi algebrici, cioè usando un numero finito di passi algebrici, il polinomio di quinto ordine è un quintico. Ora la scuola insegna la formula per risolvere le equazioni quadratiche e dal XVI secolo sono noti metodi simili per risolvere le equazioni di terzo e quarto grado (Capitolo 11). Ma nessun metodo è stato trovato per i quinti. Può sembrare che il teorema fondamentale dell'algebra contenga la promessa di una risposta positiva, ma in realtà garantisce semplicemente che esistono soluzioni, non dice nulla sull'esistenza di formule che danno soluzioni esatte (metodi numerici e grafici approssimativi esistevano già da quella volta). E poi c'erano due geni della matematica con un destino tragico.

Nils Henrik Abel (1802–1829) nacque in una grande famiglia povera che viveva in un piccolo villaggio della Norvegia, un paese devastato da lunghi anni di guerra con l'Inghilterra e la Svezia. L'insegnante, che era amico del ragazzo, gli dava lezioni private, ma dopo la morte del padre, all'età di diciotto anni, nonostante la giovane età e le fragili condizioni di salute, Abele fu costretto a mantenere la sua famiglia. Nel 1824 pubblicò articolo scientifico, in cui affermava che il quintico non è risolvibile con mezzi algebrici, come, in effetti, qualsiasi polinomio di ordine superiore. Abel credeva che questo articolo sarebbe servito come suo passaggio per il mondo scientifico e lo inviò a Gauss presso l'Università di Gottinga. Sfortunatamente, Gauss non è mai riuscito a tagliare le pagine con un coltello (qualsiasi lettore doveva farlo a quei tempi) e non ha letto l'articolo. Nel 1826, il governo norvegese ha finalmente fornito fondi per Abel per viaggiare in giro per l'Europa. Temendo che il contatto personale con Gauss non gli avrebbe portato grande gioia, il matematico decise di non visitare Göttingen e andò invece a Berlino. Lì fece amicizia con August Leopold Crelle (1780–1855), un matematico, architetto e ingegnere che consigliò la matematica al Ministero dell'Istruzione prussiano. Krell avrebbe fondato il Journal of Pure and Applied Mathematics. Così Abel ebbe l'opportunità di distribuire il suo lavoro e pubblicò molto, soprattutto nei primi numeri della Rivista, che iniziò subito a essere considerata una pubblicazione scientifica molto prestigiosa e autorevole. Il norvegese vi pubblicò una versione estesa della sua dimostrazione che il quintico è irrisolvibile con metodi algebrici. E poi è andato a Parigi. Questo viaggio ha sconvolto molto Abel, perché praticamente non ha ricevuto il sostegno dei matematici francesi di cui aveva così tanto bisogno. Si avvicinò ad Augustin Louis Cauchy (1789-1857), che a quel tempo era il principale luminare analisi matematica ma era molto complesso. Come disse lo stesso Abel, "Cauchy è pazzo e non si può farci nulla, anche se al momento è l'unico capace di qualcosa in matematica". Se si cerca di giustificare la mancanza di rispetto e il disprezzo emanati da Gauss e Cauchy, si può dire che il Quintic raggiunse una certa fama e attirò l'attenzione sia di rispettati matematici che di originali. Abele tornò in Norvegia, dove soffriva sempre più di tubercolosi. Continuò a inviare le sue carte a Crelle, ma morì nel 1829, ignaro della misura in cui la sua reputazione era cresciuta nel mondo scientifico. Due giorni dopo la sua morte, Abel ricevette un'offerta per assumere una posizione scientifica a Berlino.

Abel ha mostrato che qualsiasi polinomio sopra quarto ordine non può essere risolto con radicali come radici quadrate, radici cubiche o superiori. Tuttavia, le condizioni esplicite in cui, in casi speciali, questi polinomi potevano essere risolti, e il metodo per risolverli, furono formulati da Galois. Évariste Galois (1811–1832) visse una vita breve e movimentata. Era un matematico incredibilmente dotato. Galois era implacabile nei confronti di coloro che considerava meno talentuosi di lui e allo stesso tempo non sopportava l'ingiustizia sociale. Non mostrò alcuna attitudine per la matematica finché non lesse Elements of Geometry di Legendre (pubblicato nel 1794, questo libro fu il principale libro di testo per i successivi cento anni). Poi ha letteralmente ingoiato il resto delle opere di Legendre e, in seguito, di Abele. Il suo entusiasmo, la fiducia in se stessi e l'intolleranza hanno portato a conseguenze davvero disastrose nei suoi rapporti con insegnanti ed esaminatori. Galois ha partecipato al concorso per l'ammissione al Politecnico, la culla della matematica francese, ma per impreparazione non ha superato l'esame. Qualche tempo dopo aver incontrato un nuovo insegnante che ha riconosciuto il suo talento, è riuscito a mantenere la calma. Nel marzo 1829 Galois pubblicò il suo primo articolo sulle frazioni continue, che considerava il suo lavoro più significativo. Ha inviato un messaggio sulle sue scoperte all'Accademia delle scienze e Cauchy ha promesso di presentarle, ma ha dimenticato. Inoltre, ha semplicemente perso il manoscritto.

Il secondo fallimento di Galois nell'entrare nella Scuola Politecnica è entrato nel folklore matematico. Era così abituato ad avere costantemente idee matematiche complesse nella sua testa che era infuriato per la meschina pignoleria degli esaminatori. Poiché gli esaminatori avevano difficoltà a capire le sue spiegazioni, gettò un panno cancellabile in faccia a uno di loro. Poco dopo, suo padre morì, suicidandosi a causa di intrighi della chiesa. Al suo funerale è quasi scoppiata una rivolta. Nel febbraio 1830 Galois scrisse i seguenti tre articoli, inviandoli all'Accademia delle scienze per il Gran Premio di matematica. Joseph Fourier, allora segretario dell'Accademia, morì senza averli letti e dopo la sua morte gli articoli non furono trovati tra le sue carte. Un tale flusso di delusioni farebbe crollare chiunque. Galois si ribellò contro coloro che erano al potere perché sentiva che non riconoscevano i suoi meriti e uccisero suo padre. Si tuffò a capofitto nella politica, diventando un ardente repubblicano - non la decisione più saggia in Francia nel 1830. In un ultimo disperato tentativo, inviò un articolo scientifico al famoso fisico e matematico francese Siméon Denis Poisson (1781–1840), che in risposta chiese ulteriori prove.

Questa era l'ultima cannuccia. Nel 1831 Galois fu arrestato due volte - prima con l'accusa di chiedere l'assassinio del re Luigi Filippo, e poi per proteggerlo - le autorità temevano una rivolta repubblicana! Questa volta, è stato condannato a sei mesi di reclusione con l'accusa inventata di aver indossato illegalmente l'uniforme del battaglione di artiglieria sciolto a cui si era unito. Rilasciato sulla parola, ha intrapreso un'attività che lo disgustava tanto quanto qualsiasi altra cosa nella vita. Nelle lettere a amico devoto Chevalier sente la sua delusione. Il 29 maggio 1832 accettò una sfida a duello, le cui ragioni non sono del tutto chiare. “Sono caduto vittima di una civettuola disonorevole. La mia vita sta svanendo in una miserabile lite", scrive in una lettera a tutti i repubblicani. L'opera più famosa di Galois è stata abbozzata la notte prima del fatale duello. Le denunce sono sparse ai margini: "Non ho più tempo, non ho più tempo". Doveva lasciare ad altri i dettagli dei passaggi intermedi che non erano essenziali per comprendere l'idea principale. Aveva bisogno di buttare su carta le basi delle sue scoperte: le origini di quello che oggi è chiamato il teorema di Galois. Concluse il suo testamento chiedendo a Chevalier di "richiedere a Jacobi e Gauss di esprimere pubblicamente la loro opinione, non sulla correttezza, ma sull'importanza di questi teoremi". Al mattino presto, Galois andò a incontrare il suo rivale. Hanno dovuto sparare da una distanza di 25 passi. Galois è stato ferito ed è morto in ospedale la mattina successiva. Aveva solo vent'anni.

Galois ha fatto affidamento sul lavoro di Lagrange e Cauchy, ma ha sviluppato un metodo più generale. Questo è stato un risultato estremamente importante nel campo della risoluzione dei quinti. Lo scienziato ha prestato meno attenzione alle equazioni originali o all'interpretazione grafica e ha pensato di più alla natura delle radici stesse. Per semplificare, Galois considerava solo i cosiddetti quintici irriducibili, cioè quelli che non potevano essere fattorizzati sotto forma di polinomi di ordine inferiore (come dicevamo, per eventuali equazioni di polinomi fino al quarto ordine esistono formule per trovarne le radici ). In generale, un polinomio irriducibile con coefficienti razionali è un polinomio che non può essere scomposto in polinomi più semplici che hanno coefficienti razionali. Ad esempio, (x 5 - 1) può essere fattorizzato (x-1)(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1), invece (x 5 - 2) irriducibile. L'obiettivo di Galois era determinare le condizioni in cui tutte le soluzioni di un'equazione polinomiale irriducibile generale possono essere trovate in termini di radicali.

La chiave della soluzione è che le radici di qualsiasi equazione algebrica irriducibile non sono indipendenti, possono essere espresse l'una nei termini dell'altra. Queste relazioni sono state formalizzate nel gruppo di tutte le possibili permutazioni, il cosiddetto gruppo di simmetria radice - per un quintico questo gruppo contiene 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 elementi. Gli algoritmi matematici della teoria di Galois sono molto complessi e, molto probabilmente, anche per questo, furono inizialmente compresi con grande difficoltà. Ma dopo che il livello di astrazione ha permesso di passare dalle soluzioni algebriche delle equazioni alla struttura algebrica dei gruppi ad esse associati, Galois è stato in grado di prevedere la solvibilità dell'equazione in base alle proprietà di tali gruppi. Inoltre, la sua teoria forniva anche un metodo con cui si potevano trovare queste stesse radici. Per quanto riguarda i quintici, il matematico Joseph Liouville (1809–1882), che nel 1846 pubblicò la maggior parte del lavoro di Galois nel suo Journal of Pure and Applied Mathematics, notò che il giovane scienziato si era dimostrato un "bellissimo teorema" e per Se un'equazione irriducibile del grado originario è risolvibile in termini di radicali, è necessario e sufficiente che tutte le sue radici siano funzioni razionali di due di esse. Poiché questo è impossibile per un quintico, non può essere risolto con i radicali.

In tre anni, il mondo matematico ha perso due delle sue nuove stelle più luminose. Seguirono accuse reciproche e ricerche dell'anima, e Abel e Galois ottennero il meritato riconoscimento, ma solo postumo. Nel 1829 Carl Jacobi, tramite Legendre, venne a conoscenza del manoscritto "perduto" di Abele e nel 1830 scoppiò uno scandalo diplomatico quando il console norvegese a Parigi chiese che l'articolo del suo connazionale fosse trovato. Alla fine, Cauchy ha trovato l'articolo, solo per averlo perso di nuovo negli editori dell'accademia! Nello stesso anno, Abel ricevette il Gran Premio di Matematica (insieme a Jacobi) - ma era già morto. Nel 1841 fu pubblicata la sua biografia. Nel 1846, Liouville curò alcuni dei manoscritti di Galois per la pubblicazione e nella sua introduzione espresse rammarico per il fatto che l'accademia avesse inizialmente rifiutato il lavoro di Galois a causa della sua complessità - "in effetti, la chiarezza della presentazione è necessaria quando l'autore conduce il lettore fuori dai sentieri battuti in territori selvaggi inesplorati". Continua: “Galois non c'è più! Non cadiamo in inutili critiche. Scartiamo i difetti e guardiamo alle virtù! Frutta breve vita Galois è contenuto in sole sessanta pagine. Il direttore della rivista matematica per i candidati all'École Normale e all'Ecole Polytechnique ha commentato così il caso Galois: “Un candidato con un'intelligenza elevata è stato eliminato da un esaminatore con un livello di pensiero inferiore. Barbarus hic ego sum, quia non intelligor illis."

Innanzitutto, la seconda pagina di quest'opera non è gravata di nomi, cognomi, descrizioni della posizione nella società, titoli ed elegie in onore di qualche principe avaro, la cui borsa si aprirà con questi incensi - con la minaccia di chiuderla quando le lodi saranno finite. Non vedrai qui lodi rispettose, scritte in lettere tre volte più grandi del testo stesso, rivolte a chi ha una posizione elevata nella scienza, a qualche saggio mecenate - cosa obbligatoria (direi inevitabile) per qualcuno dell'età di venti che vuole scrivere qualcosa. Non sto dicendo a nessuno qui che sono in debito con i loro consigli e il loro supporto per tutte le cose buone del mio lavoro. Non lo dico perché sarebbe una bugia. Se dovessi citare uno dei grandi della società o della scienza (attualmente la differenza tra queste due classi di persone è quasi impercettibile), giuro non sarebbe un segno di gratitudine. Lo devo a loro di aver pubblicato il primo di questi due articoli così tardi, e di aver scritto tutto questo in carcere - in un luogo che difficilmente può essere considerato adatto alla riflessione scientifica, e mi stupisco spesso della mia moderazione e capacità di mantengo la bocca chiusa in relazione agli stupidi e viziosi Zoil. Mi sembra di poter usare la parola "Zoils" senza temere di essere accusato di indecenza, poiché è così che mi riferisco ai miei avversari. Non scriverò qui come e perché fui mandato in prigione, ma devo dire che i miei manoscritti il più delle volte si perdevano semplicemente nelle cartelle dei signori dell'accademia, anche se, a dire il vero, non riesco a immaginare una tale indiscrezione da parte di persone sulla cui coscienza la morte di Abele. Secondo me, chiunque vorrebbe essere paragonato a questo geniale matematico. Basti pensare che il mio articolo sulla teoria delle equazioni è stato inviato all'Accademia delle scienze nel febbraio 1830, che gli estratti sono stati inviati nel febbraio 1829, eppure nessuno di essi è stato stampato, e anche il manoscritto si è rivelato essere impossibile tornare.

Galois, prefazione inedita, 1832

Classe: 9

Obiettivi di base:

Consolidare il concetto di equazione razionale intera di th grado.
Formulare i principali metodi per risolvere equazioni di grado superiore (n > 3).
Insegnare i metodi di base per risolvere equazioni di grado superiore.
Insegnare con la forma dell'equazione per determinare di più metodo efficace le sue decisioni.

Forme, metodi e tecniche pedagogiche utilizzate dall'insegnante in classe:

Sistema di formazione a lezione-seminario (lezioni frontali - spiegazione di nuovo materiale, seminari - risoluzione dei problemi).
Tecnologie dell'informazione e della comunicazione (rilevamento frontale, lavoro orale con la classe).
Formazioni differenziate, di gruppo e individuali.
L'uso del metodo della ricerca nella formazione finalizzata allo sviluppo apparato matematico e capacità mentali di ogni singolo studente.
Materiale stampato: un riepilogo individuale della lezione (concetti di base, formule, dichiarazioni, materiale della lezione viene compresso sotto forma di diagrammi o tabelle).

Piano di lezione:

Organizzare il tempo.
Lo scopo dello stage: coinvolgere gli studenti attività didattiche definire il contenuto della lezione.
Aggiornare le conoscenze degli studenti.
Lo scopo dello stage: aggiornare le conoscenze degli studenti su argomenti correlati precedentemente studiati
Imparare un nuovo argomento (lezione). Scopo dello stage: formulare i principali metodi per la risoluzione di equazioni di grado superiore (n > 3)
Riassumendo.
Lo scopo dello stage: evidenziare ancora una volta i punti chiave del materiale studiato a lezione.
Compiti a casa.
Lo scopo dello stage: formulare i compiti per gli studenti.

Riepilogo della lezione

1. Momento organizzativo.

La formulazione dell'argomento della lezione: “Equazioni di gradi superiori. Metodi per la loro soluzione”.

2. Attualizzazione delle conoscenze degli studenti.

Indagine teorica - conversazione. Ripetizione di alcune informazioni precedentemente studiate dalla teoria. Gli studenti formulano definizioni di base e forniscono affermazioni di teoremi necessari. Vengono forniti esempi che dimostrano il livello di conoscenza precedentemente acquisito.

Il concetto di equazione con una variabile.
Il concetto della radice dell'equazione, la soluzione dell'equazione.
concetto equazione lineare con una variabile, il concetto di equazione quadratica con una variabile.
Il concetto di equivalenza delle equazioni, equazione-conseguenze (il concetto di radici estranee), transizione non di conseguenza (il caso della perdita delle radici).
Il concetto di un'intera espressione razionale con una variabile.
Il concetto di un'intera equazione razionale n esimo grado. La forma standard di un'intera equazione razionale. Equazione razionale intera ridotta.
Transizione a un insieme di equazioni di gradi inferiori calcolando l'equazione originale.
Il concetto di polinomio n esimo grado da X. Il teorema di Bezout. Conseguenze dal teorema di Bezout. Teoremi della radice ( Z-radici e Q-radici) di un'intera equazione razionale a coefficienti interi (rispettivamente ridotti e non ridotti).
Lo schema di Horner.

3. Imparare un nuovo argomento.

Considereremo l'intera equazione razionale n esima potenza della forma standard con una variabile sconosciuta x:Pn(x)= 0 , dove P n (x) = un n x n + un n-1 x n-1 + un 1 x + un 0– polinomio n esimo grado da X, un n ≠ 0 . Se un n = 1 allora tale equazione è chiamata equazione razionale intera ridotta n esimo grado. Consideriamo tali equazioni per valori diversi n ed elencare i metodi principali della loro soluzione.

n= 1 è un'equazione lineare.

n= 2 è un'equazione quadratica. Formula discriminante. Formula per il calcolo delle radici. Il teorema di Vieta. Selezione di un quadrato intero.

n = 3 – equazione cubica.

metodo di raggruppamento.

Esempio: x 3 – 4 x 2 – x+ 4 = 0 (x - 4) (x 2– 1) = 0 X 1 = 4 , x2 = 1,X 3 = -1.

Equazione cubica reciproca della forma ascia 3 + bx 2 + bx + un= 0. Risolviamo combinando termini con gli stessi coefficienti.

Esempio: X 3 – 5X 2 – 5X + 1 = 0 (X + 1)(X 2 – 6X + 1) = 0 X 1 = -1, X 2 = 3 + 2, X 3 = 3 – 2.

Selezione delle radici Z in base al teorema. Lo schema di Horner. Quando si applica questo metodo, è necessario sottolineare che l'enumerazione in questo caso è finita e selezioniamo le radici secondo un certo algoritmo secondo il teorema su Z-radici dell'equazione razionale intera ridotta a coefficienti interi.

Esempio: X 3 – 9X 2 + 23X– 15 = 0. L'equazione viene ridotta. Scriviamo i divisori del termine libero ( + 1; + 3; + 5; + 15). Applichiamo lo schema di Horner:

	X 3	X 2	X 1	X 0	produzione
	1	-9	23	-15
1	1	1 x 1 - 9 = -8	1 x (-8) + 23 = 15	1 x 15 - 15 = 0	1 - radice
	X 2	X 1	X 0

Noi abbiamo ( X – 1)(X 2 – 8X + 15) = 0 X 1 = 1, X 2 = 3, X 3 = 5.

Equazione a coefficienti interi. Selezione di radici Q in base al teorema. Lo schema di Horner. Quando si applica questo metodo, è necessario sottolineare che l'enumerazione in questo caso è finita e selezioniamo le radici secondo un certo algoritmo secondo il teorema di Q-radici di un'equazione razionale intera non ridotta a coefficienti interi.

Esempio: 9 X 3 + 27X 2 – X– 3 = 0. L'equazione non viene ridotta. Scriviamo i divisori del termine libero ( + 1; + 3). Scriviamo i divisori del coefficiente alla massima potenza dell'incognita. ( + 1; + 3; + 9) Pertanto, cercheremo delle radici tra i valori ( + 1; + ; + ; + 3). Applichiamo lo schema di Horner:

	X 3	X 2	X 1	X 0	produzione
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 - 1 = 35	1 x 35 - 3 = 32 ≠ 0	1 non è una radice
-1	9	-1 x 9 + 27 = 18	-1 x 18 - 1 = -19	-1 x (-19) - 3 = 16 ≠ 0	-1 non è una radice
	9	x9 + 27 = 30	x 30 - 1 = 9	x 9 - 3 = 0	radice
	X 2	X 1	X 0

Noi abbiamo ( X – )(9X 2 + 30X + 9) = 0 X 1 = , X 2 = - , X 3 = -3.

Per comodità di calcolo quando si sceglie Q -radici può essere conveniente apportare un cambio di variabile, andare all'equazione sopra e regolare Z -radici.

Se l'intercetta è 1

.

Se è possibile utilizzare la sostituzione del modulo y=kx

.

Formula Cardano. Esiste un metodo universale per risolvere le equazioni cubiche: questa è la formula di Cardano. Questa formula è associata ai nomi dei matematici italiani Gerolamo Cardano (1501–1576), Nicolò Tartaglia (1500–1557), Scipione del Ferro (1465–1526). Questa formula non rientra nell'ambito del nostro corso.

n= 4 è un'equazione di quarto grado.

metodo di raggruppamento.

Esempio: X 4 + 2X 3 + 5X 2 + 4X – 12 = 0 (X 4 + 2X 3) + (5X 2 + 10X) – (6X + 12) = 0 (X + 2)(X 3 + 5X- 6) = 0 (X + 2)(X– 1)(X 2 + X + 6) = 0 X 1 = -2, X 2 = 1.

Metodo di sostituzione variabile.

Equazione biquadratica della forma ascia 4 + bx 2+s = 0 .

Esempio: X 4 + 5X 2 - 36 = 0. Sostituzione y = X 2. Da qui y 1 = 4, y 2 = -9. Ecco perché X 1,2 = + 2 .

Equazione reciproca del quarto grado della forma ascia 4 + bx 3+c X 2 + bx + un = 0.

Risolviamo combinando termini con gli stessi coefficienti sostituendo la forma

ascia 4 + bx 3 + cx 2 – bx + un = 0.

Equazione generalizzata all'indietro del quarto grado della forma ascia 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k2 a = 0.

Sostituzione generale. Alcune sostituzioni standard.

Esempio 3 . Sostituzione vista generale(segue dalla forma di una particolare equazione).

n = 3.

Equazione a coefficienti interi. Selezione delle radici Q n = 3.

Formula generale. Esiste un metodo universale per risolvere le equazioni di quarto grado. Questa formula è associata al nome di Ludovico Ferrari (1522-1565). Questa formula non rientra nell'ambito del nostro corso.

n > 5 - equazioni di quinto grado e superiori.

Equazione a coefficienti interi. Selezione delle radici Z in base al teorema. Lo schema di Horner. L'algoritmo è simile a quello discusso sopra per n = 3.

Equazione a coefficienti interi. Selezione delle radici Q in base al teorema. Lo schema di Horner. L'algoritmo è simile a quello discusso sopra per n = 3.

Equazioni simmetriche. Ogni equazione reciproca di grado dispari ha una radice X= -1 e dopo averlo scomposto in fattori, otteniamo che un fattore ha la forma ( X+ 1) e il secondo fattore è un'equazione reciproca di grado pari (il suo grado è uno in meno rispetto al grado dell'equazione originale). Qualsiasi equazione reciproca di grado pari insieme a una radice della forma x = φ contiene anche la radice del modulo. Utilizzando queste affermazioni, risolviamo il problema abbassando il grado dell'equazione in studio.

Metodo di sostituzione variabile. Uso dell'omogeneità.

Non esiste una formula generale per risolvere intere equazioni di quinto grado (lo hanno dimostrato il matematico italiano Paolo Ruffini (1765–1822) e il matematico norvegese Nils Henrik Abel (1802–1829)) e potenze superiori (lo hanno dimostrato i francesi matematico Evariste Galois (1811–1832) )).

Ricordiamo ancora che in pratica è possibile utilizzare combinazioni i metodi sopra elencati. È conveniente passare a un insieme di equazioni di gradi inferiori di fattorizzazione dell'equazione originale.
Al di fuori dell'ambito della nostra discussione odierna, sono ampiamente utilizzati nella pratica metodi grafici risolvere equazioni e metodi di soluzione approssimati equazioni di grado superiore.

Ci sono situazioni in cui l'equazione non ha radici R.

Utilizzo della proprietà di monotonia delle funzioni

4. Riassumendo.

Riepilogo: Ora abbiamo imparato i metodi di base per risolvere varie equazioni di grado superiore (per n > 3). Il nostro compito è imparare come utilizzare efficacemente gli algoritmi di cui sopra. A seconda del tipo di equazione, dovremo imparare a determinare quale metodo di soluzione è il più efficace in questo caso, oltre ad applicare correttamente il metodo scelto.

5. Compiti a casa.

: voce 7, pp. 164–174, nn. 33–36, 39–44, 46,47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Possibili argomenti di relazioni o abstract su questo argomento:

Formula Cardano
Metodo grafico per la risoluzione di equazioni. Esempi di soluzioni.
Metodi per la soluzione approssimata di equazioni.

Analisi dell'assimilazione del materiale e dell'interesse degli studenti per l'argomento:

L'esperienza dimostra che l'interesse degli studenti in primo luogo è la possibilità di selezionare Z-radici e Q-radici di equazioni utilizzando un algoritmo abbastanza semplice che utilizza lo schema di Horner. Gli studenti sono anche interessati a vari tipi standard di sostituzione delle variabili, che possono semplificare notevolmente il tipo di problema. I metodi grafici di soluzione sono generalmente di particolare interesse. In questo caso, puoi anche analizzare le attività in un metodo grafico per risolvere le equazioni; discutere forma generale grafici per un polinomio di 3, 4, 5 gradi; analizzare come il numero di radici di equazioni di 3, 4, 5 gradi è correlato al tipo del grafico corrispondente. Di seguito è riportato un elenco di libri in cui è possibile trovare ulteriori informazioni su questo argomento.

Bibliografia:

Vilenkin N.Ya. ecc. “Algebra. Un libro di testo per studenti delle classi 9 con uno studio approfondito della matematica ”- M., Education, 2007 - 367 p.
Vilenkin N.Ya., Shibasov LP, Shibasova Z.F.“Dietro le pagine di un libro di matematica. Aritmetica. Algebra. Classi 10-11” – M., Illuminismo, 2008 – 192 p.
Vygodsky M.Ya."Manuale di matematica" - M., AST, 2010 - 1055 p.
Galitsky M.L.“Raccolta di problemi in algebra. Esercitazione per le classi 8-9 con approfondimento di matematica ”- M., Education, 2008 - 301 p.
Zvavich LI et al., “L'algebra e gli inizi dell'analisi. 8-11 celle Un manuale per scuole e classi con approfondimento della matematica ”- M., Drofa, 1999 - 352 p.
Zvavich LI, Averyanov DI, Pigarev BP, Trushanina TN“Incarichi in matematica per preparare un esame scritto in classe 9” - M., Education, 2007 - 112 p.
Ivanov AA, Ivanov AP"Prove tematiche per la sistematizzazione della conoscenza in matematica" parte 1 - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 p.
Ivanov AA, Ivanov AP"Prove tematiche per la sistematizzazione della conoscenza in matematica" parte 2 - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 p.
Ivanov A.P.“Prove e fogli di prova matematica. Esercitazione". - M., Fizmatkniga, 2008 - 304 pag.
Leibson K.L.“Raccolta di compiti pratici in matematica. Classe parte 2–9” – M., MTsNMO, 2009 – 184 p.
Makarychev Yu.N., Mindyuk NG."Algebra. Capitoli aggiuntivi per il libro di testo della scuola media. Libro di testo per studenti di scuole e classi con approfondimento della matematica”. - M., Istruzione, 2006 - 224 p.
Mordkovich AG"Algebra. Studio approfondito. 8 ° grado. Libro di testo” – M., Mnemosyne, 2006 – 296 p.
Savin A.P. “dizionario enciclopedico giovane matematico” – M., Pedagogia, 1985 – 352 p.
Survillo GS, Simonov AS “Materiali didattici in Algebra per Grade 9 con approfondimento di matematica” – M., Enlightenment, 2006 – 95 p.
Chulkov PV“Equazioni e disuguaglianze nel corso scolastico di matematica. Lezioni 1–4” – M., Primo settembre 2006 – 88 p.
Chulkov PV“Equazioni e disuguaglianze nel corso scolastico di matematica. Lezioni 5–8” – M., Primo settembre 2009 – 84 p.