numero irrazionale- questo numero reale, che non è razionale, cioè non può essere rappresentato come una frazione, dove sono interi, . Un numero irrazionale può essere rappresentato come un decimale infinito non ripetuto.

Molti numeri irrazionali solitamente indicato da una lettera latina maiuscola in grassetto senza ombreggiatura. Quindi: , cioè insieme di numeri irrazionali è differenza di insiemi di numeri reali e razionali.

Sull'esistenza dei numeri irrazionali, più precisamente i segmenti, incommensurabili con un segmento di lunghezza unitaria, erano già conosciuti dai matematici antichi: conoscevano, ad esempio, l'incommensurabilità della diagonale e del lato del quadrato, che equivale all'irrazionalità del numero.

Proprietà

• Qualsiasi numero reale può essere scritto come una frazione decimale infinita, mentre ir numeri razionali e solo loro sono scritti in frazioni decimali infinite non periodiche.
• I numeri irrazionali definiscono i tagli di Dedekind nell'insieme dei numeri razionali che non hanno numero più grande nella classe inferiore e nessun numero più piccolo in quella superiore.
• Ogni numero trascendentale reale è irrazionale.
• Ogni numero irrazionale è algebrico o trascendentale.
• L'insieme dei numeri irrazionali è denso ovunque sulla linea reale: tra due numeri qualsiasi c'è un numero irrazionale.
• L'ordine sull'insieme dei numeri irrazionali è isomorfo all'ordine sull'insieme dei numeri reali trascendentali.
• L'insieme dei numeri irrazionali non è numerabile, è un insieme della seconda categoria.

Esempi

Numeri irrazionali - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - -

Irrazionali sono:

Esempi di prova di irrazionalità

Radice di 2

Supponiamo il contrario: è razionale, cioè è rappresentato come una frazione irriducibile, dove è un intero, ed è un numero naturale. Mettiamo al quadrato la presunta uguaglianza:

.

Da ciò ne consegue che anche, quindi, pari e . Lascia dove il tutto. Quindi

Pertanto, anche, quindi, pari e . L'abbiamo ottenuto e siamo pari, il che contraddice l'irriducibilità della frazione. Quindi, l'ipotesi originale era sbagliata ed è un numero irrazionale.

Logaritmo binario del numero 3

Supponiamo il contrario: è razionale, cioè è rappresentato come una frazione, dove e sono interi. Poiché , e può essere considerato positivo. Quindi

Ma è chiaro, è strano. Otteniamo una contraddizione.

e

Storia

Il concetto di numeri irrazionali fu adottato implicitamente dai matematici indiani nel VII secolo a.C., quando Manawa (c. 750 a.C. - c. 690 a.C.) scoprì che le radici quadrate di alcuni numeri naturali, come 2 e 61, non possono essere espresse esplicitamente.

La prima prova dell'esistenza di numeri irrazionali è solitamente attribuita a Ippaso di Metaponto (500 aC circa), un pitagorico che trovò questa prova studiando le lunghezze dei lati di un pentagramma. Al tempo dei Pitagorici si credeva che esistesse un'unica unità di lunghezza, sufficientemente piccola e indivisibile, che è un numero intero di volte compreso in ogni segmento. Tuttavia, Ippaso ha sostenuto che non esiste una singola unità di lunghezza, poiché l'ipotesi della sua esistenza porta a una contraddizione. Ha mostrato che se l'ipotenusa di un isoscele triangolo rettangolo contiene un numero intero singoli segmenti, allora questo numero deve essere sia pari che dispari allo stesso tempo. La dimostrazione si presentava così:

• Il rapporto tra la lunghezza dell'ipotenusa e la lunghezza della gamba di un triangolo rettangolo isoscele può essere espresso come un:B, dove un e B selezionato come il più piccolo possibile.
• Secondo il teorema di Pitagora: un² = 2 B².
• Perché un² anche, un deve essere pari (poiché il quadrato di un numero dispari sarebbe dispari).
• Nella misura in cui un:B irriducibile B deve essere strano.
• Perché un anche, denotare un = 2y.
• Quindi un² = 4 y² = 2 B².
• B² = 2 y², quindi Bè pari, quindi B Anche.
• Tuttavia, è stato dimostrato che B strano. Contraddizione.

I matematici greci chiamavano questo rapporto di quantità incommensurabili alogos(inesprimibile), ma secondo le leggende, Ippaso non riceveva il dovuto rispetto. C'è una leggenda secondo cui Ippaso fece la scoperta durante un viaggio per mare e fu gettato in mare da altri pitagorici "per aver creato un elemento dell'universo, che nega la dottrina secondo cui tutte le entità nell'universo possono essere ridotte a numeri interi e ai loro rapporti. " La scoperta di Ippaso ha posto un serio problema per la matematica pitagorica, distruggendo l'assunto alla base dell'intera teoria secondo cui i numeri e gli oggetti geometrici sono uno e inseparabile.

Se polinomiale

Prova

Siano tutti i coefficienti di un polinomio interi, e l'intero a sia la radice di questo polinomio. Poiché in questo caso ne consegue che il coefficiente è divisibile per a.

Commento. Questo teorema in realtà ti permette di trovare le radici dei polinomi gradi superiori nel caso in cui i coefficienti di questi polinomi siano interi e la radice sia un numero razionale. Il teorema può essere riformulato come segue: se sappiamo che i coefficienti di un polinomio sono interi e le sue radici sono razionali, allora queste radici razionali possono essere solo della forma in cui p è un divisore di un numero (termine libero), e il numero q è un divisore di un numero (coefficiente più alto) .

Teorema della radice intera, contenente

Se un intero α è la radice di un polinomio con coefficienti interi, allora α è un divisore del suo termine libero.

Prova. Sia:

P (x)=a 0 xⁿ +a 1 xⁿ -1 +…+a n-1 x +a n

un polinomio a coefficienti interi e un intero α è la sua radice.

Quindi, per la definizione della radice, l'uguaglianza P(α)=0;

a 0 αⁿ+a 1 αⁿ -1 +…+a n-1 α +a n =0.

Escludendo tra parentesi il fattore comune α, otteniamo l'uguaglianza:

α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)+a n =0 , dove

a n = -α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)

Poiché i numeri a 0 , a 1 ,…a n-1 , an e α sono interi, allora c'è un intero nella parentesi e, quindi, a n è divisibile per α, che doveva essere dimostrato.

Il teorema dimostrato può anche essere formulato come segue: ogni radice intera di un polinomio a coefficienti interi è un divisore del suo termine libero.
L'algoritmo per trovare le radici intere di un polinomio con coefficienti interi si basa sul teorema: scrivi tutti i divisori del termine libero e scrivi a turno i valori dei polinomi di questi numeri.

2.Teorema addizionale sulle radici intere

Se un intero α è una radice di un polinomio P(x) a coefficienti interi, allora α-1 è un divisore del numero P(1), α+1 è un divisore del numero P(-1)

Prova. Dall'identità

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+…+ xyⁿ -2 +yⁿ -1)

ne consegue che per gli interi b e c il numero bⁿ-cⁿ è divisibile per b∙c. Ma per ogni polinomio P la differenza

P (b)-P(c)= (a 0 bⁿ+a 1 bⁿ -1 +…+a n-1 b+an)-(a 0 cⁿ+a 1 cⁿ -1 +…+a n-1 c +an)=

=a 0 (bⁿ- cⁿ)+a 1 (bⁿ -1 -cⁿ -1)+…+a n-1 (b-c)

e quindi per un polinomio P a coefficienti interi e interi b e c, la differenza P(b)-P(c) è divisibile per b-c.

Allora: per b = α , с=1, P (α)-P (1)= -P(1), il che significa che P(1) è divisibile per α-1. Il secondo caso è considerato in modo simile.

Lo schema di Horner

Teorema: Sia la frazione irriducibile p/q la radice dell'equazione a 0 x n +a 1 x n - 1 + +a n - 1 x+a n =0 con coefficienti interi, quindi il numero Q è un divisore del coefficiente direttivo a0 e il numero R è un divisore del termine libero a n .

Nota 1. Qualsiasi radice intera di un'equazione con coefficienti interi è un divisore del suo termine libero.

Nota 2.Se il coefficiente principale di un'equazione con coefficienti interi è uguale a 1, allora tutte le radici razionali, se esistono, sono interi.

Radice polinomiale. La radice del polinomio f(x)= a 0 x n +a 1 x n - 1 + +a n - 1 x+a n è un x = c , tale che F (c)=0 .

Osservazione 3. Se x = c radice polinomiale , allora il polinomio può essere scritto come: f(x)=(x−c)q(x) , dove è il quoziente della divisione del polinomio f(x) in un monomio x-c

La divisione di un polinomio per un monomio può essere eseguita secondo lo schema di Horner:

Se f(x)=a 0 x n +a 1 x n - 1 + +a n - 1 x+a n , a0 ≠0 , g(x)=x-c , quindi durante la divisione F (X) sul G (X) privato q(x) ha la forma q(x)=b 0 x n − 1 +b 1 x n − 2 + +b n−2 x+b n−1 , dove b 0 = a 0 ,

b k =c b k - 1 + un k , k=1, 2, ,n−1. Resto R si trova secondo la formula r=c b n - 1 + un n

Soluzione: Il coefficiente al grado più alto è 1, quindi le radici intere dell'equazione vanno ricercate tra i divisori del termine libero: 1; 2; 3; 4; 6; 12. utilizzando lo schema di Horner, troviamo le radici intere dell'equazione:

Se viene selezionata una radice secondo lo schema di Horner. allora puoi decidere così x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x−3)=0 x=2;x=3

Questo polinomio ha coefficienti interi. Se un intero è la radice di questo polinomio, allora è un divisore di 16. Quindi, se il polinomio dato ha radici intere, allora questi possono essere solo numeri ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Mediante verifica diretta, ci assicuriamo che il numero 2 sia la radice di questo polinomio, ovvero x 3 - 5x 2 - 2x + 16 \u003d (x - 2)Q (x), dove Q (x) è un polinomio di secondo grado. Pertanto, il polinomio viene fattorizzato, uno dei quali è (x - 2) . Per cercare il tipo di polinomio Q (x), utilizziamo il cosiddetto schema di Horner. Il principale vantaggio di questo metodo è la compattezza della notazione e la capacità di dividere rapidamente un polinomio in un binomio. In effetti, lo schema di Horner è un'altra forma di registrazione del metodo di raggruppamento, sebbene, a differenza di quest'ultimo, sia del tutto non descrittivo. La risposta (fattorizzazione) qui risulta da sola e non vediamo il processo stesso per ottenerla. Non tratteremo una giustificazione rigorosa dello schema di Horner, ma mostreremo solo come funziona.

	1	−5	−2	16
2	1	−3	−8	0

In una tabella rettangolare 2 × (n + 2), dove n è il grado del polinomio, (vedi figura), i coefficienti del polinomio sono scritti in una riga nella riga in alto (l'angolo in alto a sinistra è lasciato libero) . Un numero è scritto nell'angolo in basso a sinistra - la radice del polinomio (o il numero x 0 se vogliamo dividere per un binomio (x - x 0)), nel nostro esempio questo è il numero 2. Quindi l'intero fondo riga della tabella viene compilata secondo la regola seguente.

Il numero della cella sopra di esso, ovvero 1, viene "demolito" nella seconda cella della riga inferiore, quindi lo fanno. La radice dell'equazione (numero 2) viene moltiplicata per l'ultimo numero scritto (1) e il risultato viene aggiunto al numero che si trova nella riga in alto sopra la successiva cella libera, nel nostro esempio abbiamo:

Scriviamo il risultato in una cella libera sotto -2. Procediamo allo stesso modo:
Il grado del polinomio ottenuto per divisione è sempre 1 minore del grado dell'originario. Così:

Eccetera. è di natura generale e Grande importanza per studiare l'INTERO corso matematica superiore. Oggi ripeteremo le equazioni della "scuola", ma non solo quelle della "scuola", ma quelle che si trovano ovunque in vari compiti del vyshmat. Come al solito, la storia andrà in modo applicato, ad es. Non mi concentrerò su definizioni, classificazioni, ma condividerò esattamente con voi esperienza personale soluzioni. Le informazioni sono destinate principalmente ai principianti, ma i lettori più preparati troveranno anche molti spunti interessanti per se stessi. E ovviamente ci sarà nuovo materiale, fuori portata Scuola superiore.

Quindi l'equazione... Molte persone ricordano questa parola con un brivido. Quali sono le equazioni "fantasiose" con le radici... ...dimenticale! Perché ulteriormente incontrerai i "rappresentanti" più innocui di questa specie. O noioso equazioni trigonometriche con decine di soluzioni. Sinceramente neanche a me sono piaciuti... Niente panico! - quindi sei atteso principalmente dai "tarassaco" con una soluzione ovvia in 1-2 passaggi. Anche se la "bardana", ovviamente, si aggrappa, qui devi essere obiettivo.

Stranamente, nella matematica superiore è molto più comune avere a che fare con equazioni molto primitive come lineare equazioni.

Cosa significa risolvere questa equazione? Ciò significa - trovare TALE valore di "x" (radice), che lo trasforma in una vera uguaglianza. Capovolgiamo la "troika" a destra con un cambio di segno:

e rilascia i "due" sul lato destro (o, la stessa cosa: moltiplica entrambe le parti per) :

Per verificare, sostituiamo il trofeo vinto nell'equazione originale:

Si ottiene l'uguaglianza corretta, il che significa che il valore trovato è effettivamente la radice data equazione. O, come si suol dire, soddisfa questa equazione.

Nota che la radice può anche essere scritta come frazione decimale:
E cerca di non attenerti a questo brutto stile! Il motivo l'ho ripetuto molte volte, in particolare alla prima lezione su algebra superiore.

A proposito, l'equazione può anche essere risolta "in arabo":

E la cosa più interessante: questo record è completamente legale! Ma se non sei un insegnante, allora è meglio non farlo, perché l'originalità è punibile qui =)

E ora un po '

metodo di soluzione grafica

L'equazione ha la forma e la sua radice è Coordinata "x". punti di intersezione grafico della funzione lineare con grafico della funzione lineare (asse delle ascisse):

Sembrerebbe che l'esempio sia così elementare che non c'è nient'altro da analizzare qui, ma un'altra sfumatura inaspettata può essere "spremuta" fuori da esso: rappresentiamo la stessa equazione nella forma e tracciamo i grafici delle funzioni:

in cui, per favore non confondere i due: un'equazione è un'equazione, e funzioneè una funzione! Funzioni solo aiuto trova le radici dell'equazione. Di cui possono essercene due, tre, quattro e anche infiniti. L'esempio più vicino in questo senso è che tutti lo sanno equazione quadrata, al cui algoritmo di soluzione è stato assegnato un elemento separato formule scolastiche "calde".. E questo non è un caso! Se riesci a risolvere un'equazione quadratica e lo sai il teorema di Pitagora, allora, si potrebbe dire, “il pavimento della matematica superiore è già in tasca” =) Esagerato, certo, ma non così lontano dalla verità!

E quindi, non siamo troppo pigri e risolviamo alcune equazioni di secondo grado algoritmo standard:

, quindi l'equazione ha due differenti valido radice:

È facile verificare che entrambi i valori trovati soddisfino davvero questa equazione:

Cosa fare se all'improvviso hai dimenticato l'algoritmo della soluzione e non ci sono strumenti/aiuti a portata di mano? Una situazione del genere può verificarsi, ad esempio, durante un test o un esame. Usiamo il metodo grafico! E ci sono due modi: puoi costruire a punti parabola , scoprendo così dove interseca l'asse (se si incrocia affatto). Ma è meglio agire in modo più astuto: presentiamo l'equazione nella forma, disegniamo grafici di funzioni più semplici e Coordinate "x". i loro punti di intersezione, a colpo d'occhio!


Se risulta che la linea tocca la parabola, l'equazione ha due radici (multiple) coincidenti. Se si scopre che la linea non interseca la parabola, non ci sono vere radici.

Per fare questo, ovviamente, devi essere in grado di costruire grafici di funzioni elementari, ma d'altra parte, queste abilità sono alla portata anche di uno scolaro.

E ancora: un'equazione è un'equazione e le funzioni sono funzioni che solo aiutato risolvi l'equazione!

E qui, tra l'altro, sarebbe opportuno ricordare ancora una cosa: se tutti i coefficienti dell'equazione vengono moltiplicati per un numero diverso da zero, le sue radici non cambieranno.

Quindi, per esempio, l'equazione ha le stesse radici. Come la "prova" più semplice, prenderò la costante tra parentesi:
e rimuoverlo indolore (Divido entrambe le parti in "meno due"):

MA! Se consideriamo la funzione , qui è già impossibile sbarazzarsi della costante! È possibile solo togliere il moltiplicatore da parentesi: .

Molti sottovalutano il metodo della soluzione grafica, considerandolo qualcosa di "non dignitoso", e alcuni addirittura dimenticano completamente questa possibilità. E questo è fondamentalmente sbagliato, perché la trama a volte salva solo la giornata!

Un altro esempio: supponiamo di non ricordare le radici della più semplice equazione trigonometrica:. La formula generale è nei libri di testo scolastici, in tutti i libri di riferimento sulla matematica elementare, ma non sono disponibili per te. Tuttavia, risolvere l'equazione è fondamentale (altrimenti "due"). C'è un'uscita! - costruiamo grafici di funzioni:


dopodiché scriviamo con calma le coordinate "x" dei loro punti di intersezione:

Ci sono infinite radici e la loro notazione piegata è accettata in algebra:
, dove ( – insieme di numeri interi) .

E, senza "allontanarsi dalla cassa", qualche parola sul metodo grafico per risolvere le disuguaglianze con una variabile. Il principio è lo stesso. Quindi, ad esempio, qualsiasi "x" è la soluzione alla disuguaglianza, perché la sinusoide giace quasi interamente sotto la retta. La soluzione alla disuguaglianza è l'insieme di intervalli su cui i pezzi della sinusoide giacciono rigorosamente al di sopra della retta (ascissa):

o, in breve:

Ed ecco l'insieme delle soluzioni alla disuguaglianza - vuoto, poiché nessun punto della sinusoide si trova al di sopra della retta.

Qualcosa non è chiaro? Studia urgentemente le lezioni su imposta e grafici delle funzioni!

Riscaldamento:

Esercizio 1

Risolvi graficamente le seguenti equazioni trigonometriche:

Risposte a fine lezione

Come puoi vedere, per studiare le scienze esatte, non è affatto necessario stipare formule e libri di riferimento! Inoltre, questo è un approccio fondamentalmente vizioso.

Come ti ho già rassicurato all'inizio della lezione, le complesse equazioni trigonometriche nel corso standard di matematica superiore devono essere risolte molto raramente. Tutta la complessità, di regola, termina con equazioni come , la cui soluzione è costituita da due gruppi di radici, derivati ​​dalle equazioni più semplici e . Non preoccuparti troppo della soluzione di quest'ultimo: cerca in un libro o trovalo su Internet =)

Il metodo grafico di risoluzione può aiutare anche nei casi meno banali. Si consideri, ad esempio, la seguente equazione "eterogenea":

Le prospettive per la sua soluzione sembrano ... non guardano affatto, ma basta presentare l'equazione nella forma, costruire grafici delle funzioni e tutto sarà incredibilmente semplice. Il disegno è nel mezzo dell'articolo su funzioni infinitesime (si apre nella scheda successiva).

Usando lo stesso metodo grafico, puoi scoprire che l'equazione ha già due radici e una di esse è uguale a zero e l'altra, apparentemente, irrazionale e appartiene al segmento. Questa radice può essere calcolata approssimativamente, ad esempio, metodo tangente. A proposito, in alcuni compiti capita che non sia necessario trovare le radici, ma scoprirlo esistono affatto. E anche qui un disegno può aiutare: se i grafici non si intersecano, non ci sono radici.

Radici razionali di polinomi a coefficienti interi.
Lo schema di Horner

E ora ti suggerisco di volgere lo sguardo al Medioevo e di sentire l'atmosfera unica dell'algebra classica. Per una migliore comprensione del materiale, consiglio almeno una piccola dimestichezza con numeri complessi.

Sono i più. Polinomi.

L'oggetto di nostro interesse saranno i polinomi più comuni della forma con totale coefficienti. Numero naturale chiamata grado polinomiale, numero - coefficiente al massimo grado (o solo il coefficiente più alto), e il coefficiente è membro libero.

Indicherò questo polinomio piegato per .

Radici polinomiali chiamate radici dell'equazione

Adoro la logica del ferro =)

Ad esempio, andiamo all'inizio dell'articolo:

Non ci sono problemi nel trovare le radici dei polinomi di 1° e 2° grado, ma man mano che si aumenta questo compito diventa sempre più difficile. Ma d'altra parte, tutto è più interessante! Ed è a questo che sarà dedicata la seconda parte della lezione.

Primo, letteralmente mezzo schermo di teoria:

1) Secondo il corollario teorema fondamentale dell'algebra, il polinomio di grado ha esattamente integrato radici. Alcune radici (o anche tutte) possono essere in particolare valido. Inoltre, tra le vere radici possono esserci radici identiche (multiple). (minimo due, massimo pezzi).

Se un numero complesso è una radice di un polinomio, allora coniugare il suo numero è anche necessariamente la radice di questo polinomio (coniugato radici complesse assomigliare ).

L'esempio più semplice è l'equazione quadratica, che è stata incontrata per la prima volta in 8 (piace) classe, e che alla fine abbiamo "finito" nell'argomento numeri complessi. Ti ricordo: un'equazione quadratica ha due radici reali diverse, o radici multiple, o radici complesse coniugate.

2) Da Teoremi di Bezout ne consegue che se il numero è la radice dell'equazione, allora il polinomio corrispondente può essere fattorizzato:
, dove è un polinomio di grado .

E ancora, il nostro vecchio esempio: poiché è la radice dell'equazione , allora . Dopodiché, è facile ottenere la famosa scomposizione "scuola".

La conseguenza del teorema di Bezout è di grande valore pratico: se conosciamo la radice dell'equazione di 3° grado, allora possiamo rappresentarla nella forma e da equazione quadrataè facile riconoscere il resto delle radici. Se conosciamo la radice dell'equazione di 4° grado, è possibile espandere il lato sinistro in un prodotto, ecc.

E ci sono due domande qui:

Domanda uno. Come trovare questa radice? Definiamo innanzitutto la sua natura: in molti problemi di matematica superiore è necessario trovare razionale, in particolare totale le radici dei polinomi, ea questo proposito, inoltre, ci interesseremo principalmente a loro.... …sono così buoni, così soffici, che vorresti trovarli! =)

La prima cosa che si suggerisce è il metodo di selezione. Si consideri, ad esempio, l'equazione . Il problema qui è nel termine libero - se fosse uguale a zero, allora tutto sarebbe traforato - mettiamo la "x" tra parentesi e le radici stesse "cadono" in superficie:

Ma il nostro termine libero è uguale al "tre", e quindi iniziamo a sostituire nell'equazione vari numeri, rivendicando il titolo di "radice". Innanzitutto si suggerisce la sostituzione dei singoli valori. Sostituire :

Ricevuto errato uguaglianza, quindi, l'unità "non si adattava". Ok, inseriamolo:

Ricevuto corretta uguaglianza! Cioè, il valore è la radice di questa equazione.

Per trovare le radici di un polinomio di 3° grado, esiste un metodo analitico (le cosiddette formule Cardano), ma ora siamo interessati a un problema leggermente diverso.

Poiché - è la radice del nostro polinomio, allora il polinomio può essere rappresentato nella forma e sorge Seconda domanda: come trovare il "fratello minore"?

Le considerazioni algebriche più semplici suggeriscono che per questo è necessario dividere per. Come dividere un polinomio per un polinomio? Lo stesso metodo scolastico che divide i numeri ordinari: una "colonna"! Questo metodo Ho analizzato in dettaglio nei primi esempi della lezione Limiti complessi, e ora considereremo un altro metodo, chiamato Lo schema di Horner.

Innanzitutto, scriviamo il polinomio "senior". con tutti , compresi i coefficienti zero:
, dopodiché inseriamo questi coefficienti (rigorosamente in ordine) nella riga superiore della tabella:

A sinistra scriviamo la radice:

Farò immediatamente una prenotazione che lo schema di Horner funzioni anche se il numero "rosso". nonè la radice del polinomio. Tuttavia, non affrettiamo le cose.

Prendiamo il coefficiente senior dall'alto:

Il processo di riempimento delle celle inferiori ricorda in qualche modo il ricamo, dove "meno uno" è una specie di "ago" che permea i passaggi successivi. Moltiplichiamo il numero "demolito" per (-1) e aggiungiamo il numero dalla cella in alto al prodotto:

Moltiplichiamo il valore trovato per "l'ago rosso" e aggiungiamo il seguente coefficiente di equazione al prodotto:

E, infine, il valore risultante viene nuovamente "elaborato" con un "ago" e un coefficiente superiore:

Zero nell'ultima cella ci dice che il polinomio è diviso in senza traccia (come dovrebbe essere), mentre i coefficienti di dilatazione vengono "rimossi" direttamente dalla riga inferiore della tabella:

Quindi, siamo passati dall'equazione a un'equazione equivalente, e tutto è chiaro con le due radici rimanenti (in questo caso si ottengono radici complesse coniugate).

L'equazione, tra l'altro, può essere risolta anche graficamente: build "cerniera" e osserva che il grafico incrocia l'asse x () al punto. O lo stesso trucco "astuto": riscriviamo l'equazione nella forma, disegniamo grafica elementare e rilevare la coordinata "x" del loro punto di intersezione.

A proposito, il grafico di qualsiasi funzione polinomiale di 3° grado incrocia l'asse almeno una volta, il che significa che l'equazione corrispondente ha almeno uno valido radice. Questo fatto è vero per qualsiasi funzione polinomiale di grado dispari.

E qui voglio fermarmi anche io punto importante per quanto riguarda la terminologia: polinomio e funzione polinomiale – non è lo stesso! Ma in pratica parlano spesso, ad esempio, del "grafo polinomiale", che, ovviamente, è negligente.

Ma torniamo al piano di Horner. Come ho detto di recente, questo schema funziona anche per altri numeri, ma se il numero nonè la radice dell'equazione, quindi nella nostra formula appare un additivo (resto) diverso da zero:

Cerchiamo di "guidare" il valore "non riuscito" secondo lo schema di Horner. Allo stesso tempo, è conveniente utilizzare la stessa tabella: scriviamo un nuovo "ago" a sinistra, demoliamo il coefficiente più alto dall'alto (freccia verde sinistra), e via:

Per verificare, apriamo le parentesi e diamo termini simili:
, OK.

È facile vedere che il resto ("sei") è esattamente il valore del polinomio in . E infatti - che cos'è:
, e ancora più bello - in questo modo:

Dai calcoli di cui sopra, è facile capire che lo schema di Horner consente non solo di fattorizzare il polinomio, ma anche di effettuare una selezione "civile" della radice. Ti suggerisco di correggere in modo indipendente l'algoritmo di calcolo con un piccolo compito:

Compito 2

Usando lo schema di Horner, trova l'intera radice dell'equazione e fattorizza il polinomio corrispondente

In altre parole, qui devi controllare in sequenza i numeri 1, -1, 2, -2, ... - fino a quando non viene "disegnato" un resto zero nell'ultima colonna. Ciò significa che l'"ago" di questa linea è la radice del polinomio

I calcoli sono comodamente organizzati in un'unica tabella. Soluzione dettagliata e la risposta alla fine della lezione.

Il metodo di selezione delle radici è buono per relativamente casi semplici, ma se i coefficienti e/o il grado del polinomio sono grandi, il processo potrebbe essere ritardato. O forse alcuni valori della stessa lista 1, -1, 2, -2 e non ha senso considerarli? E, inoltre, le radici potrebbero rivelarsi frazionarie, il che porterà a un colpo completamente non scientifico.

Fortunatamente, ci sono due potenti teoremi che possono ridurre significativamente l'enumerazione dei valori "candidati" per le radici razionali:

Teorema 1 Ritenere irriducibile frazione, dove. Se il numero è la radice dell'equazione, il termine libero è divisibile per e il coefficiente principale è divisibile per.

In particolare, se il coefficiente principale è , allora questa radice razionale è intera:

E iniziamo a sfruttare il teorema proprio da questo gustoso particolare:

Torniamo all'equazione. Poiché il suo coefficiente principale è , le ipotetiche radici razionali possono essere esclusivamente intere e il termine libero deve essere divisibile per queste radici senza resto. E i "tre" possono essere divisi solo in 1, -1, 3 e -3. Cioè, abbiamo solo 4 "candidati per le radici". E, secondo Teorema 1, altri numeri razionali non possono essere radici di questa equazione IN PRINCIPIO.

Ci sono un po' più di "richiedenti" nell'equazione: il termine libero è diviso in 1, -1, 2, -2, 4 e -4.

Si noti che i numeri 1, -1 sono "regolari" dell'elenco delle possibili radici (ovvia conseguenza del teorema) e la maggior parte la scelta migliore per il primo controllo

Passiamo ad esempi più significativi:

Compito 3

Soluzione: essendo il coefficiente direttivo , allora le ipotetiche radici razionali possono essere solo intere, mentre devono essere divisori del termine libero. "Meno quaranta" è diviso nelle seguenti coppie di numeri:
- un totale di 16 "candidati".

E qui compare subito un pensiero allettante: è possibile estirpare tutte le radici negative o tutte positive? In alcuni casi puoi! Formulerò due segni:

1) Se tutti Se i coefficienti di un polinomio non sono negativi o tutti non sono positivi, allora non può avere radici positive. Sfortunatamente, questo non è il nostro caso (Ora, se ci fosse data un'equazione - allora sì, quando la sostituzione di qualsiasi valore del polinomio è strettamente positiva, il che significa che tutto numeri positivi (e anche irrazionale) non possono essere radici dell'equazione.

2) Se i coefficienti per le potenze dispari sono non negativi, e per tutte le potenze pari (incluso membro gratuito) sono negativi, allora il polinomio non può avere radici negative. Oppure “specchio”: i coefficienti per i gradi dispari non sono positivi, per tutti quelli pari sono positivi.

Questo è il nostro caso! Guardando da vicino, puoi vedere che quando una "x" negativa viene sostituita nell'equazione, il lato sinistro sarà rigorosamente negativo, il che significa che le radici negative scompaiono

Pertanto, rimangono 8 numeri per la ricerca:

"Caricali" costantemente secondo lo schema Horner. Spero che tu abbia già imparato i calcoli mentali:

La fortuna ci stava aspettando quando abbiamo testato il "deuce". Quindi, è la radice dell'equazione in esame, e

Resta da studiare l'equazione . È facile farlo attraverso il discriminante, ma condurrò un test esponenziale allo stesso modo. Innanzitutto, nota che il termine libero è pari a 20, il che significa che secondo Teorema 1 i numeri 8 e 40 escono dall'elenco delle possibili radici e i valori rimangono per la ricerca (uno è stato eliminato secondo lo schema Horner).

Scriviamo i coefficienti del trinomio nella riga superiore della nuova tabella e iniziamo a controllare con gli stessi "due". Come mai? E poiché le radici possono essere multiple, per favore: - questa equazione ha 10 radici identiche. Ma non divaghiamo:

E qui, ovviamente, sono stato un po' furbo, sapendo che le radici sono razionali. Dopotutto, se fossero irrazionali o complessi, avrei un controllo senza successo di tutti i numeri rimanenti. Pertanto, in pratica, fatevi guidare dal discriminante.

Risposta: radici razionali: 2, 4, 5

Nel problema analizzato siamo stati fortunati, perché: a) i valori negativi sono caduti immediatamente, e b) abbiamo trovato la radice molto rapidamente (e teoricamente potremmo controllare l'intera lista).

Ma in realtà la situazione è molto peggiore. Ti invito a guardare un gioco emozionante chiamato "The Last Hero":

Compito 4

Trova le radici razionali di un'equazione

Soluzione: su Teorema 1 i numeratori di ipotetiche radici razionali devono soddisfare la condizione (leggi "dodici è divisibile per birra"), e i denominatori della condizione . Sulla base di questo, otteniamo due elenchi:

"lista el":
e "elencali": (per fortuna qui i numeri sono naturali).

Ora facciamo un elenco di tutte le possibili radici. Innanzitutto, dividiamo la "lista di birre" per . È abbastanza chiaro che gli stessi numeri risulteranno. Per comodità mettiamoli in una tabella:

Molte frazioni sono state ridotte, risultando in valori che sono già nella "lista degli eroi". Aggiungiamo solo "nuovi arrivati":

Allo stesso modo, dividiamo la stessa "lista di birre" per:

e infine via

Pertanto, il team di partecipanti al nostro gioco è composto da:


Sfortunatamente, il polinomio di questo problema non soddisfa il criterio "positivo" o "negativo", e quindi non possiamo scartare la riga superiore o inferiore. Devi lavorare con tutti i numeri.

Come è il tuo stato d'animo? Dai, alza il naso: c'è un altro teorema che può essere chiamato in senso figurato il "teorema dell'assassino" .... ... "candidati", ovviamente =)

Ma prima devi scorrere il diagramma di Horner per almeno uno il tutto numeri. Tradizionalmente, ne prendiamo uno. Nella riga superiore scriviamo i coefficienti del polinomio e tutto è come al solito:

Poiché quattro è chiaramente diverso da zero, il valore non è la radice del polinomio in questione. Ma lei ci aiuterà molto.

Teorema 2 Se per alcuni generalmente il valore del polinomio è diverso da zero: , quindi le sue radici razionali (se sono) soddisfare la condizione

Nel nostro caso e quindi tutte le possibili radici devono soddisfare la condizione (chiamiamola Condizione #1). Questi quattro saranno i "killer" di molti "candidati". A titolo dimostrativo, darò un'occhiata ad alcuni controlli:

Controlliamo il candidato. Per fare ciò, lo rappresentiamo artificialmente come una frazione, da cui si vede chiaramente che. Calcoliamo la differenza di controllo: . Quattro è diviso per "meno due": il che significa che la possibile radice ha superato il test.

Controlliamo il valore. Qui, la differenza del test è: . Naturalmente, e quindi anche la seconda "materia di prova" rimane nell'elenco.

La questione della ricerca delle radici razionali di un polinomio F(X)Q[X] (con coefficienti razionali) si riduce alla questione di trovare le radici razionali dei polinomi K ∙ F(X)Z[X] (con coefficienti interi). Qui il numero Kè il minimo comune multiplo dei coefficienti del polinomio dato.

Necessario ma non condizioni sufficienti l'esistenza di radici razionali di un polinomio a coefficienti interi è data dal seguente teorema.

Teorema 6.1 (sulle radici razionali di un polinomio a coefficienti interi). Se – radice razionale di un polinomioF(X) = un n  X n + + …+ un 1  X + un 0 da totale coefficienti, e(P, Q) = 1, quindi il numeratore della frazionePè un divisore del termine libero a 0 , e il denominatoreQè il divisore del coefficiente direttivo a 0 .

Teorema 6.2.Se Q ( dove (P, Q) = 1) è una radice razionale del polinomio F(X) con coefficienti interi, quindi
–numeri interi.

Esempio. Trova tutte le radici razionali di un polinomio

F(X) = 6 X 4 + X 3 + 2 X 2 – 4 x+ 1.

1. Per il Teorema 6.1: se – radice razionale di un polinomio F(X), ( dove( P, Q) = 1), poi un 0 = 1 P, un n = 6 Q. Ecco perché P { 1}, Q (1, 2, 3, 6), così

.

2. È noto che (Corollario 5.3) il numero maè la radice del polinomio F(X) se e solo se F(X) diviso per ( x - a).

Pertanto, per verificare se i numeri 1 e -1 sono le radici del polinomio F(X) puoi usare lo schema di Horner:

F(1) = 60,F(–1) = 120, quindi 1 e -1 non sono radici del polinomio F(X).

3. Per eliminare alcuni dei numeri rimanenti
, utilizziamo il Teorema 6.2. Se espressioni o
prende valori interi per i corrispondenti valori del numeratore P e denominatore Q, quindi nelle celle corrispondenti della tabella (vedi sotto) scriveremo la lettera "c", altrimenti - "dr".

=
=

4. Utilizzando lo schema di Horner, controlliamo se i numeri rimanenti dopo la vagliatura saranno
radici F(X). Prima dividi F(X) sul ( X – ).

Di conseguenza abbiamo: F(X) = (X – )(6 X 3 + 4 X 2 + 4 X - 2) e - radice F(X). Privato Q(X) = 6 X 3 + 4 X 2 + 4 X - 2 dividere per ( X + ).

Perché Q (–) = 30, allora (-) non è una radice del polinomio Q(X), e quindi il polinomio F(X).

Infine, dividiamo il polinomio Q(X) = 6 X 3 + 4 X 2 + + 4 X - 2 su ( X – ).

Ricevuto: Q () = 0, cioè la radice Q(X), il che significa che la radice F (X). Quindi il polinomio F (X) ha due radici razionali: e.

Esenzione dall'irrazionalità algebrica al denominatore di una frazione

In un corso scolastico, quando si risolvono alcuni tipi di problemi per liberarsi dall'irrazionalità al denominatore di una frazione, basta moltiplicare numeratore e denominatore della frazione per il numero coniugato al denominatore.

Esempi. 1.T =
.

Qui, la formula di moltiplicazione abbreviata (differenza di quadrati) funziona al denominatore, il che consente di eliminare l'irrazionalità nel denominatore.

2. Sbarazzati dell'irrazionalità nel denominatore di una frazione

T =
. Espressione: quadrato incompleto della differenza di numeri ma=
e B= 1. Usando la formula di moltiplicazione ridotta ma 3 – B 3 = (un +B) · ( un 2 – ab + B 2 ), possiamo definire il moltiplicatore m = (un +B) =
+ 1, per cui si devono moltiplicare numeratore e denominatore della frazione T per sbarazzarsi dell'irrazionalità nel denominatore della frazione T. In questo modo,

In situazioni in cui le formule di moltiplicazione ridotte non funzionano, è possibile utilizzare altri trucchi. Di seguito formuleremo un teorema, la cui dimostrazione, in particolare, ci permette di trovare un algoritmo per eliminare l'irrazionalità al denominatore di una frazione in situazioni più complesse.

Definizione 6.1. Numero z chiamata algebrica su un campo F se esiste un polinomio F(X) F[X], la cui radice è z, altrimenti il ​​numero z chiamata trascendente sul campoF.

Definizione 6.2.Laurea algebrica su campo F numeri zè il grado dell'irriducibile sul campo F polinomio P(X)F[X], la cui radice è il numero z.

Esempio. Mostriamo che il numero z =
è algebrica sul campo Q e trova il suo grado.

Troviamo l'irriducibile sul campo Q polinomio P(X), la cui radice è X =
. Solleviamo entrambi i lati dell'uguaglianza X =
alla quarta potenza, otteniamo X 4 = 2 o X 4 – 2 = 0. Quindi, P(X) = X 4 – 2, e la potenza del numero zè uguale a gradi P(X) = 4.

Teorema 6.3 (sulla liberazione dall'irrazionalità algebrica al denominatore di una frazione).Lascia starezè un numero algebrico su un campoFgradin. Espressione della formaT = ,dove F(X), (X)F[X], (z) 0

può essere rappresentato solo nella forma:

T = da n -1 z n -1 + C n -2 z n -2 + … + C 1 z + C 0 , C io F.

Dimostreremo l'algoritmo per eliminare l'irrazionalità nel denominatore di una frazione utilizzando un esempio specifico.

Esempio. Sbarazzati dell'irrazionalità al denominatore di una frazione:

T =

1. Il denominatore della frazione è il valore del polinomio (X) = X 2 – X+1 quando X =
. L'esempio precedente lo mostra
è un numero algebrico su un campo Q grado 4, poiché è la radice di un over irriducibile Q polinomio P(X) = X 4 – 2.

2. Trova l'espansione lineare di gcd ( (X), P(X)) utilizzando l'algoritmo di Euclide.

_ X 4 – 2 | X 2 - X + 1

X 4 - X 3 + x 2 X 2 + x = q 1 (X)

_ X 3 - X 2 – 2

X 3 - X 2 + x

X 2 - X + 1 | – X –2 = R 1 (X )

X 2 + 2 X – x + 3 = Q 2 (X)

_–3X+ 1

–3 X – 6

_ – X –2 |7 = R 2

– X –2 -X - =Q 3 (X)

Quindi, NOD ( (X), P(X)) = R 2 = 7. Trova la sua espansione lineare.

Scriviamo la successione di Euclide usando la notazione dei polinomi.

P(X) = (X) · Q 1 (X) + R 1 (X)
R 1 (X) =P(X) – (X) · Q 1 (X)

(X) = R 1 (X) · Q 2 (X) + R 2 (X)
R 2 (X) = (X) – R 1 (X) · Q 2 (X)

R 1 (X) = R 2 (X) · Q 2 (X).

Sostituisci nell'equazione 7= R 2 (X) = (X) – R 1 (X) · Q 2 (X) valore residuo R 1 (X) = P(X) – (X) · Q 1 (X), dopo le trasformazioni otteniamo un'espansione lineare di gcd( (X), P(X)): 7 = P(X) · (– Q 2 (X)) + (X). Se sostituiamo i polinomi corrispondenti nell'ultima uguaglianza invece della notazione e ne teniamo conto P(
) = 0, allora abbiamo:

(1 –
+
) · (–
+ 2
+ 3
+ 1)] = 7 (1)

3. Dall'uguaglianza (1) segue che se il denominatore della frazione T moltiplicare per numero m= , allora otteniamo 7. Quindi,

T =
=.

METODO 16. Argomento della lezione: Forma standard di un polinomio

Tipo di lezione: lezione di verifica e controllo delle conoscenze e abilità

Obiettivi della lezione:

Testare la capacità di portare un polinomio in una forma standard

Sviluppa il pensiero logico e l'attenzione degli studenti

Coltiva l'indipendenza

Struttura della lezione:

Organizzare il tempo

riunione

Lavoro indipendente.

1. Completa le frasi:

a) Un'espressione contenente la somma dei monomi si chiama ... (polinomio).

b) Un polinomio costituito da monomi standard e non contenente termini simili è chiamato ... (polinomio standard).

c) Il più grande dei gradi dei monomi compresi nel polinomio della forma standard si chiama ... (il grado del polinomio).

d) Prima di determinare il grado di un polinomio, è necessario ... (portarlo in una forma standard).

e) Per trovare il valore di un polinomio, devi fare il primo ... (rappresentare il polinomio in modulo standard), il secondo ... (sostituisci il valore della variabile in questa espressione).

2. Trova il valore del polinomio:

ma) 2 un 4 - ab+2 B 2 a un=-1, B=-0,5

B) X 2 +2 xy+ y 2 a X=1,2, y=-1,2

3. Portare il polinomio alla forma standard:

ma) -5ah 2 + 7a 2 x + 2a 2 x + 9ax 2 – 4ah 2 – 8 bis 2 X;

B) (5x 2 - 7x - 13) - (3x 2 - 8x + 17);

in) 2a - (1.4av + 2a 2 - 1) + (3a + 6.4av);

G) (2s 2 - 1.6s + 4) - ((10.6s 2 + 4.4s - 0.3) - (3.6s 2 - 7s - 0,7));

4. Porta il polinomio in forma standard e scopri per quali valori X il suo valore è 1:

ma) 2 X 2 -3 X- X 2 -5+2 X- X 2 +10;

B) 0,3 X 3 - X 2 + X- X 3 +3 X 2 +0,7 X 3 -2 X 2 +0,07

Biglietto numero 17.Divisibilità degli interi