Proprietà dell'altezza di un rettangolo. Triangolo rettangolo

(ABC) e le sue proprietà, che è mostrata nella figura. Triangolo rettangolo ha un'ipotenusa, il lato opposto angolo retto.

Suggerimento 1: come trovare l'altezza in un triangolo rettangolo

I lati che formano un angolo retto sono chiamati gambe. Disegno laterale AD, DC e BD, DC- gambe e fianchi corrente alternata e SW- ipotenusa.

Teorema 1. In un triangolo rettangolo con un angolo di 30°, la gamba opposta a questo angolo si lacera a metà dell'ipotenusa.

AB- ipotenusa;

ANNO DOMINI e DB

Triangolo
C'è un teorema:
sistema di commento CACKLe

Soluzione: 1) Le diagonali di ogni rettangolo sono uguali Vero 2) Se c'è un angolo acuto in un triangolo, allora questo triangolo è ad angolo acuto. Non vero. Tipi di triangoli. Un triangolo si dice ad angolo acuto se tutti e tre i suoi angoli sono acuti, cioè inferiori a 90° 3) Se il punto giace.

Oppure, in un altro post,

Secondo il teorema di Pitagora

Qual è l'altezza in una formula del triangolo rettangolo

Altezza di un triangolo rettangolo

L'altezza di un triangolo rettangolo disegnato sull'ipotenusa può essere trovata in un modo o nell'altro, a seconda dei dati nella dichiarazione del problema.

Oppure, in un altro post,

Dove BK e KC sono le proiezioni delle gambe sull'ipotenusa (i segmenti in cui l'altitudine divide l'ipotenusa).

L'altitudine disegnata per l'ipotenusa può essere trovata attraverso l'area di un triangolo rettangolo. Se applichiamo la formula per trovare l'area di un triangolo

(metà del prodotto di un lato per l'altezza tracciata da questo lato) all'ipotenusa e l'altezza tracciata all'ipotenusa, otteniamo:

Da qui possiamo trovare l'altezza come rapporto tra il doppio dell'area del triangolo e la lunghezza dell'ipotenusa:

Poiché l'area di un triangolo rettangolo è la metà del prodotto delle gambe:

Cioè, la lunghezza dell'altezza disegnata sull'ipotenusa è uguale al rapporto tra il prodotto delle gambe e l'ipotenusa. Se indichiamo le lunghezze delle gambe con aeb, la lunghezza dell'ipotenusa con c, la formula può essere riscritta come

Poiché il raggio di una circonferenza circoscritta ad un triangolo rettangolo è uguale alla metà dell'ipotenusa, la lunghezza dell'altezza può essere espressa in termini di gambe e raggio della circonferenza circoscritta:

Poiché l'altezza disegnata sull'ipotenusa forma altri due triangoli rettangoli, la sua lunghezza può essere trovata attraverso i rapporti nel triangolo rettangolo.

Dal triangolo rettangolo ABK

Dal triangolo rettangolo ACK

La lunghezza dell'altezza di un triangolo rettangolo può essere espressa in termini di lunghezze delle gambe. Perché

Secondo il teorema di Pitagora

Se rendiamo al quadrato entrambi i membri dell'equazione:

Puoi ottenere un'altra formula per mettere in relazione l'altezza di un triangolo rettangolo con le gambe:

Qual è l'altezza in una formula del triangolo rettangolo

Triangolo rettangolo. Livello medio.

Vuoi mettere alla prova la tua forza e scoprire il risultato di quanto sei pronto per l'esame di stato unificato o l'OGE?

Il principale teorema del triangolo rettangolo è il teorema di Pitagora.

teorema di Pitagora

A proposito, ti ricordi bene cosa sono le gambe e l'ipotenusa? In caso contrario, guarda l'immagine: aggiorna le tue conoscenze

È possibile che tu abbia già usato il teorema di Pitagora molte volte, ma ti sei mai chiesto perché un tale teorema sia vero. Come lo proveresti? Facciamo come gli antichi greci. Disegniamo un quadrato con un lato.

Vedi come abbiamo abilmente diviso i suoi lati in segmenti di lunghezza e!

Ora colleghiamo i punti contrassegnati

Qui, tuttavia, abbiamo notato qualcos'altro, ma tu stesso guardi l'immagine e pensi al perché.

Qual è l'area del quadrato più grande? Destra, . E l'area più piccola? Certamente, . Rimane l'area totale dei quattro angoli. Immagina di prenderne due e di appoggiarci l'uno all'altro con le ipotenuse. Quello che è successo? Due rettangoli. Quindi, l'area delle "talee" è uguale.

Mettiamo tutto insieme ora.

Così abbiamo visitato Pitagora - abbiamo dimostrato il suo teorema in modo antico.

Triangolo rettangolo e trigonometria

Per un triangolo rettangolo valgono le seguenti relazioni:

Il seno di un angolo acuto è uguale al rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa

Il coseno di un angolo acuto è uguale al rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa.

La tangente di un angolo acuto è uguale al rapporto tra la gamba opposta e la gamba adiacente.

La cotangente di un angolo acuto è uguale al rapporto tra la gamba adiacente e la gamba opposta.

E ancora una volta, tutto questo sotto forma di piatto:

Hai notato una cosa molto utile? Osserva attentamente il piatto.

È molto conveniente!

Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli

II. Per gamba e ipotenusa

III. Per ipotenusa e angolo acuto

IV. Lungo la gamba e angolo acuto

Attenzione! Qui è molto importante che le gambe siano "corrispondenti". Ad esempio, se va così:

ALLORA I TRIANGOLI NON SONO UGUALI, nonostante abbiano un angolo acuto identico.

Bisogno di In entrambi i triangoli, la gamba era adiacente, o in entrambi - opposta.

Hai notato come i segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli differiscano dai soliti segni di uguaglianza dei triangoli? Dai un'occhiata all'argomento "Triangolo" e presta attenzione al fatto che per l'uguaglianza dei triangoli "ordinari", è necessaria l'uguaglianza dei loro tre elementi: due lati e un angolo tra loro, due angoli e un lato tra di loro, o tre lati. Ma per l'uguaglianza dei triangoli rettangoli bastano solo due elementi corrispondenti. È fantastico, vero?

Approssimativamente la stessa situazione con segni di somiglianza di triangoli rettangoli.

Segni di somiglianza di triangoli rettangoli

III. Per gamba e ipotenusa

Mediana in un triangolo rettangolo

Considera un intero rettangolo invece di un triangolo rettangolo.

Disegna una diagonale e considera il punto in cui le diagonali si intersecano. Cosa sai delle diagonali di un rettangolo?

Biseca del punto di intersezione diagonale Le diagonali sono uguali

E cosa ne consegue?

Così è successo

Ricorda questo fatto! Aiuta molto!

Ciò che è ancora più sorprendente è che è vero anche il contrario.

Che bene si può ricavare dal fatto che la mediana attratta dall'ipotenusa è uguale alla metà dell'ipotenusa? Diamo un'occhiata alla foto

Guarda da vicino. Abbiamo: , cioè le distanze dal punto a tutti e tre i vertici del triangolo sono risultate uguali. Ma in un triangolo c'è un solo punto, le distanze da cui circa tutti e tre i vertici del triangolo sono uguali, e questo è il CENTRO DEL CIRCO DEscritto. Allora, cos'è successo?

Quindi iniziamo con questo "inoltre. ".

Ma in triangoli simili tutti gli angoli sono uguali!

Lo stesso si può dire di e

Ora disegniamolo insieme:

Entrambi hanno gli stessi spigoli vivi!

Che utilità si può trarre da questa "tripla" somiglianza.

Bene, per esempio - Due formule per l'altezza di un triangolo rettangolo.

Scriviamo i rapporti delle parti corrispondenti:

Per trovare l'altezza, risolviamo la proporzione e otteniamo La prima formula "Altezza in un triangolo rettangolo":

Come ottenerne un secondo?

E ora applichiamo la somiglianza dei triangoli e.

Quindi, applichiamo la somiglianza: .

Cosa accadrà ora?

Di nuovo risolviamo la proporzione e otteniamo la seconda formula "Altezza in un triangolo rettangolo":

Entrambe queste formule vanno ricordate molto bene e quella più comoda da applicare. Scriviamoli di nuovo.

Bene, ora, applicando e combinando queste conoscenze con altre, risolverai qualsiasi problema con un triangolo rettangolo!

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Proprietà altezza di un triangolo rettangolo caduto nell'ipotenusa

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Proprietà di un triangolo rettangolo

Considera un triangolo rettangolo (ABC) e le sue proprietà, che è mostrata nella figura. Un triangolo rettangolo ha un'ipotenusa, il lato opposto all'angolo retto. I lati che formano un angolo retto sono chiamati gambe. Disegno laterale AD, DC e BD, DC- gambe e fianchi corrente alternata e SW- ipotenusa.

Segni di uguaglianza di un triangolo rettangolo:

Teorema 1. Se l'ipotenusa e la gamba di un triangolo rettangolo sono simili all'ipotenusa e alla gamba di un altro triangolo, allora tali triangoli sono uguali.

Teorema 2. Se due gambe di un triangolo rettangolo sono uguali a due gambe di un altro triangolo, allora tali triangoli sono congruenti.

Teorema 3. Se l'ipotenusa e l'angolo acuto di un triangolo rettangolo sono simili all'ipotenusa e all'angolo acuto di un altro triangolo, allora tali triangoli sono congruenti.

Teorema 4. Se la gamba e l'angolo acuto adiacente (opposto) di un triangolo rettangolo sono uguali alla gamba e l'angolo acuto adiacente (opposto) di un altro triangolo, allora tali triangoli sono congruenti.

Proprietà di una gamba opposta ad un angolo di 30°:

Teorema 1.

Altezza in un triangolo rettangolo

In un triangolo rettangolo con un angolo di 30°, la gamba opposta a questo angolo si strapperà a metà dell'ipotenusa.

Teorema 2. Se in un triangolo rettangolo la gamba è uguale alla metà dell'ipotenusa, allora l'angolo opposto è 30°.

Se l'altezza viene disegnata dal vertice dell'angolo retto all'ipotenusa, un tale triangolo viene diviso in due più piccoli, simili all'uscente e simili l'uno all'altro. Ne derivano le seguenti conclusioni:

L'altezza è la media geometrica (media proporzionale) dei due segmenti di ipotenusa.
Ogni gamba del triangolo è la media proporzionale all'ipotenusa e ai segmenti adiacenti.

In un triangolo rettangolo, le gambe fungono da altezze. L'ortocentro è il punto in cui le altezze del triangolo si intersecano. Coincide con la parte superiore dell'angolo retto della figura.

hC- l'altezza che esce dall'angolo retto del triangolo;

AB- ipotenusa;

ANNO DOMINI e DB- i segmenti che sono sorti dividendo l'ipotenusa per altezza.

Torna alla visualizzazione dei riferimenti sulla disciplina "Geometria"

Triangolo- questo figura geometrica, costituito da tre punti (vertici) che non sono sulla stessa retta e tre segmenti che collegano questi punti. Un triangolo rettangolo è un triangolo che ha uno degli angoli di 90° (un angolo retto).
C'è un teorema: la somma degli angoli acuti di un triangolo rettangolo è 90°.
sistema di commento CACKLe

Parole chiave: triangolo, rettangolare, gamba, ipotenusa, teorema di Pitagora, cerchio

Triangolo chiamato rettangolare se ha un angolo retto.
Un triangolo rettangolo ha due lati tra loro perpendicolari chiamati le gambe; il terzo lato è chiamato ipotenusa.

Secondo le proprietà dell'ipotenusa perpendicolare e obliqua, ciascuna delle gambe è più lunga (ma inferiore alla loro somma).
La somma di due angoli acuti di un triangolo rettangolo è uguale all'angolo retto.
Due altezze di un triangolo rettangolo coincidono con le sue gambe. Pertanto, uno dei quattro punti notevoli cade sui vertici dell'angolo retto del triangolo.
Il centro della circonferenza circoscritta di un triangolo rettangolo si trova nel punto medio dell'ipotenusa.
La mediana di un triangolo rettangolo tracciato dal vertice dell'angolo retto all'ipotenusa è il raggio del cerchio circoscritto a questo triangolo.

Considera un triangolo rettangolo arbitrario ABC e disegna un'altezza CD = hc dal vertice C del suo angolo retto.

Dividerà il triangolo dato in due triangoli rettangoli ACD e BCD; ciascuno di questi triangoli ha un angolo acuto in comune con il triangolo ABC ed è quindi simile al triangolo ABC.

Tutti e tre i triangoli ABC, ACD e BCD sono simili tra loro.

Dalla somiglianza dei triangoli si determinano le seguenti relazioni:

$$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
c = ac + bc;
$$a = \sqrt(a_(c) \cpunto c), b = \sqrt(b_(c) \cpunto c)$$;
$$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

teorema di Pitagora uno dei teoremi fondamentali della geometria euclidea, che stabilisce la relazione tra i lati di un triangolo rettangolo.

Formulazione geometrica. In un triangolo rettangolo, l'area del quadrato costruita sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sulle gambe.

Formulazione algebrica. In un triangolo rettangolo il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle gambe.
Cioè, indicando la lunghezza dell'ipotenusa del triangolo con c e le lunghezze delle gambe con a e b:
a2 + b2 = c2

Il teorema di Pitagora inverso.

Altezza di un triangolo rettangolo

Per ogni trio numeri positivi a, b e c tale che
a2 + b2 = c2,
c'è un triangolo rettangolo con le gambe aeb e l'ipotenusa c.

Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli:

lungo la gamba e l'ipotenusa;
su due gambe;
lungo la gamba e l'angolo acuto;
ipotenusa e angolo acuto.

Guarda anche:
Area del triangolo, triangolo isoscele, triangolo equilatero

Geometria. 8 Classe. Test 4. Opzione 1 .

ANNO DOMINI : CD=CD : BD Quindi CD2 = AD ∙ BD Dicono:

ANNO DOMINI : AC=AC : AB. Quindi AC2 = AB ∙ ANNO DOMINI. Dicono:

BD : BC=BC : AB. Quindi BC2 = AB ∙ BD

Risolvere problemi:

UN) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; e) 53 cm

2. L'altezza di un triangolo rettangolo disegnato sull'ipotenusa divide l'ipotenusa nei segmenti 9 e 36.

Determina la lunghezza di questa altezza.

UN) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; e) 18.

UN) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; e) 32,25.

UN) 25; B) 24; C) 27; D) 26; e) 21.

UN) 8; B) 7; C) 6; D) 5; e) 4.

8. La gamba di un triangolo rettangolo è 30.

Come trovare l'altezza in un triangolo rettangolo?

Trova la distanza dal vertice dell'angolo retto all'ipotenusa se il raggio del cerchio circoscritto a questo triangolo è 17.

UN) 17; B) 16; C) 15; D) 14; e) 12.

10.

UN) 15; B) 18; C) 20; D) 16; e) 12.

UN) 80; B) 72; C) 64; D) 81; e) 75.

12.

UN) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; e) 7.

Controlla le risposte!

G8.04.1. Segmenti proporzionali in un triangolo rettangolo

Geometria. 8 Classe. Test 4. Opzione 1 .

In Δ ABC ∠ACV = 90°. Gambe AC e BC, ipotenusa AB.

CD è l'altezza del triangolo disegnato sull'ipotenusa.

proiezione AD della gamba AC sull'ipotenusa,

Proiezione BD della gamba BC sull'ipotenusa.

L'altitudine CD divide il triangolo ABC in due triangoli simili ad esso (e tra loro): Δ ADC e Δ CDB.

Dalla proporzionalità dei lati di simili Δ ADC e Δ CDB segue:

ANNO DOMINI : CD=CD : BD

Proprietà dell'altezza di un triangolo rettangolo calato sull'ipotenusa.

Quindi CD2 = AD ∙ BD Dicono: l'altezza di un triangolo rettangolo disegnato sull'ipotenusa,è il valore proporzionale medio tra le proiezioni delle gambe sull'ipotenusa.

Dalla somiglianza di Δ ADC e Δ ACB segue:

ANNO DOMINI : AC=AC : AB. Quindi AC2 = AB ∙ ANNO DOMINI. Dicono: ogni gamba è il valore proporzionale medio tra l'intera ipotenusa e la proiezione di questa gamba sull'ipotenusa.

Allo stesso modo, dalla somiglianza di Δ CDB e Δ ACB segue:

BD : BC=BC : AB. Quindi BC2 = AB ∙ BD

Risolvere problemi:

1. Trova l'altezza di un triangolo rettangolo disegnato sull'ipotenusa se divide l'ipotenusa in segmenti di 25 cm e 81 cm.

UN) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; e) 53 cm

2. L'altezza di un triangolo rettangolo disegnato sull'ipotenusa divide l'ipotenusa nei segmenti 9 e 36. Determina la lunghezza di questa altezza.

UN) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; e) 18.

4. L'altezza di un triangolo rettangolo disegnato sull'ipotenusa è 22, la proiezione di una delle gambe è 16. Trova la proiezione dell'altra gamba.

UN) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; e) 32,25.

5. La gamba di un triangolo rettangolo è 18 e la sua proiezione sull'ipotenusa è 12. Trova l'ipotenusa.

UN) 25; B) 24; C) 27; D) 26; e) 21.

6. L'ipotenusa è 32. Trova la gamba la cui proiezione sull'ipotenusa è 2.

UN) 8; B) 7; C) 6; D) 5; e) 4.

7. L'ipotenusa di un triangolo rettangolo è 45. Trova la gamba la cui proiezione sull'ipotenusa è 9.

8. Il cateto di un triangolo rettangolo è 30. Trova la distanza dal vertice dell'angolo retto all'ipotenusa se il raggio del cerchio circoscritto a questo triangolo è 17.

UN) 17; B) 16; C) 15; D) 14; e) 12.

10. L'ipotenusa di un triangolo rettangolo è 41 e la proiezione di una delle gambe è 16. Trova la lunghezza dell'altezza tracciata dal vertice dell'angolo retto all'ipotenusa.

UN) 15; B) 18; C) 20; D) 16; e) 12.

UN) 80; B) 72; C) 64; D) 81; e) 75.

12. La differenza nelle proiezioni delle gambe sull'ipotenusa è 15 e la distanza dal vertice dell'angolo retto all'ipotenusa è 4. Trova il raggio del cerchio circoscritto.

UN) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; e) 7.

Triangoli.

Concetti basilari.

Triangolo- questa è una figura composta da tre segmenti e tre punti che non giacciono su una retta.

I segmenti sono chiamati partiti, e i punti picchi.

Somma degli angoli triangolo è uguale a 180 º.

L'altezza del triangolo.

Altezza del triangoloè una perpendicolare tracciata da un vertice al lato opposto.

In un triangolo ad angolo acuto, l'altezza è contenuta all'interno del triangolo (Fig. 1).

In un triangolo rettangolo, le gambe sono le altezze del triangolo (Fig. 2).

In un triangolo ottuso, l'altezza passa al di fuori del triangolo (Fig. 3).

Proprietà dell'altezza del triangolo:

Bisettrice di un triangolo.

Bisettrice di un triangolo- questo è un segmento che taglia in due l'angolo del vertice e collega il vertice ad un punto sul lato opposto (Fig. 5).

Proprietà della bisettrice:

La mediana di un triangolo.

Triangolo mediano- questo è un segmento che collega il vertice con il centro del lato opposto (Fig. 9a).

La lunghezza della mediana può essere calcolata utilizzando la formula:

2B 2 + 2C 2 - un 2
m a 2 = ——————
4

dove m a- mediana disegnata di lato ma.

In un triangolo rettangolo, la mediana attratta dall'ipotenusa è metà dell'ipotenusa:

C
mc = —
2

dove mcè la mediana attratta dall'ipotenusa C(Fig. 9c)

Le mediane di un triangolo si intersecano in un punto (al centro di massa del triangolo) e sono divise per questo punto in un rapporto di 2:1, contando dall'alto. Cioè, il segmento dal vertice al centro è il doppio del segmento dal centro al lato del triangolo (Fig. 9c).

Le tre mediane di un triangolo lo dividono in sei triangoli di uguale area.

La linea mediana del triangolo.

Linea mediana del triangolo- questo è un segmento che collega i punti medi dei suoi due lati (Fig. 10).

La linea mediana di un triangolo è parallela al terzo lato e uguale alla metà di esso.

L'angolo esterno del triangolo.

angolo esterno triangolo è uguale alla somma di due angoli interni non adiacenti (Fig. 11).

L'angolo esterno di un triangolo è maggiore di qualsiasi angolo non adiacente.

Triangolo rettangolo.

Triangolo rettangolo- questo è un triangolo che ha un angolo retto (Fig. 12).

Si chiama il lato di un triangolo rettangolo opposto all'angolo retto ipotenusa.

Le altre due parti sono chiamate le gambe.

Segmenti proporzionali in un triangolo rettangolo.

1) In un triangolo rettangolo, l'altezza ricavata dall'angolo retto forma tre triangoli simili: ABC, ACH e HCB (Fig. 14a). Di conseguenza, gli angoli formati dall'altezza sono uguali agli angoli A e B.

Fig.14a

Triangolo isoscele.

Triangolo isoscele- questo è un triangolo in cui i due lati sono uguali (Fig. 13).

Questi lati uguali chiamata lati, e il terzo base triangolo.

IN triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali. (Nel nostro triangolo, l'angolo A è uguale all'angolo C).

In un triangolo isoscele, la mediana disegnata alla base è sia la bisettrice che l'altezza del triangolo.

Triangolo equilatero.

Un triangolo equilatero è un triangolo in cui tutti i lati sono uguali (Fig. 14).

Proprietà di un triangolo equilatero:

Notevoli proprietà dei triangoli.

I triangoli hanno proprietà originali che ti aiuteranno a risolvere con successo i problemi associati a queste forme. Alcune di queste proprietà sono descritte sopra. Ma li ripetiamo di nuovo, aggiungendo loro alcune altre fantastiche funzionalità:

1) In un triangolo rettangolo con angoli 90º, 30º e 60º, la gamba B, che giace di fronte all'angolo di 30º, è uguale a metà dell'ipotenusa. Una gambaun più gambaB√3 volte (Fig. 15 ma). Ad esempio, se la gamba di b è 5, allora l'ipotenusa C necessariamente uguale a 10, e la gamba maè uguale a 5√3.

2) In un triangolo isoscele rettangolo con angoli di 90º, 45º e 45º, l'ipotenusa è √2 volte la gamba (Fig. 15 B). Ad esempio, se le gambe sono 5, l'ipotenusa è 5√2.

3) La linea mediana del triangolo è uguale alla metà del lato parallelo (Fig. 15 da). Ad esempio, se il lato di un triangolo è 10, allora parallelo ad esso linea di mezzoè uguale a 5.

4) In un triangolo rettangolo, la mediana attratta dall'ipotenusa è uguale alla metà dell'ipotenusa (Fig. 9c): mc= c/2.

5) Le mediane di un triangolo, che si intersecano in un punto, sono divise per questo punto in un rapporto di 2:1. Cioè, il segmento dal vertice al punto di intersezione delle mediane è il doppio del segmento dal punto di intersezione delle mediane al lato del triangolo (Fig. 9c)

6) In un triangolo rettangolo, il punto medio dell'ipotenusa è il centro della circonferenza circoscritta (Fig. 15 D).

Segni di uguaglianza dei triangoli.

Il primo segno di uguaglianza: Se due lati e l'angolo tra loro di un triangolo sono uguali a due lati e l'angolo tra loro di un altro triangolo, allora tali triangoli sono congruenti.

Il secondo segno di uguaglianza: se il lato e gli angoli ad esso adiacenti di un triangolo sono uguali al lato e gli angoli ad esso adiacenti di un altro triangolo, allora tali triangoli sono congruenti.

Il terzo segno di uguaglianza: Se tre lati di un triangolo sono uguali a tre lati di un altro triangolo, allora tali triangoli sono congruenti.

Disuguaglianza triangolare.

In ogni triangolo, ogni lato è minore della somma degli altri due lati.

Teorema di Pitagora.

In un triangolo rettangolo, il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle gambe:

C 2 = un 2 + B 2 .

Area di un triangolo.

1) L'area di un triangolo è uguale alla metà del prodotto del suo lato e dell'altezza disegnata su questo lato:

Ah
S = ——
2

2) L'area di un triangolo è uguale alla metà del prodotto di due qualsiasi dei suoi lati e il seno dell'angolo tra di loro:

1
S = — AB · corrente alternata · peccato UN
2

Un triangolo circoscritto ad un cerchio.

Un cerchio si dice inscritto in un triangolo se tocca tutti i suoi lati (Fig. 16 ma).

Triangolo inscritto in un cerchio.

Un triangolo si dice inscritto in una circonferenza se lo tocca con tutti i vertici (Fig. 17 un).

Seno, coseno, tangente, cotangente di un angolo acuto di un triangolo rettangolo (Fig. 18).

Seno angolo acuto X opposto catetere all'ipotenusa.
Denotato così: peccatoX.

Coseno angolo acuto X triangolo rettangolo è il rapporto adiacente catetere all'ipotenusa.
Si denota come segue: cos X.

Tangente angolo acuto Xè il rapporto tra la gamba opposta e la gamba adiacente.
Denotato così: tgX.

Cotangente angolo acuto Xè il rapporto tra la gamba adiacente e la gamba opposta.
Denotato così: ctgX.

Regole:

Angolo opposto della gamba X, è uguale al prodotto dell'ipotenusa e del peccato X:

b=c peccato X

Gamba adiacente all'angolo X, è uguale al prodotto dell'ipotenusa e cos X:

a = c cos X

Angolo opposto della gamba X, è uguale al prodotto della seconda tappa e tg X:

b = a tg X

Gamba adiacente all'angolo X, è uguale al prodotto della seconda gamba e ctg X:

a = b ctg X.

Per qualsiasi angolo acuto X:

peccato (90° - X) = cos X

cos (90° - X) = peccato X

Triangolo rettangoloè un triangolo in cui uno degli angoli è retto, cioè uguale a 90 gradi.

Il lato opposto all'angolo retto è chiamato ipotenusa. C o AB)
Il lato adiacente all'angolo retto è chiamato gamba. Ogni triangolo rettangolo ha due gambe (indicate come un e b o AC e BC)

Formule e proprietà di un triangolo rettangolo

Denominazioni delle formule:

(vedi foto sopra)

a, b- gambe di un triangolo rettangolo

C- ipotenusa

α, β - angoli acuti di un triangolo

S- la zona

h- l'altezza caduta dal vertice dell'angolo retto all'ipotenusa

m a un dall'angolo opposto ( α )

m b- mediana disegnata di lato B dall'angolo opposto ( β )

mc- mediana disegnata di lato C dall'angolo opposto ( γ )

IN triangolo rettangolo una gamba è inferiore all'ipotenusa(Formula 1 e 2). Questa proprietà è una conseguenza del teorema di Pitagora.

Coseno di uno qualsiasi degli angoli acuti meno di uno (Formula 3 e 4). Questa proprietà segue dalla precedente. Poiché una qualsiasi delle gambe è inferiore all'ipotenusa, il rapporto tra la gamba e l'ipotenusa è sempre inferiore a uno.

Il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle gambe (teorema di Pitagora). (Formula 5). Questa proprietà è costantemente utilizzata per risolvere i problemi.

Area di un triangolo rettangolo pari alla metà del prodotto delle gambe (Formula 6)

Somma delle mediane al quadrato alle gambe è uguale a cinque quadrati della mediana dell'ipotenusa e cinque quadrati dell'ipotenusa divisi per quattro (Formula 7). Oltre a quanto sopra, c'è Altre 5 formule, quindi si consiglia di familiarizzare anche con la lezione " Mediana di un triangolo rettangolo", che descrive le proprietà della mediana in modo più dettagliato.

Altezza di un triangolo rettangolo è uguale al prodotto delle gambe diviso per l'ipotenusa (Formula 8)

I quadrati delle gambe sono inversamente proporzionali al quadrato dell'altezza scesa all'ipotenusa (Formula 9). Questa identità è anche una delle conseguenze del teorema di Pitagora.

Lunghezza dell'ipotenusa uguale al diametro (due raggi) del cerchio circoscritto (Formula 10). Ipotenusa di un triangolo rettangolo è il diametro del cerchio circoscritto. Questa proprietà viene spesso utilizzata nella risoluzione dei problemi.

Raggio inscritto in triangolo rettangolo cerchi può essere trovata come metà dell'espressione, che include la somma delle gambe di questo triangolo meno la lunghezza dell'ipotenusa. O come il prodotto delle gambe diviso per la somma di tutti i lati (perimetro) di un dato triangolo. (Formula 11)
Seno di un angolo opposto questo angolo gamba all'ipotenusa(per definizione di seno). (Formula 12). Questa proprietà viene utilizzata per la risoluzione dei problemi. Conoscendo le dimensioni dei lati, puoi trovare l'angolo che formano.

Il coseno dell'angolo A (α, alfa) in un triangolo rettangolo sarà uguale a relazione adiacente questo angolo gamba all'ipotenusa(per definizione di seno). (Formula 13)

Proprietà: 1. In qualsiasi triangolo rettangolo, l'altitudine caduta dall'angolo retto (all'ipotenusa) divide il triangolo rettangolo in tre triangoli simili.

Proprietà: 2. L'altezza di un triangolo rettangolo caduto sull'ipotenusa è uguale alla media proiezioni geometriche gambe sull'ipotenusa (o la media geometrica di quei segmenti in cui l'altezza divide l'ipotenusa).

Proprietà: 3. La gamba è uguale alla media geometrica dell'ipotenusa e alla proiezione di questa gamba sull'ipotenusa.

Proprietà: 4. La gamba contro un angolo di 30 gradi è uguale a metà dell'ipotenusa.

Formula 1.

Formula 2. dov'è l'ipotenusa; , pattini.

Proprietà: 5. In un triangolo rettangolo, la mediana attratta dall'ipotenusa è uguale alla metà di essa ed è uguale al raggio della circonferenza circoscritta.

Proprietà: 6. Dipendenza tra lati e angoli di un triangolo rettangolo:

44. Teorema del coseno. Conseguenze: collegamento tra diagonali e lati di un parallelogramma; determinare il tipo di triangolo; formula per calcolare la lunghezza della mediana di un triangolo; calcolare il coseno dell'angolo di un triangolo.

Fine del lavoro -

Questo argomento appartiene a:

Classe. Programma del Colloquium Fondamenti di Planimetria

La proprietà degli angoli adiacenti.. la definizione di due angoli sono adiacenti se un lato hanno in comune gli altri due formano una retta..

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In realtà, tutto non è affatto così spaventoso. Naturalmente, la definizione "reale" di seno, coseno, tangente e cotangente dovrebbe essere esaminata nell'articolo. Ma proprio non vuoi, vero? Possiamo rallegrarci: per risolvere problemi su un triangolo rettangolo, puoi semplicemente compilare le seguenti semplici cose:

E l'angolo? C'è una gamba che è opposta all'angolo, cioè la gamba opposta (per l'angolo)? Certo! Questo è un catetere!

Ma per quanto riguarda l'angolo? Guarda da vicino. Quale gamba è adiacente all'angolo? Ovviamente il gatto. Quindi, per l'angolo, la gamba è adiacente e

E ora, attenzione! Guarda cosa abbiamo:

Guarda quanto è fantastico:

Passiamo ora a tangente e cotangente.

Come metterlo in parole ora? Qual è la gamba rispetto all'angolo? Di fronte, ovviamente - "giace" di fronte all'angolo. E il catetere? Adiacente all'angolo. Allora cosa abbiamo ottenuto?

Vedi come si invertono numeratore e denominatore?

E ora di nuovo gli angoli e fatto lo scambio:

Sommario

Scriviamo brevemente ciò che abbiamo imparato.

Teorema di Pitagora:

Il principale teorema del triangolo rettangolo è il teorema di Pitagora.

teorema di Pitagora

A proposito, ti ricordi bene cosa sono le gambe e l'ipotenusa? In caso contrario, guarda l'immagine: aggiorna le tue conoscenze

Vedi come abbiamo abilmente diviso i suoi lati in segmenti di lunghezza e!

Ora colleghiamo i punti contrassegnati

Qui, tuttavia, abbiamo notato qualcos'altro, ma tu stesso guardi l'immagine e pensi al perché.

Qual è l'area del quadrato più grande?

Destra, .

E l'area più piccola?

Certamente, .

Rimane l'area totale dei quattro angoli. Immagina di prenderne due e di appoggiarci l'uno all'altro con le ipotenuse.

Quello che è successo? Due rettangoli. Quindi, l'area delle "talee" è uguale.

Mettiamo tutto insieme ora.

Trasformiamo:

Così abbiamo visitato Pitagora - abbiamo dimostrato il suo teorema in modo antico.

Triangolo rettangolo e trigonometria

Per un triangolo rettangolo valgono le seguenti relazioni:

Il seno di un angolo acuto è uguale al rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa

Il coseno di un angolo acuto è uguale al rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa.

La tangente di un angolo acuto è uguale al rapporto tra la gamba opposta e la gamba adiacente.

La cotangente di un angolo acuto è uguale al rapporto tra la gamba adiacente e la gamba opposta.

E ancora una volta, tutto questo sotto forma di piatto:

È molto conveniente!

Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli

I. Su due gambe

II. Per gamba e ipotenusa

III. Per ipotenusa e angolo acuto

IV. Lungo la gamba e angolo acuto

un)

Attenzione! Qui è molto importante che le gambe siano "corrispondenti". Ad esempio, se va così:

ALLORA I TRIANGOLI NON SONO UGUALI, nonostante abbiano un angolo acuto identico.

Bisogno di in entrambi i triangoli la gamba era adiacente, o in entrambi - opposta.

Hai notato come i segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli differiscano dai soliti segni di uguaglianza dei triangoli?

Guarda l'argomento "e presta attenzione al fatto che per l'uguaglianza dei triangoli "ordinari" è necessaria l'uguaglianza dei loro tre elementi: due lati e un angolo tra loro, due angoli e un lato tra loro, o tre lati.

Ma per l'uguaglianza dei triangoli rettangoli bastano solo due elementi corrispondenti. È fantastico, vero?

Approssimativamente la stessa situazione con segni di somiglianza di triangoli rettangoli.

Segni di somiglianza di triangoli rettangoli

I. Angolo acuto

II. Su due gambe

III. Per gamba e ipotenusa

Mediana in un triangolo rettangolo

Perché è così?

Considera un intero rettangolo invece di un triangolo rettangolo.

Disegniamo una diagonale e consideriamo un punto: il punto di intersezione delle diagonali. Cosa sai delle diagonali di un rettangolo?

E cosa ne consegue?

Così è successo

- mediana:

Ricorda questo fatto! Aiuta molto!

Ciò che è ancora più sorprendente è che è vero anche il contrario.

Che bene si può ricavare dal fatto che la mediana attratta dall'ipotenusa è uguale alla metà dell'ipotenusa? Diamo un'occhiata alla foto

Allora cominciamo con questo "inoltre...".

Diamo un'occhiata a i.

Ma in triangoli simili tutti gli angoli sono uguali!

Lo stesso si può dire di e

Ora disegniamolo insieme:

Che utilità si può trarre da questa "tripla" somiglianza.

Bene, per esempio - due formule per l'altezza di un triangolo rettangolo.

Scriviamo i rapporti delle parti corrispondenti:

Per trovare l'altezza, risolviamo la proporzione e otteniamo prima formula "Altezza in un triangolo rettangolo":

Bene, ora, applicando e combinando queste conoscenze con altre, risolverai qualsiasi problema con un triangolo rettangolo!

Quindi, applichiamo la somiglianza: .

Cosa accadrà ora?

Di nuovo risolviamo la proporzione e otteniamo la seconda formula:

Entrambe queste formule vanno ricordate molto bene e quella più comoda da applicare.

Scriviamoli di nuovo.

Teorema di Pitagora:

In un triangolo rettangolo, il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle gambe:.

Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli:

su due gambe:
lungo la gamba e l'ipotenusa: o
lungo la gamba e l'angolo acuto adiacente: o
lungo la gamba e l'angolo acuto opposto: o
per ipotenusa e angolo acuto: o.

Segni di somiglianza dei triangoli rettangoli:

uno spigolo acuto: o
dalla proporzionalità delle due gambe:
dalla proporzionalità della gamba e dell'ipotenusa: o.

Seno, coseno, tangente, cotangente in un triangolo rettangolo

Il seno di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa:
Il coseno di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa:
La tangente di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba opposta e quella adiacente:
La cotangente di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba adiacente e l'opposto:.

Altezza di un triangolo rettangolo: o.

In un triangolo rettangolo, la mediana ricavata dal vertice dell'angolo retto è uguale a metà dell'ipotenusa: .

Area di un triangolo rettangolo:

attraverso i cateteri: