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Uno degli argomenti più difficili per gli studenti è la risoluzione di equazioni contenenti una variabile sotto il segno del modulo. Vediamo per cominciare a cosa è collegato? Perché, ad esempio, con le equazioni di secondo grado la maggior parte dei bambini fa clic come un dado, ma con un concetto così lontano dal più complesso come un modulo ha così tanti problemi?

A mio avviso, tutte queste difficoltà sono associate alla mancanza di regole chiaramente formulate per risolvere le equazioni con un modulo. Sì, decidendo equazione quadrata, lo studente sa per certo di dover applicare prima la formula discriminante, quindi le formule per le radici dell'equazione quadratica. Ma cosa succede se si incontra un modulo nell'equazione? Cercheremo di descrivere chiaramente il piano d'azione necessario nel caso in cui l'equazione contenga un'incognita sotto il segno del modulo. Diamo diversi esempi per ogni caso.

Ma prima, ricordiamoci definizione del modulo. Quindi, il modulo del numero un il numero stesso viene chiamato se un non negativo e -un se il numero un minore di zero. Puoi scriverlo così:

|a| = a se a ≥ 0 e |a| = -a se a< 0

Parlando di senso geometrico modulo, va ricordato che ogni numero reale corrisponde a un certo punto sull'asse dei numeri: è a coordinata. Quindi, il modulo o il valore assoluto di un numero è la distanza da questo punto all'origine dell'asse numerico. La distanza è sempre data come numero positivo. Pertanto, il modulo di qualsiasi numero negativo è un numero positivo. A proposito, anche in questa fase, molti studenti iniziano a confondersi. Qualsiasi numero può essere nel modulo, ma il risultato dell'applicazione del modulo è sempre un numero positivo.

Passiamo ora alla risoluzione delle equazioni.

1. Si consideri un'equazione della forma |x| = c, dove c è un numero reale. Questa equazione può essere risolta utilizzando la definizione del modulo.

Qualunque cosa numeri reali dividiamolo in tre gruppi: quelli maggiori di zero, quelli minori di zero e il terzo gruppo è il numero 0. Scriviamo la soluzione sotto forma di diagramma:

(±c se c > 0

Se |x| = c, allora x = (0 se c = 0

(senza radici se con< 0

1) |x| = 5, perché 5 > 0, quindi x = ±5;

2) |x| = -5, perché -cinque< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, quindi x = 0.

2. Un'equazione della forma |f(x)| = b, dove b > 0. Per risolvere questa equazione, è necessario eliminare il modulo. Lo facciamo in questo modo: f(x) = b o f(x) = -b. Ora è necessario risolvere separatamente ciascuna delle equazioni ottenute. Se nell'equazione originale b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, perché 4 > 0, quindi

x + 2 = 4 oppure x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, perché 11 > 0, quindi

x 2 - 5 = 11 o x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 senza radici

3) |x 2 – 5x| = -8 , perché -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Un'equazione della forma |f(x)| = g(x). Secondo il significato del modulo, tale equazione avrà soluzioni se il suo lato destro è maggiore o uguale a zero, cioè g(x) ≥ 0. Allora abbiamo:

f(x) = g(x) o f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x - 10. Questa equazione avrà radici se 5x - 10 ≥ 0. È qui che inizia la soluzione di tali equazioni.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Soluzione:

2x - 1 = 5x - 10 o 2x - 1 = -(5x - 10)

3. Combina O.D.Z. e la soluzione, otteniamo:

La radice x \u003d 11/7 non si adatta a O.D.Z., è inferiore a 2 e x \u003d 3 soddisfa questa condizione.

Risposta: x = 3

2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Risolviamo questa disuguaglianza usando il metodo dell'intervallo:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Soluzione:

x - 1 \u003d 1 - x 2 o x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 oppure x = 1 x = 0 oppure x = 1

3. Combina soluzione e O.D.Z.:

Solo le radici x = 1 e x = 0 sono adatte.

Risposta: x = 0, x = 1.

4. Un'equazione della forma |f(x)| = |g(x)|. Tale equazione è equivalente alle seguenti due equazioni f(x) = g(x) o f(x) = -g(x).

1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. Questa equazione è equivalente alle due seguenti:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 o x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 oppure x = 4 x = 2 oppure x = 1

Risposta: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Equazioni risolte con il metodo della sostituzione (cambio di variabile). Questo metodo Le soluzioni sono meglio spiegate con un esempio concreto. Quindi, sia data un'equazione quadratica con un modulo:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Per la proprietà del modulo x 2 = |x| 2 , quindi l'equazione può essere riscritta come segue:

|x| 2–6|x| + 5 = 0. Apportiamo la modifica |x| = t ≥ 0, allora avremo:

t 2 - 6t + 5 = 0. Risolvere data equazione, otteniamo che t = 1 o t = 5. Torniamo alla sostituzione:

|x| = 1 o |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Risposta: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Diamo un'occhiata a un altro esempio:

x 2 + |x| – 2 = 0. Per la proprietà del modulo x 2 = |x| 2, così

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Apportiamo la modifica |x| = t ≥ 0, allora:

t 2 + t - 2 \u003d 0. Risolvendo questa equazione, otteniamo t \u003d -2 o t \u003d 1. Torniamo alla sostituzione:

|x| = -2 o |x| = 1

Nessuna radice x = ± 1

Risposta: x = -1, x = 1.

6. Un altro tipo di equazioni sono le equazioni con un modulo "complesso". Tali equazioni includono equazioni che hanno "moduli all'interno di un modulo". Equazioni di questo tipo possono essere risolte utilizzando le proprietà del modulo.

1) |3 – |x|| = 4. Agiremo allo stesso modo delle equazioni del secondo tipo. Perché 4 > 0, allora otteniamo due equazioni:

3 – |x| = 4 o 3 – |x| = -4.

Ora esprimiamo il modulo x in ogni equazione, quindi |x| = -1 o |x| = 7.

Risolviamo ciascuna delle equazioni risultanti. Non ci sono radici nella prima equazione, perché -uno< 0, а во втором x = ±7.

Risposta x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Risolviamo questa equazione in modo simile:

3 + |x + 1| = 5 o 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 oppure x + 1 = -2. Non ci sono radici.

Risposta: x = -3, x = 1.

Esiste anche un metodo universale per risolvere le equazioni con un modulo. Questo è il metodo di spaziatura. Ma lo considereremo ulteriormente.

blog.site, con copia totale o parziale del materiale, è necessario un link alla fonte.

Uno degli argomenti più difficili per gli studenti è la risoluzione di equazioni contenenti una variabile sotto il segno del modulo. Vediamo per cominciare a cosa è collegato? Perché, ad esempio, con le equazioni di secondo grado la maggior parte dei bambini fa clic come un dado, ma con un concetto così lontano dal più complesso come un modulo ha così tanti problemi?

A mio avviso, tutte queste difficoltà sono associate alla mancanza di regole chiaramente formulate per risolvere le equazioni con un modulo. Quindi, quando risolve un'equazione quadratica, lo studente sa per certo che deve prima applicare la formula discriminante, quindi le formule per le radici dell'equazione quadratica. Ma cosa succede se si incontra un modulo nell'equazione? Cercheremo di descrivere chiaramente il piano d'azione necessario nel caso in cui l'equazione contenga un'incognita sotto il segno del modulo. Diamo diversi esempi per ogni caso.

Ma prima, ricordiamoci definizione del modulo. Quindi, il modulo del numero un il numero stesso viene chiamato se un non negativo e -un se il numero un minore di zero. Puoi scriverlo così:

|a| = a se a ≥ 0 e |a| = -a se a< 0

Parlando del significato geometrico del modulo, va ricordato che ogni numero reale corrisponde a un certo punto sull'asse dei numeri: è coordinata. Quindi, il modulo o il valore assoluto di un numero è la distanza da questo punto all'origine dell'asse numerico. La distanza è sempre data come numero positivo. Pertanto, il modulo di qualsiasi numero negativo è un numero positivo. A proposito, anche in questa fase, molti studenti iniziano a confondersi. Qualsiasi numero può essere nel modulo, ma il risultato dell'applicazione del modulo è sempre un numero positivo.

Passiamo ora alla risoluzione delle equazioni.

1. Si consideri un'equazione della forma |x| = c, dove c è un numero reale. Questa equazione può essere risolta utilizzando la definizione del modulo.

Dividiamo tutti i numeri reali in tre gruppi: quelli maggiori di zero, quelli minori di zero e il terzo gruppo è il numero 0. Scriviamo la soluzione sotto forma di diagramma:

(±c se c > 0

Se |x| = c, allora x = (0 se c = 0

(senza radici se con< 0

1) |x| = 5, perché 5 > 0, quindi x = ±5;

2) |x| = -5, perché -cinque< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, quindi x = 0.

2. Un'equazione della forma |f(x)| = b, dove b > 0. Per risolvere questa equazione, è necessario eliminare il modulo. Lo facciamo in questo modo: f(x) = b o f(x) = -b. Ora è necessario risolvere separatamente ciascuna delle equazioni ottenute. Se nell'equazione originale b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, perché 4 > 0, quindi

x + 2 = 4 oppure x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, perché 11 > 0, quindi

x 2 - 5 = 11 o x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 senza radici

3) |x 2 – 5x| = -8 , perché -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Un'equazione della forma |f(x)| = g(x). Secondo il significato del modulo, tale equazione avrà soluzioni se il suo lato destro è maggiore o uguale a zero, cioè g(x) ≥ 0. Allora abbiamo:

f(x) = g(x) o f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x - 10. Questa equazione avrà radici se 5x - 10 ≥ 0. È qui che inizia la soluzione di tali equazioni.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Soluzione:

2x - 1 = 5x - 10 o 2x - 1 = -(5x - 10)

3. Combina O.D.Z. e la soluzione, otteniamo:

La radice x \u003d 11/7 non si adatta a O.D.Z., è inferiore a 2 e x \u003d 3 soddisfa questa condizione.

Risposta: x = 3

2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Risolviamo questa disuguaglianza usando il metodo dell'intervallo:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Soluzione:

x - 1 \u003d 1 - x 2 o x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 oppure x = 1 x = 0 oppure x = 1

3. Combina soluzione e O.D.Z.:

Solo le radici x = 1 e x = 0 sono adatte.

Risposta: x = 0, x = 1.

4. Un'equazione della forma |f(x)| = |g(x)|. Tale equazione è equivalente alle seguenti due equazioni f(x) = g(x) o f(x) = -g(x).

1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. Questa equazione è equivalente alle due seguenti:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 o x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 oppure x = 4 x = 2 oppure x = 1

Risposta: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Equazioni risolte con il metodo della sostituzione (cambio di variabile). Questo metodo di soluzione è più semplice da spiegare con un esempio specifico. Quindi, sia data un'equazione quadratica con un modulo:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Per la proprietà del modulo x 2 = |x| 2 , quindi l'equazione può essere riscritta come segue:

|x| 2–6|x| + 5 = 0. Apportiamo la modifica |x| = t ≥ 0, allora avremo:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Risolvendo questa equazione, otteniamo che t \u003d 1 o t \u003d 5. Torniamo alla sostituzione:

|x| = 1 o |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Risposta: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Diamo un'occhiata a un altro esempio:

x 2 + |x| – 2 = 0. Per la proprietà del modulo x 2 = |x| 2, così

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Apportiamo la modifica |x| = t ≥ 0, allora:

t 2 + t - 2 \u003d 0. Risolvendo questa equazione, otteniamo t \u003d -2 o t \u003d 1. Torniamo alla sostituzione:

|x| = -2 o |x| = 1

Nessuna radice x = ± 1

Risposta: x = -1, x = 1.

6. Un altro tipo di equazioni sono le equazioni con un modulo "complesso". Tali equazioni includono equazioni che hanno "moduli all'interno di un modulo". Equazioni di questo tipo possono essere risolte utilizzando le proprietà del modulo.

1) |3 – |x|| = 4. Agiremo allo stesso modo delle equazioni del secondo tipo. Perché 4 > 0, allora otteniamo due equazioni:

3 – |x| = 4 o 3 – |x| = -4.

Ora esprimiamo il modulo x in ogni equazione, quindi |x| = -1 o |x| = 7.

Risolviamo ciascuna delle equazioni risultanti. Non ci sono radici nella prima equazione, perché -uno< 0, а во втором x = ±7.

Risposta x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Risolviamo questa equazione in modo simile:

3 + |x + 1| = 5 o 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 oppure x + 1 = -2. Non ci sono radici.

Risposta: x = -3, x = 1.

Esiste anche un metodo universale per risolvere le equazioni con un modulo. Questo è il metodo di spaziatura. Ma lo considereremo ulteriormente.

sito, con copia integrale o parziale del materiale, è richiesto un link alla fonte.

Istruzione

Se il modulo è nel modulo funzione continua, allora il valore del suo argomento può essere positivo o negativo: |х| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

Il modulo è zero e il modulo di qualsiasi numero positivo è il suo modulo. Se l'argomento è negativo, dopo aver aperto le parentesi, il suo segno cambia da meno a più. Sulla base di ciò, ne consegue la conclusione che i moduli del contrario sono uguali: |-x| = |x| = x.

Modulo numero complesso si trova con la formula: |a| = √b ² + c ² e |a + b| ≤ |a| + |b|. Se l'argomento è presente come moltiplicatore numero positivo, quindi può essere tolto dalla parentesi, ad esempio: |4*b| = 4*|b|.

Se l'argomento è presentato come un numero complesso, per comodità di calcolo è consentito l'ordine dei termini dell'espressione racchiusi tra parentesi quadre: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 perché (2-3) è minore di zero.

L'argomento elevato alla potenza è contemporaneamente sotto il segno della radice dello stesso ordine - si risolve con: √a² = |a| = ±a.

Se hai un'attività in cui non è indicata la condizione per espandere le parentesi del modulo, non è necessario sbarazzartene: questo sarà risultato finale. E se vuoi aprirli, devi specificare il segno ±. Ad esempio, devi trovare il valore dell'espressione √(2 * (4-b)) ². La sua soluzione si presenta così: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Poiché il segno dell'espressione 4-b è sconosciuto, deve essere lasciato tra parentesi. Se aggiungi una condizione aggiuntiva, ad esempio |4-b| >

Il modulo di zero è uguale a zero e il modulo di qualsiasi numero positivo è uguale a se stesso. Se l'argomento è negativo, dopo aver aperto le parentesi, il suo segno cambia da meno a più. Sulla base di ciò, ne consegue la conclusione che i moduli di numeri opposti sono uguali: |-x| = |x| = x.

Il modulo di un numero complesso si trova con la formula: |a| = √b ² + c ² e |a + b| ≤ |a| + |b|. Se l'argomento contiene un numero intero positivo come moltiplicatore, può essere tolto dalla parentesi, ad esempio: |4*b| = 4*|b|.

Il modulo non può essere negativo, quindi qualsiasi numero negativo viene convertito in positivo: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Se l'argomento è presentato come un numero complesso, per comodità di calcolo, è consentito modificare l'ordine dei termini dell'espressione racchiusa tra parentesi quadre: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 perché (2-3) è minore di zero.

Se hai un'attività di fronte a te che non specifica le condizioni per espandere le parentesi del modulo, non è necessario eliminarle: questo sarà il risultato finale. E se vuoi aprirli, devi specificare il segno ±. Ad esempio, devi trovare il valore dell'espressione √(2 * (4-b)) ². La sua soluzione si presenta così: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Poiché il segno dell'espressione 4-b è sconosciuto, deve essere lasciato tra parentesi. Se aggiungi una condizione aggiuntiva, ad esempio |4-b| > 0, il risultato è 2 * |4-b| = 2 *(4 - b). L'elemento sconosciuto può anche essere dato numero specifico, che dovrebbe essere preso in considerazione, perché influenzerà il segno dell'espressione.

Un modulo è una di quelle cose di cui tutti sembrano aver sentito parlare, ma in realtà nessuno lo capisce davvero. Pertanto, oggi ci sarà una grande lezione dedicata alla risoluzione delle equazioni con i moduli.

Ve lo dico subito: la lezione sarà semplice. In generale, i moduli sono generalmente un argomento relativamente semplice. “Sì, certo, è facile! Mi fa esplodere il cervello!" - diranno molti studenti, ma tutte queste rotture cerebrali sono dovute al fatto che la maggior parte delle persone non ha la conoscenza nella testa, ma una specie di merda. E lo scopo di questa lezione è trasformare la schifezza in conoscenza. :)

Un po' di teoria

Quindi andiamo. Cominciamo con il più importante: cos'è un modulo? Lascia che ti ricordi che il modulo di un numero è semplicemente lo stesso numero, ma preso senza il segno meno. Cioè, ad esempio, $\left| -5 \right|=5$. O $\sinistra| -129,5\destra|=129,5$.

È così semplice? Sì, semplice. Qual è allora il modulo di un numero positivo? Qui è ancora più semplice: il modulo di un numero positivo è uguale a questo numero stesso: $\left| 5\destra|=5$; $\sinistra| 129.5 \right|=129.5$ ecc.

Si scopre una cosa curiosa: numeri diversi possono avere lo stesso modulo. Ad esempio: $\sinistra| -5 \destra|=\sinistra| 5\destra|=5$; $\sinistra| -129.5 \destra|=\sinistra| 129,5 \right|=129,5$. È facile vedere che tipo di numeri sono questi, in cui i moduli sono gli stessi: questi numeri sono opposti. Pertanto, notiamo per noi stessi che i moduli di numeri opposti sono uguali:

\[\sinistra| -a \destra|=\sinistra| a\destra|\]

Un altro fatto importante: il modulo non è mai negativo. Qualunque numero prendiamo - anche positivo, anche negativo - il suo modulo risulta sempre positivo (o, in casi estremi, zero). Ecco perché il modulo è spesso chiamato il valore assoluto di un numero.

Inoltre, se combiniamo la definizione del modulo per un numero positivo e negativo, otteniamo una definizione globale del modulo per tutti i numeri. Vale a dire: il modulo di un numero è uguale a questo numero stesso, se il numero è positivo (o zero), o uguale al numero opposto, se il numero è negativo. Puoi scriverlo come una formula:

C'è anche un modulo di zero, ma è sempre uguale a zero. Inoltre, zero è l'unico numero che non ha un opposto.

Quindi, se consideriamo la funzione $y=\left| x \right|$ e prova a disegnare il suo grafico, otterrai una tale "daw":

Esempio di grafico modulo ed equazione

Da questa immagine puoi immediatamente vedere che $\left| -m \destra|=\sinistra| m \right|$ e il grafico del modulo non scende mai al di sotto dell'asse x. Ma non è tutto: la linea rossa segna la retta $y=a$, che, con $a$ positivo, ci dà due radici contemporaneamente: $((x)_(1))$ e $((x) _(2)) $, ma ne parleremo più avanti. :)

Oltre a una definizione puramente algebrica, ce n'è una geometrica. Diciamo che ci sono due punti sulla linea dei numeri: $((x)_(1))$ e $((x)_(2))$. In questo caso, l'espressione $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ è solo la distanza tra i punti specificati. Oppure, se preferisci, la lunghezza del segmento che collega questi punti:

Modulo è la distanza tra i punti sulla linea dei numeri

Ne consegue anche da questa definizione che il modulo è sempre non negativo. Ma abbastanza definizioni e teoria - passiamo alle equazioni reali. :)

Formula di base

Ok, abbiamo capito la definizione. Ma non è stato più facile. Come risolvere le equazioni che contengono questo stesso modulo?

Calmo, solo calmo. Cominciamo dalle cose più semplici. Considera qualcosa del genere:

\[\sinistra| x\destra|=3\]

Quindi il modulo$x$ è 3. A cosa può essere uguale $x$? Bene, a giudicare dalla definizione, $x=3$ ci andrà benissimo. Veramente:

\[\sinistra| 3\destra|=3\]

Ci sono altri numeri? Cap sembra suggerire che c'è. Ad esempio, $x=-3$ — $\sinistra| -3 \right|=3$, cioè l'uguaglianza richiesta è soddisfatta.

Quindi forse se cerchiamo, pensiamo, troveremo più numeri? Ed ecco una pausa: più numeri no. Equazione $\sinistra| x \right|=3$ ha solo due radici: $x=3$ e $x=-3$.

Ora complichiamo un po' il compito. Lascia che, invece della variabile $x$, la funzione $f\left(x \right)$ sia appesa sotto il segno del modulo, e a destra invece della tripla mettiamo numero arbitrario$ un $. Otteniamo l'equazione:

\[\sinistra| f\sinistra(x \destra) \destra|=a\]

Bene, come si decide? Lascia che ti ricordi: $f\left(x \right)$ è una funzione arbitraria, $a$ è un numero qualsiasi. Quelli. qualsiasi! Per esempio:

\[\sinistra| 2x+1 \destra|=5\]

\[\sinistra| 10x-5 \destra|=-65\]

Diamo un'occhiata alla seconda equazione. Di lui puoi subito dire: non ha radici. Come mai? Esatto: perché richiede che il modulo sia uguale a un numero negativo, cosa che non accade mai, poiché sappiamo già che il modulo è sempre un numero positivo o, in casi estremi, zero.

Ma con la prima equazione, tutto è più divertente. Ci sono due opzioni: o c'è un'espressione positiva sotto il segno del modulo, e poi $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, o questa espressione è ancora negativa, nel qual caso $\left| 2x+1 \destra|=-\sinistra(2x+1 \destra)=-2x-1$. Nel primo caso, la nostra equazione sarà riscritta come:

\[\sinistra| 2x+1 \destra|=5\Freccia destra 2x+1=5\]

E all'improvviso si scopre che l'espressione del sottomodulo $2x+1$ è effettivamente positiva: è uguale al numero 5. Cioè, possiamo tranquillamente risolvere questa equazione: la radice risultante sarà una parte della risposta:

Coloro che sono particolarmente increduli possono provare a sostituire la radice trovata nell'equazione originale e assicurarsi che ci sarà davvero un numero positivo sotto il modulo.

Ora esaminiamo il caso di un'espressione di sottomodulo negativa:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Freccia destra 2x+1=-5\]

Ops! Ancora una volta, tutto è chiaro: abbiamo assunto che $2x+1 \lt 0$, e di conseguenza abbiamo ottenuto che $2x+1=-5$ - in effetti, questa espressione è minore di zero. Risolviamo l'equazione risultante, pur sapendo già per certo che la radice trovata ci andrà bene:

In totale, abbiamo ricevuto di nuovo due risposte: $x=2$ e $x=3$. Sì, la quantità di calcoli si è rivelata un po' più che nella semplicissima equazione $\left| x \right|=3$, ma fondamentalmente non è cambiato nulla. Quindi forse esiste una sorta di algoritmo universale?

Sì, esiste un tale algoritmo. E ora lo analizzeremo.

Sbarazzarsi del segno del modulo

Diamoci l'equazione $\left| f\left(x \right) \right|=a$, e $a\ge 0$ (altrimenti, come già sappiamo, non ci sono radici). Quindi puoi eliminare il segno modulo secondo la seguente regola:

\[\sinistra| f\sinistra(x \destra) \destra|=a\freccia destra f\sinistra(x \destra)=\pm a\]

Pertanto, la nostra equazione con il modulo si divide in due, ma senza il modulo. Questa è tutta la tecnologia! Proviamo a risolvere un paio di equazioni. Cominciamo con questo

\[\sinistra| 5x+4 \destra|=10\Freccia destra 5x+4=\pm 10\]

Considereremo separatamente quando c'è un dieci con un più a destra e separatamente quando è con un meno. Abbiamo:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Freccia destra 5x=6\Freccia destra x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Freccia destra 5x=-14\Freccia destra x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\fine(allineamento)\]

È tutto! Abbiamo due radici: $x=1.2$ e $x=-2.8$. L'intera soluzione ha preso letteralmente due righe.

Ok, nessuna domanda, diamo un'occhiata a qualcosa di un po' più serio:

\[\sinistra| 7-5x \destra|=13\]

Ancora una volta, apri il modulo con un più e un meno:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Freccia destra -5x=6\Freccia destra x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Freccia destra -5x=-20\Freccia destra=4. \\\fine(allineamento)\]

Ancora un paio di righe - e la risposta è pronta! Come ho detto, non c'è niente di complicato nei moduli. Devi solo ricordare alcune regole. Pertanto, andiamo oltre e procediamo con compiti davvero più difficili.

Valigia laterale destra variabile

Consideriamo ora questa equazione:

\[\sinistra| 3x-2 \destra|=2x\]

Questa equazione è fondamentalmente diversa da tutte le precedenti. Come? E il fatto che l'espressione $2x$ sia a destra del segno di uguale - e non possiamo sapere in anticipo se sia positiva o negativa.

Come essere in quel caso? In primo luogo, dobbiamo capirlo una volta per tutte se il lato destro dell'equazione è negativo, l'equazione non avrà radici- sappiamo già che il modulo non può essere uguale a un numero negativo.

E in secondo luogo, se la parte destra è ancora positiva (o uguale a zero), allora puoi procedere esattamente come prima: basta aprire il modulo separatamente con il segno più e separatamente con il segno meno.

Pertanto, formuliamo una regola per le funzioni arbitrarie $f\left(x \right)$ e $g\left(x \right)$ :

\[\sinistra| f\sinistra(x \destra) \destra|=g\sinistra(x \destra)\Freccia destra \sinistra\( \begin(allineamento)& f\sinistra(x \destra)=\pm g\sinistra(x \destra ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Per quanto riguarda la nostra equazione, otteniamo:

\[\sinistra| 3x-2 \right|=2x\Freccia destra \sinistra\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Bene, possiamo gestire in qualche modo il requisito di $2x\ge 0$. Alla fine, possiamo sostituire stupidamente le radici che otteniamo dalla prima equazione e verificare se la disuguaglianza vale o meno.

Quindi risolviamo l'equazione stessa:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Freccia destra 3x=4\Freccia destra x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Freccia destra 3x=0\Freccia destra x=0. \\\fine(allineamento)\]

Ebbene, quale di queste due radici soddisfa il requisito $2x\ge 0$? Si, entrambi! Pertanto, la risposta sarà due numeri: $x=(4)/(3)\;$ e $x=0$. Questa è la soluzione. :)

Sospetto che uno degli studenti abbia già iniziato ad annoiarsi? Bene, considera un'equazione ancora più complessa:

\[\sinistra| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Sebbene sembri malvagio, in realtà è tutta la stessa equazione della forma "modulo uguale a funzione":

\[\sinistra| f\sinistra(x \destra) \destra|=g\sinistra(x \destra)\]

E si risolve allo stesso modo:

\[\sinistra| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Freccia destra \sinistra\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-(x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Affronteremo la disuguaglianza in seguito: è in qualche modo troppo viziosa (in realtà semplice, ma non la risolveremo). Per ora, diamo un'occhiata alle equazioni risultanti. Considera il primo caso: questo è quando il modulo viene espanso con un segno più:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Bene, qui è un gioco da ragazzi che devi raccogliere tutto a sinistra, portarne di simili e vedere cosa succede. Ed ecco cosa succede:

\[\begin(allineamento)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\fine(allineamento)\]

Mettendo fuori dalla parentesi il fattore comune $((x)^(2))$, otteniamo un'equazione molto semplice:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Freccia destra \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\fine(allineamento) \destra.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

Qui abbiamo utilizzato un'importante proprietà del prodotto, per la quale abbiamo scomposto il polinomio originale: il prodotto è uguale a zero quando almeno uno dei fattori è uguale a zero.

Ora, allo stesso modo, tratteremo la seconda equazione, che si ottiene espandendo il modulo con un segno meno:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-(x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\sinistra(-3x+2 \destra)=0. \\\fine(allineamento)\]

Di nuovo, la stessa cosa: il prodotto è zero quando almeno uno dei fattori è zero. Abbiamo:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Bene, abbiamo tre radici: $x=0$, $x=1.5$ e $x=(2)/(3)\;$. Bene, cosa andrà nella risposta finale di questo set? Per fare ciò, ricorda che abbiamo un ulteriore vincolo di disuguaglianza:

Come tenere conto di questo requisito? Sostituiamo semplicemente le radici trovate e controlliamo se la disuguaglianza vale per questi $x$ o meno. Abbiamo:

\[\begin(align)& x=0\Freccia destra x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Freccia destra x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Freccia destra x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\fine(allineamento)\]

Quindi, la radice $x=1.5$ non ci soddisfa. E solo due radici andranno in risposta:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Come puoi vedere, anche in questo caso non c'è stato nulla di difficile: le equazioni con i moduli sono sempre risolte secondo l'algoritmo. Devi solo avere una buona comprensione di polinomi e disequazioni. Pertanto, passiamo a compiti più complessi: non ci saranno già uno, ma due moduli.

Equazioni con due moduli

Finora abbiamo studiato solo le equazioni più semplici: c'era un modulo e qualcos'altro. Abbiamo inviato questo "qualcos'altro" in un'altra parte della disuguaglianza, lontano dal modulo, in modo che alla fine tutto si riducesse a un'equazione come $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ o anche più semplice $\left| f\sinistra(x \destra) \destra|=a$.

Ma Asilo finita - è tempo di considerare qualcosa di più serio. Iniziamo con equazioni come questa:

\[\sinistra| f\sinistra(x \destra) \destra|=\sinistra| g\sinistra(x \destra) \destra|\]

Questa è un'equazione della forma "il modulo è uguale al modulo". Un punto di fondamentale importanza è l'assenza di altri termini e fattori: solo un modulo a sinistra, un altro modulo a destra - e niente di più.

Si potrebbe ora pensare che tali equazioni siano più difficili da risolvere di quanto abbiamo studiato finora. E invece no: queste equazioni si risolvono ancora più facilmente. Ecco la formula:

\[\sinistra| f\sinistra(x \destra) \destra|=\sinistra| g\sinistra(x \destra) \destra|\Freccia destra f\sinistra(x \destra)=\pm g\sinistra(x \destra)\]

Qualunque cosa! Identifichiamo semplicemente le espressioni di sottomodulo anteponendo a una di esse un segno più o meno. E poi risolviamo le due equazioni risultanti - e le radici sono pronte! Nessuna restrizione aggiuntiva, nessuna disuguaglianza, ecc. Tutto è molto semplice.

Proviamo a risolvere questo problema:

\[\sinistra| 2x+3 \destra|=\sinistra| 2x-7 \destra|\]

Watson elementare! Apertura dei moduli:

\[\sinistra| 2x+3 \destra|=\sinistra| 2x-7 \destra|\Freccia destra 2x+3=\pm \sinistra(2x-7 \destra)\]

Consideriamo ogni caso separatamente:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Freccia destra 3=-7\Freccia destra \emptyset ; \\& 2x+3=-\sinistra(2x-7 \destra)\Freccia destra 2x+3=-2x+7. \\\fine(allineamento)\]

La prima equazione non ha radici. Perché quando è $3=-7$? Per quali valori di $x$? “Che cazzo sono $x$? Sei lapidato? Non ci sono affatto $x$", dici. E avrai ragione. Abbiamo ottenuto un'uguaglianza che non dipende dalla variabile $x$, e allo stesso tempo l'uguaglianza stessa non è corretta. Ecco perché non ci sono radici.

Con la seconda equazione, tutto è un po' più interessante, ma anche molto, molto semplice:

Come puoi vedere, tutto è stato deciso letteralmente in un paio di righe: non ci aspettavamo nient'altro da un'equazione lineare. :)

Di conseguenza, la risposta finale è: $x=1$.

Bene, come? Difficile? Ovviamente no. Proviamo qualcos'altro:

\[\sinistra| x-1 \destra|=\sinistra| ((x)^(2))-3x+2 \destra|\]

Anche in questo caso abbiamo un'equazione come $\left| f\sinistra(x \destra) \destra|=\sinistra| g\sinistra(x \destra) \destra|$. Pertanto, lo riscriviamo immediatamente, rivelando il segno del modulo:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \sinistra(x-1 \destra)\]

Forse qualcuno ora chiederà: “Ehi, che tipo di sciocchezze? Perché più-meno è sul lato destro e non sul lato sinistro? Calmati, ti spiego tutto. In effetti, in senso positivo, avremmo dovuto riscrivere la nostra equazione come segue:

Quindi devi aprire le parentesi, spostare tutti i termini in una direzione dal segno di uguale (poiché l'equazione, ovviamente, sarà quadrata in entrambi i casi), quindi trovare le radici. Ma devi ammettere: quando "più o meno" è davanti a tre termini (soprattutto quando uno di questi termini è espressione quadrata), questo in qualche modo sembra più complicato della situazione in cui "più o meno" è solo davanti a due termini.

Ma nulla ci impedisce di riscrivere l'equazione originale come segue:

\[\sinistra| x-1 \destra|=\sinistra| ((x)^(2))-3x+2 \destra|\Freccia destra \sinistra| ((x)^(2))-3x+2 \destra|=\sinistra| x-1 \right|\]

Quello che è successo? Sì, niente di speciale: ho appena scambiato i lati sinistro e destro. Una sciocchezza, che alla fine ci semplificherà un po' la vita. :)

In generale, risolviamo questa equazione, considerando le opzioni con un più e un meno:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Freccia destra ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\sinistra(x-1 \destra)\Freccia destra ((x)^(2))-2x+1=0. \\\fine(allineamento)\]

La prima equazione ha radici $x=3$ e $x=1$. Il secondo è generalmente un quadrato esatto:

\[((x)^(2))-2x+1=((\sinistra(x-1 \destra))^(2))\]

Pertanto, ha una sola radice: $x=1$. Ma abbiamo già ricevuto questa radice in precedenza. Pertanto, solo due numeri andranno nella risposta finale:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Missione compiuta! Puoi prenderlo dallo scaffale e mangiare una torta. Ce ne sono 2, la tua media. :)

Nota importante. La presenza delle stesse radici per diverse versioni dell'espansione del modulo fa sì che i polinomi originari vengano scomposti in fattori, e tra questi fattori ce ne sarà necessariamente uno comune. Veramente:

\[\begin(align)& \left| x-1 \destra|=\sinistra| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\&\sinistra| x-1 \destra|=\sinistra| \sinistra(x-1 \destra)\sinistra(x-2 \destra) \destra|. \\\fine(allineamento)\]

Una delle proprietà del modulo: $\left| a\cpunto b \destra|=\sinistra| a \destra|\cdot \sinistra| b \right|$ (cioè il modulo del prodotto è uguale al prodotto dei moduli), quindi l'equazione originale può essere riscritta come

\[\sinistra| x-1 \destra|=\sinistra| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|\]

Come puoi vedere, abbiamo davvero un fattore comune. Ora, se raccogli tutti i moduli su un lato, puoi togliere questo moltiplicatore dalla parentesi:

\[\begin(align)& \left| x-1 \destra|=\sinistra| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|; \\&\sinistra| x-1 \destra|-\sinistra| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\&\sinistra| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\fine(allineamento)\]

Bene, ora ricordiamo che il prodotto è uguale a zero quando almeno uno dei fattori è uguale a zero:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\fine(allineamento) \destra.\]

Pertanto, l'equazione originale con due moduli è stata ridotta alle due equazioni più semplici di cui abbiamo parlato all'inizio della lezione. Tali equazioni possono essere risolte in solo un paio di righe. :)

Questa osservazione può sembrare inutilmente complicata e inapplicabile nella pratica. Tuttavia, in realtà, potresti incontrare compiti molto più complessi di quelli che stiamo analizzando oggi. In essi, i moduli possono essere combinati con polinomi, radici aritmetiche, logaritmi, ecc. E in tali situazioni, la possibilità di abbassare il grado complessivo dell'equazione mettendo qualcosa fuori dalla parentesi può essere molto, molto utile. :)

Ora vorrei analizzare un'altra equazione, che a prima vista può sembrare folle. Molti studenti ci "attaccano" - anche quelli che credono di avere una buona comprensione dei moduli.

Tuttavia, questa equazione è ancora più facile da risolvere rispetto a quella che abbiamo considerato in precedenza. E se capisci perché, otterrai un altro trucco per risolvere rapidamente le equazioni con i moduli.

Quindi l'equazione è:

\[\sinistra| x-((x)^(3)) \destra|+\sinistra| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

No, questo non è un errore di battitura: è un vantaggio tra i moduli. E dobbiamo trovare per quale $x$ la somma di due moduli è uguale a zero. :)

Qual è il problema? E il problema è che ogni modulo è un numero positivo o, in casi estremi, zero. Cosa succede quando aggiungi due numeri positivi? Ovviamente, ancora un numero positivo:

\[\begin(allineamento)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(allineamento)\]

L'ultima riga può darti un'idea: l'unico caso in cui la somma dei moduli è zero è se ogni modulo è uguale a zero:

\[\sinistra| x-((x)^(3)) \destra|+\sinistra| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Freccia destra \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left|((x)^(2))+x-2 \right|=0. \\\end(align) \right.\]

Quando il modulo è uguale a zero? Solo in un caso - quando l'espressione del sottomodulo è uguale a zero:

\[((x)^(2))+x-2=0\Freccia destra \sinistra(x+2 \destra)\sinistra(x-1 \destra)=0\Freccia destra \sinistra[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(allineamento) \destra.\]

Pertanto, abbiamo tre punti in cui il primo modulo è impostato a zero: 0, 1 e −1; così come due punti in cui il secondo modulo viene azzerato: −2 e 1. Tuttavia, abbiamo bisogno che entrambi i moduli vengano azzerati contemporaneamente, quindi tra i numeri trovati, dobbiamo scegliere quelli che sono inclusi in entrambi gli insiemi. Ovviamente, c'è solo uno di questi numeri: $x=1$ - questa sarà la risposta finale.

metodo di scissione

Bene, abbiamo già coperto un sacco di compiti e imparato molti trucchi. Pensi che sia tutto? Ma no! Ora considereremo la tecnica finale - e allo stesso tempo la più importante. Parleremo della divisione delle equazioni con un modulo. Di cosa si parlerà? Torniamo un po' indietro e consideriamo qualche semplice equazione. Ad esempio, questo:

\[\sinistra| 3x-5\destra|=5-3x\]

In linea di principio, sappiamo già come risolvere tale equazione, perché è uno standard $\left| f\sinistra(x \destra) \destra|=g\sinistra(x \destra)$. Ma proviamo a guardare questa equazione da un'angolazione leggermente diversa. Più precisamente, si consideri l'espressione sotto il segno del modulo. Lascia che ti ricordi che il modulo di qualsiasi numero può essere uguale al numero stesso, oppure può essere opposto a questo numero:

\[\sinistra| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

In realtà, questa ambiguità è l'intero problema: poiché il numero sotto il modulo cambia (dipende dalla variabile), non ci è chiaro se sia positivo o negativo.

Ma cosa succede se inizialmente richiediamo che questo numero sia positivo? Ad esempio, chiediamo che $3x-5 \gt 0$ - in questo caso, abbiamo la garanzia di ottenere un numero positivo sotto il segno del modulo e possiamo eliminare completamente questo modulo:

Pertanto, la nostra equazione si trasformerà in una lineare, che è facilmente risolvibile:

È vero, tutte queste considerazioni hanno senso solo alla condizione $3x-5 \gt 0$ - noi stessi abbiamo introdotto questo requisito per rivelare inequivocabilmente il modulo. Quindi sostituiamo il $x=\frac(5)(3)$ trovato in questa condizione e controlliamo:

Si scopre che per il valore specificato di $x$, il nostro requisito non è soddisfatto, perché l'espressione si è rivelata uguale a zero e abbiamo bisogno che sia strettamente maggiore di zero. Triste. :(

Ma va bene! Dopotutto, c'è un'altra opzione $3x-5 \lt 0$. Inoltre: c'è anche il caso $3x-5=0$ - anche questo deve essere considerato, altrimenti la soluzione sarà incompleta. Quindi, considera il caso $3x-5 \lt 0$:

È ovvio che il modulo si aprirà con un segno meno. Ma poi si presenta una strana situazione: la stessa espressione sporgerà sia a sinistra che a destra nell'equazione originale:

Mi chiedo per cosa tale $x$ l'espressione $5-3x$ sarà uguale all'espressione $5-3x$? Da tali equazioni, anche il Capitano si strozzerebbe ovviamente con la saliva, ma sappiamo che questa equazione è un'identità, cioè. è vero per qualsiasi valore della variabile!

E questo significa che qualsiasi $x$ ci andrà bene. Tuttavia, abbiamo un limite:

In altre parole, la risposta non sarà un singolo numero, ma un intero intervallo:

Infine, c'è ancora un caso da considerare: $3x-5=0$. Qui tutto è semplice: ci sarà zero sotto il modulo e anche il modulo di zero è uguale a zero (questo segue direttamente dalla definizione):

Ma poi l'equazione originale $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ verrà riscritto in questo modo:

Abbiamo già ottenuto questa radice sopra quando abbiamo considerato il caso $3x-5 \gt 0$. Inoltre, questa radice è una soluzione all'equazione $3x-5=0$ - questa è la restrizione che noi stessi abbiamo introdotto per annullare il modulo. :)

Quindi, oltre all'intervallo, saremo anche soddisfatti del numero che si trova proprio alla fine di questo intervallo:

Combinazione di radici in equazioni con modulo

Risposta finale totale: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$. Non è molto comune vedere una tale schifezza nella risposta a un'equazione piuttosto semplice (essenzialmente lineare) con modulo Bene, abituati: la complessità del modulo sta nel fatto che le risposte in tali equazioni possono essere completamente imprevedibili.

Molto più importante è qualcos'altro: abbiamo appena smantellato un algoritmo universale per risolvere un'equazione con un modulo! E questo algoritmo consiste nei seguenti passaggi:

1. Uguaglia ogni modulo nell'equazione a zero. Prendiamo alcune equazioni;
2. Risolvi tutte queste equazioni e segna le radici sulla linea dei numeri. Di conseguenza, la retta sarà suddivisa in più intervalli, su ciascuno dei quali tutti i moduli sono espansi in modo univoco;
3. Risolvi l'equazione originale per ogni intervallo e combina le risposte.

È tutto! Rimane solo una domanda: cosa fare con le radici stesse, ottenute al 1° passaggio? Supponiamo di avere due radici: $x=1$ e $x=5$. Spezzeranno la linea dei numeri in 3 pezzi:

Dividere una linea numerica in intervalli usando i punti

Allora quali sono gli intervalli? È chiaro che ce ne sono tre:

1. Più a sinistra: $x \lt 1$ - l'unità stessa non è inclusa nell'intervallo;
2. Centrale: $1\le x \lt 5$ - qui uno è incluso nell'intervallo, ma cinque non sono inclusi;
3. Quello più a destra: $x\ge 5$ — il cinque è incluso solo qui!

Penso che tu abbia già capito lo schema. Ogni intervallo include l'estremità sinistra e non include l'estremità destra.

A prima vista, un record del genere può sembrare scomodo, illogico e generalmente una sorta di pazzo. Ma credetemi: dopo un po' di pratica, scoprirete che questo è l'approccio più affidabile e allo stesso tempo non interferisce con i moduli che rivelano inequivocabilmente. È meglio usare uno schema del genere piuttosto che pensare ogni volta: dai l'estremità sinistra / destra all'intervallo corrente o "lancialo" a quello successivo.

Qui finisce la lezione. Scarica compiti per auto-risolvi, esercitati, confronta con le risposte e ci vediamo nella prossima lezione, che sarà dedicata alle disuguaglianze con i moduli. :)