Definizione. Se vengono date due rette y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , allora l'angolo acuto tra queste rette sarà definito come

Due rette sono parallele se k 1 = k 2 . Due rette sono perpendicolari se k 1 = -1/ k 2 .

Teorema. Le rette Ax + Vy + C \u003d 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sono parallele quando i coefficienti A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB sono proporzionali. Se anche С 1 = λС, allora le linee coincidono. Le coordinate del punto di intersezione di due rette si trovano come soluzione al sistema di equazioni di queste rette.

Equazione di una retta passante per un dato punto

Perpendicolare a questa linea

Definizione. La retta passante per il punto M 1 (x 1, y 1) e perpendicolare alla retta y \u003d kx + b è rappresentata dall'equazione:

Distanza da punto a linea

Teorema. Se viene fornito un punto M(x 0, y 0), la distanza dalla linea Ax + Vy + C \u003d 0 è definita come

.

Prova. Sia il punto M 1 (x 1, y 1) la base della perpendicolare caduta dal punto M alla retta data. Quindi la distanza tra i punti M e M 1:

(1)

Le coordinate x 1 e y 1 possono essere trovate come soluzione del sistema di equazioni:

La seconda equazione del sistema è l'equazione di una retta passante per un dato punto M 0 perpendicolare ad una data retta. Se trasformiamo la prima equazione del sistema nella forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Per 0 + C = 0,

quindi, risolvendo, otteniamo:

Sostituendo queste espressioni nell'equazione (1), troviamo:

Il teorema è stato dimostrato.

Esempio. Determina l'angolo tra le linee: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Esempio. Mostra che le linee 3x - 5y + 7 = 0 e 10x + 6y - 3 = 0 sono perpendicolari.

Soluzione. Troviamo: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, quindi le linee sono perpendicolari.

Esempio. Sono dati i vertici del triangolo A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Trova l'equazione per l'altezza ricavata dal vertice C.

Soluzione. Troviamo l'equazione del lato AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3 anni + 3 = 0;

L'equazione dell'altezza desiderata è: Ax + By + C = 0 o y = kx + b. k = . Allora y = . Perché l'altezza passa per il punto C, quindi le sue coordinate soddisfano questa equazione: da cui b = 17. Totale: .

Risposta: 3x + 2y - 34 = 0.

Equazione di una retta passante per un dato punto in una data direzione. Equazione di una retta passante per due punti dati. Angolo tra due linee. Condizione di parallelismo e perpendicolarità di due rette. Determinazione del punto di intersezione di due rette

1. Equazione di una retta passante per un dato punto UN(X 1 , y 1) in una determinata direzione, determinata dalla pendenza K,

y - y 1 = K(X - X 1). (1)

Questa equazione definisce una matita di linee passanti per un punto UN(X 1 , y 1), che prende il nome di centro della trave.

2. Equazione di una retta passante per due punti: UN(X 1 , y 1) e B(X 2 , y 2) si scrive così:

La pendenza di una retta passante per due punti dati è determinata dalla formula

3. Angolo tra rette UN e Bè l'angolo di cui deve essere ruotata la prima retta UN attorno al punto di intersezione di queste linee in senso antiorario fino a coincidere con la seconda linea B. Se due rette sono date da equazioni di pendenza

y = K 1 X + B 1 ,

y = K 2 X + B 2 , (4)

quindi l'angolo tra loro è determinato dalla formula

Si noti che al numeratore della frazione la pendenza della prima retta viene sottratta dalla pendenza della seconda retta.

Se le equazioni di una retta sono date in forma generale

UN 1 X + B 1 y + C 1 = 0,

UN 2 X + B 2 y + C 2 = 0, (6)

l'angolo tra loro è determinato dalla formula

4. Condizioni per il parallelismo di due rette:

a) Se le rette sono date dalle equazioni (4) con pendenza, la condizione necessaria e sufficiente per il loro parallelismo è l'uguaglianza delle loro pendenze:

K 1 = K 2 . (8)

b) Nel caso in cui le rette siano date da equazioni nella forma generale (6), la condizione necessaria e sufficiente per il loro parallelismo è che i coefficienti alle corrispondenti coordinate di corrente nelle loro equazioni siano proporzionali, cioè

5. Condizioni per la perpendicolarità di due rette:

a) Nel caso in cui le rette siano date dalle equazioni (4) con pendenza, condizione necessaria e sufficiente per la loro perpendicolarità è che le loro pendenze siano reciproche in grandezza e opposte nel segno, cioè

Questa condizione può anche essere scritta nel modulo

K 1 K 2 = -1. (11)

b) Se le equazioni delle rette sono date nella forma generale (6), allora la condizione della loro perpendicolarità (necessaria e sufficiente) è soddisfare l'uguaglianza

UN 1 UN 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Le coordinate del punto di intersezione di due rette si trovano risolvendo il sistema di equazioni (6). Le linee (6) si intersecano se e solo se

1. Scrivi le equazioni delle rette passanti per il punto M, di cui una parallela e l'altra perpendicolare alla retta data l.

Sarà utile per ogni studente che si prepara all'esame di matematica ripetere l'argomento “Trovare l'angolo tra le linee”. Come mostrano le statistiche, quando si supera un test di attestazione, i compiti in questa sezione della stereometria causano difficoltà a un gran numero di studenti. Allo stesso tempo, le attività che richiedono la ricerca dell'angolo tra le rette si trovano in USE sia a livello di base che di profilo. Ciò significa che tutti dovrebbero essere in grado di risolverli.

Momenti fondamentali

Esistono 4 tipi di disposizione reciproca delle linee nello spazio. Possono coincidere, intersecarsi, essere paralleli o intersecanti. L'angolo tra loro può essere acuto o dritto.

Per trovare l'angolo tra le linee nell'esame unificato di stato o, ad esempio, nella soluzione, gli scolari di Mosca e di altre città possono utilizzare diversi metodi per risolvere i problemi in questa sezione della stereometria. Puoi completare l'attività con costruzioni classiche. Per fare ciò, vale la pena imparare gli assiomi e i teoremi di base della stereometria. Lo studente deve essere in grado di costruire logicamente ragionamenti e creare disegni per portare il compito ad un problema planimetrico.

Puoi anche usare il metodo delle coordinate vettoriali, usando semplici formule, regole e algoritmi. La cosa principale in questo caso è eseguire correttamente tutti i calcoli. Il progetto educativo Shkolkovo ti aiuterà ad affinare le tue abilità nella risoluzione dei problemi in stereometria e in altre sezioni del corso scolastico.

Questo materiale è dedicato a un concetto come l'angolo tra due rette che si intersecano. Nel primo paragrafo spiegheremo di cosa si tratta e lo mostreremo nelle illustrazioni. Quindi analizzeremo come trovare il seno, il coseno di questo angolo e l'angolo stesso (considereremo separatamente i casi con un piano e uno spazio tridimensionale), forniremo le formule necessarie e mostreremo con esempi come vengono applicati esattamente in pratica.

Per capire cos'è un angolo formato all'intersezione di due rette, dobbiamo ricordare la definizione stessa di angolo, perpendicolarità e punto di intersezione.

Definizione 1

Chiamiamo due rette che si intersecano se hanno un punto in comune. Questo punto è detto punto di intersezione delle due rette.

Ogni linea è divisa in raggi per il punto di intersezione. In questo caso, entrambe le linee formano 4 angoli, di cui due verticali e due adiacenti. Se conosciamo la misura di uno di essi, possiamo determinare gli altri rimanenti.

Diciamo di sapere che uno degli angoli è uguale ad α. In tal caso, anche l'angolo che è verticale ad esso sarà uguale a α. Per trovare gli angoli rimanenti, dobbiamo calcolare la differenza 180 ° - α . Se α è uguale a 90 gradi, tutti gli angoli saranno retti. Le linee che si intersecano ad angolo retto sono dette perpendicolari (un articolo separato è dedicato al concetto di perpendicolarità).

Dai un'occhiata alla foto:

Procediamo alla formulazione della definizione principale.

Definizione 2

L'angolo formato da due rette che si intersecano è la misura del più piccolo dei 4 angoli che formano queste due rette.

Dalla definizione si deve trarre un'importante conclusione: la dimensione dell'angolo in questo caso sarà espressa da un qualsiasi numero reale nell'intervallo (0, 90]. Se le rette sono perpendicolari, l'angolo tra di esse sarà comunque pari a 90 gradi.

La capacità di trovare la misura dell'angolo tra due rette intersecanti è utile per risolvere molti problemi pratici. Il metodo di soluzione può essere selezionato tra diverse opzioni.

Per cominciare, possiamo prendere metodi geometrici. Se sappiamo qualcosa sugli angoli aggiuntivi, possiamo collegarli all'angolo di cui abbiamo bisogno usando le proprietà di forme uguali o simili. Ad esempio, se conosciamo i lati di un triangolo e dobbiamo calcolare l'angolo tra le rette su cui si trovano questi lati, allora il teorema del coseno è adatto per la risoluzione. Se abbiamo un triangolo rettangolo nella condizione, per i calcoli dovremo anche conoscere il seno, il coseno e la tangente dell'angolo.

Il metodo delle coordinate è anche molto conveniente per risolvere problemi di questo tipo. Spieghiamo come usarlo correttamente.

Abbiamo un sistema di coordinate rettangolare (cartesiano) O x y con due rette. Indichiamoli con le lettere a e b. In questo caso, le rette possono essere descritte utilizzando qualsiasi equazione. Le linee originali hanno un punto di intersezione M . Come determinare l'angolo desiderato (indichiamolo α) tra queste linee?

Iniziamo con la formulazione del principio di base di trovare un angolo in determinate condizioni.

Sappiamo che concetti come direzione e vettore normale sono strettamente correlati al concetto di linea retta. Se abbiamo l'equazione di una retta, possiamo ricavarne le coordinate di questi vettori. Possiamo farlo per due linee che si intersecano contemporaneamente.

L'angolo formato da due rette che si intersecano può essere trovato usando:

• angolo tra i vettori di direzione;
• angolo tra vettori normali;
• l'angolo tra il vettore normale di una linea e il vettore di direzione dell'altra.

Ora diamo un'occhiata a ciascun metodo separatamente.

1. Supponiamo di avere una retta a con vettore di direzione a → = (a x , a y) e una retta b con vettore di direzione b → (b x , b y) . Ora mettiamo da parte due vettori a → e b → dal punto di intersezione. Successivamente, vedremo che ciascuno si troverà sulla propria linea. Quindi abbiamo quattro opzioni per la loro posizione relativa. Vedi illustrazione:

Se l'angolo tra due vettori non è ottuso, allora sarà l'angolo di cui abbiamo bisogno tra le linee aeb che si intersecano. Se è ottuso, l'angolo desiderato sarà uguale all'angolo adiacente all'angolo a → , b → ^ . Pertanto, α = a → , b → ^ se a → , b → ^ ≤ 90 ° e α = 180 ° - a → , b → ^ se a → , b → ^ > 90 ° .

In base al fatto che i coseni di angoli uguali sono uguali, possiamo riscrivere le uguaglianze risultanti come segue: cos α = cos a → , b → ^ se a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ se a → , b → ^ > 90 ° .

Nel secondo caso sono state utilizzate formule di riduzione. In questo modo,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Scriviamo l'ultima formula in parole:

Definizione 3

Il coseno dell'angolo formato da due rette che si intersecano sarà uguale al modulo del coseno dell'angolo tra i suoi vettori di direzione.

La forma generale della formula per il coseno dell'angolo tra due vettori a → = (a x, a y) e b → = (b x, b y) si presenta così:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Da esso possiamo ricavare la formula per il coseno dell'angolo tra due rette date:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Quindi l'angolo stesso può essere trovato usando la seguente formula:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Qui a → = (a x , a y) e b → = (b x , b y) sono i vettori di direzione delle rette date.

Facciamo un esempio per risolvere il problema.

Esempio 1

In un sistema di coordinate rettangolare, sul piano vengono fornite due rette aeb che si intersecano. Possono essere descritti da equazioni parametriche x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R e x 5 = y - 6 - 3 . Calcola l'angolo tra queste linee.

Soluzione

Abbiamo un'equazione parametrica nella condizione, il che significa che per questa retta possiamo scrivere immediatamente le coordinate del suo vettore di direzione. Per fare ciò, dobbiamo prendere i valori dei coefficienti al parametro, ad es. la retta x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R avrà un vettore di direzione a → = (4 , 1) .

La seconda retta è descritta usando l'equazione canonica x 5 = y-6-3. Qui possiamo prendere le coordinate dai denominatori. Pertanto, questa retta ha un vettore di direzione b → = (5 , - 3) .

Successivamente, procediamo direttamente alla ricerca dell'angolo. Per fare ciò, sostituisci semplicemente le coordinate disponibili dei due vettori nella formula sopra α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Otteniamo quanto segue:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Risposta: Queste linee formano un angolo di 45 gradi.

Possiamo risolvere un problema simile trovando l'angolo tra i vettori normali. Se abbiamo una retta a con un vettore normale na → = (nax , nay) e una retta b con un vettore normale nb → = (nbx , nby) , allora l'angolo tra loro sarà uguale all'angolo tra na → e nb → o l'angolo che sarà adiacente a na → , nb → ^ . Questo metodo è mostrato nell'immagine:

Le formule per calcolare il coseno dell'angolo tra le linee che si intersecano e questo angolo stesso usando le coordinate dei vettori normali si presentano così:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Qui n a → e n b → denotano i vettori normali di due rette date.

Esempio 2

Due rette sono fornite in un sistema di coordinate rettangolare usando le equazioni 3 x + 5 y - 30 = 0 e x + 4 y - 17 = 0 . Trova il seno, il coseno dell'angolo tra di loro e l'ampiezza di quell'angolo stesso.

Soluzione

Le rette originali sono date usando normali equazioni di rette della forma A x + B y + C = 0 . Indichiamo il vettore normale n → = (A , B) . Troviamo le coordinate del primo vettore normale per una retta e scriviamole: n a → = (3 , 5) . Per la seconda riga x + 4 y - 17 = 0 il vettore normale avrà coordinate n b → = (1 , 4) . Ora aggiungi i valori ottenuti ​​alla formula e calcola il totale:

cos α = cos n un → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Se conosciamo il coseno di un angolo, possiamo calcolarne il seno usando l'identità trigonometrica di base. Poiché l'angolo α formato da rette non è ottuso, sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

In questo caso, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Risposta: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Analizziamo l'ultimo caso: trovare l'angolo tra le linee, se conosciamo le coordinate del vettore di direzione di una linea e il vettore normale dell'altra.

Supponiamo che la retta a abbia un vettore di direzione a → = (a x , a y) e la retta b abbia un vettore normale n b → = (n b x , n b y) . Abbiamo bisogno di posticipare questi vettori dal punto di intersezione e considerare tutte le opzioni per la loro posizione relativa. Guarda l'immagine:

Se l'angolo tra i vettori dati non è superiore a 90 gradi, risulta che completerà l'angolo tra aeb ad angolo retto.

a → , n b → ^ = 90° - α se a → , n b → ^ ≤ 90°.

Se è inferiore a 90 gradi, otteniamo quanto segue:

a → , n b → ^ > 90 ° , quindi a → , n b → ^ = 90 ° + α

Usando la regola di uguaglianza dei coseni di angoli uguali, scriviamo:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α per a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α a → , n b → ^ > 90 ° .

In questo modo,

sin α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ ≤ 90 ° - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 0 - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Formuliamo una conclusione.

Definizione 4

Per trovare il seno dell'angolo tra due rette che si intersecano in un piano, è necessario calcolare il modulo del coseno dell'angolo tra il vettore di direzione della prima linea e il vettore normale della seconda.

Scriviamo le formule necessarie. Trovare il seno di un angolo:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n per y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n per y 2

Trovare l'angolo stesso:

α = a r c sin = a x n b x + a y n per y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n per y 2

Qui a → è il vettore di direzione della prima linea, e n b → è il vettore normale della seconda.

Esempio 3

Due rette intersecanti sono date dalle equazioni x - 5 = y - 6 3 e x + 4 y - 17 = 0 . Trova l'angolo di intersezione.

Soluzione

Prendiamo le coordinate del vettore diretto e normale dalle equazioni date. Risulta a → = (- 5, 3) ​​e n → b = (1, 4) . Prendiamo la formula α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 e consideriamo:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Si noti che abbiamo preso le equazioni dal problema precedente e ottenuto esattamente lo stesso risultato, ma in un modo diverso.

Risposta:α = a rc sin 7 2 34

Ecco un altro modo per trovare l'angolo desiderato usando i coefficienti di pendenza di determinate linee.

Abbiamo una retta a , definita in un sistema di coordinate rettangolare usando l' equazione y = k 1 · x + b 1 , e una retta b , definita come y = k 2 · x + b 2 . Queste sono equazioni di rette con pendenza. Per trovare l'angolo di intersezione, utilizzare la formula:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , dove k 1 e k 2 sono le pendenze delle rette date. Per ottenere questo record sono state utilizzate formule per determinare l'angolo attraverso le coordinate dei vettori normali.

Esempio 4

Ci sono due rette che si intersecano nel piano, date dalle equazioni y = - 3 5 x + 6 e y = - 1 4 x + 17 4 . Calcola l'angolo di intersezione.

Soluzione

Le pendenze delle nostre linee sono pari a k ​​1 = - 3 5 e k 2 = - 1 4 . Sommiamoli alla formula α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 e calcoliamo:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

Risposta:α = a r c cos 23 2 34

Nelle conclusioni di questo paragrafo, va notato che le formule per trovare l'angolo qui fornite non devono essere imparate a memoria. Per fare ciò è sufficiente conoscere le coordinate delle guide e/o dei vettori normali delle rette date ed essere in grado di determinarle utilizzando diversi tipi di equazioni. Ma è meglio ricordare o annotare le formule per calcolare il coseno di un angolo.

Come calcolare l'angolo tra le linee intersecanti nello spazio

Il calcolo di un tale angolo può essere ridotto al calcolo delle coordinate dei vettori di direzione e alla determinazione dell'ampiezza dell'angolo formato da questi vettori. Per tali esempi, utilizziamo lo stesso ragionamento che abbiamo fornito prima.

Supponiamo di avere un sistema di coordinate rettangolare situato nello spazio 3D. Contiene due rette aeb con il punto di intersezione M . Per calcolare le coordinate dei vettori di direzione, dobbiamo conoscere le equazioni di queste rette. Indichiamo i vettori di direzione a → = (a x , a y , a z) e b → = (b x , b y , b z) . Per calcolare il coseno dell'angolo tra di loro, utilizziamo la formula:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Per trovare l'angolo stesso, abbiamo bisogno di questa formula:

α = a r c cos a x b x + a y di y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Esempio 5

Abbiamo una retta definita nello spazio 3D usando l'equazione x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . È noto che si interseca con l'asse O z. Calcola l'angolo di intersezione e il coseno di quell'angolo.

Soluzione

Indichiamo l'angolo da calcolare con la lettera α. Scriviamo le coordinate del vettore di direzione per la prima retta -a → = (1 , - 3 , - 2) . Per l'asse applicato, possiamo prendere come guida il vettore di coordinate k → = (0 , 0 , 1). Abbiamo ricevuto i dati necessari e possiamo aggiungerli alla formula desiderata:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Di conseguenza, abbiamo ottenuto che l'angolo di cui abbiamo bisogno sarà uguale a r c cos 1 2 = 45 °.

Risposta: cosα = 1 2 , α = 45°.

Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio

ANGOLO TRA I PIANI

Consideriamo due piani α 1 e α 2 dati rispettivamente dalle equazioni:

Sotto angolo tra due piani si intende uno degli angoli diedri formati da questi piani. È ovvio che l'angolo tra i vettori normali ed i piani α 1 e α 2 è uguale ad uno degli angoli diedri adiacenti indicati o . Ecco perché . Perché e , poi

.

Esempio. Determina l'angolo tra i piani X+2y-3z+4=0 e 2 X+3y+z+8=0.

Condizione di parallelismo di due piani.

Due piani α 1 e α 2 sono paralleli se e solo se i loro vettori normali e sono paralleli, e quindi .

Quindi, due piani sono paralleli tra loro se e solo se i coefficienti alle coordinate corrispondenti sono proporzionali:

o

Condizione di perpendicolarità dei piani.

È chiaro che due piani sono perpendicolari se e solo se i loro vettori normali sono perpendicolari, e quindi, o .

In questo modo, .

Esempi.

DIRETTA NELLO SPAZIO.

EQUAZIONE VETTORIALE DIRETTA.

EQUAZIONI PARAMETRICHE DIRETTE

La posizione di una retta nello spazio è completamente determinata specificando uno qualsiasi dei suoi punti fissi m 1 e un vettore parallelo a questa retta.

Viene chiamato un vettore parallelo a una retta guida il vettore di questa linea.

Quindi andiamo dritto l passa per un punto m 1 (X 1 , y 1 , z 1) giacente su una retta parallela al vettore.

Considera un punto arbitrario M(x,y,z) su una linea retta. Si può vedere dalla figura che .

I vettori e sono collineari, quindi esiste un tale numero T, cosa , dov'è il moltiplicatore T può assumere qualsiasi valore numerico a seconda della posizione del punto m su una linea retta. Fattore Tè chiamato parametro. Indicazione dei vettori raggio dei punti m 1 e m rispettivamente, attraverso e , otteniamo . Questa equazione è chiamata vettore equazione di linea retta. Mostra che ogni valore di parametro T corrisponde al vettore raggio di un punto m sdraiato su una linea retta.

Scriviamo questa equazione in forma di coordinate. Notare che , e da qui

Le equazioni risultanti sono chiamate parametrico equazioni in linea retta.

Quando si modifica il parametro T cambiano le coordinate X, y e z e punto m si muove in linea retta.

EQUAZIONI CANONICHE DIRETTE

Lascia stare m 1 (X 1 , y 1 , z 1) - un punto che giace su una linea retta l, E è il suo vettore di direzione. Ancora una volta, prendi un punto arbitrario su una linea retta M(x,y,z) e considera il vettore.

È chiaro che i vettori e sono collineari, quindi le rispettive coordinate devono essere proporzionali, quindi

– canonico equazioni in linea retta.

Nota 1. Si noti che le equazioni canoniche della retta possono essere ottenute dalle equazioni parametriche eliminando il parametro T. Infatti, dalle equazioni parametriche otteniamo o .

Esempio. Scrivi l'equazione di una retta in modo parametrico.

Denota , quindi X = 2 + 3T, y = –1 + 2T, z = 1 –T.

Nota 2. Lascia che la linea sia perpendicolare a uno degli assi delle coordinate, ad esempio l'asse Bue. Allora il vettore di direzione della retta è perpendicolare Bue, Di conseguenza, m=0. Di conseguenza, le equazioni parametriche della retta prendono la forma

Eliminazione del parametro dalle equazioni T, otteniamo le equazioni della retta nella forma

Tuttavia, anche in questo caso, accettiamo di scrivere formalmente le equazioni canoniche della retta nella forma . Pertanto, se il denominatore di una delle frazioni è zero, significa che la linea è perpendicolare all'asse delle coordinate corrispondente.

Allo stesso modo, le equazioni canoniche corrisponde ad una retta perpendicolare agli assi Bue e Ehi o asse parallelo Oz.

Esempi.

EQUAZIONI GENERALI UNA LINEA DIRETTA COME LINEA DI INTERCETTAZIONE DI DUE AEREI

Per ogni retta nello spazio passa un numero infinito di piani. Due di loro, intersecantisi, lo definiscono nello spazio. Pertanto, le equazioni di due piani qualsiasi, considerati insieme, sono le equazioni di questa retta.

In generale, due piani non paralleli qualsiasi dati dalle equazioni generali

determinare la loro linea di intersezione. Queste equazioni sono chiamate equazioni generali dritto.

Esempi.

Costruisci una retta data da equazioni

Per costruire una retta basta trovare due dei suoi punti. Il modo più semplice è scegliere i punti di intersezione della linea con i piani delle coordinate. Ad esempio, il punto di intersezione con il piano xOy otteniamo dalle equazioni di una retta, assumendo z= 0:

Risolvendo questo sistema, troviamo il punto m 1 (1;2;0).

Allo stesso modo, supponendo y= 0, otteniamo il punto di intersezione della retta con il piano xOz:

Dalle equazioni generali di una retta si può procedere alle sue equazioni canoniche o parametriche. Per fare questo, devi trovare un punto m 1 sulla retta e il vettore di direzione della retta.

Coordinate del punto m 1 otteniamo da questo sistema di equazioni, dando a una delle coordinate un valore arbitrario. Per trovare il vettore di direzione, si noti che questo vettore deve essere perpendicolare a entrambi i vettori normali e . Pertanto, per il vettore di direzione della retta l puoi prendere il prodotto incrociato di vettori normali:

.

Esempio. Fornisci le equazioni generali della retta alla forma canonica.

Trova un punto su una retta. Per fare ciò, scegliamo arbitrariamente una delle coordinate, ad esempio, y= 0 e risolvi il sistema di equazioni:

I vettori normali dei piani che definiscono la linea hanno coordinate Pertanto, il vettore di direzione sarà dritto

. Di conseguenza, l: .

ANGOLO TRA DIRITTI

angolo tra rette nello spazio chiameremo uno qualsiasi degli angoli adiacenti formati da due rette tracciate attraverso un punto arbitrario parallelo ai dati.

Siano date due rette nello spazio:

Ovviamente, l'angolo φ tra le linee può essere preso come l'angolo tra i loro vettori di direzione e . Poiché , quindi secondo la formula per il coseno dell'angolo tra i vettori otteniamo

Iniezione φ equazioni generali A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 e A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, si calcola con la formula:

Iniezione φ tra due rette equazioni canoniche(x-x 1) / m 1 \u003d (y-y 1) / n 1 e (x-x 2) / m 2 \u003d (y-y 2) / n 2, è calcolato dalla formula:

Distanza da punto a linea

Ogni piano nello spazio può essere rappresentato come un'equazione lineare chiamata equazione generale aereo

Casi speciali.

o Se nell'equazione (8), allora il piano passa per l'origine.

o Con (,) il piano è parallelo all'asse (asse, asse), rispettivamente.

o Quando (,) il piano è parallelo al piano (piano, piano).

Soluzione: utilizzare (7)

Risposta: l'equazione generale del piano.

Esempio.

Il piano nel sistema di coordinate rettangolare Oxyz è dato dall'equazione generale del piano . Annota le coordinate di tutti i vettori normali in questo piano.

Sappiamo che i coefficienti delle variabili x, yez nell'equazione generale del piano sono le coordinate corrispondenti del vettore normale di quel piano. Pertanto, il vettore normale del piano dato ha coordinate. L'insieme di tutti i vettori normali può essere dato come

Scrivi l'equazione di un piano se in un sistema di coordinate rettangolare Oxyz nello spazio passa per un punto , ma è il vettore normale di questo piano.

Presentiamo due soluzioni a questo problema.

Dalla condizione che abbiamo. Sostituiamo questi dati nell'equazione generale del piano passante per il punto:

Scrivi l'equazione generale per un piano parallelo al piano delle coordinate Oyz e passante per il punto .

Un piano parallelo al piano delle coordinate Oyz può essere dato da un'equazione generale incompleta del piano della forma. Dal momento che il punto appartiene al piano per condizione, allora le coordinate di questo punto devono soddisfare l'equazione del piano, cioè l'uguaglianza deve essere vera. Da qui troviamo. Pertanto, l'equazione desiderata ha la forma.

Soluzione. Il prodotto vettoriale, per definizione 10.26, è ortogonale ai vettori p e q. Pertanto, è ortogonale al piano desiderato e il vettore può essere preso come suo vettore normale. Trova le coordinate del vettore n:

cioè . Usando la formula (11.1), otteniamo

Aprendo le parentesi in questa equazione, arriviamo alla risposta finale.

Risposta: .

Riscriviamo il vettore normale nella forma e troviamo la sua lunghezza:

Secondo quanto sopra:

Risposta:

I piani paralleli hanno lo stesso vettore normale. 1) Dall'equazione troviamo il vettore normale del piano:.

2) Componiamo l'equazione del piano secondo il punto e il vettore normale:

Risposta:

Equazione vettoriale di un piano nello spazio

Equazione parametrica di un piano nello spazio

Equazione di un piano passante per un dato punto perpendicolare a un dato vettore

Sia dato un sistema di coordinate cartesiane rettangolari nello spazio tridimensionale. Formuliamo il seguente problema:

Scrivi un'equazione per un piano passante per un dato punto m(X 0, y 0, z 0) perpendicolare al vettore dato n = ( UN, B, C} .

Soluzione. Lascia stare P(X, y, z) è un punto arbitrario nello spazio. Punto P appartiene al piano se e solo se il vettore MP = {X − X 0, y − y 0, z − z 0) ortogonale al vettore n = {UN, B, C) (Fig. 1).

Dopo aver scritto la condizione di ortogonalità per questi vettori (n, MP) = 0 in forma di coordinate, otteniamo:

UN(X − X 0) + B(y − y 0) + C(z − z 0) = 0

Equazione di un piano per tre punti

In forma vettoriale

In coordinate

Disposizione reciproca dei piani nello spazio

sono equazioni generali di due piani. Quindi:

1) se , allora i piani coincidono;

2) se , allora i piani sono paralleli;

3) se o , allora i piani si intersecano e il sistema di equazioni

(6)

sono le equazioni della linea di intersezione dei piani dati.

Soluzione: Componiamo le equazioni canoniche della retta con la formula: Risposta:

Prendiamo le equazioni risultanti e "spingiamo" mentalmente, ad esempio, il pezzo sinistro: . Ora identifichiamo questo pezzo a qualsiasi numero(ricorda che c'era già uno zero), ad esempio, a uno: . Poiché , anche gli altri due "pezzi" devono essere uguali a uno. In sostanza, devi risolvere il sistema:

Scrivi le equazioni parametriche per le seguenti linee:

Soluzione: Le rette sono date da equazioni canoniche e nella prima fase si dovrebbe trovare un punto appartenente alla retta e il suo vettore di direzione.

a) Dalle equazioni rimuovere il punto e il vettore di direzione: . Puoi scegliere un altro punto (come farlo è descritto sopra), ma è meglio prendere quello più ovvio. A proposito, per evitare errori, sostituisci sempre le sue coordinate nelle equazioni.

Componiamo le equazioni parametriche di questa retta:

La comodità delle equazioni parametriche è che con il loro aiuto è molto facile trovare altri punti della retta. Per esempio, troviamo un punto le cui coordinate, diciamo, corrispondono al valore del parametro:

Quindi: b) Consideriamo le equazioni canoniche . La scelta di un punto qui è semplice, ma insidiosa: (attenzione a non confondere le coordinate!!!). Come estrarre un vettore guida? Puoi ipotizzare a cosa sia parallela questa linea, oppure puoi usare un semplice trucco formale: la proporzione è "Y" e "Z", quindi scriviamo il vettore di direzione , e mettiamo zero nello spazio rimanente: .

Componiamo le equazioni parametriche della retta:

c) Riscriviamo le equazioni nella forma , cioè "Z" può essere qualsiasi cosa. E se ce ne sono, allora lasciamo, per esempio, . Quindi, il punto appartiene a questa linea. Per trovare il vettore di direzione, utilizziamo la seguente tecnica formale: nelle equazioni iniziali ci sono "x" e "y", e nel vettore di direzione in questi punti scriviamo zeri: . Nel posto rimanente mettiamo unità: . Invece di uno, qualsiasi numero, tranne lo zero, andrà bene.

Scriviamo le equazioni parametriche della retta: