Un triangolo rettangolo è una figura semplice ma estremamente importante per la matematica. Conoscere le sue proprietà e la capacità di operare con i parametri di base di un triangolo rettangolo ti consentirà di far fronte sia alle attività scolastiche che a quelle reali.

Geometria di un triangolo rettangolo

Geometricamente, un triangolo è composto da tre punti che non giacciono su una retta, che sono collegati da segmenti. Un triangolo rettangolo è una figura i cui due lati formano un angolo retto. Questi lati sono chiamati le gambe del triangolo e il terzo lato più lungo è chiamato ipotenusa. Il rapporto tra i quadrati delle gambe e l'ipotenusa stabilisce il teorema di Pitagora, uno dei teoremi fondamentali della geometria euclidea.

I rapporti dell'ipotenusa e delle gambe hanno anche gettato le basi per un'intera sezione della matematica: la trigonometria. Inizialmente, seno e coseno erano definiti come funzioni degli angoli di un triangolo rettangolo, ma in senso moderno funzioni trigonometriche esteso all'intero asse numerico. Oggi, la trigonometria è utilizzata in molti settori dell'attività umana: dall'astronomia e dall'oceanografia all'analisi mercati finanziari e sviluppo di giochi per computer.

Triangolo rettangolo in realtà

Lo stesso triangolo rettangolo si trova in realtà ad ogni angolo, sia in senso letterale che figurato. Le facce di tetraedri e prismi hanno la forma di un triangolo rettangolo, che in realtà si trasforma in parti di macchine, tegole di ceramica o pendenze del tetto. Un quadrato è uno strumento di disegno che una persona incontra per la prima volta in una lezione di geometria, ha la forma di un triangolo rettangolo e viene utilizzato nella progettazione, nella costruzione e nella falegnameria.

Perimetro di un triangolo

Il perimetro è una stima numerica delle lunghezze di tutti i lati di un piano figura geometrica. Il perimetro di un n-gon si trova come somma delle lunghezze di n lati. Per determinare il perimetro di un triangolo rettangolo, viene utilizzata una semplice formula:

aeb sono gambe, c è l'ipotenusa.

Calcolando manualmente il perimetro di un triangolo, dovresti misurare tutti e tre i lati, eseguire operazioni trigonometriche aggiuntive o eseguire calcoli usando il teorema di Pitagora. Utilizzando il calcolatore online, devi solo scoprire le seguenti coppie di variabili:

• due gambe;
• gamba e angolo;
• ipotenusa e angolo.

Nelle attività scolastiche o nella pratica, ti verranno forniti i dati iniziali, quindi la calcolatrice ti permette di trovare il perimetro, conoscendo diverse coppie di parametri. Inoltre, lo strumento calcola automaticamente tutti gli altri attributi di un triangolo rettangolo, ovvero le lunghezze di tutti i lati e i valori di tutti gli angoli. Diamo un'occhiata a un paio di esempi.

Esempi di vita reale

compito scolastico

In un problema scolastico ti viene dato un triangolo rettangolo con una lunghezza della gamba di 5 cm e un angolo incluso di 60 gradi. È necessario trovare il perimetro di una figura geometrica. Il calcolatore online è accompagnato da un disegno che mostra i lati e gli angoli di un triangolo rettangolo. Vediamo che se la gamba è a \u003d 5 cm, il suo angolo incluso è l'angolo beta. Questo è un punto importante, perché se si utilizza l'angolo alfa per i calcoli, il risultato non sarà corretto. Inseriamo questi dati nel modulo e riceviamo una risposta nel modulo:

Oltre al perimetro stesso, il nostro programma ha determinato anche il valore dell'angolo opposto, nonché la lunghezza della seconda gamba e dell'ipotenusa.

Disposizione di un'aiuola

Diciamo che vuoi realizzare una recinzione per aiuole a forma di triangolo rettangolo. Per fare ciò, è necessario conoscere il perimetro della figura. Certo, in realtà, puoi semplicemente misurare tutti e tre i lati, ma è facile semplificare il tuo compito e misurare solo due gambe. Lascia che abbiano una lunghezza di 8 e 15 metri. Inseriamo questi dati nel modulo calcolatrice e otteniamo la risposta:

Quindi, dovrai acquistare materiali per organizzare una recinzione di 40 metri. Il nostro calcolatore ha anche calcolato la lunghezza dell'ipotenusa - 17 metri. I numeri 8, 15 e 17 compongono la terna pitagorica - numeri interi, che soddisfano le condizioni del teorema di Pitagora.

Conclusione

I triangoli rettangolari sono ampiamente utilizzati nella vita di tutti i giorni, quindi determinare l'area o il perimetro di una figura geometrica tornerà sicuramente utile quando si risolvono problemi scolastici o quotidiani.

Una delle forme geometriche di base è un triangolo. Si forma quando tre segmenti di linea si intersecano. Questi segmenti di linea formano i lati della figura e i punti della loro intersezione sono chiamati vertici. Ogni studente che segue un corso di geometria deve essere in grado di trovare il perimetro di questa figura. L'abilità acquisita sarà utile a molti in età adulta, ad esempio sarà utile a uno studente, ingegnere, costruttore,

Esistono diversi modi per trovare il perimetro di un triangolo. La scelta della formula necessaria dipende dai dati di origine disponibili. Per scrivere questo valore nella terminologia matematica, viene utilizzata una designazione speciale - P. Considera qual è il perimetro, i metodi principali per calcolarlo per figure triangolari di vario tipo.

al massimo in modo semplice trova il perimetro di una figura se sono dati tutti i lati. In questo caso si utilizza la seguente formula:

La lettera "P" indica il valore del perimetro stesso. A loro volta, "a", "b" e "c" sono le lunghezze dei lati.

Conoscendo la dimensione delle tre grandezze, basterà ricavarne la somma, che è il perimetro.

Opzione alternativa

Nei problemi matematici, tutte le lunghezze date sono raramente note. In questi casi, si consiglia di utilizzare modo alternativo ricerca dimensione desiderata. Quando le condizioni specificano la lunghezza di due rette, nonché l'angolo tra di esse, il calcolo viene effettuato attraverso la ricerca della terza. Per trovare questo numero, devi ottenere la radice quadrata usando la formula:

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Perimetro su entrambi i lati

Per calcolare il perimetro non è necessario conoscere tutti i dati di una figura geometrica. Considera i metodi di calcolo su due lati.

Triangolo isoscele

Un triangolo si dice isoscele se almeno due dei suoi lati hanno la stessa lunghezza. Sono chiamati laterali e il terzo lato è chiamato base. Le linee uguali formano un angolo al vertice. Una caratteristica in un triangolo isoscele è la presenza di un asse di simmetria. L'asse è una linea verticale che inizia dall'angolo superiore e termina nel mezzo della base. Al suo interno, l'asse di simmetria include i seguenti concetti:

• bisettrice dell'angolo del vertice;
• mediana alla base;
• l'altezza del triangolo;
• perpendicolare mediana.

Per determinare il perimetro di una figura triangolare isoscele, utilizzare la formula.

In questo caso, devi conoscere solo due quantità: la base e la lunghezza di un lato. La designazione "2a" implica moltiplicare la lunghezza del lato per 2. Alla cifra risultante, è necessario aggiungere il valore della base - "b".

Nel caso eccezionale quando la lunghezza della base triangolo isosceleè uguale alla sua linea laterale, puoi usare un metodo più semplice. Si esprime nella seguente formula:

Per ottenere il risultato, è sufficiente moltiplicare questo numero per tre. Questa formula viene utilizzata per trovare il perimetro di un triangolo regolare.

Video utile: problemi sul perimetro di un triangolo

Triangolo rettangolare

La principale differenza tra un triangolo rettangolo e altre forme geometriche di questa categoria è la presenza di un angolo di 90°. Su questa base si determina il tipo di figura. Prima di determinare come trovare il perimetro di un triangolo rettangolo, vale la pena notare che questo valore per qualsiasi figura geometrica piatta è la somma di tutti i lati. Quindi, in questo caso, il modo più semplice per scoprire il risultato è sommare i tre valori.

Nella terminologia scientifica, quei lati adiacenti all'angolo retto sono chiamati "gambe" e l'opposto all'angolo di 90º è l'ipotenusa. Le caratteristiche di questa figura furono studiate dall'antico scienziato greco Pitagora. Secondo il teorema di Pitagora, il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle gambe.

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Sulla base di questo teorema è stata derivata un'altra formula che spiega come trovare il perimetro di un triangolo dati due lati noti. Puoi calcolare il perimetro con la lunghezza specificata delle gambe usando il metodo seguente.

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Per scoprire il perimetro, avendo informazioni sulla dimensione di una gamba e sull'ipotenusa, è necessario determinare la lunghezza della seconda ipotenusa. A tale scopo vengono utilizzate le seguenti formule:

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Inoltre, il perimetro del tipo di figura descritto è determinato senza dati sulle dimensioni delle gambe.

Dovrai conoscere la lunghezza dell'ipotenusa e l'angolo adiacente ad essa. Conoscendo la lunghezza di una delle gambe, se c'è un angolo adiacente ad essa, il perimetro della figura viene calcolato dalla formula:

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Calcolo per altezza

Puoi calcolare il perimetro di categorie come isoscele e triangoli rettangoli attraverso il loro indicatore linea di mezzo. Come sai, l'altezza di un triangolo taglia in due la sua base. Pertanto, forma due figure rettangolari. Inoltre, l'indicatore desiderato viene calcolato utilizzando il teorema di Pitagora. La formula sarà simile a questa:

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Se conosci l'altezza e la metà della base, usando questo metodo otterrai il numero desiderato senza cercare il resto dei dati della figura.

Video utile: trovare il perimetro di un triangolo

Il perimetro di un triangolo, come in altre cose e in ogni figura, si dice somma delle lunghezze di tutti i lati. Abbastanza spesso, questo valore aiuta a trovare l'area o viene utilizzato per calcolare altri parametri della figura.
La formula per il perimetro di un triangolo si presenta così:

Un esempio di calcolo del perimetro di un triangolo. Sia dato un triangolo di lati a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm Sostituisci i dati nella formula: cm

Formula per il calcolo del perimetro triangolo isoscele sarà simile a questo:

Formula per il calcolo del perimetro triangolo equilatero:

Un esempio di calcolo del perimetro di un triangolo equilatero. Quando tutti i lati della figura sono uguali, possono essere semplicemente moltiplicati per tre. Diciamo che in questo caso si dà un triangolo regolare di lato 5 cm: cm

In generale, dati tutti i lati, trovare il perimetro è abbastanza facile. In altre situazioni, è necessario trovare la dimensione del lato mancante. A triangolo rettangolo puoi trovare una terza parte il teorema di Pitagora. Ad esempio, se si conoscono le lunghezze delle gambe, è possibile trovare l'ipotenusa usando la formula:

Si consideri un esempio di calcolo del perimetro di un triangolo isoscele, a condizione che si conosca la lunghezza delle gambe in un triangolo isoscele rettangolo.
Dato un triangolo con gambe a \u003d b \u003d 5 cm Trova il perimetro. Per prima cosa, troviamo il lato mancante con . cm
Calcoliamo ora il perimetro: cm
Il perimetro di un triangolo isoscele rettangolo sarà di 17 cm.

Nel caso in cui si conosca l'ipotenusa e la lunghezza di una gamba, quella mancante può essere trovata utilizzando la formula:
Se dentro triangolo rettangolo si conoscono l'ipotenusa e uno degli angoli acuti, quindi si trova il lato mancante con la formula.

Il perimetro è una quantità che implica la lunghezza di tutti i lati di una figura geometrica piatta (bidimensionale). Per diverse forme geometriche, ci sono diversi modi per trovare il perimetro.

In questo articolo imparerai come trovare il perimetro di una forma in diversi modi, a seconda delle facce conosciute.

Possibili metodi:

• sono noti tutti e tre i lati di un isoscele o di qualsiasi altro triangolo;
• come trovare il perimetro di un triangolo rettangolo con due facce note;
• due facce e l'angolo che si trova tra di loro (formula del coseno) sono noti senza una linea mediana e un'altezza.

Primo metodo: tutti i lati della figura sono noti

Come trovare il perimetro di un triangolo quando sono note tutte e tre le facce, necessario da usare la seguente formula: P = a + b + c, dove a,b,c sono le lunghezze note di tutti i lati del triangolo, P è il perimetro della figura.

Ad esempio sono noti tre lati della figura: a = 24 cm, b = 24 cm, c = 24 cm Questa è una figura isoscele regolare, per calcolare il perimetro usiamo la formula: P = 24 + 24 + 24 = 72 cm.

Questa formula funziona per qualsiasi triangolo, devi solo conoscere le lunghezze di tutti i suoi lati. Se almeno uno di essi è sconosciuto, è necessario utilizzare altri metodi, di cui parleremo di seguito.

Un altro esempio: a = 15 cm, b = 13 cm, c = 17 cm Calcola il perimetro: P = 15 + 13 + 17 = 45 cm.

È molto importante contrassegnare l'unità di misura nella risposta ricevuta. Nei nostri esempi, le lunghezze dei lati sono in centimetri (cm), tuttavia, ci sono diversi compiti in cui sono presenti altre unità di misura.

Secondo metodo: un triangolo rettangolo e i suoi due lati noti

Nel caso in cui nel compito da risolvere venga data una figura rettangolare di cui si conoscono le lunghezze di due facce, ma la terza no, è necessario utilizzare il teorema di Pitagora.

Descrive la relazione tra le facce di un triangolo rettangolo. La formula descritta da questo teorema è uno dei teoremi più conosciuti e usati in geometria. Quindi ecco il teorema stesso:

I lati di ogni triangolo rettangolo sono descritti dalla seguente equazione: a^2 + b^2 = c^2, dove aeb sono le gambe della figura e c è l'ipotenusa.

• Ipotenusa. Si trova sempre di fronte all'angolo retto (90 gradi) ed è anche la faccia più lunga del triangolo. In matematica è consuetudine denotare l'ipotenusa con la lettera c.
• Gambe- sono le facce di un triangolo rettangolo che appartengono ad un angolo retto e sono indicate dalle lettere a e b. Una delle gambe è anche l'altezza della figura.

Pertanto, se le condizioni del problema specificano le lunghezze di due delle tre facce di una tale figura geometrica, utilizzando il teorema di Pitagora, è necessario trovare la dimensione della terza faccia, quindi utilizzare la formula del primo metodo.

Ad esempio, conosciamo la lunghezza di 2 gambe: a = 3 cm, b = 5 cm Sostituisci i valori nel teorema: 3^2 + 4^2 = c^2 => 9 + 16 = c^2 => 25 = c ^2 => c = 5 cm Quindi, l'ipotenusa di un tale triangolo è 5 cm A proposito, questo esempio è il più comune e viene chiamato. In altre parole, se le due gambe della figura sono 3 cm e 4 cm, l'ipotenusa sarà rispettivamente di 5 cm.

Se la lunghezza di una delle gambe è sconosciuta, è necessario trasformare la formula come segue: c^2 - a^2 = b^2. E viceversa per l'altra gamba.

Continuiamo l'esempio. Ora devi passare alla formula standard per trovare il perimetro di una figura: P = a + b + c. Nel nostro caso: P = 3 + 4 + 5 = 12 cm.

Terzo metodo: da due facce e un angolo tra di loro

Al liceo, così come all'università, molto spesso devi rivolgerti questo metodo trovare il perimetro Se le condizioni del problema specificano le lunghezze di due lati, nonché la dimensione dell'angolo tra di loro, allora usa la legge dei coseni.

Questo teorema si applica a qualsiasi triangolo, il che lo rende uno dei più utili in geometria. Il teorema stesso si presenta così: c^2 = a^2 + b^2 - (2 * a * b * cos(C)), dove a, b, c sono le lunghezze standard delle facce e A, B e C sono angoli che giacciono opposti alle facce corrispondenti del triangolo. Cioè, A è l'angolo opposto a, e così via.

Immagina di descrivere un triangolo i cui lati a e b sono rispettivamente di 100 cm e 120 cm e l'angolo tra loro è di 97 gradi. Cioè, a = 100 cm, b = 120 cm, C = 97 gradi.

Tutto ciò che deve essere fatto in questo caso è sostituire tutti i valori noti nel teorema del coseno. Le lunghezze delle facce note vengono quadrate, dopodiché i lati noti vengono moltiplicati tra loro e per due e moltiplicati per il coseno dell'angolo tra di loro. Successivamente, devi sommare i quadrati delle facce e sottrarre il secondo valore da essi ottenuto. La radice quadrata viene estratta dal valore finale: questo sarà il terzo lato precedentemente sconosciuto.

Dopo che tutti e tre i volti della figura sono noti, resta da usare il già amato formula standard cercare il perimetro della figura descritta dal primo metodo.

1) y \u003d 2x + 5 2) y \u003d 4 - 3x 3) y \u003d 8x - 2 4) y \u003d 5x 5) y \u003d 0,1x + 8 6) X \u003d 2 7) Y \u003d x - 3, y = 2x + 3 y \u003d -3x + 1 y \u003d 4x - 2 y \u003d 5x + 2 y \u003d 3 y \u003d -x y \u003d -3 + x, 1) 0 2) 0 3) 1 4) 0 5) 1 6) 1 7) Insieme infinito. con i test delle carte. Carta numero 1. A10. Correlare le funzioni date dalle formule con i loro grafici (Fig. 1).

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Un triangolo rettangolo è un tipo speciale di triangolo arbitrario. Come ogni altro triangolo, ha tre lati, ma uno dei suoi angoli deve essere di 90 gradi. Dopo aver determinato che un dato triangolo è un triangolo rettangolo, puoi iniziare a trovarne i valori di base. Una delle caratteristiche di un triangolo rettangolo è il suo perimetro. Molti problemi in geometria sono dedicati alla ricerca del perimetro di un triangolo rettangolo.

Dove P è il perimetro del triangolo;

A, b, c - lati del triangolo.

Sulla base del teorema di Pitagora, è diventato possibile determinare il perimetro di un triangolo rettangolo dai suoi due lati qualsiasi lunghezza nota. Se si conoscono le lunghezze delle gambe, si determina il perimetro del triangolo trovando il valore dell'ipotenusa secondo la formula:

Se si conosce solo una delle gambe e la lunghezza dell'ipotenusa, il perimetro del triangolo viene determinato trovando il valore della gamba mancante utilizzando la formula:

Se in un triangolo rettangolo sono note solo la lunghezza dell'ipotenusa c e uno degli angoli acuti α adiacenti, il perimetro del triangolo in questo caso può essere determinato dalla formula:

Nel caso in cui le condizioni del problema specifichino la lunghezza della gamba a e il valore dell'angolo acuto α opposto ad essa, il perimetro del triangolo rettangolo in questo caso viene calcolato con la formula:

Se la gamba a è data con l'angolo β adiacente, allora il perimetro del triangolo può essere calcolato in base all'espressione:

Come trovare il perimetro di un triangolo rettangolo

P = a + b + c, dove, diciamo,

P = v(a2 + b2) + a + b, o

P = v(c2 - b2) + b + c.

P = (1 + peccato? + cos?)*s.

P = a*(1/tg? + 1/peccato? + 1)

P = a*(1/ñtg? + 1/cos? + 1)

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Perimetro di una formula triangolo rettangolo

Come trovare il perimetro di un triangolo rettangolo

Un triangolo rettangolo è un triangolo in cui uno degli angoli è di 90 gradi e gli altri due sono angoli acuti. Il calcolo del perimetro di un tale triangolo dipenderà dalla quantità di dati noti al riguardo.

A seconda dei casi, conoscenza di due dei tre lati del triangolo, nonché di uno dei suoi angoli acuti.

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Metodo 1. Se sono noti tutti e tre i lati del triangolo, indipendentemente dal fatto che il triangolo sia rettangolo o meno, il suo perimetro verrà calcolato come segue:

P = a + b + c, dove, diciamo,

Metodo 2. Se in un rettangolo sono noti solo 2 lati, quindi utilizzando il teorema di Pitagora, il perimetro di questo triangolo può essere calcolato con la formula:

P = v(a2 + b2) + a + b, o

P = v(c2 - b2) + b + c.

Metodo 3. Sia data l'ipotenusa c e un angolo acuto? in un triangolo rettangolo, quindi puoi trovare il perimetro in questo modo:

P = (1 + peccato? + cos?)*s.

Metodo 4. È dato che in un triangolo rettangolo la lunghezza di una delle gambe è uguale ad a, e di fronte ad essa giace un angolo acuto?. Quindi il calcolo del perimetro di questo triangolo verrà effettuato secondo la formula:

P = a*(1/tg? + 1/peccato? + 1)

Metodo 5. Facci sapere la gamba a e l'angolo adiacente ad essa ?, quindi il perimetro verrà calcolato come segue:

P = a*(1/ñtg? + 1/cos? + 1)