Istruzione
Gli angoli opposti alle gambe a e b saranno indicati rispettivamente con A e B. L'ipotenusa, per definizione, è il lato triangolo rettangolo, che è opposto all'angolo retto (allo stesso tempo, l'ipotenusa forma angoli acuti con gli altri lati del triangolo). Indichiamo la lunghezza dell'ipotenusa con s.
Avrai bisogno:
Calcolatrice.
Usa la seguente espressione per la gamba: a=sqrt(c^2-b^2), se conosci i valori dell'ipotenusa e dell'altra gamba. Questa espressione deriva dal teorema di Pitagora, che afferma che il quadrato dell'ipotenusa di un triangolo è uguale alla somma dei quadrati delle gambe. L'operatore sqrt sta per estrazione radice quadrata. Il segno "^2" significa elevarsi alla seconda potenza.
Usa la formula a=c*sinA se conosci l'ipotenusa (c) e l'angolo opposto alla gamba desiderata (abbiamo designato questo angolo come A).
Usa l'espressione a=c*cosB per trovare la gamba se conosci l'ipotenusa (c) e l'angolo adiacente alla gamba desiderata (abbiamo designato questo angolo come B).
Calcola la gamba usando la formula a = b * tgA nel caso in cui siano dati la gamba b e l'angolo opposto alla gamba desiderata (abbiamo convenuto di denotare questo angolo come A).
Nota:
Se nel tuo compito la gamba non viene trovata con nessuno dei metodi descritti, molto probabilmente può essere ridotta a uno di questi.
Suggerimenti utili:
Tutte queste espressioni sono ottenute dalle note definizioni di funzioni trigonometriche, quindi anche se ne hai dimenticata una, puoi sempre ricavarla rapidamente con semplici operazioni. Inoltre, è utile conoscere i valori delle funzioni trigonometriche per gli angoli più tipici 30, 45, 60, 90, 180 gradi.
Prima di trovare l'ipotenusa di un triangolo, devi capire quali caratteristiche ha questa figura. Consideriamo i principali:
- In un triangolo rettangolo, entrambi gli angoli acuti si sommano fino a 90º.
- Una gamba che si trova di fronte a un angolo di 30º sarà uguale a ½ dell'ipotenusa.
- Se la gamba è uguale a ½ del valore dell'ipotenusa, il secondo angolo avrà lo stesso valore - 30º.
Esistono diversi modi per trovare l'ipotenusa in un triangolo rettangolo. La soluzione più semplice è il calcolo attraverso le gambe. Diciamo che tu conosca i valori delle gambe dei lati A e B. Allora ci viene in soccorso il teorema di Pitagora, dicendoci che se quadramo il valore di ogni gamba e sommiamo i dati ottenuti, scopriremo qual è l'ipotenusa è. Quindi, dobbiamo solo estrarre il valore della radice quadrata:
Ad esempio, se la gamba A = 3 cm e la gamba B = 4 cm, il calcolo sarebbe simile a questo:
Come trovare l'ipotenusa attraverso un angolo?
Un altro modo per aiutare a scoprire a cosa è uguale l'ipotenusa in un triangolo rettangolo è calcolare attraverso un dato angolo. Per fare ciò, dobbiamo ricavare il valore attraverso la formula del seno. Supponiamo di conoscere il valore della gamba (A) e il valore dell'angolo opposto (α). Quindi l'intera soluzione è in una formula: С=А/sin(α).
Ad esempio, se la lunghezza della gamba è 40 cm e l'angolo è 45°, la lunghezza dell'ipotenusa può essere ricavata come segue:
Puoi anche determinare il valore desiderato attraverso il coseno di un dato angolo. Supponiamo di conoscere il valore di una gamba (B) e di un angolo acuto incluso (α). Quindi è necessaria una formula per risolvere il problema: С=В/ cos(α).
Ad esempio, se la lunghezza della gamba è 50 cm e l'angolo è 45°, l'ipotenusa può essere calcolata come segue:
Pertanto, abbiamo esaminato i modi principali per scoprire l'ipotenusa in un triangolo. Nel corso della risoluzione del compito, è importante concentrarsi sui dati disponibili, quindi trovare il valore sconosciuto sarà abbastanza semplice. Devi conoscere solo un paio di formule e il processo di risoluzione dei problemi diventerà semplice e divertente.
Conoscendo una delle gambe di un triangolo rettangolo, puoi trovare la seconda gamba e l'ipotenusa usando le relazioni trigonometriche: il seno e la tangente di un angolo noto. Poiché il rapporto tra la gamba opposta all'angolo e l'ipotenusa è uguale al seno di questo angolo, quindi, per trovare l'ipotenusa, la gamba deve essere divisa per il seno dell'angolo. a/c=peccatoα c=a/peccatoα
La seconda gamba può essere trovata dalla tangente dell'angolo noto, come rapporto tra la gamba nota e la tangente. a/b=abbronzaturaα b=a/abbronzaturaα
Per calcolare l'angolo sconosciuto in un triangolo rettangolo, devi sottrarre l'angolo α da 90 gradi. β=90°-α
Il perimetro e l'area di un triangolo rettangolo attraverso la gamba e l'angolo opposto ad essa possono essere espressi sostituendo nelle formule le espressioni ottenute in precedenza per la seconda gamba e l'ipotenusa. P=a+b+c=a+a/tanα +a/sinα =a tanα sinα+a sinα+a tanα S=ab/2=a^2/( 2 abbronzaturaα)
Puoi anche calcolare l'altezza attraverso relazioni trigonometriche, ma già nel triangolo rettangolo interno di lato a, che forma. Per fare ciò, è necessario il lato a, come l'ipotenusa di un tale triangolo, moltiplicato per il seno dell'angolo β o per il coseno di α, poiché secondo identità trigonometriche sono equivalenti. (fig. 79.2) h=a cosα
La mediana dell'ipotenusa è uguale alla metà dell'ipotenusa o della gamba nota a divisa per due seni α. Per trovare le mediane delle gambe, portiamo le formule nella forma appropriata per il lato e gli angoli conosciuti. (fig.79.3) m_с=c/2=a/(2 sinα) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2α)/2=(a√(4 tan^2 α+1))/(2 tanα) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/abbronzatura^2α +a^2/peccato ^2α)/2=√((3a^2 sin^2α+a^2 tan^2α)/(tan^2α sin^2α))/2=(a√( 3 sin^2α+tan^2α))/(2 tanα sinα)
Dalla bisettrice angolo retto in un triangolo è il prodotto di due lati e la radice di due, diviso per la somma di questi lati, quindi sostituendo uno dei cateti con il rapporto del cateto noto per la tangente, otteniamo la seguente espressione. Allo stesso modo, sostituendo il rapporto nella seconda e nella terza formula, si possono calcolare le bisettrici degli angoli α e β. (fig.79.4) l_с=(a a/tanα √2)/(a+a/tanα)=(a^2 √2)/(a tanα+a)=(a√2)/ (tanα+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tanα √(2c) (a/tanα +c)))/(a/tanα +c)=(a√(2c(a/tanα +c)))/(a+c tanα) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /peccatoα)))/(a+a/peccatoα)=(un peccatoα √(2c(a+a/peccatoα)))/(un peccatoα+a)
La linea mediana corre parallela a uno dei lati del triangolo, mentre forma un altro triangolo rettangolo simile con gli stessi angoli, in cui tutti i lati sono la metà di quello originale. Sulla base di questo, le linee di mezzo possono essere trovate da le seguenti formule, conoscendo solo la gamba e l'angolo opposto ad essa. (fig.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tanα) M_c=c/2=a/(2 sinα)
Il raggio del cerchio inscritto è uguale alla differenza tra le gambe e l'ipotenusa, divisa per due, e per trovare il raggio del cerchio circoscritto, devi dividere l'ipotenusa per due. Sostituiamo la seconda gamba e l'ipotenusa con i rapporti rispettivamente della gamba a al seno e alla tangente. (Fig. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tanα -a/sinα)/2=(a tanα sinα+a sinα-a tanα)/(2 tanα sinα) R=c/2=a/2sinα
I primi sono segmenti adiacenti all'angolo retto e l'ipotenusa è la parte più lunga della figura ed è opposta all'angolo di 90 gradi. Un triangolo pitagorico è uno i cui lati sono uguali numeri naturali; le loro lunghezze in questo caso sono chiamate "triple pitagoriche".
triangolo egiziano
Affinché l'attuale generazione impari la geometria nella forma in cui viene insegnata ora a scuola, è stata sviluppata per diversi secoli. Il punto fondamentale è il teorema di Pitagora. I lati di un rettangolo sono conosciuti in tutto il mondo) sono 3, 4, 5.
Poche persone non hanno familiarità con la frase "I pantaloni pitagorici sono uguali in tutte le direzioni". Tuttavia, in effetti, il teorema suona così: c 2 (il quadrato dell'ipotenusa) \u003d a 2 + b 2 (la somma dei quadrati delle gambe).
Tra i matematici, un triangolo di lati 3, 4, 5 (cm, m, ecc.) è chiamato "egiziano". È interessante notare che ciò che è inscritto nella figura è uguale a uno. Il nome sorse intorno al V secolo a.C., quando i filosofi greci si recarono in Egitto.
Durante la costruzione delle piramidi, architetti e geometri hanno utilizzato il rapporto 3:4:5. Tali strutture si sono rivelate proporzionali, piacevoli da vedere e spaziose, e anche raramente sono crollate.
Per costruire un angolo retto, i costruttori hanno utilizzato una corda su cui erano legati 12 nodi. In questo caso, la probabilità di costruire un triangolo rettangolo è aumentata al 95%.
Segni di uguaglianza delle figure
- Un angolo acuto in un triangolo rettangolo e un lato grande, che sono uguali agli stessi elementi nel secondo triangolo, sono un segno indiscutibile dell'uguaglianza delle figure. Tenendo conto della somma degli angoli, è facile dimostrare che anche i secondi angoli acuti sono uguali. Pertanto, i triangoli sono identici nel secondo criterio.
- Quando due figure sono sovrapposte l'una all'altra, le ruotiamo in modo tale che, una volta unite, diventino un triangolo isoscele. Secondo la sua proprietà, i lati, o meglio, le ipotenuse, sono uguali, così come gli angoli alla base, il che significa che queste figure sono uguali.
Con il primo segno, è molto facile dimostrare che i triangoli sono davvero uguali, la cosa principale è che i due lati più piccoli (cioè le gambe) sono uguali tra loro.
I triangoli saranno gli stessi secondo il II segno, la cui essenza è l'uguaglianza della gamba e l'angolo acuto.
Proprietà del triangolo ad angolo retto
L'altezza, che è stata abbassata da un angolo retto, divide la figura in due parti uguali.
I lati di un triangolo rettangolo e la sua mediana sono facilmente riconoscibili dalla regola: la mediana, che è abbassata all'ipotenusa, è uguale alla metà di esso. può essere trovato sia dalla formula di Heron che dall'affermazione che è uguale alla metà del prodotto delle gambe.
In un triangolo rettangolo si applicano le proprietà degli angoli di 30°, 45° e 60°.
- Ad un angolo di 30°, va ricordato che la gamba opposta sarà uguale a 1/2 del lato più grande.
- Se l'angolo è 45°, anche il secondo angolo acuto è 45°. Ciò suggerisce che il triangolo è isoscele e le sue gambe sono le stesse.
- La proprietà di un angolo di 60 gradi è che il terzo angolo ha una misura di 30 gradi.
L'area è facile da trovare con una delle tre formule:
- per l'altezza e il lato su cui discende;
- secondo la formula di Erone;
- lungo i lati e l'angolo tra di loro.
I lati di un triangolo rettangolo, o meglio le gambe, convergono con due altezze. Per trovare il terzo, è necessario considerare il triangolo risultante, quindi, usando il teorema di Pitagora, calcolare la lunghezza richiesta. Oltre a questa formula, c'è anche il rapporto del doppio dell'area e della lunghezza dell'ipotenusa. L'espressione più comune tra gli studenti è la prima, in quanto richiede meno calcoli.
Teoremi che si applicano a un triangolo rettangolo
La geometria di un triangolo rettangolo include l'uso di teoremi come:
Il triangolo rettangolo contiene un numero enorme di dipendenze. Questo lo rende un bersaglio attraente per tutti i tipi di problemi geometrici. Uno dei problemi più comuni è trovare l'ipotenusa.
Triangolo rettangolo
Un triangolo rettangolo è un triangolo che contiene un angolo retto, cioè angolo di 90 gradi. Solo in un triangolo rettangolo si può esprimere funzioni trigonometriche attraverso le dimensioni dei lati. In un triangolo arbitrario, dovranno essere realizzate ulteriori costruzioni.
In un triangolo rettangolo, due delle tre altezze coincidono con i lati sono dette gambe. Il terzo lato è chiamato ipotenusa. L'altezza disegnata per l'ipotenusa è l'unica in questo tipo di triangolo che richiede costruzioni aggiuntive.
Riso. 1. Tipi di triangoli.
Un triangolo rettangolo non può avere angoli ottusi. Così come l'esistenza di un secondo angolo retto è impossibile. In questo caso viene violata l'identità della somma degli angoli di un triangolo, che è sempre uguale a 180 gradi.
Ipotenusa
Andiamo direttamente all'ipotenusa del triangolo. L'ipotenusa è il lato più lungo del triangolo. L'ipotenusa è sempre maggiore di qualsiasi gamba, ma è sempre minore della somma delle gambe. Questa è una conseguenza del teorema della disuguaglianza triangolare.
Il teorema dice che in un triangolo nessuno dei lati può essere maggiore della somma degli altri due. C'è anche una seconda formulazione o la seconda parte del teorema: in un triangolo, un angolo maggiore giace opposto al lato maggiore e viceversa.
Riso. 2. Triangolo rettangolo.
In un triangolo rettangolo, un angolo retto è un angolo grande, poiché non può esserci un secondo angolo retto o un angolo ottuso per le ragioni già menzionate. Ciò significa che il lato più lungo si trova sempre opposto all'angolo retto.
Sembra incomprensibile il motivo per cui esattamente un triangolo rettangolo meritasse un nome separato per ciascuno dei lati. Infatti, nel triangolo isoscele i lati hanno anche i loro nomi: lati e base. Ma è per le gambe e le ipotenuse che gli insegnanti amano soprattutto mettere due. Come mai? Da un lato, questo è un omaggio alla memoria degli antichi greci, gli inventori della matematica. Sono stati loro a studiare i triangoli rettangoli e, insieme a questa conoscenza, hanno lasciato un intero strato di informazioni su cui costruire scienza moderna. D'altra parte, l'esistenza di questi nomi semplifica notevolmente la formulazione di teoremi e identità trigonometriche.
teorema di Pitagora
Se un insegnante chiede la formula per l'ipotenusa di un triangolo rettangolo, quindi con una probabilità del 90%, intende il teorema di Pitagora. Il teorema dice: in un triangolo rettangolo il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle gambe.
Riso. 3. Ipotenusa di un triangolo rettangolo.
Presta attenzione a come è formulato in modo chiaro e succinto il teorema. Tale semplicità non può essere raggiunta senza utilizzare i concetti di ipotenusa e gamba.
Il teorema ha la seguente formula:
$c^2=b^2+a^2$ – dove c è l'ipotenusa, aeb sono le gambe di un triangolo rettangolo.
Cosa abbiamo imparato?
Abbiamo parlato di cos'è un triangolo rettangolo. Abbiamo imparato perché hanno inventato i nomi delle gambe e dell'ipotenusa. Abbiamo scoperto alcune proprietà dell'ipotenusa e fornito la formula per la lunghezza dell'ipotenusa di un triangolo attraverso il teorema di Pitagora.
Quiz sull'argomento
Valutazione dell'articolo
Voto medio: 4.6. Totale voti ricevuti: 213.