6.1. Informazione Generale

Centro di forze parallele
Si considerino due forze parallele dirette nella stessa direzione , e , applicate al corpo nei punti MA 1 e MA 2 (fig.6.1). Questo sistema di forze ha una risultante, la cui linea d'azione passa per un certo punto DA. Posizione del punto DA può essere trovato usando il teorema di Varignon:

Se giri la forza e ti avvicini ai punti MA 1 e MA 2 in una direzione e con lo stesso angolo, otteniamo nuovo sistema grassi paralleli aventi gli stessi moduli. In questo caso, anche la loro risultante passerà attraverso il punto DA. Tale punto è chiamato centro di forze parallele.
Si consideri un sistema di forze parallele ed egualmente dirette applicate a un corpo rigido in punti. Questo sistema ha una risultante.
Se ciascuna forza del sistema viene ruotata vicino ai punti della loro applicazione nella stessa direzione e allo stesso angolo, si otterranno nuovi sistemi di forze parallele egualmente dirette con gli stessi moduli e punti di applicazione. Il risultante di tali sistemi avrà lo stesso modulo R, ma ogni volta in una direzione diversa. Deposto la forza F 1 e F 2 trovano che la loro risultante R 1 , che passerà sempre per il punto DA 1, la cui posizione è determinata dall'uguaglianza. Aggiungendo ulteriormente R 1 e F 3 , trova la loro risultante, che passerà sempre per il punto DA 2 sdraiato sulla linea MA 3 DA 2. Avendo portato a termine il processo di addizione delle forze, giungeremo alla conclusione che la risultante di tutte le forze passerà infatti sempre per lo stesso punto DA, la cui posizione rispetto ai punti rimarrà invariata.
Punto DA, attraverso la quale passa la linea d'azione del sistema risultante di forze parallele per ogni rotazione di queste forze vicino ai punti della loro applicazione nella stessa direzione allo stesso angolo è chiamata centro delle forze parallele (Fig. 6.2).

Fig.6.2

Determiniamo le coordinate del centro delle forze parallele. Dalla posizione del punto DA rispetto al corpo è invariato, quindi le sue coordinate non dipendono dalla scelta del sistema di coordinate. Ruotare tutte le forze vicino alla loro applicazione in modo che diventino parallele all'asse UO e applica il teorema di Varignon alle forze ruotate. Perché R"è la risultante di queste forze, quindi, secondo il teorema di Varignon, abbiamo , perché , , noi abbiamo

Da qui troviamo la coordinata del centro delle forze parallele zc:

Per determinare la coordinata xc comporre un'espressione per il momento delle forze attorno all'asse Oz.

Per determinare la coordinata yc ruotare tutte le forze in modo che diventino parallele all'asse Oz.

La posizione del centro delle forze parallele rispetto all'origine (Fig. 6.2) può essere determinata dal suo vettore raggio:

6.2. Baricentro di un corpo rigido

centro di gravità di un corpo rigido è un punto invariabilmente associato a questo corpo DA attraverso la quale passa la linea d'azione della risultante forza di gravità dato corpo, per qualsiasi posizione del corpo nello spazio.
Il baricentro viene utilizzato nello studio della stabilità delle posizioni di equilibrio di corpi e mezzi continui sotto l'azione della gravità e in alcuni altri casi, ovvero: nella resistenza dei materiali e nella meccanica strutturale- quando si utilizza la regola Vereshchagin.
Esistono due modi per determinare il baricentro di un corpo: analitico e sperimentale. Il metodo analitico per la determinazione del baricentro deriva direttamente dal concetto di centro di forze parallele.
Le coordinate del baricentro, come centro delle forze parallele, sono determinate dalle formule:

dove R- peso di tutto il corpo; pk- peso delle particelle corporee; xk, yk, zk- coordinate delle particelle corporee.
Per un corpo omogeneo, il peso di tutto il corpo e di qualsiasi sua parte è proporzionale al volume P=Vγ, pk =vk γ, dove γ - peso per unità di volume, V- volume del corpo. Espressioni sostitutive P, pk nelle formule per determinare le coordinate del baricentro e, riducendo di un fattore comune γ , noi abbiamo:

Punto DA, le cui coordinate sono determinate dalle formule ottenute il baricentro del volume.
Se il corpo è magro piatto omogeneo, allora il baricentro è determinato dalle formule:

dove S- area dell'intero piatto; sk- l'area da parte sua; xk, yk- coordinate del baricentro delle parti in lamiera.
Punto DA in questo caso viene chiamato zona del baricentro.
Si chiamano con i numeratori delle espressioni che determinano le coordinate del baricentro delle figure piane momenti statici del territorio sugli assi a e X:

Quindi il baricentro dell'area può essere determinato dalle formule:

Per i corpi la cui lunghezza è molte volte maggiore delle dimensioni della sezione trasversale, viene determinato il baricentro della linea. Le coordinate del baricentro della linea sono determinate dalle formule:

dove l- lunghezza della linea; lc- la lunghezza delle sue parti; xk, yk, zk- coordinata del baricentro delle parti di linea.

6.3. Metodi per determinare le coordinate dei centri di gravità dei corpi

Sulla base delle formule ottenute, è possibile proporre metodi pratici per determinare i baricentro dei corpi.
1. Simmetria. Se il corpo ha un centro di simmetria, allora il centro di gravità è al centro di simmetria.
Se il corpo ha un piano di simmetria. Ad esempio, il piano XOU, quindi il centro di gravità si trova in questo piano.
2. scissione. Per i corpi costituiti da corpi semplici, viene utilizzato il metodo di divisione. Il corpo è diviso in parti, il cui centro di gravità si trova con il metodo della simmetria. Il baricentro dell'intero corpo è determinato dalle formule per il baricentro del volume (area).

Esempio. Determinare il baricentro della piastra mostrato nella figura sottostante (Fig. 6.3). Il piatto può essere diviso in rettangoli in un altro modo e determinare le coordinate del baricentro di ciascun rettangolo e la loro area.

Fig.6.3

Risposta: XC= 17,0 cm; yC= 18,0 cm.

3. Aggiunta. Questo metodo è un caso speciale del metodo di partizionamento. Viene utilizzato quando il corpo presenta intagli, tagli, ecc., se si conoscono le coordinate del baricentro del corpo senza l'intaglio.

Esempio. Determinare il baricentro di una piastra rotonda avente un ritaglio con un raggio R = 0,6 R(Fig. 6.4).

Fig.6.4

La piastra rotonda ha un centro di simmetria. Posizioniamo l'origine delle coordinate al centro del piatto. Area della piastra senza tacca, area della tacca. Area della piastra dentellata; .
La piastra dentata ha un asse di simmetria O1 x, Di conseguenza, yc=0.

4. Integrazione. Se il corpo non può essere diviso in un numero finito di parti, di cui sono note le posizioni dei baricentro, il corpo viene diviso in piccoli volumi arbitrari, per i quali la formula che utilizza il metodo di partizione assume la forma: .
Inoltre passano al limite, tendendo a zero i volumi elementari, cioè contrazione dei volumi in punti. Le somme vengono sostituite da integrali estesi all'intero volume del corpo, quindi le formule per determinare le coordinate del baricentro del volume assumono la forma:

Formule per determinare le coordinate del baricentro dell'area:

Le coordinate del baricentro dell'area devono essere determinate studiando l'equilibrio delle piastre, quando si calcola l'integrale di Mohr in meccanica strutturale.

Esempio. Determina il baricentro di un arco di cerchio di raggio R con angolo centrale AOB= 2α (Fig. 6.5).

Riso. 6.5

L'arco di cerchio è simmetrico all'asse Oh, quindi, il baricentro dell'arco giace sull'asse Oh, si = 0.
Secondo la formula per il baricentro di una linea:

6.Modo sperimentale. I centri di gravità di corpi disomogenei di configurazione complessa possono essere determinati sperimentalmente: appendendo e pesando. Il primo modo è che il corpo sia sospeso su un cavo in vari punti. La direzione della fune su cui è sospeso il corpo darà la direzione della gravità. Il punto di intersezione di queste direzioni determina il baricentro del corpo.
Il metodo di pesatura consiste nel determinare prima il peso di un corpo, come un'auto. Quindi, sulla bilancia, viene determinata la pressione dell'asse posteriore dell'auto sul supporto. Compilando un'equazione di equilibrio rispetto a un punto, ad esempio l'asse delle ruote anteriori, puoi calcolare la distanza da questo asse al baricentro dell'auto (Fig. 6.6).

Fig.6.6

A volte, quando si risolvono i problemi, è necessario applicare contemporaneamente metodi diversi per determinare le coordinate del baricentro.

6.4. Centri di gravità di alcuni protozoi forme geometriche

Per determinare i centri di gravità di corpi di forma comune (triangolo, arco di cerchio, settore, segmento), è conveniente utilizzare i dati di riferimento (Tabella 6.1).

Tabella 6.1

Coordinate del baricentro di alcuni corpi omogenei

№	Nome della figura	Foto
	arco di cerchio: il baricentro di un arco di circonferenza omogenea è sull'asse di simmetria (coordinata yc=0). Rè il raggio del cerchio.
	Settore circolare omogeneo yc=0). dove α è la metà dell'angolo centrale; Rè il raggio del cerchio.
	Segmento: il baricentro si trova sull'asse di simmetria (coordinata yc=0). dove α è la metà dell'angolo centrale; Rè il raggio del cerchio.
	Semicerchio:
	Triangolo: il baricentro di un triangolo omogeneo si trova nel punto di intersezione delle sue mediane. dove x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3- coordinate dei vertici del triangolo
	Cono: il baricentro di un cono circolare omogeneo giace alla sua altezza ed è ad una distanza di 1/4 dell'altezza dalla base del cono.

Sulla base delle formule generali sopra ottenute, è possibile indicare metodi specifici per determinare le coordinate dei baricentro dei corpi.

1. Simmetria. Se un corpo omogeneo ha un piano, un asse o un centro di simmetria (Fig. 7), il suo centro di gravità si trova rispettivamente nel piano di simmetria, nell'asse di simmetria o nel centro di simmetria.

Fig.7

2. Scissione. Il corpo è suddiviso in un numero finito di parti (Fig. 8), per ciascuna delle quali è nota la posizione del baricentro e l'area.

Fig.8

3.Metodo delle aree negative. Un caso speciale del metodo di partizionamento (Fig. 9). Si applica ai corpi con intagli se sono noti i baricentro del corpo senza l'intaglio e l'intaglio. Un corpo a forma di piastra ritagliata è rappresentato da una combinazione di una piastra solida (senza ritaglio) con l'area S 1 e l'area della parte ritagliata S 2 .

Fig.9

4.metodo di raggruppamento.È una buona aggiunta agli ultimi due metodi. Dopo aver scomposto la figura nei suoi elementi costitutivi, può essere conveniente ricombinarne alcuni, in modo da semplificare poi la soluzione tenendo conto della simmetria di questo gruppo.

Centri di gravità di alcuni corpi omogenei.

1) Centro di gravità di un arco di cerchio. Considera l'arco AB raggio R con angolo centrale. A causa della simmetria, il baricentro di questo arco giace sull'asse Bue(Fig. 10).

Fig.10

Troviamo la coordinata usando la formula. Per fare ciò, seleziona sull'arco AB elemento MM' lunghezza, la cui posizione è determinata dall'angolo. Coordinata X elemento MM' volere . Sostituendo questi valori X e d l e tenendo presente che l'integrale deve essere esteso per tutta la lunghezza dell'arco, si ottiene:

dove l- lunghezza dell'arco AB, uguale a .

Da qui troviamo infine che il baricentro dell'arco circolare giace sul suo asse di simmetria ad una distanza dal centro DI uguale a

dove l'angolo è misurato in radianti.

2) Il baricentro dell'area di un triangolo. Considera un triangolo che giace nel piano Ossi, le cui coordinate di vertice sono note: Ai(x io,si io), (io= 1,2,3). Spezzare il triangolo in strisce sottili parallele al lato MA 1 MA 2 , giungiamo alla conclusione che il baricentro del triangolo deve appartenere alla mediana MA 3 m 3 (fig.11) .

Fig.11

Spezzare il triangolo in strisce parallele al lato MA 2 MA 3 , puoi assicurarti che si trovi sulla mediana MA 1 m uno . In questo modo, il baricentro di un triangolo si trova nel punto di intersezione delle sue mediane, che, come sapete, separa la terza parte da ciascuna mediana, contando dal lato corrispondente.

In particolare per la mediana MA 1 m 1 otteniamo, dato che le coordinate del punto m 1 è la media aritmetica delle coordinate del vertice MA 2 e MA 3:

xc = X 1 + (2/3)∙(x M 1 - X 1) = X 1 + (2/3)∙[(X 2 + X 3)/2-X 1 ] = (X 1 +X 2 +X 3)/3.

Pertanto, le coordinate del baricentro del triangolo sono la media aritmetica delle coordinate dei suoi vertici:

X C =(1/3)Σ x io ; y C =(1/3)Σ si io.

3) Il baricentro dell'area del settore circolare. Considera un settore di una circonferenza di raggio R con un angolo centrale di 2α, situato simmetricamente rispetto all'asse Bue(Fig. 12) .

È ovvio che y C = 0, e la distanza dal centro del cerchio da cui questo settore è tagliato al suo baricentro può essere determinata dalla formula:

Fig.12

Il modo più semplice per calcolare questo integrale è dividere il dominio di integrazione in settori elementari con un angolo Dφ. Fino a infinitesimi del primo ordine, tale settore può essere sostituito da un triangolo di base uguale a R× Dφ e altezza R. L'area di un tale triangolo dF=(1/2)R 2 ∙Dφ, e il suo centro di gravità è a una distanza di 2/3 R dall'alto, quindi in (5) mettiamo X = (2/3)R∙cosφ. Sostituendo in (5) F= α R 2 otteniamo:

Utilizzando l'ultima formula, calcoliamo, in particolare, la distanza dal baricentro semicerchio.

Sostituendo in (2) α = π/2 si ottiene: X C = (4R)/(3π) ≅ 0,4 R .

Esempio 1 Determiniamo il baricentro del corpo omogeneo mostrato in Fig. 13.

Fig.13

Il corpo è omogeneo, costituito da due parti di forma simmetrica. Le coordinate dei loro centri di gravità:

I loro volumi:

Pertanto, le coordinate del baricentro del corpo

Esempio 2 Trova il baricentro di un piatto piegato ad angolo retto. Dimensioni - sul disegno (Fig. 14).

Fig.14

Coordinate dei centri di gravità:

Piazze:

Riso. 6.5.

Esempio 3 Da un foglio quadrato di cm si ritaglia un foro quadrato di cm (Fig. 15). Trova il baricentro del foglio.

Fig.15

In questo problema, è più conveniente dividere il corpo in due parti: un grande quadrato e un foro quadrato. Solo l'area del foro è da considerarsi negativa. Quindi le coordinate del baricentro del foglio con il foro:

coordinare poiché il corpo ha un asse di simmetria (diagonale).

Esempio 4 La staffa metallica (Fig. 16) è composta da tre sezioni della stessa lunghezza l.

Fig.16

Le coordinate dei baricentro delle sezioni:

Pertanto, le coordinate del baricentro dell'intera staffa:

Esempio 5 Determinare la posizione del baricentro del traliccio, le cui aste hanno tutte la stessa densità lineare (Fig. 17).

Ricordiamo che in fisica la densità di un corpo ρ e il suo peso specifico g sono legati dalla relazione: γ= ρ G, dove G- accelerazione caduta libera. Per trovare la massa di un corpo così omogeneo, devi moltiplicare la densità per il suo volume.

Fig.17

Il termine densità "lineare" o "lineare" significa che per determinare la massa del truss rod, la densità lineare deve essere moltiplicata per la lunghezza di questo tondino.

Per risolvere il problema, puoi utilizzare il metodo di partizionamento. Rappresentando un dato traliccio come somma di 6 singole aste, otteniamo:

dove L io lunghezza io-th asta della fattoria, e x io, si io sono le coordinate del suo baricentro.

La soluzione a questo problema può essere semplificata raggruppando gli ultimi 5 truss rod. È facile vedere che formano una figura con un centro di simmetria situato nel mezzo della quarta asta, dove si trova il baricentro di questo gruppo di aste.

Pertanto, un determinato traliccio può essere rappresentato da una combinazione di soli due gruppi di aste.

Il primo gruppo è costituito dalla prima canna, per questo l 1 = 4 m, X 1 = 0 m, y 1 = 2 M. Il secondo gruppo di aste è composto da cinque aste, per le quali l 2 = 20 m, X 2 = 3 m, y 2 = 2 m.

Le coordinate del baricentro della fattoria si trovano con la formula:

X C = (l 1 ∙X 1 +l 2 ∙X 2)/(l 1 + l 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 m;

y C = (l 1 ∙y 1 +l 2 ∙y 2)/(l 1 + l 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 m.

Si noti che il centro DA giace sulla linea di collegamento DA 1 e DA 2 e divide il segmento DA 1 DA 2 in merito a: DA 1 DA/SS 2 = (X C - X 1)/(X 2 - X C ) = l 2 /l 1 = 2,5/0,5.

Domande per l'autoesame

Qual è il centro delle forze parallele?

Come si determinano le coordinate del centro delle forze parallele?

Come determinare il centro delle forze parallele, la cui risultante è zero?

Qual è la proprietà del centro delle forze parallele?

Quali formule vengono utilizzate per calcolare le coordinate del centro delle forze parallele?

Qual è il baricentro di un corpo?

Perché le forze di attrazione della Terra, agenti su un punto del corpo, possono essere prese come un sistema di forze parallele?

Annotare la formula per determinare la posizione del baricentro di corpi disomogenei e omogenei, la formula per determinare la posizione del baricentro sezioni piatte?

Scrivi la formula per determinare la posizione del baricentro di semplici forme geometriche: un rettangolo, un triangolo, un trapezio e un semicerchio?

Come si chiama il momento statico dell'area?

Fai un esempio di un corpo il cui baricentro si trova all'esterno del corpo.

Come vengono utilizzate le proprietà di simmetria per determinare i centri di gravità dei corpi?

Qual è l'essenza del metodo dei pesi negativi?

Dove si trova il baricentro dell'arco circolare?

Come costruzione grafica riesci a trovare il baricentro del triangolo?

Scrivi la formula che determina il baricentro di un settore circolare.

Usando formule che determinano i centri di gravità di un triangolo e di un settore circolare, ricava una formula simile per un segmento circolare.

Quali formule vengono utilizzate per calcolare le coordinate dei centri di gravità di corpi omogenei, figure piane e linee?

Quello che viene chiamato il momento statico dell'area di una figura piatta rispetto all'asse, come viene calcolato e che dimensione ha?

Come determinare la posizione del baricentro dell'area, se è nota la posizione dei baricentro delle sue singole parti?

Quali teoremi ausiliari vengono utilizzati per determinare la posizione del baricentro?

Centri di gravità di alcune semplici forme geometriche

Per determinare i centri di gravità di corpi di forma frequente (triangolo, arco circolare, settore, segmento), è conveniente utilizzare i dati di riferimento (vedi tabella).

Coordinate del baricentro di alcuni corpi omogenei

№	Nome della figura	Foto
	arco di cerchio: il baricentro di un arco di circonferenza omogenea è sull'asse di simmetria (coordinata C Rè il raggio del cerchio.
	Settore circolare omogeneo C= 0). dove α è la metà dell'angolo centrale; Rè il raggio del cerchio.
	Segmento: il baricentro si trova sull'asse di simmetria (coordinata C= 0). dove α è la metà dell'angolo centrale; Rè il raggio del cerchio.
	Semicerchio:
	Triangolo: il baricentro di un triangolo omogeneo si trova nel punto di intersezione delle sue mediane. dove x1, y1, x2, y2, x3, y3 sono le coordinate dei vertici del triangolo
	Cono: il baricentro di un cono circolare omogeneo giace alla sua altezza ed è ad una distanza di 1/4 dell'altezza dalla base del cono.
	emisfero: il baricentro giace sull'asse di simmetria.
	Trapezio: è l'area della figura.
	- l'area della figura;

Sotto il baricentro dell'auto si assume un punto condizionale, in cui si concentra tutto il suo peso. La posizione del baricentro ha un impatto significativo sulla maneggevolezza e stabilità del veicolo e il conducente deve sempre tenerne conto. La posizione del baricentro in altezza dipende dal peso e dalla natura del carico. Ad esempio, se un'autovettura trasporta merci che si trovano solo nella carrozzeria, il suo baricentro sarà molto più basso rispetto a quando si trasporta merci su un bagagliaio che si trova sopra il tetto. Tuttavia, indipendentemente dalla natura del carico e dalla sua collocazione, il baricentro di una macchina carica sarà sempre più alto di quello di una macchina scarica. In considerazione di ciò, l'opinione esistente di molti conducenti sulla buona stabilità di un veicolo carico (e ancor di più sulla riduzione della probabilità di ribaltamento) non è corretta.

L'altezza del baricentro della macchina influisce sulla ridistribuzione delle normali reazioni sulle ruote durante l'accelerazione e la frenata, nonché durante l'inclinazione della macchina, che si rifletterà nella massa di trazione e, di conseguenza, nella forza di trazione massima.

La posizione del baricentro del veicolo è Grande importanza. Caratterizza la stabilità della macchina contro il ribaltamento. Questo è chiaramente visualizzato negli autobus con passeggeri in piedi ed è anche più rilevante per le auto (autotreni) che trasportano merci di grandi dimensioni, furgoni e veicoli speciali veicoli da trasporto(autotorri, autogru, ecc.).

Nella pratica ingegneristica, capita che diventi necessario calcolare le coordinate del baricentro di una figura piatta complessa costituita da elementi semplici per i quali è nota la posizione del baricentro. Questo compito fa parte del compito di determinare...

Caratteristiche geometriche di sezioni trasversali composte di travi e tondini. Spesso tali domande vengono affrontate da ingegneri progettisti di stampi di punzonatura quando determinano le coordinate del centro di pressione, sviluppatori di schemi di carico per vari veicoli durante il posizionamento di merci, progettisti di strutture metalliche quando selezionano sezioni di elementi e, naturalmente, studenti quando studiano discipline" Meccanica teorica” e “Resistenza dei materiali”.

Biblioteca di figure elementari.

Per le figure piane simmetriche, il baricentro coincide con il centro di simmetria. Il gruppo simmetrico di oggetti elementari comprende: un cerchio, un rettangolo (compreso un quadrato), un parallelogramma (compreso un rombo), un poligono regolare.

Delle dieci cifre mostrate nella figura sopra, solo due sono di base. Cioè, usando triangoli e settori di cerchi, puoi combinare quasi tutte le figure di interesse pratico. Eventuali curve arbitrarie possono essere suddivise in sezioni e sostituite da archi di cerchio.

Le restanti otto figure sono le più comuni, motivo per cui sono state incluse in questo tipo di biblioteca. Nella nostra classificazione, questi elementi non sono fondamentali. Un rettangolo, un parallelogramma e un trapezio possono essere formati da due triangoli. Un esagono è la somma di quattro triangoli. Il segmento del cerchio è la differenza tra il settore del cerchio e il triangolo. Il settore anulare del cerchio è la differenza tra i due settori. Un cerchio è un settore di un cerchio con un angolo α=2*π=360˚. Un semicerchio è, rispettivamente, un settore di un cerchio con un angolo α=π=180˚.

Calcolo in Excel delle coordinate del baricentro di una figura composta.

È sempre più facile trasmettere e percepire informazioni prendendo in considerazione un esempio che studiare la questione su calcoli puramente teorici. Considera la soluzione al problema "Come trovare il baricentro?" sull'esempio di una figura composta mostrata nella figura sotto questo testo.

Una sezione composta è un rettangolo (con dimensioni un1 = 80 mm, B1 \u003d 40 mm), a cui è stato aggiunto un triangolo isoscele in alto a sinistra (con le dimensioni della base un2 =24 mm e altezza h2 \u003d 42 mm) e da cui è stato tagliato un semicerchio in alto a destra (centrato nel punto con le coordinate X03 =50 mm e y03 =40 mm, raggio R3 =26 mm).

Per aiutarti a eseguire il calcolo, coinvolgeremo il programma MS Excel o programma Oo Calc . Ognuno di loro affronterà facilmente il nostro compito!

Nelle celle con giallo il riempimento è fattibile preliminare ausiliario calcoli .

Nelle celle con un riempimento giallo chiaro, contiamo i risultati.

Blu il carattere è dati iniziali .

Il nero il carattere è intermedio risultati di calcolo .

rosso il carattere è finale risultati di calcolo .

Iniziamo a risolvere il problema: iniziamo a cercare le coordinate del baricentro della sezione.

Dati iniziali:

1. I nomi delle figure elementari che compongono la sezione composta verranno inseriti di conseguenza

alla cella D3: Rettangolo

alla cella E3: Triangolo

alla cella F3: Semicerchio

2. Utilizzando la "Biblioteca delle figure elementari" presentata in questo articolo, determiniamo le coordinate dei baricentro degli elementi della sezione composita xci e yci in mm rispetto agli assi scelti arbitrariamente 0x e 0y e scrivi

alla cella D4: =80/2 = 40,000

xc 1 = un 1 /2

alla cella D5: =40/2 =20,000

yc 1 = B 1 /2

alla cella E4: =24/2 =12,000

xc 2 = un 2 /2

alla cella E5: =40+42/3 =54,000

yc 2 = B 1 + h 2 /3

alla cella F4: =50 =50,000

xc 3 = X03

alla cella F5: =40-4*26/3/PI() =28,965

yc 3 = y 03 -4* r3 /3/ π

3. Calcola l'area degli elementi F 1 , F 2 , F3 in mm2, utilizzando ancora le formule della sezione "Biblioteca delle figure elementari"

nella cella D6: =40*80 =3200

F1 = un 1 * B1

nella cella E6: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

nella cella F6: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

L'area del terzo elemento - il semicerchio - è negativa perché questo ritaglio è uno spazio vuoto!

Calcolo delle coordinate del baricentro:

4. Determina l'area totale della figura finale F0 in mm2

nella cella unita D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. Calcola i momenti statici della figura composita Sx e Si in mm3 rispetto agli assi selezionati 0x e 0y

nella cella unita D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

nella cella unita D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

Si = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. Infine, calcoliamo le coordinate del baricentro della sezione composta Xc e Yc in mm nel sistema di coordinate selezionato 0x - 0y

nella cella unita D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = Si / F0

nella cella unita D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc=Sx/F0

Il compito è risolto, il calcolo in Excel è completato: vengono trovate le coordinate del baricentro della sezione, compilate utilizzando tre semplici elementi!

Conclusione.

L'esempio nell'articolo è stato scelto per essere molto semplice in modo da facilitare la comprensione della metodologia per il calcolo del baricentro di una sezione complessa. Il metodo sta nel fatto che qualsiasi figura complessa dovrebbe essere suddivisa in elementi semplici con posizioni note dei baricentro e dovrebbero essere effettuati calcoli finali per l'intera sezione.

Se la sezione è composta da profili laminati - angoli e canali, non è necessario suddividerli in rettangoli e quadrati con settori circolari ritagliati "π / 2". Le coordinate dei centri di gravità di questi profili sono riportate nelle tabelle GOST, ovvero sia l'angolo che il canale saranno elementi elementari di base nei tuoi calcoli di sezioni composite (non ha senso parlare di travi a I, tubi , barre ed esagoni - queste sono sezioni simmetriche centrali).

La posizione degli assi delle coordinate sulla posizione del baricentro della figura, ovviamente, non influisce! Pertanto, scegli un sistema di coordinate che semplifichi i tuoi calcoli. Se, ad esempio, ruotassi il sistema di coordinate di 45˚ in senso orario nel nostro esempio, il calcolo delle coordinate dei centri di gravità di un rettangolo, triangolo e semicerchio si trasformerebbe in un altro passo di calcolo separato e ingombrante che non puoi fare " nella tua testa".

Il file di calcolo Excel presentato di seguito non è un programma in questo caso. Piuttosto, è uno schizzo di una calcolatrice, un algoritmo, un modello che segue in ogni caso. crea la tua sequenza di formule per le celle con un riempimento giallo brillante.

Quindi, ora sai come trovare il baricentro di qualsiasi sezione! Un calcolo completo di tutte le caratteristiche geometriche di sezioni composite arbitrarie complesse sarà considerato in uno dei prossimi articoli sotto il titolo "". Segui le notizie sul blog.

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Alcune parole su un bicchiere, una moneta e due forchette, che sono raffigurate sull'"illustrazione dell'icona" all'inizio dell'articolo. Molti di voi conoscono sicuramente questo "trucco" che evoca sguardi ammirati da bambini e adulti non iniziati. L'argomento di questo articolo è il baricentro. È lui e il fulcro, che giocano con la nostra coscienza ed esperienza, ingannano semplicemente la nostra mente!

Il baricentro del sistema "forchette + moneta" è sempre posizionato su fisso distanza verticale verso il basso dal bordo della moneta, che a sua volta è il fulcro. Questa è una posizione di equilibrio stabile! Se scuoti le forche, diventa immediatamente evidente che il sistema si sta sforzando di riprendere la sua precedente posizione stabile! Immagina un pendolo - il punto di ancoraggio (= il punto di appoggio della moneta sul bordo del bicchiere), l'asse del pendolo (= nel nostro caso l'asse è virtuale, poiché la massa delle due forcelle è separati in diverse direzioni dello spazio) e il peso nella parte inferiore dell'asse (= baricentro dell'intero sistema "forchetta" + moneta"). Se inizi a deviare il pendolo dalla verticale in qualsiasi direzione (avanti, indietro, sinistra, destra), tornerà inevitabilmente alla sua posizione originale sotto l'influenza della gravità. stato di equilibrio stabile(lo stesso accade con le nostre forchette e monete)!

Chi non ha capito, ma vuole capire, scoprilo tu stesso. È molto interessante "raggiungere" te stesso! Aggiungo che lo stesso principio dell'utilizzo di un equilibrio stabile è implementato anche nel giocattolo Roly-Get Up. Solo il baricentro di questo giocattolo si trova sopra il fulcro, ma sotto il centro dell'emisfero della superficie di appoggio.

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La tecnica matematica del calcolo del baricentro appartiene al campo dei corsi di matematica; lì tali problemi servono come buoni esempi nel calcolo integrale. Ma anche se sai integrare, è utile conoscere alcuni trucchi per calcolare la posizione del baricentro. Uno di questi trucchi si basa sull'uso del cosiddetto teorema di Pappo, che funziona come segue. Se prendiamo una figura chiusa e una forma solido, ruotando questa figura nello spazio in modo che ogni punto si muova perpendicolarmente al piano della figura, quindi il volume del corpo formato in questo caso è uguale al prodotto dell'area della figura e della distanza percorsa da il suo baricentro! Naturalmente questo teorema vale anche nel caso in cui una figura piatta si muova lungo una retta perpendicolare alla sua area, ma se la muoviamo lungo una circonferenza o altro

curva, poi risulta molto di più corpo interessante. Quando si guida su un sentiero tortuoso parte interna la figura avanza meno di quella esterna e questi effetti si annullano a vicenda. Quindi se vogliamo definire; il baricentro di una figura piana con densità uniforme, quindi va ricordato che il volume formato dalla sua rotazione attorno all'asse è uguale alla distanza percorsa dal baricentro, moltiplicata per l'area di u200bla cifra.
Ad esempio, se dobbiamo trovare il centro di massa triangolo rettangolo con base D e altezza H (Fig. 19.2), si procede come segue. Immagina un asse lungo H e ruota il triangolo di 360° attorno a quell'asse. Questo ci dà un cono. La distanza percorsa dalla coordinata x del centro di massa è 2πx e l'area della regione che si è mossa, ovvero l'area del triangolo, è pari a l/2 HD. Il prodotto della distanza percorsa dal centro di massa e dall'area del triangolo è uguale al volume del cono, cioè 1/3 πD 2 H. Quindi, (2πх) (1/2HD) = 1/3D 2 H, oppure x= D/З. Allo stesso modo, ruotando attorno alla seconda gamba, o semplicemente per motivi di simmetria, troviamo che y \u003d H / 3. In generale, il centro di massa di ogni triangolo omogeneo si trova nel punto di intersezione delle sue tre mediane (linee che collegano la sommità del triangolo con il punto medio del lato opposto), che è ad una distanza dalla base pari a 1/ 3 della lunghezza di ciascuna mediana.
Come vederlo? Taglia il triangolo con le linee parallele alla base in tante strisce. Si noti ora che la mediana divide in due ogni striscia, quindi il centro di massa deve trovarsi sulla mediana.
Prendiamo ora una figura più complessa. Assumiamo che sia necessario trovare la posizione del baricentro di un semicerchio omogeneo, cioè un cerchio tagliato a metà. Dove si troverà il baricentro in questo caso? Per un cerchio completo, il centro di massa si trova al centro geometrico, ma per un semicerchio è più difficile trovarne la posizione. Sia r il raggio della circonferenza e x la distanza del centro di massa dal confine rettilineo del semicerchio. Ruotandolo attorno a questo bordo come attorno a un asse, otteniamo una palla. In questo caso, il centro di massa percorre una distanza di 2πx e l'area del semicerchio è 1/2πr 2 (metà dell'area del cerchio). Poiché il volume della sfera è, ovviamente, 4πg 3 /3, da qui troviamo

o

C'è un altro teorema di Pappo, che è in realtà un caso speciale del teorema sopra formulato, e quindi è anche valido. Supponiamo che invece di un semicerchio solido abbiamo preso un semicerchio, ad esempio un pezzo di filo a forma di semicerchio con una densità uniforme, e vogliamo trovarne il centro di massa. Si scopre che l'area che viene "percorsa" da una curva piatta quando si sposta, simile a quella sopra descritta, è uguale alla distanza percorsa dal centro di massa, moltiplicata per la lunghezza di questa curva. (La curva può essere pensata come una striscia molto stretta e il teorema precedente applicato ad essa.)