Caratteristiche geometriche delle sezioni piane. Variazione dei momenti di energia durante la traslazione parallela degli assi Teorema sulla traslazione parallela degli assi di inerzia

Gli assi che passano per il baricentro di una figura piana sono detti assi centrali.
Viene chiamato il momento d'inerzia rispetto all'asse centrale punto centrale inerzia.

Teorema

Il momento di inerzia attorno a qualsiasi asse è uguale alla somma del momento di inerzia attorno all'asse centrale parallelo a quello dato e il prodotto dell'area della figura per il quadrato della distanza tra gli assi .

Per dimostrare questo teorema, si consideri una figura piana arbitraria la cui area sia uguale a MA , il baricentro si trova nel punto DA , e il momento d'inerzia centrale rispetto all'asse X sarà io x .
Calcola il momento d'inerzia della figura attorno a un asse x 1 , parallela all'asse centrale e distanziata da esso a distanza un (Riso).

I x1 = Σ y 1 2 dA + Σ (y + a) 2 dA =
= Σ y 2 dA + 2a Σ y dA + a 2 Σ dA.

Analizzando la formula risultante, notiamo che il primo termine - momento assiale di inerzia rispetto all'asse centrale, il secondo termine è il momento statico dell'area di questa figura rispetto all'asse centrale (quindi è uguale a zero), e il terzo termine dopo l'integrazione può essere rappresentato come un prodotto un 2 A , ovvero come risultato otteniamo la formula:

I x1 \u003d I x + a 2 A- il teorema è dimostrato.

Sulla base del teorema si può concludere che da un numero assi paralleli il momento di inerzia assiale di una figura piatta sarà il più piccolo rispetto all'asse centrale .

Assi principali e momenti d'inerzia principali

Immaginiamo una figura piana, i cui momenti d'inerzia rispetto agli assi coordinati io x e io y , un momento polare l'inerzia sull'origine è io ρ . Come precedentemente stabilito,

io x + io y = io ρ.

Se gli assi delle coordinate vengono ruotati nel loro piano attorno all'origine, il momento di inerzia polare rimarrà invariato e i momenti assiali cambieranno, mentre la loro somma rimarrà costante. Poiché la somma delle variabili è costante, una di esse diminuisce e l'altra aumenta e viceversa.
Pertanto, in una determinata posizione degli assi, uno dei momenti assiali raggiungerà il valore massimo e l'altro il minimo.

Gli assi rispetto ai quali i momenti di inerzia hanno valori minimo e massimo sono detti assi di inerzia principali.
Il momento d'inerzia rispetto all'asse principale è detto momento d'inerzia principale.

Se l'asse principale passa per il baricentro della figura, è chiamato asse centrale principale e il momento di inerzia attorno a tale asse è chiamato momento di inerzia centrale principale.
Si può concludere che se una figura è simmetrica rispetto a un asse, allora questo asse sarà sempre uno dei principali assi centrali di inerzia di questa figura.

momento d'inerzia centrifugo

Il momento d'inerzia centrifugo di una figura piana è la somma dei prodotti delle aree elementari prese sull'intera area su una distanza di due assi reciprocamente perpendicolari:

io xy = Σ xy dA,

dove X , y - distanza dal sito dA agli assi X e y .
Il momento d'inerzia centrifugo può essere positivo, negativo o nullo.

Il momento d'inerzia centrifugo è incluso nelle formule per determinare la posizione degli assi principali delle sezioni asimmetriche.
Le tabelle dei profili standard contengono una caratteristica denominata raggio di rotazione della sezione , calcolato con le formule:

io x = √ (io x / la),io y = √ (io y / A) , (di seguito il segno"√"- segno di radice)

dove io x, io y - momenti d'inerzia assiali della sezione rispetto agli assi centrali; MA - area della sezione trasversale.
Questa caratteristica geometrica viene utilizzata nello studio della tensione o della compressione eccentrica, nonché nell'instabilità.

Deformazione torsionale

Concetti base di torsione. Torsione di una barra tonda.

La torsione è un tipo di deformazione in cui si verifica solo la coppia in qualsiasi sezione trasversale della trave, cioè un fattore di forza che provoca un movimento circolare della sezione rispetto a un asse perpendicolare a questa sezione, o impedisce tale movimento. In altre parole, le deformazioni di torsione si verificano se una o più coppie di forze vengono applicate a una trave rettilinea su piani perpendicolari al suo asse.
I momenti di queste coppie di forze sono chiamati torsione o rotazione. La coppia è indicata T .
Tale definizione divide condizionatamente i fattori di forza della deformazione torsionale in esterni (torsione, momenti torcenti T ) e interno (coppia Mcr ).

Nelle macchine e nei meccanismi, gli alberi rotondi o tubolari sono spesso soggetti a torsione, pertanto per tali unità e parti vengono spesso effettuati calcoli di resistenza e rigidità.

Considera la torsione di un albero cilindrico rotondo.
Immagina un albero cilindrico di gomma con un'estremità rigidamente fissata e una griglia di linee longitudinali e cerchi trasversali applicati sulla superficie. Applichiamo un paio di forze all'estremità libera dell'albero, perpendicolare all'asse di questo albero, cioè lo ruotiamo lungo l'asse. Se consideri attentamente le linee della griglia sulla superficie dell'albero, noterai che:
- l'asse dell'albero, detto asse di torsione, resterà diritto;
- i diametri dei cerchi rimarranno gli stessi e la distanza tra i cerchi adiacenti non cambierà;
- le linee longitudinali sull'albero si trasformeranno in linee elicoidali.

Da ciò si può concludere che l'ipotesi delle sezioni piatte è valida durante la torsione di una barra tonda cilindrica (albero), e si può anche supporre che i raggi dei cerchi rimangano diritti durante la deformazione (poiché i loro diametri non sono cambiati). E poiché non ci sono forze longitudinali nelle sezioni dell'albero, la distanza tra loro viene preservata.

Pertanto, la deformazione torsionale di un albero tondo consiste nel ruotare le sezioni trasversali l'una rispetto all'altra attorno all'asse di torsione e i loro angoli di rotazione sono direttamente proporzionali alle distanze dalla sezione fissa - più lontano dall'estremità fissa dell'albero qualsiasi sezione si trova, maggiore è l'angolo rispetto all'asse dell'albero che torce.
Per ciascuna sezione dell'albero, l'angolo di rotazione è uguale all'angolo di torsione della parte dell'albero racchiusa tra questa sezione e la terminazione (estremità fissa).

Angolo ( Riso. uno) la rotazione dell'estremità libera dell'albero (sezione terminale) è chiamata angolo totale di torsione della barra cilindrica (albero).
Angolo di torsione relativo φ 0 è chiamato il rapporto tra l'angolo di torsione φ 1 a distanza l 1 da questa sezione alla cessazione (sezione fissa).
Se una trave cilindrica (albero) con una lunghezza l ha sezione costante ed è caricato con un momento torsionale all'estremità libera (cioè è costituito da una sezione geometrica omogenea), quindi l'affermazione è vera:
φ 0 = φ 1 / l 1 = φ / l = cost - il valore è costante.

Se consideriamo uno strato sottile sulla superficie della barra cilindrica di gomma sopra ( Riso. uno) delimitato da una cella della griglia cdef , notiamo che questa cella si inclina durante la deformazione e il suo lato, che è lontano dalla sezione fissa, si sposta verso la torsione della trave, assumendo la posizione cde 1 f 1 .

Va notato che un'immagine simile si osserva durante la deformazione a taglio, solo in questo caso la superficie è deformata a causa dello spostamento traslatorio delle sezioni l'una rispetto all'altra e non a causa dello spostamento rotatorio, come nella deformazione torsionale. Sulla base di ciò, possiamo concludere che durante la torsione nelle sezioni trasversali sorgono solo tangenti forze interne(stress) che genera la coppia.

Quindi, la coppia è il momento risultante relativo all'asse della trave delle forze tangenziali interne che agiscono nella sezione trasversale.

Figura 7

dove io x, io y sono i momenti di inerzia assiali relativi agli assi di riferimento;

Issi– momento centrifugo inerzia rispetto agli assi originari;

Io xc, io yc sono i momenti d'inerzia assiali rispetto agli assi centrali;

io xcicè il momento d'inerzia centrifugo rispetto agli assi centrali;

a, b- la distanza tra gli assi.

Determinazione dei momenti d'inerzia della sezione quando gli assi vengono ruotati

Sono note tutte le caratteristiche geometriche della sezione rispetto agli assi centrali x C,a C(Fig. 8). Determina i momenti di inerzia rispetto agli assi x 1,1 ruotato rispetto a quelli centrali di un certo angolo un.

Figura 8

dove Io x 1, io e 1 sono i momenti di inerzia assiali rispetto agli assi x 1,1 ;

I x 1 e 1è il momento d'inerzia centrifugo rispetto agli assi x 1,1 .

Determinazione della posizione dei principali assi centrali di inerzia

La posizione dei principali assi centrali di inerzia della sezione è determinata dalla formula:

dove uno 0 è l'angolo tra l'asse di inerzia centrale e principale.

Determinazione dei principali momenti di inerzia

I principali momenti di inerzia della sezione sono determinati dalla formula:

La sequenza di calcolo di una sezione complessa

1) Suddividi una sezione complessa in sezioni semplici figure geometriche [S1, S2,…;x 1, si 1; x2, y2, …]

2) Selezionare assi arbitrari XOY .

3) Determina la posizione del baricentro della sezione [xc, yc].

4) Disegna gli assi centrali X c OY c.

5) Calcola i momenti di inerzia xc, io c , utilizzando il teorema della traslazione parallela degli assi.

6) Calcolare il momento d'inerzia centrifugo Ix c e c.

7) Determinare la posizione degli assi di inerzia principali tg2a 0.

8) Calcola i principali momenti di inerzia Imax, Sono dentro.

ESEMPIO 2

Per la figura mostrata in Figura 13, determinare i punti principali

inerzia e la posizione dei principali assi di inerzia.

1) Rompiamo una sezione complessa in semplici forme geometriche

S 1 \u003d 2000 mm 2, S2 = 1200 mm2, S= 3200 mm2.

2) Scegli assi XOY arbitrari.

3) Determinare la posizione del baricentro della sezione

x c = 25 mm, e c= 35 mm.

4) Disegna gli assi centrali X c OY c

5) Calcola i momenti di inerzia Ix c , Iy c

6) Calcolare il momento d'inerzia centrifugo Ix c e c

7) Determinare la posizione degli assi di inerzia principali

Se una io x > io y e un 0 > 0 , quindi l'angolo uno 0 fuori asse X s Antiorario.

8) Calcola i principali momenti di inerzia Imax, Sono dentro

ESEMPIO 3

Per la figura mostrata in Fig. 8 determinare la posizione degli assi principali

Figura 8

inerzia e principali momenti di inerzia.

1) Scriviamo i principali dati iniziali per ogni figura

Canale

S 1 = 10,9 cm2

io x = 20,4 cm 4

io y = 174 cm 4

si 0= 1,44 cm

h= 10 cm

angolo disuguale

S 3 = 6,36 cm2

io x = 41,6 cm 4

io y = 12,7 cm 4

io min = 7,58 cm 4

tga= 0,387

x0= 1,13 cm

si 0= 2,6 cm

Rettangolo

S2 = 40 cm 2

cm 4

2) Disegniamo una sezione su una scala

3) Disegna assi di coordinate arbitrarie

4) Determinare le coordinate del baricentro della sezione

5) Disegna gli assi centrali

6) Determinare i momenti d'inerzia assiali rispetto agli assi centrali

7) Determinare il momento d'inerzia centrifugo rispetto agli assi centrali

Il momento d'inerzia centrifugo per l'acciaio laminato ad angolo rispetto al suo centro di gravità è determinato da uno di le seguenti formule:

-4

Il segno del momento d'inerzia centrifugo per l'acciaio laminato ad angolo è determinato secondo la fig. 9, quindi io xy 3\u003d -13,17 cm 4.

8) Determinare la posizione degli assi di inerzia principali

a0 = 21,84°

9) Determinare i principali momenti di inerzia

COMPITO 4

Per determinati schemi (Tabella 6) è necessario:

1) Disegna la sezione trasversale su una scala rigorosa.

2) Determinare la posizione del baricentro.

3) Trova i valori dei momenti di inerzia assiali rispetto agli assi centrali.

4) Trovare il valore del momento d'inerzia centrifugo rispetto agli assi centrali.

5) Determinare la posizione degli assi di inerzia principali.

6) Trova i principali momenti di inerzia.

Prendi i dati numerici dalla tabella. 6.

Schemi di progettazione per l'attività n. 4

Tabella 6

Dati iniziali per l'attività n. 4

№	Angolo a ripiano uguale	Angolo disuguale	Io-fascio	Canale	Rettangolo	numero di schema
	30´5	50´32´4			100´30
	40´6	56´36´4			100´40
	50´4	63´40´8			100´20
	56´4	70´45´5			80´40
	63´6	80´50´6		14 bis	80´60
	70´8	90´56´6			80´100
	80´8	100´63´6	20 bis	16 bis	80´20
	90´9	90´56´8			60´40
	75´9	140´90´10	22a	18 bis	60´60
	100´10	160´100´12			60´40
	d	un	b	in	G	d

Istruzioni per l'attività 5

Una curva è un tipo di deformazione in cui si verifica un VSF nella sezione trasversale dell'asta. - momento flettente.

Per calcolare la trave da piegare, è necessario conoscere il valore del momento flettente maggiore M e la posizione della sezione in cui si trova. Allo stesso modo, devi conoscere la massima forza laterale Q. A tale scopo vengono costruiti grafici dei momenti flettenti e delle forze di taglio. Dai diagrammi è facile giudicare dove sarà valore massimo momento o forza trasversale. Per determinare i valori M e Q utilizzando il metodo di sezionamento. Si consideri il circuito mostrato in Fig. 9. Componi la somma delle forze sull'asse Y agendo sulla parte tagliata della trave.

Figura 9

La forza trasversale è uguale alla somma algebrica di tutte le forze agenti su un lato della sezione.

Componi la somma dei momenti agenti sulla parte tagliata della trave, relativi alla sezione.

Il momento flettente è uguale alla somma algebrica di tutti i momenti agenti sulla parte di taglio della trave, rispetto al baricentro della sezione.

Per poter calcolare da qualsiasi estremità della trave, è necessario accettare la regola del segno per i fattori di forza interni.

Per forza di taglio Q.

Figura 10.

Se una forza esterna ruota la parte tagliata della trave in senso orario, la forza è positiva, se una forza esterna ruota la parte tagliata della trave in senso antiorario, la forza è negativa.

Per il momento flettente M.

Figura 11.

Se sotto l'influenza forza esterna l'asse curvo della trave assume la forma di una conca concava, in modo tale che la pioggia proveniente dall'alto la riempia di acqua, quindi il momento flettente è positivo (Fig. 11a). Se, sotto l'azione di una forza esterna, l'asse di flessione della trave assume la forma di una conca convessa, tale che la pioggia che cade dall'alto non la riempie d'acqua, allora il momento flettente è negativo (Fig. 11b).

Tra l'intensità del carico distribuito q, forza trasversale Q e momento flettente M, agendo in una determinata sezione, esistono le seguenti dipendenze differenziali:

Queste dipendenze differenziali nella flessione ci consentono di stabilire alcune caratteristiche dei diagrammi delle forze trasversali e dei momenti flettenti.

1) In quelle zone dove non c'è carico distribuito, il diagramma Q è limitato a linee rette parallele all'asse del diagramma e al diagramma M , nel caso generale, sono rette oblique (Fig. 19).

2) In quelle zone dove alla trave è applicato un carico uniformemente distribuito, il diagramma Q limitato da linee rette oblique e il diagramma M – parabole quadratiche(Fig. 20). Durante la trama M sulle fibre compresse, la convessità della parabola è rivolta in senso opposto all'azione del carico distribuito (Fig. 21a, b).

Figura 12.

Figura 13.

3) In quelle sezioni dove Q= 0, tangente al tracciato M parallelamente all'asse della trama (Fig. 12, 13). Il momento flettente in tali sezioni della trave è di grandezza estrema ( M max,Mmm).

4) Nelle zone dove D > 0, M aumenta, cioè da sinistra a destra, le ordinate positive del diagramma M aumento, negativo - diminuzione (Fig. 12, 13); in quelle zone dove Q < 0, M diminuisce (Fig. 12, 13).

5) Nelle sezioni in cui vengono applicate forze concentrate alla trave:

a) sulla trama Q ci saranno salti di grandezza e nella direzione delle forze applicate (Fig. 12, 13).

b) sul diagramma M ci saranno fratture (Fig. 12, 13), la punta della frattura è diretta contro l'azione della forza.

6) In quelle sezioni dove si applicano momenti concentrati alla trave, sul diagramma M ci saranno salti nella grandezza di questi momenti, sul diagramma Q non ci saranno modifiche (Fig. 14).

Figura 14.

Figura 15.

7) Se concentrato

momento, allora in questa sezione il momento flettente è uguale al momento esterno (sezioni C e B in fig. quindici).

8) Diagramma Qè un diagramma della derivata del diagramma M. Quindi le ordinate Q proporzionale alla tangente della pendenza della tangente al diagramma M(Fig. 14).

L'ordine della trama Q e M:

1) Viene redatto un diagramma di calcolo della trave (sotto forma di un asse) con un'immagine dei carichi agenti su di essa.

2) L'influenza degli appoggi sulla trave è sostituita dalle corrispondenti reazioni; sono indicate le designazioni delle reazioni e le loro direzioni accettate.

3) Vengono compilate le equazioni di equilibrio per la trave, la cui soluzione determina i valori delle reazioni di supporto.

4) La trave è divisa in sezioni, i cui confini sono i punti di applicazione delle forze e dei momenti concentrati esterni, nonché i punti di inizio e fine dell'azione o il cambiamento nella natura dei carichi distribuiti.

5) Espressioni compilate di momenti flettenti M e forze trasversali Q per ogni sezione della trave. Lo schema di calcolo indica l'inizio e la direzione delle distanze di conteggio per ciascuna sezione.

6) Sulla base delle espressioni ottenute, le ordinate dei diagrammi sono calcolate per un numero di sezioni di trave in quantità sufficiente per visualizzare tali diagrammi.

7) Si determinano le sezioni in cui le forze trasversali sono pari a zero e in cui, quindi, agiscono i momenti Mmax o Mmm per questa sezione della trave; vengono calcolati i valori di questi momenti.

8) I diagrammi sono costruiti in base ai valori ottenuti delle ordinate.

9) Gli schemi costruiti vengono verificati confrontandoli tra loro.

I diagrammi dei fattori di forza interni durante la flessione sono costruiti per determinare la sezione pericolosa. Dopo che è stata trovata la sezione pericolosa, la trave viene calcolata per la forza. In generale flessione trasversale, quando nelle sezioni della trave agiscono un momento flettente ed una forza trasversale, nella sezione della trave si verificano sollecitazioni normali e di taglio. Pertanto, è logico considerare due condizioni di forza:

a) da sollecitazioni normali

b) sforzi di taglio

Poiché il principale fattore distruttivo per le travi sono le sollecitazioni normali, le dimensioni della sezione trasversale della trave della forma accettata sono determinate dalla condizione di resistenza per le sollecitazioni normali:

Quindi viene verificato se la sezione della trave selezionata soddisfa la condizione di resistenza allo sforzo di taglio.

Tuttavia, un tale approccio al calcolo delle travi non caratterizza ancora la forza della trave. In molti casi, ci sono punti nelle sezioni della trave in cui agiscono simultaneamente grandi sollecitazioni normali e di taglio. In tali casi, diventa necessario verificare la resistenza della trave per le sollecitazioni principali. Le più applicabili per tale verifica sono la terza e la quarta teoria della forza:

, .

ESEMPIO 1

Costruisci grafici della forza di taglio Q e momento flettente M per la trave mostrata in fig. 16 se: F1= 3 kN F2= 1,5 kN, M = 5,1 kN∙m, q = =2kN/m, un = 2m, b = 1 metro, Insieme a = 3 m.

Figura 16.

1) Determinare le reazioni di supporto.

;

Visita medica:

Reazioni trovate correttamente

2) Dividere la trave in sezioni circa,ANNO DOMINI,DE,EK,KB.

3) Determinare i valori Q e M in ogni zona.

, ; , .

ANNO DOMINI

, ;

, .

, ;

, .

, , ;

, , .

Trova il momento flettente massimo sulla sezione KB.

Uguaglia l'equazione Q su questa sezione a zero ed esprimere la coordinata zmax , con quale Q= 0 e il momento ha un valore massimo. Successivamente, sostituiamo zmax nell'equazione del momento in questa sezione e trova Mmax.

, ;

, .

4) Costruiamo diagrammi (Fig. 16)

ESEMPIO 2

Per la trave mostrata in Fig. 16 determinare le dimensioni di un tondo, rettangolare ( h/b = 2) e una I-sezione. Verificare la resistenza della trave a I in base alle principali sollecitazioni, se [S]= 150 MPa, [t]= 150 MPa.

1) Determiniamo il momento di resistenza richiesto dalla condizione di forza

2) Determinare le dimensioni della sezione circolare

3) Determinare le dimensioni della sezione rettangolare

4) Selezioniamo una trave a I n. 10 in base all'assortimento (GOST 8239-89)

WX\u003d 39,7 cm 3, S X * \u003d 23 cm 3, io X = 198 cm 4, h = 100 mm, b = 55 mm, d = 4,5 mm, t = 7,2 mm.

Per verificare la resistenza della trave in termini di sollecitazioni principali, è necessario tracciare le sollecitazioni normali e di taglio nella sezione pericolosa. Poiché l'entità delle sollecitazioni principali dipende sia dalle sollecitazioni normali che da quelle di taglio, la prova di resistenza dovrebbe essere eseguita nella sezione della trave in cui M e Q sono abbastanza grandi. su un supporto A(fig. 16) forza di taglio Q ha un valore massimo, ma qui M= 0. pertanto consideriamo pericolosa la sezione sul supporto MA, dove il momento flettente è massimo e la forza trasversale è relativamente grande.

Le sollecitazioni normali, che cambiano lungo l'altezza della sezione, obbediscono alla legge lineare:

dove y- coordinata del punto di sezione (Fig. 24).

a a= 0, s = 0;

a ymax ,

La legge di variazione delle sollecitazioni di taglio è determinata dalla legge di variazione del momento statico dell'area, che, a sua volta, cambia lungo l'altezza della sezione secondo la legge parabolica. Calcolato il valore dei punti caratteristici della sezione, si costruisce un diagramma delle sollecitazioni di taglio. Nel calcolare i valori di t, utilizziamo la notazione per le dimensioni della sezione adottata in Fig. 17.

La condizione di resistenza per lo strato 3–3 è soddisfatta.

COMPITO 5

Per gli schemi di travi dati (Tabella 12), costruire diagrammi della forza trasversale Q e momento flettente M. Scegli una sezione trasversale per lo schema a) rotondo [S]= 10 MPa; b) I-beam [S]= 150 MPa.

Prendi i dati numerici dalla tabella. 7.

Tabella 7

Dati iniziali per l'attività n. 6

№

sono

q 1 \u003d q 3, kN / m

q 2 , kN/m

F 1 , kN

F 2 , kN

F 3 , kN

M 1, kN∙m

M 2, kN∙m

M 3, kN∙m

numero di schema

0,8

1,2

La tabella 12 continua

Spesso, quando si risolvono problemi pratici, è necessario determinare i momenti di inerzia di una sezione rispetto ad assi orientati in modo diverso nel suo piano. In questo caso, è conveniente utilizzare i valori già noti dei momenti di inerzia dell'intera sezione (o delle sue singole parti) rispetto ad altri assi, riportati nella letteratura tecnica, libri e tabelle di riferimento speciali, nonché calcolato con le formule disponibili. Pertanto, è molto importante stabilire la relazione tra i momenti di inerzia di una stessa sezione rispetto ad assi diversi.

Nel caso più generale, il passaggio da qualsiasi vecchio a qualsiasi nuovo sistema le coordinate possono essere considerate come due trasformazioni successive del vecchio sistema di coordinate:

1) tramite trasferimento parallelo degli assi delle coordinate in una nuova posizione e

2) ruotandoli rispetto alla nuova origine. Consideriamo la prima di queste trasformazioni, cioè la traslazione parallela assi coordinati.

Assumiamo che siano noti i momenti di inerzia di una data sezione rispetto ai vecchi assi (Fig. 18.5).

Prendiamo un nuovo sistema di coordinate i cui assi siano paralleli a quelli vecchi. Siano aeb le coordinate del punto (cioè la nuova origine) nel vecchio sistema di coordinate

Si consideri un'area elementare le cui coordinate nel vecchio sistema di coordinate sono y e . Nel nuovo sistema sono uguali

Sostituiamo questi valori di coordinate nell'espressione per il momento di inerzia assiale attorno all'asse

Nell'espressione risultante, il momento di inerzia, il momento statico della sezione attorno all'asse è uguale all'area F della sezione.

Di conseguenza,

Se l'asse z passa per il baricentro della sezione, allora il momento statico e

Dalla formula (25.5) si può vedere che il momento d'inerzia attorno a un qualsiasi asse che non passa per il baricentro è maggiore del momento d'inerzia attorno all'asse passante per il baricentro, di una quantità sempre positiva . Pertanto, di tutti i momenti di inerzia attorno ad assi paralleli, ha il momento di inerzia assiale valore più piccolo rispetto all'asse passante per il baricentro della sezione.

Momento d'inerzia rispetto all'asse [per analogia con la formula (24.5)]

Nel caso particolare in cui l'asse y passa per il baricentro della sezione

Le formule (25.5) e (27.5) sono ampiamente utilizzate nel calcolo dei momenti di inerzia assiali di sezioni complesse (composte).

Sostituiamo ora i valori nell'espressione per il momento d'inerzia centrifugo attorno agli assi

Dati: momenti di inerzia della figura rispetto agli assi z, y; le distanze tra questi e gli assi paralleli z 1, y 1 - a, b.

Determinare: momenti di inerzia sugli assi z 1, y 1 (Fig. 4.7).

Le coordinate di qualsiasi punto nel nuovo sistema z 1 Oy 1 possono essere espresse in termini di coordinate nel vecchio sistema come segue:

z 1 = z + b, y 1 = y + a.

Sostituiamo questi valori nelle formule (4.6) e (4.8) e integriamo termine per termine:

In accordo con le formule (4.1) e (4.6), otteniamo

, (4.13)

Se i dati iniziali dell'asse zCy sono centrali, allora i momenti statici S z e

S y sono uguali a zero e le formule (4.13) sono semplificate:

, (4.14)

Esempio: determinare il momento d'inerzia assiale di un rettangolo attorno all'asse z 1 passante per la base (Fig. 4.6, a). Per formula (4.14)

4.4. La relazione tra i momenti di inerzia durante la rotazione degli assi

Dati: momenti di inerzia di una figura arbitraria rispetto agli assi coordinati z, y; l'angolo di rotazione di questi assi α (Fig. 4.8). Consideriamo positivo l'angolo di rotazione in senso antiorario.

Determina: i momenti di inerzia della figura relativi a z 1 , y 1 .

Le coordinate di un'area elementare arbitraria dF nei nuovi assi sono espresse in termini di coordinate del vecchio sistema di assi come segue:

z 1 = OB = OE + EB = OE + DC = zcos α + ysin α,

y 1 = AB = AC - BC = AC - ED = ycos α - zsin α.

Sostituiamo questi valori in (4.6) e (4.8) e integriamo termine per termine:

Tenendo conto delle formule (4.6) e (4.8), troviamo infine:

. (4.16)

Sommando le formule (4.15), otteniamo: (4.17)

In questo modo, quando gli assi vengono ruotati, la somma dei momenti di inerzia assiali rimane costante. In questo caso, ciascuno di essi cambia secondo le formule (4.15). È chiaro che per alcune posizioni degli assi i momenti di inerzia avranno valori estremi: uno di essi sarà il più grande, l'altro il più piccolo.

4.5. Assi principali e momenti d'inerzia principali

Di massima importanza pratica sono gli assi centrali principali, il cui momento d'inerzia centrifugo è pari a zero. Indicheremo tali assi con le lettere u, u. Pertanto, J uυ = 0. Il sistema di coordinate arbitrario iniziale z, y deve essere ruotato di un angolo α 0 tale che il momento d'inerzia centrifugo diventi uguale a zero. Uguagliando (4.16) a zero, otteniamo

. (4.18)

Risulta che la teoria dei momenti di inerzia e la teoria dello stato tensionale piano sono descritte dallo stesso apparato matematico, poiché le formule (4.15) - (4.18) sono identiche alle formule (3.10), (3.11) e (3.18) . Solo al posto delle normali sollecitazioni σ, vengono scritti momenti di inerzia assiali J z e J y, e invece delle sollecitazioni di taglio τ zy - momento di inerzia centrifugo J zy . Pertanto, le formule per i principali momenti di inerzia assiali sono fornite senza derivazione, per analogia con le formule (3.18):

.(4.19)

I due valori dell'angolo α 0 ottenuti dalla (4.18) differiscono tra loro di 90 0 , il più piccolo di questi angoli non supera 45 0 in valore assoluto.

Raggio di inerzia e momento di resistenza

Il momento d'inerzia di una figura rispetto a un qualsiasi asse può essere rappresentato come il prodotto dell'area della figura per il quadrato di una certa quantità, detta raggio di rotazione:

, (4.20)

dove i z è il raggio di inerzia relativo all'asse z.

Dall'espressione (4.20) segue che

,
. (4.21)

I principali assi centrali di inerzia corrispondono ai principali raggi di inerzia

,
. (4.22)

Conoscendo i principali raggi di rotazione, è possibile trovare graficamente il raggio di rotazione (e, di conseguenza, il momento di inerzia) attorno ad un asse arbitrario.

Consideriamo un'altra caratteristica geometrica che caratterizza la forza dell'asta in torsione e flessione - momento di resistenza. Il momento di resistenza è uguale al momento di inerzia diviso per la distanza dall'asse (o dal polo) al punto più distante della sezione. La dimensione del momento resistente è un'unità di lunghezza in un cubo (cm 3).

Per un rettangolo (Fig. 4.6, a)
,
, quindi i momenti di resistenza assiali