Per tracciare un grafico di una funzione in coordinate cartesiane, abbiamo bisogno di due rette perpendicolari xOy (dove O è il punto di intersezione di xey), che si chiamano " assi coordinati", e hai bisogno di un'unità di misura.

Un punto in questo sistema ha due coordinate.
M(x, y): M è il nome del punto, x è l'ascissa ed è misurata da Ox, e y è l'ordinata ed è misurata da Oy.

Se consideriamo una funzione f: A -> B (dove A è il dominio di definizione, B è il dominio della funzione), allora un punto sul grafico di questa funzione può essere rappresentato nella forma P(x, f( X)).

Esempio
f:A -> B, f(x) = 3x - 1
Se x = 2 => f(2) = 3×2 - 1 = 5 => P(2, 5) Gf (dove Gf è il grafico di questa funzione).

funzione quadratica

Modulo standard: f(x) = ax2 + bx + c

Forma del vertice: $f(x)=(a+\frac(b)(2a))^2-\frac(\Delta)(4a)$
dove Δ = b 2 - 4ac

Se a > 0 , allora il valore minimo f(x) sarà $-\frac(\Delta)(4a)$ , che si ottiene se $x=-\frac(b)(2a)$. Il programma sarà parabola convessa, il cui vertice (il punto in cui cambia direzione) è $V(-\frac(b)(2a);-\frac(\Delta)(4a))$.

Se una< 0 , то valore minimo f(x) sarà $-\frac(\Delta)(4a)$ , che si ottiene se $x=-\frac(b)(2a)$. Il programma sarà parabola concava, il cui vertice è $V(-\frac(b)(2a);-\frac(\Delta)(4a))$.

La parabola è simmetrica rispetto alla retta che interseca $x=-\frac(b)(2a)$ e che si chiama "Asse di simmetria".
Ecco perché quando assegniamo la conoscenza X, quindi scegliamo che siano simmetrici rispetto a $-\frac(b)(2a)$.
Quando si traccia un grafico, i punti di intersezione con gli assi delle coordinate sono molto importanti.

|. Punto situato sull'asse Bue ha la forma P(x, 0), perché la distanza da esso a Bueè 0. Se il punto si trova su Bue e sul grafico della funzione, allora ha anche la forma P(x, f(x)) ⇒ f(x) = 0.

Quindi, per trovare le coordinate del punto di intersezione con l'asse Bue, dobbiamo risolvere l'equazione f(x)=0. Otteniamo l'equazione a2 + bx + c = 0.

La soluzione dell'equazione dipende dal segno Δ = b 2 - 4ac.

Immem le seguenti opzioni:

1) ∆< 0 ,
allora l'equazione non ha soluzioni R(impostare numeri reali) e il grafico non si interseca Bue. La forma del grafico sarà:

2) Δ = 0,
allora l'equazione ha due soluzioni $x_1=x_2=-\frac(b)(2a)$
Il grafico tocca l'asse Bue in cima alla parabola. La forma del grafico sarà:

3) Δ > 0,
allora l'equazione ha due diverse soluzioni.

$x_1=\frac(-b-\sqrt(\Delta))(2a)$ e $x_2=\frac(-b+\sqrt(\Delta))(2a)$

Il grafico della funzione attraverserà l'asse Bue nei punti M(x1 e Bue. La forma del grafico sarà:

||. Un punto sull'asse Ehi ha la forma R(0,y) perché la distanza da Ehiè uguale a 0 . Se il punto si trova su Ehi e sul grafico della funzione, allora ha anche la forma R(x, f(x)) ⇒ x = 0 ⇒ R(0, f(0)).

Nel caso di una funzione quadratica,
f(0) = a×0 2 + b×0 + c ⇒ R(0, c).

Passaggi necessari per rappresentare graficamente una funzione quadratica

f: R → R
f(x) = ax2 + bx + c

1. Creiamo una tabella di variabili, dove inseriamo alcuni valori importanti X.

2. Calcolare le coordinate del vertice $V(-\frac(b)(2a);-\frac(\Delta)(4a))$.

3. Scrivi anche 0 nella tabella e zero valori simmetrici $-\frac(b)(2a)$.

4. Determiniamo il punto di intersezione con l'asse Bue, risolvendo l'equazione f(x)=0 e scrivi le radici x 1 e x2 sul tavolo.
Δ > 0 ⇒

Δ < 0 ⇒ точек пересечения нет. В этом случае мы выберем два удобных значения, которые симметричны $-\frac{b}{2a}$

Δ = 0 ⇒ tocchi del grafico Bue proprio in cima alla parabola. Scegliamo ancora due valori convenienti che sono simmetrici a $-\frac(b)(2a)$. Per determinare meglio la forma del grafico, possiamo scegliere altre coppie di valori per X, ma devono essere simmetrici $-\frac(b)(2a)$.

5. Tracciamo questi valori su un sistema di coordinate e costruiamo un grafico collegando questi punti.

Esempio 1
f: R → R
f(x) = x 2 - 2x - 3
a=1, b=-2, c=-3

$-\frac(b)(2a)=\frac(2)(2)=1$ ⇒ V(1; -4)

1. $-\frac(\Delta)(4a)=-\frac(16)(4)=-4$

2. f(0) = -3
Il valore simmetrico di 0 rispetto a 1 è 2.
f(2) = -3

3. f(x) = 0 ⇒ x 2 - 2x - 3 = 0
Δ = 16 > 0
$x_1=\frac(-b-\sqrt(\Delta))(2a)=\frac(2-4)(2)=-1$

$x_1=\frac(2+4)(2)=3$

Abbiamo trovato punti:
A(-1; 0)
B(0; -3)
V(1; -4)
C(2; -3)
D(3; 0)

Il grafico sarà simile a:

Esempio 2
f: R → R
f(x) = -x 2 - 2x + 8
a=-1, b=-2, c=8
Δ \u003d b 2 - 4 × a × c \u003d (-2) 2 - 4 × (-1) × 8 \u003d 36
$-\frac(b)(2a)=\frac(2)(-2)=-1$ ⇒ V(-1; 9)

1. $-\frac(\Delta)(4a)=-\frac(-36)(-4)=9$

2. f(0) = 8
f(-2) = 8 (il valore 0-simmetrico rispetto a -1 è -2)

3. f(x) = 0 ⇒ -x 2 - 2x + 8 = 0
Δ=36
x 1 = 2 e x 2 = -4

A(-4; 0)
B(-2; 8)
V(-1; 9)
C(0; 8)
D(2; 0)

Esempio 3
f: R → R
f(x) = x 2 - 4x + 4
a=1, b=-4, c=4
Δ \u003d b 2 - 4 × a × c \u003d (-4) 2 - 4 × 1 × 4 \u003d 0
$-\frac(b)(2a)=\frac(4)(2)=2$ ⇒ V(2; 0)

1. $-\frac(\Delta)(4a)=0$

2. f(0) = 4
f(4) = 4 (il valore 0 simmetrico rispetto a 2 è 4)

3. f(x) = 0 ⇒ x 2 - 4x + 4 = 0
Δ = 0
x 1 = x 2 = $-\frac(b)(2a)$ = 2

A(-2; 9)
B(0; 4)
V(2; 0)
C(4; 4)
D(5; 9)

Esempio 4
f: R → R
f(x) = -x 2 + 4x - 5
a=-1, b=4, c=-5
Δ = b 2 - 4×a×c = 4 2 - 4×(-1)×(-5) = 16 - 20 = -4
$-\frac(b)(2a)=\frac(-4)(-2)=2$ ⇒ V(2; -1)

1. $-\frac(\Delta)(4a)=-\frac(-4)(-4)=-1$

2. f(0) = -5
f(4) = -5 (il valore 0-simmetrico rispetto a 2 è 4)

3. f(x) = 0 ⇒ -x 2 + 4x - 5 = 0, Δ< 0
Questa equazione non ha soluzioni. Abbiamo scelto valori simmetrici intorno a 2

A(-1; -10)
B(0; 5)
V(2; -1)
C(4; -5)
D(5; -10)

Se il dominio di definizione non è R (l'insieme dei numeri reali), ma un intervallo, allora cancelliamo la parte del grafico che corrisponde a quei valori X, che non sono in questo intervallo. È necessario registrare gli endpoint dell'intervallo in una tabella.

Esempio 5
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