È necessario e sufficiente che la somma del lavoro, di tutte le forze attive applicate al sistema su ogni possibile spostamento del sistema, sia uguale a zero.
Il numero di equazioni che possono essere scritte per un sistema meccanico, in base al principio possibili movimenti, è uguale al numero di gradi di libertà di questo stesso sistema meccanico.
Letteratura
- Targ S. M. Un breve corso di meccanica teorica. Proc. per gli istituti tecnici - 10a ed., riveduta. e aggiuntivo - M.: Più in alto. scuola, 1986.- 416 p., ill.
- Il corso principale di meccanica teorica (prima parte) N. N. Bukhgolts, casa editrice "Nauka", Comitato editoriale principale di letteratura fisica e matematica, Mosca, 1972, 468 pagine.
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principio dei possibili movimenti
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principio degli spostamenti virtuali- virtualiųjų poslinkių principas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. principio dello spostamento virtuale vok. Prinzip der virtùllen Verschiebungen, n rus. il principio degli spostamenti virtuali, m; principio dei movimenti possibili, m pranc. principe des … Fizikos terminų žodynas
Uno dei principi variazionali della meccanica, secondo Roma per una data classe di movimenti meccanici confrontati tra loro. sistema è valido per quale fisico. valore, chiamato azione, ha il più piccolo (più precisamente, stazionario) ... ... Enciclopedia fisica
Libri
- Meccanica teorica. In 4 volumi. Volume 3: Dinamica. Meccanica analitica. Testi delle lezioni. Avvoltoio del Ministero della Difesa della Federazione Russa, Bogomaz Irina Vladimirovna. IN Guida allo studio vengono presentate due parti di un corso unificato di meccanica teorica: la dinamica e la meccanica analitica. Nella prima parte vengono approfonditi il primo e il secondo problema di dinamica, anche...
1. Coordinate generalizzate e numero di gradi di libertà.
Quando un sistema meccanico si muove, tutti i suoi punti non possono muoversi arbitrariamente, poiché sono limitati da connessioni. Ciò significa che non tutte le coordinate dei punti sono indipendenti. La posizione dei punti è determinata specificando solo coordinate indipendenti.
coordinate generalizzate. Per i sistemi olonomi (cioè quelli le cui connessioni sono espresse da equazioni che dipendono solo da coordinate), il numero di coordinate generalizzate indipendenti di un sistema meccanico uguale al numero dei gradi di libertà questo sistema.
Esempi:
La posizione di tutti i punti è determinata in modo univoco dall'angolo di rotazione
manovella.
Un grado di libertà.
2. La posizione di un punto libero nello spazio è determinata da tre coordinate indipendenti l'una dall'altra. Ecco perché tre gradi di libertà.
3. Corpo rotante rigido, posizione determinata dall'angolo di rotazione J . Un grado di libertà.
4. Un corpo rigido libero il cui moto è determinato da sei equazioni - sei gradi di libertà.
2. Eventuali spostamenti del sistema meccanico.
Connessioni ideali.
Possibile gli spostamenti sono spostamenti infinitesimali immaginari consentiti in un dato momento da vincoli imposti al sistema. Eventuali spostamenti di punti di un sistema meccanico sono quindi considerati come quantità del primo ordine di piccolezza movimenti curvilinei i punti sono sostituiti da segmenti di retta posti tangenzialmente alle traiettorie dei punti e sono indicati dS.
dS A = dj . OA
Tutte le forze che agiscono su un punto materiale sono divise in date forze e reazioni di vincolo.
Se la somma del lavoro delle reazioni dei legami su ogni possibile spostamento del sistema è uguale a zero, allora tali legami sono chiamati ideale.
3. Il principio dei movimenti possibili.
Per l'equilibrio di un sistema meccanico con vincoli ideali è necessario e sufficiente che la somma opere elementari di tutte le forze attive agenti su di esso per ogni possibile spostamento del sistema era pari a zero.
Significato il principio dei possibili movimenti:
1. Vengono prese in considerazione solo le forze attive.
2. Fornisce in forma generale la condizione di equilibrio per qualsiasi sistema meccanico, mentre in statica è necessario considerare l'equilibrio di ciascun corpo del sistema separatamente.
Un compito.
Per una data posizione del meccanismo del cursore-manovella in equilibrio, trovare la relazione tra momento e forza se OA = ℓ.
Equazione generale della dinamica.
Il principio dei possibili spostamenti fornisce un metodo generale per risolvere problemi di statica. D'altra parte, il principio d'Alembert permette di utilizzare i metodi della statica per risolvere problemi di dinamica. Pertanto, applicando contemporaneamente questi due principi, si può ottenere un metodo generale per risolvere problemi di dinamica.
Consideriamo un sistema meccanico su cui vengono imposti vincoli ideali. Se a tutti i punti del sistema, ad eccezione delle forze attive che agiscono su di essi e delle reazioni dei legami, aggiungiamo le corrispondenti forze di inerzia, allora secondo il principio d'Alembert il sistema di forze risultante sarà in equilibrio. Applicando il principio degli spostamenti possibili si ottiene:
Poiché le connessioni sono ideali, allora:
Questa uguaglianza rappresenta equazione generale dinamica.
Ne deriva Principio d'Alembert-Lagrange- quando un sistema si muove con vincoli ideali in ogni momento, la somma dei lavori elementari di tutte le forze attive applicate e di tutte le forze inerziali su ogni possibile movimento del sistema sarà uguale a zero.
Un compito.
Nel cambio 2 peso 2G con raggio R2=R coppia applicata M=4GR.
Determinare l'accelerazione del carico sollevato MA pesatura G, trascurando il peso della fune e l'attrito negli assi. Un tamburo su cui è avvolta una fune e un ingranaggio fissato rigidamente ad esso 1 , avere un peso totale 4G e raggio di rotazione r = r. raggio del tamburo R A = R e ingranaggi 1
R 1 \u003d 0,5 R.
Descriviamo tutte le forze agenti, la direzione delle accelerazioni ei possibili spostamenti.
________________
Sostituiamo nell'equazione generale della dinamica
Esprimiamo lo spostamento in termini di angolo di rotazione δφ 1
Sostituisci i valori
δφ 1 ≠0
Esprimiamo tutte le accelerazioni nei termini del desiderato aa e equiparare l'espressione tra parentesi a zero
Sostituisci i valori
Il principio dei movimenti possibili.
a = 0,15 m
b = 2a = 0,3 m
m = 1,2 Nm _________________
x V; in B; N / A ; Mp
Soluzione: Troviamo la reazione del supporto mobile MA perché scartiamo mentalmente questa connessione, sostituendo la sua azione con una reazione N / A
Possibile movimento dell'asta corrente alternataè la sua rotazione attorno al cardine DA all'angolo dj. kernel sole rimane immobile.
Componiamo l'equazione del lavoro, tenendo conto che il lavoro delle forze durante la rotazione del corpo è uguale al prodotto del momento della forza attorno al centro di rotazione e dell'angolo di rotazione del corpo.
Determinare le reazioni di fissaggio rigido in un supporto IN prima trova il momento di reazione M pag. Per fare ciò, scartiamo il vincolo che impedisce all'asta di girare sole, sostituendo il fissaggio rigido con un supporto incernierato-fisso ed applicando un momento M pag .
Indica all'asta una possibile rotazione di un angolo dj 1.
Componi l'equazione di lavoro per l'asta sole:
Definiamo gli spostamenti:
Per determinare la componente verticale della reazione di appuntamento rigido, scartiamo il vincolo che impedisce al punto di spostarsi verticalmente IN, sostituendo il fissaggio rigido con uno scorrevole (è impossibile girare) e applicando la reazione :
Informiamo il lato sinistro (l'asta sole con cursore IN) velocità possibile VB movimento in avanti fuori uso. kernel corrente alternata ruotare attorno al punto MA .
Facciamo l'equazione dei lavori:
Per determinare la componente orizzontale della reazione di ancoraggio rigido, scartiamo il vincolo che impedisce al punto di muoversi orizzontalmente IN sostituendo la terminazione rigida con una scorrevole e applicando la reazione:
Informiamo il lato sinistro (cursore IN insieme alla canna sole) velocità possibile VB movimento in avanti a sinistra. Dal momento che il supporto MA sui rulli, il lato destro avanzerà alla stessa velocità. Di conseguenza.
Facciamo l'equazione delle opere per tutto il design.
Per verificare la correttezza della soluzione, componiamo le equazioni di equilibrio per l'intero sistema:
La condizione è soddisfatta.
Risposta: y B = -14,2 H; X B = -28,4 H; NA = 14,2 H; V P \u003d 3,33 Nm.
Velocità generalizzate. Forze generalizzate.
Si chiamano quantità indipendenti che determinano in modo univoco la posizione di tutti i punti di un sistema meccanico coordinate generalizzate. – Q
Se il sistema ha S gradi di libertà, quindi la sua posizione sarà determinata S coordinate generalizzate:
q1; q2; …; qs.
Poiché le coordinate generalizzate sono indipendenti l'una dall'altra, anche gli incrementi elementari di queste coordinate saranno indipendenti:
dq 1 ; dq 2 ; …; dq S .
Allo stesso tempo, ciascuna delle quantità dq 1 ; dq 2 ; …; dq S determina il corrispondente, indipendente dagli altri, possibile movimento del sistema.
Quando il sistema si muove, le sue coordinate generalizzate cambieranno continuamente nel tempo, la legge di questo movimento è determinata dalle equazioni:
, …. ,
Queste sono le equazioni del moto del sistema in coordinate generalizzate.
Le derivate delle coordinate generalizzate rispetto al tempo sono dette velocità generalizzate del sistema:
La dimensione dipende dalla dimensione Q.
Si consideri un sistema meccanico costituito da n punti materiali, che sono influenzati dalle forze F 1 , F 2 , F n. Lascia che il sistema abbia S gradi di libertà e la sua posizione è determinata dalle coordinate generalizzate q1; q2; q 3. Diciamo al sistema un possibile movimento, in cui la coordinata q 1 ottiene un incremento dq 1 e il resto delle coordinate non cambia. Quindi il vettore raggio del k-esimo punto riceve un incremento elementare (dr k) 1. Questo è l'incremento che riceve il vettore raggio quando cambia solo la coordinata. q 1 per l'importo dq 1. Il resto delle coordinate rimane invariato. Ecco perché (dr k) 1 calcolato come differenziale privato:
Calcoliamo il lavoro elementare di tutte le forze applicate:
Togliamolo dalle parentesi dq 1, noi abbiamo:
dove - forza generalizzata.
Così, forza generalizzata – è il coefficiente per gli incrementi della coordinata generalizzata.
Il calcolo delle forze generalizzate si riduce al calcolo dell'eventuale lavoro elementare.
Se tutto cambia Q, poi:
Secondo il principio degli spostamenti possibili, per l'equilibrio del sistema è necessario e sufficiente quello SdA a k = 0. In coordinate generalizzate Q1. dq 1 + Q 2 . dq 2 + … + Q s . dq = 0 Di conseguenza, per equilibrio del sistema necessario e sufficiente per forze generalizzate, corrispondente ai possibili spostamenti scelti per il sistema, e quindi alle coordinate generalizzate, erano pari a zero.
Q1 = 0; Q2 = 0; …Qs = 0.
Le equazioni di Lagrange.
Usando l'equazione generale della dinamica per un sistema meccanico, si possono trovare le equazioni del moto di un sistema meccanico.
4) determinare l'energia cinetica del sistema, esprimere questa energia in termini di velocità generalizzate e coordinate generalizzate;
5) trova le corrispondenti derivate parziali di T per e e sostituisci tutti i valori nell'equazione.
Teoria dell'impatto.
Il movimento di un corpo sotto l'azione di forze ordinarie è caratterizzato da un continuo cambiamento nei moduli e nelle direzioni delle velocità di questo corpo. Tuttavia, ci sono casi in cui la velocità dei punti del corpo, e quindi la quantità di movimento del corpo rigido in un periodo di tempo molto piccolo, ricevono variazioni finite.
Fenomeno, in cui, per un periodo di tempo trascurabilmente piccolo, le velocità dei punti del corpo cambiano di una quantità finita, si chiama soffio, soffiare.
forze, sotto l'azione di cui si verifica l'impatto sono chiamati percussione.
Piccolo periodo di tempo T durante il quale si verifica l'impatto viene chiamato tempo di impatto.
Poiché le forze d'impatto sono molto grandi e cambiano in modo significativo durante l'impatto, nella teoria dell'impatto, non le forze d'impatto stesse, ma i loro impulsi sono considerati una misura dell'interazione dei corpi.
Impulsi di forze non d'urto nel tempo T sono molto piccoli e possono essere trascurati.
Teorema sulla variazione della quantità di moto di un punto all'impatto:
dove vè la velocità del punto all'inizio dell'impatto,
tuè la velocità del punto alla fine dell'impatto.
Equazione di base della teoria dell'impatto.
Anche il movimento dei punti in un brevissimo periodo di tempo, cioè durante l'impatto, sarà piccolo e quindi considereremo il corpo immobile.
Quindi, possiamo trarre le seguenti conclusioni sulle forze di impatto:
1) l'azione di forze non d'urto durante l'urto può essere trascurata;
2) gli spostamenti delle punte del corpo durante l'urto possono essere trascurati e il corpo può essere considerato immobile durante l'urto;
Come è noto dal corso di meccanica teorica, la condizione di equilibrio di un oggetto può avere una formulazione di forza o di energia. La prima opzione è la condizione di uguaglianza a zero del vettore principale e il momento principale di tutte le forze e reazioni che agiscono sul corpo. Il secondo approccio (variante), chiamato principio degli spostamenti possibili, si è rivelato molto utile per risolvere una serie di problemi di meccanica strutturale.
Per un sistema di corpi assolutamente rigidi, il principio dei possibili spostamenti è formulato come segue: se un sistema di corpi assolutamente rigidi è in equilibrio, allora la somma dei lavori di tutti forze esterne su ogni possibile spostamento infinitesimo è zero. Si chiama movimento possibile (o virtuale), che non viola i collegamenti cinematici e la continuità dei corpi. Per il sistema di Fig. 3.1, è possibile solo la rotazione dell'asta rispetto al supporto. Quando si gira attraverso un piccolo angolo arbitrario, le forze e il lavoro 
Secondo il principio degli spostamenti possibili, se il sistema è in equilibrio, allora deve esserci 
. Sostituendo qui le relazioni geometriche 
otteniamo la condizione di equilibrio nella formulazione della forza
Il principio dei possibili spostamenti dei corpi elastici è formulato come segue: se un sistema di corpi elastici è in equilibrio, allora la somma del lavoro di tutti i corpi esterni e forze interne su ogni possibile spostamento infinitesimo è zero. Questo principio si basa sul concetto dell'energia totale di un sistema elastico deformato P. Se la struttura è caricata staticamente, allora questa energia è uguale al lavoro svolto dalle forze U esterne e W interne quando il sistema viene trasferito dallo stato deformato a quello iniziale:
Con questa traslazione, le forze esterne non cambiano il loro valore e fanno un lavoro negativo U= -F . In questo caso, le forze interne diminuiscono a zero e svolgono un lavoro positivo, poiché queste sono le forze di adesione delle particelle del materiale e sono dirette nella direzione opposta al carico esterno:
dove 
- energia potenziale specifica di deformazione elastica; V è il volume del corpo. Per sistema lineare, dove . Secondo il teorema di Lagrange-Dirichlet, lo stato di equilibrio stabile corrisponde al minimo dell'energia potenziale totale del sistema elastico, cioè
L'ultima uguaglianza corrisponde pienamente alla formulazione del principio degli spostamenti possibili. Gli incrementi di energia dU e dW possono essere calcolati su eventuali spostamenti (deviazioni) del sistema elastico dallo stato di equilibrio. Per calcolare le strutture che soddisfano i requisiti di linearità, lo spostamento infinitamente piccolo possibile d può essere sostituito da uno spostamento finale molto piccolo, che può essere qualsiasi stato deformato della struttura creato da un sistema di forze scelto arbitrariamente. Con questo in mente, la condizione di equilibrio risultante dovrebbe essere scritta come
Il lavoro delle forze esterne
Considera il metodo per calcolare il lavoro delle forze esterne sullo spostamento effettivo e possibile. Il sistema di aste è carico di forze e (Fig. 3.2, a), che agiscono contemporaneamente, e in qualsiasi momento il rapporto rimane costante. Se consideriamo la forza generalizzata, dal valore in qualsiasi momento puoi calcolare tutti gli altri carichi (in questo caso, ). La linea tratteggiata mostra lo spostamento elastico effettivo derivante da queste forze. Indichiamo questo stato con l'indice 1. Indichiamo lo spostamento dei punti di applicazione delle forze e nella direzione di queste forze nello stato 1 e .
Nel processo di caricamento di un sistema lineare con forze e, le forze aumentano e gli spostamenti e aumentano proporzionalmente ad esse (Fig. 3.2, c). Il lavoro effettivo delle forze e degli spostamenti che creano è uguale alla somma delle aree dei grafici, cioè 
. Scrivendo questa espressione come 
, otteniamo il prodotto della forza generalizzata e dello spostamento generalizzato . In questo modulo, puoi inviare
il lavoro delle forze sotto qualsiasi carico, se tutti i carichi cambiano in modo sincrono, ad es. il rapporto tra i loro valori rimane costante.
Quindi, considera il lavoro delle forze esterne su un possibile spostamento. Come possibile spostamento prenderemo, ad esempio, lo stato deformato del sistema risultante dall'applicazione di una forza in un certo punto (Fig. 3.2, b). Questo stato, corrispondente allo spostamento aggiuntivo dei punti di applicazione delle forze e di una distanza e , sarà indicato con 2. Forze e , senza modificarne il valore, eseguono un lavoro virtuale sugli spostamenti e (Fig. 3.2, c):
Come puoi vedere, nella notazione di spostamento, il primo indice mostra lo stato in cui sono specificati i punti e le direzioni di questi spostamenti. Il secondo indice mostra lo stato in cui agiscono le forze che causano questo movimento.
Il lavoro di una forza unitaria F 2 sullo spostamento effettivo
Se consideriamo lo stato 1 come un possibile spostamento della forza F 2, allora il suo lavoro virtuale sullo spostamento
Il lavoro delle forze interne
Troviamo il lavoro delle forze interne dello stato 1, cioè dalle forze e, sugli spostamenti virtuali dello stato 2, cioè risultanti dall'applicazione del carico F 2 . Per fare ciò, selezionare un elemento a stelo di lunghezza dx (Fig. 3.2 e 3.3, a). Poiché il sistema in esame è piano, nelle sezioni dell'elemento agiscono solo due forze S e Q z e un momento flettente Mu. Queste forze per l'elemento tagliato sono esterne. Le forze interne sono forze coesive che forniscono forza al materiale. Sono uguali in valore a quelli esterni, ma sono diretti nella direzione opposta alla deformazione, quindi il loro lavoro sotto carico è negativo (Fig. 3.3, b-d, mostrato in grigio). Calcoliamo in sequenza il lavoro svolto da ciascun fattore di forza.
Il lavoro delle forze longitudinali sullo spostamento, creato dalle forze S 2 risultanti dall'applicazione del carico F 2 (Fig. 3.2, b, 3.3, b),
Troviamo l'allungamento di un'asta di lunghezza dx usando la ben nota formula
dove A è l'area della sezione dell'asta. Sostituendo questa espressione nella formula precedente, troviamo
Allo stesso modo, definiamo il lavoro che il momento flettente fa sullo spostamento angolare creato dal momento (Fig. 3.3, c):
Troviamo l'angolo di rotazione come
dove J è il momento d'inerzia della sezione dell'asta rispetto all'asse y. Dopo la sostituzione, otteniamo
Troviamo il lavoro della forza trasversale sullo spostamento (Fig. 3.3, d). Le sollecitazioni tangenziali e gli spostamenti dalla forza di taglio Q z non sono distribuiti linearmente sulla sezione della barra (a differenza delle normali sollecitazioni e allungamenti nei casi di carico precedenti). Pertanto, per determinare il lavoro di taglio, è necessario considerare il lavoro svolto dalle sollecitazioni di taglio negli strati dell'asta.
Le sollecitazioni tangenziali della forza Q z, che agiscono in uno strato che giace a una distanza z dall'asse neutro (Fig. 3.3, e), sono calcolate dalla formula di Zhuravsky
dove Su è il momento statico della parte dell'area della sezione trasversale che giace al di sopra di questo strato, preso rispetto all'asse y; b è la larghezza della sezione a livello dello strato in esame. Queste sollecitazioni creano un taglio dello strato di un angolo, che, secondo la legge di Hooke, è definito come 
- modulo di taglio. Di conseguenza, la fine dello strato viene spostata di
Il lavoro totale delle sollecitazioni di taglio del primo stato, agenti all'estremità di questo strato, sugli spostamenti del secondo stato è calcolato integrando il prodotto sull'area della sezione trasversale
Dopo aver sostituito qui le espressioni per e otteniamo
Estraiamo da sotto i valori integrali che non dipendono da z, moltiplichiamo e dividiamo questa espressione per A, otteniamo
Qui viene introdotto il coefficiente adimensionale,
dipende solo dalla configurazione e dal rapporto tra le dimensioni delle sezioni. Per un rettangolo \u003d 1.2, per travi a I e sezioni di scatola (A c - area in sezione del muro o in una sezione di scatola - due pareti).
Poiché il lavoro di ciascuna delle componenti di carico considerate (S, Q, M) sugli spostamenti causati da altre componenti è uguale a zero, il lavoro totale di tutte le forze interne per l'elemento considerato dell'asta di lunghezza dx
| (3.3) |
Nella sezione di un elemento di un sistema di aste spaziali agiscono sei forze interne (S, Q, Q z, M x, Mu, M 2), quindi, per esso, l'espressione per il lavoro totale delle forze interne sarà simile ,
Qui M x - coppia nell'asta; J T è il momento d'inerzia dello stelo in torsione libera (rigidità torsionale geometrica). Nell'integrando, gli indici "e" sono omessi.
Nelle formule (3.3) e (3.4) S v Q yV Q zl , M x1 , M y1 , M g1 denotano le espressioni analitiche dei diagrammi delle forze interne dall'azione delle forze F (e F (, aS 2 , Q y 2 , Q z 2 , M x2 , M y2 , M r2 - descrizioni dei diagrammi delle forze interne dalla forza F 2 .
Teoremi sui sistemi elastici
La struttura delle formule (3.3) e (3.4) mostra che esse sono “simmetriche” rispetto agli stati 1 e 2, ovvero il lavoro delle forze interne dello stato 1 sugli spostamenti dello stato 2 è uguale al lavoro delle forze interne dello stato 1 sugli spostamenti dello stato 2 forze dello stato 2 sugli spostamenti dello stato 1 Ma secondo (3.2) 
Pertanto, se il lavoro delle forze interne è uguale, allora il lavoro delle forze esterne è uguale - Questa affermazione è chiamata teorema del lavoro di reciprocità (teorema di Betty, 1872).
Per un sistema di aste caricato con una forza F 1 (Fig. 3.4, a), prendiamo come possibile spostamento lo stato deformato che si è verificato quando è stato caricato con una forza F 2 (Fig. 3.4, b). Per questo sistema, secondo il teorema di Betti 1- Se mettiamo , otteniamo
| (3.5) |
Questa formula esprime il teorema di Maxwell (1864) sulla reciprocità degli spostamenti: lo spostamento del punto di applicazione della prima unità di forza nella sua direzione, causato dall'azione della seconda unità di forza, è uguale allo spostamento del punto di applicazione della seconda unità di forza nella sua direzione, causata dall'azione della prima unità di forza. Questo teorema può essere applicato anche al sistema di Fig. 3.2. Se poniamo = 1 N (sezione 3.1.2), otteniamo l'uguaglianza degli spostamenti generalizzati 
.
Si consideri un sistema staticamente indeterminato con supporti a cui può essere dato lo spostamento richiesto, preso il più possibile (Fig. 3.4, c, d). Nel primo stato, spostiamo il supporto 1 su e nel secondo - impostiamo la rotazione dell'incastonatura di un angolo - In questo caso, le reazioni si verificheranno nel primo stato e , e nel secondo - i . In base al teorema di reciprocità del lavoro, scriviamo If we set 
(qui la dimensione = m, e il valore è adimensionale), quindi otteniamo
Questa uguaglianza è numerica, poiché la dimensione della reazione = H, a = N-m. Pertanto, la reazione R 12 nel legame fisso 1, che si verifica quando il legame 2 viene spostato di uno, è numericamente uguale alla reazione che si verifica nel legame 2 con uno spostamento unitario del legame 1. Questa affermazione è chiamata teorema di reciprocità della reazione.
Teoremi enunciati in questa sezione, sono utilizzati per il calcolo analitico di sistemi staticamente indeterminati.
Definizione di spostamenti
Formula di spostamento generale
Per calcolare gli spostamenti che si verificano nel sistema di steli sotto l'azione di un determinato carico (stato 1), è necessario formare uno stato ausiliario del sistema in cui agisce un'unità di forza, lavorando sullo spostamento richiesto (stato 2) . Ciò significa che nel determinare lo spostamento lineare è necessario specificare una forza unitaria F 2 = 1 N applicata nello stesso punto e nella stessa direzione in cui si vuole determinare lo spostamento. Se è necessario determinare l'angolo di rotazione di una qualsiasi sezione, in questa sezione viene applicato un singolo momento F 2 = 1 N m, quindi viene compilata l'equazione dell'energia (3.2), in cui lo stato 2 viene preso come quello principale e quello deformato
 |
lo stato 1 viene trattato come una mossa virtuale. Da questa equazione si calcola lo spostamento desiderato.
Troviamo lo spostamento orizzontale del punto B per il sistema di fig. 3.5, a. Affinché lo spostamento desiderato D 21 rientri nell'equazione dei lavori (3.2), prendiamo come stato principale lo spostamento del sistema sotto l'azione di una forza unitaria F 2 - 1 N (stato 2, Fig. 3.5, B). Considereremo l'effettivo stato deformato della struttura come un possibile spostamento (Fig. 3.5, a).
Il lavoro delle forze esterne dello stato 2 sugli spostamenti dello stato 1 si trova come Secondo (3.2),
quindi lo spostamento desiderato
Poiché (sezione 3.1.4), il lavoro delle forze interne dello stato 2 sugli spostamenti dello stato 1 è calcolato con la formula (3.3) o (3.4). Sostituendo nell'espressione (3.7) (3.3) il lavoro delle forze interne di un sistema di aste piatte, troviamo
Per un ulteriore utilizzo di questa espressione, è opportuno introdurre il concetto di diagrammi singoli dei fattori di forza interni, ovvero di cui i primi due sono adimensionali e la dimensione . Il risultato sarà
Questi integrali dovrebbero essere sostituiti con espressioni per i diagrammi di distribuzione delle corrispondenti forze interne dal carico agente e e da forze F 2 = 1. L'espressione risultante è chiamata formula di Mohr (1881).
Quando si calcolano i sistemi di barre spaziali, è necessario utilizzare la formula (3.4) per calcolare il lavoro totale delle forze interne, quindi risulterà
È abbastanza ovvio che le espressioni per i diagrammi delle forze interne S, Q y , Q z , M x, M y, M g e i valori caratteristiche geometriche sezioni A, J t, Jy, J, per la corrispondente n-esima sezione. Per abbreviare la notazione nella notazione di queste quantità, l'indice "i" viene omesso.
3.2.2. Casi particolari di determinazione degli spostamenti
La formula (3.8) è usata nel caso generale di un sistema di aste planari, ma in alcuni casi può essere notevolmente semplificata. Considera casi speciali della sua attuazione.
1. Se si possono trascurare le deformazioni dovute alle forze longitudinali, cosa tipica per i sistemi di travi, allora la formula (3.8) sarà scritta come
2. Se sistema piattoè costituito solo da travi a parete sottile piegate con il rapporto l/h> 5 per le mensole o l/h> 10 per le campate (I e h sono la lunghezza della trave e l'altezza della sezione), quindi, di regola, l'energia di deformazione flessionale significativamente supera l'energia di deformazione delle forze longitudinali e di taglio, quindi possono essere ignorate nel calcolo degli spostamenti. Quindi la formula (3.8) assume la forma
3. Per le capriate, le cui aste, sotto carico nodale, subiscono principalmente forze longitudinali, possiamo supporre che M \u003d 0 e Q \u003d 0. Quindi lo spostamento del nodo viene calcolato dalla formula
L'integrazione viene eseguita sulla lunghezza di ciascuna asta e la somma su tutte le aste. Tenendo presente che la forza S u in sono asta e l'area della sezione trasversale non cambia lungo la sua lunghezza, possiamo semplificare questa espressione:
Con tutta l'apparente semplicità di questa formula, il calcolo analitico degli spostamenti nei truss è molto laborioso, poiché richiede di determinare le forze in tutti i truss rod dal carico agente () e da una forza unitaria () applicata nel punto il cui spostamento richiede essere trovato.
3.2.3. Metodologia ed esempi per determinare gli spostamenti
Si consideri il calcolo dell'integrale di Mohr con il metodo di A. N. Vereshchagin (1925). L'integrale di Mohr ha la forma (3.8), dove come D 1 , D 2 possono apparire diagrammi di momenti flettenti, forze longitudinali o trasversali. Almeno uno dei diagrammi () nell'integrando è lineare o lineare a tratti, poiché è costruito da un unico carico. Pertanto, per
 |
Il primo degli integrali è numericamente uguale all'area del sottografo (ombreggiato in Fig. 3.6), e il secondo è il momento statico di quest'area rispetto all'asse. Il momento statico può essere scritto come , dove è la coordinata della posizione del baricentro dell'area (punto A). Alla luce di quanto detto, otteniamo
(3.13)
La regola di Vereshchagin è formulata come segue: se almeno uno dei diagrammi è lineare sul grafico, l'integrale di Mohr viene calcolato come prodotto dell'area di un
Quando si calcolano le strutture nell'ambiente Mathcad, non è necessario utilizzare la regola Vereshchagin, poiché è possibile calcolare l'integrale mediante integrazione numerica.
Esempio 3.1(Fig. 3.7, a). La trave è caricata con due forze posizionate simmetricamente. Trova gli spostamenti dei punti di applicazione delle forze.
1. Costruiamo un diagramma dei momenti flettenti M 1 dalle forze F 1 . Reazioni di supporto 
Momento flettente massimo in forza
2. Poiché il sistema è simmetrico, le deviazioni sotto le forze saranno le stesse. Come stato ausiliario, prendiamo il carico della trave di due forze unitarie F 2 = 1 N, applicate negli stessi punti delle forze F 1
(Fig. 3.7, b). Il diagramma dei momenti flettenti per questo carico è simile al precedente e il momento flettente massimo M 2max = 0,5 (L-b).
3. Il carico del sistema da parte di due forze del secondo stato è caratterizzato dalla forza generalizzata F 2 e dallo spostamento generalizzato, che creano il lavoro di forze esterne sullo spostamento dello stato 1, pari a 
. Calcoliamo lo spostamento usando la formula (3.11). Moltiplicando i diagrammi per sezioni secondo la regola di Vereshchagin, troviamo
Dopo aver sostituito i valori 
noi abbiamo
Esempio 3.2. Trova lo spostamento orizzontale del supporto mobile del telaio a forma di U caricato con la forza F x (Fig. 3.8, a).
1. Costruiamo un diagramma dei momenti flettenti dalla forza F 1 Reazioni di supporto 
. Momento flettente massimo sotto forza F 1
2. Come stato ausiliario, prendiamo il carico della trave con una forza orizzontale unitaria F 2 applicata al punto B (Fig. 3.8, b). Costruiamo un diagramma dei momenti flettenti per questo caso di carico. Reazioni di supporto A 2y \u003d B 2y \u003d 0, A 2x \u003d 1. Momento flettente massimo.
3. Calcoliamo lo spostamento secondo la formula (3.11). Sulle sezioni verticali il prodotto è zero. Su una sezione orizzontale, la trama M 1 non è lineare, ma la trama è lineare. Moltiplicando i diagrammi per il metodo Vereshchagin, otteniamo
Il prodotto è negativo, poiché i diagrammi giacciono su lati opposti. Il valore di spostamento negativo ottenuto indica che la sua direzione effettiva è opposta alla direzione della forza unitaria.
Esempio 3.3(Fig. 3.9). Trova l'angolo di rotazione della sezione della trave a due supporti sotto la forza e trova la posizione della forza alla quale questo angolo sarà massimo.
1. Costruiamo un diagramma dei momenti flettenti M 1 dalla forza F 1. Per fare ciò, troveremo la reazione di supporto A 1. Dall'equazione di equilibrio per il sistema nel suo insieme 
trova Il momento flettente massimo sotto la forza Fj
2. Come stato ausiliario, prendiamo il carico della trave con un singolo momento F 2 \u003d 1 Nm nella sezione di cui è necessario determinare la rotazione (Fig. 3.9, b). Costruiamo un diagramma dei momenti flettenti per questo caso di carico. Reazioni di supporto A 2 \u003d -B 2 \u003d 1 / L, momenti flettenti
Entrambi i momenti sono negativi, poiché sono diretti in senso orario. I diagrammi sono costruiti su una fibra tesa.
3. Calcoliamo l'angolo di rotazione secondo la formula (3.11), eseguendo la moltiplicazione su due sezioni,
Denotando , puoi ottenere questa espressione in una forma più conveniente:
Il grafico della dipendenza dell'angolo di rotazione dalla posizione della forza F 1 è mostrato in fig. 3.9, c. Differenziando questa espressione, dalla condizione troviamo la posizione della forza alla quale l'angolo di inclinazione della trave sottostante sarà il maggiore in valore assoluto. Ciò avverrà a valori pari a 0,21 e 0,79.
Elementi di meccanica analitica
Nei miei tentativi di sapere il mondo la natura umana è caratterizzata dal desiderio di ridurre il sistema di conoscenze in questo settore a il numero più piccolo posizioni di partenza. Questo vale principalmente per i campi scientifici. In meccanica, questo desiderio ha portato alla creazione di principi fondamentali da cui seguono le principali equazioni differenziali movimenti per vari sistemi meccanici. Questa sezione del tutorial ha lo scopo di introdurre il lettore ad alcuni di questi principi.
Iniziamo lo studio degli elementi di meccanica analitica con la considerazione del problema della classificazione delle connessioni che si verificano non solo nella statica, ma anche nella dinamica.
Classificazione delle relazioni
Connessione – qualsiasi tipo di restrizione imposta alle posizioni e velocità dei punti di un sistema meccanico.
Le relazioni sono classificate:
Per variazione nel tempo:
- collegamenti non stazionari, quelli. cambiando nel tempo. Un supporto che si muove nello spazio è un esempio di connessione non stazionaria.
- comunicazioni fisse, quelli. non cambia nel tempo. I collegamenti fissi includono tutti i collegamenti discussi nella sezione "Statistiche".
Per tipo di restrizioni cinematiche imposte:
- connessioni geometriche imporre restrizioni alle posizioni dei punti nel sistema;
- cinematico, o connessioni differenziali imporre restrizioni alla velocità dei punti nel sistema. Se possibile, riduci un tipo di relazione a un altro:
- integrabile, o olonomico(semplice) connessione, se la connessione cinematica (differenziale) può essere rappresentata come una geometrica. In tali connessioni, le dipendenze tra le velocità possono essere ridotte alla dipendenza tra le coordinate. Un cilindro che rotola senza slittamento è un esempio di vincolo differenziale integrabile: la velocità dell'asse del cilindro è correlata alla sua velocità angolare secondo la nota formula , o , e dopo integrazione si riduce ad una relazione geometrica tra lo spostamento dell'asse e l'angolo di rotazione del cilindro nella forma .
- non integrabile, o connessione anolonomica– se la connessione cinematica (differenziale) non può essere rappresentata come geometrica. Un esempio è il rotolamento di una palla senza scivolare durante il suo movimento non rettilineo.
Se possibile, "svincolare" dalla comunicazione:
- tenendo legami, in base al quale sono sempre mantenute le restrizioni da esse imposte, per esempio, un pendolo sospeso ad un'asta rigida;
- legami non vincolanti - le restrizioni possono essere violate per un certo tipo di movimento del sistema, ad esempio, un pendolo sospeso su un filo accartocciato.
Introduciamo diverse definizioni.
· Possibile(o virtuale) in movimento(indicato) è elementare (infinitamente piccolo) ed è tale da non violare i vincoli imposti al sistema.
Esempio: un punto, trovandosi sulla superficie, ha il più possibile un insieme di spostamenti elementari in qualsiasi direzione lungo la superficie di riferimento, senza staccarsene. Il movimento di un punto, che porta al suo distacco dalla superficie, interrompe il collegamento e, secondo la definizione, non è un movimento possibile.
Per i sistemi stazionari, il solito spostamento elementare reale (reale) è incluso nell'insieme degli spostamenti possibili.
· Numero di gradi di libertà di un sistema meccanico – è il numero dei suoi possibili spostamenti indipendenti.
Quindi, quando un punto si muove su un piano, ogni suo possibile movimento viene espresso nei termini delle sue due componenti ortogonali (e quindi indipendenti).
Per un sistema meccanico con vincoli geometrici, il numero di coordinate indipendenti che determinano la posizione del sistema coincide con il numero dei suoi gradi di libertà.
Quindi, un punto su un piano ha due gradi di libertà. libero punto materiale- tre gradi di libertà. In corpo libero– sei (vengono aggiunti i giri agli angoli di Eulero), ecc.
· Possibile lavoro – è il lavoro elementare di una forza su un possibile spostamento.
Il principio dei movimenti possibili
Se il sistema è in equilibrio, allora per uno qualsiasi dei suoi punti vale l'uguaglianza, dove sono le risultanti delle forze attive e delle forze di reazione che agiscono sul punto. Allora anche la somma del lavoro di queste forze per ogni spostamento è uguale a zero 
. Sommando tutti i punti, otteniamo: 
. Il secondo termine per i legami ideali è uguale a zero, da cui formuliamo principio dei possibili movimenti
:
| . | (3.82) |
In condizioni di equilibrio di un sistema meccanico con connessioni ideali, la somma dei lavori elementari di tutte le forze attive agenti su di esso per ogni possibile spostamento del sistema è uguale a zero.
Il valore del principio degli spostamenti possibili risiede nella formulazione delle condizioni di equilibrio per un sistema meccanico (3.81), in cui non si manifestano reazioni sconosciute di vincoli.
DOMANDE PER AUTOCONTROLLO
1. Quale movimento di un punto si dice possibile?
2. Come si chiama il lavoro possibile della forza?
3. Formulare e annotare il principio dei possibili movimenti.
principio d'Alembert
Riscriviamo l'equazione della dinamica a esimo punto del sistema meccanico (3.27), trasferendo il lato sinistro a quello destro. Introduciamo in considerazione la quantità
Le forze nell'equazione (3.83) formano un sistema equilibrato di forze.
Estendendo questa conclusione a tutti i punti del sistema meccanico, arriviamo alla formulazione principio d'Alembert, dal nome del matematico e meccanico francese Jean Leron D'Alembert (1717–1783), Fig. 3.13:
Fig.3.13
Se a tutte le forze che agiscono in un dato sistema meccanico, aggiungi tutte le forze di inerzia, il sistema di forze risultante sarà bilanciato e tutte le equazioni di statica potranno essere applicate ad esso.
Ciò significa infatti che da un sistema dinamico, sommando le forze di inerzia (forze di D'Alembert), si passa ad un sistema pseudostatico (quasi statico).
Utilizzando il principio di d'Alembert si ottiene la stima vettore principale delle forze d'inerzia e momento d'inerzia principale rispetto al centro come:
Reazioni dinamiche che agiscono sull'asse di un corpo rotante
Ritenere solido, ruotando uniformemente con velocità angolare ω
attorno all'asse fissato nei cuscinetti A e B (Fig. 3.14). Colleghiamo al corpo gli assi Axyz ruotanti con esso; il vantaggio di tali assi è che rispetto ad essi le coordinate del baricentro ed i momenti di inerzia del corpo saranno valori costanti. Lascia che le forze date agiscano sul corpo. Indichiamo le proiezioni del vettore principale di tutte queste forze sull'asse Axyz passante
(
ecc.), e i loro momenti principali sugli stessi assi - attraverso
( 
eccetera.); intanto, poiché ω
= cost, quindi =
0.
Fig.3.14
Per determinare le risposte dinamiche X A, Y A, Z A, XB, YB cuscinetti, cioè reazioni che si verificano durante la rotazione del corpo, a tutte si sommano agendo sul corpo forze assegnate e alle reazioni dei legami della forza d'inerzia di tutte le particelle del corpo, portandole al centro A. Allora le forze d'inerzia saranno rappresentate da una forza uguale a
e applicato al punto A ,
e una coppia di forze con momento uguale a 
.
Proiezioni di questo momento sull'asse a e a sarà: 
, 
;
ancora qui ,
perché ω
= cost.
Ora, componendo le equazioni (3.86) secondo il principio d'Alembert nelle proiezioni sull'asse Axyz e ponendo AB =b, noi abbiamo
 .
| (3.87) |
Ultima equazione 
è soddisfatto in modo identico, poiché 
.
vettore principale forze di inerzia , dove T - peso corporeo (3,85). In ω =centro di massa const C ha solo normale accelerazione , dove è la distanza del punto C dall'asse di rotazione. Pertanto, la direzione del vettore coincidono con la direzione del sistema operativo . Proiezioni informatiche sul assi coordinati e dato che dove - coordinate del centro di massa, troviamo:
Per determinare e considerare una particella del corpo con massa m k , distanziato dall'asse a distanza HK . Per lei a ω
=const la forza d'inerzia ha anche solo una componente centrifuga 
,
proiezioni di cui, così come vettori R", sono uguali.