Nei casi in cui la trama Mz 1 (o Mz) è delimitata da rette. In sostanza, questo è un metodo di calcolo grafico-analitico integrale definito dal prodotto di due funzioni f(X) e φ (X), di cui uno, per esempio φ (X), lineare, cioè ha la forma

Si consideri una sezione di una trave all'interno della quale il diagramma dei momenti flettenti di un singolo carico è limitato a una linea retta Mz 1 = kx+ b, e il momento flettente da un dato carico cambia secondo una legge arbitraria Mz. Quindi all'interno di quest'area

Il secondo integrale è l'area ω diagrammi Mz nell'area in esame, e il primo è il momento statico di quest'area rispetto all'asse y ed è quindi uguale al prodotto della superficie ω alla coordinata del suo baricentro Xc. Così,

.

Qui kxc+ b- ordinato yc diagrammi Mz 1 sotto il baricentro della zona ω . Quindi,

.

Lavoro ω yc sarà positivo quando ω e yc situati su un lato dell'asse del grafico e negativo se si trovano su lati opposti di questo asse.

Quindi, per Metodo Vereschagin l'operazione di integrazione è sostituita dalla moltiplicazione dell'area ω un diagramma per ordinata yc il secondo diagramma (necessariamente lineare), preso sotto il baricentro dell'area ω .

È importante ricordare sempre che una tale "moltiplicazione" di diagrammi è possibile solo in una sezione limitata da una retta del diagramma da cui è presa l'ordinata yc. Pertanto, quando si calcolano gli spostamenti delle sezioni della trave con il metodo Vereshchagin, l'integrale di Mohr sull'intera lunghezza della trave deve essere sostituito dalla somma degli integrali sulle sezioni all'interno delle quali il diagramma dei momenti di un singolo carico non presenta nodi. Quindi

.

Per una corretta applicazione del metodo Vereshchagin, è necessario disporre di formule con cui calcolare le aree ω e coordinate Xc i loro centri di gravità. Dato in tabella. 8.1 i dati si incontrano solo di più casi semplici carico del fascio. Tuttavia, diagrammi più complessi dei momenti flettenti possono essere scomposti in semplici figure, aree ω io e coordinate yci che sono conosciuti e quindi trovare il prodotto ω yc per un diagramma così complesso sommando i prodotti delle aree ω io le sue parti alle coordinate corrispondenti yci. Ciò è spiegato dal fatto che la scomposizione del diagramma moltiplicabile in parti equivale alla rappresentazione della funzione Mz(X) nell'integrale (8.46) come somma di integrali. In alcuni casi, la costruzione di diagrammi a strati semplifica i calcoli, ovvero da ciascuno di essi forze esterne e coppie separatamente.

Se entrambe le trame Mz e Mz 1 lineare, risultato finale la loro moltiplicazione non dipende dal fatto che l'area del primo diagramma sia moltiplicata per l'ordinata del secondo o, al contrario, l'area del secondo per l'ordinata del primo.

Per il calcolo pratico degli spostamenti secondo il metodo Vereshchagin è necessario:

1) costruire un diagramma dei momenti flettenti da un determinato carico (diagramma principale);

3) costruire un diagramma dei momenti flettenti da un unico carico (diagramma unico);

4) dividere i diagrammi da determinati carichi in aree separate ω io e calcola le ordinate yCi un unico diagramma sotto i baricentro di queste aree;

5) comporre un'opera ω ioyCi e riassumerli.

Tabella 8.1.

Tipo di trama Mz	Quadrato ω	Coordinata del centro di gravità Xc
(*) - Queste formule non sono valide per tale caso di carico

EE "BSUIR"

Dipartimento di Ingegneria Grafica

“DETERMINAZIONE DEI MOVIMENTI CON IL METODO MORA. REGOLA DI VERESCHAGIN"

MINSK, 2008

Consideriamo ora un metodo generale per la determinazione degli spostamenti, adatto a qualsiasi sistema linearmente deformabile sotto qualsiasi carico. Questo metodo è stato proposto dall'eccezionale scienziato tedesco O. Mohr.

Sia ad esempio necessario determinare lo spostamento verticale del punto A della trave mostrata in Fig. 7.13, a. Lo stato dato (carico) sarà indicato dalla lettera K. Scegliamo uno stato ausiliario dello stesso raggio con unità

forza agente nel punto A e nella direzione del movimento desiderato. Lo stato ausiliario sarà indicato dalla lettera i (Fig. 7.13,6).

Calcoliamo il lavoro di esterno e forze interne stato ausiliario sugli spostamenti causati dall'azione delle forze dello stato cargo.

Il lavoro delle forze esterne sarà uguale al prodotto di una forza unitaria per lo spostamento desiderato ya

e il lavoro delle forze interne in valore assoluto è uguale all'integrale

(1)

La formula (7.33) è la formula di Mohr (integrale di Mohr), che permette di determinare lo spostamento in qualsiasi punto di un sistema linearmente deformabile.

In questa formula, l'integrando MiMk è positivo se entrambi i momenti flettenti hanno lo stesso segno e negativo se Mi e Mk hanno segni diversi.

Se dovessimo determinare lo spostamento angolare nel punto A, allora nello stato i, dovrebbe essere applicato un momento uguale a uno (senza dimensione) nel punto A.

Indicando con la lettera Δ qualsiasi spostamento (lineare o angolare), scriviamo la formula di Mohr (integrale) nella forma

(2)

Nel caso generale, l'espressione analitica per Mi e Mk può essere diversa in diverse sezioni della trave o in generale del sistema elastico. Pertanto, al posto della formula (2), si dovrebbe usare la formula più generale

(3)

Se le aste del sistema funzionano non in flessione, ma in tensione (compressione), come, ad esempio, nelle capriate, la formula di Mohr ha la forma

(4)

In questa formula, il prodotto NiNK è positivo se entrambe le forze sono di trazione o entrambe sono di compressione. Se le aste funzionano contemporaneamente sia in flessione che in tensione (compressione), in casi ordinari, come mostrano i calcoli comparativi, gli spostamenti possono essere determinati tenendo conto solo dei momenti flettenti, poiché l'influenza delle forze longitudinali è molto piccola.

Per le stesse ragioni, come notato in precedenza, in casi ordinari, l'influenza delle forze di taglio può essere ignorata.

Invece di calcolare direttamente l'integrale di Mohr, puoi usare la tecnica grafo-analitica "il metodo di moltiplicazione dei diagrammi", o la regola di Vereshchagin.

Consideriamo due diagrammi di momenti flettenti, di cui uno Mk ha una forma arbitraria e l'altro Mi è rettilineo (Figura 7.14, aeb).

(5)

Il valore di MKdz è l'area elementare dωk del diagramma Mk (ombreggiato in figura). Così,

(6)

quindi,

(8)

Ma rappresenta il momento statico dell'area del diagramma Mk rispetto a qualche asse y passante per il punto O, uguale a ωkzc, dove ωk è l'area del diagramma dei momenti; zc è la distanza dall'asse y al baricentro del diagramma Mk. Si può vedere dal disegno che

dove Msi è l'ordinata del diagramma Mi, posta sotto il baricentro del diagramma Mk (sotto il punto C). Quindi,

(10)

cioè, l'integrale desiderato è uguale al prodotto dell'area del diagramma Mk (qualsiasi in linea) e l'ordinata del diagramma rettilineo Msi situata sotto il suo baricentro. Il valore di ωкМсi è considerato positivo se entrambi i diagrammi si trovano sullo stesso lato dell'asta e negativo se si trovano su lati diversi. Un risultato positivo della moltiplicazione dei diagrammi significa che la direzione del movimento coincide con la direzione di una forza (o momento) unitaria.

Va ricordato che l'ordinata Msi è presa necessariamente in un diagramma rettilineo. Nel caso particolare in cui entrambi i diagrammi siano rettilinei, è possibile moltiplicare l'area di uno di essi per l'ordinata corrispondente dell'altro.

Per le barre di sezione variabile, la regola della moltiplicazione dei diagrammi di Vereshchagin non è applicabile, poiché in questo caso non è più possibile estrarre il valore di EJ da sotto il segno di integrale. In questo caso, si dovrebbe esprimere EJ in funzione dell'ascissa della sezione e poi calcolare l'integrale di Mohr (1).

Con una variazione graduale della rigidità dell'asta, l'integrazione (o la moltiplicazione dei diagrammi) viene eseguita separatamente per ciascuna sezione (con il proprio valore di EJ) e quindi i risultati vengono riepilogati.

In tavola. 1 mostra i valori delle aree di alcuni dei diagrammi più semplici e le coordinate del loro baricentro.

Tabella 1

Tipo di trama	Area del grafico	Distanza dal baricentro

Per velocizzare i calcoli, puoi utilizzare le tabelline già pronte per i diagrammi (Tabella 2).

In questa tabella, nelle celle all'intersezione dei corrispondenti diagrammi elementari, sono riportati i risultati della moltiplicazione di questi diagrammi.

Quando si scompone un diagramma complesso in quelli elementari, presentati nella tabella. 1 e 7.2, si tenga presente che i diagrammi parabolici sono ottenuti dall'azione di un solo carico distribuito.

Nei casi in cui le sezioni curve in un diagramma complesso sono ottenute dall'azione simultanea di momenti concentrati, forze e un carico uniformemente distribuito, per evitare errori, il diagramma complesso deve essere prima “stratificato”, cioè diviso in un numero di diagrammi indipendenti: dall'azione di momenti concentrati, forze e dall'azione di un carico uniformemente distribuito.

Puoi anche applicare un'altra tecnica che non richiede la stratificazione dei diagrammi, ma richiede solo la selezione della parte curva del diagramma lungo la corda che collega i suoi punti estremi.

Mostreremo entrambi i metodi con un esempio specifico.

Ad esempio, è necessario determinare lo spostamento verticale dell'estremità sinistra della trave (Fig. 7.15).

Il diagramma totale del carico è mostrato in fig. 7.15 a.

Tabella 7.2

Il diagramma dell'azione di una forza unitaria nel punto A è mostrato in fig. 7.15, città

Per determinare lo spostamento verticale nel punto A, è necessario moltiplicare il diagramma dal carico per il diagramma da una forza unitaria. Tuttavia, notiamo che nella sezione BC del diagramma totale, il diagramma curvilineo è stato ottenuto non solo dall'azione di un carico uniformemente distribuito, ma anche dall'azione di una forza concentrata P. Di conseguenza, nella sezione BC c'è non sarà più un diagramma parabolico elementare riportato nelle tabelle 7.1 e 7.2, ma essenzialmente un grafico complesso per il quale i dati di queste tabelle non sono validi.

Pertanto, è necessario suddividere il diagramma complesso secondo la Fig. 7.15, e sugli schemi elementari presentati in fig. 7.15b e 7.15c.

Tracciare secondo la fig. 7.15, b è stato ottenuto solo da una forza concentrata, il diagramma di fig. 7.15, c - solo dall'azione di un carico uniformemente distribuito.

Ora puoi moltiplicare i diagrammi usando la tabella. 1 o 2.

Per fare ciò, è necessario moltiplicare il diagramma triangolare secondo la Fig. 7.15, b su un diagramma triangolare secondo la fig. 7.15, d e sommare a questo il risultato della moltiplicazione del diagramma parabolico di fig. 7.15, nello schema trapezoidale della sezione BC di fig. 7.15, d, poiché nella sezione AB le ordinate del diagramma di fig. 7.15, sono uguali a zero.

Mostriamo ora il secondo modo di moltiplicare i diagrammi. Si consideri ancora il diagramma di Fig. 7.15 a. Prendiamo l'origine nella sezione B. Mostriamo che all'interno della curva LMN i momenti flettenti possono essere ottenuti come somma algebrica dei momenti flettenti corrispondenti alla retta LN e dei momenti flettenti del diagramma parabolico LNML, lo stesso che per una trave semplice di lunghezza a, caricata con un carico q uniformemente distribuito:

L'ordinata più grande nel mezzo sarà .

Per dimostrarlo, scriviamo l'espressione effettiva per il momento flettente nella sezione a distanza z dal punto B

(MA)

Scriviamo ora l'espressione per il momento flettente nella stessa sezione, ottenuta come somma algebrica delle ordinate della retta LN e della parabola LNML.

Equazione di una retta LN

dove k è la pendenza di questa retta

Pertanto, l'equazione dei momenti flettenti ottenuta come somma algebrica dell'equazione della retta LN e della parabola LNMN ha la forma

che è la stessa dell'espressione (A).

Quando si moltiplicano i diagrammi secondo la regola di Vereshchagin, è necessario moltiplicare il trapezio BLNC per il trapezio da un singolo diagramma nella sezione BC (vedi Fig. 7.15, d) e sottrarre il risultato della moltiplicazione del diagramma parabolico LNML (area) per lo stesso trapezio da un unico diagramma. Questo metodo di stratificazione dei diagrammi è particolarmente vantaggioso quando la sezione curva del diagramma si trova su una delle sezioni centrali della trave.

Esempio 7.7. Determinare lo spostamento verticale e angolare della trave a sbalzo nel luogo di applicazione del carico (Fig. 7.16).

Decisione. Costruiamo un diagramma dei momenti flettenti per lo stato del carico (Fig. 7.16, a).

Per determinare lo spostamento verticale, selezioniamo lo stato ausiliario della trave con una forza unitaria nel punto di applicazione del carico.

Costruiamo un diagramma dei momenti flettenti da questa forza (Fig. 7.16, b). Determiniamo il movimento verticale secondo il metodo Mohr

Il valore del momento flettente dal carico

Il valore del momento flettente da una forza unitaria

Sostituiamo questi valori di MP e Mi sotto il segno integrale e integriamo

Lo stesso risultato era stato precedentemente ottenuto in modo diverso.

Un valore di deflessione positivo indica che il punto di applicazione del carico P si sposta verso il basso (nella direzione della forza unitaria). Se dirigessimo l'unità di forza dal basso verso l'alto, allora avremmo Mi = 1z e, come risultato dell'integrazione, otterremmo una deflessione con un segno meno. Il segno meno indicherebbe che il movimento non è su, ma giù, come è nella realtà.

Calcoliamo ora l'integrale di Mohr moltiplicando i diagrammi secondo la regola di Vereshchagin.

Poiché entrambi i diagrammi sono rettilinei, non importa da quale diagramma prendere l'area e da quale prendere l'ordinata.

L'area del diagramma del carico è uguale a

Il baricentro di questo diagramma si trova a una distanza di 1/3l dalla terminazione. Determiniamo l'ordinata del diagramma dei momenti da una forza unitaria, situata sotto

il baricentro del diagramma del carico. È facile verificare che sia pari a 1/3l.

Quindi.

Lo stesso risultato si ottiene dalla tabella degli integrali. Il risultato della moltiplicazione dei diagrammi è positivo, poiché entrambi i diagrammi si trovano nella parte inferiore della barra. Di conseguenza, il punto di applicazione del carico viene spostato verso il basso, cioè lungo la direzione accettata della forza unitaria.

Per determinare lo spostamento angolare (angolo di rotazione), selezioniamo lo stato ausiliario della trave, in cui un momento concentrato pari a uno agisce all'estremità della trave.

Costruiamo un diagramma dei momenti flettenti per questo caso (Fig. 7.16, c). Determiniamo lo spostamento angolare moltiplicando i diagrammi. Diagramma dell'area di carico

Le ordinate del diagramma di un singolo momento sono ovunque uguali a uno, quindi l'angolo di rotazione desiderato della sezione è uguale a

Poiché entrambi i diagrammi si trovano in basso, il risultato della moltiplicazione dei diagrammi è positivo. Pertanto, la sezione terminale della trave ruota in senso orario (nella direzione di un singolo momento).

Esempio: Determinare la deflessione nel punto D con il metodo Mohr-Vereshchagin per la trave mostrata in fig. 7.17..

Decisione. Costruiamo un diagramma a strati dei momenti del carico, ovvero costruiamo diagrammi separati dall'azione di ciascun carico. In questo caso, per comodità di moltiplicare i diagrammi, è consigliabile costruire diagrammi a strati (elementari) relativi alla sezione, la cui deflessione è determinata in questo caso rispetto alla sezione D.

Sulla fig. 7.17, a mostra un diagramma dei momenti flettenti dalla reazione A (sezione AD) e dal carico P \u003d 4 T (sezione DC). Le trame sono costruite su fibra compressa.

Sulla fig. 7.17, b mostra i diagrammi dei momenti della reazione B (sezione BD), del carico uniformemente distribuito sinistro (sezione AD) e del carico uniformemente distribuito agente sulla sezione BC. Questo diagramma è mostrato in Fig. 7.17, b nella sezione DC di seguito.

Successivamente, selezioniamo lo stato ausiliario della trave, per il quale nel punto D, dove viene determinata la deflessione, applichiamo una forza unitaria (Fig. 7.17, c). Il diagramma dei momenti da una forza unitaria è mostrato in Fig. 7.17, d. Ora moltiplichiamo i diagrammi da 1 a 7 per i diagrammi 8 e 9, usando le tabelle di moltiplicazione dei diagrammi, tenendo conto dei segni.

In questo caso, i diagrammi situati su un lato della trave vengono moltiplicati con un segno più e i diagrammi situati sui lati opposti della trave vengono moltiplicati con un segno meno.

Moltiplicando il grafico 1 e il grafico 8, otteniamo

Moltiplicando il grafico 5 per il grafico 8, otteniamo

Moltiplicando i diagrammi 2 e 9 si ottiene

Moltiplica i grafici 4 e 9

Moltiplica i grafici 6 e 9

Sommando i risultati della moltiplicazione dei diagrammi, otteniamo

Il segno meno mostra che il punto D non si muove verso il basso, poiché la forza unitaria è diretta, ma verso l'alto.

Lo stesso risultato è stato ottenuto in precedenza utilizzando l'equazione universale.

Naturalmente, in questo esempio, è stato possibile stratificare il diagramma solo nella sezione AD, poiché nella sezione DB il diagramma totale è rettilineo e non è necessario stratificarlo. Nella sezione BC, la delaminazione non è richiesta, poiché il diagramma è uguale a zero da una forza unitaria in questa sezione. La stratificazione del diagramma nella sezione BC è necessaria per determinare la deflessione nel punto C.

Esempio. Determinare gli spostamenti verticale, orizzontale e angolare della sezione A dell'asta rotta mostrata in fig. 7.18, a. Rigidità della sezione della sezione verticale della barra - EJ1 rigidità della sezione della sezione orizzontale - EJ2.

Decisione. Costruiamo un diagramma dei momenti flettenti dal carico. È mostrato in fig. 7.18b (vedi esempio 6.9). Per determinare lo spostamento verticale della sezione A, selezioniamo lo stato ausiliario del sistema, mostrato in Fig. 7.18, c. Nel punto A, viene applicata una forza verticale unitaria verso il basso.

Il grafico dei momenti flettenti per questo stato è mostrato in Fig. 7.18, c.

Determiniamo il movimento verticale secondo il metodo di Mohr, utilizzando il metodo della moltiplicazione dei diagrammi. Non essendo presente il diagramma M1 sull'asta verticale nello stato ausiliario, moltiplichiamo solo i diagrammi relativi all'asta orizzontale. Prendiamo l'area del lotto dallo stato cargo e l'ordinata dallo stato ausiliario. Il movimento verticale è

Poiché entrambi i diagrammi si trovano in basso, prendiamo il risultato della moltiplicazione con un segno più. Di conseguenza, il punto A si sposta verso il basso, cioè nello stesso modo in cui viene diretta una forza verticale unitaria.

Per determinare lo spostamento orizzontale del punto A, selezioniamo uno stato ausiliario con una forza unitaria orizzontale diretta a sinistra (Fig. 7.18, d). La trama dei momenti per questo caso è presentata nello stesso posto.

Moltiplichiamo i diagrammi MP e M2 e otteniamo

Il risultato della moltiplicazione dei diagrammi è positivo, poiché i diagrammi moltiplicati si trovano sullo stesso lato delle aste.

Per determinare lo spostamento angolare, selezioniamo lo stato ausiliario del sistema secondo la Fig. 7.18.5 e tracciare i momenti flettenti per questo stato (nella stessa figura). Moltiplichiamo i diagrammi MP e M3:

Il risultato della moltiplicazione è positivo, poiché i diagrammi moltiplicati si trovano su un lato.

Pertanto, la sezione A ruota in senso orario

Gli stessi risultati si otterrebbero utilizzando le tabelle
diagrammi moltiplicatori.

La vista dell'asta deformata è mostrata in fig. 7.18, e, mentre gli spostamenti sono notevolmente aumentati.

LETTERATURA

Feodosiev VI Forza dei materiali. 1986

Belyaev NM Forza dei materiali. 1976

Kraskovsky E.Ya., Druzhinin Yu.A., Filatova E.M. Calcolo e progettazione di meccanismi di dispositivi e sistemi informatici. 1991

Rabotnov Yu.N. Meccanica del deformabile corpo solido. 1988

Stepin PA Forza dei materiali. 1990

E i suoi appunti scritti a mano finirono nelle mani dell'impiegato del Posolsky Prikaz, dal quale furono ricevuti. Altre informazioni biografiche sono estratte solo dal testo del Viaggio stesso. Perché Afanasy Nikitin ha chiamato il suo lavoro "Journey Beyond the Three Seas"? Lo stesso autore ci dà la risposta a questa domanda: "Ecco, ho scritto il mio peccaminoso" Viaggio oltre i tre mari ", il 1° mare di Derben (Caspio), doria ...

Osserva che una condizione indispensabile per l'attuazione di qualsiasi atto comunicativo dovrebbe essere "la conoscenza reciproca delle realtà di chi parla e di chi ascolta, che è la base della comunicazione linguistica", hanno ricevuto il nome di "conoscenza di base" in linguistica. Secondo la sua corretta osservazione, "il significato di una parola usata in una data lingua madre per denotare tale completamente diverso dal punto di vista della cultura dell'Europa centrale ...

Per travi e sistemi di sbarre costituiti da sbarre diritte, forze interne di singoli stati Nk, Mk e Qk sono funzioni lineari o per tutta la lunghezza di ciascuna canna, o nelle sue singole sezioni. Forze interne dello stato cargo Np, MR e QP può avere leggi arbitrarie di cambiamento lungo la lunghezza delle aste. Se le travi e le aste hanno rigidezze costanti o a gradini EF, EJ e gf, quindi il calcolo degli integrali nella formula di Mohr può essere eseguito utilizzando i diagrammi delle forze interne.

Consideriamo, ad esempio, diagrammi di momenti flettenti SIG e M a in un'asta dritta di rigidità costante (Fig. 8.31). diagramma del carico SIGè arbitrario e un singolo diagramma M a - lineare. Posizioniamo l'origine delle coordinate nel punto di intersezione della linea del diagramma M a con asse Oh. Allo stesso tempo, il momento flettente M a modifiche per legge Mk = xtga. Prendendo il valore costante tga/EU nella formula (8.22) dal segno di integrale e integrandolo sulla lunghezza dell'asta, otteniamo

Valore M P dx = dQ. Pè un elemento dell'area del diagramma del carico Sig. In questo caso, l'integrale stesso può essere considerato come un momento statico dell'area del diagramma SIG circa l'asse tu, che è

dove Qp- area del grafico x s - ascissa del suo baricentro. Considerando che x c ​​tga = a s, otteniamo il risultato finale:

dove noi - ordinate in linea trama M a sotto il baricentro dell'area del diagramma curvilineo M p ( Riso. 8.31).

Il metodo per calcolare gli integrali nella formula di Mohr usando la formula (8.23) è chiamato regola di Vereshchagin o regola dei diagrammi "moltiplicativi". Secondo la formula (8.23), il risultato della "moltiplicazione" di due diagrammi è uguale al prodotto dell'area del diagramma non lineare per l'ordinata sotto il suo baricentro nel diagramma lineare. Se entrambi i diagrammi nell'area in esame sono lineari, durante la "moltiplicazione" puoi prendere l'area di uno qualsiasi di essi. Il risultato della "moltiplicazione" di diagrammi non ambigui è positivo e quelli di valori diversi - negativi.

Il risultato della "moltiplicazione" di due trapezi (Fig. 8.32) può essere rappresentato dalla seguente formula:

Quando si utilizza la regola di Vereshchagin, i diagrammi complessi devono essere suddivisi in figure semplici, per le quali sono note l'area e la posizione del baricentro. Molto spesso, gli elementi di partizione sono triangoli e parabole quadrate (nel caso di carichi uniformemente distribuiti). Esempi di diagrammi di divisione sono mostrati in fig. 8.33.

I trapezi a un valore o a più valori possono essere divisi in due triangoli (Fig. 8.33, un). Parabola quadrata con ordinate un e b all'inizio e alla fine della sezione, è diviso in due triangoli a valore singolo o multivalore e una parabola quadrata con valori iniziali e finali zero (Fig. 8.33, b). La sua area è determinata dalla formula

dove q- l'intensità di un carico distribuito uniformemente.

La regola di Vereshchagin non può essere applicata quando entrambi i diagrammi sono non lineari (ad esempio, per barre con asse curvilineo), così come per barre con rigidità variabile EJ. In questo caso, quando si determinano gli spostamenti con il metodo Mohr, un analitico o calcolo numerico integrali nella formula (8.20).

Esempio 8.7. Per una trave a sbalzo di rigidità costante EJ= cost (Fig. 8.34, un) determinare la deviazione nella sezione A e l'angolo di rotazione della sezione INSIEME A.

Costruiamo un diagramma dei momenti flettenti SIG dall'azione di determinati carichi (Fig. 8.34, b). Per determinare gli spostamenti richiesti, applichiamo nella sezione A forza unitaria R\u003d 1, nella sezione C - un solo momento M= 1 e costruire diagrammi unitari M, e M2(Fig. 8.34, CD). diagramma del carico M pag nella seconda sezione la dividiamo in un triangolo e una parabola quadrata.

Moltiplichiamo tra loro i diagrammi del carico e dell'unità usando la regola di Vereshchagin. Quando si "moltiplicano" i diagrammi M pag e M x sulla prima partecipazione utilizziamo la formula (8.24). Come risultato dei calcoli, otteniamo:

Le direzioni degli spostamenti coincidono con le direzioni di azione dei singoli carichi. Deflessione del raggio nella sezione A verso il basso e la sezione C ruota in senso orario.

Esempio 8.8. Per una trave incernierata di rigidità costante (Fig. 8.35, un) determinare la deflessione nella sezione Xi, l'angolo di rotazione della sezione A.

diagramma del carico M pag mostrato in fig. 8:35 b. Applichiamo una forza unitaria nella sezione C, nella sezione A - momento singolo e costruire diagrammi singoli M x e M2(Fig. 8.35, CD)."Moltiplicando" il diagramma del carico M pag con i singoli diagrammi troviamo gli spostamenti richiesti:

Quando si "moltiplicano" i diagrammi nella seconda sezione, è stata utilizzata la formula (8.24). sezione trasversale A

Esempio 8.9. Per una trave incernierata con cantilever di rigidità costante (Fig. 8.36, un) determinare la deflessione nella sezione C e l'angolo di rotazione della sezione D.

Definiamo reazioni di supporto dall'azione di determinati carichi:

Costruiamo un diagramma del carico M pag(Fig. 8.36, b). I singoli grafici corrispondenti sono mostrati in jHa fig. 8.36 in, G."Moltiplicando" la trama SIG con diagrammi M x e M2, trovare gli spostamenti richiesti:

sezione trasversale Insieme a sale, sezione D ruota in senso antiorario.

Esempio 8.10. Per una trave di rigidità costante a gradini con cerniera intermedia (Fig. 8.37, un) determinare il reciproco angolo di rotazione e deflessione nella sezione A.

Rompiamo la trave nel cuscinetto e nelle parti portate (Fig. 8.37, b) e determinare le reazioni di supporto per la trave LV

diagramma del carico M pag e i corrispondenti singoli grafici sono mostrati nelle Figg. 8.37 in, g, d. Si noti che per determinare l'angolo di rotazione reciproco delle sezioni nella cerniera intermedia, viene applicato un unico momento accoppiato (a sinistra ea destra della cerniera).

"Moltiplicando" la trama SIG con diagrammi singoli e tenendo conto della variazione graduale della rigidità nelle aree AB e sole, Trovare:

Esempio 8.11. Per un telaio a sbalzo con aste di diversa rigidità (Fig. 8.38, i), determiniamo gli spostamenti verticale e orizzontale del punto C e l'angolo di rotazione della sezione A.

Diagramma Salario minimo il carico esterno è mostrato in fig. 8.38, b. L'influenza delle forze longitudinali e trasversali non viene presa in considerazione quando si determinano gli spostamenti.

Trame Mx, M2 e M3 dalle forze unitarie e dal momento applicato nelle sezioni Insieme a e A, mostrato in fig. 8.38, c, d, d."Moltiplicando" il diagramma del carico M pag con schemi singoli all'interno della lunghezza di ogni asta determiniamo gli spostamenti richiesti:

Rotazione della sezione A avviene in senso antiorario. Lo spostamento orizzontale del punto C è zero.

Esempio 8.12. Per un telaio incernierato con aste di diversa rigidità (Fig. 8.39, un) definire lo spostamento verticale del punto C e lo spostamento orizzontale del punto A.

Definiamo le reazioni di supporto:

Il carico e i relativi schemi singoli sono mostrati in Fig. 8.39 b, c, d."Moltiplicando" i diagrammi all'interno della lunghezza di ciascuna asta, troviamo:

In conclusione, presentiamo i valori delle flessioni e degli angoli di rotazione per travi a sbalzo e articolate sotto carichi semplici.

Definizione di movimenti. Il metodo di O. Mohr in combinazione con il metodo di Simpson (formula)

Per definire qualsiasi movimento (lineare o angolare) nel metodo di Mohr raggio in esame in due stati: reale e ausiliario. Stato ausiliario si ottiene come segue: in primo luogo si deve rimuovere l'intero carico dato, quindi si deve applicare un “fattore di forza unitario” nel punto in cui è necessario determinare lo spostamento, e nella direzione di tale spostamento desiderato. Inoltre, quando definiamo movimento lineare (deflessione del raggio), quindi viene preso come un "fattore di forza singolo". forza concentrata, e se vuoi trovare angolo di rotazione, allora dovresti candidarti coppia concentrata.

Inoltre, nella stessa sezione arbitraria di entrambi gli stati (cioè sia reale che ausiliario), vengono compilate espressioni analitiche per il momento flettente, che vengono sostituite nella formula chiamata "integrale di Mohr":

dove: segno Σ si diffonde tutti i siti travi,

un EI – piegatura rigidità Posizione su.

In molti casi L'integrazione di Mohr può essere evitata e applicare il metodo diagrammi "moltiplicativi".. Uno di questi modi è modo simpson, su cui il valore dell'integrale di Mohr su una sezione di lunghezza ℓ calcolato da seguente formula:

È segnato qui: un, b e insieme a - rispettivamente le ordinate estreme e medie del diagramma dei momenti flettenti dello stato attuale M,

sono le ordinate estreme e medie del diagramma del momento flettente, ma solo stato ausiliario.

Regola dei segni: se entrambe le ordinate "moltiplicate" si trovano in due diagrammi su un lato dell'asse della trama (cioè hanno lo stesso segno), quindi prima del loro prodotto dobbiamo mettere il segno "più: e se loro sui lati opposti dall'asse della trama, quindi mettiamo il segno davanti all'opera "meno".

Va tenuto presente che i metodi di "moltiplicazione" dei diagrammi (oltre al metodo Simpson, è anche noto Il metodo di Vereshchagin) sono applicabili solo se presenti due condizioni:

1. La rigidità alla flessione della trave nell'area in esame dovrebbe essere costante (EI= cost),
2. Dovrebbe essere uno dei due diagrammi di momento in questa sezione necessariamente lineare. In questo caso, entrambi i diagrammi non dovrebbero avere frattura.

Se sono presenti più siti su una trave che soddisfa queste due condizioni, la formula per determinare gli spostamenti assume la forma:

Se il risultato calcoli risulta essere positivo, quindi, quindi, la direzione del movimento desiderato coincide con la direzione del "fattore di forza unico"(), e se il risultato è negativo, il movimento desiderato si verifica nella direzione opposta a questo fattore.

La formula di Simpson, scritta in termini di momenti, si presenta così: gli spostamenti (deflessione o angolo di rotazione) sono uguali

dove li – lunghezza della sezione;

Eii – rigidità della trave Posizione il;

M F – valori dei momenti flettenti dal diagramma di carico, rispettivamente trama;

– valori dei momenti flettenti da un unico diagramma, rispettivamente all'inizio, al centro e alla fine luogo.

Quando si moltiplicano i diagrammi, sarà utile determinare curve ordinate dei momenti flettenti:

, dove

Compito

Determinare l'angolo di rotazione della sezione sul supporto sinistro φ MA

1) Trova sostenere le reazioni dello stato attuale .

2) Costruzione diagramma dei momenti dello stato attualeM.

3) Scelta di uno stato ausiliario per determinare l'angolo di rotazione φ MA.

4) Trovare le reazioni di supporto dello stato ausiliario

Reagiamo al segno meno.

5) Costruire un diagramma dei momenti dello stato ausiliario:

6) Trame "moltiplicanti".

Poiché uno di essi (vale a dire) è lineare per tutta la campata e non ha interruzioni, e il diagramma M anche senza frattura, poi ci sarà un solo tratto nella formula Simpson, e poi

Il segno più indica che la sezione MA gira verso il "momento unico"

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La formula di Simpson per determinare gli spostamenti

Per determinare lo spostamento utilizzando la formula di Simpson, è necessario:

1. Costruire diagramma del carico momenti (trama dei momenti dall'azione di tutti i carichi esterni).
2. Costruire diagramma unico momenti. Per fare ciò, nella sezione in cui è necessario determinare lo spostamento lineare (deflessione), applicare una forza unitaria e determinare lo spostamento angolare - un singolo momento e tracciare i momenti flettenti da questo singolo fattore.
3. Moltiplica i diagrammi (carico e unità) secondo la formula, chiamata formula di Simpson:

dove io- lunghezza della sezione;

EI io- rigidità della trave in cantiere;

carico diagrammi, rispettivamente

sono i valori dei momenti flettenti con separare diagrammi, rispettivamente

Se si trovano le ordinate dei diagrammi su un lato dell'asse della trave, durante la moltiplicazione viene preso in considerazione il segno "+", se diverso, quindi il segno "-".

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2.8 Opzioni di base per la moltiplicazione dei diagrammi

Ovviamente, la varietà di applicato
carichi e schemi geometrici
disegni porta a diversi, con
punto di vista della geometria, moltiplicato
diagrammi. Per implementare la regola di Vereshchagin
bisogno di conoscere l'area della geometria
figure e coordinate dei loro centri di gravità.
La Figura 29 mostra alcuni dei principali
opzioni che si presentano nella pratica
calcoli.

Per moltiplicare trame di forma complessa
devono essere scomposti in quelli più semplici.
Ad esempio, per moltiplicare due grafici,
avendo la forma di un trapezio, ne hai bisogno
diviso in un triangolo e un rettangolo,
moltiplicare l'area di ciascuno
ordinata del secondo diagramma, che si trova
sotto il corrispondente baricentro,
e somma i risultati. Allo stesso modo
sono anche usati per moltiplicare il curvilineo
trapezoidale a qualsiasi diagramma lineare.

Se i passaggi precedenti sono stati eseguiti
in vista generale, quindi otteniamo per tale
casi difficili formule adatte per
utilizzare nei calcoli pratici
(Fig. 30). Quindi, il risultato della moltiplicazione
due trapezi (Fig. 30, a):

Riso. 29

Per la formula (2.21), possiamo moltiplicare e
diagrammi che sembrano "contorti"
trapezi (Fig. 30, b), ma il prodotto
ordinate poste ai lati opposti
dagli assi dei diagrammi, presi in considerazione con un segno
meno.

Se viene delineato uno dei diagrammi moltiplicati
su parabola quadrata(che corrisponde
carico distribuito uniformemente
carico), quindi per moltiplicare con
il secondo diagramma (necessariamente lineare).
è considerato come una somma (Fig. 30, c) o
differenza (Fig. 30, d) trapezoidale e
diagramma parabolico. Risultato
la moltiplicazione in entrambi i casi è determinata
formula:

ma il valore di f in questo caso è determinato
diversamente (Fig. 30, c, d).

Riso. trenta

Ci possono essere casi in cui nessuno di
i diagrammi moltiplicati non lo sono
rettilineo, ma almeno uno di essi
delimitata da linee rette spezzate.
Per moltiplicare tali diagrammi
pre-diviso in segmenti
all'interno di ciascuno dei quali almeno
almeno una trama è diritta.

Considera di usare la regola
Vereshchagin su esempi specifici.

Esempio 15 Determina la deviazione a
il centro della campata e l'angolo di rotazione di sinistra
sezione di riferimento di una trave caricata
carico distribuito uniformemente
(Fig. 31, a), con il metodo Vereshchagin.

Sequenza del metodo di calcolo
Vereshchagin: lo stesso del metodo
Mora, quindi considera i tre stati
travi: carico - in azione
carico distribuito q; lui
corrisponde al diagramma M q (Fig. 31b),
e due stati unici - nell'ambito dell'azione
forza
applicato al punto C (schema
,
Fig. 31, c), e momento
,
applicato al punto B (schema
,
Fig. 31d).

Flessione del raggio al centro della campata:

Un risultato simile è stato ottenuto
in precedenza con il metodo di Mohr (vedi esempio 13). Dovrebbero
prestare attenzione al fatto che
è stata eseguita la moltiplicazione dei diagrammi
metà della trave e poi, per simmetria,
il risultato è raddoppiato. Se la zona
dell'intero diagramma M q moltiplicare per
al di sotto del suo baricentro
coordinata del diagramma
(
sul
Fig. 31, c), quindi la quantità di spostamento sarà
completamente diverso e sbagliato
diagramma
delimitata da una linea spezzata. Sul
l'inaccettabilità di un simile approccio
sopra menzionato.

E quando si calcola l'angolo di rotazione della sezione
al punto B, puoi moltiplicare l'area del diagramma M q per quella situata sotto il suo centro
trama dell'ordinata di gravità
(
,
Fig. 31, d), dal diagramma
delimitata da una retta:

Questo risultato corrisponde anche a
il risultato ottenuto in precedenza dal metodo
Mora (vedi esempio 13).

Riso. 31

Esempio 16 Definisci orizzontale
e spostamento verticale del punto A in
telaio (Fig. 32, a).

Come nell'esempio precedente, da risolvere
tre compiti da considerare
stati del telaio: cargo e due singoli.
Grafico dei momenti M F corrispondenti a
primo stato, presentato il
Fig. 32b. Per calcolare l'orizzontale
gli spostamenti sono applicati nel punto A lungo
la direzione del movimento desiderato (es.
orizzontalmente) forza
,
e per calcolare la verticale
forza di spostamento
applicare verticalmente (Fig. 32, c, e).
Trame corrispondenti
e
sono mostrati in Fig. 32, d, f.

Movimento orizzontale del punto A:

Quando si calcola

sulla sezione AB trapezoidale (epure M F)
diviso in un triangolo e un rettangolo,
dopo di che il triangolo dal diagramma
"moltiplicato"
per ciascuna di queste figure. Sulla sezione velivoli
il trapezio curvilineo è diviso in
triangolo e rettangolo curvilinei,
e per la moltiplicazione dei diagrammi nella sezione SD
viene utilizzata la formula (2.21).

Il segno "-" ottenuto nel calcolo

,
significa che il punto A si sta muovendo
orizzontale non a sinistra (in questa direzione
forza applicata
),
ma a destra.

Qui il segno "-" significa che il punto
Si muove verso il basso, non verso l'alto.

Si noti che i singoli diagrammi dei momenti,
costruito dalla forza

,
hanno la dimensione della lunghezza e dell'unità
diagrammi di momenti costruiti dal momento
,
sono adimensionali.

Esempio 17. Definisci verticale
spostamento del punto A piano-spaziale
sistemi (Fig. 33a).

Fig.23

Come è noto (vedi Cap. 1), nella traversa
sezioni trasversali di barre di piatto-spaziale
i sistemi sorgono tre interni
fattori di forza: forza trasversale Q y ,
momento flettente M x e momento torcente
momento M cr. Dal momento che l'influenza
forza di taglio per spostamento
leggermente (vedi esempio 14,
Fig. 27), quindi quando si calcola lo spostamento
metodo di Mohr e Vereshchagin da sei
rimangono solo due mandati.

Per risolvere il problema, costruiamo diagrammi
momenti flettenti M x,q e coppia
momenti M kr, q dal carico esterno
(Fig. 33, b), e quindi al punto A applichiamo la forza
nella direzione del movimento desiderato,
quelli. verticale (Fig. 33, c) e costruire
diagrammi singoli dei momenti flettenti
e coppia
(Fig. 33d).
Frecce sui diagrammi di coppia
direzioni di torsione mostrate
siti rilevanti
sistema piatto-spaziale.

Movimento verticale del punto A:

Quando si moltiplicano i diagrammi delle coppie
il prodotto è preso con un segno "+",
se le frecce indicano la direzione
torsione, codirezionale, e con il segno ”
- " - altrimenti.

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Moltiplicazione di diagrammi con il metodo Vereshchagin

Per calcolare è necessario effettuare le seguenti operazioni:

1. Costruire curve di momenti flettenti Sig e Mk rispettivamente dai carichi dati e singoli della trave. Con carico complesso della trave (Fig. 19, un) segue: o un diagramma Sig suddivisa nelle parti più semplici, per le quali sono note le dimensioni dell'area e la posizione del baricentro (Fig. 19, b), o (preferibilmente) traccia Sig in forma stratificata (Fig. 19, c).

Se la trave ha una sezione variabile graduale, il diagramma Sig deve essere, inoltre, suddiviso in sezioni, all'interno delle quali la rigidità della sezione è costante.

2. Su ciascuna sezione, moltiplicare l'area ω di uno dei diagrammi (ad esempio diagrammi Sig) all'ordinata SM altre trame (ad esempio trame Mk) sotto il baricentro del primo diagramma e dividere il prodotto risultante per il fattore di gradino j.

Allo stesso tempo, l'ordinata SM va presa sul diagramma, che nell'area in esame varia secondo una legge lineare (senza interruzione). Se il diagramma è una linea spezzata, dovrebbe essere diviso in sezioni, all'interno delle quali risulterà lineare.

3. Calcolare la somma dei termini di cui al comma 2.

La formula per determinare il movimento del metodo considerato

dove la somma viene eseguita su tutte le sezioni della trave

Le aree e le coordinate dei baricentro di alcuni diagrammi sono riportate in Tabella. 11. I risultati della moltiplicazione del carico frequente e dei diagrammi singoli sono riportati nella tabella. 12.

Esempio. Determina l'angolo di rotazione ­ cheniya A trave a gradini (vedi Fig. 19, a).

Determinate le reazioni di supporto A e B , costruire un diagramma Sig in fig. diciannove, b e in sono mostrati i diagrammi non stratificati e stratificati Sig. Applicando un unico momento al punto B della trave liberata dal carico, si costruisce un unico diagramma M1(Fig. 19. d).

Utilizzando il diagramma a strati Mr, secondo la formula 36 e la tabella. 12 determinare l'angolo di rotazione desiderato della sezione B:

Figura. 20

Esempio. Determinare la deflessione nel punto K di una trave di sezione trasversale costante (Fig. 20, a).

Applicando una forza unitaria al punto K, libero da un dato carico della trave, costruiamo un diagramma unitario dei momenti flettenti Mk (Fig. 20, b).
Dopo aver determinato le reazioni di supporto da un determinato carico

staccare la console e sostituirla con l'alimentazione qa e momento (Fig. 20, c).

Costruiamo un diagramma a strati M (da ciascun tipo di carico separatamente), avvicinandoci al punto di interruzione di un singolo diagramma Mk su entrambi i lati (Fig. 20, io ).

Secondo la formula (36) utilizzando la tabella. 12 determinare la cilindrata richiesta

Soluzione dell'ordine Metodo di pagamento

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Determinazione degli spostamenti in una trave mediante la formula di Simpson

Per una trave, determinare gli spostamenti lineari e angolari nei punti A, B, C, dopo aver selezionato la sezione della trave a I dalla condizione di resistenza.

Dato:un= 2 m,b=4 m, s=3 m,F=20 kN, M=18 kNm,q=6 kN/m, σamm=160 MPa, E=210 5 MPa

1) Disegniamo un diagramma della trave, determiniamo le reazioni del supporto. In una conclusione difficile, c'è 3 reazioni - verticale e orizzontale, così come punto di ancoraggio. Non essendoci carichi orizzontali, la reazione corrispondente è zero. Per trovare le reazioni al punto E, componiamo equazioni di equilibrio.

∑F y = 0 q7-F+R E =0

R E =-q7+F=-67+20=-22kN(il segno lo indica

Cerchiamo momento di ancoraggio in attacco rigido, per cui risolviamo l'equazione dei momenti rispetto a un punto qualsiasi.

∑M C: -M E -R E 9-F6-q77/2-M=0

M E =-18-229+649/2=-18-198+147=-69kNm(il segno lo indica la reazione è diretta nella direzione opposta, lo mostriamo nel diagramma)

2) Costruiamo il diagramma di carico M F - il diagramma dei momenti di un determinato carico.

Per costruire diagrammi di momenti, troviamo momenti in punti caratteristici. A punto B determinare i momenti sia da destra che da sinistra, poiché a questo punto viene applicato un momento.

Costruire un diagramma del momento sulla linea di azione di un carico distribuito (sezioni AB e BC) abbiamo bisogno punti aggiuntivi per tracciare la curva. Definiamo i momenti nel mezzo queste aree. Questi sono i momenti nei punti medi delle sezioni AB e BC 15,34 kNm e 23,25 kNm. Stiamo costruendo diagramma del carico.

3) Per determinare gli spostamenti lineari e angolari in un punto è necessario applicare a questo punto, nel primo caso, forza unitaria (F=1) e tracciare i momenti, nel secondo caso, momento singolo (M=1) e tracciare il diagramma del momento. Costruiamo diagrammi dai carichi unitari per ogni punto - A, B e C.

4) Per trovare gli spostamenti utilizziamo la formula di Simpson.

dove l i - lunghezza della sezione;

EI io- rigidità della trave in cantiere;

M F– valori dei momenti flettenti dal diagramma di carico, rispettivamente all'inizio, al centro e alla fine del tratto;

– valori dei momenti flettenti da un singolo diagramma, rispettivamente all'inizio, al centro e alla fine della sezione.

Se le ordinate dei diagrammi si trovano su un lato dell'asse del raggio, durante la moltiplicazione viene preso in considerazione il segno "+", se da quelli diversi, quindi il segno "-".

Se il risultato è risultato con il segno "-", il movimento desiderato nella direzione non coincide con la direzione del corrispondente fattore di forza unitario.

Tenere conto applicazione della formula di Simpson sull'esempio della determinazione degli spostamenti nel punto A.

Definiamo deviazione, moltiplicando il diagramma di carico per il diagramma da una forza unitaria.

La deviazione si è rivelata con il segno "-". indica lo spostamento richiesto la direzione non coincide con la direzione della forza unitaria (diretta verso l'alto).

Definiamo angolo di rotazione, moltiplicando il diagramma di carico per il diagramma di un singolo momento.

L'angolo di rotazione è con il segno "-". significa che il movimento desiderato nella direzione non coincide con la direzione del singolo momento corrispondente (diretto in senso antiorario).

5) Per determinare i valori di spostamento specifici, è necessario selezionare una sezione. Selezioniamo la sezione dell'I-beam

dove Mmax- Questo momento massimo sul diagramma del momento di carico

Selezioniamo per assortimento Trave a I n. 30 con L x \u003d 472 cm 3 e I x \u003d 7080 cm 4

6) Determiniamo gli spostamenti in punti, rivelando rigidità della sezione: E - modulo di elasticità longitudinale del materiale o modulo di Young (2 10 5 MPa),Jx- momento assiale inerzia di sezione

Flessione al punto A (in alto)

Angolo di rotazione (senso antiorario)

Se hai bisogno di costruire asse del raggio curvo, quindi la trave viene disegnata senza carico e le deviazioni vengono tracciate nei punti nelle direzioni corrispondenti - viene costruita una curva liscia - l'asse curvo della trave.

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Moltiplicazione dei diagrammi secondo la regola, il metodo o il metodo Mora-Vereshchagin

Ehi! In questo articolo impareremo a determinare lo spostamento delle sezioni trasversali durante la flessione: deviazioni e angoli di rotazione, secondo il metodo (metodo, regola) di Vereshchagin. Inoltre, questa regola è ampiamente utilizzata non solo per determinare gli spostamenti, ma anche per rivelare l'indeterminatezza statica dei sistemi utilizzando il metodo delle forze. Ti parlerò dell'essenza di questo metodo, di come si moltiplicano diagrammi di varia complessità e quando è utile utilizzare questo metodo.

Cosa devi sapere per padroneggiare con successo i materiali di questa lezione?

È imperativo sapere come è costruita la trama dei momenti flettenti, perché in questo articolo lavoreremo con questa trama.

Vereshchagin e il suo metodo, regola o metodo

A.K. Vereschagin nel 1925 proposto un modo più semplice per risolvere la (formula) dell'integrale di Mohr. Invece di integrare due funzioni, ha suggerito di moltiplicare i diagrammi: moltiplicare l'area di un diagramma per l'ordinata del secondo diagramma sotto il baricentro del primo. Questo metodo può essere utilizzato quando uno dei diagrammi è dritto, il secondo può essere qualsiasi. Inoltre, l'ordinata viene presa come diagramma rettilineo. Quando i diagrammi sono entrambi rettilinei, non importa affatto, quale area prendere e quale ordinata. Pertanto, le trame secondo Vereshchagin vengono moltiplicate secondo la seguente formula:​

\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( \omega )_( C )\cdot ( \overline ( M ) )_( C ) \)​

Viene illustrata la moltiplicazione dei diagrammi secondo Vereshchagin: C - il baricentro del primo diagramma, ωс - l'area del primo diagramma, Mc - l'ordinata del secondo diagramma sotto il baricentro del primo.

Area e baricentro dei lotti

Quando si utilizza il metodo Vereshchagin, l'intera area del tracciato non viene presa in una volta, ma in parti, all'interno dei tracciati. Il diagramma dei momenti flettenti è stratificato in figure semplici.

Qualsiasi diagramma può essere stratificato in sole tre forme: un rettangolo, triangolo rettangolo e un segmento parabolico.

Moltiplicazione di diagrammi secondo Vereshchagin

In questo blocco dell'articolo mostrerò casi speciali di moltiplicazione dei diagrammi secondo Vereshchagin.

Rettangolo a Rettangolo

​\(( V=( M )_( F ) )\cpunto \overline ( M ) =( b\cpunto h\cpunto c ) \)​

Rettangolo a triangolo

​\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( b\cdot h\cdot \frac ( 1 )( 2 ) \cdot c ) \)​

triangolo a rettangolo

​\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( \frac ( 1 )( 2 ) \cdot b\cdot h\cdot c ) \)​

segmento per rettangolo

​\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( \frac ( q\cdot ( l )^( 3 ) )( 12 ) \cdot c ) \)​

Segmento per triangolo

​\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( \frac ( q\cdot ( l )^( 3 ) )( 12 ) \cdot \frac ( 1 )( 2 ) \cpunto c) \)​

Casi particolari di stratificazione di diagrammi in figure semplici

In questo blocco dell'articolo mostrerò casi particolari di stratificazione di diagrammi in figure semplici, per la possibilità della loro moltiplicazione secondo Vereshchagin.

Rettangolo e Triangolo

Due triangoli

Due triangoli e un segmento

Triangolo, rettangolo e segmento

Un esempio di determinazione degli spostamenti: deviazioni e angoli di rotazione secondo Vereshchagin

Propongo ora di considerare un esempio specifico con il calcolo degli spostamenti delle sezioni trasversali: le loro deviazioni e angoli di rotazione. Prendiamo una trave d'acciaio caricata con tutti i tipi di carichi e determiniamo la deflessione della sezione C, nonché l'angolo di rotazione della sezione A.

Tracciare i momenti flettenti

Innanzitutto calcoliamo e tracciamo il diagramma del momento flettente:

Costruzione di singoli diagrammi di momenti

Ora, per ogni spostamento desiderato, è necessario applicare un carico unitario (un valore adimensionale uguale a uno) e costruire diagrammi unitari:

• Per le deviazioni si applicano le forze unitarie.
• Per gli angoli di rotazione vengono applicati momenti singoli.

Inoltre, la direzione di questi carichi non è importante! Il calcolo mostrerà la direzione corretta del movimento.

Ad esempio, dopo il calcolo, il valore di deflessione è risultato positivo, il che significa che la direzione di spostamento della sezione coincide con la direzione della forza precedentemente applicata. Lo stesso vale per gli angoli di sterzata.

Moltiplicazione delle trame secondo Vereshchagin

Dopotutto lavoro preparatorio: costruendo un diagramma dei momenti flettenti, stratificandolo in figure elementari e costruendo diagrammi singoli a partire dai carichi applicati nei luoghi e nella direzione degli spostamenti desiderati, si può procedere direttamente alla moltiplicazione dei diagrammi corrispondenti.

Come già scritto sopra, diagrammi a linee può essere moltiplicato in qualsiasi ordine, ovvero prendere l'area di qualsiasi trama: principale o singola e moltiplicare per l'ordinata dell'altra. Ma di solito, per non confondersi nei calcoli, vengono prese le aree diagramma di base dei momenti flettenti, in questa lezione ci atterremo alla stessa regola.

Determinazione della deviazione della sezione C

Moltiplichiamo i diagrammi corrispondenti da sinistra a destra e calcoliamo la deflessione della sezione C usando il metodo Mohr-Vereshchagin:

\[ ( V )_( C )=\frac ( 1 )( E( I )_( x ) ) (\frac ( 1 )( 2 ) \cdot 6\cdot 3\cdot \frac ( 2 )( 3 ) \cdot 2+\frac ( 1 )( 2 ) \cdot 6\cdot 2\cdot \frac ( 2 )( 3 ) \cdot 2)=\frac ( 20kN( m )^( 3 ) )( E( I ) _( X ) ) \]

Immagina che la trave calcolata abbia una sezione trasversale sotto forma di una trave a I n. 24 secondo GOST 8239-89, quindi la deflessione della trave sarà uguale a:

\[ ( V )_( C )=\frac ( 20kN( m )^( 3 ) )( E( I )_( x ) ) =\frac ( 20\cdot ( 10 )^( 9 )Н\cdot ( cm )^( 3 ) )( 2\cdot ( 10 )^( 7 )\frac ( H )( ( cm )^( 2 ) ) \cdot 3460( cm )^( 4 ) ) =0,289 cm \]

Determinazione dell'angolo di rotazione della sezione C

Moltiplichiamo i diagrammi corrispondenti da sinistra a destra e calcoliamo l'angolo di rotazione della sezione C secondo la regola di Mohr-Vereshchagin:

\[ ( \theta )_( C )=\frac ( 1 )( E( I )_( x ) ) (-\frac ( 1 )( 2 ) \cdot 6\cdot 3\cdot \frac ( 1 )( 3 ) \cdot 1)=-\frac ( 3kN( m )^( 2 ) )( E( I )_( x ) ) \]

\[ ( ( \theta ) )_( C )=-\frac ( 3kN( m )^( 2 ) )( E( I )_( x ) ) =-\frac ( 3\cdot ( 10 )^( 7 )H\cdot ( cm )^( 3 ) )( 2\cdot ( 10 )^( 7 )\frac ( H )( ( cm )^( 2 ) ) \cdot 3460( cm )^( 4 ) ) =- 0.0004rad \]

sopromats.ru

Formule trapezoidali e Simpson

Usiamo
La regola di Vereshchagin per la moltiplicazione
due schemi rettilinei aventi la forma
trapezio. Dividiamo entrambi i trapezi in
triangoli le cui aree e
la posizione dei baricentro è facile
sono determinati.

Diagramma
M F

ω 1

C 1 C 2

ω 2

Diagramma

Noi
avuto formula
trapezio,
secondo
quali le opere dei rispettivi
ordinate sinistra e destra dei diagrammi
prodotti doppi e incrociati
ordinate per prendere singolo e il risultante
moltiplicare la somma per un sesto della lunghezza
diagramma.

Tenere conto
il caso in cui viene presentato il diagramma di carico
parabola quadrata, e un unico appezzamento
- un trapezio.

ω PS

Lungo
con le ordinate estreme indichiamo le medie.

Distruggiamo
diagramma curvilineo su un trapezio e
segmento parabolico.

Produciamo
moltiplicazione delle cifre corrispondenti.

Espressione
io T
noi abbiamo. Cerchiamo
.

Quadrato
segmento parabolico:

Ordinato
unico appezzamento sotto il baricentro
segmento parabolico:

Dopo
sostituzioni che otteniamo formula
Simpson:

Lavoro
due diagrammi è uguale alla somma dei prodotti
ordinate estreme e quadruple
il prodotto delle ordinate medie, moltiplicato
un sesto della lunghezza dei diagrammi.

§7. Calcolo della forza di sistemi di aste staticamente indeterminati (sns).

Staticamente
sistemi indefinibili (SNS) hanno
vantaggi e svantaggi a confronto
con sistemi staticamente determinati
(SOS).

vantaggi:

SNA
avere una maggiore sopravvivenza
caricare l'operazione rispetto a SOS. A
SOS praticamente tutti gli elementi
sono ugualmente stressati, e quindi lo hanno
riserve di forza solo all'interno
fattore sicurezza K
=1,5
– 2. Se almeno un elemento va
allo stato limite, l'intera struttura
riceverà non valido dal punto di vista
norme per il calcolo della deformazione o del collasso.
SNS è una struttura ineguale sollecitata
e durante la transizione dei più stressanti
elemento allo stato limite,
c'è una ridistribuzione dello sforzo
dal carico maggiore a quello meno sollecitato
elementi.

SNS,
per la presenza di connessioni ridondanti ed eccessive
rigidità dei singoli elementi, meno
deformativo rispetto a SOS, cioè ne hanno di meno
movimenti angolari lineari.

Svantaggi:

SNA
sono più difficili da calcolare di SOS, che
per la presenza dell'eccesso
(extra) connessioni. La complessità del calcolo
SNS è proporzionale alla terza potenza
il numero di connessioni extra, ad es.
.
Ad esempio, se per due sistemi n 1 =1,
n 2 =4 ,
poi
t 1 = α ,
t 2 =64α,
quelli. il tempo di calcolo aumenta di 64 volte.

A
SNS distribuzione delle forze negli elementi
dipende dalle loro dimensioni geometriche,
la cui definizione, a sua volta,
è il compito principale della resistenza
materiali. Quindi, c'è
la necessità di un appuntamento a priori
rigidità flessionale e trasversale
sezioni di singole canne: (EY) K =α K (EY),
che porta all'ambiguità
soluzioni costruttive.

Di più
incarichi di rigidità riusciti, a seconda
dalla comprensione dell'essenza dei compiti di resistenza
i materiali porteranno alla creazione di altri
disegni ottimali.

A
SNS può sembrare difficile
dimensioni prevedibili
stato di stress-deformazione,
causati da variazioni di temperatura
e progetto indipendente di supporti. Modificare
temperatura di uno degli elementi causa
la comparsa di sollecitazioni termiche
in tutte le canne SNS. Come l'imprecisione
fabbricazione di una delle aste o
lo spostamento di un legame provoca la comparsa
sollecitazioni di installazione in tutte le aste.
In SOS, tali stress non si verificano.

Tenere conto
le principali modalità di calcolo del SNA quando
carichi statici.

Lo svantaggio del metodo di Mohr è la necessità di ottenere i valori dei fattori di forza interni inclusi nelle espressioni integrande delle formule (2.18) e (2.19), in termini generali, come funzioni di z, che diventa abbastanza laborioso già con due o tre segmenti di partizione in travi e soprattutto in telai.

Si scopre che questa lacuna può essere evitata se l'integrazione diretta nelle formule di Mohr viene sostituita dalla cosiddetta moltiplicando i diagrammi. Tale sostituzione è possibile nei casi in cui almeno uno dei diagrammi moltiplicati sia rettilineo. Questa condizione è soddisfatta da tutti i sistemi costituiti da barre rettilinee. Infatti, in tali sistemi, il diagramma costruito dalla forza unitaria generalizzata sarà sempre rettilineo.

Metodo per calcolare l'integrale di Mohr sostituendo integrazione diretta viene chiamata la moltiplicazione dei diagrammi corrispondenti metodo (o regola) Vereshchagin e consiste nel seguente: per moltiplicare due diagrammi, di cui almeno uno rettilineo, occorre moltiplicare l'area di un diagramma (se c'è un diagramma curvilineo, allora la sua area deve essere) moltiplicata per l'ordinata dell'altro diagramma, posta sotto il baricentro del primo.

Proviamo la validità di questa regola. Considera due diagrammi (Fig. 28). Sia uno di essi (Mn) un carico e abbia un profilo curvilineo, e il secondo corrisponda a un carico unitario ed è lineare.

Dalla Fig. 28 segue che Sostituiamo i valori nell'espressione

dove è l'area differenziale del diagramma Mn.

Riso. 28

L'integrale è il momento statico dell'area relativa all'asse O - O1, mentre:

dove zc è l'ascissa del baricentro dell'area, allora:

Dato che otteniamo:
(2.20)
L'espressione (2.20) determina il risultato della moltiplicazione di due diagrammi e non lo spostamento. Per ottenere lo spostamento, questo risultato deve essere diviso per la rigidità corrispondente ai fattori di forza interni sotto il segno di integrale.

Le principali opzioni per la moltiplicazione dei diagrammi

È ovvio che la varietà dei carichi applicati e degli schemi geometrici delle strutture porta a differenti, dal punto di vista della geometria, diagrammi moltiplicati. Per l'attuazione Le regole di Vereshchagin bisogno di conoscere la zona forme geometriche e le coordinate dei loro centri di gravità. La Figura 29 mostra alcune delle principali opzioni che emergono nei calcoli pratici.

Per moltiplicazione del diagramma di forma complessa, devono essere scomposti in semplici. Ad esempio, per moltiplicare due diagrammi che sembrano un trapezio, devi dividerne uno in un triangolo e un rettangolo, moltiplicare l'area di ciascuno di essi per l'ordinata del secondo diagramma situato sotto il centro corrispondente di gravità e aggiungere i risultati. Lo stesso si fa per moltiplicare un trapezio curvilineo per qualsiasi diagramma lineare.

Se le azioni di cui sopra vengono eseguite in modo generale, otterremo formule per casi così complessi che sono convenienti per l'uso nei calcoli pratici (Fig. 30). Quindi, il risultato della moltiplicazione di due trapezi (Fig. 30, a):

(2.21)

Riso. 29

Secondo la formula (2.21), è possibile moltiplicare diagrammi che sembrano trapezi "contorti" (Fig. 30, b), ma in questo caso si prende il prodotto di ordinate poste ai lati opposti degli assi dei diagrammi conto con un segno meno.

Se uno di diagrammi moltiplicatiè delineata da una parabola quadrata (che corrisponde al carico con carico uniformemente distribuito), quindi per la moltiplicazione con il secondo diagramma (necessariamente lineare) si considera come somma (Fig. 30, c) o differenza (Fig. 30, d) dei diagrammi trapezoidale e parabolico. Il risultato della moltiplicazione in entrambi i casi è determinato dalla formula:
(2.22)

ma il valore di f è determinato in modi diversi (Fig. 30, c, d).

Riso. trenta

Ci sono casi in cui nessuno dei diagrammi moltiplicati è rettilineo, ma almeno uno di essi è limitato da linee rette spezzate. Per moltiplicare tali diagrammi, vengono prima divisi in sezioni, all'interno di ciascuna delle quali almeno un diagramma è rettilineo.
Considera l'utilizzo Le regole di Vereshchagin su esempi specifici.

Esempio 15 Determinare la deflessione al centro della campata e l'angolo di rotazione della sezione di supporto sinistra della trave caricata con un carico uniformemente distribuito (Fig. 31, a), alla maniera di Vereshchagin.

Sequenza di calcolo alla maniera di Vereshchagin- come nel metodo di Mohr, quindi, consideriamo tre stati della trave: carico - sotto l'azione di un carico distribuito q; corrisponde al diagramma Mq (Fig. 31,b), e due stati singoli - sotto l'azione di una forza applicata al punto C (diagramma , Fig. 31, c), e un momento applicato al punto B (diagramma , Fig. 31, d) .

Flessione del raggio al centro della campata:

Un risultato simile è stato ottenuto in precedenza con il metodo di Mohr (vedi Esempio 13). Occorre prestare attenzione al fatto che la moltiplicazione dei diagrammi è stata eseguita per metà della trave e quindi, a causa della simmetria, il risultato è stato raddoppiato. Se l'area dell'intero diagramma Mq viene moltiplicata per l'ordinata del diagramma situata sotto il suo baricentro (in Fig. 31, c), la quantità di spostamento sarà completamente diversa e errata, poiché il diagramma è limitato da una linea spezzata. L'inammissibilità di un simile approccio è già stata sopra evidenziata.

E quando si calcola l'angolo di rotazione della sezione nel punto B, è possibile moltiplicare l'area del diagramma Mq per l'ordinata del diagramma situata sotto il suo baricentro (Fig. 31, d), poiché il diagramma è limitato in linea retta:

Questo risultato coincide anche con il risultato ottenuto in precedenza con il metodo di Mohr (vedi Esempio 13).

Riso. 31

Esempio 16 Determinare lo spostamento orizzontale e verticale del punto A nel frame (Fig. 32, a).

Come nell'esempio precedente, per risolvere il problema è necessario considerare tre stati del telaio: cargo e due singoli. Il grafico dei momenti MF corrispondenti al primo stato è mostrato in Fig. 32b. Per calcolare lo spostamento orizzontale, applichiamo una forza nel punto A nella direzione dello spostamento desiderato (cioè, orizzontalmente) e per calcolare lo spostamento verticale, applichiamo la forza verticalmente (Fig. 32, c, e). I diagrammi corrispondenti e sono mostrati in Fig. 32, d, f.

Movimento orizzontale del punto A:

Quando si calcola sulla sezione AB, il trapezio (trama MF) è diviso in un triangolo e un rettangolo, dopodiché il triangolo del diagramma viene "moltiplicato" per ciascuna di queste figure. Sulla sezione BC, il trapezio curvilineo è diviso in un triangolo curvilineo e un rettangolo, e la formula (2.21) è usata per moltiplicare i diagrammi sulla sezione SD.

Il segno "-" ottenuto durante il calcolo significa che il punto A si sposta orizzontalmente non a sinistra (viene applicata una forza in questa direzione), ma a destra.