Il problema di trovare una funzione antiderivativa non ha sempre una soluzione, mentre possiamo differenziare qualsiasi funzione. Questo spiega la mancanza metodo universale integrazione.

In questo articolo, esamineremo esempi con decisioni dettagliate metodi di base per trovare l'integrale indefinito. Raggrupperemo anche i tipi di integrandi caratteristici di ciascun metodo di integrazione.

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Integrazione diretta.

Indubbiamente, il metodo principale per trovare la funzione antiderivativa è l'integrazione diretta utilizzando la tabella delle antiderivate e le proprietà dell'integrale indefinito. Tutti gli altri metodi vengono utilizzati solo per portare l'integrale originale in una forma tabulare.

Esempio.

Trova l'insieme delle antiderivate della funzione.

Soluzione.

Scriviamo la funzione nella forma .

Poiché l'integrale della somma delle funzioni è uguale alla somma degli integrali, allora

Il coefficiente numerico può essere estratto dal segno di integrale:

Il primo degli integrali è ridotto a forma tabulare, quindi dalla tabella delle antiderivate per la funzione esponenziale abbiamo .

Per trovare il secondo integrale, utilizziamo la tabella delle antiderivate per la funzione di potenza e governa . Cioè, .

Di conseguenza,

dove

Integrazione con il metodo della sostituzione.

L'essenza del metodo è che introduciamo una nuova variabile, esprimiamo l'integrando nei termini di questa variabile, e come risultato arriviamo a una forma tabulare (o più semplice) dell'integrale.

Molto spesso, il metodo di sostituzione aiuta quando si integrano funzioni trigonometriche e funzioni con radicali.

Esempio.

Trova l'integrale indefinito .

Soluzione.

Introduciamo una nuova variabile. Esprimiamo x in termini di z:

Eseguiamo la sostituzione delle espressioni ottenute nell'integrale originale:

Dalla tavola degli antiderivati ​​abbiamo .

Resta da tornare alla variabile originale x:

Risposta:

Molto spesso il metodo di sostituzione viene utilizzato nell'integrazione di funzioni trigonometriche. Ad esempio, l'uso di una sostituzione trigonometrica universale permette di trasformare l'integrando in una forma frazionata razionale.

Il metodo di sostituzione permette di spiegare la regola di integrazione .

Introduciamo quindi una nuova variabile

Sostituiamo le espressioni risultanti nell'integrale originale:

Se accettiamo e torniamo alla variabile originale x, allora otteniamo

Portare sotto il segno del differenziale.

Il metodo di sussunzione sotto il segno differenziale si basa sulla riduzione dell'integrando alla forma . Successivamente viene applicato il metodo di sostituzione: viene introdotta una nuova variabile e, dopo aver trovato l'antiderivata per la nuova variabile, si torna alla variabile originaria, ovvero

Per comodità, mettilo davanti ai tuoi occhi sotto forma di differenziali, in modo che sia più facile trasformare l'integrando, così come la tabella delle antiderivate, per vedere in quale forma dovrebbe essere convertito l'integrando.

Per esempio, troviamo l'insieme delle antiderivate della funzione cotangente.

Esempio.

Trova l'integrale indefinito.

Soluzione.

L'integrando può essere convertito usando formule trigonometriche:

Osservando la tabella delle derivate, concludiamo che l'espressione al numeratore può essere portata sotto il segno differenziale , Ecco perché

Cioè .

Lascia allora . Dalla tabella degli antiderivati ​​lo vediamo . Tornando alla variabile originale .

Senza spiegazioni, la soluzione è scritta come segue:

Integrazione per parti.

L'integrazione per parti si basa sulla presentazione dell'integrando come prodotto e quindi sull'applicazione della formula. Questo metodo è uno strumento di integrazione molto potente. A seconda dell'integrando, il metodo di integrazione per parti a volte deve essere applicato più volte di seguito fino a ottenere un risultato. Per esempio, troviamo l'insieme delle antiderivate della funzione arcotangente.

Esempio.

Calcola l'integrale indefinito.

Soluzione.

Lascia allora

Va notato che quando si trova la funzione v(x), non viene aggiunta una costante arbitraria C.

Ora applichiamo la formula per l'integrazione per parti:

L'ultimo integrale è calcolato con il metodo della sussunzione sotto il segno del differenziale.

Da allora . Ecco perché

Di conseguenza,

dove .

Risposta:

Le principali difficoltà nell'integrare per parti sono generate dalla scelta: quale parte dell'integrando va presa come funzione u(x) e quale come differenziale d(v(x)) . Tuttavia, ci sono una serie di linee guida standard con cui ti consigliamo di familiarizzare nella sezione Integrazione per parti.

Quando si integrano le espressioni di potenza, ad esempio o , utilizzano formule ricorrenti che consentono di abbassare il grado da un gradino all'altro. Queste formule si ottengono per successive integrazioni multiple per parti. Ti consigliamo di familiarizzare con la sezione sull'integrazione utilizzando formule ricorrenti.

In conclusione, vorrei riassumere l'intero materiale di questo articolo. La base dei fondamenti è il metodo dell'integrazione diretta. I metodi di sostituzione, portati sotto il segno del differenziale e il metodo di integrazione per parti consentono di ricondurre l'integrale originale a quelli tabulari.

Viene presentata una panoramica dei metodi di calcolo integrali indefiniti. Vengono considerati i principali metodi di integrazione, che includono l'integrazione della somma e della differenza, l'estrazione della costante dal segno di integrale, la modifica della variabile e l'integrazione per parti. Vengono anche presi in considerazione metodi e tecniche speciali per l'integrazione di frazioni, radici, trigonometriche e funzioni esponenziali.

Contenuto

Somma (differenza) regola di integrazione

Estrarre la costante dal segno di integrale

Sia c una costante indipendente da x. Quindi si può togliere dal segno di integrale:

Sostituzione di variabili

Sia x una funzione di una variabile t , x = φ(t) , allora
.
O viceversa, t = φ(x) ,
.

Con l'aiuto di un cambio di variabile, puoi non solo calcolare semplici integrali, ma anche semplificare il calcolo di quelli più complessi.

Regola di integrazione per parti

Integrazione di frazioni (funzioni razionali)

Introduciamo una notazione. Siano P k (x), Q m (x), R n (x) rispettivamente polinomi di gradi k, m, n , rispetto alla variabile x .

Consideriamo un integrale costituito da una frazione di polinomi (la cosiddetta funzione razionale):

Se k ≥ n, allora devi prima selezionare la parte intera della frazione:
.
L'integrale del polinomio S k-n (x) è calcolato dalla tabella degli integrali.

L'integrale rimane:
, dove m< n .
Per calcolarlo, l'integrando deve essere scomposto in frazioni semplici.

Per fare ciò, devi trovare le radici dell'equazione:
Q n (x) = 0 .
Usando le radici ottenute, devi rappresentare il denominatore come prodotto di fattori:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
Qui s è il coefficiente per x n , x 2 + ex + f > 0 , x 2 + gx + k > 0 , ... .

Successivamente, scomponi la frazione nella più semplice:

Integrando, otteniamo un'espressione composta da integrali più semplici.
Integrali della forma

sono ridotti alla sostituzione tabulare t = x - a .

Considera l'integrale:

Trasformiamo il numeratore:
.
Sostituendo nell'integrando, otteniamo un'espressione che include due integrali:
,
.
Innanzitutto, la sostituzione t \u003d x 2 + ex + f viene ridotta a una tabella.
La seconda, secondo la formula di riduzione:

si riduce all'integrale

Portiamo il suo denominatore alla somma dei quadrati:
.
Quindi, per sostituzione, l'integrale

è riportato anche nella tabella.

Integrazione di funzioni irrazionali

Introduciamo una notazione. Sia R(u 1 , u 2 , ... , un n) una funzione razionale delle variabili u 1 , u 2 , ... , un n . Cioè
,
dove P, Q sono polinomi nelle variabili u 1 , u 2 , ... , u n .

Irrazionalità lineare frazionaria

Considera gli integrali della forma:
,
dove sono numeri razionali, m 1 , n 1 , ..., m s , n s sono numeri interi.
Sia n il denominatore comune dei numeri r 1 , ..., r s .
Quindi l'integrale si riduce all'integrale delle funzioni razionali per sostituzione:
.

Integrali da binomi differenziali

Considera l'integrale:
,
dove m, n, p sono numeri razionali, a, b sono numeri reali.
Tali integrali si riducono a integrali di funzioni razionali in tre casi.

1) Se p è un numero intero. Sostituzione x = t N, dove N è il denominatore comune delle frazioni me n.
2) Se è un numero intero. Sostituzione a x n + b = t M, dove M è il denominatore di p.
3) Se è un numero intero. Sostituzione a + b x - n = t M, dove M è il denominatore di p.

Se nessuno dei tre numeri è un intero, allora per il teorema di Chebyshev gli integrali di questa forma non possono essere espressi da una combinazione finita funzioni elementari.

In alcuni casi può essere utile ridurre prima l'integrale a valori più convenienti di m e p . Questo può essere fatto usando le formule del cast:
;
.

Integrali contenenti la radice quadrata di un trinomio quadrato

Qui consideriamo integrali della forma:
,

Sostituzioni di Eulero

Tali integrali possono essere ridotti a integrali di funzioni razionali di una delle tre sostituzioni di Eulero:
, per un > 0 ;
, per c > 0 ;
, dove x 1 è la radice dell'equazione a x 2 + b x + c = 0. Se questa equazione ha radici reali.

Sostituzioni trigonometriche e iperboliche

Metodi diretti

Nella maggior parte dei casi, le sostituzioni di Eulero danno luogo a calcoli più lunghi rispetto ai metodi diretti. Usando i metodi diretti, l'integrale viene ridotto a uno dei seguenti tipi.

io digito

Integrale della forma:
,
dove P n (x) è un polinomio di grado n.

Tali integrali si trovano con il metodo dei coefficienti indefiniti, usando l'identità:

Differenziando questa equazione ed eguagliando i lati sinistro e destro, troviamo i coefficienti A i .

II tipo

Integrale della forma:
,
dove P m (x) è un polinomio di grado m.

Sostituzione t = (x - α) -1 questo integrale è ridotto al tipo precedente. Se m ≥ n, allora la frazione dovrebbe avere una parte intera.

III tipo

Il terzo e più difficile tipo:
.

Qui devi fare una sostituzione:
.
Allora l'integrale assumerà la forma:
.
Inoltre, le costanti α, β devono essere scelte in modo tale che i coefficienti in t scompaiano:
B = 0, B 1 = 0 .
Quindi l'integrale si scompone nella somma di integrali di due tipi:
;
,
che sono integrati, rispettivamente, da sostituzioni:
z 2 \u003d A 1 t 2 + C 1;
y 2 \u003d A 1 + C 1 t -2.

Caso generale

Integrazione di funzioni trascendentali (trigonometriche ed esponenziali).

Notiamo in anticipo che quei metodi che sono applicabili alle funzioni trigonometriche sono applicabili anche alle funzioni iperboliche. Per questo motivo, non considereremo l'integrazione delle funzioni iperboliche separatamente.

Integrazione delle funzioni trigonometriche razionali di cos x e sin x

Considera integrali di funzioni trigonometriche della forma:
,
dove R è una funzione razionale. Questo può includere anche tangenti e cotangenti, che dovrebbero essere convertite in seni e coseni.

Quando si integrano tali funzioni, è utile tenere presenti tre regole:
1) se R( cosx, sinx) moltiplicato per -1 dal cambio di segno davanti a una delle quantità cos x o peccato x, allora è utile denotare l'altro di essi con t .
2) se R( cosx, sinx) non cambia dal cambiare segno contemporaneamente prima cos x e peccato x, allora è utile mettere abbronzatura x = t o ctg x = t.
3) la sostituzione in tutti i casi porta a un integrale di una frazione razionale. Sfortunatamente, questa sostituzione comporta calcoli più lunghi rispetto ai precedenti, se applicabile.

Prodotto delle funzioni di potenza di cos x e sin x

Considera gli integrali della forma:

Se m e n sono numeri razionali, allora una delle permutazioni t = peccato x o t= cos x l'integrale si riduce all'integrale di binomio differenziale.

Se m e n sono interi, gli integrali vengono calcolati integrando per parti. Questo risulta in le seguenti formule cast:

;
;
;
.

Integrazione per parti

Applicazione della formula di Eulero

Se l'integrando è lineare rispetto a una delle funzioni
cos ascia o sinax, allora è conveniente applicare la formula di Eulero:
eiax = cos ax + isin ax(dove io 2 = - 1 ),
sostituendo questa funzione con eiax ed evidenziando il reale (quando si sostituisce cos ascia) o parte immaginaria(durante la sostituzione sinax) dal risultato.

Riferimenti:
NM Gunther, RO Kuzmin, Raccolta di attività su matematica superiore, "Lan", 2003.

Guarda anche:

Poiché ora parleremo solo dell'integrale indefinito, ometteremo il termine “indefinito” per brevità.

Per imparare a calcolare gli integrali (o, come si suol dire, integrare le funzioni), devi prima imparare la tabella degli integrali:

Tabella 1. Tabella degli integrali

2. ( ), tu>0. 2a. (α=0); 2b. (α=1); 2c. (α= ). 3. 3a. 4. 5. 5a) 6a. 7. 7a.

8. 9. 10. 10 bis. 11. 11 bis. 12. 13. 13a.

Inoltre, avrai bisogno della capacità di calcolare la derivata di data funzione, il che significa che è necessario ricordare le regole di differenziazione e la tabella delle derivate delle principali funzioni elementari:

Tabella 2. Tabella delle derivate e regole di differenziazione:

6.a .

(peccato e) = cos e  e (cos tu) = – peccato e e

E abbiamo anche bisogno della capacità di trovare il differenziale di una funzione. Ricordiamo che il differenziale della funzione
trova per formula
, cioè. il differenziale di una funzione è uguale al prodotto della derivata di questa funzione per il differenziale del suo argomento. È utile tenere a mente le seguenti relazioni note:

Tabella 3. Tabella dei differenziali

1. (B= cost) 2. ( ) 3. 4. 5. (B= cost) 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 14. 15. 16. 17.

Inoltre, puoi usare queste formule, sia leggendole da sinistra a destra, sia da destra a sinistra.

Consideriamo successivamente tre metodi di base per il calcolo dell'integrale. Il primo è chiamato metodo di integrazione diretta. Si basa sull'uso delle proprietà dell'integrale indefinito e comprende due tecniche principali: espansione di un integrale in una somma algebrica più semplice e portando sotto il segno del differenziale, e questi metodi possono essere utilizzati sia indipendentemente che in combinazione.

MA) Ritenere scomposizione algebrica della somma- questa tecnica prevede l'uso di trasformazioni identiche dell'integrando e delle proprietà di linearità dell'integrale indefinito:
E .

Esempio 1 Trova gli integrali:

ma)
; B)
;

in)
G)

e)
.

Soluzione.

ma)Trasformiamo l'integrando dividendo termine per termine il numeratore per il denominatore:

Qui viene utilizzata la proprietà dei gradi:
.

b) Per prima cosa trasformiamo il numeratore della frazione, poi dividiamo il numeratore per il denominatore termine per termine:

La proprietà dei gradi viene utilizzata anche qui:
.

Ecco l'immobile utilizzato:
,
.

.

Qui vengono utilizzate le formule 2 e 5 della tabella 1.

Esempio 2 Trova gli integrali:

ma)
; B)
;

in)
G)

e)
.

Soluzione.

ma)Trasformiamo l'integrando usando l'identità trigonometrica:

.

Qui vengono nuovamente utilizzate la divisione termine per termine del numeratore per il denominatore e le formule 8 e 9 della tabella 1.

b) Trasformiamo allo stesso modo usando l'identità
:

.

c) Per prima cosa dividiamo il numeratore per il denominatore termine per termine e togliamo le costanti dal segno di integrale, quindi usiamo l'identità trigonometrica
:

d) Applicare la formula per abbassare il grado:

,

e) Utilizzando le identità trigonometriche, trasformiamo:

B) Si consideri la tecnica di integrazione, che si chiama p sottraendo sotto il segno del differenziale. Questa tecnica si basa sulla proprietà di invarianza dell'integrale indefinito:

Se
, quindi per qualsiasi funzione derivabile e = e(X) si verifica:
.

Questa proprietà permette di ampliare notevolmente la tabella degli integrali più semplici, poiché, in virtù di questa proprietà, le formule della Tabella 1 sono valide non solo per la variabile indipendente e, ma anche nel caso in cui eè una funzione derivabile di qualche altra variabile.

Per esempio,
, ma anche
, E
, E
.

o
e
, E
.

L'essenza del metodo è estrarre il differenziale di una certa funzione in un dato integrando in modo che questo differenziale distinto, insieme al resto dell'espressione, formi una formula tabulare per questa funzione. Se necessario, le costanti possono essere aggiunte in modo appropriato per tale conversione. Per esempio:

(nell'ultimo esempio è scritto ln(3 + X 2) invece di ln|3 + X 2 | , poiché l'espressione 3 + X 2 è sempre positivo).

Esempio 3 Trova gli integrali:

ma)
; B)
; in)
;

G)
; e)
; e)
;

G)
; h)
.

Soluzione.

ma) .

Qui vengono utilizzate le formule 2a, 5a e 7a della tabella 1, le ultime due delle quali si ottengono semplicemente sostituendo sotto il segno differenziale:

Integra le funzioni di visualizzazione
ricorre molto spesso nel calcolo di integrali di funzioni più complesse. Per non ripetere ogni volta i passaggi sopra descritti, si consiglia di ricordare le formule corrispondenti riportate nella Tabella 1.

.

Qui viene utilizzata la formula 3 della tabella 1.

c) Allo stesso modo, tenendo conto che , trasformiamo:

.

Qui viene utilizzata la formula 2 nella tabella 1.

G)

.

e) ;

e)

.

G);

h)

.

Esempio 4 Trova gli integrali:

ma)
B)

in)
.

Soluzione.

a) Trasformiamo:

Anche qui viene utilizzata la formula 3 della tabella 1.

b) Utilizzare la formula di riduzione
:

Qui vengono utilizzate le formule 2a e 7a della tabella 1.

Qui, insieme alle formule 2 e 8 della tabella 1, vengono utilizzate anche le formule della tabella 3:
,
.

Esempio 5 Trova gli integrali:

ma)
; B)

in)
; G)
.

Soluzione.

a) Il lavoro
può essere integrato (vedi formule 4 e 5 della tabella 3) al differenziale della funzione
, dove ma e B- eventuali costanti,
. Infatti, dove
.

Poi abbiamo:

.

b) Usando la formula 6 della tabella 3, abbiamo
, così come
, il che significa che la presenza nell'integrando del prodotto
significa un suggerimento: sotto il segno differenziale, devi aggiungere un'espressione
. Pertanto, otteniamo

c) Come al punto b), il prodotto
può essere integrato al differenziale della funzione
. Quindi otteniamo:

.

d) In primo luogo, utilizziamo le proprietà di linearità dell'integrale:

Esempio 6 Trova gli integrali:

ma)
; B)
;

in)
; G)
.

Soluzione.

ma)Dato che
(formula 9 della tabella 3), trasformiamo:

b) Usando la formula 12 della tabella 3, otteniamo

c) Tenendo conto della formula 11 della Tabella 3, si trasforma

d) Utilizzando la formula 16 della tabella 3, otteniamo:

.

Esempio 7 Trova gli integrali:

ma)
; B)
;

in)
; G)
.

Soluzione.

ma)Tutti gli integrali presentati in questo esempio hanno una caratteristica comune: l'integrando contiene un trinomio quadrato. Pertanto, il metodo per calcolare questi integrali sarà basato sulla stessa trasformazione: la selezione del quadrato intero in questo trinomio quadrato.

.

B)

.

in)

G)

Il metodo della somma sotto il segno del differenziale è un'implementazione orale di un metodo più generale di calcolo dell'integrale, chiamato metodo di sostituzione o cambiamento di variabile. Infatti, ogni volta, selezionando l'opportuna formula della Tabella 1 alla funzione ottenuta come risultato della sussunzione sotto il segno differenziale, si sostituisce mentalmente la lettera e funzione sotto il segno differenziale. Pertanto, se l'integrazione per sussunzione sotto il segno del differenziale non funziona molto bene, è possibile apportare direttamente un cambio di variabile. Maggiori informazioni su questo nel prossimo paragrafo.

Integrazione diretta

Viene chiamato il calcolo degli integrali indefiniti utilizzando la tabella degli integrali e le loro proprietà di base integrazione diretta.

Esempio 1 Troviamo l'integrale

.

Applicando la seconda e la quinta proprietà dell'integrale indefinito, otteniamo

.(*)

Quindi, usando le formuleII, W,IV, VIIItabelle e la terza proprietà degli integrali, troviamo ciascuno dei termini degli integrali separatamente:

= ,

,

Sostituiamo questi risultati in (*) e, indicando la somma di tutte le costanti(Z DA 1 +7DA 2 +4DA 3 +2DA 4 +DA 5) lettera DA, finalmente otteniamo:

Controlliamo il risultato per differenziazione. Trova la derivata dell'espressione risultante:

Abbiamo ottenuto l'integrando, che dimostra che l'integrazione è corretta.

Esempio 2 . Cerchiamo

.

La tabella degli integrali mostra il corollarioIIIma dalla formula III:

Per usare questo corollario, troviamo il differenziale della funzione nell'esponente:

Per creare questo differenziale, è sufficiente moltiplicare il denominatore della frazione sotto l'integrale per il numero 2 (ovviamente, affinché la frazione non cambi, è necessario moltiplicare per 2 e numeratore). Dopo aver tolto il fattore costante dal segno di integrale, diventa pronto per l'applicazione della formula tabulareIIIma:

.

Visita medica:

quindi l'integrazione è corretta.

Esempio 3 . Cerchiamo

Poiché il differenziale di una funzione quadratica può essere costruito dall'espressione al numeratore, la seguente funzione deve essere distinta al denominatore:

.

Per creare il suo differenziale basta moltiplicare il numeratore per 4 (moltiplichiamo anche il denominatore per 4 e sottrai dall'integrale questo fattore del denominatore). Di conseguenza, saremo in grado di utilizzare la formula tabulareX:

Visita medica:

,

quelli. l'integrazione è corretta.

Esempio 4 . Cerchiamo

Si noti che ora la funzione quadratica il cui differenziale è può essere creato nel numeratore, è un'espressione radicale. Pertanto, sarebbe ragionevole scrivere l'integrando come una funzione di potenza per utilizzare la formulaiotabelle integrali:

Visita medica:

Conclusione: l'integrale si trova correttamente.

Esempio 5. Cerchiamo

Si noti che l'integrando contiene

funzione ; e il suo differenziale. Ma la frazione è anche il differenziale dell'intera espressione radicale (fino a un segno):

Pertanto, è ragionevole rappresentare la frazione nella forma gradi:

Quindi dopo aver moltiplicato numeratore e denominatore per (-1) otteniamo l'integrale di potenza (formula tabulareio):

Differenziando il risultato, ci assicuriamo che l'integrazione venga eseguita correttamente.

Esempio 6 Cerchiamo

È facile vedere che in questo integrale dall'espressione il differenziale della funzione radicale non può essere ottenuto utilizzando coefficienti numerici. Veramente,

,

dove K -costante. Ma, per esperienza esempio 3 , è possibile costruire un integrale che coincide nella forma con la formulaXdalla tabella degli integrali:

Esempio 7. Cerchiamo

Prestiamo attenzione al fatto che al numeratore è facile creare il differenziale della funzione cubicaD(X 3 ) = 3 X 2 dx. Quindi abbiamo l'opportunità di utilizzare la formula tabulareVI:

Esempio 8 Cerchiamo

È noto che la derivata della funzione arco peccato Xè una frazione

poi

.

Questo ci porta alla conclusione che l'integrale desiderato ha la forma di un integrale di potenza: , in qualee = arco peccato X, che significa

Esempio 9 . Per trovare

utilizzare lo stesso foglio di calcolo formula io e il fatto che

Ottenere

Esempio 10 . Cerchiamo

Poiché l'espressione è il differenziale della funzione , quindi, utilizzando la formula io tabelle di integrali, otteniamo

Esempio 11. Per trovare l'integrale

utilizzare in sequenza: formula trigonometrica

,

il fatto che

e formula IItabelle integrali:

Esempio 12 . Cerchiamo

.

Dal momento che l'espressione

è il differenziale della funzione , quindi utilizzando la stessa formulaII, noi abbiamo

Esempio 13 . Troviamo l'integrale

Si noti che il grado della variabile al numeratore è uno in meno rispetto al denominatore. Ciò consente di creare un differenziale nel numeratoredenominatore. Cerchiamo

.

Dopo aver estratto il fattore costante dal segno di integrale, moltiplichiamo il numeratore e il denominatore dell'integrando per (-7), otteniamo:

(Qui abbiamo usato la stessa formulaIIdalla tabella degli integrali).

Esempio 14 Troviamo l'integrale

.

Rappresentiamo il numeratore in una forma diversa: 1 + 2 X 2 = (1 + X 2 )+ x 2 ed eseguiamo una divisione termine per termine, dopodiché usiamo la quinta proprietà degli integrali e la formulaio e VIII tabelle:

Esempio 15 Cerchiamo

Prendiamo il fattore costante dal segno di integrale, sottraiamo e aggiungiamo 5 al numeratore, quindi eseguiamo la divisione termine per termine del numeratore per il denominatore e utilizziamo la quinta proprietà dell'integrale:

Per calcolare il primo integrale, utilizziamo la terza proprietà degli integrali e rappresentiamo il secondo integrale in una forma conveniente per l'applicazione della formulaIX:

Esempio 16 Cerchiamo

Si noti che l'esponente della variabile nel numeratore è uno in meno rispetto al denominatore (che è tipico per la derivata), il che significa che il differenziale del denominatore può essere costruito nel numeratore. Troviamo il differenziale dell'espressione al denominatore:

D(x2- 5)=(X 2 - 5)" dx= 2 xdx.

Per ottenere il differenziale denominatore al numeratore, non c'è abbastanza fattore costante 2. Moltiplichiamo e dividiamo l'integrando per 2 ed estraiamo il fattore costante -

per il segno integrale

siamo qui UsatoIIintegrale tabulare.

Considera una situazione simile nell'esempio seguente.

Esempio 17. Cerchiamo

.

Calcola il differenziale denominatore:

.

Creiamolo nel numeratore usando la quarta proprietà degli integrali:

=

Verrà presa in considerazione una situazione più complessa esempio 19.

Esempio 18, Cerchiamo

.

Selezioniamo un quadrato intero al denominatore:

Ottenere

.

Dopo aver selezionato il quadrato pieno al denominatore, abbiamo ottenuto un integrale simile nella forma alle formuleVIII e IXtabelle di integrali, ma al denominatore della formulaVIIIi termini dei quadrati pieni hanno gli stessi segni, e nel denominatore del nostro integrale i segni dei termini sono diversi, sebbene non coincidano con i segni della nona formula. Ottieni la completa coincidenza dei segni dei termini al denominatore con i segni della formulaIXriesce sottraendo il coefficiente (-1) dall'integrale. Quindi per applicare la formulaIXtabelle degli integrali, svolgeremo le seguenti attività:

1) prendi (-1) da parentesi al denominatore e poi dall'integrale;

2) trova il differenziale dell'espressione

3) creare al numeratore il differenziale trovato;

4) rappresentare il numero 2 in una forma conveniente per l'applicazione della formulaIX tabelle:

Quindi

Usando IXformula della tabella degli integrali, otteniamo

Esempio 19. Cerchiamo

.

Utilizzando l'esperienza acquisita nel trovare integrali nei due esempi precedenti e i risultati ottenuti in essi, avremo

.

Generalizziamo alcune esperienze ottenute a seguito della soluzione esempi 17,18,19.

Quindi, se abbiamo un integrale della forma

(esempio 18 ), poi, evidenziando il quadrato pieno al denominatore, si arriva a una delle formule tabulariVIII o IX.

Un integrale della forma

(esempio 19 ) dopo aver creato la derivata del denominatore al numeratore, si scompone in due integrali: il primo è della forma

( esempio 17 ), formulaP, e il secondo è della forma

(esempio 18 ), preso secondo una delle formuleVIII o IX.

Esempio 20 . Cerchiamo

.

Integrale della forma

può essere ridotto alla forma di formule tabulariX o XI, evidenziando il quadrato pieno nell'espressione radicale. IN il nostro caso

= .

L'espressione radice ha la forma di espressione

Lo stesso si fa sempre quando si calcolano gli integrali della forma

,

se uno degli esponenti è un numero dispari positivo e l'altro è un arbitrario numero reale (esempio 23 ).

Esempio 23 . Cerchiamo

Utilizzando l'esperienza dell'esempio precedente e l'identità

2 sin 2 φ \u003d l - cos 2 φ,2 cos 2 φ \u003d l + cos 2 φ

Sostituendo la somma risultante sotto l'integrale, otteniamo

Non sempre possiamo calcolare funzioni antiderivate, ma il problema della differenziazione può essere risolto per qualsiasi funzione. Ecco perché non esiste un unico metodo di integrazione che possa essere utilizzato per qualsiasi tipo di calcolo.

Nell'ambito di questo materiale, analizzeremo esempi di risoluzione di problemi relativi alla ricerca di un integrale indefinito e vedremo per quali tipi di integrandi ciascun metodo è adatto.

Metodo di integrazione diretta

Il metodo principale per calcolare la funzione antiderivativa è l'integrazione diretta. Questa azione si basa sulle proprietà dell'integrale indefinito e per i calcoli abbiamo bisogno di una tabella di antiderivate. Altri metodi possono solo aiutare a portare l'integrale originale in una forma tabulare.

Esempio 1

Calcola l'insieme delle antiderivate della funzione f (x) = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 3 .

Soluzione

Per prima cosa, cambiamo la forma della funzione in f (x) = 2 x + 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3 .

Sappiamo che l'integrale della somma delle funzioni sarà uguale alla somma di questi integrali, il che significa:

∫ f (x) d x = ∫ 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3 d x = ∫ 3 2 5 x + 4 1 3 d x

Deduciamo un coefficiente numerico oltre il segno di integrale:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + ∫ 3 2 (5 x + 4) 1 3 d x = = ∫ 2 x d x + 2 3 ∫ (5 x + 4) 1 3 d x

Per trovare l'integrale primo, dovremo fare riferimento alla tabella delle antiderivate. Prendiamo da esso il valore ∫ 2 x d x = 2 x ln 2 + C 1

Per trovare il secondo integrale, abbiamo bisogno di una tabella di antiderivate per la funzione potenza ∫ x p d x = x p + 1 p + 1 + C , così come la regola ∫ f k x + b d x = 1 k F (k x + b) + C .

Pertanto, ∫ f (x) dx = ∫ 2 xdx + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 dx = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ceppo 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Abbiamo ottenuto quanto segue:

∫ f (x) dx = ∫ 2 xdx + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 dx = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x registro 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

dove C = C 1 + 3 2 C 2

Risposta:∫ f (x) d x = 2 x log 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Abbiamo dedicato un articolo separato all'integrazione diretta usando le tabelle degli antiderivati. Ti consigliamo di dargli un'occhiata.

Metodo di sostituzione

Tale metodo di integrazione consiste nell'esprimere l'integrando in termini di una nuova variabile introdotta appositamente a tale scopo. Di conseguenza, dovremmo ottenere una forma tabulare dell'integrale o solo un integrale meno complesso.

Questo metodo è molto utile quando è necessario integrare funzioni con radicali o funzioni trigonometriche.

Esempio 2

Calcola l'integrale indefinito ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Soluzione

Aggiungiamo un'altra variabile z = 2 x - 9 . Ora dobbiamo esprimere x in termini di z:

z 2 \u003d 2 x - 9 ⇒ x \u003d z 2 + 9 2 ⇒ d x \u003d d z 2 + 9 2 \u003d z 2 + 9 2 "d z \u003d 1 2 z d z \u003d z d z

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9

Prendiamo la tabella delle antiderivate e scopriamo che 2 ∫ d z z 2 + 9 = 2 3 a r c t g z 3 + C .

Ora dobbiamo tornare alla variabile x e ottenere la risposta:

2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C

Risposta:∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Se dobbiamo integrare funzioni con un'irrazionalità della forma x m (a + b x n) p , dove i valori di m , n , p sono numeri razionali, allora è importante comporre correttamente un'espressione per introdurre una nuova variabile. Maggiori informazioni su questo nell'articolo sull'integrazione funzioni irrazionali.

Come abbiamo detto sopra, il metodo di sostituzione è comodo da usare quando è necessario integrare funzione trigonometrica. Ad esempio, usando una sostituzione universale, puoi portare un'espressione in una forma frazionata razionale.

Questo metodo spiega la regola di integrazione ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C .

Aggiungiamo un'altra variabile z = k · x + b . Otteniamo quanto segue:

x = z k - b k ⇒ d x = d z k - b k = z k - b k "d z = d z k

Ora prendiamo le espressioni risultanti e le aggiungiamo all'integrale dato nella condizione:

∫ f (k x + b) d x = ∫ f (z) d z k = 1 k ∫ f (z) d z = = 1 k F z + C 1 = F (z) k + C 1 k

Se prendiamo C 1 k = C e torniamo alla variabile originale x , otteniamo:

F (z) k + C 1 k = 1 k F k x + b + C

Il metodo della somma sotto il segno del differenziale

Questo metodo si basa sulla trasformazione dell'integrando in una funzione della forma f (g (x)) d (g (x)) . Successivamente, eseguiamo una sostituzione, introducendo una nuova variabile z = g (x) , troviamo la sua antiderivata e torniamo alla variabile originale.

∫ f(g(x)) d(g(x)) = g(x) = z = ∫ f(z) d(z) == F(z) + C = z = g(x) = F( g(x)) + C

Per risolvere i problemi più velocemente usando questo metodo, tieni a portata di mano una tabella di derivate sotto forma di differenziali e una tabella di antiderivate per trovare l'espressione a cui verrà ridotto l'integrando.

Analizziamo il problema in cui è necessario calcolare l'insieme delle antiderivate della funzione cotangente.

Esempio 3

Calcola l'integrale indefinito ∫ c t g x d x .

Soluzione

Trasformiamo l'espressione originale sotto l'integrale usando le formule trigonometriche di base.

c t g x d x = cos s d x sin x

Osserviamo la tabella delle derivate e vediamo che il numeratore può essere portato sotto il segno del differenziale cos x d x = d (sin x), che significa:

c t g x d x \u003d cos x d x sin x \u003d d sin x sin x, cioè ∫ c t g x d x = ∫ d peccato x peccato x .

Assumiamo che sin x = z , nel qual caso ∫ d sin x sin x = ∫ d z z . Secondo la tabella delle antiderivate, ∫ d z z = ln z + C . Ora torniamo alla variabile originale ∫ d z z = ln z + C = ln sin x + C .

L'intera soluzione può essere scritta in forma breve come segue:

∫ c t g x d x = ∫ cos x d x sin x = ∫ d sin x sin x = s io n x = t = = ∫ d t t = ln t + C = t = sin x = ln sin x + C

Risposta: ∫ con t g x d x = ln sin x + C

Il metodo del segno differenziale è molto spesso utilizzato nella pratica, quindi ti consigliamo di leggere un articolo separato ad esso dedicato.

Metodo di integrazione per parti

Questo metodo si basa sulla trasformazione dell'integrando in un prodotto della forma f (x) dx = u (x) v "xdx = u (x) d (v (x)) , dopo di che la formula ∫ u (x) d ( v (x)) \u003d u (x) v (x) - ∫ v (x) du (x) Questo è un metodo di soluzione molto conveniente e comune. A volte l'integrazione parziale in un problema deve essere applicata più volte prima di ottenere il risultato desiderato.

Analizziamo il problema in cui è necessario calcolare l'insieme delle antiderivate dell'arcotangente.

Esempio 4

Calcola l'integrale indefinito ∫ a r c t g (2 x) d x .

Soluzione

Diciamo che u (x) = a r c t g (2 x) , d (v (x)) = d x , in questo caso:

d (u (x)) = u "(x) d x = a r c t g (2 x) " d x = 2 d x 1 + 4 x 2 v (x) = ∫ d (v (x)) = ∫ d x = x

Quando calcoliamo il valore della funzione v (x) , non dovremmo aggiungere una costante arbitraria C.

∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2

L'integrale risultante viene calcolato utilizzando il metodo della somma sotto il segno differenziale.

Poiché ∫ arctan (2 x) dx = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = x arctan (2 x) - ∫ 2 xdx 1 + 4 x 2, allora 2 xdx = 1 4 d (1 + 4 x 2) .

∫ arctg (2 x) dx = x arctg (2 x) - ∫ 2 xdx 1 + 4 x 2 = = x arctg (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C 1 = = x arctg (2 x ) - 1 4 ceppo 1 + 4 x 2 + C

Risposta:∫ a r c t g (2 x) d x = x a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C .

La principale difficoltà nell'applicazione di tale metodo è la necessità di scegliere quale parte prendere per il differenziale e quale parte per la funzione u (x) . Nell'articolo sul metodo di integrazione per parti, vengono forniti alcuni consigli su questo argomento, che dovresti leggere.

Se dobbiamo trovare l'insieme delle antiderivate di una funzione frazionata razionale, dobbiamo prima rappresentare l'integrando come somma di frazioni semplici, quindi integrare le frazioni risultanti. Vedere l'articolo sull'integrazione di frazioni semplici per maggiori dettagli.

Se integriamo un'espressione di potenza della forma sin 7 x d x o d x (x 2 + a 2) 8 , ci saranno utili formule ricorsive che possono abbassare gradualmente il grado. Sono derivati ​​utilizzando successive integrazioni multiple per parti. Ti consigliamo di leggere l'articolo “Integrazione con formule ricorrenti.

Riassumiamo. Per risolvere i problemi, è molto importante conoscere il metodo di integrazione diretta. Altri metodi (riportare sotto il segno differenziale, sostituzione, integrazione per parti) consentono anche di semplificare l'integrale e portarlo in forma tabellare.

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