Piano:

1. Integrazione delle frazioni razionali più semplici.
2. Integrazione di alcune funzioni irrazionali.
3. Sostituzione trigonometrica universale.

1. Integrazione di semplici frazioni razionali

Ricordiamo che una funzione del modulo P (x) \u003d a o x p + a 1 x p-1 + a 2 x p-2 + ... + a p-1 x p + a p, dove , a o, a 1 ... a p - si chiama coefficienti costanti polinomio o funzione razionale . Numero P chiamata grado polinomiale .

Funzione frazionario-razionaleè chiamata funzione uguale al rapporto di due polinomi, cioè .

Considera alcuni semplici integrali di funzioni razionali frazionarie:

1.1. Trovare gli integrali della forma (A - cost) useremo gli integrali di alcuni funzioni complesse: = .

Esempio 20.1. Trova l'integrale.

Soluzione. Usiamo la formula sopra = . Otteniamo che = .

1.2. Trovare gli integrali della forma (A - cost) applicheremo il metodo di selezione al denominatore del quadrato pieno. L'integrale originale come risultato delle trasformazioni sarà ridotto a uno dei due integrali di tabella: o .

Consideriamo il calcolo di tali integrali usando un esempio specifico.

Esempio 20.2. Trova l'integrale.

Soluzione. Proviamo a selezionare un quadrato intero al denominatore, ad es. inventare una formula (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 .

Per questo 4 X rappresentare come un doppio prodotto 2∙2∙ X. Pertanto, all'espressione X 2 + 4X per ottenere un quadrato intero, aggiungi il quadrato del numero due, cioè 4: X 2 + 4x + 4 = (x + 2) 2 . x + 2) 2 sottrai 4. Otteniamo la seguente catena di trasformazioni:

x + 2 = e, poi . Sostituire e e dx nell'integrale risultante: = = . Usiamo l'integrale di tabella: , dove ma= 3. Otteniamo che = . Sostituisci invece di e espressione x+ 2:

Risposta: = .

1.3. Trovare gli integrali della forma (M, N - cost) applicheremo quanto segue algoritmo :

1. Seleziona un quadrato intero al denominatore.

2. L'espressione tra parentesi sarà indicata da una nuova variabile T. Cerchiamo X, dx e metterli insieme T nell'integrale originale (otteniamo un integrale contenente solo la variabile T).

3. Dividiamo l'integrale risultante nella somma di due integrali, ciascuno dei quali calcoliamo separatamente: un integrale è risolto con il metodo di sostituzione, il secondo è ridotto a una delle formule o .

Esempio 20.3. Trova l'integrale.

Soluzione. 1. Proviamo a selezionare un quadrato intero al denominatore . Per questo 6 X rappresentare come un doppio prodotto 2∙3∙ X. Poi all'espressione X 2 - 6X va aggiunto il quadrato del numero tre, cioè numero 9: X 2 – 6X + 9 = (X - 3) 2 . Ma affinché l'espressione al denominatore non cambi, è necessario da ( X- 3) 2 sottrarre 9. Otteniamo una catena di trasformazioni:

2. Introduciamo la seguente sostituzione: lett x-3=T(significa , X=t+ 3), quindi. Sostituire t, x, dx nell'integrale:

3. Rappresentiamo l'integrale risultante come la somma di due integrali:

Li troveremo separatamente.

3.1 Il primo integrale è calcolato con il metodo della sostituzione. Indichiamo il denominatore della frazione, quindi . Da qui. Sostituire e e dt nell'integrale e portalo nella forma: = = = ln|u|+C= =ln|t 2+16|+C. Resta da tornare alla variabile X. Da allora ln|t2+16| + C \u003d ln | x 2 - 6X+25|+C.

3.2 Il secondo integrale si calcola con la formula: (dove a= 4). Allora = = .

3.3 L'integrale originale è uguale alla somma degli integrali dei paragrafi 3.1 e 3.2: = ln | x 2 - 6X+25|+ .

Risposta: =ln | x 2 - 6X+25|+ .

I metodi per l'integrazione di altre funzioni razionali sono trattati nel corso completo analisi matematica(vedi, ad esempio, Dispense scritte di D.T. su matematica superiore, parte 1 - M.: Iris-press, 2006.).

1. Integrazione di alcune funzioni irrazionali.

Si consideri la ricerca di integrali indefiniti di i seguenti tipi funzioni irrazionali: e ( a, b, c sono cost). Per trovarli, utilizzeremo il metodo di selezione di un quadrato completo in un'espressione irrazionale. Allora gli integrali considerati possono essere ridotti alle seguenti forme: ,

Analizziamo la ricerca degli integrali di alcune funzioni irrazionali utilizzando esempi specifici.

Esempio 20.4. Trova l'integrale.

Soluzione. Proviamo a selezionare un quadrato intero al denominatore . Per questo 2 X rappresentare come un doppio prodotto 2∙1∙ X. Poi all'espressione X 2 +2X aggiungi il quadrato dell'unità ( X 2 + 2X + 1 = (x + 1) 2) e sottrarre 1. Otteniamo una catena di trasformazioni:

Calcoliamo l'integrale risultante con il metodo di sostituzione. Mettiamo x + 1 = e, poi . Sostituire e, dx , dove ma= 4. Lo capiamo . Sostituisci invece di e espressione x+ 1:

Risposta: = .

Esempio 20.5. Trova l'integrale.

Soluzione. Proviamo a selezionare un quadrato completo sotto il segno della radice . Per questo 8 X rappresentare come un doppio prodotto 2∙4∙ X. Poi all'espressione X 2 -8X aggiungi un quadrato di quattro ( X 2 - 8X + 16 = (X - 4) 2) e sottrarre. Otteniamo una catena di trasformazioni:

Calcoliamo l'integrale risultante con il metodo di sostituzione. Mettiamo X - 4 = e, poi . Sostituire e, dx nell'integrale risultante: = . Usiamo l'integrale di tabella: , dove ma= 3. Lo capiamo . Sostituisci invece di e espressione X- 4:

Risposta: = .

1. Sostituzione trigonometrica universale.

Se hai bisogno di trovare integrale definito da una funzione che contiene sinx e cosx, che sono correlati solo tramite addizione, sottrazione, moltiplicazione o divisione, puoi utilizzare sostituzione trigonometrica universale .

L'essenza di questa sostituzione è quella sinx e cosx può essere espresso in termini di tangente di un semiangolo come segue: , . Quindi, se introduciamo la sostituzione, allora sinx e cosx sarà espresso attraverso T nel seguente modo: , . Resta da esprimere X attraverso T e trova dx.

Se poi . Cerchiamo dx: = .

Quindi, per applicare la sostituzione universale, basta denotare sinx e cosx attraverso T(le formule sono evidenziate nel riquadro), e dx scrivi come . Di conseguenza, sotto il segno di integrale, si dovrebbe ottenere una funzione razionale, la cui integrazione è stata considerata nel paragrafo 1. Di solito, il metodo di applicazione della sostituzione universale è molto macchinoso, ma porta sempre a un risultato.

Si consideri un esempio di applicazione della sostituzione trigonometrica universale.

Esempio 20.6. Trova l'integrale.

Soluzione. Applicare la sostituzione universale , quindi , , dx=. Pertanto, = = = = = ., allora sono presi ").

Ci sono molti integrali chiamati " non preso ". Tali integrali non sono espressi in termini di consueto funzioni elementari. Quindi, ad esempio, non si può prendere l'integrale, perché non esiste una funzione elementare la cui derivata sia uguale a . Ma alcuni degli integrali "non presi" sono di grande importanza pratica. Quindi l'integrale è chiamato integrale di Poisson ed è ampiamente utilizzato nella teoria della probabilità.

Ci sono altri importanti integrali "non presi": - logaritmo integrale (usato nella teoria dei numeri) e - integrali di Fresnel (usati in fisica). Per loro sono state compilate tabelle di valori dettagliate per vari valori dell'argomento X.

Domande di prova:

Integrali complessi

Questo articolo completa l'argomento integrali indefiniti, e include integrali che trovo piuttosto complessi. La lezione è stata creata su richiesta ripetuta dei visitatori che hanno espresso il desiderio che gli esempi più difficili vengano analizzati sul sito.

Si presume che il lettore di questo testo sia ben preparato e sappia applicare le tecniche di base dell'integrazione. I manichini e le persone che non hanno molta fiducia negli integrali dovrebbero fare riferimento alla prima lezione - Integrale indefinito. Esempi di soluzioni dove puoi imparare l'argomento quasi da zero. Gli studenti più esperti possono conoscere le tecniche ei metodi di integrazione, che non sono stati ancora incontrati nei miei articoli.

Quali integrali verranno presi in considerazione?

In primo luogo, consideriamo integrali con radici, per la cui soluzione utilizziamo successivamente sostituzione variabile e integrazione per parti. Cioè, in un esempio, due metodi vengono combinati contemporaneamente. E anche di più.

Quindi faremo conoscenza con un interessante e originale metodo per ridurre l'integrale a se stesso. Non così pochi integrali si risolvono in questo modo.

Il terzo numero del programma saranno integrali di frazioni complesse, che negli articoli precedenti hanno sorvolato il registratore di cassa.

In quarto luogo, verranno analizzati integrali aggiuntivi da funzioni trigonometriche. In particolare, ci sono metodi che evitano la sostituzione trigonometrica universale, che richiede molto tempo.

(2) Nell'integrando, dividiamo il numeratore per il denominatore termine per termine.

(3) Usiamo la proprietà della linearità dell'integrale indefinito. Nell'ultimo integrale, immediatamente portare la funzione sotto il segno del differenziale.

(4) Prendiamo gli integrali rimanenti. Nota che puoi usare parentesi nel logaritmo e non nel modulo, perché .

(5) Si effettua la sostituzione inversa, esprimendo dalla sostituzione diretta "te":

Gli studenti masochisti possono differenziare la risposta e ottenere l'integrando originale, come ho appena fatto. No, no, ho fatto il controllo nel senso giusto =)

Come puoi vedere, nel corso della soluzione, è stato necessario utilizzare anche più di due metodi di soluzione, quindi per affrontare tali integrali, sono necessarie capacità di integrazione sicure e non ultima esperienza.

In pratica, ovviamente, la radice quadrata è più comune, ecco tre esempi per una soluzione indipendente:

Esempio 2

Trova l'integrale indefinito

Esempio 3

Trova l'integrale indefinito

Esempio 4

Trova l'integrale indefinito

Questi esempi sono dello stesso tipo, quindi la soluzione completa alla fine dell'articolo sarà solo per l'Esempio 2, negli Esempi 3-4 - una risposta. Quale sostituto usare all'inizio delle decisioni, penso, è ovvio. Perché ho scelto lo stesso tipo di esempi? Spesso si trovano nei loro ruoli. Più spesso, forse, solo qualcosa del genere .

Ma non sempre, quando sotto l'arcotangente, seno, coseno, esponente e altre funzioni c'è una radice di funzione lineare, è necessario applicare più metodi contemporaneamente. In un certo numero di casi è possibile “scendere facile”, cioè subito dopo la sostituzione si ottiene un integrale semplice, che viene preso in modo elementare. Il più semplice dei compiti sopra proposti è l'Esempio 4, in cui, dopo la sostituzione, si ottiene un integrale relativamente semplice.

Il metodo per ridurre l'integrale a se stesso

Metodo intelligente e bello. Diamo un'occhiata ai classici del genere:

Esempio 5

Trova l'integrale indefinito

C'è un binomio quadrato sotto la radice, e quando si cerca di integrare questo esempio, la teiera può soffrire per ore. Un tale integrale è preso per parti e si riduce a se stesso. In linea di principio, non è difficile. Se sai come.

Indichiamo l'integrale considerato con una lettera latina e iniziamo la soluzione:

Integrazione per parti:

(1) Prepariamo l'integrando per la divisione termine per termine.

(2) Dividiamo l'integrando termine per termine. Forse non tutti capiscono, scriverò più in dettaglio:

(3) Usiamo la proprietà della linearità dell'integrale indefinito.

(4) Prendiamo l'ultimo integrale (logaritmo "lungo").

Ora diamo un'occhiata all'inizio della soluzione:

E per il finale:

Quello che è successo? Come risultato delle nostre manipolazioni, l'integrale si è ridotto a se stesso!

Unisci l'inizio e la fine:

Ci spostiamo sul lato sinistro con cambio di segno:

E demoliamo il due sul lato destro. Di conseguenza:

La costante, a rigor di termini, avrebbe dovuto essere aggiunta prima, ma l'ho aggiunta alla fine. Consiglio vivamente di leggere qual è la gravità qui:

Nota: Più rigorosamente, la fase finale della soluzione si presenta così:

In questo modo:

La costante può essere rinominata con . Perché puoi rinominare? Perché ci vuole ancora qualunque valori, e in questo senso non c'è differenza tra costanti e.
Di conseguenza:

Un trucco simile con ridenominazione costante è ampiamente utilizzato in equazioni differenziali. E lì sarò severo. E qui tali libertà sono concesse da me solo per non confonderti con cose inutili e concentrarti sul metodo di integrazione stesso.

Esempio 6

Trova l'integrale indefinito

Un altro tipico integrale per soluzione indipendente. Soluzione completa e la risposta alla fine della lezione. La differenza con la risposta dell'esempio precedente sarà!

Se sotto radice quadrata si trova un trinomio quadrato, quindi la soluzione si riduce comunque ai due esempi analizzati.

Consideriamo ad esempio l'integrale . Tutto quello che devi fare è in anticipo seleziona un quadrato intero:
.
Successivamente viene effettuata una sostituzione lineare, che gestisce "senza alcuna conseguenza":
, risultando in un integrale . Qualcosa di familiare, giusto?

O questo esempio, con un binomio quadrato:
Selezione di un quadrato intero:
E, dopo una sostituzione lineare, otteniamo l'integrale, che viene risolto anche dall'algoritmo già considerato.

Considera altri due esempi tipici di come ridurre un integrale a se stesso:
è l'integrale dell'esponente moltiplicato per il seno;
è l'integrale dell'esponente moltiplicato per il coseno.

Negli integrali per parti elencati, dovrai già integrare due volte:

Esempio 7

Trova l'integrale indefinito

L'integrando è l'esponente moltiplicato per il seno.

Integriamo per parti due volte e riduciamo l'integrale a se stesso:

Come risultato della doppia integrazione per parti, l'integrale si riduce a se stesso. Uguaglia l'inizio e la fine della soluzione:

Ci spostiamo sul lato sinistro con un cambio di segno ed esprimiamo il nostro integrale:

Pronto. Lungo la strada, è desiderabile pettinare il lato destro, ad es. togli l'esponente tra parentesi e metti seno e coseno tra parentesi in un ordine "bello".

Ora torniamo all'inizio dell'esempio, o meglio, all'integrazione per parti:

Perché abbiamo designato l'espositore. Sorge la domanda, è l'esponente che dovrebbe essere sempre indicato con ? Non necessario. Infatti, nell'integrale considerato fondamentalmente non importa, cosa denotare, si potrebbe andare dall'altra parte:

Perché è possibile? Poiché l'esponente si trasforma in se stesso (durante la differenziazione e l'integrazione), il seno e il coseno si trasformano reciprocamente l'uno nell'altro (di nuovo, sia durante la differenziazione che l'integrazione).

Cioè, si può denotare anche la funzione trigonometrica. Ma, nell'esempio considerato, questo è meno razionale, poiché appariranno le frazioni. Se lo desideri, puoi provare a risolvere questo esempio nel secondo modo, le risposte devono essere le stesse.

Esempio 8

Trova l'integrale indefinito

Questo è un esempio fai da te. Prima di decidere, pensa a cosa è più redditizio in questo caso designare, funzione esponenziale o trigonometrica? Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

E, naturalmente, non dimenticare che la maggior parte delle risposte in questa lezione è abbastanza facile da controllare per differenziazione!

Gli esempi sono stati considerati non i più difficili. In pratica sono più comuni gli integrali, dove la costante è sia nell'esponente che nell'argomento della funzione trigonometrica, ad esempio: . Molte persone dovranno confondersi in un tale integrale, e io stesso spesso mi confondo. Il fatto è che nella soluzione c'è un'alta probabilità della comparsa di frazioni ed è molto facile perdere qualcosa a causa della disattenzione. Inoltre, c'è un'alta probabilità di errore nei segni, si noti che c'è un segno meno nell'esponente e questo introduce ulteriori difficoltà.

Nella fase finale, spesso risulta qualcosa del genere:

Anche alla fine della soluzione, dovresti essere estremamente attento e gestire correttamente le frazioni:

Integrazione di frazioni complesse

Ci stiamo avvicinando lentamente all'equatore della lezione e iniziamo a considerare gli integrali delle frazioni. Ancora una volta, non tutti sono super complessi, solo per un motivo o per l'altro, gli esempi erano un po' "fuori tema" in altri articoli.

Continuando il tema delle radici

Esempio 9

Trova l'integrale indefinito

Nel denominatore sotto la radice c'è un trinomio quadrato più al di fuori della radice "appendice" nella forma di "X". Un integrale di questa forma viene risolto usando una sostituzione standard.

Noi decidiamo:

La sostituzione qui è semplice:

Guardare la vita dopo la sostituzione:

(1) Dopo la sostituzione, riduciamo i termini sotto la radice a un denominatore comune.
(2) Lo estraiamo da sotto la radice.
(3) Riduciamo numeratore e denominatore di . Allo stesso tempo, sotto la radice, ho riorganizzato i termini in un ordine conveniente. Con una certa esperienza, i passaggi (1), (2) possono essere saltati eseguendo oralmente le azioni commentate.
(4) L'integrale risultante, come ricorderete dalla lezione Integrazione di alcune frazioni, è risolto metodo di selezione del quadrato completo. Seleziona un quadrato intero.
(5) Per integrazione, otteniamo un logaritmo "lungo" ordinario.
(6) Eseguiamo la sostituzione inversa. Se inizialmente , poi indietro: .
(7) L'azione finale è volta a pettinare il risultato: sotto la radice, portiamo nuovamente i termini a un denominatore comune e li togliamo da sotto la radice.

Esempio 10

Trova l'integrale indefinito

Questo è un esempio fai da te. Qui, una costante viene aggiunta alla x solitaria e la sostituzione è quasi la stessa:

L'unica cosa che deve essere fatta in aggiunta è esprimere la "x" dalla sostituzione:

Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

A volte in un tale integrale può esserci un binomio quadrato sotto la radice, questo non cambia il modo in cui la soluzione viene risolta, sarà ancora più semplice. Senti la differenza:

Esempio 11

Trova l'integrale indefinito

Esempio 12

Trova l'integrale indefinito

Brevi soluzioni e risposte alla fine della lezione. Va notato che l'Esempio 11 è esattamente integrale binomiale, il cui metodo risolutivo è stato considerato nella lezione Integrali di funzioni irrazionali.

Integrale di un polinomio inscomponibile dal 2° grado al grado

(polinomio al denominatore)

Una forma più rara, ma, tuttavia, che si verifica in esempi pratici dell'integrale.

Esempio 13

Trova l'integrale indefinito

Ma torniamo all'esempio con il numero fortunato 13 (sinceramente non indovinavo). Anche questo integrale appartiene alla categoria di quelli con cui puoi praticamente soffrire se non sai come risolvere.

La soluzione inizia con una trasformazione artificiale:

Penso che tutti abbiano già capito come dividere il numeratore per il denominatore termine per termine.

L'integrale risultante è preso in parti:

Per un integrale della forma ( – numero naturale) derivato ricorrente formula di declassamento:
, dove è un integrale di grado inferiore.

Verifichiamo la validità di questa formula per l'integrale risolto.
In questo caso: , , utilizziamo la formula:

Come puoi vedere, le risposte sono le stesse.

Esempio 14

Trova l'integrale indefinito

Questo è un esempio fai da te. La soluzione campione utilizza la formula precedente due volte in successione.

Se sotto la laurea è inscomponibile trinomio quadrato, quindi la soluzione viene ridotta a binomio estraendo il quadrato pieno, ad esempio:

Cosa succede se c'è un polinomio aggiuntivo nel numeratore? In questo caso, viene utilizzato il metodo dei coefficienti indeterminati e l'integrando viene espanso in una somma di frazioni. Ma nella mia pratica di un tale esempio mai incontrato, quindi ho saltato questo caso nell'articolo Integrali di una funzione frazionario-razionale, lo salterò ora. Se un tale integrale si verifica ancora, consulta il libro di testo: lì è tutto semplice. Non ritengo opportuno inserire materiale (anche semplice), la cui probabilità di incontro tende a zero.

Integrazione di complesse funzioni trigonometriche

L'aggettivo "difficile" per la maggior parte degli esempi è ancora in gran parte condizionale. Cominciamo con tangenti e cotangenti in alti gradi. Dal punto di vista dei metodi usati per risolvere la tangente e la cotangente sono quasi gli stessi, quindi parlerò di più della tangente, nel senso che il metodo dimostrato per risolvere l'integrale vale anche per la cotangente.

Nella lezione sopra, abbiamo esaminato sostituzione trigonometrica universale per risolvere un certo tipo di integrali da funzioni trigonometriche. Lo svantaggio della sostituzione trigonometrica universale è che la sua applicazione porta spesso a integrali ingombranti con calcoli difficili. E in alcuni casi, la sostituzione trigonometrica universale può essere evitata!

Consideriamo un altro esempio canonico, l'integrale di unità diviso per il seno:

Esempio 17

Trova l'integrale indefinito

Qui puoi usare la sostituzione trigonometrica universale e ottenere la risposta, ma c'è un modo più razionale. Fornirò una soluzione completa con commenti per ogni passaggio:

(1) Usiamo la formula trigonometrica per il seno di un doppio angolo.
(2) Eseguiamo una trasformazione artificiale: Al denominatore dividiamo e moltiplichiamo per .
(3) Secondo la nota formula al denominatore, trasformiamo la frazione in una tangente.
(4) Portiamo la funzione sotto il segno del differenziale.
(5) Prendiamo l'integrale.

Un paio di semplici esempi da risolvere da soli:

Esempio 18

Trova l'integrale indefinito

Suggerimento: il primo passo è utilizzare la formula di riduzione ed eseguire con attenzione azioni simili all'esempio precedente.

Esempio 19

Trova l'integrale indefinito

Bene, questo è un esempio molto semplice.

Soluzioni complete e risposte alla fine della lezione.

Penso che ora nessuno avrà problemi con gli integrali:
eccetera.

Qual è l'idea alla base del metodo? L'idea è che con l'aiuto delle trasformazioni, formule trigonometriche organizzare nell'integrando solo le tangenti e la derivata della tangente. Cioè, stiamo parlando di sostituire: . Negli Esempi 17-19, abbiamo effettivamente usato questa sostituzione, ma gli integrali erano così semplici che è stato fatto con un'azione equivalente: portare la funzione sotto il segno differenziale.

Analogo ragionamento, come ho già accennato, può essere svolto per la cotangente.

Esiste anche un prerequisito formale per l'applicazione della sostituzione di cui sopra:

La somma delle potenze di coseno e seno è un numero intero negativo PARI, Per esempio:

per un integrale, un numero EVEN intero negativo.

! Nota : se l'integrando contiene SOLO un seno o SOLO un coseno, allora l'integrale viene preso anche con grado dispari negativo (i casi più semplici sono negli Esempi n. 17, 18).

Considera un paio di attività più significative per questa regola:

Esempio 20

Trova l'integrale indefinito

La somma dei gradi di seno e coseno: 2 - 6 \u003d -4 - un numero intero negativo PARI, il che significa che l'integrale può essere ridotto a tangenti e alla sua derivata:

(1) Trasformiamo il denominatore.
(2) Secondo la ben nota formula, otteniamo .
(3) Trasformiamo il denominatore.
(4) Usiamo la formula .
(5) Portiamo la funzione sotto il segno differenziale.
(6) Eseguiamo la sostituzione. Gli studenti più esperti potrebbero non eseguire la sostituzione, ma è comunque meglio sostituire la tangente con una lettera - c'è meno rischio di confusione.

Esempio 21

Trova l'integrale indefinito

Questo è un esempio fai da te.

Aspetta, iniziano i turni di campionato =)

Spesso nell'integrando c'è un "miscuglio":

Esempio 22

Trova l'integrale indefinito

Questo integrale contiene inizialmente una tangente, che porta immediatamente a un pensiero familiare:

Lascerò la trasformazione artificiale proprio all'inizio e il resto dei passaggi senza commenti, poiché tutto è già stato detto sopra.

Un paio di esempi creativi per una soluzione indipendente:

Esempio 23

Trova l'integrale indefinito

Esempio 24

Trova l'integrale indefinito

Sì, in essi, ovviamente, puoi abbassare i gradi del seno, del coseno, usare la sostituzione trigonometrica universale, ma la soluzione sarà molto più efficiente e più breve se viene disegnata attraverso le tangenti. Soluzione completa e risposte alla fine della lezione

La classe delle funzioni irrazionali è molto ampia, quindi semplicemente non può esserci un modo universale per integrarle. In questo articolo cercheremo di identificare i tipi più caratteristici di integrandi irrazionali e di metterli in corrispondenza del metodo di integrazione.

Ci sono casi in cui è opportuno utilizzare il metodo della sussunzione sotto il segno differenziale. Ad esempio, quando si trovano integrali indefiniti della forma, dove Pè una frazione razionale.

Esempio.

Trova l'integrale indefinito .

Soluzione.

Non è difficile vederlo. Pertanto, sommiamo sotto il segno differenziale e utilizziamo la tabella delle antiderivate:

Risposta:

.

13. Sostituzione lineare frazionaria

Gli integrali del tipo in cui a, b, c, d sono numeri reali, a, b, ..., d, g sono numeri naturali, sono ridotti a integrali di una funzione razionale per sostituzione dove K è il minimo comune multiplo del denominatori di frazioni

Infatti, dalla sostituzione risulta che

cioè x e dx sono espressi in termini di funzioni razionali di t. Inoltre, ogni potenza della frazione è espressa in termini di una funzione razionale di t.

Esempio 33.4. Trova l'integrale

Soluzione: il minimo comune multiplo dei denominatori di 2/3 e 1/2 è 6.

Pertanto, assumiamo x + 2 \u003d t 6, x \u003d t 6 -2, dx \u003d 6t 5 dt, Pertanto,

Esempio 33.5. Specificare una sostituzione per trovare gli integrali:

Soluzione: per I 1 sostituzione x=t 2 , per I 2 sostituzione

14. Sostituzione trigonometrica

Gli integrali di tipo sono ridotti a integrali di funzioni che dipendono razionalmente da funzioni trigonometriche utilizzando le seguenti sostituzioni trigonometriche: x=a sint per il primo integrale; x=a tgt per il secondo integrale; per il terzo integrale.

Esempio 33.6. Trova l'integrale

Soluzione: Sia x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcosin x/2. Quindi

Qui l'integrando è una funzione razionale rispetto a x e Individuando un quadrato pieno sotto il radicale ed effettuando una sostituzione, gli integrali del tipo indicato si riducono a integrali del tipo già considerato, cioè a integrali del tipo Questi integrali possono essere calcolati utilizzando le opportune sostituzioni trigonometriche.

Esempio 33.7. Trova l'integrale

Soluzione: poiché x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5, allora x+1=t, x=t-1, dx=dt. Ecco perché Mettiamo

Nota: tipo integrale è opportuno trovare utilizzando la sostituzione x=1/t.

15. Integrale definito

Sia data una funzione su un segmento e abbia un'antiderivata su di esso. La differenza si chiama integrale definito funzioni sull'intervallo e denota. Così,

La differenza è scritta come, quindi . I numeri sono chiamati limiti di integrazione .

Ad esempio, una delle antiderivate per una funzione. Ecco perché

16 . Se ñ è un numero costante e la funzione ƒ(х) è integrabile su , allora

cioè, il fattore costante c può essere estratto dal segno di un integrale definito.

▼Comporre la somma integrale per la funzione con ƒ(x). Abbiamo:

Allora Ciò implica che la funzione ƒ(x) è integrabile su [a; b] e vale la formula (38.1).▲

2. Se le funzioni ƒ 1 (х) e ƒ 2 (х) sono integrabili su [а;b], allora è integrabile su [а; b] la loro somma u

cioè, l'integrale della somma è uguale alla somma degli integrali.

▼
▲

La proprietà 2 si estende alla somma di un numero finito di termini.

3.

Questa proprietà può essere accettata per definizione. Questa proprietà è confermata anche dalla formula di Newton-Leibniz.

4. Se la funzione ƒ(x) è integrabile su [a; b] e a< с < b, то

cioè, l'integrale sull'intero segmento è uguale alla somma degli integrali sulle parti di questo segmento. Questa proprietà è chiamata additività di un integrale definito (o proprietà di additività).

Quando si divide il segmento [a;b] in parti, includiamo il punto c nel numero di punti di divisione (questo può essere fatto perché il limite della somma integrale è indipendente dal metodo di divisione del segmento [a; b] in parti). Se c \u003d x m, la somma integrale può essere divisa in due somme:

Ciascuna delle somme scritte è integrale, rispettivamente, per i segmenti [a; b], [a; s] e [s; B]. Passando al limite dell'ultima uguaglianza come n → ∞ (λ → 0), otteniamo l'uguaglianza (38.3).

La proprietà 4 è valida per qualsiasi disposizione di punti a, b, c (supponiamo che la funzione ƒ (x) sia integrabile sul più grande dei segmenti risultanti).

Quindi, ad esempio, se a< b < с, то

(vengono utilizzate le proprietà 4 e 3).

5. "Teorema del valore medio". Se la funzione ƒ(x) è continua sul segmento [a; b], allora esiste una linea sottile con є [a; b] tale che

▼Secondo la formula di Newton-Leibniz, abbiamo

dove F "(x) \u003d ƒ (x). Applicando il teorema di Lagrange (teorema sull'incremento finito di una funzione) alla differenza F (b) - F (a), otteniamo

F (b) -F (a) \u003d F "(c) (b-a) \u003d ƒ (c) (b-a). ▲

La proprietà 5 (“teorema del valore medio”) per ƒ (x) ≥ 0 ha un semplice senso geometrico: il valore di un integrale definito è, per qualche c є (a; b), l'area di un rettangolo di altezza ƒ (c) e base b-a (vedi Fig. 170). Numero

è detto valore medio della funzione ƒ(x) sul segmento [a; B].

6. Se la funzione ƒ (x) mantiene il suo segno sul segmento [a; b], dove a< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼Secondo il "teorema medio" (proprietà 5)

dove c є [a; B]. E poiché ƒ(х) ≥ 0 per ogni x О [а; b], quindi

ƒ(ñ)≥0, b-а>0.

Pertanto, ƒ(c) (b-a) ≥ 0, cioè ▲

7. Disuguaglianza tra funzioni continue sull'intervallo [a; b], (a

▼ Poiché ƒ 2 (х)-ƒ 1 (x)≥0, quindi a< b, согласно свойству 6, имеем

Oppure, secondo la proprietà 2,

Si noti che è impossibile differenziare le disuguaglianze.

8. Stima dell'integrale. Se m e M sono rispettivamente i valori più piccolo e più grande della funzione y \u003d ƒ (x) sul segmento [a; b], (a< b), то

▼Poiché per ogni x є [а;b] abbiamo m≤ƒ(х)≤М, allora, secondo la proprietà 7, abbiamo

Applicando la proprietà 5 agli integrali estremi, otteniamo

▲

Se ƒ(x)≥0, allora la proprietà 8 è illustrata geometricamente: l'area di un trapezio curvilineo è racchiusa tra le aree dei rettangoli la cui base è , e le altezze sono pari a m e M (vedi Fig. 171).

9. Il modulo di un integrale definito non supera l'integrale del modulo dell'integrando:

▼Applicando la proprietà 7 alle disuguaglianze evidenti -|ƒ(х)|≤ƒ(х)≤|ƒ(х)|, otteniamo

Quindi ne consegue che

▲

10. La derivata di un integrale definito rispetto al limite superiore della variabile è uguale all'integrando in cui la variabile di integrazione è sostituita da questo limite, cioè

Calcolare l'area di una figura è uno dei problemi più impegnativi nella teoria dell'area. Nel corso di geometria della scuola, abbiamo imparato a trovare le aree delle forme geometriche di base, come un cerchio, un triangolo, un rombo, ecc. Tuttavia, molto più spesso si ha a che fare con il calcolo delle aree di figure più complesse. Quando si risolvono tali problemi, si deve ricorrere al calcolo integrale.

In questo articolo considereremo il problema del calcolo dell'area di un trapezio curvilineo e lo affronteremo in senso geometrico. Questo ci permetterà di scoprire la relazione diretta tra l'integrale definito e l'area di un trapezio curvilineo.

Lascia che la funzione y = f(x) continuo sul segmento e non cambia segno su di esso (cioè non negativo o non positivo). figura G delimitato da linee y = f(x), y = 0, x = a e x = b, chiamata trapezio curvilineo. Indichiamo la sua area S(G).

Affrontiamo il problema del calcolo dell'area di un trapezio curvilineo come segue. Nella sezione delle figure squadrate, abbiamo scoperto che un trapezio curvilineo è una figura squadrata. Se dividiamo il segmento sul n parti con punti e designare , e scegli i punti in modo che a, allora le cifre corrispondenti alle somme Darboux inferiore e superiore possono essere considerate in entrata P e abbracciando Q forme poligonali per G.

Pertanto, e con un aumento del numero di punti di partizione n, arriviamo alla disuguaglianza , dove è un numero positivo arbitrariamente piccolo, e S e S sono le somme Darboux inferiore e superiore per una data partizione del segmento . In un'altra voce . Pertanto, rivolgendoci al concetto di integrale di Darboux definito, otteniamo .

L'ultima uguaglianza significa che l'integrale definito per una funzione continua e non negativa y = f(x) rappresenta in senso geometrico l'area del corrispondente trapezio curvilineo. Questo è ciò che consiste significato geometrico dell'integrale definito.

Cioè, calcolando l'integrale definito, troveremo l'area della figura delimitata da linee y = f(x), y = 0, x = a e x = b.

Commento.

Se la funzione y = f(x) non positivo sul segmento , quindi l'area del trapezio curvilineo può essere trovata come .

Esempio.

Calcola l'area di una figura delimitata da linee .

Soluzione.

Costruiamo una figura su un piano: una linea retta y=0 coincide con l'asse delle ascisse, linee rette x=-2 e x=3 sono parallele all'asse y e la curva può essere costruita utilizzando trasformazioni geometriche del grafico della funzione.

Pertanto, dobbiamo trovare l'area del trapezio curvilineo. Il significato geometrico dell'integrale definito ci indica che l'area desiderata è espressa da un integrale definito. Di conseguenza, . Questo integrale definito può essere calcolato usando la formula di Newton-Leibniz.

In questa sezione considereremo un metodo per integrare le funzioni razionali. 7.1. Brevi informazioni sulle funzioni razionali La funzione razionale più semplice è un polinomio di decimo grado, cioè una funzione della forma dove sono costanti reali, e a0 4 0. Un polinomio Qn(x) il cui coefficiente a0 = 1 si dice ridotto. Un numero reale b è detto radice del polinomio Qn(z) se Q„(b) = 0. È noto che ogni polinomio Qn(x) con coefficienti reali è univocamente scomposto in fattori reali della forma dove p, q sono coefficienti reali e i fattori quadratici non hanno radici reali e, quindi, non possono essere scomposti in fattori lineari reali. Combinando fattori identici (se presenti) e assumendo, per semplicità, il polinomio Qn(x) ridotto, possiamo scriverne la fattorizzazione nella forma in cui sono numeri naturali. Poiché il grado del polinomio Qn(x) è uguale a n, allora la somma di tutti gli esponenti a, /3, ..., A, sommata alla somma raddoppiata di tutti gli esponenti u, ..., q, è uguale a n: La radice a del polinomio è detta semplice o singola , se a = 1, e multipla se a > 1; il numero a è chiamato molteplicità della radice a. Lo stesso vale per altre radici polinomiali. Una funzione razionale f(x) o una frazione razionale è il rapporto di due polinomi e si assume che i polinomi Pm(x) e Qn(x) non abbiano fattori comuni. Una frazione razionale si dice propria se il grado del polinomio al numeratore è minore del grado del polinomio al denominatore, cioè . Se mp, allora la frazione razionale è chiamata frazione impropria, e in questo caso, dividendo il numeratore per il denominatore secondo la regola per la divisione dei polinomi, può essere rappresentata come dove sono alcuni polinomi, e ^^ è una frazione razionale propria . Esempio 1. Una frazione razionale è una frazione impropria. Dividendo per un "angolo", avremo quindi. Qui. e una frazione propria. Definizione. Le frazioni più semplici (o elementari) sono dette frazioni razionali dei seguenti quattro tipi: dove - numeri reali, k è un numero naturale maggiore o uguale a 2, e il trinomio quadrato x2 + px + q non ha radici reali, quindi -2 _2 il suo discriminante In algebra si dimostra il seguente teorema. Teorema 3. Una frazione razionale propria a coefficienti reali il cui denominatore Qn(x) ha la forma è univocamente scomposta in una somma di frazioni semplici secondo la regola Integrazione di funzioni razionali Brevi cenni sulle funzioni razionali Integrazione di frazioni semplici Caso generale Integrazione di irrazionale funzioni Prima sostituzione di Eulero Seconda sostituzione di Eulero Terza sostituzione di Eulero In questa espansione, alcune costanti reali, alcune delle quali possono essere pari a zero. Per trovare queste costanti, il lato destro dell'uguaglianza (I) viene ridotto a un denominatore comune, quindi vengono eguagliati i coefficienti alle stesse potenze di x nei numeratori dei lati sinistro e destro. Questo dà il sistema equazioni lineari, da cui si trovano le costanti desiderate. . Questo metodo per trovare costanti sconosciute è chiamato metodo dei coefficienti indeterminati. A volte è più conveniente applicare un altro modo per trovare costanti sconosciute, che consiste nel fatto che, dopo aver eguagliato i numeratori, si ottiene un'identità per x, in cui all'argomento x vengono dati dei valori, ad esempio i valori ​​delle radici, risultando in equazioni per trovare le costanti. È particolarmente conveniente se il denominatore Q„(x) ha solo radici semplici reali. Esempio 2. Scomponi una frazione razionale in frazioni semplici Questa frazione è regolare. Scomponiamo il denominatore in fattori: Poiché le radici del denominatore sono reali e diverse, quindi, in base alla formula (1), la scomposizione di una frazione in più semplici avrà la forma Guidare il giusto onore di "quell'uguaglianza a un comune denominatore ed eguagliando i numeratori e le sue parti sinistra e destra, otteniamo l'identità o coefficiente di Sconosciuto A. 2?, C lo troviamo in due modi. Primo modo. Uguagliando i coefficienti alle stesse potenze di x, t.v. con (termine libero) e le parti sinistra e destra sono identiche, otteniamo sistema lineare equazioni per trovare coefficienti sconosciuti A, B, C: Questo sistema ha una soluzione unica C Il secondo modo. Poiché le radici del denominatore sono strappate svv in i 0, otteniamo 2 \u003d 2A, da dove A * 1; g i 1, otteniamo -1 * -B, da dove 5 * 1; x i 2, otteniamo 2 = 2C. donde C» 1, e l'espansione desiderata ha la forma Il denominatore ha due diverse radici doppie: x\ \u003d 0 con una molteplicità di molteplicità 3. Pertanto, l'espansione di questa frazione non semplice ha la forma Riducendo il lato destro a un denominatore comune, troviamo o Il primo metodo. Uguagliando i coefficienti alle stesse potenze di x nelle parti sinistra e destra dell'ultima identità. otteniamo un sistema lineare di equazioni.Questo sistema ha una soluzione unica e l'espansione desiderata sarà il secondo metodo. Nell'identità risultante, ponendo x = 0, otteniamo 1 a A2, o A2 = 1; campo * gay x = -1, otteniamo -3 i B), o Bj i -3. Quando si sostituiscono i valori trovati dei coefficienti A\ e B) e l'identità assumerà la forma o Putting x = 0, e quindi x = -I. troviamo che = 0, B2 = 0 e. quindi, B\ \u003d 0. Quindi, otteniamo di nuovo l'Esempio 4. Espandi la frazione razionale 4 in frazioni semplici Il denominatore della frazione non ha radici reali, poiché la funzione x2 + 1 non svanisce per nessun valore reale di x. Pertanto, l'espansione in frazioni semplici dovrebbe avere la forma Da qui otteniamo o. Uguagliando i coefficienti alle potenze di Schinack di x nelle parti sinistra e destra dell'ultima uguaglianza, avremo da dove troviamo e, quindi, si noti che in alcuni casi si possono ottenere espansioni in frazioni semplici più velocemente e facilmente, agendo in in altro modo, senza utilizzare il metodo dei coefficienti indefiniti. Ad esempio, per ottenere l'espansione della frazione nell'esempio 3, è possibile sommare e sottrarre al numeratore 3x2 ed eseguire la divisione, come indicato di seguito. 7.2. Integrazione di frazioni semplici Come accennato in precedenza, qualsiasi frazione razionale impropria può essere rappresentata come la somma di un polinomio e di una frazione razionale propria (§7), e questa rappresentazione è unica. L'integrazione di un polinomio non è difficile, quindi considera la questione dell'integrazione di una frazione razionale propria. Poiché qualsiasi frazione razionale propria può essere rappresentata come somma di frazioni semplici, la sua integrazione si riduce a integrare frazioni semplici. Consideriamo ora la questione della loro integrazione. III. Per trovare l'integrale della frazione più semplice del terzo tipo, selezioniamo y trinomio quadrato quadrato pieno del binomio: Poiché il secondo termine è allora lo poniamo uguale ad a2, dove e poi facciamo una sostituzione. Poi, considerando proprietà lineari integrale, troviamo: Esempio 5. Trovare l'integrale 4 L'integrando è la frazione più semplice del terzo tipo, poiché il trinomio quadrato x1 + Ax + 6 non ha radici reali (il suo discriminante è negativo: , e il numeratore è un polinomio di il primo grado, quindi procediamo come segue: 1) selezioniamo il quadrato pieno al denominatore 2) facciamo una sostituzione (qui 3) su * un integrale Per trovare l'integrale della frazione più semplice del quarto tipo, poniamo , come sopra, . Quindi otteniamo l'Integrale a destra, indicato con A e lo trasformiamo come segue: Integriamo l'integrale a destra per parti, impostando da dove o Integrazione di funzioni razionali Brevi informazioni sulle funzioni razionali Integrazione di frazioni semplici Caso generale Integrazione di funzioni irrazionali Prima sostituzione Eulero Seconda sostituzione Eulero Terza sostituzione Eulero Abbiamo ottenuto la cosiddetta formula ricorrente, che ci permette di trovare l'integrale Jk per ogni k = 2, 3,... . Infatti, l'integrale J\ è tabulare: supponendo nella formula ricorsiva, troviamo Conoscere e assumendo A = 3, troviamo facilmente Jj, e così via. Nel risultato finale, sostituendo ovunque al posto di t e a le loro espressioni in termini di x e dei coefficienti p e q, otteniamo per l'integrale iniziale un'espressione per esso in termini di x e dei numeri dati M, LG, p, q . Esempio 8. Trova l'integrale ciò significa che il denominatore non ha radici reali e il numeratore è un polinomio di 1° grado. 1) Selezioniamo un quadrato pieno al denominatore 2) Facciamo una sostituzione: L'integrale assumerà la forma: Inserendo la formula ricorsiva * = 2, a3 = 1. avremo e, quindi, l'integrale desiderato è uguale Tornando alla variabile x, otteniamo infine 7.3. Caso generale Dai risultati delle Sez. 1 e 2 di questa sezione segue immediatamente un importante teorema. Teorema! 4. Un integrale indefinito di ogni funzione razionale esiste sempre (su intervalli in cui il denominatore della frazione Q„(x) φ 0) ed è espresso in termini di un numero finito di funzioni elementari, cioè è una somma algebrica. , frazioni razionali, logaritmi naturali e arcotangenti. Quindi, per trovare l'integrale indefinito di una funzione frazionario-razionale, si dovrebbe procedere nel modo seguente: 1) se la frazione razionale non è corretta, si separa la parte intera dividendo il numeratore per il denominatore, cioè data funzione rappresentato come somma di un polinomio e di una frazione razionale propria; 2) si scompone quindi il denominatore della frazione propria ottenuta nel prodotto di fattori lineari e quadratici; 3) questa frazione propria si decompone nella somma di frazioni semplici; 4) utilizzando la linearità dell'integrale e la formula del punto 2, troviamo gli integrali di ciascun termine separatamente. Esempio 7. Trova l'integrale M Poiché il denominatore è un polinomio di terzo grado, l'integrando è una frazione impropria. Individuiamo l'intera parte in esso: Pertanto, avremo. Il denominatore di una frazione propria ha phi diverse radici reali: e quindi la sua scomposizione in frazioni semplici ha la forma Da qui troviamo. Dando all'argomento x valori ​​uguali alle radici del denominatore, troviamo da questa identità che: Pertanto, l'integrale desiderato sarà uguale all'Esempio 8. Trova l'integrale 1 di molteplicità 3, quindi l'espansione della integrando in frazioni semplici ha la forma Portando il lato destro di questa uguaglianza a un denominatore comune e riducendo entrambi i lati dell'uguaglianza per questo denominatore, otteniamo o. Identifichiamo i coefficienti alle stesse potenze di x nelle parti sinistra e destra di questa identità: Da qui troviamo. Sostituendo i valori trovati dei coefficienti nell'espansione, avremo Integrazione, troviamo: Esempio 9. Trova l'integrale 4 Il denominatore della frazione non ha radici reali. Pertanto, l'espansione in frazioni più semplici dell'integrando ha la forma Quindi o Equando i coefficienti alle stesse potenze di x nelle parti sinistra e destra di questa identità, avremo da dove troviamo e, quindi, Osservazione. Nell'esempio sopra, l'integrando può essere rappresentato come una somma di frazioni più semplici in modo semplice , cioè al numeratore della frazione selezioniamo il bin al denominatore, e quindi eseguiamo la divisione per termine: §8. Integrazione di funzioni irrazionali Una funzione della forma in cui Pm e u2 sono polinomi di tipo gradi, rispettivamente, nelle variabili u1,2,... è chiamata funzione razionale in ubu2j... costanti reali, ed Esempio 1, La funzione è una funzione razionale delle variabili r e y, poiché rappresenta sia il rapporto tra un polinomio di terzo grado che un polinomio di quinto grado, e la funzione di tasso non lo è. Nel caso in cui le variabili, a loro volta, siano funzioni della variabile x: allora la funzione ] è chiamata funzione razionale delle funzioni dell'Esempio. Una funzione è una funzione razionale di r e rvdikvl Pr 3. Una funzione della forma non è una funzione razionale di x e del radicale y/r1 + 1, ma è una funzione razionale di funzioni Come mostrano gli esempi, integrali di irrazionale le funzioni non sono sempre espresse in termini di funzioni elementari. Ad esempio, gli integrali spesso incontrati nelle applicazioni non sono espressi in termini di funzioni elementari; questi integrali sono detti integrali ellittici rispettivamente di primo e secondo tipo. Consideriamo quei casi in cui l'integrazione di funzioni irrazionali può essere ridotta con l'aiuto di alcune sostituzioni all'integrazione di funzioni razionali. 1. Sia richiesto di trovare l'integrale dove R(x, y) è una funzione razionale dei suoi argomenti xey; m £ 2 è un numero naturale; a, b, c, d sono costanti reali che soddisfano la condizione ad - bc ^ O (per ad - be = 0, i coefficienti aeb sono proporzionali ai coefficienti ce d, e quindi il rapporto non dipende da x; quindi, in questo caso, la funzione integranda sarà una funzione razionale della variabile x, la cui integrazione è stata considerata in precedenza). Facciamo un cambio di variabile in questo integrale impostando Da qui esprimiamo la variabile x attraverso una nuova variabile Abbiamo x = - una funzione razionale di t. Inoltre, troviamo o, dopo semplificazione, Pertanto, dove L1 (t) è una funzione razionale di *, poiché il funadium razionale di una funzione razionale, così come il prodotto di funzioni razionali, sono funzioni razionali. Possiamo integrare funzioni razionali. Sia Allora l'integrale desiderato uguale a Quando. Vai all'integrale 4 L'integrando* è una funzione razionale di. Pertanto, poniamo t = Allora Integrazione di funzioni razionali Brevi informazioni sulle funzioni razionali Integrazione di frazioni semplici Caso generale Integrazione di funzioni irrazionali Prima sostituzione di Eulero Seconda sostituzione di Eulero Terza sostituzione di Eulero Quindi, otteniamo il Primario 5. Trovare l'integrale Il denominatore comune degli esponenti frazionari di x è 12, quindi l'integrando può essere rappresentato come 1 _ 1_ da cui si può vedere che è una funzione razionale di: Considerando ciò, si pone. Pertanto, 2. Consideriamo gli interi della forma in cui la funzione subintegrale è tale che sostituendo il radicale \/ax2 + bx + c in essa contenuto con y, otteniamo la funzione R(x) y) - razionale rispetto a entrambi gli argomenti x e y. Questo integrale è ridotto all'integrale di una funzione razionale di un'altra variabile mediante sostituzioni di Eulero. 8.1. La prima sostituzione di Eulero Sia il coefficiente a > 0. Poniamo o Da qui troviamo x come funzione razionale di u, quindi, quindi, la sostituzione indicata si esprime razionalmente tramite *. Pertanto, avremo dove Osservazione. La prima sostituzione di Eulero può anche essere presa nella forma Esempio 6. Trova l'integrale che troveremo Pertanto, avremo dx sostituzione di Eulero, mostra che Y 8.2. Seconda sostituzione di Eulero Lascia che il trinomio ax2 + bx + c abbia differenti radici reali R] e x2 (il coefficiente può avere qualsiasi segno). In questo caso, assumiamo Poiché otteniamo Poiché x, dxn y / ax2 + be + c sono espressi razionalmente in termini di t, allora l'integrale originale si riduce all'integrale di una funzione razionale, cioè dove Problema. Usando la prima sostituzione di Eulero, mostra che è una funzione razionale di t. Esempio 7. Trova la funzione integrale dx M ] - x1 ha diverse radici reali. Pertanto, applichiamo la seconda sostituzione di Eulero. Da qui troviamo Sostituire le espressioni trovate in Given? otteniamo 8.3. Il terzo sottostato di Eulero Sia il coefficiente c > 0. Facciamo un cambio di variabile impostando. Si noti che per ridurre l'integrale all'integrale di una funzione razionale bastano la prima e la seconda sostituzione di Eulero. Infatti, se il discriminante b2 -4ac > 0, allora le radici del trinomio quadrato ax + bx + c sono reali, e in questo caso si applica la seconda sostituzione di Eulero. Se allora il segno del trinomio ax2 + bx + c coincide con il segno del coefficiente a, e poiché il trinomio deve essere positivo, allora a > 0. In questo caso vale la prima sostituzione di Eulero. Per trovare integrali della forma sopra indicata, non è sempre opportuno utilizzare le sostituzioni di Eulero, poiché per esse si possono trovare altri metodi di integrazione che portano più rapidamente allo scopo. Consideriamo alcuni di questi integrali. 1. Per trovare gli integrali della forma, dal quadrato del esimo trinomio si sceglie un quadrato retto: dove Dopo di che si fa e si ottiene una sostituzione dove i coefficienti a e P hanno segni diversi oppure sono entrambi positivi. Quando, così come quando a > 0, e l'integrale sarà ridotto a un logaritmo, ma se - all'arcoseno. In. Trova imtegrel 4 Da allora. supponendo, otteniamo Prmmar 9. Trova. Ho assunto x -, avremo 2. Un integrale della forma è ridotto all'integrale y dal paragrafo 1 come segue. Considerando che la derivata ()" = 2, la selezioniamo al numeratore: th grado, si trova con il metodo dei coefficienti indeterminati, che consiste nel seguente: Supponiamo che avvenga l'uguaglianza Esempio 10. Coefficienti integrali potenti, differenziare entrambi i membri di (1): Quindi riduciamo il lato destro dell'uguaglianza (2) a un denominatore comune uguale al denominatore del lato sinistro, cioè y/ax2 + bx + c, riducendo entrambe le parti di (2) di cui , otteniamo un'identità in entrambe le parti che sono polinomi di grado n. Eguagliando i coefficienti alle stesse potenze di x nelle parti sinistra e destra della (3), otteniamo n + 1 equazioni, da cui troviamo i coefficienti richiesti j4*(fc = 0,1,2,..., n ) Sostituendo i loro valori nella parte destra di (1) e trovando l'integrale + c otteniamo la risposta per questo integrale. Esempio 11. Trova l'integrale Abbiamo impostato Differenziando entrambi i semi di uguaglianza, avremo Portando il lato destro a un denominatore comune e riducendo entrambe le parti da esso, otteniamo l'identità o. Uguagliando i coefficienti alle stesse potenze di x, otteniamo un sistema di equazioni da cui troviamo = Quindi troviamo l'integrale a destra dell'uguaglianza (4): Pertanto, l'integrale desiderato sarà uguale a

Non esiste un modo universale per risolvere le equazioni irrazionali, poiché la loro classe differisce in numero. L'articolo evidenzierà i tipi caratteristici di equazioni con sostituzione utilizzando il metodo dell'integrazione.

Per usare il metodo integrazione direttaè necessario calcolare integrali indefiniti del tipo ∫ k x + b p d x , dove p è una frazione razionale, k e b sono coefficienti reali.

Esempio 1

Trova e calcola le funzioni antiderivate y = 1 3 x - 1 3 .

Soluzione

Secondo la regola di integrazione, è necessario applicare la formula ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, e la tabella delle antiderivate dice che c'è soluzione chiavi in ​​mano questa funzione. Lo capiamo

∫ dx 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 dx = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1 ) 2 3 + C

Risposta:∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .

Ci sono casi in cui è possibile utilizzare il metodo della sussunzione sotto il segno del differenziale. Ciò è risolto dal principio di trovare integrali indefiniti della forma ∫ f "(x) (f (x)) p d x, quando il valore di p è considerato una frazione razionale.

Esempio 2

Trova l'integrale indefinito ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x .

Soluzione

Nota che d x 3 + 5 x - 7 \u003d x 3 + 5 x - 7 "d x \u003d (3 x 2 + 5) d x. Quindi è necessario portare sotto il segno differenziale usando tabelle di antiderivate. Lo otteniamo

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 dx = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) dx = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 dz = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

Risposta:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .

La soluzione degli integrali indefiniti fornisce una formula della forma ∫ d x x 2 + p x + q , dove p e q sono coefficienti reali. Quindi è necessario selezionare un quadrato completo da sotto la radice. Lo capiamo

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

Applicando la formula che si trova nella tabella degli integrali indefiniti, otteniamo:

∫ d x x 2 ± α = log x + x 2 ± α + C

Quindi si calcola l'integrale:

∫ dxx 2 + px + q = ∫ dxx + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + px + q + C

Esempio 3

Trova un integrale indefinito della forma ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 .

Soluzione

Per calcolare, devi estrarre il numero 2 e posizionarlo davanti al radicale:

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

Fai una selezione del quadrato completo nell'espressione radicale. Lo capiamo

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

Quindi otteniamo un integrale indefinito della forma

Risposta: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

L'integrazione delle funzioni irrazionali avviene in modo simile. Applicabile per funzioni della forma y = 1 - x 2 + p x + q .

Esempio 4

Trova l'integrale indefinito ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 .

Soluzione

Per prima cosa devi ricavare il quadrato del denominatore dell'espressione da sotto la radice.

∫ dx - x 2 + 4 x + 5 = ∫ dx - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ dx - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ dx - x - 2 2 - 9 = ∫ dx - (x - 2) 2 + 9

L'integrale della tabella appare come ∫ dxa 2 - x 2 = arc sin xa + C, quindi otteniamo che ∫ dx - x 2 + 4 x + 5 = ∫ dx - (x - 2) 2 + 9 = arc sin x - 2 3+C

Risposta:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C .

Il processo per trovare funzioni irrazionali antiderivate della forma y \u003d M x + N x 2 + px + q, dove M, N, p, q disponibili sono coefficienti reali e sono simili all'integrazione delle frazioni più semplici del terzo tipo. Questa trasformazione ha diversi passaggi:

sommando il differenziale sotto la radice, evidenziando il quadrato completo dell'espressione sotto la radice, utilizzando formule tabulari.

Esempio 5

Trova le funzioni antiderivate y = x + 2 x 2 - 3 x + 1 .

Soluzione

Dalla condizione abbiamo che d (x 2 - 3 x + 1) \u003d (2 x - 3) dx e x + 2 \u003d 1 2 (2 x - 3) + 7 2, quindi (x + 2) dx \u003d 1 2 (2 x - 3) + 7 2 dx = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 dx .

Calcola l'integrale: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 dx = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ dxx 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ dxx - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C

Risposta:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .

La ricerca degli integrali indefiniti della funzione ∫ x m (a + b x n) p d x viene effettuata utilizzando il metodo della sostituzione.

Per la soluzione è necessario introdurre nuove variabili:

1. Quando il numero p è un intero, considera che x = z N , e N è il denominatore comune di m , n .
2. Quando m + 1 n è un intero, allora a + b x n = z N , e N è il denominatore di p .
3. Quando m + 1 n + p è un intero, allora è richiesto a x - n + b = z N e N è il denominatore di p .

Esempio 6

Trova l'integrale definito ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Soluzione

Otteniamo che ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x . Ne consegue che m = - 1 , n = 1 , p = - 1 2 , quindi m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 è un intero. Puoi introdurre una nuova variabile come - 9 + 2 x = z 2 . È necessario esprimere x tramite z . In uscita, otteniamo

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 "d z = z d z - 9 + 2 x = z

È necessario eseguire una sostituzione nell'integrale dato. Abbiamo quello

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2

Risposta:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .

Per semplificare la soluzione di equazioni irrazionali vengono utilizzati i principali metodi di integrazione.

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