Un sistema di equazioni lineari si dice disomogeneo se. Sistemi risolutivi di equazioni algebriche lineari, metodi risolutivi, esempi

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Per capire cos'è sistema fondamentale decisioni puoi guardare il video tutorial per lo stesso esempio facendo clic su . Passiamo ora alla descrizione di tutto il lavoro necessario. Questo ti aiuterà a capire l'essenza di questo problema in modo più dettagliato.

Come trovare il sistema fondamentale di soluzioni di un'equazione lineare?

Prendiamo questo sistema come esempio. equazioni lineari:

Troviamo una soluzione a questo sistema lineare equazioni. Per cominciare, noi annotare la matrice dei coefficienti del sistema.

Trasformiamo questa matrice in una triangolare. Riscriviamo la prima riga senza modifiche. E tutti gli elementi che sono sotto $a_(11)$ devono essere azzerati. Per fare uno zero al posto dell'elemento $a_(21)$, devi sottrarre il primo dalla seconda riga e scrivere la differenza nella seconda riga. Per fare uno zero al posto dell'elemento $a_(31)$, devi sottrarre il primo dalla terza riga e scrivere la differenza nella terza riga. Per fare uno zero al posto dell'elemento $a_(41)$, devi sottrarre il primo moltiplicato per 2 dalla quarta riga e scrivere la differenza nella quarta riga. Per fare uno zero al posto dell'elemento $a_(31)$, sottrai il primo moltiplicato per 2 dalla quinta riga e scrivi la differenza nella quinta riga.

Riscriviamo la prima e la seconda riga senza modifiche. E tutti gli elementi che sono sotto $a_(22)$ devono essere azzerati. Per fare uno zero al posto dell'elemento $a_(32)$, è necessario sottrarre il secondo moltiplicato per 2 dalla terza riga e scrivere la differenza nella terza riga. Per fare uno zero al posto dell'elemento $a_(42)$, è necessario sottrarre il secondo moltiplicato per 2 dalla quarta riga e scrivere la differenza nella quarta riga. Per fare uno zero al posto dell'elemento $a_(52)$, sottrai il secondo moltiplicato per 3 dalla quinta riga e scrivi la differenza nella quinta riga.

Lo vediamo le ultime tre righe sono le stesse, quindi se sottrai la terza dalla quarta e dalla quinta, diventeranno zero.

Per questa matrice annotare nuovo sistema equazioni.

Vediamo che abbiamo solo tre equazioni linearmente indipendenti e cinque incognite, quindi il sistema fondamentale di soluzioni sarà costituito da due vettori. Quindi noi sposta le ultime due incognite a destra.

Ora, iniziamo a esprimere quelle incognite che sono sul lato sinistro attraverso quelle che sono sul lato destro. Iniziamo con l'ultima equazione, prima esprimiamo $x_3$, quindi sostituiamo il risultato ottenuto nella seconda equazione ed esprimiamo $x_2$, quindi nella prima equazione e qui esprimiamo $x_1$. Quindi, abbiamo espresso tutte le incognite che sono sul lato sinistro attraverso le incognite che sono sul lato destro.

Dopodiché, invece di $x_4$ e $x_5$, puoi sostituire qualsiasi numero e trovare $x_1$, $x_2$ e $x_3$. Ognuno di questi cinque numeri sarà la radice del nostro originale sistema di equazioni. Per trovare i vettori inclusi in FSR dobbiamo sostituire 1 invece di $x_4$, e sostituire 0 invece di $x_5$, trovare $x_1$, $x_2$ e $x_3$, e poi viceversa $x_4=0$ e $x_5=1$.

Continueremo a perfezionare la tecnica trasformazioni elementari sul sistema omogeneo di equazioni lineari.
Secondo i primi paragrafi, il materiale può sembrare noioso e ordinario, ma questa impressione è ingannevole. Ci saranno molte nuove informazioni oltre all'ulteriore sviluppo delle tecniche, quindi cerca di non trascurare gli esempi in questo articolo.

Che cos'è un sistema omogeneo di equazioni lineari?

La risposta si suggerisce. Un sistema di equazioni lineari è omogeneo se il termine libero tutti l'equazione di sistema è zero. Per esempio:

È abbastanza chiaro che sistema omogeneo è sempre coerente, cioè ha sempre una soluzione. E, in primis, i cosiddetti banale decisione . Banale, per chi non comprende affatto il significato dell'aggettivo, significa bespontovoe. Non accademicamente, ovviamente, ma in modo intelligibile =) ... Perché girare intorno al cespuglio, scopriamo se questo sistema ha altre soluzioni:

Esempio 1

Decisione: per risolvere un sistema omogeneo è necessario scrivere matrice di sistema e con l'aiuto di trasformazioni elementari portalo a una forma a gradini. Nota che non è necessario annotare qui la barra verticale e la colonna zero dei membri gratuiti, perché qualunque cosa tu faccia con gli zeri, rimarranno zero:

(1) La prima riga è stata aggiunta alla seconda riga, moltiplicata per -2. La prima riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per -3.

(2) La seconda riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per -1.

Dividere la terza riga per 3 non ha molto senso.

Come risultato di trasformazioni elementari si ottiene un sistema omogeneo equivalente e, applicando la mossa inversa del metodo gaussiano, è facile verificare che la soluzione sia unica.

Risposta:

Formuliamo un criterio ovvio: ha un sistema omogeneo di equazioni lineari unica soluzione banale, Se rango della matrice di sistema(in questo caso, 3) è uguale al numero di variabili (in questo caso, 3 pz.).

Riscaldiamo e sintonizziamo la nostra radio su un'ondata di trasformazioni elementari:

Esempio 2

Risolvi un sistema omogeneo di equazioni lineari

Per correggere finalmente l'algoritmo, analizziamo il compito finale:

Esempio 7

Risolvi un sistema omogeneo, scrivi la risposta in forma vettoriale.

Decisione: scriviamo la matrice del sistema e, tramite trasformazioni elementari, la portiamo ad una forma a gradini:

(1) Il segno della prima riga è stato modificato. Ancora una volta, attiro l'attenzione sulla tecnica incontrata ripetutamente, che consente di semplificare notevolmente l'azione seguente.

(1) La prima riga è stata aggiunta alla 2a e 3a riga. La prima riga moltiplicata per 2 è stata aggiunta alla quarta riga.

(3) Le ultime tre righe sono proporzionali, due di esse sono state rimosse.

Di conseguenza, si ottiene una matrice di passi standard e la soluzione continua lungo la pista zigrinata:

– variabili di base;
sono variabili libere.

Esprimiamo le variabili di base in termini di variabili libere. Dalla 2a equazione:

- sostituisci nella 1a equazione:

Quindi la soluzione generale è:

Poiché nell'esempio in esame sono presenti tre variabili libere, il sistema fondamentale contiene tre vettori.

Sostituisci la tripla di valori nella soluzione generale e ottenere un vettore le cui coordinate soddisfano ciascuna equazione del sistema omogeneo. E ancora, ripeto che è altamente desiderabile controllare ogni vettore ricevuto: non ci vorrà molto tempo, ma salverà il cento per cento dagli errori.

Per una tripla di valori trova il vettore

E infine per il triplo otteniamo il terzo vettore:

Risposta: , dove

Coloro che desiderano evitare i valori frazionari possono prendere in considerazione le terzine e ottieni la risposta nella forma equivalente:

A proposito di frazioni. Diamo un'occhiata alla matrice ottenuta nel problema e poni la domanda: è possibile semplificare l'ulteriore soluzione? Dopotutto, qui abbiamo prima espresso la variabile di base in termini di frazioni, poi la variabile di base in termini di frazioni e, devo dire, questo processo non è stato dei più facili e non dei più piacevoli.

La seconda soluzione:

L'idea è di provare scegli altre variabili di base. Diamo un'occhiata alla matrice e notiamo due nella terza colonna. Allora perché non ottenere zero in cima? Facciamo un'altra trasformazione elementare:

Kaluga Branch dell'Istituto statale per l'istruzione di bilancio professionale superiore

Università tecnica statale di Mosca intitolata a N.E. Bauman"

(KF MSTU intitolato a NE Bauman)

Vlaikov ND

Soluzione di SLAE omogeneo

Linee guida per lo svolgimento di esercizi

nel corso della geometria analitica

Kaluga 2011

Obiettivi della lezione pagina 4

Piano di lezione pagina 4

Informazioni teoriche richieste p.5

Parte pratica p.10

Controllo dello sviluppo del materiale trattato p.13

Compiti a casa pagina 14

Numero di ore: 2

Obiettivi della lezione:

Sistematizzare le conoscenze teoriche ricevute sui tipi di SLAE e sui modi per risolverli.

Acquisire competenze nella risoluzione di SLAE omogenei.

Piano di lezione:

Esponi brevemente il materiale teorico.

Risolvi uno SLAE omogeneo.

Trova un sistema fondamentale di soluzioni per uno SLAE omogeneo.

Trova una soluzione particolare dello SLAE omogeneo.

Formulare un algoritmo per risolvere uno SLAE omogeneo.

Controlla i tuoi compiti attuali.

Svolgere il lavoro di verifica.

Introdurre l'argomento del prossimo seminario.

Invia i compiti in corso.

Informazioni teoriche necessarie.

Grado di matrice.

def. Il rango di una matrice è il numero che è uguale all'ordine massimo tra i suoi minori diversi da zero. Il rango di una matrice è indicato da .

Se una matrice quadrata non è degenerata, il rango è uguale al suo ordine. Se una matrice quadrata è degenerata, il suo rango è inferiore al suo ordine.

Il rango di una matrice diagonale è uguale al numero dei suoi elementi diagonali diversi da zero.

Teor. Quando una matrice viene trasposta, il suo rango non cambia, cioè
.

Teor. Il rango di una matrice non cambia nelle trasformazioni elementari delle sue righe e colonne.

Teorema di base minore.

def. Minore
matrici si dice di base se sono soddisfatte due condizioni:

a) non è uguale a zero;

b) il suo ordine è uguale al rango della matrice .

Matrice può avere più basi minori.

Righe e colonne di una matrice , in cui si trova il minore di base prescelto, sono detti basici.

Teor. Teorema di base minore. Righe di base (colonne) di una matrice corrispondente a uno qualsiasi dei suoi minori di base
, sono linearmente indipendenti. Qualsiasi riga (colonna) di una matrice , non compreso in
, sono combinazioni lineari di righe di base (colonne).

Teor. Per ogni matrice, il suo rango è uguale al numero massimo delle sue righe (colonne) linearmente indipendenti.

Calcolo del rango della matrice. Metodo delle trasformazioni elementari.

Con l'aiuto di trasformazioni di riga elementari, qualsiasi matrice può essere ridotta a una forma a gradini. Il rango di una matrice di passi è uguale al numero di righe diverse da zero. La base in esso è la minore situata all'intersezione di righe diverse da zero con colonne corrispondenti ai primi elementi diversi da zero a sinistra in ciascuna delle righe.

SLAU. Definizioni di base.

def. Sistema

(15.1)

Numeri sono chiamati coefficienti SLAE. Numeri
sono detti termini liberi delle equazioni.

Il record di SLAE nella forma (15.1) è chiamato coordinata.

def. Uno SLAE si dice omogeneo se
. Altrimenti si dice eterogeneo.

def. La soluzione SLAE è un tale insieme di valori di incognite, sostituendo quale ogni equazione del sistema si trasforma in un'identità. Qualsiasi soluzione SLAE specifica è anche chiamata la sua soluzione particolare.

Risolvere SLAE significa risolvere due problemi:

Scopri se lo SLAE ha soluzioni;

Trova tutte le soluzioni se esistono.

def. Uno SLAE si dice giunto se ha almeno una soluzione. Altrimenti, è chiamato incoerente.

def. Se SLAE (15.1) ha una soluzione, e, inoltre, unica, allora si dice definita, e se la soluzione non è unica, allora indefinita.

def. Se nell'equazione (15.1)
,SLAE è chiamato quadrato.

Moduli di registrazione SLAU.

Oltre al modulo delle coordinate (15.1), i record SLAE spesso ne utilizzano altre rappresentazioni.

(15.2)

Il rapporto è chiamato la forma vettoriale dello SLAE.

Se prendiamo come base il prodotto delle matrici, allora SLAE (15.1) può essere scritto come segue:

(15.3)

o
.

Il record di SLAE (15.1) nella forma (15.3) è chiamato matrice.

SLAE omogeneo.

sistema omogeneo
equazioni algebriche lineari con sconosciuto è un sistema della forma

Gli SLAE omogenei sono sempre coerenti, poiché esiste sempre una soluzione zero.

Criterio per l'esistenza di una soluzione diversa da zero. Perché un quadrato omogeneo SLAE abbia una soluzione diversa da zero, è necessario e sufficiente che la sua matrice sia degenere.

Teor. Se colonne
,
, …,
sono soluzioni di uno SLAE omogeneo, quindi qualsiasi loro combinazione lineare è anche una soluzione per questo sistema.

Conseguenza. Se uno SLAE omogeneo ha una soluzione diversa da zero, allora ha un numero infinito di soluzioni.

È naturale cercare di trovare tali soluzioni
,
, …,
sistemi in modo che qualsiasi altra soluzione sia rappresentata come loro combinazione lineare e in un modo unico.

def. Qualsiasi insieme di
colonne linearmente indipendenti
,
, …,
, che sono soluzioni dello SLAE omogeneo
, dove è il numero di incognite, e è il rango della sua matrice , è chiamato il sistema fondamentale di soluzioni di questo SLAE omogeneo.

Nello studio e nella soluzione di sistemi omogenei di equazioni lineari nella matrice del sistema, fisseremo il minore di base. La base minore corrisponderà alle colonne di base e quindi alle incognite di base. Le restanti incognite saranno chiamate libere.

Teor. Sulla struttura della soluzione generale di uno SLAE omogeneo. Se un
,
, …,
- un arbitrario sistema fondamentale di soluzioni di uno SLAE omogeneo
, allora una qualsiasi delle sue soluzioni può essere rappresentata nella forma

In cui si , …,- alcune costanti.

Quella. la soluzione generale dello SLAE omogeneo ha la forma

Parte pratica.

Considerare possibili insiemi di soluzioni per i seguenti tipi di SLAE e la loro interpretazione grafica.

;
;
.

Si consideri la possibilità di risolvere questi sistemi utilizzando le formule di Cramer e il metodo matriciale.

Descrivi l'essenza del metodo di Gauss.

Risolvi i seguenti compiti.

Esempio 1. Risolvi uno SLAE omogeneo. Trova FSR.

Scriviamo la matrice del sistema e la riduciamo a una forma a gradini.

il sistema avrà infinite soluzioni. L'FSR sarà composto da
colonne.

Scartiamo le righe zero e scriviamo di nuovo il sistema:

Considereremo la posizione minore di base nell'angolo in alto a sinistra. Quella.
sono le incognite di base, e
- libero. Esprimere
tramite gratis
:

;

Mettiamo
.

Infine abbiamo:

- la forma coordinata della risposta, oppure

- forma matriciale della risposta, o

- forma vettoriale della risposta (vettoriale - le colonne sono le colonne della FSR).

Algoritmo per la risoluzione di uno SLAE omogeneo.

Trova la FSR e la soluzione generale dei seguenti sistemi:

№2.225(4.39)

. Risposta:

№2.223(2.37)

. Risposta:

№2.227(2.41)

. Risposta:

Risolvi lo SLAE omogeneo:

. Risposta:

Risolvi lo SLAE omogeneo:

. Risposta:

Introducendo il tema del prossimo workshop.

Soluzione di sistemi di equazioni lineari disomogenee.

Monitoraggio dello sviluppo del materiale trattato.

Lavoro di prova 3 - 5 minuti. Partecipano 4 studenti con numeri dispari nella rivista, a partire dal n. 10

Esegui azioni:

;
;

Esegui azioni:

Calcola il determinante:

Esegui azioni:

non definito

Esegui azioni:

Trova la matrice inversa di una data:

Calcola il determinante:

Compiti a casa:

1. Risolvi i problemi:

№ 2.224, 2.226, 2.228, 2.230, 2.231, 2.232.

2. Elaborare lezioni sui temi:

Sistemi di equazioni algebriche lineari (SLAE). Coordinate, matrici e notazioni vettoriali. Criterio Kronecker - Compatibilità Capelli SLAE. SLAE disomogeneo. Criterio per l'esistenza di una soluzione diversa da zero di uno SLAE omogeneo. Proprietà delle soluzioni di uno SLAE omogeneo. Sistema fondamentale di soluzioni di uno SLAE omogeneo, un teorema sulla sua esistenza. Normale sistema fondamentale di soluzioni. Teorema sulla struttura della soluzione generale di uno SLAE omogeneo. Teorema sulla struttura della soluzione generale degli SLAE disomogenei.

Viene chiamato il sistema lineare omogeneo se tutti i suoi termini gratuiti sono 0.

In forma matriciale, il sistema omogeneo si scrive:
.

Il sistema omogeneo (2) è sempre consistente . È ovvio che l'insieme dei numeri
,
, …,
soddisfa ogni equazione del sistema. Decisione
chiamata zero o banale decisione. Quindi, un sistema omogeneo ha sempre una soluzione nulla.

In quali condizioni il sistema omogeneo (2) avrà soluzioni diverse da zero (non banali)?

Teorema 1.3 Sistema omogeneo (2) ha soluzioni diverse da zero se e solo se il rango r sua matrice principale inferiore al numero sconosciuto n .

Sistema (2) - indefinito
.

Conseguenza 1. Se il numero di equazioni m sistema omogeneo è inferiore al numero di variabili
, allora il sistema è indefinito e ha un insieme di soluzioni diverse da zero.

Conseguenza 2. Sistema quadrato omogeneo
ha soluzioni diverse da zero se e se la matrice principale di questo sistema è degenerato, cioè determinante
.

Altrimenti, se determinante
, il sistema quadrato omogeneo ha l'unica cosa soluzione zero
.

Sia il rango del sistema (2)
cioè, il sistema (2) ha soluzioni non banali.

Lascia stare e - soluzioni particolari di questo sistema, ovvero
e
.

Proprietà delle soluzioni per un sistema omogeneo

Veramente, .

Combinando le proprietà 1) e 2), possiamo dire che se

…,
- soluzioni del sistema omogeneo (2), quindi qualsiasi loro combinazione lineare è anche la sua soluzione. Qui
sono numeri reali arbitrari.

Possono essere trovati
soluzioni particolari linearmente indipendenti sistema omogeneo (2), che può essere utilizzato per ottenere qualsiasi altra soluzione particolare di tale sistema, ovvero ottenere la soluzione generale del sistema (2).

Definizione 2.2 Aggregato
soluzioni particolari linearmente indipendenti

…,
Si chiama sistema omogeneo (2) tale che ciascuna soluzione del sistema (2) possa essere rappresentata come una loro combinazione lineare sistema decisionale fondamentale (FSR) di sistema omogeneo (2).

Lascia stare

…,
è il sistema fondamentale di soluzioni, allora la soluzione generale del sistema omogeneo (2) può essere rappresentata come:

In cui si

.

Commento. Per ottenere l'FSR, devi trovare soluzioni private

…,
, dando alternativamente uno qualsiasi valore variabile"1" e tutte le altre variabili libere - il valore "0".

Ottenere ,, …,- FSR.

Esempio. Trova la soluzione generale e il sistema fondamentale di soluzioni del sistema omogeneo di equazioni:

Decisione. Scriviamo la matrice estesa del sistema, mettendo prima l'ultima equazione del sistema, e riduciamola a una forma graduale. Poiché i membri di destra delle equazioni non cambiano a seguito di trasformazioni elementari, rimanendo zero, la colonna

potrebbe non essere scritto.

̴
̴
̴

Classificazione del sistema dove
- numero di variabili. Il sistema è incerto e ha molte soluzioni.

Base minore con variabili
diverso da zero:
scegliere
come variabili di base, il resto
- variabili libere (prendere qualsiasi valore reale).

L'ultima matrice della catena corrisponde al sistema graduale di equazioni:

(3)

Esprimi le variabili di base
tramite variabili libere
(il corso inverso del metodo di Gauss).

Dall'ultima equazione che esprimiamo :
e sostituisci nella prima equazione. Riceveremo. Apriamo le parentesi, diamo quelle simili ed esprimiamo :
.

Supponendo
,
,
, dove
, scrivere

è la soluzione generale del sistema.

Troviamo un sistema fondamentale di soluzioni

,,.

Allora la soluzione generale del sistema omogeneo può essere scritta come:

Commento. La FSR potrebbe essere trovata in un altro modo, senza prima trovare la soluzione generale del sistema. Per fare ciò, il sistema di fasi risultante (3) doveva essere risolto tre volte, assumendo :
; per :
; per :
.

Sistemi omogenei di equazioni algebriche lineari

Dentro le lezioni Metodo Gauss e Sistemi/sistemi incompatibili con una soluzione comune abbiamo considerato sistemi disomogenei di equazioni lineari, dove membro libero(che di solito è a destra) almeno uno delle equazioni era diverso da zero.
E ora, dopo un buon riscaldamento con rango di matrice, continueremo a perfezionare la tecnica trasformazioni elementari sul sistema omogeneo di equazioni lineari.
Secondo i primi paragrafi, il materiale può sembrare noioso e ordinario, ma questa impressione è ingannevole. Ci saranno molte nuove informazioni oltre all'ulteriore sviluppo delle tecniche, quindi cerca di non trascurare gli esempi in questo articolo.

Che cos'è un sistema omogeneo di equazioni lineari?

La risposta si suggerisce. Un sistema di equazioni lineari è omogeneo se il termine libero tutti l'equazione di sistema è zero. Per esempio:

Esempio 1

(1) La prima riga è stata aggiunta alla seconda riga, moltiplicata per -2. La prima riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per -3.

(2) La seconda riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per -1.

Dividere la terza riga per 3 non ha molto senso.

Come risultato di trasformazioni elementari si ottiene un sistema omogeneo equivalente e, applicando la mossa inversa del metodo gaussiano, è facile verificare che la soluzione sia unica.

Risposta:

Riscaldiamo e sintonizziamo la nostra radio su un'ondata di trasformazioni elementari:

Esempio 2

Risolvi un sistema omogeneo di equazioni lineari

Dall'articolo Come trovare il rango di una matrice? ricordare ricezione razionale riduzione passante dei numeri di matrice. Altrimenti, dovrai macellare pesci di grandi dimensioni e spesso mordendo. Un esempio di compito alla fine della lezione.

Gli zeri sono buoni e convenienti, ma in pratica il caso è molto più comune quando le righe della matrice del sistema linearmente dipendente. E poi è inevitabile la comparsa di una soluzione generale:

Esempio 3

Risolvi un sistema omogeneo di equazioni lineari

Decisione: scriviamo la matrice del sistema e, tramite trasformazioni elementari, la portiamo a una forma a gradini. La prima azione mira non solo ad ottenere un valore unico, ma anche a ridurre i numeri nella prima colonna:

(1) La terza riga è stata aggiunta alla prima riga, moltiplicata per -1. La terza riga è stata aggiunta alla seconda riga, moltiplicata per -2. In alto a sinistra, ho un'unità con un "meno", che spesso è molto più conveniente per ulteriori trasformazioni.

(2) Le prime due righe sono le stesse, una di esse è stata rimossa. Onestamente, non ho modificato la decisione: è successo. Se esegui trasformazioni in un modello, allora dipendenza lineare le linee sarebbero apparse un po 'più tardi.

(3) Alla terza riga, aggiungi la seconda, moltiplicata per 3.

(4) Il segno della prima riga è stato modificato.

Come risultato di trasformazioni elementari si ottiene un sistema equivalente:

L'algoritmo funziona esattamente come per sistemi eterogenei. Le variabili "sedute sui gradini" sono le principali, la variabile che non ha ricevuto i "gradini" è libera.

Esprimiamo le variabili di base in termini di variabile libera:

Risposta: decisione comune:

La soluzione banale è inclusa nella formula generale e non è necessario scriverla separatamente.

Anche la verifica viene effettuata secondo lo schema abituale: la soluzione generale risultante deve essere sostituita nella parte sinistra di ogni equazione del sistema e si ottiene uno zero legittimo per tutte le sostituzioni.

Questo potrebbe essere tranquillamente concluso, ma spesso è necessario rappresentare la soluzione di un sistema omogeneo di equazioni in forma vettoriale attraverso sistema decisionale fondamentale. Si prega di dimenticare temporaneamente geometria analitica, da ora parleremo di vettori in senso algebrico generale, che ho leggermente aperto in un articolo a riguardo rango di matrice. La terminologia non è necessaria per ombreggiare, tutto è abbastanza semplice.