Ministero dell'Istruzione e delle Politiche Giovanili della Repubblica Ciuvascia

BOU DP (PK) S "Chuvash Institute of Education" Ministero dell'Istruzione della Chuvashia

Corso di lavoro

corso elettivo « Tecniche e metodi per risolvere equazioni di grado superiore"

Fatto dall'insegnante di matematica

MBOU "Scuola Secondaria n. 49 con approfondimenti

lo studio delle singole materie”

Cheboksary

Rumyantseva Julia Izosimovna

Città di Cheboksary

Argomento della lezione: Radici polinomiali. Lo schema di Horner

Lo scopo della lezione:

insegnare come trovare il valore di un polinomio, le sue radici, usando il teorema di Bezout, lo schema di Horner;

formare abilità e abilità nel trovare le radici dei polinomi;

insegnare a generalizzare e sistematizzare il materiale;

sviluppare capacità computazionali, concentrazione, funzioni di autocontrollo;

educare esigente, diligenza.

Piano di lezione:

IO. Organizzare il tempo

VI. Lavoro indipendente

VIII. Compiti a casa

DURANTE LE LEZIONI

I. Momento organizzativo

Informare l'argomento della lezione, formulare gli obiettivi della lezione.

II. Attualizzazione delle conoscenze degli studenti

1. Controllo dei compiti.

a) Trova GCD ((x 6 - 1); (x 8 - 1)) usando l'algoritmo euclideo (lo studente cucina alla lavagna).

Decisione:

MCD ((x 6 - 1); (x 8 - 1)) = x 2 - 1.

Risposta: X 2 – 1 .

b) Scopri se il polinomio è divisibile f(x) = x 5 - 5 x 4 + 8 x 3 - 5 x 2 + x + 2 su (x - 1), (x + 1), (x - 2) (controllato dal davanti).

Decisione. Per il teorema di Bezout, se f(1) = 0, poi f(x) diviso per (x - 1). Controlliamolo.

f(1) = 1 - 5 + 8 - 5 + 1 + 2 > 0, f(x) non è divisibile per (x - 1);
f(–1) = – 1 – 5 – 8 – 5 – 1 + 2 < 0, f(x) не делится на (x + 1);
f(2) = 32 - 80 + 64 - 20 + 4 = 0, f(x) è divisibile per (x - 2).

Risposta: divisibile per (x - 2).

c) Il polinomio P(x) diviso per (x - 1) dà resto di 3, e diviso per (x - 2) dà resto 5. Trova il resto dopo aver diviso il polinomio P(x) per (x 2 - 3 x + 2).

(La soluzione viene proiettata in anticipo sullo schermo o scritta alla lavagna).

Decisione.

P(x) \u003d (x - 1) Q 1 (x) + 3 (1)
P(x) \u003d (x - 2) Q 2 (x) + 5 (2)
Da (1) e (2) ne consegue che P(1) = 3, P(2) = 5.
Sia P(x) = (x 2 – 3 x + 2) Q (x) + a x + b o
P(x) = (x - 1) (x - 2) Q (x) + ax + b (3)

Sostituendo in (3) successivamente x = 1 e x = 2, otteniamo un sistema di equazioni da cui a = 2, b = 1.

Risposta: 2 x + 1.

d) Per quanto m e n polinomio x 3 + m x + n per qualsiasi Xè divisibile per x 2 + 3 x + 10 senza resto.

Decisione. Quando dividiamo per un "angolo", otteniamo x 3 + m x + n = (x 2 + 3 x + 10) (x - 3) + ((m - 1) x + (n + 30)).

Perché la divisione viene eseguita senza resto, quindi (m - 1) x + (n + 30) = 0, e questo è possibile (per qualsiasi x) solo quando m = 1, n = -30.

Risposta: m = 1, n = –30.

2. Rilievo teorico

a) Come leggere il teorema

b) Fornisci un esempio in cui viene utilizzato il teorema di Bezout?

c) Dalla regola di moltiplicazione di due polinomi, come trovare il coefficiente direttivo del prodotto?

d) Il grado ha un polinomio zero?

III. Prepararsi per imparare nuovo materiale

In un polinomio, come in qualsiasi espressione letterale, puoi sostituire numeri invece di una variabile, e di conseguenza si trasforma in un'espressione numerica, cioè, in definitiva, in un numero. Facciamo due osservazioni importanti per la risoluzione dei problemi:

Significatof(0)è uguale al termine libero del polinomio.

Significatof(1)è uguale alla somma dei coefficienti del polinomio.

Trovare i valori del polinomio non presenta difficoltà di fondo, tuttavia i calcoli in questo caso possono risultare piuttosto macchinosi. Per semplificare i calcoli, esiste una tecnica chiamata schema Horner, dal nome del matematico inglese del XVI secolo. Questo schema consiste nel compilare una tabella di due righe.

Ad esempio, per calcolare il valore di un polinomio f (x) \u003d 2 x 4 - 9 x 3 - 32 x 2 - 57 per x \u003d 7 (ovvero per scoprire se è divisibile per (x - 7) secondo il teorema di Bezout), è necessario sostituisci il numero con x 7 . Se f(7) = 0, allora f(x) diviso senza resto. Se f(7 ) non uguale 0, allora f(x) è divisibile per (x – 7) con resto. Per facilitare la ricerca del valore di f(7), applichiamo lo schema di Horner. Compiliamo la tabella di due righe secondo il seguente algoritmo:

1. Si scrive prima la linea dei coefficienti.
2. Il coefficiente più alto viene duplicato nella seconda riga e prima di esso viene posto il valore della variabile (nel nostro caso, il numero 7), a cui calcoliamo il valore del polinomio.

Si scopre una tabella, le cui celle vuote devono essere riempite.

Tabella 1

3. Questo avviene secondo un'unica regola: per una cella vuota a destra, il numero 2 viene moltiplicato per 7 e aggiunto al numero sopra la cella vuota. La risposta è scritta nella prima cella vuota. Questo viene fatto per riempire le restanti celle vuote. Pertanto, il numero 2 7 - 9 = 5 viene inserito nella prima cella vuota, il numero 5 7 - 32 = 3 viene inserito nella seconda cella vuota, il numero 3 7 + 0 = 21 viene inserito nella terza e il il numero 21 7 - 57 = 90 è messo nell'ultimo.questa tabella si presenta così:

Tavolo 2

L'ultimo numero della seconda riga è la risposta.

Commento: un programma per calcolare i valori di un polinomio in un computer viene compilato secondo lo schema di Horner.

IV. Consolidamento del materiale studiato

Considera la soluzione dei compiti n. 1 (b) secondo lo schema di Horner. Quindi, usando lo schema di Horner, scopri se il polinomio (x) = x 5 - 5 x 4 + 8 x 3 - 5 x 2 + x + 2 è divisibile per (x - 1), (x + 1), (x - 2) . Se si desidera controllare più valori, per salvare i calcoli, viene creato uno schema combinato.

Tabella 3

Nell'ultima colonna nella terza, quarta e quinta riga - il resto della divisione. Allora f(x) è divisibile senza resto per (x – 2), perché r = 0.

V. Trovare le radici di un polinomio

Il teorema di Bezout permette, trovata una radice di un polinomio, di cercare ulteriormente le radici di un polinomio il cui grado è uno in meno. A volte con questo trucco - si chiama "abbassare il grado" - puoi trovare tutte le radici di un polinomio.

In particolare, scegliendo una radice equazione cubica, abbassando così il grado, può essere completamente risolto risolvendo il risultante equazione quadrata.

Quando si risolvono tali problemi, lo stesso schema Horner è di grande utilità. Tuttavia, in effetti, lo schema di Horner dà molto di più: i numeri nella seconda riga (senza contare l'ultima) sono i coefficienti della separazione parziale su (x - a).

Tabella 3:

Esempio 1 Trova le radici del polinomio f (x) \u003d (x 4 - x 3 - 6 x 2 - x + 3).

Decisione. Divisori del termine libero: – 1, 1, – 3, 3 possono essere le radici del polinomio. Per x = 1, la somma dei coefficienti è ovviamente uguale a zero. Quindi x 1 = 1 è una radice. Controlliamo secondo lo schema di Horner il numero radice - 1 e altri divisori del termine libero.

Tabella 4

x = -1 - radice
seconda volta x = -1 - non una radice
controlla x = 3
x = 3 è la radice.
f (x) \u003d (x + 1) (x - 3) (x 2 + x - 1), x 2 + x - 1 \u003d 0,

Commento. Quando si trovano le radici di un polinomio, non si dovrebbero eseguire calcoli esatti non necessari nei casi in cui ovvie stime approssimative portano al risultato desiderato.
Ad esempio, lo schema di Horner per testare i valori 31 e - 31 come "radici candidate" del polinomio x 5 - 41 x 4 + 32 x 2 - 4 x + 31 potrebbe assomigliare a questo:

Tabella 5

31 e - 31 non sono radici del polinomio x 5 - 41 x 4 + 32 x 2 - 4 x + 31.

Esempio 2 Trova le radici del polinomio f (x) \u003d x 4 + 2 x 3 - 6 x 2 - 22 x + 55.

Decisione. I divisori di 55 sono: – 1, 1, – 5, 5, – 11, 11, – 55, 55. Si noti che – 1 e 1 non sono radici del polinomio. Dovresti controllare il resto dei divisori.

Commento. È molto importante per gli studenti padroneggiare lo schema "lungo" di Horner. In questo esempio, lo schema "lungo" è semplicemente conveniente.

Tabella 6

x 2 + 57 x + 3 129 = 0, nessuna radice.

Risposta: non ci sono radici.

VI. Lavoro indipendente

Sul tabellone, tre persone decidono per una successiva verifica.

Trova le radici di un polinomio secondo lo schema di Horner:

a) f (x) \u003d x 3 + 2 x 2 - 5 x - 6;

Risposta: – 1; 2; – 3.

b) f (x) \u003d x 5 - 5 x 4 + 6 x 3 - x 2 + 5 x - 6;

Risposta: 1; 2; 3.

c) f (x) \u003d x 4 + 12 x 3 + 32 x 2 - 8 x - 4.

Risposta:

(Il controllo viene effettuato a coppie, vengono assegnati dei voti).

VII. Ricerca studenti

– Ragazzi, non avete notato quali polinomi abbiamo principalmente analizzato a lezione?

(Risposte degli studenti).

– Sì, questi sono polinomi a coefficienti interi e con il termine principale k = 1.

– Quali sono state le risposte?

(Risposte degli studenti).

– Esatto, le radici di un polinomio con coefficienti interi e con il termine più alto k = 1 sono intere, o irrazionali, o intere e irrazionali, o non hanno radici. Annota la conclusione nei tuoi quaderni.

VIII. Compiti a casa

1. No. 129 (1, 3, 5, 6) - N. Ya. Vilenkin - 10, p. 78.
2. Impara la teoria di questa lezione.

IX. Riassumendo la lezione e segnando

Letteratura

M.L. Galitsky. Uno studio approfondito di algebra e calcolo. // Illuminismo, 1997

GV Dorofeev. Polinomi con una variabile. // San Pietroburgo. Letteratura speciale, 1997

N.Ya. Vilenkin. Algebra e analisi matematica. Grado 10 // Illuminismoe

Nota esplicativa.

Il corso è rivolto agli studenti del 10° anno del profilo fisico e matematico, che abbiano buon livello formazione matematica, ed è progettato per aiutarli a prepararsi per varie competizioni e olimpiadi in matematica, per contribuire alla continuazione di una seria educazione matematica. Amplia il corso di base in matematica, è orientato alla materia e offre agli studenti l'opportunità di familiarizzare con domande matematiche interessanti e non standard e metodi per risolvere equazioni di grado superiore. Il corso prevede la possibilità di un apprendimento differenziato.

Orientando gli scolari alla ricerca di soluzioni belle ed eleganti per risolvere equazioni di grado superiore, l'insegnante contribuisce così all'educazione estetica degli studenti e al miglioramento della loro cultura matematica. Il corso è una continuazione del libro di testo, che prevede l'insegnamento agli studenti come farlo lavoro indipendente, tecniche per la risoluzione di equazioni di grado superiore. Insegnando di proposito agli scolari a risolvere equazioni di grado superiore, si dovrebbe insegnare loro a osservare, usare l'analogia, l'induzione, i confronti e trarre conclusioni appropriate. È necessario, attraverso equazioni di grado superiore, instillare negli studenti non solo le capacità di ragionamento logico, ma anche forti capacità di pensiero euristico.

Obiettivi e obiettivi del corso.

Sviluppo dell'interesse per la matematica, il pensiero euristico.

Contribuire al proseguimento di una seria educazione matematica.

Insegnare a scegliere un metodo razionale per risolvere i problemi e giustificare la scelta fatta.

Contribuire alla formazione di uno stile di pensiero scientifico.

Preparati per l'esame.

Questo corso opzionale si compone di 34 lezioni tematiche.

Gli studenti sono informati circa lo scopo e lo scopo corso elettivo. Le lezioni includono parti teoriche e pratiche: lezioni, consultazioni, workshop, lavoro indipendente e di ricerca.

Lo studio delle principali disposizioni della teoria dei polinomi permette di generalizzare il termine di Vieta per equazioni di qualsiasi grado. La capacità di eseguire le azioni di divisione dei polinomi renderà più facile in futuro la risoluzione di problemi dall'analisi matematica.

Lo studio dello schema di Horner e del teorema sulle radici razionali di un polinomio fornisce un metodo generale per fattorizzare qualsiasi espressione algebrica. A sua volta, la capacità di risolvere equazioni di grado più elevato amplierà significativamente la gamma di equazioni e disequazioni esponenziali, logaritmiche, trigonometriche e irrazionali.

Letteratura

1. Galitsky ML, Goldman AM, Zvavich LI Raccolta di problemi di algebra per i gradi 8-9.

2 Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik SN, Pasichenko P.I. Compiti in matematica. Algebra.

3 Olehnik SN, Pasichenko PI Metodi non standard per la risoluzione di equazioni e disequazioni.

4 ..Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. Equazioni e disuguaglianze.

5. Sharygin I.F. Corso facoltativo di matematica.

Scopi e obiettivi del corso 1

Letteratura 4

Appendice 6

Obiettivi della lezione:

• insegnare agli studenti a risolvere equazioni di grado superiore usando lo schema di Horner;
• sviluppare la capacità di lavorare in coppia;
• creare, insieme alle sezioni principali del corso, una base per lo sviluppo delle capacità degli studenti;
• aiutare lo studente a valutare il suo potenziale, sviluppare l'interesse per la matematica, la capacità di pensare, parlare sull'argomento.

Attrezzatura: carte per il lavoro in gruppo, un poster con lo schema di Horner.

Metodo d'insegnamento: lezione, racconto, spiegazione, esecuzione di esercizi di formazione.

Forma di controllo: verifica di problemi di soluzione indipendente, lavoro autonomo.

Durante le lezioni

1. Momento organizzativo

2. Attualizzazione delle conoscenze degli studenti

Quale teorema ti permette di determinare se un numero è una radice data equazione(formulare un teorema)?

Il teorema di Bezout. Il resto della divisione del polinomio P(x) per il binomio x-c è uguale P(c), il numero c è detto radice del polinomio P(x) se P(c)=0. Il teorema permette, senza eseguire l'operazione di divisione, di determinare se un dato numero è una radice di un polinomio.

Quali affermazioni rendono più facile trovare le radici?

a) Se il coefficiente direttivo del polinomio è uguale a uno, allora le radici del polinomio vanno cercate tra i divisori del termine libero.

b) Se la somma dei coefficienti di un polinomio è 0, allora una delle radici è 1.

c) Se la somma dei coefficienti in luogo pari è uguale alla somma dei coefficienti in luogo dispari, allora una delle radici è uguale a -1.

d) Se tutti i coefficienti sono positivi, le radici del polinomio sono numeri negativi.

e) Un polinomio di grado dispari ha almeno una radice reale.

3. Imparare nuovo materiale

Quando si risolve tutto equazioni algebriche devo trovare i valori delle radici dei polinomi. Questa operazione può essere notevolmente semplificata se i calcoli vengono eseguiti secondo uno speciale algoritmo chiamato schema di Horner. Questo schema prende il nome dallo scienziato inglese William George Horner. Lo schema di Horner è un algoritmo per calcolare il quoziente e il resto della divisione di un polinomio P(x) per x-c. In breve, come funziona.

Sia dato un polinomio arbitrario P(x)=a 0 x n + a 1 x n-1 + ...+ a n-1 x+ a n. La divisione di questo polinomio per x-c è la sua rappresentazione nella forma P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Privato g (x) \u003d a 0 x n-1 + a n x n-2 + ... + a n-2 x + a n-1, dove a 0 \u003d a 0, a n \u003d sv n- 1 + un n , n=1,2,3,…n-1. Resto r (x) \u003d St n-1 + a n. Questo metodo di calcolo è chiamato schema di Horner. La parola "schema" nel nome dell'algoritmo è dovuta al fatto che solitamente la sua esecuzione è formalizzata come segue. Primo tavolo da disegno 2(n+2). Il numero c è scritto nella cella in basso a sinistra e i coefficienti del polinomio P (x) sono scritti nella riga superiore. In questo caso, la cella in alto a sinistra viene lasciata vuota.

	a 0 = a 0	in 1 \u003d sv 1 + a 1	in 2 \u003d sv 1 + un 2		in n-1 \u003d sv n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=sv n-1 +a n

Il numero, che dopo l'esecuzione dell'algoritmo risulta essere scritto nella cella in basso a destra, è il resto della divisione del polinomio P(x) per x-c. Gli altri numeri a 0 , a 1 , a 2 ,... della riga inferiore sono i coefficienti del quoziente.

Ad esempio: dividi il polinomio P (x) \u003d x 3 -2x + 3 per x-2.

Otteniamo che x 3 -2x + 3 \u003d (x-2) (x 2 + 2x + 2) + 7.

4. Consolidamento del materiale studiato

Esempio 1: Fattorizzare il polinomio P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 con coefficienti interi.

Cerchiamo radici intere tra i divisori del termine libero -1:1; -uno. Facciamo una tabella:

X \u003d -1 - radice

P (x) \u003d (x + 1) (2x 3 -9x 2 + 6x -1)

Controlliamo 1/2.

					X=1/2 - radice

Pertanto, il polinomio P(x) può essere rappresentato come

P (x) \u003d (x + 1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) \u003d (x + 1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

Esempio 2: Risolvi l'equazione 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Poiché la somma dei coefficienti del polinomio scritto sul lato sinistro dell'equazione è uguale a zero, allora una delle radici è 1. Usiamo lo schema di Horner:

						X=1 - radice

Otteniamo P (x) \u003d (x-1) (2x 3 -3x 2 \u003d 2x +2). Cercheremo radici tra i divisori del termine libero 2.

Abbiamo scoperto che non ci sono più radici intere. Controlliamo 1/2; -1/2.

					X \u003d -1/2 - radice

Risposta 1; -1/2.

Esempio 3: Risolvi l'equazione 5x 4 - 3x 3 - 4x 2 -3x + 5 = 0.

Cercheremo le radici di questa equazione tra i divisori del termine libero 5: 1; -1; 5; -5. x=1 è la radice dell'equazione, poiché la somma dei coefficienti è zero. Usiamo lo schema di Horner:

rappresentiamo l'equazione come un prodotto di tre fattori: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) \u003d 0. Risolvendo l'equazione quadratica 5x 2 -7x+5=0, abbiamo D=49-100=-51, non ci sono radici.

Carta 1

1. Fattorizzare il polinomio: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Risolvi l'equazione: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

Carta 2

1. Fattorizzare il polinomio: x 4 -x 3 -7x 2 + 13x-6
2. Risolvi l'equazione: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

Carta 3

1. Fattorizza: 2x 3 -21x 2 + 37x + 24
2. Risolvi l'equazione: x 3 -2x 2 +4x-8=0

Carta 4

1. Fattorizza: 5x 3 -46x 2 + 79x-14
2. Risolvi l'equazione: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Riassumendo

La verifica delle conoscenze quando si risolve in coppia viene eseguita nella lezione riconoscendo il metodo di azione e il nome della risposta.

Compiti a casa:

Risolvi le equazioni:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x + 1 \u003d 0

b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 \u003d 4 x 2

d) x 4 + 2x 3 -x-2 \u003d 0

Letteratura

1. N.Ya. Vilenkin et al., Algebra and the Beginnings of Analysis Grade 10 (studio approfondito della matematica): Enlightenment, 2005.
2. U.I. Sakharchuk, L.S. Sagatelova, Soluzione di equazioni di grado superiore: Volgograd, 2007.
3. SB GashkovSistemi numerici e loro applicazione.

1. Dividi 5X 4 + 5 X 3 + X 2 − 11 sul x - 1 usando lo schema di Horner.

Decisione:

Facciamo una tabella di due righe: nella prima riga scriviamo i coefficienti del polinomio 5 X 4 +5X 3 +X 2 −11, disposti in ordine decrescente delle potenze della variabile X. Si noti che questo polinomio non contiene X di primo grado, cioè coefficiente prima X alla prima potenza è 0. Poiché stiamo dividendo per X−1, quindi scriviamo l'unità nella seconda riga:

Iniziamo a riempire le celle vuote nella seconda riga. Nella seconda cella della seconda riga, scrivi il numero 5 , semplicemente spostandolo dalla cella corrispondente della prima riga:

Compila la cella successiva come segue: 1⋅ 5 + 5 = 10 :

Allo stesso modo, compila la quarta cella della seconda riga: 1⋅ 10 + 1 = 11 :

Per la quinta cella otteniamo: 1⋅ 11 + 0 = 11 :

E infine, per l'ultima, sesta cella, abbiamo: 1⋅ 11 + (−11)= 0 :

Il problema è risolto, resta solo da scrivere la risposta:

Come puoi vedere, i numeri posti nella seconda riga (tra uno e zero) sono i coefficienti del polinomio ottenuto dividendo 5 X 4 +5X 3 +X 2-11 in poi X-1. Naturalmente, poiché il grado del polinomio originario è 5 X 4 +5X 3 +X 2 −11 era uguale a quattro, quindi il grado del polinomio risultante 5 X 3 +10X 2 +11X+11 uno in meno, cioè è uguale a tre. L'ultimo numero della seconda riga (zero) indica il resto della divisione del polinomio 5 X 4 +5X 3 +X 2-11 in poi X−1.
Nel nostro caso, il resto è zero, cioè i polinomi sono divisibili. Questo risultato può anche essere caratterizzato come segue: il valore del polinomio 5 X 4 +5X 3 +X 2 -11 a X=1 è zero.
La conclusione può essere formulata anche nella forma seguente: poiché il valore del polinomio 5 X 4 +5X 3 +X 2 -11 a X=1 è uguale a zero, quindi l'unità è la radice del polinomio 5 X 4 +5X 3 +X 2 −11.

2. Trova il quoziente incompleto, il resto della divisione di un polinomio

MA(X) = X 3 – 2X 2 + 2X– 1 per binomio X – 1.

Decisione:

		– 2		– 1
α = 1		– 1

Risposta: Q(X) = X 2 – X + 1 , R(X) = 0.

3. Calcola il valore del polinomio MA(X) A X = – 1 se MA(X) = X 3 – 2 X – 1.

Decisione:

			– 2	– 1
α = – 1		– 1	– 1

Risposta: MA(– 1) = 0.

4. Calcola il valore del polinomioMA(X) A X= 3, quoziente incompleto e il resto, dove

MA(X)= 4 X 5 – 7X 4 + 5X 3 – 2 X + 1.

Decisione:

		– 7			– 2
α = 3					178	535

Risposta: R(X) = UN(3) = 535, Q(X) = 4 X 4 + 5X 3 + 20X 2 + 60X +178.

5. Trova le radici dell'equazioneX 3 + 4 X 2 + X – 6 = 0.

Decisione:

Troviamo i divisori del termine libero ±1; ±2; ± 3; ±6

Qui, a \u003d 1 (x - 1 \u003d x - a) e i coefficienti del polinomio divisibile sono rispettivamente uguali
1, 4, 1, - 6. Costruiamo una tabella per l'applicazione dello schema Horner:

Sia un semplice binomio della forma ax + b = 0. Non è difficile risolverlo. Devi solo spostare l'ignoto da una parte e i coefficienti dall'altra. Di conseguenza x = - b/a. L'equazione considerata può essere complicata sommando il quadrato ax2 + bx + c = 0. Si risolve trovando il discriminante. Se è maggiore di zero, allora ci saranno due soluzioni, se è uguale a zero, c'è solo una radice e quando è minore, allora non ci sono soluzioni.

Lascia che il prossimo tipo di equazione contenga la terza potenza ax3 + bx2 + c + d = 0. Questa uguaglianza causa difficoltà a molti. Anche se ci sono vari modi, consentendo di risolvere tale equazione, ad esempio la formula di Kordan, ma non possono più essere utilizzati per i gradi del quinto e degli ordini superiori. Pertanto, i matematici hanno pensato a un metodo universale con il quale sarebbe stato possibile calcolare equazioni di qualsiasi complessità.

La scuola di solito suggerisce di utilizzare il metodo del raggruppamento e dell'analisi, in cui il polinomio può essere scomposto in almeno due fattori. Per un'equazione cubica, puoi scrivere: (x - x0) (ax2 + bx + c) = 0. Quindi usano il fatto che il prodotto sarà uguale a zero solo se l'equazione binomiale lineare o quadratica è uguale ad esso. Quindi eseguire la soluzione standard. Il problema nel calcolare questo tipo di uguaglianze ridotte sorge durante la ricerca di x0. È qui che il piano di Horner aiuterà.

L'algoritmo proposto da Horner è stato effettivamente scoperto in precedenza dal matematico italiano e MD Paolo Ruffini. Fu il primo a dimostrare l'impossibilità di trovare un radicale nelle espressioni di quinto grado. Ma il suo lavoro conteneva molte contraddizioni che non permettevano di essere accettato dal mondo matematico degli scienziati. Sulla base del suo lavoro, nel 1819 il britannico William George Horner pubblicò un metodo per trovare le radici approssimative di un polinomio. Questo lavoro è stato pubblicato dalla Royal Society ed è stato chiamato il metodo Ruffini-Horner.

Dopo lo scozzese Augustus de Morgan ha ampliato le possibilità di utilizzo del metodo. Il metodo ha trovato applicazione nelle relazioni della teoria degli insiemi e nella teoria della probabilità. Infatti, lo schema è un algoritmo per calcolare il quoziente e il resto della relazione di scrittura P(x) su x-c.

Principio del metodo

Per la prima volta, gli studenti vengono introdotti al metodo per trovare le radici usando lo schema Horner nelle classi superiori. Scuola superiore a lezione di algebra. Si spiega con l'esempio di risoluzione di un'equazione di terzo grado: x3 + 6x - x - 30 = 0. Inoltre, nella condizione del problema è dato che la radice di questa equazione è il numero due. La sfida è identificare altre radici.

Questo di solito viene fatto nel modo seguente. Se il polinomio p (x) ha una radice x0, allora p (x) può essere rappresentato come il prodotto della differenza x meno x zero e di qualche altro polinomio q (x), il cui grado sarà uno in meno. Il polinomio desiderato si distingue solitamente per il metodo di divisione. Per questo esempio, l'equazione sarà simile a: (x3 + 6x - x - 30) / (x - x2). La divisione è fatta meglio con un "angolo". Il risultato è l'espressione: x 2 + 8x + 15.

Pertanto, l'espressione desiderata può essere riscritta come (x - 2) * (x 2 + 8x + 15) = 0. Successivamente, per trovare una soluzione, è necessario eseguire le seguenti operazioni:

• Trova le radici nel primo termine dell'uguaglianza, uguagliandolo a zero: x - 2 = 0. Quindi x = 2, che segue anche dalla condizione.
• Risolvi l'equazione quadratica uguagliando a zero il secondo termine del polinomio: x 2 + 8x + 15 = 0. Puoi trovare le radici attraverso il discriminante o usando le formule di Vieta. Quindi puoi scrivere che (x + 3) * (x + 5) \u003d 0, ovvero x uno è uguale a tre e x due - meno cinque.

Si trovano tutte e tre le radici. Ma qui sorge una domanda ragionevole, dove viene utilizzato lo schema Horner nell'esempio? Quindi, tutti questi calcoli ingombranti possono essere sostituiti da un algoritmo di soluzione ad alta velocità. Si compone di semplici passaggi. Per prima cosa devi disegnare una tabella contenente diverse colonne e righe. Partendo dalla seconda colonna della riga iniziale, annotare i coefficienti nell'equazione del polinomio originale. Nella prima colonna inserisci il numero per il quale verrà eseguita la divisione, ovvero i potenziali membri della soluzione (x0).

Dopo che l'x0 selezionato è stato scritto nella tabella, il riempimento avviene secondo il seguente principio:

• nella prima colonna viene demolito semplicemente ciò che si trova nell'elemento superiore della seconda colonna;
• per trovare il numero successivo, devi moltiplicare il numero riportato per x0 selezionato e aggiungere numero utile nella colonna piena in alto;
• operazioni simili vengono eseguite fino al riempimento finale di tutte le celle;
• le righe dell'ultima colonna sono uguali a zero e saranno la soluzione desiderata.

Per l'esempio in esame, quando si sostituisce un due, la linea sarà composta da una serie: 2, 1, 8, 15, 0. Quindi, si trovano tutti i membri. In questo caso, lo schema funziona per qualsiasi ordine dell'equazione della potenza.

Esempio di utilizzo

Per capire come utilizzare lo schema di Horner, bisogna considerare in dettaglio un tipico esempio. Sia richiesto di determinare la molteplicità della radice x0 del polinomio p (x) \u003d x 5 - 5x 4 + 7x 3 - 2x 2 + 4x - 8. Spesso nei problemi è necessario selezionare le radici per enumerazione, ma per risparmiare tempo, assumiamo che siano già noti e debbano solo essere verificati. Qui dovrebbe essere chiaro che utilizzando lo schema, il calcolo sarà ancora più veloce rispetto all'utilizzo di altri teoremi o del metodo di riduzione.

Secondo l'algoritmo della soluzione, prima di tutto, devi disegnare una tabella. La prima riga indica i coefficienti principali. Per l'equazione, sarà necessario disegnare otto colonne. Quindi scopri quante volte x0 = 2 rientrerà nel polinomio in studio Nella seconda riga della seconda colonna, il coefficiente viene semplicemente demolito. Per il caso in esame, sarà uguale a uno. Nella cella adiacente, il valore viene calcolato come 2 *1 -5 = -3. Nel prossimo: 2 *(-3) + 7 = 1. Riempi le celle rimanenti allo stesso modo.

Come puoi vedere, almeno una volta un due viene inserito in un polinomio. Ora dobbiamo verificare se la due è la radice dell'espressione più bassa ottenuta. Dopo aver eseguito azioni simili nella tabella, è necessario ottenere la riga seguente: 1, -1, -1. -2, 0. In effetti, questa è un'equazione quadratica, che deve anche essere verificata. Di conseguenza, la serie calcolata sarà composta da 1, 1, 1, 0.

Nell'ultima espressione, due non possono essere una soluzione razionale. Cioè, nel polinomio originale, il numero due viene usato tre volte, il che significa che puoi scrivere: (x - 2) 3 * (x 2 + x + 1). Quella due non è una radice espressione quadrata può essere compreso dai seguenti fatti:

• il coefficiente libero non è divisibile per due;
• tutti e tre i coefficienti sono positivi, il che significa che il grafico della disuguaglianza aumenterà a partire da due.

Pertanto, l'uso del sistema consente di eliminare l'uso di numeratori e divisori complessi. Tutte le azioni sono ridotte a una semplice moltiplicazione di numeri interi e selezione di zeri.

Spiegazione del metodo

La conferma della validità dell'esistenza dello schema di Horner è spiegata da una serie di fattori. Immagina che ci sia un polinomio di terzo grado: x3 + 5x - 3x + 8. Da questa espressione, x può essere estratto dalla parentesi: x * (x2 + 5x - 3) + 8. Dalla formula risultante, abbiamo può di nuovo estrarre x: x * (x * (x + 5) - 3) + 8 = x * (x* ((x * 1) + 5) - 3) + 8.

Infatti, per calcolare l'espressione risultante, puoi sostituire il valore atteso di x nella prima parentesi interna ed eseguire operazioni algebriche, secondo la precedenza. In effetti, queste sono tutte le azioni che vengono eseguite nel metodo Horner. In questo caso, i numeri 8, -3, 5, 1 sono i coefficienti del polinomio originale.

Sia un polinomio P (x) = an * x n + an -1 * x n-1 + 1x1 + a0 = 0. Se questa espressione ha una certa radice x = x0, significa che l'espressione in esame può essere riscritto come: P (x) = (x-x0) * Q(x). Questa è una conseguenza del teorema di Bezout. La cosa importante qui è che il grado del polinomio Q(x) sarà uno in meno di P(x). Pertanto, può essere scritto in una forma più piccola: P (x) = (x-x0) * (bn-1 * x n-1 + bn-2 * x n-2 + b0) = 0. Le due costruzioni sono identicamente uguali tra loro.

Ciò significa che tutti i coefficienti dei polinomi considerati sono uguali, in particolare (x0)b) = a0. Usando questo, si può sostenere che qualunque siano i numeri a0 e b0, x è sempre un divisore, cioè a0 può sempre essere diviso per le radici del polinomio. In altre parole, trovare soluzioni razionali.

Il caso generale che spiega il metodo sarebbe: an * x n + an-1 * x n-1 + ... + a1x + a0 = x * (an * x n-1 + an-1 * x n-2 + . .. + a1) + a0 = x * (x * (... (an * x + an -1)+ an-2...an-m) + a0). Cioè, lo schema funziona indipendentemente dal grado del polinomio. Lei è universale. Allo stesso tempo, è adatto sia per equazioni incomplete che complete. Questo è uno strumento che ti consente di controllare x0 per la radice. Se non è una soluzione, il numero rimanente alla fine sarà il resto della divisione del polinomio considerato.

In matematica, la notazione corretta per il metodo è: Pn(x) = ∑i = 0naixn−i = a0xn + a1xn ​​​​− 1 + a2xn − 2 +…+ an − 1x + an. In esso, il valore di i cambia da zero a en e il polinomio stesso è diviso per il binomio x - a. Dopo aver eseguito questa azione, si ottiene un'espressione il cui grado è uno in meno rispetto a quello originale. In altre parole, è definito come n - 1.

Calcolo sul calcolatore online

L'uso di risorse che forniscono l'accesso al calcolo delle radici di gradi più alti di polinomi è abbastanza conveniente. Per utilizzare tali siti, non è necessario avere conoscenze speciali in matematica o programmazione. Tutto ciò di cui l'utente ha bisogno è l'accesso a Internet e un browser che supporti gli script Java.

Ci sono dozzine di tali siti. Allo stesso tempo, alcuni di loro potrebbero chiedere un compenso monetario per la soluzione fornita. Anche se la maggior parte delle risorse sono gratuite e non calcolano solo le radici in equazioni di potenza, ma anche fornire soluzione dettagliata con commenti. Inoltre, sulle pagine dei calcolatori, chiunque può familiarizzare con un breve materiale teorico e considerare la risoluzione di esempi di varia complessità. Quindi non dovrebbero sorgere domande con il concetto di dove sia venuta la risposta.

Dell'intero set di calcolatrici online di conteggio secondo lo schema Horner, si possono distinguere i seguenti tre:

• Lavoro di controllo. Il servizio è rivolto agli studenti delle scuole superiori, ma per le sue capacità è abbastanza funzionale. Con esso, puoi controllare molto rapidamente la conformità delle radici.
• Scienza. L'applicazione consente di determinare le radici utilizzando il metodo Horner in soli due o tre secondi. Sul sito potete trovare tutta la teoria necessaria. Per eseguire il calcolo, devi familiarizzare con le regole per inserire una formula matematica, indicata proprio lì sul sito.
• Calc. Utilizzando questo sito, l'utente potrà ottenere una descrizione dettagliata della soluzione con un'immagine di tabella. Per fare ciò, inserisci l'equazione in un modulo speciale e fai clic sul pulsante "soluzione".

I programmi utilizzati per i calcoli hanno un'interfaccia intuitiva e non contengono adware o codice dannoso. Dopo aver eseguito diversi calcoli su queste risorse, l'utente sarà in grado di apprendere autonomamente come determinare le radici utilizzando il metodo Horner.

Allo stesso tempo, i calcolatori online sono utili non solo per gli studenti, ma anche per gli ingegneri che conducono calcoli complessi. Dopotutto, il calcolo indipendente richiede attenzione e concentrazione. Qualsiasi piccolo errore alla fine porterà a una risposta errata. Allo stesso tempo, è impossibile il verificarsi di un errore nei calcoli utilizzando i calcolatori online.

4x3 - 19x2 + 19x + 6 = 0

Per prima cosa devi usare il metodo di selezione per trovare una radice. Di solito è il divisore del termine libero. In questo caso, i divisori del numero 6 sono ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 4 - 19 + 19 + 6 = 10 ⇒ numero 1

-1: -4 - 19 - 19 + 6 = -36 ⇒ numero -1 non è una radice di un polinomio

2: 4 ∙ 8 - 19 ∙ 4 + 19 ∙ 2 + 6 = 0 ⇒ numero 2 è la radice del polinomio

Abbiamo trovato 1 delle radici del polinomio. La radice del polinomio è 2, il che significa che il polinomio originale deve essere divisibile per x - 2. Per eseguire la divisione dei polinomi utilizziamo lo schema di Horner:

	4	-19	19	6
2

La riga superiore contiene i coefficienti del polinomio originale. Nella prima cella della seconda riga, mettiamo la radice che abbiamo trovato 2. Nella seconda riga si scrivono i coefficienti del polinomio, che si otterranno per divisione. Contano così:

4 -19 19 6 2 4	Nella seconda cella della seconda riga, scrivi il numero 1, semplicemente spostandolo dalla cella corrispondente della prima riga.
4 -19 19 6 2 4 -11	2 ∙ 4 - 19 = -11
4 -19 19 6 2 4 -11 -3	2 ∙ (-11) + 19 = -3
4 -19 19 6 2 4 -11 -3 0	2 ∙ (-3) + 6 = 0

L'ultimo numero è il resto della divisione. Se è uguale a 0, abbiamo contato tutto correttamente.

Quindi, abbiamo scomposto il polinomio originale:

4x 3 - 19x 2 + 19x + 6 = (x - 2)(4x 2 - 11x - 3)

E ora non resta che trovare le radici dell'equazione quadratica

4x2 - 11x - 3 = 0
D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-11) 2 - 4 ∙ 4 ∙ (-3) \u003d 169
D > 0 ⇒ l'equazione ha 2 radici

Abbiamo trovato tutte le radici dell'equazione.