Disputa

Formula Cardano

Le controversie nel Medioevo sono sempre state uno spettacolo interessante, che attirava cittadini oziosi, giovani e meno giovani. Gli argomenti dei dibattiti erano vari, ma necessariamente scientifici. Allo stesso tempo, scienza significava che ciò che era incluso nell'elenco delle cosiddette sette arti libere era, ovviamente, la teologia. Le controversie teologiche erano le più frequenti. Litigavano su tutto. Ad esempio, sull'opportunità di attaccare un topo allo Spirito Santo se mangia il sacramento, la Cuma Sibilla potrebbe predire la nascita di Gesù Cristo, perché i fratelli e le sorelle del Salvatore non furono canonizzati, ecc.
Sulla disputa che si sarebbe svolta tra il famoso matematico e il non meno famoso dottore, furono espresse solo le supposizioni più generali, poiché nessuno sapeva davvero nulla. Si diceva che uno di loro ingannasse l'altro (chi esattamente e chi esattamente è sconosciuto). Quasi tutti coloro che si sono radunati in piazza avevano le idee più vaghe sulla matematica, ma tutti aspettavano con ansia l'inizio della disputa. Era sempre interessante, potevi ridere del perdente, indipendentemente dal fatto che avesse ragione o torto.
Quando l'orologio del municipio suonò le cinque, i cancelli si spalancarono e la folla si precipitò all'interno della cattedrale. Ai lati della linea centrale che collega l'ingresso all'altare, furono erette due colonne laterali seggioloni destinato ai dibattiti. I presenti fecero un gran chiasso, senza prestare attenzione al fatto che erano in chiesa. Infine, davanti alla grata di ferro che separava l'iconostasi dal resto della navata centrale, apparve il banditore cittadino in manto nero e viola e proclamò: “Venerabili cittadini della città di Milano! Ora parlerà davanti a voi il famoso matematico Niccolò Tartaglia di Brenia. Il suo avversario doveva essere il matematico e medico Geronimo Cardano. Niccolò Tartaglia accusa Cardano di essere stato l'ultimo a pubblicare nel suo libro "Ars magna" un metodo per risolvere un'equazione di 3° grado, che appartiene a lui, Tartaglia. Tuttavia, lo stesso Cardano non poté venire alla disputa e quindi mandò il suo allievo Luigi Ferrari. Quindi, il dibattito è dichiarato aperto, i suoi partecipanti sono invitati alle sedie. Un uomo goffo con il naso gobbo e la barba riccia salì sul pulpito a sinistra dell'ingresso, e un giovane sulla ventina, con un bel viso sicuro di sé, salì sul pulpito di fronte. Tutto il suo comportamento mostrava piena fiducia che ogni suo gesto e ogni sua parola sarebbero stati accolti con gioia.
iniziò Tartaglia.

Egregi Signori! Sai che 13 anni fa sono riuscito a trovare un modo per risolvere un'equazione di 3° grado, e poi, usando questo metodo, ho vinto una disputa con Fiori. Il mio metodo ha attirato l'attenzione del tuo concittadino Cardano, che ha usato tutta la sua astuzia per strapparmi il segreto. Non si è fermato all'inganno o alla falsificazione assoluta. Sai anche che 3 anni fa il libro di Cardano sulle regole dell'algebra veniva pubblicato a Norimberga, dove il mio metodo, così spudoratamente rubato, veniva messo a disposizione di tutti. Ho sfidato Cardano e il suo studente a un concorso. Mi sono offerto di risolvere 31 problemi, lo stesso numero mi è stato offerto dai miei avversari. Il termine per la risoluzione dei problemi era di 15 giorni. Sono riuscito in 7 giorni a risolvere la maggior parte dei problemi che sono stati compilati da Cardano e Ferrari. Li ho stampati e spediti con corriere a Milano. Tuttavia, ho dovuto aspettare cinque mesi interi prima di ricevere le risposte ai miei problemi. Non erano corretti. Questo mi ha dato motivo di sfidare entrambi a un dibattito pubblico.

Tartaglia taceva. Il giovane, guardando lo sfortunato Tartaglia, disse:

Egregi Signori! Il mio degno oppositore si è permesso nelle primissime parole del suo discorso di esprimere tanta calunnia contro di me e il mio maestro, la sua argomentazione era così infondata che difficilmente mi sarei preso la briga di confutare la prima e mostrarti l'incoerenza della seconda. Innanzitutto, di che inganno si può parlare se Niccolò Tartaglia condividesse completamente volontariamente il suo metodo con entrambi? Ed ecco come scrive Geronimo Cardano del ruolo del mio avversario nella scoperta della regola algebrica. Dice che non è a lui, Cardano, «ma al mio amico Tartaglia, che appartiene l'onore di scoprire una cosa così bella e stupefacente, che supera l'arguzia umana e tutti i talenti dello spirito umano. Questa scoperta è davvero un dono celeste, una prova così eccellente della forza della mente che l'ha compresa, che nulla può essere considerato irraggiungibile per essa.
Il mio avversario ha accusato me e il mio insegnante di aver dato la soluzione sbagliata ai suoi problemi. Ma come può la radice dell'equazione essere sbagliata, se sostituendola nell'equazione ed eseguendo tutte le azioni prescritte in questa equazione, arriviamo a un'identità? E già se il signor Tartaglia vuole essere coerente, allora ha dovuto rispondere all'osservazione perché noi, che abbiamo rubato, ma con le sue parole, la sua invenzione e usandola per risolvere i problemi proposti, abbiamo sbagliato soluzione. Noi - io e il mio maestro - non consideriamo però irrilevante l'invenzione del signor Tartaglia. Questa invenzione è meravigliosa. Inoltre, affidandomi molto a lui, ho trovato il modo di risolvere l'equazione del 4° grado, e in "Ars magna" ne parla il mio maestro. Cosa vuole da noi il signor Tartaglia? Cosa sta cercando di ottenere contestando?
Signori, signori, - esclamò Tartaglia, - vi prego di ascoltarmi! Non nego che il mio giovane avversario sia molto forte nella logica e nell'eloquenza. Ma questo non può sostituire una vera dimostrazione matematica. I compiti che ho affidato a Cardano e Ferrari non sono risolti correttamente, ma lo dimostrerò. In effetti, prendiamo, ad esempio, un'equazione tra coloro che l'hanno risolta. E 'noto...

Nella chiesa si levò un rumore inimmaginabile, che ingoiò completamente la fine della frase iniziata dallo sfortunato matematico. Non gli è stato permesso di continuare. La folla ha chiesto che tacesse e che il turno fosse dato alla Ferrari. Tartaglia, vedendo che il proseguimento della disputa era del tutto inutile, si abbassò in fretta dal pulpito e uscì per il portico settentrionale verso la piazza. Il pubblico ha esultato per il "vincitore" del dibattito, Luigi Ferrari.
Così finì questa disputa, che continua a causare sempre più controversie fino ad oggi. Chi possiede effettivamente il modo per risolvere l'equazione di 3° grado? Stiamo parlando ora - Niccolò Tartaglia. Ha scoperto e Cardano ha attirato questa scoperta da lui. E se ora chiamiamo formula di Cardano la formula che rappresenta le radici di un'equazione di 3° grado attraverso i suoi coefficienti, allora si tratta di un'ingiustizia storica. Tuttavia, è ingiusto? Come calcolare la misura della partecipazione alla scoperta di ciascuno dei matematici? Forse, col tempo, qualcuno saprà rispondere di sicuro a questa domanda, o forse rimarrà un mistero...

Formula Cardano

Se usiamo il linguaggio matematico moderno e il simbolismo moderno, allora la derivazione della formula di Cardano può essere trovata usando quanto segue in il grado più alto considerazioni elementari:
Lasciaci dare equazione generale 3° grado:

Se mettiamo , riduciamo l'equazione (1) alla forma

, (2)

dove , .
Introduciamo una nuova incognita usando l'uguaglianza.
Introducendo questa espressione nella (2), otteniamo

. (3)

Da qui
,

Di conseguenza,
.

Se si moltiplicano numeratore e denominatore del secondo termine per l'espressione e tieni conto che l'espressione risultante per risulta essere simmetrica rispetto ai segni "" e "", quindi finalmente otteniamo

(Il prodotto dei radicali cubici nell'ultima uguaglianza deve essere uguale a ).
Questa è la famosa formula Cardano. Se passiamo da nuovo a , otteniamo una formula che determina la radice dell'equazione generale di 3° grado.
Il giovane che aveva trattato Tartaglia così spietatamente capiva la matematica con la stessa facilità con cui comprendeva i diritti di un mistero senza pretese. La Ferrari trova un modo per risolvere un'equazione di 4° grado. Cardano ha incluso questo metodo nel suo libro. Qual è questo metodo?
Lascia stare
- (1)

Equazione generale del 4° grado.
Se mettiamo , allora l'equazione (1) può essere ridotta alla forma

, (2)

dove , , sono alcuni coefficienti dipendenti da , , , , . È facile vedere che questa equazione può essere scritta nella forma seguente:

. (3)

Infatti, basta aprire le parentesi, quindi tutti i termini che contengono , si annullano a vicenda e torneremo all'equazione (2).
Scegliamo il parametro in modo che il lato destro dell'equazione (3) sia un quadrato perfetto rispetto a . Come è noto, il necessario condizione sufficiente questa è la scomparsa del discriminante dai coefficienti del trinomio (rispetto a ) a destra:
. (4)

Abbiamo l'equazione cubica completa, che possiamo già risolvere. Troviamo parte della sua radice e aggiungiamola all'equazione (3), ora prenderà la forma

Da qui
.

Questa è un'equazione quadratica. Risolvendolo, si può trovare la radice dell'equazione (2) e, di conseguenza, (1).
4 mesi prima della morte di Cardano, completò la sua autobiografia, con la quale scrisse intensamente l'intera L'anno scorso e che doveva riassumere il suo vita difficile. Sentì l'avvicinarsi della morte. Secondo alcuni rapporti, il suo stesso oroscopo collegava la sua morte al suo 75esimo compleanno. Morì il 21 settembre 1576, 2 giorni prima dell'anniversario. C'è una versione che si è suicidato in previsione di una morte imminente, o addirittura per confermare l'oroscopo. In ogni caso, Cardano, un astrologo, ha preso sul serio l'oroscopo.

Una nota sulla formula di Cardano

Analizziamo la formula per risolvere l'equazione nella zona reale. Così,
.

Simonyan Albina

L'articolo considera tecniche e metodi per la risoluzione di equazioni cubiche. Applicazione della formula di Cardano per la risoluzione di problemi in preparazione all'esame di matematica.

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MOU DOD Palazzo della Creatività per Bambini e Giovani

Don Accademia delle scienze per giovani ricercatori

Sezione: matematica - algebra e teoria dei numeri

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"Guardiamo nel mondo delle formule"

su questo argomento "Soluzione di equazioni di 3° grado"

Supervisore: insegnante di matematica Babina Natalya Alekseevna

G.Salsk 2010

Introduzione ……………………………………………………………………………………….3
Parte principale………………………………………………………………………….4
Parte pratica…………………………………………………………………10-13
Conclusione…………………………………………………………………………………….14
Letteratura…………………………………………………………………………………..15
Applicazioni

1. Introduzione

L'istruzione in matematica ricevuta nelle scuole di istruzione generale è componente essenziale educazione generale e cultura generale uomo moderno. Quasi tutto ciò che circonda una persona è tutto connesso in un modo o nell'altro con la matematica. E le ultime conquiste in fisica, tecnologia e informatica non lasciano dubbi sul fatto che in futuro lo stato delle cose rimarrà lo stesso. Pertanto, la soluzione di molti problemi pratici si riduce alla risoluzione di vari tipi di equazioni che devono essere apprese per risolvere. Equazioni lineari il primo grado, ci è stato insegnato a risolvere in prima elementare e non abbiamo mostrato molto interesse per loro. Più interessanti sono le equazioni non lineari - equazioni di grado elevato. La matematica rivela ordine, simmetria e certezza, e queste sono le forme più alte della bellezza.

Lo scopo del mio progetto "Guardiamo nel mondo delle formule" sull'argomento "Soluzione di equazioni cubiche di terzo grado" è sistematizzare le conoscenze su come risolvere le equazioni cubiche, stabilire il fatto dell'esistenza di una formula per trovare le radici di un'equazione di terzo grado, nonché la relazione tra radici e coefficienti in un'equazione cubica. In classe abbiamo risolto equazioni, sia cubiche che gradi maggiori di 3. Risolvendo equazioni con metodi diversi, abbiamo aggiunto, sottratto, moltiplicato, diviso coefficienti, elevato a potenza e da essi estratto radici, in breve, eseguito operazioni algebriche. C'è una formula per risolvere le equazioni quadratiche. Esiste una formula per risolvere l'equazione di terzo grado, ad es. indicazioni in quale ordine e quali operazioni algebriche devono essere eseguite con i coefficienti per ottenere le radici. È diventato interessante per me sapere se famosi matematici hanno cercato di trovare una formula generale adatta per risolvere equazioni cubiche? E se hanno provato, sono stati in grado di ottenere l'espressione delle radici in termini di coefficienti dell'equazione?

2. Corpo principale:

In quei tempi lontani, quando i saggi iniziarono a pensare a uguaglianze contenenti quantità sconosciute, probabilmente non c'erano ancora monete o portafogli. Nell'antichità problemi matematici Mesopotamia, India, Cina, Grecia, quantità sconosciute esprimevano il numero di pavoni nel giardino, il numero di tori nella mandria, la totalità delle cose prese in considerazione quando si divideva la proprietà. Fonti pervenute fino a noi indicano che gli scienziati antichi possedevano alcuni metodi generali per risolvere problemi con quantità sconosciute. Tuttavia, non un singolo papiro, non una singola tavoletta d'argilla fornisce una descrizione di queste tecniche. L'eccezione è l '"Aritmetica" del matematico greco Diofanto di Alessandria (III secolo), una raccolta di problemi per la compilazione di equazioni con una presentazione sistematica delle loro soluzioni. Tuttavia, il lavoro dello studioso di Baghdad del IX secolo divenne il primo manuale per la risoluzione di problemi che divenne ampiamente noto. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi.

È così che mi è venuta l'idea di realizzare il progetto “Guardiamo nel mondo delle formule…”, le domande fondamentali di questo progetto erano:

stabilire se esiste una formula per risolvere le equazioni cubiche;
in caso di risposta positiva, la ricerca di una formula che esprima le radici di un'equazione cubica in termini di un numero finito di operazioni algebriche sui suoi coefficienti.

Poiché nei libri di testo, e in altri libri di matematica, la maggior parte dei ragionamenti e delle dimostrazioni non sono effettuati su esempi specifici, ma in vista generale, quindi ho deciso di cercare esempi particolari che confermano o confutano la mia idea. Alla ricerca di una formula per risolvere le equazioni cubiche, ho deciso di seguire gli algoritmi familiari per risolvere le equazioni quadratiche. Ad esempio, risolvendo l'equazione x 3 + 2x 2 - 5x -6=0 selezionato il cubo intero applicando la formula (x + a) 3 \u003d x 3 + 3x 2 a + 3a 2 x + a 3 . Per selezionare un cubo intero dal lato sinistro dell'equazione che ho preso, ho trasformato 2x in esso 2 su 3 x 2 e quelli. Stavo cercando un tale, in modo che l'uguaglianza sia vera 2x 2 \u003d 3x 2 a . È stato facile calcolare che a = . Trasformato il lato sinistro di questa equazionecome segue: x 3 + 2x 2 -5x-6=0

(x 3 + 3x 2 a + 3x. +) - 3x. - - 5x - 6= (x+) 3 - 6x - 6 Ho effettuato una sostituzione y \u003d x +, ad es. x = y - y 3 - 6(y -) - 6=0; alle 3 - 6a + 4- 6=0; L'equazione originale aveva la forma: 3 - 6 anni - 2=0; Si è rivelata un'equazione non molto bella, perché al posto dei coefficienti interi ora ho quelli frazionari, anche se il termine dell'equazione contenente il quadrato dell'incognita è scomparso! Sono più vicino al mio obiettivo? Dopotutto, il termine contenente il primo potere dell'ignoto è rimasto. Forse era necessario selezionare un cubo intero in modo che il termine - 5x scompaia? (x+a) 3 \u003d x 3 + 3x 2 a + 3a 2 x + a 3 . Ho trovato qualcosa del genere 3a 2 x \u003d -5x; quelli. a un 2 = - Ma poi si è rivelato piuttosto male - in questa uguaglianza, a sinistra c'è numero positivo e a destra è negativo. Non può esserci tale uguaglianza. Finora non sono stato in grado di risolvere l'equazione, ho potuto solo portarla al modulo 3 - 6 anni - 2=0.

Quindi, il risultato del lavoro da me svolto nella fase iniziale: ho potuto togliere dall'equazione cubica il termine contenente il secondo grado, cioè se dato equazione canonica Oh 3 +in 2 + cx + d, allora può essere ridotto a un'equazione cubica incompleta x 3 +px+q=0. Inoltre, lavorando con letteratura di riferimento diversa, sono stato in grado di scoprire che un'equazione della forma x 3 + px \u003d q riuscì a risolvere il matematico italiano Dal Ferro (1465-1526). Perché per questo tipo e non per il tipo x 3 + px + q \u003d 0? Questo perché a quel tempo non erano ancora stati introdotti i numeri negativi e le equazioni erano considerate solo con coefficienti positivi. E i numeri negativi sono stati riconosciuti poco dopo.Riferimento storico:Dal Ferro ha selezionato numerose opzioni per analogia con la formula delle radici del ridotto equazione quadrata. Ha ragionato così: la radice dell'equazione quadratica è - ± i.e. ha la forma: x=t ± . Ciò significa che la radice dell'equazione cubica dovrebbe essere anche la somma o la differenza di alcuni numeri e, probabilmente, tra questi dovrebbero esserci radici di terzo grado. Quali esattamente? Delle numerose opzioni, una si è rivelata vincente: ha trovato la risposta sotto forma di differenza - Era ancora più difficile indovinare che t e u dovessero essere scelti in modo che =. Sostituendo al posto di x la differenza -, e invece di p il prodotto ricevuto: (-) 3 +3 (-)=q. Parentesi aperte: t - 3 +3- u+3- 3=q. Dopo aver portato termini simili, abbiamo: t-u=q.

Il sistema di equazioni risultante è:

t u = () 3 t-u=q. Alziamo la destra e la sinistraquadra le parti della prima equazione e moltiplica la seconda equazione per 4 e aggiungi la prima e la seconda equazione. 4t 2 +2tu +u 2 =q 2 +4() 3 ; (t+u) 2 =4()+() 3 t+u =2 Da nuovo sistema t+u=2 ; t -u=q abbiamo: t= + ; u= - . Sostituendo l'espressione al posto di x, abbiamo ottenutoDurante il lavoro sul progetto, ho appreso i materiali più interessanti. Si scopre che Dal Ferro non ha pubblicato il metodo che ha trovato, ma alcuni suoi studenti erano a conoscenza di questa scoperta e presto uno di loro, Antonio Fior, ha deciso di usarlo.In quegli anni erano frequenti i dibattiti pubblici su questioni scientifiche. I vincitori di tali controversie di solito ricevevano una buona ricompensa, venivano spesso invitati a posizioni elevate.

Allo stesso tempo, nella città italiana di Verona viveva un povero insegnante di matematica Nicolò (1499-1557), soprannominato Tartaglia (cioè balbuziente). Fu molto bravo e riuscì a riscoprire la tecnica di Dal Ferro (Appendice 1).Si svolse un duello tra Fiore e Tartaglia. Secondo la condizione, i rivali si sono scambiati trenta problemi, la cui soluzione è stata data 50 giorni. Ma da allora Fior conosceva in sostanza un solo problema ed era sicuro che qualche insegnante non sarebbe stato in grado di risolverlo, quindi tutti e 30 i problemi si sono rivelati dello stesso tipo. Tartaglia li ha affrontati in 2 ore. Fiore, invece, non poteva risolvere un solo compito proposto dal nemico. La vittoria glorificò Tartaglia in tutta Italia, ma la questione non fu del tutto risolta. .

Tutto questo è stato fatto da Gerolamo Cardano. La stessa formula che fu scoperta da Dal Ferro e riscoperta da Tartaglia si chiama formula di Cardano (Appendice 2).

Cardano Girolamo (24 settembre 1501-21 settembre 1576) è stato un matematico, meccanico e medico italiano. Nato a Pavia. Ha studiato presso le Università di Pavia e Padova. Nella sua giovinezza, ha praticato la medicina. Nel 1534 divenne professore di matematica a Milano e Bologna. In matematica, il nome Cardano è solitamente associato a una formula per la risoluzione di un'equazione cubica, che ha preso in prestito da N. Tartaglia. Questa formula fu pubblicata in La grande arte di Cardano, o Sulle regole dell'algebra (1545). Da quel momento Tartaglia e Cardano sono diventati nemici mortali. Questo libro delinea sistematicamente i metodi moderni di Cardano per risolvere le equazioni, principalmente quelle cubiche. Cardano completato trasformazione lineare, che permette di ridurre l'equazione cubica ad una forma libera da un termine di 2° grado e ha evidenziato la dipendenza tra le radici e i coefficienti dell'equazione, la divisibilità del polinomio per la differenza x – a, se a è la sua radice. Cardano è stato uno dei primi in Europa ad ammettere l'esistenza di radici negative delle equazioni. Nella sua opera compaiono per la prima volta quantità immaginarie. In meccanica, Cardano studiò la teoria delle leve e dei pesi. Uno dei movimenti del segmento lungo i lati angolo retto i meccanici chiamano karda un nuovo movimento. Quindi, secondo la formula di Cardano, si possono risolvere equazioni della forma x 3 + px + q \u003d 0 (Appendice 3)

Sembra che il problema sia stato risolto. C'è una formula per risolvere le equazioni cubiche.

Eccola qui!

L'espressione sotto la radice - discriminante. D = () 2 + () 3 Ho deciso di tornare alla mia equazione e provare a risolverla usando la formula di Cardano: La mia equazione è: 3 - 6y - 2=0, dove p= - 6=-; q = - 2 = - . È facile calcolarlo () 3 ==- e () 2 ==, () 2 + () 3 = = - = - . Così? Dal numeratore di questa frazione, ho facilmente estratto la radice, è risultato 15. E cosa fare con il denominatore? Non solo la radice non viene estratta completamente, ma anche per estrarla, quindi deve provenire da un numero negativo! Che cosa c'é? Si può presumere che questa equazione non abbia radici, perché per D Quindi, mentre lavoravo al progetto, ho incontrato un altro problema.Che cosa c'é? Ho iniziato a scrivere equazioni che hanno radici, ma non contengono un termine del quadrato dell'ignoto:

fatto un'equazione che ha una radice x \u003d - 4.

x 3 + 15x + 124 = 0 E infatti, controllando ero convinto che -4 fosse la radice dell'equazione. (-4) 3 +15*(-4)+124=- 64 – 60 +124=0,

Ho verificato se questa radice può essere ottenuta usando la formula di Cardano x=+=+= =1- 5 =- 4

Ricevuto, x = -4.

fatto una seconda equazione che ha una vera radice x \u003d 1: x 3 + 3x - 4 = 0 e verificato la formula.

E in questo caso, la formula ha funzionato perfettamente.

raccolse l'equazione x 3 +6x+2=0, che ha una radice irrazionale.

Decidere data equazione, ho ottenuto questa radice x = - E poi ho avuto un'ipotesi: la formula funzionava se l'equazione avesse solo una radice. E la mia equazione, la cui soluzione mi ha portato in un vicolo cieco, aveva tre radici! Ecco dove devi cercare la causa!Ora ho preso un'equazione che ha tre radici: 1; 2; -3. x 3 – 7x +6=0 p= -7; q = 6. Verificato il discriminante: D = () 2 + () 3 = () 3 + (-) 3 = 9 -

Come sospettavo, la radice quadrata si è rivelata di nuovo un numero negativo. Sono giunto alla conclusione:percorso alle tre radici dell'equazione x 3 +px+q=0 conduce attraverso l'operazione impossibile di prendere la radice quadrata di un numero negativo.

Ora mi resta da scoprire cosa dovrò affrontare nel caso in cui l'equazione abbia due radici. Ho scelto un'equazione che ha due radici: x 3 - 12 x + 16 \u003d 0. p \u003d -12, q \u003d 16.

D=() 2 +() 3 =() 2 +() 3 \u003d 64-64 \u003d 0 D \u003d 64 - 64 \u003d 0. Ora si potrebbe concludere che il numero di radici di un'equazione cubica della forma x 3 + px + q \u003d 0 dipende dal segno del discriminante D=() 2 +() 3 nel seguente modo:

Se D>0, l'equazione ha 1 soluzione.

Se D

Se D=0, allora l'equazione ha 2 soluzioni.

Ho trovato conferma della mia conclusione in un libro di riferimento sulla matematica, autore N.I. Bronshtein. Quindi la mia conclusione: La formula di Cardano può essere utilizzata quando siamo sicuri che la radice sia unica. per me è riuscito a stabilire che esiste una formula per trovare le radici di un'equazione cubica, ma per la forma x 3 + px + q \u003d 0.

3. Parte pratica.

Lavorare al progetto “… mi ha aiutato molto nella risoluzione di alcuni problemi con i parametri. Per esempio:1. Per qual è il valore naturale più piccolo di a l'equazione x 3 -3x+4=a ha 1 soluzione? L'equazione è stata riscritta nella forma x 3 -3x+4-a=0; p= -3; q=4-a. Per condizione, deve avere 1 soluzione, ad es. D>0 Trova D. D=() 2 +(-) 3 = +(-1) 3 = == a 2 -8a+12>0

A (-∞;2) (6;∞)

Il valore naturale più piccolo di a in questo intervallo è 1.

Risposta. uno

2. A cosa il valore naturale più grande del parametro un'equazione x 3 + x 2 -8x+2-a=0 ha tre radici?

Equazione x 3 +3x 2 -24x + 6-3a = 0 portiamo alla forma y 3 + ru + q=0, dove a=1; a=3; c=-24; d=6-3à dove q= - + e 3 p = q=32-3a; p=-27. Per questo tipo di equazione D=() 2 + () 3 =() 2 +(-9) 3 = -729 =; D 2 -4 *9* (-1892) = 36864 + 68112 = 324 2 e 1 = ==28 e 2 == - = -7.

+_ . __-___ . _+

7 28

LA (-7; 28)

Il valore naturale più grande di a da questo intervallo: 28.

Risposta.28

3. A seconda dei valori del parametro a, trova il numero di radici dell'equazione x 3 - 3x - a \u003d 0

Soluzione. Nell'equazione, p = -3; q = -a. D=() 2 + () 3 =(-) 2 +(-1) 3 = -1=.

_+ . __-__ . _+

Per a (-∞;-2) (2;∞) l'equazione ha 1 soluzione;

Quando a (-2; 2) l'equazione ha 3 radici;

Quando un \u003d -2; L'equazione 2 ha 2 soluzioni.

Prove:

1. Quante radici hanno le equazioni:

1) x 3 -12x+8=0?

a) 1; b) 2; in 3; d)4

2) x 3 -9x+14=0

a) 1; b) 2; in 3; d)4

2. A quali valori di p equazione x 3 +px+8=0 ha due radici?

a) 3; b) 5; in 3; d)5

Risposta: 1.d) 4

2.c) 3.

3.c)-3

Il matematico francese Francois Viet (1540-1603) 400 anni prima di noi (Appendice 4) riuscì a stabilire una connessione tra le radici di un'equazione di secondo grado ei loro coefficienti.

X 1 + x 2 \u003d -p;

X 1 ∙x 2 \u003d q.

È diventato interessante per me scoprire: è possibile stabilire una connessione tra le radici di un'equazione di terzo grado ei loro coefficienti? Se sì, qual è questo collegamento? Così è nato il mio mini progetto. Ho deciso di utilizzare le mie abilità quadratiche esistenti per risolvere il mio problema. agito per analogia. Ho preso l'equazione x 3 +px 2 +qх+r =0. Se indichiamo le radici dell'equazione x 1, x 2, x 3 , allora l'equazione può essere scritta nella forma (x-x 1) (x-x 2) (x-x 3 )=0 Espandendo le parentesi, otteniamo: x 3 - (x 1 + x 2 + x 3) x 2 + (x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3) x - x 1 x 2 x 3 \u003d 0. Ho il seguente sistema:

X 1 + x 2 + x 3 \u003d - p;

X 1 x 2 x 3 = - r.

Pertanto, si possono mettere in relazione le radici di equazioni di grado arbitrario con i loro coefficienti.Cosa si può estrarre, nella domanda che mi interessa, dal teorema di Vieta?

1. Il prodotto di tutte le radici dell'equazione è uguale al modulo del termine libero. Se le radici dell'equazione sono interi, allora devono essere divisori del termine libero.

Torniamo all'equazione x. 3 + 2x 2 -5x-6=0. Gli interi devono appartenere all'insieme: ±1; ±2; ±3; ±6. Sostituendo sequenzialmente i numeri nell'equazione, otteniamo le radici: -3; -uno; 2.

2. Se risolvi questa equazione fattorizzando, il teorema di Vieta dà un "suggerimento":è necessario che durante la compilazione di gruppi per l'espansione appaiano numeri: divisori del termine libero. È chiaro che potresti non imparare subito, perché non tutti i divisori sono le radici dell'equazione. E, ahimè, potrebbe non funzionare affatto - dopotutto, le radici dell'equazione potrebbero non essere numeri interi.

Risolvi l'equazione x 3 +2x 2 -5x-6=0 fattorizzazione. X 3 + 2x 2 -5x-6 \u003d x 3 + (3x 2 - x 2) -3x-2x-6 \u003d x 2 (x + 3) - x (x + 3) - 2 (x + 3) \u003d (x + 3) (x 2 -x-2) \u003d \u003d (x + 3) (x 2 + x -2x -2) \u003d (x + 3) (x (x + 1) -2 (x + 1)) \u003d (x + 2) (x + 1) (x-2) L'equazione originale è equivalente a questo: ( x+2)(x+1)(x-2)=0. E questa equazione ha tre radici: -3; -1; 2. Utilizzando il "suggerimento" del teorema di Vieta, ho risolto la seguente equazione: x 3 -12x+16=0 x 1 x 2 x 3 = -16. Divisori del termine libero: ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. X 3 -12x + 16 \u003d x 3 -4x-8x + 16 \u003d (x 3 -4x) - (8x-16) \u003d x (x 2 -4)-8(x-2)=x(x-2)(x+2)-8(x-2)=

\u003d (x-2) (x (x + 2) -8) \u003d (x-2) (x 2 + 2x-8) (x-2) (x 2 + 2x-8) \u003d 0 x- 2 \u003d 0 o x 2 +2x-8=0 x=2 x 1 =-4; x 2 \u003d 2. Risposta. -4; 2.

3. Conoscendo il sistema di uguaglianze risultante, puoi trovare i coefficienti sconosciuti dell'equazione dalle radici dell'equazione.

Prove:

1. Equazione x 3 + px 2 + 19x - 12=0 ha radici 1, 3, 4. Trova il coefficiente p; Risposta. a) 12; b) 19; alle 12; d) -8 2. Equazione x 3 - 10 x 2 + 41x + r=0 ha radici 2, 3, 5. Trova il coefficiente r; Risposta. a) 19; b) -10; c) 30; d) -30.

I compiti per applicare i risultati di questo progetto in quantità sufficienti possono essere trovati nel manuale per i candidati universitari a cura di M.I.Skanavi. La conoscenza del teorema di Vieta può essere di inestimabile aiuto nella risoluzione di tali problemi.

№6.354

4. Conclusione

1. C'è una formula che esprime le radici equazione algebrica attraverso i coefficienti dell'equazione: dove D==() 2 + () 3 D>0, 1 soluzione. Formula Cardano.

2. Proprietà delle radici di un'equazione cubica

X 1 + x 2 + x 3 \u003d - p;

X 1. x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = q;

X 1 x 2 x 3 = - r.

Di conseguenza, sono giunto alla conclusione che esiste una formula che esprime le radici delle equazioni cubiche in termini di coefficienti, e c'è anche una connessione tra le radici ei coefficienti dell'equazione.

5. Letteratura:

1. Dizionario enciclopedico di un giovane matematico. AP Savin. –M.: Pedagogia, 1989.

2. Esame di stato unificato di matematica - 2004. Compiti e soluzioni. V.G.Agakov, N.D.Polyakov, M.P.Urukova e altri Cheboksary. Casa editrice Chuvash. un-ta, 2004.

3. Equazioni e disuguaglianze con parametri. V.V. Mochalov, Silvestrov V.V. Equazioni e disuguaglianze con parametri: Proc. indennità. -Cheboksary: Casa editrice Chuvash. Università, 2004.

4. Problemi in matematica. Algebra. Manuale di riferimento. Vavilov V.V., Olehnik SN-M.: Nauka, 1987.

5.Reshebnik di tutti i problemi competitivi in matematica della raccolta a cura di M.I.Skanavi. Casa editrice "Enciclopedia ucraina" intitolata a M.P. Bazhov, 1993.

6. Dietro le pagine di un libro di algebra. LF Pichurin.-M.: Illuminismo, 1990.

Anteprima:

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Didascalie delle diapositive:

Diamo un'occhiata al mondo delle formule

L'educazione matematica ricevuta nelle scuole di educazione generale è la componente più importante dell'educazione generale e della cultura generale dell'uomo moderno. Quasi tutto ciò che circonda una persona è tutto connesso in un modo o nell'altro con la matematica. E le ultime conquiste in fisica, tecnologia e informatica non lasciano dubbi sul fatto che in futuro lo stato delle cose rimarrà lo stesso. Pertanto, la soluzione di molti problemi pratici si riduce alla risoluzione di vari tipi di equazioni che devono essere apprese per risolvere. Equazioni lineari di primo grado, ci hanno insegnato a risolvere in prima elementare e non abbiamo mostrato molto interesse per loro. Più interessanti sono le equazioni non lineari - equazioni di grado elevato. La matematica rivela ordine, simmetria e certezza, e queste sono le forme più alte della bellezza. Introduzione:

l'equazione ha la forma (1) trasformiamo l'equazione in modo da selezionare un cubo esatto: moltiplichiamo (1) le equazioni per 3 (2) trasformiamo (2) le equazioni otteniamo la seguente equazione alziamo il lato destro e sinistro (3) dell'equazione alla terza potenza troviamo le radici dell'equazione Esempi di soluzioni equazioni cubiche

Equazioni quadratiche della forma in cui il discriminante Among numeri reali senza radici

Equazione di terzo grado

Nota storica: In quei tempi lontani, quando i saggi iniziarono a pensare a uguaglianze contenenti quantità sconosciute, probabilmente non c'erano ancora monete o portafogli. Negli antichi problemi matematici di Mesopotamia, India, Cina, Grecia, quantità sconosciute esprimevano il numero di pavoni nel giardino, il numero di tori nella mandria, la totalità delle cose prese in considerazione quando si divideva la proprietà. Fonti pervenute fino a noi indicano che gli scienziati antichi possedevano alcuni metodi generali per risolvere problemi con quantità sconosciute. Tuttavia, non un singolo papiro, non una singola tavoletta d'argilla fornisce una descrizione di queste tecniche. L'eccezione è l '"Aritmetica" del matematico greco Diofanto di Alessandria (III secolo), una raccolta di problemi per la compilazione di equazioni con una presentazione sistematica delle loro soluzioni. Tuttavia, il lavoro dello studioso di Baghdad del IX secolo divenne il primo manuale per la risoluzione di problemi che divenne ampiamente noto. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi.

l'equazione ha la forma (1) applichiamo la formula 1) selezionando per trovare e affinché sia soddisfatta la seguente uguaglianza, trasformiamo il lato sinistro di (1) dell'equazione come segue: selezioniamo il cubo intero come y, otteniamo l'equazione per y (2) semplifica (2) l'equazione ( 3) In (3) il termine contenente il quadrato dell'incognita è scomparso, ma il termine contenente la prima potenza dell'incognita è rimasto 2) per selezione, trova un so che la seguente uguaglianza è soddisfatta. Questa uguaglianza è impossibile perché c'è un numero positivo a sinistra e un numero negativo a sinistra. Se seguiamo questo percorso, allora rimani bloccato .... Sul percorso scelto, falliremo. Non siamo ancora stati in grado di risolvere l'equazione.

Equazioni cubiche dell'equazione della forma dove (1) 1. Semplifichiamo le equazioni per dividere per a, quindi il coefficiente in "x" diventerà uguale a 1, quindi la soluzione di qualsiasi equazione cubica si basa sulla formula del cubo somma : (2) se prendiamo allora l'equazione (1) differisce dall'equazione (2) solo il coefficiente in x e il termine libero. Aggiungiamo le equazioni (1) e (2) e ne diamo di simili: se apportiamo una modifica qui, otteniamo un'equazione cubica rispetto a y senza termine:

Cardano Girolamo

Cardano Girolamo (24 settembre 1501-21 settembre 1576) è stato un matematico, meccanico e medico italiano. Nato a Pavia. Ha studiato presso le Università di Pavia e Padova. Nella sua giovinezza, ha praticato la medicina. Nel 1534 divenne professore di matematica a Milano e Bologna. In matematica, il nome Cardano è solitamente associato a una formula per la risoluzione di un'equazione cubica, che ha preso in prestito da N. Tartaglia. Questa formula fu pubblicata in La grande arte di Cardano, o Sulle regole dell'algebra (1545). Da quel momento Tartaglia e Cardano sono diventati nemici mortali. Questo libro delinea sistematicamente i metodi moderni di Cardano per risolvere le equazioni, principalmente quelle cubiche. Cardano ha eseguito una trasformazione lineare, che ha permesso di portare un'equazione cubica in una forma libera da un termine di 2° grado; ha evidenziato il rapporto tra radici e coefficienti dell'equazione, la divisibilità di un polinomio per la differenza x – a, se a è la sua radice. Cardano è stato uno dei primi in Europa ad ammettere l'esistenza di radici negative delle equazioni. Nella sua opera compaiono per la prima volta quantità immaginarie. In meccanica, Cardano studiò la teoria delle leve e dei pesi. Uno dei movimenti di un segmento lungo i lati di un angolo retto è chiamato movimento cardanico in meccanica. Biografia di Cardano Girolamo

Allo stesso tempo, nella città italiana di Verona viveva un povero insegnante di matematica Nicolò (1499-1557), soprannominato Tartaglia (cioè balbuziente). Era molto talentuoso ed è riuscito a riscoprire la tecnica di Dal Ferro. Si svolse un duello tra Fiore e Tartaglia. Secondo la condizione, i rivali si sono scambiati 30 problemi, la cui soluzione è stata data 50 giorni. Ma poiché Fior conosceva essenzialmente un solo problema ed era sicuro che qualche insegnante non sarebbe stato in grado di risolverlo, tutti e 30 i problemi si sono rivelati dello stesso tipo. Tartaglia li affrontò in due ore. Fiore, invece, non poteva risolvere nessuno dei compiti proposti dal nemico. La vittoria ha glorificato Tartaglia in tutta Italia, ma la questione non è stata del tutto risolta: quel semplice trucco con cui siamo riusciti a trattare un membro dell'equazione contenente un quadrato di valore sconosciuto (selezionando un cubo pieno) non è stato ancora scoperto e il soluzione di equazioni tipi diversi non è stato inserito nel sistema. Fiora duello con Tartaglia

un'equazione della forma da questa equazione a calcoliamo il discriminante dell'equazione Non solo la radice di questa equazione non è completamente estratta, ma deve ancora essere estratta da un numero negativo. Che cosa c'é? Si può presumere che questa equazione non abbia radici, perché D

Le radici di un'equazione cubica dipendono dal discriminante l'equazione ha 1 soluzione l'equazione ha 3 soluzioni l'equazione ha 2 soluzioni Conclusione

l'equazione ha la forma trova le radici dell'equazione usando la formula di Cardano Esempi di risoluzione di equazioni cubiche usando la formula di Cardano

un'equazione della forma (1) da questa equazione e poiché, per condizione, questa equazione dovrebbe avere 1 soluzione, calcoliamo il discriminante (1) dell'equazione + - + 2 6 Risposta: il valore naturale più piccolo a da questo intervallo è 1 A qual è il valore naturale più piccolo un'equazione ha 1 soluzione?

La soluzione delle equazioni cubiche con il metodo Vieta Le equazioni hanno la forma

Risolvi l'equazione se è noto che il prodotto delle sue due radici è uguale a 1 secondo il teorema di Vieta e abbiamo la condizione, oppure sostituiamo il valore nella prima equazione o sostituiamo il valore della terza equazione nella prima , troveremo le radici dell'equazione o Risposta:

Letteratura utilizzata: “Matematica. Manuale didattico e metodico » Yu.A. Gusman, A.O. Smirnov. Enciclopedia “Conosco il mondo. Matematica" - Mosca, AST, 1996. "Matematica. Materiale didattico » V.T. Lisichkin. Una guida per i candidati alle università, a cura di M.I.Skanavi. Separare Esame di stato in matematica - 2004

Grazie per l'attenzione

Disputa

FormulaCardano

Ponte

Odessa

Disputa

Sulla disputa che si sarebbe svolta tra il famoso matematico e il non meno famoso dottore, furono espresse solo le supposizioni più generali, poiché nessuno sapeva davvero nulla. Si diceva che uno di loro ingannasse l'altro (chi esattamente e chi esattamente è sconosciuto). Quasi tutti coloro che si sono radunati in piazza avevano le idee più vaghe sulla matematica, ma tutti aspettavano con ansia l'inizio della disputa. Era sempre interessante, potevi ridere del perdente, indipendentemente dal fatto che avesse ragione o torto.

Quando l'orologio del municipio suonò le cinque, i cancelli si spalancarono e la folla si precipitò all'interno della cattedrale. Ai lati della linea centrale che collega l'ingresso all'altare, in corrispondenza delle due colonne laterali furono eretti due alti pulpiti, destinati ai dibattiti. I presenti fecero un gran chiasso, senza prestare attenzione al fatto che erano in chiesa. Infine, davanti alla grata di ferro che separava l'iconostasi dal resto della navata centrale, apparve il banditore cittadino in manto nero e viola e proclamò: “Venerabili cittadini della città di Milano! Ora parlerà davanti a voi il famoso matematico Niccolò Tartaglia di Brenia. Il suo avversario doveva essere il matematico e medico Geronimo Cardano. Niccolò Tartaglia accusa Cardano di essere stato l'ultimo a pubblicare nel suo libro "Ars magna" un metodo per risolvere un'equazione di 3° grado, che appartiene a lui, Tartaglia. Tuttavia, lo stesso Cardano non poté venire alla disputa e quindi mandò il suo allievo Luigi Ferrari. Quindi, il dibattito è dichiarato aperto, i suoi partecipanti sono invitati alle sedie. Un uomo goffo con il naso gobbo e la barba riccia salì sul pulpito a sinistra dell'ingresso, e un giovane sulla ventina, con un bel viso sicuro di sé, salì sul pulpito di fronte. Tutto il suo comportamento mostrava piena fiducia che ogni suo gesto e ogni sua parola sarebbero stati accolti con gioia.

iniziò Tartaglia.

Egregi Signori! Sai che 13 anni fa sono riuscito a trovare un modo per risolvere un'equazione di 3° grado, e poi, usando questo metodo, ho vinto una disputa con Fiori. Il mio metodo ha attirato l'attenzione del tuo concittadino Cardano, che ha usato tutta la sua astuzia per strapparmi il segreto. Non si è fermato all'inganno o alla falsificazione assoluta. Sai anche che 3 anni fa il libro di Cardano sulle regole dell'algebra veniva pubblicato a Norimberga, dove il mio metodo, così spudoratamente rubato, veniva messo a disposizione di tutti. Ho sfidato Cardano e il suo studente a un concorso. Mi sono offerto di risolvere 31 problemi, lo stesso numero mi è stato offerto dai miei avversari. Il termine per la risoluzione dei problemi era di 15 giorni. Sono riuscito in 7 giorni a risolvere la maggior parte dei problemi che sono stati compilati da Cardano e Ferrari. Li ho stampati e spediti con corriere a Milano. Tuttavia, ho dovuto aspettare cinque mesi interi prima di ricevere le risposte ai miei problemi. Non erano corretti. Questo mi ha dato motivo di sfidare entrambi a un dibattito pubblico.

Tartaglia taceva. Il giovane, guardando lo sfortunato Tartaglia, disse:

Egregi Signori! Il mio degno oppositore si è permesso nelle primissime parole del suo discorso di esprimere tanta calunnia contro di me e il mio maestro, la sua argomentazione era così infondata che difficilmente mi sarei preso la briga di confutare la prima e mostrarti l'incoerenza della seconda. Innanzitutto, di che inganno si può parlare se Niccolò Tartaglia condividesse completamente volontariamente il suo metodo con entrambi? Ed ecco come scrive Geronimo Cardano del ruolo del mio avversario nella scoperta della regola algebrica. Dice che non è a lui, Cardano, «ma al mio amico Tartaglia, che appartiene l'onore di scoprire una cosa così bella e stupefacente, che supera l'arguzia umana e tutti i talenti dello spirito umano. Questa scoperta è davvero un dono celeste, una prova così eccellente della potenza della mente che l'ha compresa, che nulla può essere considerato irraggiungibile per essa.

Il mio avversario ha accusato me e il mio insegnante di aver dato la soluzione sbagliata ai suoi problemi. Ma come può la radice dell'equazione essere sbagliata, se sostituendola nell'equazione ed eseguendo tutte le azioni prescritte in questa equazione, arriviamo a un'identità? E già se il signor Tartaglia vuole essere coerente, allora ha dovuto rispondere all'osservazione perché noi, che abbiamo rubato, ma con le sue parole, la sua invenzione e usandola per risolvere i problemi proposti, abbiamo sbagliato soluzione. Noi - io e il mio maestro - non consideriamo però irrilevante l'invenzione del signor Tartaglia. Questa invenzione è meravigliosa. Inoltre, affidandomi molto a lui, ho trovato il modo di risolvere l'equazione del 4° grado, e in "Ars magna" ne parla il mio maestro. Cosa vuole da noi il signor Tartaglia? Cosa sta cercando di ottenere contestando?

Signori, signori, - esclamò Tartaglia, - vi prego di ascoltarmi! Non nego che il mio giovane avversario sia molto forte nella logica e nell'eloquenza. Ma questo non può sostituire una vera dimostrazione matematica. I compiti che ho affidato a Cardano e Ferrari non sono risolti correttamente, ma lo dimostrerò. In effetti, prendiamo, ad esempio, un'equazione tra coloro che l'hanno risolta. E 'noto...

... Si è conclusa così questa disputa, che continua a causare sempre più controversie anche adesso. Chi possiede effettivamente il modo per risolvere l'equazione di 3° grado? Stiamo parlando ora - Niccolò Tartaglia. Ha scoperto e Cardano ha attirato questa scoperta da lui. E se ora chiamiamo formula di Cardano la formula che rappresenta le radici di un'equazione di 3° grado attraverso i suoi coefficienti, allora si tratta di un'ingiustizia storica. Tuttavia, è ingiusto? Come calcolare la misura della partecipazione alla scoperta di ciascuno dei matematici? Forse, col tempo, qualcuno saprà rispondere di sicuro a questa domanda, o forse rimarrà un mistero...

Formula Cardano

Se usiamo il linguaggio matematico moderno e il simbolismo moderno, allora la derivazione della formula di Cardano può essere trovata usando le seguenti considerazioni estremamente elementari:

Diamo un'equazione generale di 3° grado:

ascia 3 +3bx 2 +3cx+d=0 (1)

Se mettiamo

, quindi diamo l'equazione (1) alla mente

Introduciamo un nuovo sconosciuto u usando l'uguaglianza

Introducendo questa espressione in (2) , noi abbiamo

Di conseguenza

Se il numeratore e il denominatore del secondo termine vengono moltiplicati per l'espressione e presi in considerazione, l'espressione risultante per tu risulta essere simmetrico rispetto ai segni "+" e "-", quindi finalmente otteniamo

(Il prodotto dei radicali cubici nell'ultima uguaglianza deve essere uguale P).

Questa è la famosa formula Cardano. Se vai da y torna a X, quindi otteniamo una formula che determina la radice dell'equazione generale di 3° grado.

Il giovane che aveva trattato Tartaglia così spietatamente capiva la matematica con la stessa facilità con cui comprendeva i diritti di un mistero senza pretese. La Ferrari trova un modo per risolvere un'equazione di 4° grado. Cardano ha incluso questo metodo nel suo libro. Qual è questo metodo?

Lascia stare (1)

- equazione generale di 4° grado.

Se mettiamo,

poi l'equazione (1) può essere ricordato

dove p,q,r sono alcuni coefficienti a seconda a,b,c,d,e. È facile vedere che questa equazione può essere scritta nella forma seguente:

In effetti, è sufficiente aprire le parentesi, quindi tutti i membri che contengono T, si cancellano a vicenda e si torna all'equazione (2) .

Scegliamo il parametro T in modo che il lato destro dell'equazione (3) era un quadrato perfetto rispetto a y. Come è noto, condizione necessaria e sufficiente per questo è l'annullamento del discriminante dai coefficienti del trinomio (rispetto a y) sulla destra:

Abbiamo l'equazione cubica completa, che possiamo già risolvere. Troviamo parte della sua radice e mettiamola nell'equazione (3) , assumerà ora il modulo

Questa è un'equazione quadratica. Risolvendolo, puoi trovare la radice dell'equazione (2) , e quindi (1) .

4 mesi prima della sua morte, Cardano terminò la sua autobiografia, che aveva scritto intensamente nell'ultimo anno e che avrebbe dovuto riassumere la sua vita difficile. Sentì l'avvicinarsi della morte. Secondo alcuni rapporti, il suo stesso oroscopo collegava la sua morte al suo 75esimo compleanno. Morì il 21 settembre 1576. 2 giorni prima dell'anniversario. C'è una versione che si è suicidato in previsione di una morte imminente, o addirittura per confermare l'oroscopo. In ogni caso, Cardano, un astrologo, ha preso sul serio l'oroscopo.

Una nota sulla formula di Cardano

Analizziamo la formula per risolvere l'equazione nel dominio reale. Così,

Quando si calcola X dobbiamo prendere prima la radice quadrata e poi la radice cubica. Possiamo estrarre la radice quadrata rimanendo nel dominio reale se . Due valori della radice quadrata, che differiscono nel segno, appaiono in termini diversi per X. I valori radice cubica nel dominio reale è unico e si ottiene una radice reale unica X a . Esaminando il grafico del trinomio cubico, è facile verificare che esso abbia effettivamente un'unica radice reale a . Quando ci sono tre vere radici. Per , c'è una radice reale doppia e una radice singola, e per - una radice tripla x=0.

Continuiamo lo studio della formula per . Risulta. E se, in questo caso, un'equazione con coefficienti interi ha una radice intera, quando la si calcola secondo la formula, possono sorgere irrazionalità intermedie. Ad esempio, l'equazione ha una sola radice (reale) - x=1. La formula di Cardano dà l'espressione a questa vera radice unica

Ma in effetti, qualsiasi dimostrazione implica l'uso del fatto che questa espressione è la radice dell'equazione. Se non lo indovini, durante la trasformazione appariranno radicali cubici indistruttibili.

Il problema Cardano-Tartaglia fu presto dimenticato. La formula per risolvere l'equazione cubica era associata alla "Grande Arte" e gradualmente iniziò a essere chiamata formula Cardano.

Molti avevano il desiderio di ripristinare il vero quadro degli eventi in una situazione in cui i partecipanti non dicevano certamente tutta la verità. Per molti era importante stabilire l'entità della colpa di Cardano. Entro la fine del XIX secolo, parte delle discussioni iniziarono ad assumere il carattere di una seria ricerca storica e matematica. I matematici si resero conto del ruolo importante svolto dall'opera di Cardano alla fine del XVI secolo. Era chiaro ciò che Leibniz aveva notato già prima: “Cardano era un grande uomo per tutte le sue mancanze; senza di loro sarebbe perfetto".

COMUNALE VII CONFERENZA SCIENTIFICA E PRATICA DEGLI STUDENTI "GIOVANI: CREATIVITÀ, RICERCA, SUCCESSO"

Anninsky territorio comunale

regione di Voronez

Sezione:MATEMATICA

Argomento:"La formula Cardano: storia e applicazioni"

MKOU Anninskaya scuola secondaria n. 3, 9 classe "B".

Niccolò Fontana Tartaglia (1499-1557) è stato un matematico italiano.

In generale, la storia racconta che la formula fu originariamente scoperta da Tartaglia e consegnata a Cardano già in forma finita, ma lo stesso Cardano negò questo fatto, sebbene non neghi il coinvolgimento di Tartaglia nella creazione della formula.

Dietro la formula è saldamente radicato il nome "formula di Cardano", in onore dello scienziato che l'ha effettivamente spiegata e presentata al pubblico.

Quando l'orologio del municipio suonò le cinque, i cancelli si spalancarono e la folla si precipitò all'interno della cattedrale. Ai lati della linea centrale che collega l'ingresso all'altare, in corrispondenza delle due colonne laterali furono eretti due alti pulpiti, destinati ai dibattiti. I presenti fecero un gran chiasso, senza prestare attenzione al fatto che erano in chiesa. Infine, davanti alla grata di ferro che separava l'iconostasi dal resto della navata centrale, apparve il banditore cittadino in manto nero e viola e proclamò: “Venerabili cittadini della città di Milano! Ora parlerà davanti a voi il famoso matematico Niccolò Tartaglia di Brenia. Il suo avversario doveva essere il matematico e medico Geronimo Cardano. Niccolò Tartaglia accusa Cardano di aver pubblicato nel suo libro "Arsmagna" un metodo per risolvere un'equazione di 3° grado, che appartiene a lui, Tartaglia. Tuttavia, lo stesso Cardano non poté venire alla disputa e quindi mandò il suo allievo Luigi Ferrari. Quindi, il dibattito è dichiarato aperto, i suoi partecipanti sono invitati alle sedie. Un uomo goffo con il naso gobbo e la barba riccia salì sul pulpito a sinistra dell'ingresso, e un giovane sulla ventina, con un bel viso sicuro di sé, salì sul pulpito di fronte. Tutto il suo comportamento mostrava piena fiducia che ogni suo gesto e ogni sua parola sarebbero stati accolti con gioia.

iniziò Tartaglia.

Tartaglia taceva. Il giovane, guardando lo sfortunato Tartaglia, disse:

Egregi Signori! Il mio degno oppositore si è permesso nelle primissime parole del suo discorso di esprimere tanta calunnia contro di me e il mio maestro, la sua argomentazione era così infondata che difficilmente mi sarei preso la briga di confutare la prima e mostrarti l'incoerenza della seconda. Innanzitutto, di che inganno si può parlare se Niccolò Tartaglia condividesse completamente volontariamente il suo metodo con entrambi? Ed ecco come scrive Geronimo Cardano del ruolo del mio avversario nella scoperta della regola algebrica. Dice che non è a lui, Cardano, «ma al mio amico Tartaglia, che appartiene l'onore di scoprire una cosa così bella e stupefacente, che supera l'arguzia umana e tutti i talenti dello spirito umano. Questa scoperta è davvero un dono celeste, una prova così eccellente della forza della mente che l'ha compresa, che nulla può essere considerato irraggiungibile per essa.

Il mio avversario ha accusato me e il mio insegnante di aver dato la soluzione sbagliata ai suoi problemi. Ma come può la radice dell'equazione essere sbagliata, se sostituendola nell'equazione ed eseguendo tutte le azioni prescritte in questa equazione, arriviamo a un'identità? E già se il signor Tartaglia vuole essere coerente, allora doveva rispondere all'osservazione perché noi, che, con le sue parole, abbiamo rubato la sua invenzione e l'abbiamo usata per risolvere i problemi proposti, abbiamo ricevuto la soluzione sbagliata. Noi - io e il mio maestro - non consideriamo però irrilevante l'invenzione del signor Tartaglia. Questa invenzione è meravigliosa. Inoltre, affidandomi molto a lui, ho trovato il modo di risolvere l'equazione del 4° grado, e in "Arsmagna" ne parla il mio maestro. Cosa vuole da noi il signor Tartaglia? Cosa sta cercando di ottenere contestando?

Signori, signori, - esclamò Tartaglia, - vi prego di ascoltarmi! Non nego che il mio giovane avversario sia molto forte nella logica e nell'eloquenza. Ma questo non può sostituire una vera dimostrazione matematica. I compiti che ho affidato a Cardano e Ferrari sono stati risolti in modo errato, ma lo dimostrerò. In effetti, prendiamo, ad esempio, un'equazione tra coloro che l'hanno risolta. E 'noto...

Così finì questa disputa, che continua a causare sempre più controversie fino ad oggi. Chi possiede effettivamente il modo per risolvere l'equazione di 3° grado? Stiamo parlando ora - Niccolò Tartaglia. Ha scoperto e Cardano ha attirato questa scoperta da lui. E se ora chiamiamo formula di Cardano la formula che rappresenta le radici di un'equazione di 3° grado attraverso i suoi coefficienti, allora si tratta di un'ingiustizia storica. Tuttavia, è ingiusto? Come calcolare la misura della partecipazione alla scoperta di ciascuno dei matematici? Forse, col tempo, qualcuno saprà rispondere di sicuro a questa domanda, o forse rimarrà un mistero...

Se usiamo il linguaggio matematico moderno e il simbolismo moderno, allora la derivazione della formula di Cardano può essere trovata usando le seguenti considerazioni estremamente elementari:

Diamo un'equazione generale di 3° grado:

X 3 + ascia 2 + bx + C = 0,

(1)

dovea, b, c – numeri reali arbitrari.

Sostituiamo nell'equazione (1) la variabileX a una nuova variabile ysecondo la formula:

X 3 +ascia 2 +bx+c = (y ) 3 + a(a ) 2 + b(a ) + c = y 3 3 anni 2 + 3 anni+ a(a 2 2 anni+di =y 3 y 3 + (b

quindi l'equazione (1) assume la formay 3 + ( B

Se introduciamo la notazioneP = B, Q = ,

quindi l'equazione assumerà la formay 3 + pi + Q = 0.

Questa è la famosa formula Cardano.

Le radici dell'equazione cubicay 3 + pi + Q = 0 dipendono dal discriminante

SeD> 0, alloraun polinomio cubico ha tre radici reali distinte.

SeD< 0, то un polinomio cubico ha una radice reale e due radici complesse (che sono coniugate complesse).

SeD = 0, ha una radice multipla (o una radice di molteplicità 2 e una radice di molteplicità 1, entrambe reali; o un'unica radice reale di molteplicità 3).

2.4. Esempi di modi universali per risolvere equazioni cubiche

Proviamo ad applicare la formula Cardan alla soluzione di equazioni specifiche.

Esempio 1: X 3 +15 X+124 = 0

QuiP = 15; Q = 124.

Risposta:X

Un'equazione cubica contenente coefficienti con una radice reale, gli altri due sono considerati una coppia coniugata complessa. Saranno considerate equazioni con binomi ed equazioni reciproche, oltre che con ricerca radici razionali. Tutte le informazioni saranno supportate da esempi.

Soluzione di un'equazione cubica a due termini della forma A x 3 + B = 0

Un'equazione cubica contenente un binomio ha la forma A x 3 + B = 0 . Deve essere ridotto a x 3 + B A \u003d 0 dividendo per A, che è diverso da zero. Successivamente, puoi applicare la formula per la moltiplicazione abbreviata della somma dei cubi. Lo capiamo

x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 - B A 3 x + B A 2 3 = 0

Il risultato della prima parentesi assumerà la forma x \u003d - B A 3 e il trinomio quadrato - x 2 - B A 3 x + B A 2 3 e solo con radici complesse.

Esempio 1

Trova le radici dell'equazione cubica 2 x 3 - 3 = 0.

Soluzione

Devi trovare x dall'equazione. Scriviamo:

2 x 3 - 3 = 0 x 3 - 3 2 = 0

È necessario applicare la formula di moltiplicazione abbreviata. Allora lo capiamo

x 3 - 3 2 = 0 x - 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

Espandi la prima parentesi e ottieni x = 3 3 2 6 . La seconda parentesi non ha radici reali perché il discriminante è minore di zero.

Risposta: x = 3 3 2 6 .

Soluzione dell'equazione cubica reciproca della forma A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

La forma dell'equazione quadratica è A x 3 + B x 2 + B x + A \u003d 0, dove i valori di A e B sono coefficienti. Il raggruppamento è obbligatorio. Lo capiamo

A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 - x + 1 + B xx + 1 = x + 1 A x 2 + x BA+A

La radice dell'equazione è x \u003d - 1, quindi per ottenere le radici trinomio quadrato A x 2 + x B - A + A deve essere utilizzato per trovare il discriminante.

Esempio 2

Risolvi un'equazione come 5 x 3 - 8 x 2 - 8 x + 5 = 0 .

Soluzione

L'equazione è reversibile. Il raggruppamento è obbligatorio. Lo capiamo

5 x 3 - 8 x 2 - 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 - 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 - x + 1 - 8 xx + 1 = x + 1 5 x 2 - 5 x + 5 - 8 x = = x + 1 5 x 2 - 13 x + 5 = 0

Se x \u003d - 1 è la radice dell'equazione, devi trovare le radici del trinomio dato 5 x 2 - 13 x + 5:

5 x 2 - 13 x + 5 = 0 D = (- 13) 2 - 4 5 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 - 69 2 5 = 13 10 - 69 10

Risposta:

x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 - 69 10 x 3 = - 1

Soluzione di equazioni cubiche con radici razionali

Se x \u003d 0, allora è la radice dell'equazione della forma A x 3 + B x 2 + C x + D \u003d 0. Con un termine libero D \u003d 0, l'equazione assume la forma A x 3 + B x 2 + C x \u003d 0. Quando x viene tolto da parentesi, otteniamo che l'equazione cambia. Quando si risolve attraverso il discriminante o Vieta, assumerà la forma x A x 2 + B x + C = 0 .

Esempio 3

Trova le radici dell'equazione data 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 .

Soluzione

Semplifichiamo l'espressione.

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

X = 0 è la radice dell'equazione. Dovresti trovare le radici di un trinomio quadrato della forma 3 x 2 + 4 x + 2. Per fare ciò, è necessario equiparare a zero e continuare la soluzione utilizzando il discriminante. Lo capiamo

D \u003d 4 2 - 4 3 2 \u003d - 8. Poiché il suo valore è negativo, non ci sono radici trinomiali.

Risposta: x = 0.

Quando i coefficienti dell'equazione A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 sono interi, allora nella risposta puoi ottenere radici irrazionali. Se A ≠ 1, moltiplicando per A 2 entrambe le parti dell'equazione, viene eseguita una modifica delle variabili, ovvero y \u003d A x:

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 x 3 + B A 2 x 2 + C A A x + D A 2 = 0 y = A x ⇒ y 3 + B y 2 + C A y + D A 2

Veniamo alla forma di un'equazione cubica. Le radici possono essere intere o razionali. Per ottenere un'uguaglianza identica, è necessario sostituire i divisori nell'equazione risultante. Quindi la risultante y 1 sarà la radice. Ciò significa che la radice dell'equazione originale della forma x 1 = y 1 A . È necessario dividere il polinomio A x 3 + B x 2 + C x + D per x - x 1 . Quindi possiamo trovare le radici del trinomio quadrato.

Esempio 4

Soluzione

È necessario eseguire una trasformazione moltiplicando entrambe le parti per 2 2 e modificando una variabile del tipo y \u003d 2 x. Lo capiamo

2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 - 11 2 2 x 2 + 24 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 - 11 y 2 + 24 y + 36 = 0

Il termine libero è 36 , quindi devi correggere tutti i suoi divisori:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 , ± 12 , ± 36

È necessario effettuare una sostituzione y 3 - 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 per ottenere un'identità della forma

1 3 - 11 1 2 + 24 1 + 36 = 50 ≠ 0 (- 1) 3 - 11 (- 1) 2 + 24 (- 1) + 36 = 0

Da qui vediamo che y \u003d - 1 è la radice. Quindi x = y 2 = - 1 2 .

Abbiamo quello

2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 - 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 - 6 x + 9

Successivamente, devi trovare le radici di un'equazione quadratica della forma x 2 - 6 x + 9. Abbiamo che l'equazione dovrebbe essere ridotta alla forma x 2 - 6 x + 9 \u003d x - 3 2, dove x \u003d 3 sarà la sua radice.

Risposta: x 1 \u003d - 1 2, x 2, 3 \u003d 3.

Commento

L'algoritmo può essere applicato alle equazioni reciproche. Si può vedere che - 1 è la sua radice, il che significa che il lato sinistro può essere diviso per x + 1. Solo allora sarà possibile trovare le radici del trinomio quadrato. In assenza di radici razionali, vengono utilizzati altri metodi di risoluzione per fattorizzare il polinomio.

Risolvere equazioni cubiche usando la formula di Cardano

Trovare le radici del cubo è possibile usando la formula di Cardano. Per A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0, devi trovare B 1 = A 1 A 0 , B 2 = A 2 A 0 , B 3 = A 3 A 0 .

Allora p = - B 1 2 3 + B 2 e q = 2 B 1 3 27 - B 1 B 2 3 + B 3 .

Il risultante p e q nella formula di Cardano. Lo capiamo

y = - q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + - q 2 - q 2 4 + p 3 27 3

La selezione delle radici del cubo deve soddisfare il valore di output - p 3 . Quindi le radici dell'equazione originale x = y - B 1 3 . Considerare di risolvere l'esempio precedente usando la formula di Cardano.

Esempio 5

Trova le radici dell'equazione data 2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Soluzione

Si può vedere che A 0 \u003d 2, A 1 \u003d - 11, A 2 \u003d 12, A 3 \u003d 9.

È necessario trovare B 1 = A 1 A 0 = - 11 2, B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6, B 3 = A 3 A 0 = 9 2.

Quindi ne consegue che

p = - B 1 2 3 + B 2 = - - 11 2 2 3 + 6 = - 121 12 + 6 = - 49 12 q = 2 B 1 3 27 - B 1 B 2 3 + B 3 = 2 - 11 2 3 27 - - 11 2 6 3 + 9 2 = 343 108

Facciamo una sostituzione nella formula Cordano e otteniamo

y = - q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + - q 2 - - q 2 4 + p 3 27 3 = = - 343 216 + 343 2 4 108 2 - 49 3 27 12 3 3 + - 343 216 - 343 2 4 108 2 - 49 3 27 12 3 3 = = - 343 216 3 + - 343 216 3

343 216 3 ha tre significati. Consideriamoli di seguito.

343 216 3 \u003d 7 6 cos π + 2 π k 3 + io sin π + 2 π k 3, k \u003d 0, 1, 2

Se k \u003d 0, allora - 343 216 3 \u003d 7 6 cos π 3 + io sin π 3 \u003d 7 6 1 2 + io 3 2

Se k = 1 allora - 343 216 3 = 7 6 cosπ + i sinπ = - 7 6

Se k \u003d 2, allora - 343 216 3 \u003d 7 6 cos 5 π 3 + io sin 5 π 3 \u003d 7 6 1 2 - io 3 2

È necessario dividere in coppie, quindi otteniamo - p 3 = 49 36 .

Quindi otteniamo coppie: 7 6 1 2 + i 3 2 e 7 6 1 2 - i 3 2 , - 7 6 e - 7 6 , 7 6 1 2 - i 3 2 e 7 6 1 2 + i 3 2.

Trasformiamo usando la formula di Cordano:

y 1 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = = 7 6 1 2 + io 3 2 + 7 6 1 2 - io 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = - 7 6 + - 7 6 = - 14 6 y 3 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = = 7 6 1 2 - io 3 2 + 7 6 1 2 + io 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

x 1 = y 1 - B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 - B 1 3 = - 14 6 + 11 6 = - 1 2 x 3 = y 3 - B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3

Risposta: x 1 \u003d - 1 2, x 2, 3 \u003d 3

Quando si risolvono equazioni cubiche, si può incontrare la riduzione alla soluzione di equazioni di 4° grado con il metodo Ferrari.

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