Conduttività termicaè uno dei tipi di trasferimento di calore. Il trasferimento di calore può essere effettuato con vari meccanismi.
Tutti i corpi emettono onde elettromagnetiche. A temperatura ambiente, si tratta principalmente di radiazione infrarossa. Le cose stanno così trasferimento di calore radiante.
In presenza di un campo gravitazionale, può essere un altro meccanismo per il trasferimento di calore nei fluidi convezione. Se il calore viene fornito a un recipiente contenente un liquido o un gas attraverso il fondo, le porzioni inferiori della sostanza vengono riscaldate prima di tutto, la loro densità diminuisce, galleggiano verso l'alto e rilasciano parte del calore ricevuto agli strati superiori.
Con la conduzione del calore, il trasferimento di energia avviene come risultato del trasferimento diretto di energia da particelle (molecole, atomi, elettroni) con energia maggiore a particelle con energia inferiore.
Nel nostro corso considereremo il trasferimento di calore per conduzione.
Consideriamo prima il caso unidimensionale, quando la temperatura dipende da una sola coordinata X. Lascia che due supporti siano separati da una partizione piatta di spessore l(Fig. 23.1). Temperature dei mezzi T 1 e T 2 sono mantenuti costanti. Empiricamente, si può stabilire che la quantità di calore Q trasmessa attraverso la sezione della partizione con un'area S nel corso Tè uguale a
, (23.1)
dove il coefficiente di proporzionalità k dipende dal materiale della parete.
In T 1 > T 2 il calore viene trasferito nella direzione dell'asse positivo X, a T 1 < T 2 - in negativo. La direzione di propagazione del calore può essere presa in considerazione se nell'equazione (23.1) sostituiamo ( T 1 - T 2)/l sul (- dT/dx). Nel caso unidimensionale, la derivata dT/dx rappresenta gradiente di temperatura. Ricordiamo che il gradiente è un vettore la cui direzione coincide con la direzione dell'incremento più rapido funzione scalare coordinate (nel nostro caso T), e il modulo è uguale al rapporto tra l'incremento della funzione con un piccolo spostamento in questa direzione e la distanza alla quale si è verificato questo incremento.
Per dare alle equazioni che descrivono il trasferimento di calore una forma più generale e universale, consideriamo densità del flusso di calore j - quantità di calore trasferita per unità di superficie per unità di tempo
Allora la relazione (23.1) può essere scritta come
Qui, il segno meno riflette il fatto che la direzione del flusso di calore è opposta alla direzione del gradiente di temperatura (la direzione del suo aumento). Pertanto, la densità del flusso di calore è una quantità vettoriale. Il vettore della densità del flusso di calore è diretto nella direzione della diminuzione della temperatura.
Se la temperatura del mezzo dipende da tutte e tre le coordinate, allora la relazione (23.3) assume la forma
dove 
, - gradiente di temperatura ( e
1 ,e
2 ,e
3 - vettori unitari degli assi coordinati).
Le relazioni (23.3) e (23.4) rappresentano la legge fondamentale della conduzione del calore (legge di Fourier): la densità del flusso di calore è proporzionale al gradiente di temperatura. Viene chiamato il coefficiente di proporzionalità k conduttività termica(o solo conducibilità termica). Perché dimensione della densità del flusso di calore [ J] = J / (m 2 s) e il gradiente di temperatura [ dT/dx] = K/m, allora la dimensione del coefficiente di conducibilità termica è [k] = J/(m×s×K).
Nel caso generale, la temperatura in vari punti di una sostanza riscaldata in modo non uniforme cambia nel tempo. Si consideri il caso unidimensionale in cui la temperatura dipende da una sola coordinata spaziale X E tempo T, e otteniamo equazione del caloreè l'equazione differenziale soddisfatta dalla funzione T = T(X,T).
Individuiamo mentalmente nel mezzo un elemento di piccolo volume a forma di cilindro o prisma, la cui generatrice è parallela all'asse X, e le basi sono perpendicolari (Figura 23.2). Zona di base S, e l'altezza dx. La massa di questo volume dm= R sdx, e la sua capacità termica c × dm dove r è la densità della materia, da - calore specifico. Lasciate per un breve periodo di tempo dt la temperatura in questo volume è cambiata di dT. Per fare ciò, la sostanza nel volume deve ricevere una quantità di calore pari al prodotto della sua capacità termica e della variazione di temperatura: 
. D'altra parte, d Q può entrare nel volume solo attraverso le basi del cilindro: (densità dei flussi di calore J può essere positivo o negativo). Espressioni di equazione per d Q, noi abbiamo
.
Sostituendo i rapporti di piccoli incrementi con le corrispondenti derivate, si arriva alla relazione
. (23.5)
Sostituisci nella formula (23.5) l'espressione (23.3) per la densità del flusso di calore
. (23.6)
L'equazione risultante viene chiamata equazione del calore. Se il mezzo è omogeneo e la conducibilità termica k non dipende dalla temperatura, l'equazione assume la forma
, (23.7)
dove viene chiamata la costante diffusività termica ambiente.
Le equazioni (23.6) - (23.8) sono soddisfatte da un insieme non numerabile di funzioni T = T(X,T).
Per isolare l'unica soluzione dell'equazione del calore, è necessario aggiungere all'equazione l'iniziale e condizioni di confine.
La condizione iniziale è impostare la distribuzione della temperatura nel mezzo T(X,0) al momento iniziale T = 0.
Le condizioni al contorno possono essere diverse a seconda del regime di temperatura ai confini. Molto spesso, ci sono situazioni in cui la temperatura o la densità del flusso di calore è specificata ai confini in funzione del tempo.
In alcuni casi, potrebbero esserci fonti di calore nell'ambiente. Il calore può essere rilasciato a seguito del passaggio corrente elettrica, reazioni chimiche o nucleari. La presenza di fonti di calore può essere presa in considerazione introducendo la densità volumetrica dell'energia rilasciata Q(X,y,z), uguale al numero calore rilasciato dalle sorgenti per unità di volume del mezzo per unità di tempo. In questo caso, il termine apparirà sul lato destro dell'equazione (23.5) Q:
.
Lo studio di qualsiasi fenomeno fisico si riduce a stabilire la relazione tra le grandezze che caratterizzano questo fenomeno. Per complesso processi fisici, in cui le quantità di definizione possono variare significativamente nello spazio e nel tempo, è abbastanza difficile stabilire la relazione tra queste quantità. In questi casi vengono utilizzati metodi della fisica matematica, che consistono nel fatto che l'intervallo di tempo è limitato e si considera un volume elementare dall'intero spazio. Ciò consente, all'interno del volume selezionato e di un determinato intervallo di tempo, di ignorare le variazioni delle grandezze caratterizzanti il processo e di semplificare notevolmente la dipendenza.
Così scelto volume elementare dV e intervallo di tempo elementare dτ, all'interno del quale si considera il processo, con punto matematico Da un punto di vista fisico sono quantità infinitesime, e da un punto di vista fisico, le quantità sono ancora abbastanza grandi da poter considerare entro i loro limiti il mezzo come continuo, trascurando la sua struttura discreta. La dipendenza così ottenuta è l'equazione differenziale generale del processo. Integrando le equazioni differenziali si ottiene una relazione analitica tra le grandezze per l'intero dominio di integrazione e l'intero intervallo di tempo considerato.
Per risolvere i problemi relativi alla ricerca del campo di temperatura, è necessario disporre di un'equazione differenziale di conduzione del calore.
Facciamo le seguenti ipotesi:
il corpo è omogeneo e isotropo;
i parametri fisici sono costanti;
la deformazione del volume considerato, associata ad una variazione di temperatura, è molto piccola rispetto al volume stesso;
le fonti interne di calore nel corpo sono distribuite uniformemente.
La base per la derivazione dell'equazione differenziale di conduzione del calore è la legge di conservazione dell'energia, che formuliamo come segue:
Quantità di caloredQ, introdotto nel volume elementaredVfuori per tempodτper conducibilità termica, oltre che da fonti interne, è uguale alla variazione di energia interna o entalpia della sostanza contenuta nel volume elementare.
dove dQ 1 - la quantità di calore introdotta nel volume elementare dV per conduzione del calore nel tempo dτ;
dQ 2 è la quantità di calore che durante il tempo dτ spiccava nel volume elementare dV da fonti interne;
dQ- variazione dell'energia interna (processo isocorico) o dell'entalpia di una sostanza (processo isobarico) contenuta in un volume elementare dV nel corso dτ.
Per ottenere l'equazione, si consideri un volume elementare a forma di cubo con i lati dx, dio, dz (Vedere Fig.1.2.). Il cubo è posizionato in modo che le sue facce siano parallele ai corrispondenti piani delle coordinate. La quantità di calore che viene fornita alle facce del volume elementare nel tempo dτ in direzione degli assi X, y, z denotare di conseguenza dQ X , dQ y , dQ z .
La quantità di calore che verrà rimossa attraverso facce opposte nelle stesse direzioni sarà indicata di conseguenza dQ X + dx , dQ y + dio , dQ z + dz .
La quantità di calore fornita al viso dxdy in direzione dell'asse X nel corso dτ, è: 
dove Q Xè la proiezione della densità del flusso di calore nella direzione della normale alla faccia specificata. Di conseguenza, la quantità di calore rimossa attraverso la faccia opposta sarà:
La differenza tra la quantità di calore fornita ad un volume elementare e la quantità di calore da esso sottratta è il calore: 
Funzione Qè continua nell'intervallo considerato dx e può essere espansa in una serie di Taylor:
Se ci limitiamo ai primi due termini della serie, l'equazione sarà scritta nella forma: 
Allo stesso modo, puoi trovare la quantità di calore fornita al volume nella direzione degli altri due assi coordinati y e z.
Quantità di calore dQ, sommato per conducibilità termica al volume considerato, sarà pari a:
Definiamo il secondo termine denotando la quantità di calore rilasciata dalle sorgenti interne per unità di volume del mezzo per unità di tempo Q v e chiamiamolo capacità delle fonti di calore interne[L / m 3], quindi:
La terza componente nella nostra equazione si troverà a seconda della natura del processo TD di modifica del sistema.
Quando si considera un processo isocoro, tutto il calore fornito a un volume elementare verrà speso per modificare l'energia interna della sostanza contenuta in questo volume, ad es. dQ= dU.
Se consideriamo l'energia interna di un'unità di volume tu= F(T, v) , allora possiamo scrivere:
, J/m3
, J/kg
dove C v – capacità termica isocora o unità di volume o unità di massa, [J/m3];
ρ - densità, [kg / m 3].
Raccogliamo le espressioni risultanti:
L'espressione risultante è equazione differenziale dell'energia per il processo isocoro di scambio termico.
L'equazione per il processo isobarico è derivata in modo simile. Tutto il calore fornito al volume andrà a modificare l'entalpia della sostanza racchiusa nel volume.
Il rapporto risultante è equazione dell'energia differenziale per un processo isobarico.
Nei solidi, il trasferimento di calore avviene secondo la legge di Fourier 
, può essere preso il valore della capacità termica 
. Ricordiamo che la proiezione del vettore di densità del flusso termico sugli assi delle coordinate è determinata dalle espressioni:
L'ultima espressione è chiamata equazione differenziale della conduzione del calore. Stabilisce una relazione tra le variazioni temporali e spaziali della temperatura in qualsiasi punto del corpo in cui si verifica il processo di conduzione del calore.
L'equazione del calore differenziale più generale nelle derivate parziali ha la stessa forma, ma in essa le quantità ρ , , da sono funzioni del tempo e dello spazio. Questa equazione descrive un gran numero di problemi di conduzione del calore di interesse pratico. Se prendiamo costanti i parametri termofisici, l'equazione sarà più semplice:
Denota 
, poi:
Fattore di proporzionalità ma[m 2 / s] è chiamato diffusività termica ed è un parametro fisico di una sostanza. È essenziale per i processi termici non stazionari e caratterizza la velocità di variazione della temperatura. Se il coefficiente di conducibilità termica caratterizza la capacità dei corpi di condurre il calore, il coefficiente di diffusività termica è una misura delle proprietà inerziali termiche del corpo. Ad esempio, liquidi e gas hanno una maggiore inerzia termica e, di conseguenza, una bassa diffusività termica, mentre i metalli, al contrario, hanno una piccola inerzia termica.
Se ci sono fonti interne di calore e il campo di temperatura è stazionario, otteniamo l'equazione di Poisson:
Infine, con conduzione stazionaria del calore e assenza di fonti di calore interne, otteniamo l'equazione di Laplace:
Condizioni di unicità per la conducibilità termica.
Poiché l'equazione differenziale della conduzione del calore è derivata dalle leggi generali della fisica, descrive un'intera classe di fenomeni. Per risolverlo, è necessario impostare condizioni al contorno o condizioni di unicità.
Le condizioni per l'unicità includono:
condizioni geometriche: caratterizzano la forma e le dimensioni del corpo;
le condizioni fisiche caratterizzano Proprietà fisiche ambiente e corpo;
condizioni iniziali (temporanee) - caratterizzano la distribuzione delle temperature nel corpo nel momento iniziale, sono stabilite nello studio dei processi non stazionari;
condizioni al contorno - caratterizzano l'interazione del corpo considerato con l'ambiente.
Le condizioni al contorno possono essere specificate in diversi modi.
Condizioni al contorno del primo tipo. La distribuzione della temperatura sulla superficie corporea è impostata per ogni momento:
T C = F(X, y, z, τ )
dove T C– temperatura superficiale corporea;
X, y, z sono le coordinate della superficie corporea.
Nel caso particolare in cui la temperatura superficiale sia costante per tutto il tempo dei processi di scambio termico, l'equazione è semplificata:
T C = cost
Condizioni al contorno del secondo tipo. I valori del flusso di calore sono impostati per ogni punto della superficie corporea e in qualsiasi momento. Analiticamente appare così:
Q C = F(X, y, z, τ )
Nel caso più semplice, la densità del flusso di calore sulla superficie del corpo rimane costante. Un caso del genere si verifica quando i prodotti in metallo vengono riscaldati in forni ad alta temperatura.
Condizioni al contorno del terzo tipo. Questo imposta la temperatura ambiente T mer e la legge del trasferimento di calore tra la superficie del corpo e l'ambiente. La legge di Newton-Richmann è usata per descrivere il processo di trasferimento del calore. Secondo questa legge, la quantità di calore ceduta o ricevuta da un'unità di superficie corporea per unità di tempo è proporzionale alla differenza di temperatura tra la superficie del corpo e il mezzo:
dove α il coefficiente di proporzionalità, chiamato coefficiente di scambio termico [W / (m 2 K)], caratterizza l'intensità del trasferimento di calore. Numericamente, è uguale alla quantità di calore sprigionato da un'unità di superficie corporea per unità di tempo ad una differenza di temperatura di un grado. Secondo la legge di conservazione dell'energia, la quantità di calore che viene sottratta all'ambiente deve essere uguale al calore fornito per conduzione del calore dalle parti interne del corpo, ovvero:
L'ultima equazione è una condizione al contorno del terzo tipo.
Esistono problemi tecnici più complessi, quando nessuna delle condizioni elencate può essere impostata, quindi è necessario risolvere il problema con il metodo di coniugazione. Quando si risolve un tale problema, devono essere soddisfatte le condizioni di uguaglianza di temperature e flussi di calore su entrambi i lati dell'interfaccia. Nel caso generale, le condizioni di coniugazione possono essere scritte:
La soluzione del problema aggiunto è connessa alla ricerca dei campi di temperatura su entrambi i lati dell'interfaccia.
Sulla base della descrizione matematica (modello matematico) del processo si ottengono formule per il calcolo del campo di temperatura e del flusso di calore in particolari problemi di conduzione del calore stazionaria e non stazionaria. La base del modello è l'equazione differenziale di conduzione del calore, che è derivata utilizzando la prima legge della termodinamica per i corpi che non funzionano, e la legge di Fourier di conduzione del calore. L'equazione differenziale di un processo fisico è solitamente derivata da determinate ipotesi che semplificano il processo. Pertanto, l'equazione risultante descrive la classe di processi solo all'interno delle ipotesi accettate. Ogni attività specifica è descritta dalle corrispondenti condizioni di unicità. Pertanto, la descrizione matematica del processo di conduzione del calore include un'equazione di conduzione del calore differenziale e condizioni di unicità.
Considerare la derivazione dell'equazione differenziale di conduzione del calore sotto le seguenti ipotesi:
- a) il corpo è omogeneo e anisotropo;
- b) il coefficiente di conducibilità termica dipende dalla temperatura;
- c) la deformazione del volume in esame, associata ad una variazione di temperatura, è molto ridotta rispetto al volume stesso;
- d) all'interno del corpo sono presenti fonti di calore interne uniformemente distribuite q v = f(x, y, z, m) = cost;
- e) non vi è alcun movimento delle macroparticelle del corpo l'una rispetto all'altra (convezione).
Nel corpo con le caratteristiche accettate, selezioniamo un volume elementare a forma di parallelepipedo con bordi dx, dy, dz, decisamente concentrato sistema ortogonale coordinate (Fig. 14.1). In accordo con la prima legge della termodinamica per i corpi che non funzionano, la variazione dell'energia interna dU sostanze nel volume assegnato nel tempo dxè uguale alla quantità di calore fornita
Riso. 14.1.
volume dovuto alla conduzione del calore dQ x , e calore rilasciato da fonti interne dQ2".
È noto dalla termodinamica che la variazione dell'energia interna di una sostanza in un volume dV nel corso dx è uguale a
dove dG = pag dv- la massa della sostanza; p - densità; da - capacità termica di massa specifica (per liquidi comprimibili c = cv (capacità termica isocorica)).
La quantità di energia allocata da fonti interne,
dove qv - densità apparente delle fonti di calore interne, W/m 3.
Il flusso di calore che entra nel volume per conducibilità termica è diviso in tre componenti secondo la direzione degli assi coordinati: 
Attraverso le facce opposte il calore sarà
essere asportato rispettivamente nella quantità La differenza tra la quantità di calore fornita e asportata equivale a una variazione dell'energia interna dovuta alla conducibilità termica dQ v Rappresentiamo questo valore come la somma delle componenti lungo gli assi delle coordinate:
Quindi nella direzione dell'asse x abbiamo
Nella misura in cui -
densità di flusso di calore su vie opposte.
Funzione qx+dxè continua nell'intervallo considerato dx e può essere espansa in una serie di Taylor:
Limitandoci ai primi due termini della serie e sostituendo la (14.6), otteniamo
Allo stesso modo, otteniamo:
Dopo aver sostituito (14.8)-(14.10) in (14.4) abbiamo
Sostituendo (14.2), (14.3) e (14.11) in (14.1), otteniamo un'equazione differenziale per il trasferimento di calore per conduzione di calore, tenendo conto delle sorgenti interne:
Secondo la legge di Fourier della conduzione del calore, scriviamo espressioni per le proiezioni sugli assi coordinati della densità del flusso di calore:
dove X x, X y, X z- coefficienti di conducibilità termica in direzione degli assi coordinati (corpo anisotropico).
Sostituendo queste espressioni nella (14.12), otteniamo
L'equazione (14.13) è chiamata equazione differenziale del calore per corpi anisotropi con proprietà fisiche indipendenti dalla temperatura.
Se accetta X= const, e il corpo è isotropo, l'equazione del calore assume la forma
Qui ma = Х/(ср), m 2 / s, - diffusività termica,
che è un parametro fisico di una sostanza che caratterizza la velocità di variazione della temperatura nei processi di riscaldamento o raffreddamento. I corpi costituiti da una sostanza ad alto coefficiente di diffusività termica, ceteris paribus, si riscaldano e si raffreddano più velocemente.
In un sistema di coordinate cilindrico, l'equazione del calore differenziale per un corpo isotropo con proprietà fisiche costanti ha la forma
dove g, z,Ф - coordinate rispettivamente radiali, assiali e angolari.
Le equazioni (14.13), (14.14) e (14.15) descrivono il processo di conduzione del calore nel vista generale. I compiti specifici differiscono condizioni di unicità, cioè. descrizione delle caratteristiche del processo in esame.
condizioni di non ambiguità. Sulla base dei concetti fisici di conducibilità termica, è possibile individuare i fattori che influenzano il processo: le proprietà fisiche della sostanza; dimensione e forma del corpo; distribuzione iniziale della temperatura; condizioni di scambio termico sulla superficie (confine) del corpo. Pertanto, le condizioni di unicità sono divise in fisiche, geometriche, iniziali e di confine (confine).
condizioni fisiche vengono forniti i parametri fisici della sostanza X, s, p e distribuzione delle fonti interne.
Termini geometrici vengono impostate la forma e le dimensioni lineari del corpo in cui avviene il processo.
Condizioni iniziali viene data la distribuzione della temperatura nel corpo al momento iniziale T= /(x, y, z) a m = 0. Condizioni iniziali sono importanti quando si considerano i processi non stazionari.
A seconda della natura del trasferimento di calore al confine del corpo, le condizioni al contorno (al contorno) sono divise in quattro tipi.
Condizioni al contorno del primo tipo. Specifica la distribuzione della temperatura sulla superficie t n durante il processo
In un caso particolare, la temperatura superficiale può rimanere costante (/n = const).
Condizioni limite del primo tipo si verificano, ad esempio, durante il riscaldamento per contatto nei processi di incollaggio del compensato, pressatura di truciolare e fibra di legno, ecc.
Condizioni al contorno del secondo tipo. Viene impostata la distribuzione dei valori di densità del flusso di calore sulla superficie corporea durante il processo
In un caso particolare, il flusso di calore sulla superficie può rimanere costante (
Condizioni al contorno del terzo tipo corrispondono al trasferimento di calore convettivo sulla superficie. In queste condizioni è opportuno impostare la temperatura del liquido in cui si trova il corpo, Tf = /(t), e il coefficiente di scambio termico oc. Nel caso generale il coefficiente di scambio termico è un valore variabile, quindi occorre impostare la legge della sua variazione a = / (t). Un caso speciale è possibile: / f = const; a = cost.
Condizioni al contorno del quarto tipo caratterizzare le condizioni di scambio termico di corpi con diversi coefficienti di conducibilità termica al loro contatto ideale, quando il calore è ceduto per conducibilità termica e i flussi termici sui lati opposti della superficie di contatto sono uguali:
Le ipotesi fisiche accettate, l'equazione derivata da queste ipotesi e le condizioni di unicità costituiscono una descrizione analitica ( modello matematico) processi di conduzione del calore. Il successo dell'utilizzo del modello ottenuto per risolvere un problema specifico dipenderà da come le ipotesi accettate e le condizioni di unicità siano adeguate alle condizioni reali.
Le equazioni (14.14) e (14.15) sono risolte analiticamente per un regime termico stazionario unidimensionale. Le soluzioni sono discusse di seguito. I metodi numerici approssimativi vengono utilizzati per processi stazionari bidimensionali e tridimensionali
Per risolvere le equazioni (14.13) - (14.15) in condizioni di regime termico non stazionario, vengono utilizzati numerosi metodi, che sono considerati in dettaglio nella letteratura speciale. Sono noti metodi analitici esatti e approssimativi, metodi numerici, ecc.
La soluzione numerica dell'equazione del calore viene eseguita principalmente con il metodo delle differenze finite. La scelta dell'uno o dell'altro metodo di soluzione dipende dalle condizioni del problema. Come risultato della risoluzione con metodi analitici, si ottengono formule applicabili alla risoluzione di una serie di problemi ingegneristici in condizioni appropriate. I metodi numerici consentono di ottenere il campo di temperatura t=f(x, y, z, m) come un insieme di valori di temperatura discreti in vari punti a orari prestabiliti per un'attività specifica. Pertanto, l'uso di metodi analitici è preferibile, ma ciò non è sempre possibile per problemi multidimensionali e condizioni al contorno complesse.
Di seguito, considereremo diversi problemi per determinare i campi di temperatura per condizioni geometriche e fisiche relativamente semplici che consentono soluzioni analitiche di forma semplice e allo stesso tempo forniscono un'utile illustrazione dei processi fisici caratteristici associati al trasferimento di calore in un solido.
Si consideri un'asta con superficie laterale isolata termicamente (Fig. 38). In questo caso, il trasferimento di calore può avvenire lungo lo stelo. Se combini l'asta con l'asse sistema cartesiano coordinate, allora l'equazione del calore stazionario avrà la forma
A valori costanti del coefficiente di conducibilità termica della potenza volumetrica del rilascio di calore, l'ultima equazione può essere integrata due volte
(75)
Le costanti di integrazione possono essere trovate dalle condizioni al contorno. Ad esempio, se la temperatura alle estremità dell'asta è , . Quindi da (75) abbiamo
Da qui troviamo le costanti di integrazione e . La soluzione alle condizioni al contorno indicate assumerà la forma
Dall'ultima formula si evince che in assenza di fonti di calore. La temperatura nell'asta varia linearmente da un valore limite all'altro
Consideriamo ora un'altra combinazione di condizioni al contorno. Lascia che una fonte esterna crei un flusso di calore all'estremità sinistra dell'asta. All'estremità destra dell'asta, manteniamo la condizione precedente, quindi abbiamo
Esprimendo queste condizioni con l'aiuto dell'integrale generale (75), otteniamo un sistema rispetto alle costanti di integrazione
Avendo trovato costanti sconosciute dal sistema risultante, otteniamo una soluzione nella forma
Come nell'esempio precedente, in assenza di fonti interne di rilascio di calore, la distribuzione della temperatura lungo lo stelo sarà lineare
In questo caso, la temperatura all'estremità sinistra dell'asta, dove si trova la fonte di calore esterna, sarà pari a .
Come prossimo esempio, troviamo una distribuzione stazionaria della temperatura lungo il raggio in un lungo cilindro circolare continuo (Fig. 39). In questo caso, l'uso di un sistema di coordinate cilindrico semplificherà notevolmente l'attività. Nel caso di un cilindro con un grande rapporto lunghezza-raggio e costanti di distribuzione
Come fonte interna di rilascio di calore, la temperatura lontana dalle estremità del cilindro può essere considerata indipendente dalla coordinata assiale del sistema cilindrico. Quindi assume la forma l'equazione del calore stazionario (71).
La doppia integrazione dell'ultima equazione (per una costante ) dà
La condizione di simmetria per la distribuzione della temperatura sull'asse del cilindro () dà
Dove arriviamo
L'ultima condizione sarà soddisfatta per . Lascia che la temperatura sia impostata sulla superficie del cilindro (). Quindi si può trovare la seconda costante di integrazione dall'equazione
Da qui troviamo e scriviamo la soluzione nella forma finale
Come esempio numerico dell'applicazione del risultato ottenuto, consideriamo la distribuzione della temperatura nel plasma di una scarica ad arco cilindrico con raggio di mm. Il confine del canale di scarica si forma come una regione in cui i processi di ionizzazione si fermano. Abbiamo visto sopra che la notevole ionizzazione del gas durante il riscaldamento si ferma a K. Pertanto, il valore ridotto può essere preso come limite K. La densità volumetrica della potenza di rilascio del calore nel plasma di scarica può essere trovata dalla legge di Joule-Lenz , dove σ
è la conducibilità elettrica del plasma, e- tensione campo elettrico nel canale di scarico. I valori caratteristici per una scarica ad arco sono 1/Ohm m, V/m. La conducibilità termica dell'arco plasma è maggiore che in un gas neutro; a temperature dell'ordine di 10.000 K, il suo valore può essere assunto pari a . Quindi, il parametro 
. La distribuzione della temperatura lungo il raggio è mostrata in fig. 39. In questo caso, la temperatura sull'asse di scarico () sarà di 8000 K.
Nell'esempio seguente consideriamo un campo termico con simmetria sferica. Tali condizioni si verificano, in particolare, se si trova una piccola fonte di calore grande schiera, ad esempio, un guasto dell'arco di rotazione nell'avvolgimento di una grande macchina elettrica. In questo caso, allineando il centro sistema sferico coordinate con la fonte di rilascio di calore, possiamo portare l'equazione del calore stazionario (64) nella forma:
Integrando questa equazione due volte, troviamo
Quindi l'integrale dell'equazione del calore diventa più semplice
Per calcolare le costanti di integrazione, utilizziamo innanzitutto la condizione in punti infinitamente distanti dal sito di scarico, dove C è la temperatura ambiente. Dall'ultima espressione troviamo . Per determinare la costante, assumiamo che la scarica energia termica distribuito uniformemente sulla superficie di una cavità sferica di raggio. Pertanto, il flusso di calore al confine della cavità sarà
Nella misura in cui 
, quindi dalle ultime due equazioni abbiamo
e la decisione finale
In questo caso, la temperatura al limite della cavità (mm) a W/mK sarà K (Fig. 40).
Come primo esempio di questo gruppo, si consideri il campo termico nella sezione trasversale di un filo tondo con un canale di raffreddamento (Fig. 41, ma). I fili con canali di raffreddamento vengono utilizzati negli avvolgimenti di potenti macchine elettriche e bobine per produrre forti campi magnetici. Questi dispositivi sono caratterizzati da un lungo flusso di correnti con un'ampiezza di centinaia e persino migliaia di ampere. Ad esempio, viene pompato un liquido, come acqua, o un gas (idrogeno, aria), che garantisce la selezione dell'energia termica dalla superficie interna del canale e il raffreddamento del filo nel suo insieme. In questo caso si tratta di un raffreddamento convettivo forzato della superficie del canale, per il quale si può utilizzare la condizione al contorno del terzo tipo sopra giustificata (67). Se combiniamo l'asse del sistema di coordinate cilindrico con l'asse del filo, la temperatura dipenderà solo dalla coordinata radiale. L'integrale generale dell'equazione del calore stazionario per questo caso è stato ottenuto da noi in precedenza
La densità volumetrica del potere di rilascio del calore è ricavata dalla legge di Joule-Lenz: , J- densità corrente, σ - conduttività elettrica,
dove R- raggio della sezione del filo, un- raggio del canale di raffreddamento. Il filo è circondato all'esterno da strati di isolamento che, rispetto al conduttore, ha una conduttività termica relativamente bassa. Pertanto, in prima approssimazione, accettiamo la superficie esterna del filo come isolata termicamente, cioè il flusso di calore su di essa
Sulla superficie del canale di raffreddamento, il flusso di calore è determinato dalla condizione del terzo tipo
dove è il coefficiente di scambio termico, è la temperatura del flusso di raffreddamento. Il segno meno sul lato destro è preso a causa del fatto che la normale alla superficie interna del canale è diretta nella direzione opposta all'asse.
Sostituendo l'espressione per la temperatura (76) nella prima delle condizioni al contorno scritte, otteniamo
dove . La seconda condizione al contorno dà
dove troviamo
Tuttavia, da (76)
Confrontando le ultime due espressioni, troviamo
Dopo aver sostituito le costanti trovate nella soluzione generale (76) e nelle trasformazioni, otteniamo
La temperatura ai confini della sezione del filo dalla soluzione ottenuta sarà calcolata dalle formule
Distribuzione della temperatura lungo il raggio di sezione per un filo con canale di raffreddamento con parametri: A, W/mK, 
1/Ohm m, o C, mm, cm è mostrato in fig. 41, B.
Dalla fig. 41, B ne consegue che all'interno della sezione del filo, la variazione di temperatura è relativamente piccola rispetto al suo valore medio, che si spiega con l'elevata conducibilità termica λ e dimensioni della sezione trasversale relativamente piccole del filo.
Una situazione diversa si presenta nella distribuzione della temperatura lungo il filo, che consiste in sezioni separate a contatto tra loro. Il deterioramento della qualità dei contatti tra i conduttori collegati porta ad un aumento della generazione di calore alla giunzione dei due fili rispetto al filo stesso. La misurazione remota della temperatura del filo mediante termocamere o pirometri consente di diagnosticare la qualità delle connessioni dei contatti.Calcoliamo la distribuzione della temperatura lungo il filo in presenza di un contatto difettoso. L'esempio precedente ha mostrato che anche nelle condizioni più gravose, la variazione di temperatura all'interno della sezione del filo è molto piccola. Pertanto, per il nostro calcolo, possiamo, in prima approssimazione, assumere che la distribuzione della temperatura all'interno della sezione del filo sia uniforme. La distribuzione della generazione di calore lungo il filo dipende dalla distribuzione resistenza elettrica lungo il filo, che è uniforme lontano dal contatto e aumenta man mano che si avvicina. Uniamo l'asse del sistema di coordinate cartesiane con l'asse del filo e l'origine delle coordinate con il centro dell'area di contatto (Fig. 42). Come modello per la distribuzione della resistenza lungo il filo, prendiamo la seguente distribuzione della resistenza lineare
dove, è un parametro che caratterizza la dimensione lineare dell'area di contatto. La potenza di dissipazione del calore per unità di lunghezza del filo è . Per unità di volume, la potenza di rilascio del calore è
dove S- sezione del filo. Il filo è raffreddato per convezione naturale dalla sua superficie. Il flusso di calore convettivo per unità di lunghezza del filo è
dove α - coefficiente di scambio termico, - temperatura dell'aria ambiente, P- il perimetro della sezione del filo. Sarà il trasferimento di calore all'ambiente per unità di volume del conduttore
La distribuzione stazionaria della temperatura lungo il filo obbedirà all'equazione di conduzione del calore
Per ulteriori trasformazioni dell'equazione risultante, prendiamo la costante del coefficiente di conducibilità termica lungo il filo, sostituiamo le espressioni precedenti per e , e anche come funzione desiderata invece di T prendiamo :
arriviamo ad un lineare disomogeneo equazione differenziale
Cercheremo la soluzione dell'equazione risultante sotto forma di somma della soluzione generale equazione omogenea
e una soluzione particolare nella forma del lato destro
.
Derivazione dell'equazione del calore
Immagina un corpo omogeneo e isola da esso un volume elementare con i lati (Figura 1).
Figura 1. Volume di controllo in un sistema di coordinate rettangolare
I flussi di calore in ingresso situati perpendicolarmente alle superfici saranno indicati come, . I flussi su superfici opposte possono essere espressi dalla serie di Taylor:
   |
Possono esserci anche fonti di calore interne all'interno del corpo, se sono presenti dei lavandini, se:
Cambiamento di energia interna:
Sostituiamo le equazioni (1.1.1) nell'equazione risultante (1.1.5):
Sostituendole nell'equazione (1.1.6), otteniamo l'equazione di conduzione del calore in forma generale per uno spazio tridimensionale:
Introduciamo il coefficiente di diffusività termica:
ed omettere le fonti di calore interne. Otteniamo l'equazione di conduzione del calore in spazio tridimensionale senza fonti di calore interne:
Condizioni di unicità
L'equazione (1.1) descrive il processo in termini generali. Per applicarlo a un problema specifico, sono necessarie condizioni aggiuntive, denominate condizioni di unicità. Queste condizioni includono le condizioni geometriche (forma e dimensioni del corpo), fisiche (proprietà fisiche del corpo), temporali (distribuzione della temperatura iniziale) e al contorno (descrivono il processo di scambio termico con ambiente).
Le condizioni al contorno possono essere suddivise in tre tipi principali:
1. Condizioni al contorno di Dirichlet: viene dato il valore della funzione al contorno.
Nel caso del problema della conduzione del calore, vengono impostati i valori di temperatura sulla superficie corporea.
2. Condizioni al contorno di Neumann: viene data la derivata normale della funzione al contorno.
Impostare la densità del flusso di calore sulla superficie del corpo.
3. Condizioni al contorno di Robin: date combinazione lineare i valori della funzione e la sua derivata sul confine.
Descrivi il trasferimento di calore tra la superficie del corpo e l'ambiente secondo la legge di Newton-Richmann.
In questo lavoro verranno utilizzate solo le condizioni al contorno di Dirichlet, a causa della complessità dell'implementazione delle restanti condizioni al contorno.