Definizione 1. ) si dice ortogonale se tutti i suoi elementi sono ortogonali a coppie:

Teorema 1. Un sistema ortogonale di vettori diversi da zero è linearmente indipendente.

(Supponiamo che il sistema sia linearmente dipendente: e, per completezza, Moltiplichiamo l'uguaglianza scalare per . Tenendo conto dell'ortogonalità del sistema, otteniamo: }

Definizione 2. Il sistema dei vettori dello spazio euclideo ( ) si dice ortonormale se è ortogonale e la norma di ogni elemento è uguale a uno.

Segue immediatamente dal Teorema 1 che un sistema ortonormale di elementi è sempre linearmente indipendente. Da questo, a sua volta, ne consegue che n– sistema ortonormale dello spazio euclideo dimensionale di n vettori costituisce una base (ad esempio, ( io, j, k ) in 3 X- spazio dimensionale).Si chiama tale sistema base ortonormale, e i suoi vettori sono orti di base.

Le coordinate di un vettore in base ortonormale possono essere facilmente calcolate utilizzando il prodotto scalare: se Anzi, moltiplicando l'uguaglianza sul , otteniamo la formula indicata.

In generale, tutte le grandezze di base: il prodotto scalare dei vettori, la lunghezza di un vettore, il coseno dell'angolo tra i vettori, ecc. hanno la forma più semplice su base ortonormale. Considera il prodotto scalare: , poiché

Tutti gli altri termini sono uguali a zero. Da qui otteniamo subito:

* Considera una base arbitraria. Il prodotto scalare in questa base sarà uguale a:

(Qui un io e β j sono le coordinate dei vettori nella base ( f), un - prodotti a punti vettori di base).

Le quantità γ ij formare una matrice G chiamata matrice di Gram. Il prodotto scalare in forma matriciale sarà simile a: *

Teorema 2. In qualsiasi n– in uno spazio euclideo dimensionale, c'è una base ortonormale. La dimostrazione del teorema è costruttiva e si chiama

9. Processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.

Lascia che sia ( a 1 ,...,a n ) è una base arbitraria n– spazio euclideo dimensionale (l'esistenza di tale base è dovuta a n- la dimensione dello spazio). Algoritmo per costruire da data base ortonormale è il seguente:

1.b 1 \u003d a 1, e 1 \u003d b 1/|b 1|, |e 1|= 1.

2.b 2^e 1 , perché (e 1 , un 2)- proiezione un 2 sul e 1, b 2 \u003d a 2 -(e 1 , un 2)e 1 , e 2 \u003d b 2/|b 2|, |e 2|= 1.

3.b 3^a 1 , b 3^a 2 , b 3 \u003d a 3 -(e 1 , un 3)e 1 -(e 2 , un 3)e 2 , e 3 \u003d b 3/|b 3|, |e 3|= 1.

.........................................................................................................

K. bk^a 1 ,..., b k^un k-1 , b k = un k - S io=1k(e io, un k)e io , e k = b k/|bk|, |e k|= 1.

Continuando il processo, otteniamo una base ortonormale ( e 1 ,...,e n }.

Nota 1. Utilizzando l'algoritmo considerato, si può costruire una base ortonormale di qualsiasi guscio lineare, ad esempio, una base ortonormale della campata lineare di un sistema di rango uguale a tre e costituito da vettori a cinque dimensioni.

Esempio.X =(3,4,0,1,2), y =(3,0,4,1,2), z =(0,4,3,1,2)

Nota 2. Casi speciali

Il processo di Gram-Schmidt può anche essere applicato linearmente a una sequenza infinita vettori indipendenti.

Inoltre, il processo di Gram-Schmidt può essere applicato in modo lineare vettori dipendenti. In questo caso, emette 0 (vettore zero) per passo j , Se un j è una combinazione lineare di vettori a 1 ,...,a j -1 . Se ciò può accadere, per preservare l'ortogonalità dei vettori di output e per impedire la divisione per zero durante l'ortonormalizzazione, l'algoritmo dovrebbe verificare la presenza di vettori zero e scartarli. Il numero di vettori prodotti dall'algoritmo sarà uguale alla dimensione del sottospazio generato dai vettori (cioè il numero di vettori linearmente indipendenti che possono essere distinti dai vettori originali).

10. Spazi vettoriali geometrici R 1 , R 2 , R 3 .

Sottolineiamo che il diretto significato geometrico hanno solo spazi

R1, R2, R3. Lo spazio R n per n > 3 è un oggetto astratto puramente matematico.

1) Sia dato un sistema di due vettori un e b . Se il sistema è linearmente dipendente, allora uno dei vettori, diciamo un , è espresso linearmente in termini dell'altro:

un= k b.

Due vettori collegati da tale dipendenza, come già accennato, sono detti collineari. Quindi, un sistema di due vettori è linearmente dipendente se e solo

quando questi vettori sono collineari. Si noti che questa conclusione si applica non solo a R 3 , ma anche a qualsiasi spazio lineare.

2) Sia il sistema in R3 costituito da tre vettori a, b, c . Dipendenza lineare significa che uno dei vettori, diciamo un , è espresso linearmente in termini del resto:

un= k b+ l c . (*)

Definizione. Tre vettori a, b, c in R 3 giacenti sullo stesso piano o parallele allo stesso piano sono detti complanari

(la figura a sinistra mostra i vettori a, b, c da un piano, ea destra gli stessi vettori sono staccati da origini diverse e sono paralleli solo a un piano).

Quindi, se tre vettori in R3 sono linearmente dipendenti, allora sono complanari. Vale anche il contrario: se i vettori a, b, c da R3 sono complanari, quindi sono linearmente dipendenti.

arte vettoriale vettore un, per vettore b nello spazio è chiamato vettore c , che soddisfa i seguenti requisiti:

Designazione:

Si consideri una tripla ordinata di vettori non complanari a, b, c nello spazio tridimensionale. Combiniamo le origini di questi vettori nel punto MA(cioè, scegliamo un punto arbitrariamente nello spazio MA e sposta ogni vettore in parallelo in modo che la sua origine coincida con il punto MA). Le estremità dei vettori, combinate dagli inizi in un punto MA, non giacciono su una retta, poiché i vettori non sono complanari.

Ordinato triplo di vettori non complanari a, b, c in tre dimensioni si chiama giusto, se dalla fine del vettore c giro più breve dal vettore un al vettore b visibile ad un osservatore in senso antiorario. Al contrario, se il giro più breve è visto in senso orario, allora viene chiamato il triplo sinistra.

Un'altra definizione è relativa a mano destra persona (vedi figura), da cui deriva il nome.

Si dice che tutte le triple di vettori che sono rette l'una rispetto all'altra (e sinistre l'una all'altra) sono ugualmente orientate.

Se sul piano vengono scelti due vettori tra loro perpendicolari di lunghezza unitaria (Fig. 7), è possibile espandere un vettore arbitrario nello stesso piano nelle direzioni di questi due vettori, ovvero rappresentarlo nella forma

dove sono numeri uguali alle proiezioni del vettore sulle direzioni degli assi.Poiché la proiezione sull'asse è uguale al prodotto della lunghezza per il coseno dell'angolo con l'asse, allora, ricordando la definizione del prodotto scalare , possiamo scrivere

Allo stesso modo, se in spazio tridimensionale scegli tre vettori qualsiasi tra loro perpendicolari di lunghezza unitaria, quindi un vettore arbitrario in questo spazio può essere rappresentato come

Nello spazio di Hilbert si possono anche considerare sistemi a coppie vettori ortogonali questo spazio, cioè le funzioni

Tali sistemi di funzioni sono chiamati sistemi di funzioni ortogonali e svolgono un ruolo importante nell'analisi. Si incontrano in vari problemi di fisica matematica, equazioni integrali, calcoli approssimati, teoria delle funzioni di una variabile reale e così via. creare concetto generale Spazio di Hilbert.

Diamo definizioni precise. Sistema funzionale

si dice ortogonale se due funzioni qualsiasi di questo sistema sono ortogonali tra loro, cioè se

Nello spazio tridimensionale, abbiamo richiesto che le lunghezze dei vettori del sistema fossero uguali a uno. Richiamando la definizione della lunghezza di un vettore, vediamo che nel caso di uno spazio di Hilbert, tale requisito è scritto come segue:

Un sistema di funzioni che soddisfa i requisiti (13) e (14) è detto ortogonale e normalizzato.

Diamo esempi di tali sistemi di funzioni.

1. Sull'intervallo, considera la sequenza di funzioni

Ogni due funzioni di questa sequenza sono ortogonali l'una all'altra. Ciò è verificato mediante il semplice calcolo degli integrali corrispondenti. Il quadrato della lunghezza di un vettore nello spazio di Hilbert è l'integrale del quadrato della funzione. Quindi, i quadrati delle lunghezze dei vettori di sequenza

l'essenza degli integrali

cioè. la nostra sequenza vettoriale è ortogonale ma non normalizzata. La lunghezza del primo vettore della sequenza è e tutto

il resto ha lunghezza. Dividendo ogni vettore per la sua lunghezza, otteniamo un sistema ortogonale e normalizzato funzioni trigonometriche

Questo sistema è storicamente uno dei primi e più importanti esempi di sistemi ortogonali. Sorse nelle opere di Eulero, D. Bernoulli, D'Alembert in connessione con il problema delle vibrazioni delle corde. Il suo studio ha svolto un ruolo essenziale nello sviluppo dell'intera analisi.

La comparsa di un sistema ortogonale di funzioni trigonometriche in connessione con il problema delle vibrazioni delle corde non è casuale. Ogni problema di piccole oscillazioni di un mezzo porta a un certo sistema di funzioni ortogonali che descrivono le cosiddette oscillazioni naturali del sistema dato (vedi § 4). Ad esempio, in connessione con il problema delle vibrazioni di una sfera, compaiono le cosiddette funzioni sferiche; in connessione con il problema delle vibrazioni di una membrana circolare o di un cilindro, compaiono le cosiddette funzioni cilindriche, ecc.

2. Possiamo fornire un esempio di un sistema ortogonale di funzioni, ciascuna delle quali è un polinomio. Un tale esempio è la sequenza dei polinomi di Legendre

cioè, esiste (fino a un fattore costante) la derivata dell'ordine di . Scriviamo i primi polinomi di questa successione:

Ovviamente, esiste un polinomio di grado in generale. Lasciamo al lettore verificare da sé che questi polinomi sono una successione ortogonale sull'intervallo

La teoria generale dei polinomi ortogonali (i cosiddetti polinomi ortogonali con peso) fu sviluppata dal notevole matematico russo P. L. Chebyshev nella seconda metà del XIX secolo.

Espansione in sistemi di funzioni ortogonali. Proprio come nello spazio tridimensionale, ogni vettore può essere rappresentato

come combinazione lineare tre vettori ortogonali a coppie di lunghezza unitaria

nello spazio delle funzioni si pone il problema di espandere una funzione arbitraria in una serie in termini di un sistema di funzioni ortogonale e normalizzato, cioè di rappresentare una funzione nella forma

In questo caso, la convergenza della serie (15) ad una funzione è intesa nel senso della distanza tra gli elementi nello spazio di Hilbert. Ciò significa che la deviazione quadratica media della radice della somma parziale della serie dalla funzione tende a zero in , cioè

Questa convergenza è solitamente chiamata "convergenza media".

Espansioni in vari sistemi di funzioni ortogonali si incontrano spesso in analisi e sono un metodo importante per risolvere problemi di fisica matematica. Quindi, ad esempio, se un sistema ortogonale è un sistema di funzioni trigonometriche sull'intervallo

allora tale espansione è la classica espansione di una funzione in una serie trigonometrica

Assumiamo che l'espansione (15) sia possibile per qualsiasi funzione dallo spazio di Hilbert e troviamo i coefficienti di tale espansione. Per fare ciò, moltiplichiamo entrambi i lati dell'uguaglianza in modo scalare per la stessa funzione del nostro sistema. Otteniamo l'uguaglianza

da cui, per il fatto che at è determinato dal valore del coefficiente

Vediamo che, come nello spazio tridimensionale ordinario (vedi inizio di questo paragrafo), i coefficienti sono uguali alle proiezioni del vettore sulle direzioni dei vettori.

Richiamando la definizione del prodotto scalare, otteniamo che i coefficienti di espansione di una funzione in termini di sistema di funzioni ortogonale e normalizzato

sono determinati dalle formule

Ad esempio, si consideri il sistema trigonometrico normalizzato ortogonale di funzioni fornito sopra:

Abbiamo ottenuto una formula per calcolare i coefficienti di espansione di una funzione in una serie trigonometrica, assumendo, ovviamente, che tale espansione sia possibile.

Abbiamo stabilito la forma dei coefficienti di espansione (18) di una funzione in termini di un sistema ortogonale di funzioni assumendo che tale espansione avvenga. Tuttavia, un sistema ortogonale infinito di funzioni potrebbe non essere sufficiente per espandere qualsiasi funzione da uno spazio di Hilbert in termini di esso. Affinché tale scomposizione sia possibile, il sistema di funzioni ortogonali deve soddisfare una condizione aggiuntiva, la cosiddetta condizione di completezza.

Un sistema di funzioni ortogonale si dice completo se è impossibile aggiungervi una singola funzione che non sia identicamente nulla e ortogonale a tutte le funzioni del sistema.

È facile fare un esempio di un sistema ortogonale incompleto. Per fare ciò, prendiamo un sistema ortogonale, ad esempio, lo stesso

sistema di funzioni trigonometriche ed escludono una delle funzioni di questo sistema, ad esempio il sistema di funzioni infinito rimanente

sarà comunque ortogonale, ovviamente, non sarà completo, poiché la funzione : da noi esclusa è ortogonale a tutte le funzioni del sistema.

Se il sistema di funzioni non è completo, non tutte le funzioni dello spazio di Hilbert possono essere espanse in termini di esso. Infatti, se proviamo ad espandere una funzione zero ortogonale a tutte le funzioni del sistema in un tale sistema, allora, in virtù delle formule (18), tutti i coefficienti saranno uguali a zero, mentre la funzione non sarà uguale a zero.

Vale il seguente teorema: se viene fornito un sistema completo di funzioni ortogonali e normalizzate in uno spazio di Hilbert, allora qualsiasi funzione può essere espansa in una serie in termini di funzioni di questo sistema

In questo caso i coefficienti di dilatazione sono uguali alle proiezioni dei vettori sugli elementi del sistema normalizzato ortogonale

Il teorema di Pitagora del § 2 nello spazio di Hilbert permette di trovare un'interessante relazione tra i coefficienti e la funzione, denota con la differenza tra e la somma dei primi termini della sua serie, cioè

Di cosa stiamo parlando

L'apparizione su Habré di un post sul filtro Madgwick è stato a suo modo un evento simbolico. Apparentemente, l'interesse generale per i droni ha ravvivato l'interesse per il problema della stima dell'orientamento del corpo dalle misurazioni inerziali. Allo stesso tempo, i metodi tradizionali basati sul filtro di Kalman hanno cessato di soddisfare il pubblico, sia a causa degli elevati requisiti di risorse informatiche inaccettabili per i droni, sia a causa delle impostazioni dei parametri complesse e non intuitive.

Il post è stato accompagnato da un'implementazione del filtro in C molto compatta ed efficiente. Tuttavia, a giudicare dai commenti, significato fisico questo codice, così come l'intero articolo, è rimasto vago per qualcuno. Bene, siamo onesti: il filtro Madgwick è il più intricato del gruppo di filtri basato su principi generalmente molto semplici ed eleganti. Questi principi saranno discussi nel mio post. Non ci sarà alcun codice qui. Il mio post non è una storia su una specifica implementazione dell'algoritmo di stima dell'orientamento, ma piuttosto un invito a inventare le proprie variazioni su un determinato argomento, di cui possono esserci molte.

Vista orientativa

Ricordiamo le basi. Per stimare l'orientamento di un corpo nello spazio, è necessario prima scegliere alcuni parametri che insieme determinano in modo univoco tale orientamento, ad es. infatti, l'orientamento del sistema di coordinate associato rispetto a un sistema condizionalmente stazionario, ad esempio il sistema geografico NED (Nord, Est, Giù). Quindi devi creare equazioni cinematiche, ad es. esprimere la velocità di variazione di questi parametri in termini di velocità angolare dai giroscopi. Infine, nel calcolo devono essere incluse le misurazioni vettoriali da accelerometri, magnetometri, ecc. Ecco i modi più comuni per rappresentare l'orientamento:

Angoli di Eulero- rollio (roll, ), pitch (pitch, ), intestazione (heading, ). Questo è il più chiaro e conciso insieme di parametri di orientamento: il numero di parametri è esattamente uguale al numero di gradi di libertà rotazionali. Per questi angoli, possiamo scrivere equazioni cinematiche di Eulero. Sono molto affezionati meccanica teorica, ma sono di scarsa utilità nelle attività di navigazione. Innanzitutto, conoscere gli angoli non consente di convertire direttamente i componenti di alcun vettore da un limite a un sistema di coordinate geografiche o viceversa. In secondo luogo, a un passo di ±90 gradi, le equazioni cinematiche degenerano, rollio e direzione diventano incerti.

Matrice di rotazioneè una matrice 3x3 per la quale moltiplicare qualsiasi vettore nel sistema di coordinate associato per ottenere lo stesso vettore nel sistema geografico: . La matrice è sempre ortogonale, cioè . L'equazione cinematica per esso ha la forma .
Ecco una matrice di componenti velocità angolare, misurata da giroscopi in un sistema di coordinate accoppiato:

La matrice di rotazione è leggermente meno visiva degli angoli di Eulero, ma a differenza di loro consente di trasformare direttamente i vettori e non perde il suo significato per nessuna posizione angolare. Da un punto di vista computazionale, il suo principale inconveniente è la ridondanza: per motivi di tre gradi di libertà, vengono introdotti nove parametri contemporaneamente e tutti devono essere aggiornati secondo l'equazione cinematica. Il problema può essere leggermente semplificato utilizzando l'ortogonalità della matrice.

quaternione di rotazione- un rimedio radicale, ma molto poco intuitivo, contro la ridondanza e la degenerazione. Questo è un oggetto a quattro componenti: non un numero, non un vettore, non una matrice. Il quaternione può essere visto da due angolazioni. Innanzitutto, come somma formale di uno scalare e di un vettore , dove - vettori unitari assi (che, ovviamente, suona assurdo). In secondo luogo, come generalizzazione numeri complessi, che ora usa non uno, ma tre diverso unità immaginarie (che suona non meno assurdo). In che modo il quaternione è correlato alla rotazione? Attraverso il teorema di Eulero: un corpo può sempre essere trasferito da un dato orientamento all'altro mediante una rotazione finita di un angolo attorno a un asse con un vettore di direzione. Questi angoli e assi possono essere combinati in un quaternione: . Come una matrice, un quaternione può essere utilizzato per trasformare direttamente qualsiasi vettore da un sistema di coordinate all'altro: . Come si vede, anche la rappresentazione quaternionica dell'orientamento soffre di ridondanza, ma molto meno di quella matriciale: c'è un solo parametro in più. Una revisione dettagliata dei quaternioni è già stata su Habré. Si trattava di geometria e grafica 3D. Siamo anche interessati alla cinematica, poiché la velocità di variazione del quaternione deve essere correlata alla velocità angolare misurata. L'equazione cinematica corrispondente ha la forma , dove il vettore è anche considerato un quaternione con parte scalare nulla.

Schemi di filtro

L'approccio più ingenuo al calcolo dell'orientamento è armarci di un'equazione cinematica e aggiornare qualsiasi insieme di parametri che ci piace in base ad essa. Ad esempio, se abbiamo scelto una matrice di rotazione, possiamo scrivere un ciclo con qualcosa come C += C * Omega * dt . Il risultato sarà deludente. I giroscopi, in particolare i MEMS, hanno offset zero grandi e instabili - di conseguenza, anche a riposo completo, l'orientamento calcolato avrà un errore ad accumulazione infinita (deriva). Tutti i trucchi inventati da Mahoney, Madgwick e molti altri, me compreso, miravano a compensare questa deriva coinvolgendo misurazioni da accelerometri, magnetometri, ricevitori GNSS, ritardi, ecc. Nasce così un'intera famiglia di filtri di orientamento basati su un semplice principio di base.

Criterio basilare. Per compensare la deriva di orientamento, è necessario aggiungere alla velocità angolare misurata dai giroscopi un'ulteriore velocità angolare di controllo costruita sulla base di misure vettoriali di altri sensori. Il vettore di velocità angolare di controllo dovrebbe tendere a far corrispondere le direzioni dei vettori misurati con le loro vere direzioni note.

Qui sta un approccio completamente diverso rispetto alla costruzione del termine correttivo del filtro di Kalman. La differenza principale è che la velocità angolare di controllo - non un termine, ma un fattore con il valore stimato (matrice o quaternione). Ciò si traduce in importanti vantaggi:

• Un filtro di stima può essere costruito per l'orientamento stesso, e non per piccole deviazioni dell'orientamento da quello dato dai giroscopi. In questo caso i valori stimati soddisferanno automaticamente tutti i requisiti imposti dal problema: la matrice sarà ortogonale, il quaternione sarà normalizzato.
• Il significato fisico della velocità angolare di controllo è molto più chiaro del termine correttivo nel filtro di Kalman. Tutte le manipolazioni vengono eseguite con vettori e matrici nel consueto spazio fisico tridimensionale e non nello spazio degli stati multidimensionali astratto. Ciò semplifica notevolmente il perfezionamento e la messa a punto del filtro e, come bonus, consente di eliminare matrici di grandi dimensioni e librerie di matrici pesanti.

Ora vediamo come questa idea viene implementata in opzioni di filtro specifiche.

Filtro al miele. Tutta la strabiliante matematica dell'articolo originale di Mahoney è stata scritta per giustificare semplici equazioni (32). Riscriviamoli nella nostra notazione. Se ignoriamo la stima degli offset zero dei giroscopi, rimangono due equazioni chiave: l'equazione cinematica per la matrice di rotazione stessa (con la velocità angolare di controllo sotto forma di matrice) e la legge di formazione di questa stessa velocità nella forma di un vettore. Assumiamo per semplicità che non ci siano accelerazioni o pickup magnetici e, grazie a questo, le misure di accelerazione sono disponibili per noi caduta libera da accelerometri e tensione campo magnetico Terra dai magnetometri. Entrambi i vettori sono misurati da sensori in un sistema di coordinate collegato, e nel sistema geografico la loro posizione è nota con certezza: è diretta verso l'alto, verso il nord magnetico. Quindi le equazioni del filtro Mahoney saranno simili a questa:

Diamo un'occhiata da vicino alla seconda equazione. Il primo termine sul lato destro è prodotto vettoriale. Il primo fattore in esso è l'accelerazione gravitazionale misurata, il secondo è quello vero. Poiché i fattori devono trovarsi nello stesso sistema di coordinate, il secondo fattore viene convertito nel sistema associato moltiplicando per . La velocità angolare, costruita come prodotto vettoriale, è perpendicolare al piano dei vettori moltiplicatori. Ti consente di ruotare la posizione calcolata del sistema di coordinate associato fino a quando i vettori del moltiplicatore coincidono nella direzione, quindi il prodotto vettoriale verrà azzerato e la rotazione si arresterà. Il coefficiente determina la rigidità di tale feedback. Il secondo termine esegue un'operazione simile con vettore magnetico. Il filtro di Mahoney incarna infatti la ben nota tesi: la conoscenza di due vettori non collineari in due diversi sistemi di coordinate permette di ripristinare in modo univoco l'orientamento reciproco di questi sistemi. Se sono presenti più di due vettori, ciò fornirà un'utile ridondanza della misurazione. Se è presente un solo vettore, non è possibile fissare un grado di libertà rotazionale (movimento attorno a questo vettore). Ad esempio, se viene fornito solo il vettore, è possibile correggere la deriva di rollio e beccheggio, ma non imbardata.

Naturalmente, nel filtro Mahoney, non è necessario utilizzare una matrice di rotazione. Esistono anche varianti di quaternioni non canoniche.

Piattaforma giroscopica virtuale. Nel filtro Mahoney, abbiamo applicato la velocità angolare di sterzata a un sistema di coordinate accoppiato. Ma puoi applicarlo alla posizione calcolata del sistema di coordinate geografiche. L'equazione cinematica assume quindi la forma

Si scopre che un tale approccio apre la strada ad analogie fisiche molto fruttuose. Basti ricordare con cosa è iniziata la tecnologia giroscopica: rubriche e sistemi di navigazione inerziale basati su una piattaforma girostabilizzata in una sospensione cardanica.

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Il compito della piattaforma era quello di materializzare il sistema di coordinate geografiche. L'orientamento del supporto è stato misurato rispetto a questa piattaforma da sensori angolari sui telai delle sospensioni. Se i giroscopi andavano alla deriva, la piattaforma si spostava dietro di loro e gli errori si accumulavano nelle letture dei sensori angolari. Per eliminare questi errori, abbiamo introdotto Risposta da accelerometri installati sulla piattaforma. Ad esempio, la deviazione della piattaforma dall'orizzonte attorno all'asse settentrionale è stata percepita dall'accelerometro dell'asse orientale. Questo segnale ha permesso di impostare la velocità angolare di controllo, che riporta la piattaforma all'orizzonte.

Possiamo usare gli stessi concetti visivi nel nostro problema. L'equazione cinematica scritta dovrebbe quindi essere letta come segue: la velocità di variazione dell'orientamento è la differenza tra due movimenti di rotazione - movimento assoluto il vettore (il primo termine) e il moto assoluto della piattaforma giroscopica virtuale (il secondo termine). L'analogia può essere estesa alla legge di formazione della velocità angolare di controllo. Il vettore incarna le letture degli accelerometri presumibilmente in piedi sulla piattaforma giroscopica. Quindi, da considerazioni fisiche, possiamo scrivere:

Esattamente lo stesso risultato si sarebbe potuto ottenere formalmente, eseguendo la moltiplicazione dei vettori nello spirito del filtro Mahoney, ma ora non in un sistema di coordinate connesso, ma in un sistema di coordinate geografiche. È solo necessario?

Il primo accenno di un'utile analogia tra piattaforma e navigazione inerziale strapdown appare in un antico brevetto Boeing. Quindi questa idea è stata attivamente sviluppata da Salychev e recentemente anche da me. Vantaggi evidenti di questo approccio:

• La velocità angolare di controllo può essere formata sulla base di principi fisici comprensibili.
• Naturalmente sono separati i canali orizzontale e di corso, che sono molto diversi nelle loro proprietà e nei metodi di correzione. Nel filtro Mahoney vengono mescolati.
• È conveniente compensare l'influenza delle accelerazioni utilizzando i dati GNSS, che vengono emessi in assi geografici, piuttosto che correlati.
• È facile generalizzare l'algoritmo al caso della navigazione inerziale ad alta precisione, dove si deve tenere conto della forma e della rotazione della Terra. Non ho idea di come farlo nello schema Mahoney.

Filtro Madgwick. Madgwick ha scelto la via più difficile. Se Mahoney, a quanto pare, è giunto intuitivamente alla sua decisione, e poi l'ha giustificata matematicamente, allora Madgwick fin dall'inizio si è dimostrato un formalista. Si è impegnato a risolvere il problema di ottimizzazione. Ha ragionato così. Impostare l'orientamento sul quaternione di rotazione. Nel caso ideale, la direzione calcolata di un vettore misurato (diciamolo) coincide con quella vera. Allora sarà. In realtà, questo non è sempre realizzabile (soprattutto se sono presenti più di due vettori), ma puoi provare a ridurre al minimo la deviazione dall'esatta uguaglianza. Per fare ciò, introduciamo un criterio di minimizzazione

La riduzione al minimo richiede la discesa del gradiente, spostandosi a piccoli passi nella direzione opposta al gradiente, ad es. opposto all'aumento più veloce della funzione. A proposito, Madgwick sbaglia: in tutte le sue opere non entra affatto e scrive insistentemente invece di , anche se in realtà calcola esattamente.

La discesa del gradiente porta eventualmente alla seguente condizione: per compensare la deriva di orientamento, è necessario aggiungere alla velocità di variazione del quaternione dall'equazione cinematica un nuovo termine negativo proporzionale a:

Qui Madgwick si discosta un po' dal nostro " criterio basilare”: aggiunge un termine di correzione non alla velocità angolare, ma alla velocità di variazione del quaternione, e questa non è esattamente la stessa cosa. Di conseguenza, potrebbe risultare che il quaternione aggiornato non sarà più un'unità e, di conseguenza, perderà la capacità di rappresentare l'orientamento. Pertanto, per il filtro Madgwick, la normalizzazione artificiale del quaternione è un'operazione vitale, mentre per altri filtri è auspicabile, non facoltativa.

Influenza delle accelerazioni

Fino ad ora, si presumeva che non ci fossero vere accelerazioni e che gli accelerometri misurassero solo l'accelerazione di caduta libera. Ciò ha permesso di ottenere uno standard verticale e, con il suo aiuto, di compensare la deriva di rollio e beccheggio. Tuttavia, nel caso generale, gli accelerometri, indipendentemente dal loro principio di funzionamento, misurano accelerazione apparente- differenza vettoriale dell'accelerazione vera e dell'accelerazione di caduta libera. La direzione dell'accelerazione apparente non coincide con la verticale e nelle stime di rollio e beccheggio compaiono errori dovuti alle accelerazioni.

Questo può essere facilmente illustrato usando l'analogia di una piattaforma giroscopica virtuale. Il suo sistema di correzione è progettato in modo tale che la piattaforma si fermi nella posizione angolare in cui i segnali degli accelerometri presumibilmente installati su di essa vengono annullati, ovvero quando il vettore misurato diventa perpendicolare agli assi di sensibilità degli accelerometri. Se non ci sono accelerazioni, questa posizione coincide con l'orizzonte. Quando si verificano accelerazioni orizzontali, la piattaforma giroscopica devia. Possiamo dire che la piattaforma giroscopica è simile a un pendolo oa un filo a piombo fortemente smorzato.

Nei commenti al post sul filtro Majwick è balenata la domanda se sia possibile sperare che questo filtro sia meno suscettibile alle accelerazioni rispetto, ad esempio, al filtro Mahoney. Purtroppo, tutti i filtri qui descritti funzionano secondo gli stessi principi fisici e quindi soffrono degli stessi problemi. Non puoi ingannare la fisica con la matematica. Cosa fare allora?

Il metodo più semplice e grezzo è stato inventato già a metà del secolo scorso per il giroscopio verticale degli aerei: ridurre o azzerare completamente la velocità angolare di controllo in presenza di accelerazioni o la velocità angolare della prua (che indica l'ingresso in una virata) . Lo stesso metodo può essere trasferito agli attuali sistemi strapdown. In questo caso le accelerazioni vanno giudicate dai valori, e non , che a loro volta sono a loro volta nulli. Tuttavia, in grandezza non è sempre possibile distinguere le vere accelerazioni dalle proiezioni dell'accelerazione di caduta libera a causa dell'inclinazione stessa della piattaforma giroscopica che deve essere eliminata. Pertanto, il metodo funziona in modo inaffidabile, ma non richiede sensori aggiuntivi.

Un metodo più accurato si basa sull'uso di misurazioni di velocità esterne da un ricevitore GNSS. Se la velocità è nota, può essere differenziata numericamente e ottenere vera accelerazione. Quindi la differenza sarà esattamente uguale indipendentemente dal movimento del vettore. Può essere utilizzato come standard verticale. Ad esempio, è possibile impostare le velocità angolari di controllo della piattaforma giroscopica nel modulo

Spostamenti di zero del sensore

Una caratteristica triste dei giroscopi e degli accelerometri di livello consumer è la grande instabilità dello zero offset nel tempo e nella temperatura. Per eliminarli, non è sufficiente una sola calibrazione di fabbrica o di laboratorio: è necessario rivalutare durante il funzionamento.

Giroscopi. Trattiamo gli offset zero dei giroscopi. La posizione calcolata del sistema di coordinate associato si allontana dalla sua posizione reale con una velocità angolare determinata da due fattori di contrasto: gli spostamenti origine dei giroscopi e la velocità angolare di controllo: . Se il sistema di correzione (ad esempio, nel filtro Mahoney) è riuscito a fermare la deriva, sarà nello stato stazionario. In altre parole, la velocità angolare di controllo contiene informazioni su una perturbazione attiva sconosciuta. Pertanto, puoi candidarti valutazione compensativa: non conosciamo direttamente l'entità del disturbo, ma sappiamo quale azione correttiva è necessaria per bilanciarlo. Questa è la base per stimare gli spostamenti zero dei giroscopi. Ad esempio, il punteggio di Mahoney viene aggiornato secondo la legge

Tuttavia, il suo risultato è strano: le stime raggiungono 0,04 rad/s. Tale instabilità di zero offset non si verifica nemmeno con i peggiori giroscopi. Sospetto che il problema sia che Mahoney non utilizza GNSS o altri sensori esterni e soffre completamente degli effetti delle accelerazioni. Solo sull'asse verticale, dove le accelerazioni non nuocciono, la stima appare più o meno sensata:

Mahony et al., 2008

accelerometri. La stima degli offset zero degli accelerometri è molto più difficile. Le informazioni su di loro devono essere estratte dalla stessa velocità angolare di controllo. Tuttavia, nel moto rettilineo l'effetto dello zero offset degli accelerometri è indistinguibile dall'inclinazione del supporto o dal disallineamento dell'installazione dell'unità sensore su di esso. Non vengono creati additivi per gli accelerometri. L'additivo appare solo durante una svolta, il che consente di separare e valutare in modo indipendente gli errori di giroscopi e accelerometri. Un esempio di come questo può essere fatto è nel mio articolo. Ecco le immagini da lì:

Invece di una conclusione: che dire del filtro Kalman?

Non ho dubbi che i filtri qui descritti avranno quasi sempre un vantaggio rispetto al tradizionale filtro di Kalman in termini di velocità, compattezza del codice e facilità di personalizzazione: questo è ciò per cui sono stati creati. Per quanto riguarda l'accuratezza della stima, qui non tutto è così chiaro. Ho visto filtri Kalman progettati senza successo, che, in termini di precisione, hanno perso notevolmente a causa di un filtro con una piattaforma giroscopica virtuale. Madgwick ha anche sostenuto i vantaggi del suo filtro rispetto a alcuni stima Kalman. Tuttavia, per lo stesso problema di stima dell'orientamento, è possibile costruire almeno una dozzina di diversi circuiti di filtro Kalman e ciascuno avrà un numero infinito di opzioni di ottimizzazione. Non ho motivo di pensare che il filtro Mahoney o Madgwick sarà più accurato il migliore possibile Filtri Kalman. E, naturalmente, l'approccio di Kalman avrà sempre il vantaggio dell'universalità: non impone alcuna restrizione rigorosa alle proprietà dinamiche specifiche del sistema oggetto di valutazione.

Uguale a zero:

.

Un sistema ortogonale, se completo, può essere utilizzato come base per lo spazio. In questo caso, la scomposizione di qualsiasi elemento può essere calcolata con le formule: , dove .

Il caso in cui la norma di tutti gli elementi è chiamata sistema ortonormale.

Ortogonalizzazione

Qualsiasi sistema completo linearmente indipendente in uno spazio a dimensione finita è una base. Da una base semplice, quindi, si può passare a una base ortonormale.

Decomposizione ortogonale

Quando si scompongono i vettori di uno spazio vettoriale in base ortonormale, il calcolo del prodotto scalare è semplificato: , dove e .

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Un sistema di funzioni (φn(x)), n = 1, 2, ..., definito sul segmento [a, b] e che soddisfa la seguente condizione di ortogonalità: per k≠l, dove ρ(x) è una funzione chiamato peso. Ad esempio, sistema trigonometrico 1, sin x, cos x, sin 2x, ... ... dizionario enciclopedico

Un sistema di funzioni ((fn(x)), n=1, 2, ..., definito sul segmento [a, b] e che soddisfa la traccia, condizione di ortogonalità per k diversa da l, dove p(x) è una funzione non al contorno, chiamata peso Ad esempio, sistema trigonometrico 1, sin x, cosx, sin 2x, cos 2x, ... O.s.f. con peso ... ... Scienze naturali. dizionario enciclopedico

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1) O. tale che (x a , X ab)=0 a . Se, inoltre, la norma di ciascun vettore è uguale a uno, viene chiamato il sistema (x a ). Ortonormale. Completa O. s. (x a ) chiamato. base ortogonale (ortonormale). M. I. Voitsekhovsky.

2) O.s. coordinate - un sistema di coordinate e quali linee (o superfici) di coordinate si intersecano ad angolo retto. O.s. le coordinate esistono in qualsiasi spazio euclideo, ma, in generale, non esistono in uno spazio arbitrario. In uno spazio affine liscio bidimensionale O. s. può sempre essere introdotto almeno in un intorno sufficientemente piccolo di ogni punto. L'introduzione di O. è talvolta possibile con. coordinate del caso. In O. con. metrico tensore g ij diagonali; componenti diagonali gii accettato come Coefficienti zoppi. Coefficiente di zoppo O.s. nello spazio sono espressi dalle formule

dove x, y e z- Coordinate cartesiane rettangolari. L'elemento di lunghezza è espresso attraverso i coefficienti di Lame:

elemento di superficie:

elemento volume:

operazioni differenziali vettoriali:

L'O. s. coordinate: sul piano - cartesiane, polari, ellittiche, paraboliche; nello spazio: sferico, cilindrico, paraboloidale, bicilindrico, bipolare. DD Sokolov.

3) O.s. funzioni - un sistema finito o di conteggio (j io(x)) di funzioni appartenenti allo spazio

L2(X, S, m) e soddisfacendo le condizioni

Se l io=1 per tutti io, quindi viene chiamato il sistema Ortonormale. Si assume che la misura m(x) definita sulla s-algebra S di sottoinsiemi dell'insieme X sia numerabilmente additiva, completa e abbia una base numerabile. Questa è la definizione di O. di s. include tutto considerato analisi moderna o.s.; si ottengono per diverse realizzazioni concrete dello spazio di misura ( X, S, m).

Di maggiore interesse sono i sistemi ortonormali completi (j n(x)), che hanno la proprietà che per ogni funzione esiste un'unica serie convergente a f(x) nella metrica spaziale L2(X, S, m) , mentre i coefficienti con pag sono determinati dalle formule di Fourier

Tali sistemi esistono a causa della separabilità dello spazio L2(X, S, m). Un metodo universale per la costruzione di sistemi ortonormali completi è fornito dal metodo di ortogonalizzazione di Schmidt. Per fare ciò, è sufficiente applicarlo ad alcuni completi L2(S, X, m) un sistema di funzioni linearmente indipendenti.

In teoria righe ortogonali in sono generalmente considerati da O. di pagina. spazio L2[a, b](quel caso speciale quando X=[a, b], S- un sistema di insiemi misurabili di Lebesgue, e m è la misura di Lebesgue). Molti teoremi sulla convergenza o sommabilità delle serie , , rispetto agli o.s. generali. (j n(x)) spazi L2[a, b] sono vere anche per le serie nei sistemi ortonormali dello spazio L2(X, S, m). Allo stesso tempo, in questo caso particolare, sono stati costruiti interessanti sistemi ortogonali in calcestruzzo che hanno buone proprietà di un tipo o dell'altro. Tali, ad esempio, sono i sistemi di Haar, Rademacher, Walsh-Paley, Franklin.

1) Sistema Haar

dove m=2 n+k, , m=2, 3, ... . Le serie Haar rappresentano un tipico esempio martingale e valgono i teoremi generali della teoria della martingala. Inoltre, il sistema è una base in lp, , e la serie di Fourier nel sistema di Haar di qualsiasi funzione integrabile converge quasi ovunque.

2) Sistema Rademacher

rappresenta un importante esempio di O. di pag. funzioni indipendenti e trova applicazioni sia nella teoria della probabilità che nella teoria delle serie funzionali ortogonali e generali.

3) Sistema Walsh-Paley è definito attraverso le funzioni Rademacher:

dove sono i numeri qk sono determinati dall'espansione binaria del numero n:

4) Il sistema di Franklin si ottiene per ortogonalizzazione con il metodo di Schmidt della sequenza di funzioni

È un esempio di una base ortogonale dello spazio C funzioni continue.

Nella teoria delle serie multiple ortogonali, sistemi di funzioni della forma

dove si trova il sistema ortonormale L2[a, b]. Tali sistemi sono ortonormali sul cubo m-dimensionale J m =[a, b]X . . .X[ a, b] e sono completi se il sistema (j n(X))

Illuminato.:[l] Kaczmarz S., Steinhaus G., Teoria delle serie ortogonali, trad. dal tedesco, M., 1958; I risultati della scienza. Analisi matematica, 1970, M., 1971, pag. 109-46; lì, pag. 147-202; Dub J., Processi probabilistici, trad. dall'inglese, M., 1956; Loev M., Teoria della probabilità, trad. dall'inglese, M., 1962; Sigmund A., Serie trigonometrica, trad. dall'inglese, vol.1-2, M., 1965. A. A. Taalyan.

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