Come si esprime la circolazione del vettore dell'intensità del campo elettrostatico. Teorema di circolazione del vettore di tensione

Il lavoro di spostamento di una carica in un campo elettrostatico non dipende dalla forma del percorso di transizione, ma dipende solo dalla posizione dei punti di movimento iniziale e finale, ad es. il campo elettrostatico di una carica puntiforme è potenziale e le forze elettrostatiche sono conservative. Nel caso in cui la carica q 0 si muova nel campo del sistema di cariche, allora una forza agisce sulla carica in movimento secondo il principio delle sovrapposizioni e il lavoro della forza risultante è uguale alla somma algebrica del lavoro della forze corrispondenti:

, (7.11)

dove r i 1 e r i 2 sono le distanze dalla carica q i ai punti di inizio e fine del movimento della carica q 0 . Segue anche dalla formula (7.10) che il lavoro svolto quando una carica si muove in un campo elettrostatico lungo un percorso chiuso è zero, cioè . Se la carica spostata è considerata come unità, allora (7.11) può essere scritta:

, o . (7.12)

Questo integrale è chiamato circolazione del vettore di tensione lungo un contorno chiuso.

Diverse importanti conclusioni possono essere tratte dal teorema di circolazione del vettore di intensità: 1) le linee di intensità di campo non possono essere chiuse; 2) l'esistenza di un campo elettrostatico della forma mostrata in fig. 7.5 è impossibile.

Fig.7.5

Fig.7.4

Infatti, se applichiamo a questo campo il teorema sulla circolazione di un vettore lungo un contorno chiuso, mostrato in Fig. 7.6 linea tratteggiata, allora sarebbe diverso da zero, il che contraddice il teorema.

Domanda n. 42

Il potenziale del campo elettrostatico. q2 nel campo di addebito q 1 può essere scritto nel modulo

. (7.16)

wp cost r→ ∞, wp= 0. Quindi,

. (7.17)

con q2 q2.

qè uguale a

Se il campo è creato da un sistema di addebiti q 1 , q 2 , …q n , quindi per l'energia potenziale della carica qpr nel campo del sistema di addebiti otteniamo

. (7.21)

Tenendo conto (7.19), il potenziale del campo di un sistema di cariche è uguale alla somma algebrica dei potenziali creati da ciascuna delle cariche separatamente

(7.22)

7.7 Relazione tra potenziale j e forza campo elettrico. La formula differenziale per la connessione e φ, che è valida per un piccolo intorno di qualsiasi punto del campo, può essere derivata da espressioni per il lavoro elementare. In cui si

dove El- proiezione di un vettore su una direzione nello spazio.

In una forma vettoriale più generale, il vettore è uguale a , dove

sono i vettori unitari diretti rispettivamente lungo gli assi x, y, z L'ultima equazione può essere scritta come

Oppure Ñj , (7.19)

quelli. l'intensità del campo è uguale al gradiente di potenziale ed è diretta nella direzione del potenziale decrescente.

Domanda n. 43

7,8 conduttori in un campo elettrico. Se al conduttore viene data una certa carica o posto in un campo elettrostatico esterno, in entrambi i casi le cariche del conduttore saranno influenzate dal campo elettrostatico e si muoveranno all'interno del conduttore. Questo processo continuerà fino a quando il campo all'interno del conduttore è zero e il potenziale all'interno del conduttore deve essere costante (j=const). La tensione sulla superficie del conduttore in ogni punto deve essere diretta lungo la normale. Altrimenti, le componenti tangenziali metterebbero in moto le cariche sulla superficie e l'equilibrio delle cariche verrebbe disturbato. Applicando il teorema di Gauss, puoi determinare l'intensità del campo direttamente sulla superficie del conduttore

dove e è la permittività del mezzo che circonda il conduttore, Sè la densità di carica superficiale.

7.9 Capacità elettrica di un conduttore solitario. Consideriamo un conduttore lontano da altri conduttori, corpi e cariche, in relazione ai quali può essere considerato un conduttore solitario. Dall'esperienza ne consegue che esiste una relazione tra carica e potenziale q = Сj.

Il valore viene chiamato capacità elettrica o semplicemente la capacità di un conduttore solitario. La capacità dipende dalla forma e dalle dimensioni del conduttore e non dipende dal materiale, stato di aggregazione e sulle dimensioni delle cavità all'interno del conduttore. La capacità è indipendente dalla carica e dal potenziale del conduttore.

7.10 Capacità elettrica dei condensatori. Un sistema di conduttori che sono vicini tra loro e carichi di cariche della stessa intensità, ma di segno opposto, è chiamato condensatore e i conduttori sono chiamati piastre. Viene determinata la capacità del condensatore

dove j 1 - j 2è la differenza di potenziale tra le piastre, q- la carica situata sulla piastra caricata positivamente del condensatore. A seconda della forma delle piastre, i condensatori sono piatti, cilindrici e sferici:

1) capacità elettrica di un condensatore piatto

2) capacità elettrica di un condensatore cilindrico

, (7.23)

dove è la lunghezza del condensatore, R1 e R2 sono i raggi delle piastre cilindriche interne ed esterne.

3) Capacità di un condensatore sferico

, (7.24)

dove R1 e R2 sono i raggi delle piastre interna ed esterna.

Domanda n. 44

7.11 Energia di un condensatore carico. Il processo di carica di un condensatore può essere rappresentato come un movimento sequenziale di porzioni infinitesime di carica dq da una piastra all'altra, per cui una delle piastre verrà caricata positivamente e l'altra negativamente, e si verificherà una differenza di potenziale gradualmente crescente tra di loro U = q/C. In questo caso, l'energia del condensatore è uguale a

Qui eè l'intensità del campo elettrico all'interno del condensatore, a V=Sdè il suo volume. Da qui l'energia di un'unità di volume, o la densità di energia volumetrica del campo elettrico

In un dielettrico isotropo, le direzioni dei vettori e coincidono. Pertanto, la formula per la densità di energia può essere data nella forma

Il primo termine in questa espressione coincide con la densità di energia del campo nel vuoto. Il secondo termine è l'energia spesa per la polarizzazione del dielettrico.

7.6 Potenziale del campo elettrostatico. Poiché il lavoro delle forze conservative è uguale alla perdita di energia potenziale, quindi, in base alla formula (7.13), l'espressione per l'energia potenziale della carica q2 nel campo di addebito q 1 può essere scritto nel modulo

. (7.16)

Come si può vedere dall'espressione (7.16), wpè determinato fino a un valore costante. In questo caso, per il campo elettrico di una carica puntiforme, è consuetudine scegliere cost in modo che a una distanza infinitamente grande tra le cariche loro reciproche energia potenziale azzerato: r→ ∞, wp= 0. Quindi,

Dalla formula (7.17) segue che il rapporto con q2 poiché un dato punto del campo non dipende dall'entità della carica q2. Pertanto, questo rapporto può fungere da caratteristica energetica del campo elettrostatico, che viene chiamato potenziale di campo, e uguale al rapporto tra l'energia potenziale della carica di prova inserita dato punto campo, al valore di tale addebito

Dalle espressioni (7.17) e (7.18) segue che il potenziale del campo di una carica puntiforme qè uguale a

Il lavoro di spostamento di una carica in un campo elettrostatico è uguale al prodotto dell'entità della carica e della differenza di potenziale nei punti iniziale e finale del movimento

Teorema di circolazione

In precedenza abbiamo scoperto che la carica (q), che si trova in un campo elettrostatico, è influenzata da forze conservative, il cui lavoro ($A$) su qualsiasi percorso chiuso (L) è uguale a zero:

dove $\overrightarrow(s)$ è il vettore di spostamento (da non confondere con area), $\overrightarrow(E)$ è il vettore dell'intensità del campo.

Per una carica positiva unitaria, possiamo scrivere:

L'integrale sul lato sinistro dell'equazione (2) è la circolazione del vettore di intensità lungo il contorno L. proprietà caratteristica campo elettrostatico è che la circolazione del suo vettore di intensità in ogni anello chiuso è uguale a zero. Tale affermazione è chiamata teorema di circolazione del vettore dell'intensità del campo elettrostatico.

Dimostriamo il teorema di circolazione sulla base che il lavoro del campo nel muovere la carica non dipende dalla traiettoria della carica nel campo elettrostatico, che è espresso dall'uguaglianza:

dove $L_1\ e\ L_2$ sono percorsi diversi tra i punti A e B. Prendiamo in considerazione che quando scambiamo i limiti di integrazione, otteniamo:

L'espressione (4) è rappresentata come:

dove $L=L_1+L_2$. Quindi il teorema è dimostrato.

Una conseguenza del teorema di circolazione è che le linee di forza del campo elettrostatico non sono chiuse. Iniziano con cariche positive e finiscono con cariche negative o vanno all'infinito. Il teorema vale per le cariche statiche. Altra conseguenza del teorema: la continuità delle componenti tangenziali della tensione (in contrasto con le componenti normali). Ciò significa che le componenti di sollecitazione tangenti a qualsiasi superficie selezionata in uno qualsiasi dei suoi punti hanno valori uguali su entrambi i lati della superficie.

Selezioniamo una superficie arbitraria S, che si basa sul contorno L (Fig. 1).

Secondo la formula di Stokes (teorema di Stokes), l'integrale dell'arricciatura del vettore di sollecitazione ($rot\overrightarrow(E)$) preso sulla superficie S è uguale alla circolazione del vettore di sollecitazione lungo il contorno su cui questa superficie poggia:

dove $d\overrightarrow(S)=dS\cdot \overrightarrow(n)$, $\overrightarrow(n)$ -- vettore unitario perpendicolare alla sezione dS. Il rotore ($rot\overrightarrow(E)$) caratterizza l'intensità del "swirl" del vettore. Una rappresentazione visiva del rotore del vettore può essere ottenuta se una piccola girante leggera (Fig. 2) viene posizionata in un flusso di fluido. In quei punti in cui il rotore non è uguale a zero, la girante ruoterà e la velocità della sua rotazione sarà tanto maggiore quanto maggiore sarà la proiezione del modulo di proiezione del rotore sull'asse della girante.

Nel calcolo pratico del rotore, vengono utilizzate più spesso le formule:

Poiché, in accordo con l'equazione (6), la circolazione del vettore di intensità è zero, otteniamo:

La condizione (8) deve essere soddisfatta per ogni superficie S che poggia sul contorno L. Ciò è possibile solo se l'integrando:

e per ogni punto del campo.

Per analogia con la girante di Fig. 2 immaginate una "girante" elettrica. Alle estremità di tale “girante” ci sono cariche uguali q. Il sistema è posto in un campo uniforme con intensità E. Nei punti dove $rot\overrightarrow(E)\ne 0$ tale "dispositivo" ruoterà con un'accelerazione che dipende dalla proiezione del rotore sull'asse della girante. Nel caso di un campo elettrostatico, un tale "dispositivo" non ruoterebbe per nessun orientamento dell'asse. Poiché una caratteristica distintiva del campo elettrostatico è che è irrotazionale. L'equazione (9) rappresenta il teorema di circolazione in forma differenziale.

Esempio 1

Compito: In fig. 3 mostra il campo elettrostatico. Cosa si può dire delle caratteristiche di questo campo dalla figura?

Si può dire di questo campo che l'esistenza di un tale campo elettrostatico è impossibile. Se si seleziona il contorno (è indicato da una linea tratteggiata). Per un tale circuito, la circolazione del vettore di intensità è:

\[\oint\limits_L(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(s)\ne 0)\left(1.1\right),\]

che contraddice il teorema di circolazione per un campo elettrostatico. L'intensità del campo è determinata dalla densità delle linee di campo, è dentro parti differenti il campo non è lo stesso, di conseguenza, il lavoro in un circuito chiuso sarà diverso da zero, quindi la circolazione del vettore di intensità non è uguale a zero.

Esempio 2

Compito: Basandosi sul teorema di circolazione, dimostrare che le componenti tangenziali del vettore dell'intensità del campo elettrostatico non cambiano quando passano attraverso l'interfaccia dielettrica.

Si consideri il confine tra due dielettrici con permittività $(\varepsilon )_2\ e\ (\varepsilon )_1$ (Fig. 4). Scegliamo un piccolo contorno rettangolare su questo bordo con i parametri a - lunghezza, b - larghezza. L'asse x passa per i punti medi dei lati b.

Per un campo elettrostatico è soddisfatto il teorema di circolazione, che è espresso dall'equazione:

\[\oint\limits_L(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(s)=0\ \left(2.1\right).)\]

Con piccole dimensioni del contorno, la circolazione del vettore di intensità e, in accordo con la direzione indicata per aggirare il contorno, l'integrale nella formula (2.1) può essere rappresentato come:

\[\oint\limits_L(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(s)=E_(1x)a-E_(2x)a+\left\langle E_b\right\rangle 2b=0\ \left(2.2\right) ,)\]

dove $\left\langle E_b\right\rangle $ è il valore medio di $\overrightarrow(E)$ nelle sezioni perpendicolari all'interfaccia.

Dalla (2.2) segue che:

\[((E)_(2x)-E_(1x))a=\sinistra\angolo E_b\destra\angolo 2b\ (2.3).\]

Se $b\to 0$, allora otteniamo che:

L'espressione (2.4) è soddisfatta per una scelta arbitraria dell'asse X, che giace sull'interfaccia dielettrica. Se rappresentiamo il vettore di intensità sotto forma di due componenti (tangenziale $E_(\tau )\ $ e normale $E_n$):

\[\overrightarrow(E_1)=\overrightarrow(E_(1n))+\overrightarrow(E_(1\tau )),\overrightarrow(E_2)=\overrightarrow(E_(2n))+\overrightarrow(E_(2\ tau ))\ \sinistra(2.5\destra).\]

In questo caso, dalla (2.4) scriviamo:

dove $E_(\tau i)$ è la proiezione del vettore forza sul vettore unitario $\tau $ diretto lungo l'interfaccia dielettrica.

Se nel campo elettrostatico di una carica puntiforme Q da un punto 1 Esattamente 2 un'altra carica puntiforme Q 0 si muove lungo una traiettoria arbitraria (Fig. 132), quindi la forza applicata alla carica funziona. Forza lavoro F su uno spostamento elementare dl è uguale a

Funziona quando si sposta la carica Q 0 da un punto 1 Esattamente 2

non dipende dalla traiettoria del movimento, ma è determinato solo dalle posizioni dell'iniziale 1 e finale 2 punti. Pertanto, il campo elettrostatico di una carica puntiforme è potenziale e le forze elettrostatiche conservatore(vedi §12).

Dalla formula (83.1) segue che il lavoro svolto spostando una carica elettrica in un campo elettrostatico esterno lungo un qualsiasi percorso chiuso lè uguale a zero, cioè

Se prendiamo una carica positiva di un punto unitario come carica trasportata in un campo elettrostatico, allora lavoro elementare forze di campo in arrivo d lè uguale a e d l=E io dl, dove E l = E cosa - proiezione vettoriale e alla direzione dello spostamento elementare. Allora la formula (83.2) può essere scritta come

Integrante

chiamata circolazione del vettore di tensione. Pertanto, la circolazione del vettore dell'intensità del campo elettrostatico lungo qualsiasi anello chiuso è uguale a zero. Viene chiamato un campo di forza con la proprietà (83.3). potenziale. Dalla scomparsa del vettore di circolazione e ne consegue che le linee del campo elettrostatico non possono essere chiuse, iniziano e finiscono con cariche (rispettivamente positive o negative) o vanno all'infinito.

La formula (83.3) è valida solo per un campo elettrostatico. Si mostrerà in seguito che la condizione (83.3) non è soddisfatta per il campo delle cariche in movimento (per esso la circolazione del vettore di intensità è diversa da zero).

Il lavoro delle forze del campo elettrico. Circolazione del vettore dell'intensità del campo elettrico. Si consideri un campo elettrostatico creato da una carica puntiforme Q stazionaria. In qualsiasi punto di questo campo, una forza di Coulomb agisce sulla carica puntiforme Qo. Allora il lavoro svolto da questa forza sulla carica Qo allo spostamento elementare dl, ovvero: da = = Fdlcosα = Poiché dlcosα = dr, allora da =

Il lavoro quando si sposta la carica Qo lungo una traiettoria arbitraria dal punto 1 al punto 2 Il lavoro, come segue dalla formula, non dipende dalla traiettoria del movimento, ma è determinato solo dalle posizioni dei punti 1 iniziale e 2 finali. Pertanto, il campo elettrostatico di una carica puntiforme è potenziale e le forze elettrostatiche sono conservative Dall'espressione segue anche che il lavoro svolto quando una carica elettrica si muove in un campo elettrostatico esterno lungo un qualsiasi percorso chiuso L è uguale a zero, cioè

Conseguenze del Teorema 1. Dal teorema consegue che la circolazione del vettore dell'intensità del campo elettrostatico lungo qualsiasi contorno chiuso è uguale a zero. Il campo di forza E si dice potenziale se la circolazione del vettore E lungo ogni anello chiuso è uguale a zero. 2. Il teorema vale solo per un campo elettrostatico. 3. Le linee del campo elettrostatico non possono essere chiuse, iniziano e finiscono con cariche (rispettivamente positive o negative) o vanno all'infinito. Supponiamo che la linea di tensione sia chiusa. Se lo scegliamo come contorno di integrazione L, allora quando questo contorno viene bypassato nella direzione positiva, le linee di tensione, l'integrando nell'integrale e l'integrale stesso sono positivi. Ciò, tuttavia, contraddice il teorema, che dimostra che le linee di intensità del vettore E non possono essere chiuse.

Il potenziale del campo elettrostatico è la differenza di potenziale Il lavoro delle forze del campo elettrostatico può essere rappresentato come la differenza di energie potenziali che una carica puntiforme Qo ha nei punti iniziale e finale del campo creato dalla carica Q: Pertanto : l'energia potenziale della carica Qo nel campo di carica Q è uguale a L'energia potenziale W è determinata entro la costante C. Il valore della costante è solitamente scelto in modo tale che quando la carica viene rimossa all'infinito (r), il potenziale l'energia svanisce (W \u003d 0), quindi C \u003d 0 e l'energia potenziale della carica Qo, situata nel campo di carica Q a una distanza r da essa, è uguale a

0 e l'energia potenziale della loro interazione (repulsione) è positiva, per cariche opposte Q 0 Q 0 e l'energia potenziale della loro interazione (repulsione) è positiva, per cariche opposte Q 0 Q 7 Per cariche simili Q 0 Q > 0 e l'energia potenziale della loro interazione (repulsione) è positiva, poiché a differenza delle cariche Q 0 Q 0 e l'energia potenziale della loro interazione (repulsione) è positiva, per cariche diverse Q 0 Q 0 e le l'energia potenziale della loro interazione (repulsione) è positiva, poiché a differenza delle cariche Q 0 Q 0 e l'energia potenziale della loro interazione (repulsione) è positiva, poiché a differenza delle cariche Q 0 Q 0 e l'energia potenziale della loro interazione (repulsione) è positiva , per cariche dissimili Q 0 Q title="(!LANG:Per cariche simili Q 0 Q > 0 e l'energia potenziale della loro interazione (repulsione) è positiva, per cariche dissimili Q 0 Q

Potenziale Viene chiamato il potenziale in qualsiasi punto del campo elettrostatico quantità fisica, determinata dall'energia potenziale di una carica positiva unitaria posta in questo punto. Se il campo è creato da un sistema di n cariche puntiformi, allora il potenziale del campo del sistema di cariche è uguale alla somma algebrica dei potenziali dei campi di queste cariche, creata a questo punto da ciascuna carica separatamente: Il potenziale del campo creato dalla carica puntiforme Q,

Il lavoro svolto dalle forze del campo elettrostatico quando si sposta la carica Qo dal punto 1 al punto 2 può essere scritto come potenziale). Dalla formula segue che la differenza di potenziale di due punti 1 e 2 in un campo elettrostatico è determinata dal lavoro svolto dalle forze di campo quando si sposta una singola carica positiva dal punto 1 al punto 2. Se la carica Qo è mescolata da un punto arbitrario 1 esterno al campo, cioè all'infinito (dove, per condizione, il potenziale è zero), quindi il lavoro delle forze del campo elettrostatico, e quindi

Il potenziale è una quantità fisica scalare determinata dal lavoro di spostamento di un'unità di carica positiva da un dato punto del campo all'infinito. Questo lavoro è numericamente uguale al lavoro svolto dalle forze esterne (contro le forze del campo elettrostatico) nello spostare una carica positiva unitaria dall'infinito a un dato punto del campo. La dimensione del potenziale è volt (V). 1V è il potenziale di un tale punto del campo in cui una carica di 1C ha un'energia potenziale di 1J (1V = 1J/C). Data la dimensione del volt, l'unità di intensità del campo elettrostatico può essere espressa come V/m:

Relazione tra forza e superficie equipotenziale potenziale Si consideri come sono correlate l'intensità del campo elettrostatico E (caratteristica del vettore di potenza) e del potenziale (caratteristica scalare dell'energia). La forza conservativa e l'energia potenziale sono correlate dalla relazione: Per una carica in un campo potenziale, e poiché il campo elettrostatico è potenziale, otteniamo F = Q 0 E e W = Q 0.

Stabilire una relazione tra l'intensità e il potenziale del campo elettrostatico. Il segno meno indica che il vettore di intensità Sostituendo queste espressioni e tenendo conto che il fattore Q 0 non dipende dalle coordinate, significa che possiamo ridurlo, otteniamo la formula del campo orientata nella direzione del potenziale decrescente

Il lavoro delle forze di campo quando la carica Q 0 si sposta dal punto 1 al punto 2 può anche essere scritto nella forma Dalle formule e ne consegue che la differenza di potenziale dove l'integrazione può essere eseguita lungo una qualsiasi linea che collega i punti iniziale e finale, poiché il lavoro delle forze di campo elettrostatico non dipende dalle traiettorie di movimento.

La formula consente di risolvere il problema inverso per dati valori di E per trovare la differenza di potenziale tra punti arbitrari del campo. Una superficie i cui punti hanno tutti lo stesso potenziale è chiamata superficie equipotenziale. Le linee di tensione sono sempre normali alle superfici equipotenziali. Tutti i punti su una superficie equipotenziale hanno lo stesso potenziale, quindi il lavoro svolto per spostare una carica lungo questa superficie è zero. In altre parole, le forze elettrostatiche che agiscono su una carica sono sempre dirette lungo le normali alle superfici equipotenziali. Di conseguenza, il vettore E è sempre normale alle superfici equipotenziali, e quindi le linee del vettore E sono ortogonali a queste superfici. consente di determinare E da valori noti,

Vista di linee di tensione (linee tratteggiate) e sezioni di superfici equipotenziali (linee continue) di campi di carica puntiforme positiva (a sinistra), cariche puntiformi opposte (a destra) e cariche puntiformi positive con lo stesso nome (in basso). Ci sono un numero infinito di superfici equipotenziali attorno a ciascuna carica e ogni sistema di cariche. Tuttavia, di solito vengono eseguiti in modo che le differenze di potenziale tra due superfici equipotenziali adiacenti siano le stesse. Quindi la densità delle superfici equipotenziali caratterizza chiaramente l'intensità del campo in diversi punti. Dove queste superfici sono più dense, l'intensità del campo è maggiore.

Usando le linee dell'intensità del campo elettrostatico, si può caratterizzare non solo la direzione del vettore E, ma anche il suo modulo. Per fare ciò, le linee di tensione vengono tracciate con una certa densità: il numero di linee di tensione che penetrano in una superficie unitaria perpendicolare alle linee di tensione deve essere uguale al modulo del vettore E.

Se il sito forma un angolo α con E, allora il numero di linee di tensione che penetrano nell'area elementare dS, la normale p a cui forma un angolo α con il vettore E, è uguale a ЕdScosα = E n dS, dove E p è il proiezione del vettore E sulla normale p al sito dS. Il valore dФ E = E n dS = EdS è chiamato flusso del vettore di intensità attraverso l'area dS. Qui dS = dSn è un vettore il cui modulo è uguale a dS, e la direzione coincide con la direzione della normale n al sito. dS non è un vero vettore: è uno pseudo vettore. La scelta della direzione del vettore n (e, di conseguenza, dS) è condizionata, poiché può essere diretta in qualsiasi direzione.

Per una superficie chiusa arbitraria S (in molti casi, di seguito verranno considerate proprio tali superfici), il flusso del vettore E attraverso questa superficie Spesso nei libri di testo c'è una registrazione, tuttavia, è implicito che l'integrale sia doppio, poiché viene presa su una variabile del secondo ordine, su area. L'anello sul segno dell'integrale significa che l'integrale è preso su una superficie chiusa S.

Il flusso del vettore E è una grandezza algebrica: dipende non solo dalla configurazione del campo E, ma anche dalla scelta della direzione n Per superfici chiuse, la direzione positiva della normale è assunta come normale esterna, cioè la normale diretta verso l'esterno della regione coperta dalla superficie.

Se nel campo elettrostatico di una carica puntiforme Q da un punto 1 Esattamente 2 un'altra carica puntiforme si muove lungo una traiettoria arbitraria (Fig. 132) Q 0 , la forza applicata alla carica funziona. Forza lavoro F sullo spostamento elementare d lè uguale a

Poiché d/cos=d r, poi

Lavora mentre muovi la carica Q 0 dal punto 1 Esattamente 2

(83.1)

non dipende dalla traiettoria del movimento, ma è determinato solo dalle posizioni dell'iniziale 1 e finale 2 punti. Pertanto, il campo elettrostatico di una carica puntiforme è potenziale e forze elettrostatiche - conservatore(vedi § 12).

Dalla formula (83.1) segue che il lavoro svolto spostando una carica elettrica in un campo elettrostatico esterno lungo un qualsiasi percorso chiuso l, è uguale a zero, cioè

Se prendiamo una carica positiva di un punto unitario come una carica trasportata in un campo elettrostatico, allora il lavoro elementare delle forze di campo sul percorso d lè uguale a e d l=e l dl, dove e l =e cos  - proiezione vettoriale e alla direzione dello spostamento elementare. Allora la formula (83.2) può essere scritta come

(83.3)

Integrante chiamata circolazione del vettore di tensione. Pertanto, la circolazione del vettore dell'intensità del campo elettrostatico lungo qualsiasi anello chiuso è uguale a zero. Un campo di forze con proprietà (83.3) è chiamato potenziale. Dalla scomparsa del vettore di circolazione e ne consegue che le linee del campo elettrostatico non possono essere chiuse, iniziano e finiscono con cariche (rispettivamente positive o negative) o vanno all'infinito.

§ 84. Potenziale di un campo elettrostatico

Un corpo situato in un campo potenziale di forze (e un campo elettrostatico è potenziale) ha energia potenziale, a causa della quale il lavoro è svolto dalle forze del campo (vedi § 12). Come è noto (vedi (12.2)), il lavoro delle forze conservative viene eseguito a causa della diminuzione dell'energia potenziale. Pertanto, il lavoro (83.1) delle forze del campo elettrostatico può essere rappresentato come la differenza di energie potenziali possedute da una carica puntiforme Q 0 nei punti di inizio e fine del campo di addebito Q:

(84.1)

da cui ne consegue che l'energia potenziale della carica qq nel campo di addebito Qè uguale a

Esso, come in meccanica, è determinato in modo ambiguo e fino a una costante arbitraria Insieme a. Se assumiamo che quando la carica viene rimossa all'infinito ( r) l'energia potenziale svanisce ( u=0), poi Insieme a=0 e l'energia potenziale della carica Q 0 , situato nel campo di carica Q a distanza r da esso, è uguale a

(84.2)

Per spese simili Q 0 Q> 0 e l'energia potenziale della loro interazione (repulsione) è positiva, per cariche opposte Q 0 Q<0 и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.

Se il campo è generato dal sistema n addebiti puntuali Q 1 , Q 2 , ..., Q n, quindi il lavoro delle forze elettrostatiche eseguite sulla carica Q 0 , è uguale alla somma algebrica del lavoro delle forze dovute a ciascuna delle cariche separatamente. Pertanto, l'energia potenziale u caricare Q 0 , situata in questo campo è uguale alla somma delle energie potenziali u io , ciascuna delle accuse:

(84.3)

Dalle formule (84.2) e (84.3) segue che il rapporto u/ Q 0 non dipende da Q 0 ed è quindi caratteristica energetica del campo elettrostatico, chiamato potenziale:

Potenziale in ogni punto del campo elettrostatico esiste una grandezza fisica determinata dall'energia potenziale di un'unità di carica positiva posta in questo punto.

Dalle formule (84.4) e (84.2) segue che il potenziale del campo creato da una carica puntiforme Q, è uguale a

Il lavoro svolto dai villaggi del campo elettrostatico durante lo spostamento della carica Q 0 dal punto 1 Esattamente 2 (vedi (84.1), (84.4), (84.5)), può essere rappresentato come

cioè è uguale al prodotto della carica trasferita e della differenza di potenziale nei punti iniziale e finale. Differenza di potenziale due punti 1 e 2 in un campo elettrostatico è determinato dal lavoro svolto dalle forze di campo quando si sposta un'unità di carica positiva da un punto 1 Esattamente 2 .

Il lavoro delle forze di campo quando si sposta la carica Q 0 dal punto 1 Esattamente 2 può anche essere scritto nel modulo

(84.7)

Uguagliando (84.6) e (84.7), si ottiene un'espressione per la differenza di potenziale:

(84.8)

dove l'integrazione può essere eseguita lungo qualsiasi linea che collega i punti di inizio e di fine, poiché il lavoro delle forze del campo elettrostatico non dipende dalla traiettoria del movimento.

Se muovi la carica Q 0 da un punto arbitrario esterno al campo, cioè all'infinito, dove, per condizione, il potenziale è zero, quindi il lavoro delle forze del campo elettrostatico, secondo (84.6), UN  = Q 0  , dove

Così, potenziale- una grandezza fisica determinata dal lavoro di spostamento di una carica positiva unitaria quando viene rimossa da un dato punto del campo all'infinito. Questo lavoro è numericamente uguale al lavoro svolto dalle forze esterne (contro le forze del campo elettrostatico) nello spostare una carica positiva unitaria dall'infinito a un dato punto del campo.

Dall'espressione (84.4) segue che l'unità di potenziale è volt(B): 1 V è il potenziale di un tale punto nel campo in cui una carica di 1 C ha un'energia potenziale di 1 J (1 V = 1 J/C). Tenendo conto della dimensione del volt, si può dimostrare che l'unità di intensità del campo elettrostatico introdotta nel § 79 è proprio uguale a 1 V/m: 1 N/Cl=1 Nm/(Cm)=1 J/(Cm)=1 V / m.

Dalle formule (84.3) e (84.4) segue che se il campo è creato da più cariche, allora il potenziale di campo del sistema di cariche è uguale a algebrico la somma dei potenziali di campo di tutte queste cariche: