Lavoro forze interne allo spostamento finale è zero.

Il lavoro di una forza che agisce su un corpo in movimento traslatorio è uguale al prodotto di questa forza per l'incremento dello spostamento lineare.

Il lavoro della forza agente su un corpo rotante è uguale al prodotto del momento di questa forza rispetto all'asse di rotazione per l'incremento dell'angolo di rotazione: ; . Potenza:
.

Energia cinetica sistema meccanico per vari tipi di movimento.

Energia cinetica di un sistema meccanico- uno scalare uguale alla somma delle energie cinetiche di tutti i punti del sistema: .

In movimento in avanti:

In moto rotatorio:

Con moto piano-parallelo: , dove d è la distanza dal centro di massa al MCS

27. Teorema sulla variazione dell'energia cinetica di un punto materiale.

Energia cinetica punto materiale - uno scalare uguale alla metà del prodotto della massa di un punto per il quadrato della sua velocità.

Equazione di base della dinamica: , moltiplicare per lo spostamento elementare: ; ; . Integrando l'espressione risultante:

Teorema: la variazione dell'energia cinetica di un punto materiale ad un certo spostamento è uguale al lavoro della forza agente sul punto allo stesso spostamento.

Teorema sulla variazione dell'energia cinetica di un sistema meccanico.

Poiché il lavoro delle forze interne è zero, allora:
.

Teorema: la variazione dell'energia cinetica di un sistema meccanico ad uno spostamento finito è uguale alla somma del lavoro delle forze esterne allo stesso spostamento.

Il principio degli spostamenti possibili per un sistema meccanico.

; , che i vincoli imposti ai punti del sistema meccanico siano bilaterali, stazionari, olonomi e ideali, allora: .

Il principio dei possibili movimenti - Principio di Lagrange- per l'equilibrio di un sistema meccanico con vincoli bilaterali, stazionari, olonomi e ideali, è necessario e sufficiente che la somma algebrica del lavoro delle forze date su possibile trasferimento era uguale a zero.

Il principio di d'Alembert per un punto materiale.

La somma geometrica di tutte le forze applicate a un punto materiale in movimento e le forze di inerzia di questo punto è uguale a zero

Principio di d'Alembert per un sistema meccanico non libero.

In un sistema meccanico non libero in movimento per ogni punto materiale in qualsiasi momento somma geometrica le forze applicate ad esso, le reazioni di accoppiamento e le forze di inerzia è uguale a zero. Moltiplicando entrambe le parti dell'espressione per r i otteniamo: ;
.

, la somma dei momenti delle forze date, delle reazioni di accoppiamento e delle forze di inerzia attorno agli assi coordinati è uguale a zero.

Portare le forze di inerzia dei punti corpo solido alla forma più semplice.

Al sistema delle forze d'inerzia dei punti di un corpo rigido si può applicare il metodo Punchon, considerato in statica. Quindi qualsiasi sistema di forze di inerzia può essere ridotto al vettore principale delle forze di inerzia e al momento principale delle forze di inerzia.

Nel moto traslatorio: Ф=-ma (nel moto traslatorio di un corpo rigido, le forze di inerzia dei suoi punti sono ridotte al vettore principale delle forze di inerzia pari in valore assoluto al prodotto della massa corporea, per l'accelerazione della baricentro applicato in questo centro e diretto verso l'accelerazione opposta del baricentro).

Durante il movimento rotatorio: M = -Iε (durante il movimento rotatorio di un corpo rigido, le forze di inerzia dei suoi punti sono ridotte al momento di inerzia principale delle forze pari al prodotto del momento di inerzia del corpo rispetto alle forze di rotazione e l'accelerazione angolare. Questo momento è diretto verso l'accelerazione angolare opposta).

Per il movimento planare: Ф=-ma M=-Iε (per il movimento planare di un corpo rigido, le forze di inerzia dei suoi punti sono ridotte al vettore principale e al momento di inerzia principale delle forze).

Equazione generale della dinamica. Principio d'Alembert-Lagrange.

Principio di d'Alembert: å(P i + R i + Ф i) = 0; å(P i + R i + Ф i)Dr i = 0, assumiamo. che i vincoli imposti al sistema meccanico sono bidirezionali, stazionari, olonomi e ideali, allora: å(R i × Dr i) = 0;

å(P i + Ä i)Dr i = 0 - equazione generale Altoparlanti- per il movimento di un sistema meccanico con vincoli bidirezionali, stazionari, olonomi e ideali, la somma del lavoro delle forze date e delle forze di inerzia dei punti del sistema su ogni possibile spostamento è uguale a zero.

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Breve recensione

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Due casi di conversione movimento meccanico punto materiale o sistema di punti:

1. il movimento meccanico viene trasferito da un sistema meccanico all'altro come movimento meccanico;
2. il movimento meccanico si trasforma in un'altra forma di movimento della materia (nella forma energia potenziale, riscaldamento, elettricità, ecc.).

Quando si considera la trasformazione del movimento meccanico senza la sua transizione a un'altra forma di movimento, la misura del movimento meccanico è il vettore di quantità di moto di un punto materiale o di un sistema meccanico. La misura dell'azione della forza in questo caso è il vettore della quantità di moto della forza.

Quando il movimento meccanico viene trasformato in un'altra forma di movimento della materia, l'energia cinetica di un punto materiale o di un sistema meccanico agisce come misura del movimento meccanico. La misura dell'azione della forza nella trasformazione del moto meccanico in un'altra forma di moto è forza lavoro

Energia cinetica

L'energia cinetica è la capacità di un corpo di superare gli ostacoli mentre si muove.

Energia cinetica di un punto materiale

L'energia cinetica di un punto materiale è una quantità scalare, che è uguale alla metà del prodotto della massa del punto per il quadrato della sua velocità.

Energia cinetica:

• caratterizza sia i movimenti traslazionali che rotazionali;
• non dipende dalla direzione di movimento dei punti del sistema e non caratterizza il cambiamento in queste direzioni;
• caratterizza l'azione di forze interne ed esterne.

Energia cinetica di un sistema meccanico

L'energia cinetica del sistema è uguale alla somma delle energie cinetiche dei corpi del sistema. L'energia cinetica dipende dal tipo di movimento dei corpi del sistema.

Determinazione dell'energia cinetica di un corpo solido a tipi diversi movimenti di movimento.

Energia cinetica del moto traslatorio
Nel moto traslatorio, l'energia cinetica del corpo è uguale a T=m V2/2.

Una misura dell'inerzia di un corpo in moto traslatorio è la massa.

Energia cinetica del moto rotatorio del corpo

Durante il moto di rotazione del corpo, l'energia cinetica è uguale alla metà del prodotto del momento d'inerzia del corpo attorno all'asse di rotazione per il quadrato della sua velocità angolare.

Una misura dell'inerzia di un corpo durante il movimento rotatorio è il momento di inerzia.

L'energia cinetica di un corpo non dipende dal senso di rotazione del corpo.

Energia cinetica del moto piano-parallelo del corpo

Con un movimento piano-parallelo del corpo, l'energia cinetica è uguale a

Forza lavoro

Il lavoro della forza caratterizza l'azione della forza sul corpo ad un certo spostamento e determina la variazione del modulo di velocità del punto in movimento.

Lavoro di forza elementare

Il lavoro elementare di una forza è definito come un valore scalare uguale al prodotto della proiezione della forza sulla tangente alla traiettoria, diretta nella direzione del movimento del punto, e lo spostamento infinitesimo del punto, diretto lungo questa tangente .

Il lavoro della forza sullo spostamento finale

Il lavoro della forza sullo spostamento finale è uguale alla somma del suo lavoro sulle sezioni elementari.

Il lavoro della forza sullo spostamento finale M 1 M 0 è uguale all'integrale lungo questo spostamento dal lavoro elementare.

Il lavoro della forza sullo spostamento di M 1 M 2 è rappresentato dall'area della figura delimitata dall'asse delle ascisse, dalla curva e dalle ordinate corrispondenti ai punti M 1 e M 0.

L'unità di misura del lavoro della forza e dell'energia cinetica nel sistema SI è 1 (J).

Teoremi sul lavoro della forza

Teorema 1. Il lavoro della forza risultante su un certo spostamento è uguale alla somma algebrica del lavoro delle forze componenti sullo stesso spostamento.

Teorema 2. Il lavoro di una forza costante sullo spostamento risultante è uguale alla somma algebrica del lavoro di questa forza sugli spostamenti delle componenti.

Potenza

La potenza è una quantità che determina il lavoro svolto da una forza per unità di tempo.

L'unità di potenza è 1W = 1 J/s.

Casi di determinazione del lavoro delle forze

Il lavoro delle forze interne

La somma del lavoro delle forze interne di un corpo rigido su uno qualsiasi dei suoi spostamenti è uguale a zero.

Il lavoro di gravità

Il lavoro della forza elastica

Il lavoro della forza di attrito

Il lavoro delle forze applicate a un corpo rotante

Il lavoro elementare delle forze applicate a un corpo rigido rotante attorno ad un asse fisso è uguale al prodotto del momento principale delle forze esterne attorno all'asse di rotazione e all'incremento dell'angolo di rotazione.

resistenza al rotolamento

Nella zona di contatto tra il cilindro fermo e il piano si verifica una deformazione locale della compressione del contatto, le sollecitazioni sono distribuite secondo una legge ellittica e la linea d'azione della risultante N di queste sollecitazioni coincide con la linea d'azione della forza di carico sul cilindro Q. Quando il cilindro rotola, la distribuzione del carico diventa asimmetrica con un massimo spostato verso il movimento. La risultante N viene spostata del valore k - lo spallamento della forza di attrito volvente, che è anche chiamato coefficiente di attrito volvente e ha la dimensione della lunghezza (cm)

Teorema sulla variazione dell'energia cinetica di un punto materiale

La variazione dell'energia cinetica di un punto materiale ad alcuni dei suoi spostamenti è uguale alla somma algebrica di tutte le forze agenti sul punto allo stesso spostamento.

Teorema sulla variazione dell'energia cinetica di un sistema meccanico

La variazione dell'energia cinetica di un sistema meccanico ad un certo spostamento è uguale alla somma algebrica delle forze interne ed esterne che agiscono sui punti materiali del sistema allo stesso spostamento.

Teorema sulla variazione dell'energia cinetica di un corpo rigido

La variazione dell'energia cinetica di un corpo rigido (sistema invariabile) ad un certo spostamento è uguale alla somma delle forze esterne del robot che agiscono sui punti del sistema a parità di spostamento.

efficienza

Forze che agiscono nei meccanismi

Le forze e le coppie di forze (momenti) che vengono applicate a un meccanismo o a una macchina possono essere suddivise in gruppi:

1. Forze motrici e momenti che svolgono un lavoro positivo (applicato ai collegamenti di guida, ad esempio la pressione del gas su un pistone in un motore a combustione interna).

2. Forze e momenti di resistenza che agiscono negativamente:

• resistenza utile (eseguono il lavoro richiesto dalla macchina e sono applicati ai bracci condotti, ad esempio la resistenza del carico sollevato dalla macchina),
• forze di resistenza (ad esempio forze di attrito, resistenza dell'aria, ecc.).

3. Forze di gravità e forze elastiche delle molle (lavoro sia positivo che negativo, mentre il lavoro per un ciclo completo è zero).

4. Forze e momenti applicati al corpo o alla cremagliera dall'esterno (reazione della fondazione, ecc.), che non funzionano.

5. Forze di interazione tra legami che agiscono in coppie cinematiche.

6. Le forze di inerzia dei collegamenti, dovute alla massa e al movimento dei collegamenti con accelerazione, possono svolgere un lavoro positivo, negativo e non lavorare.

Il lavoro delle forze nei meccanismi

Allo stato stazionario della macchina, la sua energia cinetica non cambia e la somma del lavoro delle forze motrici e delle forze di resistenza applicate ad essa è uguale a zero.

Il lavoro di messa in moto della macchina viene impiegato per il superamento di resistenze utili e dannose.

efficienza del meccanismo

Il rendimento meccanico a moto stazionario è pari al rapporto tra il lavoro utile della macchina e il lavoro speso per mettere in moto la macchina:

Gli elementi della macchina possono essere collegati in serie, in parallelo e miscelati.

Efficienza in collegamento in serie

Quando i meccanismi sono collegati in serie, l'efficienza complessiva è inferiore all'efficienza più bassa di un singolo meccanismo.

Efficienza in collegamento in parallelo

Quando i meccanismi sono collegati in parallelo, l'efficienza complessiva è maggiore dell'efficienza minima e minore della massima efficienza di un meccanismo separato.

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Un esempio di calcolo di un ingranaggio cilindrico
Un esempio di calcolo di un ingranaggio cilindrico. Sono stati effettuati la scelta del materiale, il calcolo delle sollecitazioni ammissibili, il calcolo della resistenza al contatto e alla flessione.

Un esempio per risolvere il problema della flessione della trave
Nell'esempio vengono tracciati i diagrammi delle forze trasversali e dei momenti flettenti, viene trovata una sezione pericolosa e viene selezionata una trave a I. Nel problema è stata analizzata la costruzione di diagrammi utilizzando dipendenze differenziali, analisi comparativa diverse sezioni trasversali della trave.

Un esempio per risolvere il problema della torsione dell'albero
Il compito è testare la resistenza di un albero in acciaio per un dato diametro, materiale e sollecitazioni ammissibili. Durante la soluzione, vengono costruiti diagrammi di coppie, sforzi di taglio e angoli di torsione. Il peso proprio dell'albero non viene preso in considerazione

Un esempio di soluzione del problema della tensione-compressione di un'asta
Il compito è testare la resistenza di una barra d'acciaio a determinate sollecitazioni ammissibili. Durante la soluzione, vengono costruiti grafici delle forze longitudinali, delle sollecitazioni normali e degli spostamenti. Il peso proprio della barra non viene preso in considerazione

Applicazione del teorema di conservazione dell'energia cinetica
Un esempio di soluzione del problema dell'applicazione del teorema sulla conservazione dell'energia cinetica di un sistema meccanico

Teorema: il lavoro di gravità non dipende dal tipo di traiettoria ed è uguale al prodotto del modulo di forza e dello spostamento verticale del punto di applicazione .

Lascia che il punto materiale M si muove sotto l'influenza della gravità G e per un certo periodo di tempo si sposta dalla posizione M1 in posizione M2 , passando per la strada S (Fig. 4).
Sulla traiettoria di un punto M seleziona un'area infinitesima ds , che può essere considerato rettilineo, e tracciare linee rette dalle sue estremità, parallela agli assi coordinate, di cui una verticale e l'altra orizzontale.
Dal triangolo ombreggiato, lo otteniamo

dy = ds cos α.

Lavoro di forza elementare G in cammino ds è uguale a:

dW = F ds cos α.

Lavoro di gravità totale G in cammino S è uguale a

W = ∫ Gds cos α = ∫ Gdy = G ∫ dy = Gh.

Quindi, il lavoro di gravità è uguale al prodotto della forza e dello spostamento verticale del punto della sua applicazione:

Il teorema è stato dimostrato.

Un esempio per risolvere il problema di determinare il lavoro di gravità

Compito: Matrice rettangolare uniforme ABCD il peso m = 4080 kg ha le dimensioni indicate su Riso. 5.
Determina il lavoro da fare per arrotolare l'array attorno al bordo D .

Decisione.
È ovvio che il lavoro desiderato sarà uguale al lavoro di resistenza svolto dalla gravità dell'array, mentre lo spostamento verticale del baricentro dell'array quando rotola oltre il bordo D è il percorso che determina la quantità di lavoro svolto dalla gravità.

Innanzitutto, definiamo la gravità dell'array: G=mg = 4080 × 9,81 = 40.000 N = 40 kN.

Per determinare il movimento verticale h baricentro di un array rettangolare omogeneo (si trova nel punto di intersezione delle diagonali del rettangolo), utilizziamo il teorema di Pitagora, in base al quale:

KO 1 \u003d OD - KD \u003d √ (OK 2 + KD 2) - KD \u003d √ (3 2 +4 2) - 4 \u003d 1 m.

Sulla base del teorema sul lavoro di gravità, determiniamo il lavoro desiderato necessario per ribaltare l'array:

W \u003d G × KO 1 \u003d 40.000 × 1 \u003d 40.000 J \u003d 40 kJ.

Problema risolto.

Il lavoro di una forza costante applicata a un corpo rotante

Immagina un disco che ruota attorno ad un asse fisso sotto l'azione di una forza costante F (Fig. 6), il cui punto di applicazione si sposta con il disco. Decomponiamo la forza F in tre componenti tra loro perpendicolari: F1 - forza circonferenziale F2 – forza assiale, F3 è la forza radiale.

Quando il disco viene ruotato di un angolo infinitamente piccolo dφ forza F eseguirà un lavoro elementare, che, in base al teorema sul lavoro della risultante, sarà uguale alla somma del lavoro dei componenti.

Ovviamente il lavoro dei componenti F2 e F3 sarà uguale a zero, poiché i vettori di queste forze sono perpendicolari allo spostamento infinitesimo ds punti di applicazione M , quindi il lavoro elementare della forza F è uguale al lavoro del suo componente F1 :

dW = F 1 ds = F 1 Rdφ.

Quando si gira il disco all'angolo finale φ forza lavoro F è uguale a

W = ∫ F 1 Rdφ = F 1 R ∫ dφ = F 1 Rφ,

dov'è l'angolo φ espresso in radianti.

Dai momenti dei costituenti F2 e F3 circa l'asse z sono uguali a zero, quindi, in base al teorema di Varignon, il momento della forza F circa l'asse z è uguale a:

M z (F) \u003d F 1 R.

Il momento di forza applicato al disco attorno all'asse di rotazione è chiamato coppia e, secondo la norma ISO, indicato dalla lettera T :

T \u003d M z (F), quindi, W = Tφ .

Il lavoro di una forza costante applicata a un corpo rotante è uguale al prodotto della coppia per lo spostamento angolare.

Esempio di soluzione del problema

Compito: l'operatore fa ruotare con forza la maniglia del verricello F = 200 N, perpendicolare al raggio di rotazione.
Trova il lavoro speso nel tempo t = 25 secondi se la lunghezza della maniglia r = 0,4 m, e la sua velocità angolare ω = π/3 rad/s.

Decisione.
Innanzitutto definiamo lo spostamento angolare φ maniglie dell'argano 25 secondi:

φ = ωt \u003d (π / 3) × 25 \u003d 26,18 rad.

W = Tφ = Frφ = 200×0,4×26,18 ≈ 2100 J ≈ 2,1 kJ.

Potenza

Il lavoro svolto da qualsiasi forza può essere per periodi di tempo diversi, cioè a velocità diverse. Per caratterizzare la velocità con cui viene svolto il lavoro, c'è un concetto nella meccanica potenza , che di solito è indicato dalla lettera P .

Il lavoro elementare di una forza sullo spostamento (Fig. 3.22) è il prodotto scalare della forza per lo spostamento elementare del punto della sua applicazione:

dove a è l'angolo tra le direzioni dei vettori e

Come allora possiamo scrivere un'altra espressione di lavoro elementare:

Per il lavoro elementare, puoi scrivere alcune altre espressioni:

Dalle formule di lavoro elementari consegue che questa quantità può essere positiva (l'angolo a è acuto), negativa (l'angolo a è ottuso) o uguale a zero (l'angolo a è retto).

Pieno lavoro di forze. Determinare il lavoro totale di una forza sullo spostamento da un punto M 0 a M Dividiamo questa mossa in n spostamenti, ciascuno dei quali al limite diventa elementare. Poi il lavoro della forza MA:

dove dA k- lavorare su K-esimo spostamento elementare.

L'importo scritto è integro e può essere sostituito integrale curvilineo preso lungo la curva sullo spostamento M 0 M. Quindi

o

dov'è il tempo t=0 corrisponde a un punto M 0 e ora t- punto M.

Dalla definizione di opera elementare e completa segue:

1) il lavoro della forza risultante su qualsiasi spostamento è uguale alla somma algebrica del lavoro delle forze componenti su questo spostamento;

2) il lavoro delle forze su uno spostamento completo è uguale alla somma del lavoro della stessa forza sugli spostamenti dei componenti, in cui l'intero spostamento è comunque suddiviso.

Il potere della forza. La potenza di una forza è il lavoro svolto per unità di tempo.

o considerando questo

Potenza della forzaè un valore uguale al prodotto scalare della forza per la velocità del punto della sua applicazione.

Pertanto, a potenza costante, un aumento della velocità porta a una diminuzione della forza e viceversa. L'unità di potenza è Watt: 1W=1J/s.

Se una forza viene applicata a un corpo che ruota attorno ad un asse fisso, la sua potenza è uguale a

La potenza di una coppia di forze è determinata in modo simile.

3.3.4.3. Esempi di calcolo del lavoro di una forza

Il lavoro totale della forza

dove h- l'altezza a cui è caduto il punto.

Pertanto, il lavoro svolto dalla gravità è positivo quando il punto è discendente e negativo quando il punto è in aumento. Il lavoro di gravità non dipende dalla forma della traiettoria tra i punti M 0 e M 1 .

Il lavoro della forza lineare di elasticità. La forza lineare di elasticità è chiamata forza agente secondo la legge di Hooke (Fig. 3.24):

dove è il vettore raggio disegnato dal punto di equilibrio, dove la forza è zero, al punto considerato M; insieme a – fattore costante rigidità.

Il lavoro di una forza sullo spostamento da un punto M 0 al punto M 1 è determinato dalla formula

Integrando, otteniamo

(3.27)

Riso. 3.25

Secondo la formula (3.27), il lavoro della forza elastica lineare delle molle viene calcolato quando ci si sposta lungo un percorso qualsiasi dal punto M 0 , dove la sua deformazione iniziale è uguale a Esattamente M 1, dove la deformazione è rispettivamente uguale a Nella nuova notazione assume la forma la formula (3.27).

Il lavoro di una forza applicata a un corpo rigido rotante. Quando un corpo rigido ruota attorno ad un asse fisso, la velocità di un punto M può essere calcolato usando la formula di Eulero, vedi fig. 3.25:

Quindi il lavoro elementare della forza è determinato dalla formula

Utilizzando la proprietà mista prodotto vettoriale
noi abbiamo

Come - il momento di forza attorno al punto o. Dato che - momento di forza attorno all'asse di rotazione Oz e ω dt=dφ, otteniamo infine:

dA=Mzdφ.

Il lavoro elementare di una forza applicata a un punto qualsiasi di un corpo rotante attorno ad un asse fisso è uguale al prodotto del momento della forza attorno all'asse di rotazione per il differenziale dell'angolo di rotazione del corpo.

Opera completa:

Nel caso particolare quando , il lavoro è determinato dalla formula

dove j è l'angolo di rotazione del corpo su cui si calcola il lavoro della forza.

Riso. 3.26

Il lavoro delle forze interne di un corpo rigido. Dimostriamo che il lavoro delle forze interne di un corpo rigido è uguale a zero per ogni suo spostamento. Basta provare che la somma del lavoro elementare di tutte le forze interne è uguale a zero. Considera due punti qualsiasi del corpo M 1 e M 2 (Fig. 3.26). Poiché le forze interne sono le forze di interazione dei punti del corpo, allora:

Presentiamo vettore unitario diretto con la forza Allora

La somma del lavoro elementare delle forze ed è uguale a

rivelando prodotti a punti vettori tra parentesi, otteniamo

Poiché è stato dimostrato in cinematica che le proiezioni delle velocità di due punti qualsiasi di un corpo rigido sulla direzione di una retta che collega questi punti sono uguali tra loro per qualsiasi movimento di un corpo rigido, allora la differenza tra parentesi in l'espressione risultante è la differenza di valori identici, cioè un valore uguale a zero.

3.3.4.4. Teorema sulla variazione dell'energia cinetica di un punto

Per un punto materiale con massa m, muovendosi sotto l'azione di una forza, la legge fondamentale della dinamica può essere rappresentata come

Moltiplicando scalarmente entrambe le parti di questa relazione per il differenziale del vettore raggio del punto, abbiamo

o

Dato che - lavoro di forza elementare,

(3.28)

La formula (3.28) esprime il teorema sulla variazione dell'energia cinetica per un punto in forma differenziale.

Il differenziale dell'energia cinetica di un punto è uguale al lavoro elementare della forza agente sul punto.

Se entrambe le parti di uguaglianza (3.28) sono integrate dal punto M 0 al punto M(vedi Fig. 3.22), otteniamo un teorema sulla variazione dell'energia cinetica di un punto in forma finita:

La variazione dell'energia cinetica di un punto ad ogni spostamento è uguale al lavoro della forza che agisce sul punto allo stesso spostamento.

3.4.4.5. Teorema sulla variazione dell'energia cinetica del sistema

Per ogni punto del sistema, il teorema sulla variazione dell'energia cinetica può essere espresso nella forma:

Sommando le parti destra e sinistra di queste relazioni su tutti i punti del sistema e prendendo il segno del differenziale dal segno della somma, otteniamo:

o

dove è l'energia cinetica del sistema; sono rispettivamente il lavoro elementare di forze esterne e interne.

La formula (3.29) esprime il teorema sulla variazione dell'energia cinetica del sistema in forma differenziale.

Il differenziale dall'energia cinetica del sistema è uguale alla somma dei lavori elementari di tutte le forze esterne ed interne agenti sul sistema.

Se entrambe le parti della (3.29) sono integrate tra due posizioni del sistema - iniziale e finale, in cui l'energia cinetica è uguale a T 0 e T, quindi, modificando l'ordine di somma e integrazione, si ha:

o

dove è il lavoro di una forza esterna per un punto del sistema Mk mentre ci si sposta dalla posizione iniziale alla posizione finale Mk; è il lavoro della forza interna che agisce sul punto Mk.

La formula (3.30) esprime il teorema sulla variazione dell'energia cinetica del sistema in forma finita o integrale.

La variazione dell'energia cinetica del sistema quando si sposta da una posizione all'altra è uguale alla somma del lavoro di tutte le forze esterne ed interne agenti sul sistema sui corrispondenti spostamenti dei punti del sistema con lo stesso spostamento di il sistema.