In meccanica forze esterne in relazione a un dato sistema di punti materiali (cioè un tale insieme di punti materiali in cui il movimento di ciascun punto dipende dalle posizioni o dai movimenti di tutti gli altri punti), quelle forze sono dette quelle che rappresentano l'azione su questo sistema di altri corpi (altri sistemi di punti materiali) che non abbiamo incluso in questo sistema. Le forze interne sono forze di interazione tra i singoli punti materiali di un dato sistema. La divisione delle forze in esterne e interne è del tutto condizionata: quando cambia la composizione data del sistema, alcune forze che prima erano esterne possono diventare interne e viceversa. Quindi, per esempio, quando si considera

i movimenti di un sistema costituito dalla terra e dalla sua luna satellite, le forze di interazione tra questi corpi saranno forze interne per questo sistema e le forze di attrazione del sole, degli altri pianeti, dei loro satelliti e di tutte le stelle saranno forze esterne in relazione a questo sistema. Ma se cambiamo la composizione del sistema e consideriamo il moto del sole e di tutti i pianeti come il moto di uno sistema comune, quindi esterno le forze saranno solo le forze di attrazione esercitate dalle stelle; tuttavia, le forze di interazione tra i pianeti, i loro satelliti e il sole diventano forze interne per questo sistema. Allo stesso modo, se, durante il movimento di una locomotiva a vapore, individuiamo il pistone di un cilindro a vapore come un sistema separato di punti materiali che è soggetto alla nostra considerazione, allora la pressione del vapore sul pistone rispetto ad esso sarà essere forza esterna, e la stessa pressione di vapore sarà una di forze interne, se consideriamo il movimento dell'intera locomotiva nel suo insieme; in questo caso, le forze esterne rispetto all'intera locomotiva, considerata come un unico sistema, saranno: attrito tra rotaie e ruote della locomotiva, gravità della locomotiva, reazione delle rotaie e resistenza dell'aria; le forze interne saranno tutte le forze di interazione tra le parti della locomotiva, per esempio. forze di interazione tra il vapore e il pistone del cilindro, tra il cursore e le sue parallele, tra la biella e il perno di biella, ecc. Come si vede, non c'è sostanzialmente alcuna differenza tra le forze esterne e interne, mentre la differenza relativa tra di loro è determinato solo a seconda che quali corpi includiamo nel sistema in esame e quali consideriamo non parte del sistema. Tuttavia, la differenza relativa di forze indicata è di importanza molto significativa nello studio del moto di un dato sistema; secondo la terza legge di Newton (sull'uguaglianza di azione e reazione), le forze interne di interazione tra ciascuno dei due punti materiali del sistema sono uguali in grandezza e dirette lungo la stessa retta in direzioni opposte; grazie a ciò, quando si risolvono varie questioni sul moto di un sistema di punti materiali, è possibile escludere tutte le forze interne dalle equazioni del moto del sistema e rendere così possibile lo studio stesso del moto dell'intero sistema. Questo metodo di esclusione delle forze vincolanti interne, nella maggior parte dei casi sconosciute, è essenziale nelle conclusioni varie leggi meccanica del sistema.

Impatto assolutamente elastico- una collisione di due corpi, a seguito della quale non rimangono deformazioni in entrambi i corpi che partecipano alla collisione e l'intera energia cinetica dei corpi prima che l'impatto dopo l'impatto si trasformi nuovamente nell'energia cinetica originale (notare che si tratta di un idealizzato Astuccio).

Per assolutamente shock elastico sono soddisfatte la legge di conservazione dell'energia cinetica e la legge di conservazione della quantità di moto.

Indichiamo le velocità delle sfere con masse m 1 e m 2 prima dell'impatto v 1 e v 2, dopo l'impatto - attraverso v 1" e v 2"(Fig. 1). Per un impatto centrale diretto, i vettori di velocità delle sfere prima e dopo l'impatto giacciono su una linea retta passante per i loro centri. Le proiezioni dei vettori di velocità su questa linea sono uguali ai moduli della velocità. Prenderemo in considerazione le loro direzioni con i segni: metteremo in correlazione il positivo con il movimento a destra, il negativo - con il movimento a sinistra.

Fig. 1

Sotto questi presupposti, le leggi di conservazione hanno la forma

(1)

(2)

Fatte le corrispondenti trasformazioni nelle espressioni (1) e (2), otteniamo

(3)

(4)

Risolvendo le equazioni (3) e (5), troviamo

(7)

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

1. Quando v 2=0

(8)
(9)

Analizziamo le espressioni (8) in (9) per due palline di massa diversa:

a) m 1 \u003d m 2. Se la seconda palla è rimasta immobile prima dell'impatto ( v 2=0) (Fig. 2), quindi dopo l'impatto la prima palla si fermerà ( v 1"=0), e la seconda si muoverà con la stessa velocità e nella stessa direzione della prima palla mossa prima dell'impatto ( v 2"=v 1);

Fig.2

b) m 1 > m 2. La prima palla continua a muoversi nella stessa direzione di prima dell'impatto, ma a una velocità inferiore ( v 1"<v 1). La velocità della seconda palla dopo l'impatto è maggiore della velocità della prima dopo l'impatto ( v 2">v 1") (Fig. 3);

Fig.3

c) m 1 v 2"<v 1(Fig. 4);

Fig.4

d) m 2 >>m 1 (ad esempio, collisione di una palla con un muro). Le equazioni (8) e (9) lo implicano v 1"= -v 1; v 2"≈ 2m1 v 2"/mq.

2. Quando m 1 =m 2 le espressioni (6) e (7) saranno simili v 1"= v 2; v 2"= v 1; cioè, sfere di massa uguale, per così dire, scambiano velocità.

Impatto assolutamente anelastico- la collisione di due corpi, a seguito della quale i corpi sono collegati, spostandosi ulteriormente come un tutto unico. L'impatto assolutamente anelastico può essere dimostrato utilizzando palline di plastilina (argilla) che si muovono l'una verso l'altra (Fig. 5).

Fig.5

Se le masse delle sfere sono m 1 e m 2 , le loro velocità prima dell'impatto v 1 e v 2, quindi, utilizzando la legge di conservazione della quantità di moto

dove v- la velocità delle palline dopo l'impatto. Quindi

(15.10)

Nel caso di palline che si muovono l'una verso l'altra, insieme continueranno a muoversi nella direzione in cui la palla si è mossa con un grande slancio. In un caso particolare, se le masse delle palline sono uguali (m 1 \u003d m 2), allora

Determiniamo come cambia l'energia cinetica delle sfere durante un impatto centrale assolutamente anelastico. Poiché nel processo di collisione delle sfere tra loro ci sono forze che dipendono dalle loro velocità e non dalle deformazioni stesse, si tratta di forze dissipative simili alle forze di attrito, quindi la legge di conservazione dell'energia meccanica in questo caso non dovrebbe essere osservato. A causa della deformazione, si verifica una diminuzione dell'energia cinetica, che viene convertita in energia termica o in altre forme di energia. Questa diminuzione può essere determinata dalla differenza nell'energia cinetica dei corpi prima e dopo l'impatto:

Usando (10) otteniamo

Se il corpo colpito era inizialmente immobile (ν 2 = 0), allora

Quando m 2 >>m 1 (massa corpo immobile molto grande), quindi ν <<v 1 e praticamente tutta l'energia cinetica del corpo viene convertita in altre forme di energia all'impatto. Pertanto, ad esempio, per ottenere una deformazione significativa, l'incudine deve essere molto più massiccia del martello. Al contrario, quando si piantano chiodi nel muro, la massa del martello dovrebbe essere molto più grande (m 1 >> m 2), quindi ν≈ν 1 e quasi tutta l'energia viene spesa per il massimo movimento possibile del chiodo, e non sulla deformazione residua del muro.

Un impatto perfettamente anelastico è un esempio di perdita di energia meccanica dovuta a forze dissipative.

1. Lavoro di forza variabile.
Si consideri un punto materiale che si muove in linea retta sotto l'azione di una forza P. Se la forza agente è costante e diretta lungo una retta, e lo spostamento è s, allora, come è noto dalla fisica, il lavoro A di questa forza è uguale al prodotto Ps. Ora deriviamo una formula per calcolare il lavoro svolto da una forza variabile.

Lascia che un punto si muova lungo l'asse x sotto l'azione di una forza la cui proiezione sull'asse x sia funzione di f su x. Qui assumiamo che f sia funzione continua. Sotto l'azione di questa forza, il punto materiale si è spostato dal punto M (a) al punto M (b) (Fig. 1, a). Mostriamo che in questo caso il lavoro A si calcola con la formula

(1)

Dividiamo il segmento [a; b] in n segmenti della stessa lunghezza Questi sono i segmenti [a; x 1 ], ,..., (Fig. 1.6). Il lavoro della forza sull'intero segmento [a; b] è uguale alla somma del lavoro di questa forza sui segmenti ottenuti. Poiché f è una funzione continua di x, per un segmento sufficientemente piccolo [a; x 1] il lavoro della forza su questo segmento è approssimativamente uguale a f (a) (x 1 -a) (trascuriamo il fatto che f cambia sul segmento). Allo stesso modo, il lavoro della forza sul secondo segmento è approssimativamente uguale a f (x 1) (x 2 - x 1), ecc.; il lavoro della forza sull'n-esimo segmento è approssimativamente uguale a f (x n-1) (b - x n-1). Di conseguenza, il lavoro della forza sull'intero segmento [a; b] è approssimativamente uguale a:

e la precisione dell'uguaglianza approssimativa è tanto maggiore quanto più brevi sono i segmenti in cui è diviso il segmento [à; b] Naturalmente, questa uguaglianza approssimativa diventa esatta, se assumiamo che n→∞:

Poiché A n come n →∞ tende all'integrale della funzione considerata da a a b, si ricava la formula (1).
2. Potenza.

La potenza P è la velocità con cui viene svolto il lavoro

Qui v è la velocità punto materiale a cui viene applicata la forza

Tutte le forze che si verificano in meccanica sono generalmente divise in conservatore e non conservatore.

La forza che agisce su un punto materiale è detta conservativa (potenziale) se il lavoro di questa forza dipende solo dalle posizioni iniziale e finale del punto. Il lavoro di una forza conservativa non dipende né dal tipo di traiettoria né dalla legge di moto di un punto materiale lungo la traiettoria (vedi Fig. 2): .

Un cambiamento nella direzione del movimento di un punto lungo una piccola sezione verso l'opposto provoca un cambiamento di segno lavoro elementare, Di conseguenza, . Pertanto, il lavoro di una forza conservativa lungo una traiettoria chiusa 1 un 2b 1 è zero: .

Punti 1 e 2, nonché tratti di una traiettoria chiusa 1 un 2 e 2 b 1 può essere scelto del tutto arbitrariamente. Pertanto, il lavoro di una forza conservativa lungo una traiettoria chiusa arbitraria L del punto della sua applicazione è uguale a zero:

In questa formula, il cerchio sul segno di integrale mostra che l'integrazione viene eseguita lungo una traiettoria chiusa. Traiettoria spesso chiusa l chiamato anello chiuso l(Fig. 3). Solitamente impostato dalla direzione dell'attraversamento del profilo l in senso orario. Direzione vettore elementare il movimento è uguale alla direzione della traslazione del profilo l. In questo caso, la formula (5) afferma: la circolazione del vettore lungo l'anello chiuso L è uguale a zero.

Va notato che le forze di gravità e di elasticità sono conservative e le forze di attrito non sono conservative. Infatti, poiché la forza di attrito è diretta nella direzione opposta allo spostamento o alla velocità, il lavoro delle forze di attrito lungo un percorso chiuso è sempre negativo e, quindi, diverso da zero.

Sistema dissipativo(o struttura dissipativa, dal lat. dissipazione- "Disperdo, distruggo") è un sistema aperto che opera lontano da equilibrio termodinamico. In altre parole, questo è uno stato stabile che si verifica in un mezzo di non equilibrio nella condizione di dissipazione (dispersione) di energia che proviene dall'esterno. A volte viene anche chiamato un sistema dissipativo stazionario sistema aperto o sistema aperto di non equilibrio.

Un sistema dissipativo è caratterizzato dall'apparizione spontanea di una struttura complessa, spesso caotica. Una caratteristica distintiva di tali sistemi è la non conservazione del volume nello spazio delle fasi, cioè il mancato adempimento del teorema di Liouville.

Un semplice esempio un tale sistema sono le cellule di Benard. come più esempi difficili chiamati laser, la reazione Belousov-Zhabotinsky e la vita biologica.

Il termine "struttura dissipativa" è stato introdotto da Ilya Prigogine.

Recenti studi nel campo delle "strutture dissipative" consentono di concludere che il processo di "auto-organizzazione" avviene molto più rapidamente in presenza di "rumori" esterni ed interni al sistema. Pertanto, gli effetti del rumore portano ad un'accelerazione del processo di "auto-organizzazione".

Energia cinetica

l'energia di un sistema meccanico, che dipende dalla velocità di movimento dei suoi punti. K. e. T il punto materiale è misurato per metà del prodotto della massa m questo punto per il quadrato della sua velocità υ, cioè. T = 1/ 2 mυ 2 . K. e. sistema meccanico è uguale alla somma aritmetica di K. e. tutti i suoi punti: T =Σ 1 / 2 m k υ 2 k . Espressione K. e. i sistemi possono anche essere rappresentati come T = 1 / 2 Mυ c 2 + Tc, dove Mè la massa dell'intero sistema, υ cè la velocità del centro di massa, T c - K. e. sistema nel suo moto attorno al baricentro. K. e. corpo solido, andando avanti, viene calcolato allo stesso modo di K. e. punto con massa uguale alla massa di tutto il corpo. Formule per il calcolo di K. e. corpo che gira intorno asse fisso, vedi art. Movimento rotatorio.

Cambia K. e. sistema quando viene spostato da una posizione (configurazione) 1 in posizione 2 avviene sotto l'azione di forze esterne ed interne applicate al sistema ed è uguale alla somma del lavoro . Questa uguaglianza esprime il teorema sul cambiamento del K. e., con l'aiuto del quale vengono risolti molti problemi di dinamica.

A velocità prossime a quella della luce, K. e. punto materiale

dove m0è la massa del punto di riposo, Insieme aè la velocità della luce nel vuoto ( m 0 s 2è l'energia del punto di riposo). A basse velocità ( υ<< c ) l'ultima relazione va nella solita formula 1 / 2 mυ 2 .

Energia cinetica.

Energia cinetica - l'energia di un corpo in movimento. (Dalla parola greca cinema - movimento). Per definizione, l'energia cinetica di un corpo a riposo in un dato sistema di riferimento svanisce.

Lascia che il corpo si muova sotto l'azione costante forza nella direzione della forza.

Quindi: .

Perché il moto è uniformemente accelerato, quindi:

Di conseguenza: .

- chiamata energia cinetica

Forze esterne- si tratta di forze che agiscono solo sulla superficie dell'oggetto, ma non penetrano in esso. Queste forze includono tutte le forze sviluppate da un oggetto materiale.

forze interne- si tratta di forze che agiscono immediatamente su tutti gli atomi dell'oggetto in movimento, indipendentemente da dove si trovano: in superficie o al centro dell'oggetto. Queste forze includono le forze di inerzia e le forze del campo: gravitazionali, elettriche, magnetiche. E questo accade perché il campo e il portatore d'inerzia del vuoto fisico penetrano liberamente in ogni corpo.

In meccanica forze esterne in relazione a un dato sistema di punti materiali(cioè, un tale insieme di punti materiali in cui il movimento di ciascun punto dipende dalle posizioni o dai movimenti di tutti gli altri punti) sono quelle forze che rappresentano l'azione su questo sistema di altri corpi (altri sistemi di punti materiali) che abbiamo non inclusi nella composizione di questo sistema.

Le forze interne sono forze di interazione tra i singoli punti materiali di un dato sistema. La divisione delle forze in esterne e interne è del tutto condizionata: quando cambia la composizione data del sistema, alcune forze che prima erano esterne possono diventare interne e viceversa. Quindi, per esempio, quando si considera

PRIMER i movimenti di un sistema costituito dalla terra e dalla sua luna satellite, le forze di interazione tra questi corpi saranno forze interne per questo sistema e le forze di attrazione del sole, degli altri pianeti, dei loro satelliti e di tutte le stelle saranno forze esterne in relazione a questo sistema. Ma se cambiamo la composizione del sistema e consideriamo il movimento del sole e di tutti i pianeti come il movimento di un sistema comune, allora esterno. le forze saranno solo le forze di attrazione esercitate

Se il corpo caricato è in equilibrio, le forze interne sono uguali in valore alle forze esterne e opposte ad esse in direzione. Ovviamente, impediscono lo sviluppo della deformazione. Il lavoro delle forze interne(U), data la loro direzione rispetto alla deformazione, è sempre negativa.

Il lavoro delle forze esterne uguale a preso con segno opposto lavoro delle forze interne:

Lascia che un elemento di un'asta con una lunghezza sperimenti tensione (Fig. 15.3, a).

L'azione delle parti scartate dell'asta sull'elemento in esame è sostituita dalle forze longitudinali N. Tali forze sono rappresentate in figura da linee tratteggiate. In relazione all'elemento, sono, per così dire, esterni. L'elemento allungamento che chiamano è: .

L'azione dell'elemento considerato sulle parti scartate è mostrata in figura da linee continue. Il lavoro elementare delle forze longitudinali interne, aumentando gradualmente e contrastando lo sviluppo dell'allungamento, secondo il teorema di Clapeyron, è espresso dalla formula: .

LAVORO ELEMENTARE DELLE FORZE TRASVERSALI INTERNE () IN PURO TAGLIO (FIG. 15.3, B)

Nel taglio puro, le sollecitazioni di taglio sono distribuite uniformemente sull'intera sezione e sono determinate dalla formula: .

Lo spostamento assoluto della sezione destra dell'elemento rispetto alla sezione sinistra, tenendo conto della legge di Hooke, è pari a: ,

poi .

Nella flessione trasversale, le sollecitazioni di taglio sono distribuite in modo non uniforme sulla sezione trasversale. In questo caso, l'espressione per il lavoro elementare delle forze di taglio interne può essere rappresentata come: , dove k è un coefficiente che dipende dalla forma della sezione trasversale dell'asta. Ad esempio, per una sezione rettangolare.

LAVORO ELEMENTARE DELLE FORZE INTERNE IN TORSIONE

La rotazione della sezione destra dell'elemento rispetto alla sezione sinistra, che si verifica sotto l'azione di coppie esterne ad esso (), mostrate (vedi Fig. 15.3, c) da linee tratteggiate, è uguale a: .

Quindi il lavoro delle coppie interne (non mostrate nella figura) a questo angolo di rotazione è determinato dalla formula: .

Ora lascia che l'elemento dell'asta sperimenti la flessione. E lascia che la sua sezione trasversale destra ruoti per l'angolo di rotazione rispetto alla sezione sinistra (vedi Fig. 15.3, d).

Quindi i momenti flettenti interni, mostrati (vedi Fig. 15.3, d) da linee continue, funzioneranno con questo angolo di rotazione:

.

Con simultanea tensione, torsione e flessione trasversale diretta dell'asta (tenendo conto del fatto che il lavoro di ciascuna delle forze interne sugli spostamenti causati dalle forze rimanenti è uguale a zero), otteniamo la seguente espressione per il lavoro elementare di le forze elastiche interne:

Integrando l'espressione su tutta la lunghezza della canna, si ottiene infine formula per le forze interne.

Come risultato dell'azione delle forze esterne nel corpo, forze interne.
forza interiore- forze di interazione tra parti di un corpo, che sorgono sotto l'azione di forze esterne.

Le forze interne sono auto-bilanciate, quindi non sono visibili e non influiscono sull'equilibrio del corpo. Le forze interne sono determinate dal metodo della sezione.

I carichi esterni portano ai seguenti tipi di stato sforzo-deformazione:

torsione

Per calcolare la resistenza degli elementi strutturali, è necessario conoscere le forze elastiche interne risultanti dall'applicazione di forze esterne in diversi punti e parti della struttura.
I metodi per determinare queste forze interne usando la scienza della resistenza dei materiali includono un trucco come il metodo delle sezioni.

Il metodo delle sezioni è che il corpo viene tagliato mentalmente da un piano in due parti, ognuna delle quali viene scartata e invece di essa vengono applicate forze interne alla sezione della parte rimanente, che agiva su di essa prima del taglio laterale della parte scartata. La parte sinistra è considerata come un corpo indipendente, che è in equilibrio sotto l'azione delle forze esterne ed interne applicate alla sezione (terza legge di Newton - l'azione è uguale alla contrazione).
Quando si applica questo metodo, è più vantaggioso scartare quella parte dell'elemento strutturale (corpo) per la quale è più facile comporre un'equazione di equilibrio. Diventa così possibile determinare i fattori di forza interni nella sezione, grazie ai quali la restante parte del corpo è in equilibrio (tecnica spesso usata in Statica).

Applicando condizioni di equilibrio alla restante parte del corpo, è impossibile trovare la legge di distribuzione delle forze interne sulla sezione, ma è possibile determinare gli equivalenti statici di queste forze (i fattori di forza risultanti).
Poiché l'oggetto di progettazione principale nella resistenza dei materiali è una trave, consideriamo quali equivalenti statici delle forze interne appaiono nella sezione trasversale della trave.

Tagliamo la trave (Fig. 1) con una sezione trasversale a-a e consideriamo l'equilibrio del suo lato sinistro.
Se le forze esterne agenti sulla trave giacciono sullo stesso piano, nel caso generale, l'equivalente statico delle forze interne agenti nella sezione a-a sarà il vettore principale Fgl applicato al baricentro della sezione, e il momento principale Mgl = Mi, bilanciando le forze esterne del sistema piatto applicate alla restante parte della trave.

Scomponiamo il vettore principale nella componente N, diretta lungo l'asse della barra, e nella componente Q, perpendicolare a tale asse e giacente nel piano della sezione. Queste componenti del vettore principale e del momento principale sono dette fattori di forza interni agenti nella sezione della trave. La componente N è detta forza longitudinale, la componente Q è detta forza trasversale, la coppia di forze con il momento Mi è il momento flettente.

Per determinare questi tre fattori di forza interni, applichiamo le equazioni di equilibrio note da Statica per la parte rimanente della trave:

ΣZ = 0; ΣY = 0; ΣM = 0; (l'asse z è sempre diretto lungo l'asse del raggio).

Se le forze esterne agenti sulla barra non giacciono sullo stesso piano, cioè rappresentano un sistema spaziale di forze, nel caso generale, nella sezione trasversale della barra sorgono sei fattori di forza interni (Fig. 2), per determinare cui si usano le ben note dalla Statica sei equazioni di equilibrio della restante parte della trave:

Σ X = 0; ΣY = 0; ΣZ = 0;
Σ Mx = 0; Σ Mio = 0; ΣMz = 0.

Questi fattori di forza nel caso generale hanno i seguenti nomi: N - forza longitudinale, Qx, Qy - forze trasversali, Mkr - coppia, Mikh e Miu - momenti flettenti.

Con diverse deformazioni nella sezione trasversale della trave, sorgono vari fattori di forza.
Considera casi speciali:

1. Nella sezione si verifica solo una forza longitudinale N. Questa è una deformazione a trazione (se N è diretta lontano dalla sezione) o compressione (se N è diretta verso la sezione).

2. Nella sezione si verifica solo la forza trasversale Q. Questa è la deformazione a taglio.

3. Nella sezione si verifica solo la coppia Mkr. Questa è una deformazione torsionale.

4. Nella sezione compare solo il momento flettente Mi. Questa è una pura deformazione di flessione. Se un momento flettente Mi e una forza trasversale Q si verificano contemporaneamente nella sezione, la curva è chiamata trasversale.

5. Se in una sezione si verificano contemporaneamente più fattori di forza interni (ad esempio un momento flettente e una forza longitudinale), si verifica una combinazione di deformazioni di base (resistenza complessa).

11) Assunzioni circa le proprietà dei materiali e la natura delle deformazioni
Ipotesi sulle proprietà dei materiali:

1. Materiale omogeneo, cioè le sue proprietà non dipendono dalle dimensioni del volume estratto dal corpo. Non esistono infatti in natura materiali omogenei. Ad esempio, la struttura dei metalli è costituita da molti cristalli microscopici (grani) disposti casualmente. Le dimensioni degli elementi strutturali calcolati, di regola, superano incommensurabilmente le dimensioni dei cristalli, quindi il presupposto dell'omogeneità del materiale è qui pienamente applicabile.
2. Il materiale è continuum e riempie continuamente l'intero volume fornitogli. Questa ipotesi deriva direttamente dalla prima - sull'omogeneità del materiale - e consente l'uso dell'analisi matematica.
3. Materiale isotropo, cioè le proprietà fisiche e meccaniche sono le stesse in tutte le direzioni. Pertanto, un elemento isolato da un mezzo continuo non dipende dall'orientamento rispetto al sistema di coordinate scelto. I metalli per la loro struttura a grana fine sono considerati isotropi. Ma ci sono molti materiali non isotropi - anisotropi. Questi includono legno, tessuti, compensato e molte materie plastiche. Tuttavia, nella resistenza dei materiali, vengono considerati principalmente i materiali isotropi.
4. Il materiale entro certi limiti di carico del corpo ha elasticità ideale, ovvero dopo aver rimosso il carico, il corpo ripristina completamente la forma e le dimensioni originali.

Ipotesi sulla natura della deformazione degli elementi strutturali:

12) Classificazione delle forze esterne. Oggetto reale e schema di calcolo
Le forze esterne sono le forze di interazione tra l'elemento strutturale in esame ei corpi ad esso associati. Se il carico è distribuito sulla superficie del corpo o su parte di esso, tale carico viene chiamato distribuito.
Nello schema progettuale, il carico distribuito sulla superficie (Fig. 1.2) viene portato su un piano coincidente con l'asse longitudinale, determinando un carico distribuito lungo la linea. La misura di un tale carico è la sua intensità q - l'entità del carico per unità di lunghezza. Dimensione - N/m. La risultante del carico distribuito è numericamente uguale all'area del suo diagramma e viene applicata nel baricentro.

Riso. 1.2

Oltre al toro, ci sono carichi sotto forma di momento concentrato (paia di sorso). Esistono diversi modi per rappresentare i momenti (Figura 1.3).

Riso. 1.3

Allora M è la coppia (Fig. 1.4).

Riso. 1.4

Ecco come viene raffigurata una sipa che viene verso di noi.

Così è rappresentato il potere che viene da noi.
oggetto reale- l'elemento strutturale oggetto di studio, tenuto conto di tutte le sue caratteristiche: geometriche, fisiche, meccaniche e altre.

È praticamente impossibile calcolare un oggetto reale (sarebbe necessario tenere conto dell'influenza di troppe caratteristiche interconnesse dell'oggetto), quindi è necessario andare ad alcuni schema di calcolo(modelli di un oggetto reale) basati su un certo sistema di ipotesi che idealizzano la situazione calcolata.

Schema di progettazione- questo è un oggetto reale, in cui vengono scartati tutti i dettagli (caratteristiche) che non sono correlati al calcolo e la loro influenza è sostituita da effetti di forza.

L'obiettivo principale della resistenza dei materiali è creare metodi (tecniche) praticamente accettabili e semplici per il calcolo degli elementi strutturali tipici e più comuni. La necessità di passare da un oggetto reale a uno schema progettuale (in modo da semplificare i calcoli) ci costringe a introdurre la schematizzazione dei concetti.

Si possono distinguere i seguenti tipi di schematizzazione:

schematizzazione geometrica;schematizzazione fisica;schematizzazione della potenza.

Schematizzazione geometrica (modello di forma)

Per schematizzare la forma di oggetti reali nella forza dei materiali, vengono utilizzate le seguenti principali tipologie di elementi: nocciolo(trave, trave,

lancia), piatto(piatto, guscio) e corpo massiccio.

kernel- un elemento strutturale in cui due dimensioni sono piccole rispetto alla terza.

I compiti per il calcolo delle aste sono principalmente unidimensionali (lineari, ovvero la soluzione del problema dipende da una coordinata variabile).

piatto- un elemento strutturale in cui una dimensione (spessore) è piccola rispetto alle altre due.

Una piastra che è curva prima del caricamento è chiamata shell.

I problemi di analisi delle lastre sono per lo più bidimensionali (piatti)

corpo massiccio- un elemento strutturale in cui tutte le dimensioni hanno lo stesso ordine.

I problemi per il calcolo dei corpi massivi sono principalmente tridimensionali (spaziali).

Nella resistenza dei materiali vengono considerati principalmente problemi unidimensionali di calcolo degli elementi a barra delle strutture. La soluzione di problemi bidimensionali e tridimensionali più complessi di calcolo di placche, conchiglie e corpi massivi è considerata da una disciplina chiamata "Teoria dell'elasticità", che si basa su un numero minore di ipotesi iniziali.

Schematizzazione fisica (modello materiale)

Tutti i corpi studiati sono considerati realizzati (realizzati) da materiali dotati condizionatamente di determinate proprietà idealizzate.

Il materiale degli elementi strutturali sarà ulteriormente considerato continuo,

omogeneo,isotropo e elastico lineare.

materiale solido- materiale che non presenti fessure, vuoti, crepe, pori, inclusioni, ecc.

Si ritiene che il materiale riempia continuamente (completamente) l'intero volume dell'elemento strutturale, mentre non si tiene conto della struttura specifica del materiale (granuloso, cristallino, fibroso, stratificato, ecc.).

Materiale omogeneo- un materiale, in ogni punto le cui proprietà meccaniche sono le stesse e non dipendono dalle dimensioni del volume assegnato.

materiale isotropo- un materiale le cui proprietà sono le stesse in tutte le direzioni.

Pertanto, le proprietà di un materiale isotropo non dipendono dalla direzione della ricerca, ad esempio dalla direzione di applicazione del carico durante le prove meccaniche.

Altrimenti, il materiale è chiamato anisotropo (legno, fibra di vetro, mica, ecc.).

materiale elastico- un materiale che ha la capacità di ripristinare la forma e le dimensioni originali del corpo dopo aver rimosso il carico esterno.

Materiale elastico lineare- materiale soggetto a La legge di Hooke.

La legge di Hooke: "Gli spostamenti delle punte di un corpo elastico (entro limiti di carico noti) sono direttamente proporzionali alle forze che provocano questi spostamenti."

Schematizzazione forzata (modello di carico)

Per la corretta formulazione del problema nella resistenza dei materiali, è molto importante poter classificare le forze esterne (carichi) agenti sugli elementi strutturali.

Forze esterne- le forze di interazione tra l'elemento strutturale considerato e gli altri corpi ad esso associati.

Introduciamo la seguente classificazione delle forze esterne secondo il metodo di applicazione:

Carichi concentrati– forze e momenti, la cui area d'azione è piccola rispetto alle dimensioni dell'oggetto (applicato in un punto).

Designazioni: F (R ), M (T ).

Unità: [ F]=H; [ M]=N·m in SI o [ F]=kg; [ M]=kg m nel sistema tecnico.

Carichi distribuiti- forze agenti a) su non

quale lunghezza, b) su una certa area, c) in volume.

Designazione q .

Unità di misura: a) [ q]=H/m, kg/cm, kg/mm; b) [ q]=H/m 2 , kg/cm 2 , kg/mm ​​2 ; in) [ q] \u003d H / m 3, kg / cm 3, kg / mm 3, ecc.

I carichi esterni si distinguono anche per la natura del cambiamento nel tempo: Carichi statici aumentare lentamente e senza intoppi da zero al suo valore finale, quindi rimanere invariato.

Carichi dinamici sono accompagnate da accelerazioni sia del corpo deformato che dei corpi che interagiscono con esso.

I carichi dinamici includono, ad esempio, le forze che agiscono su corpi in movimento accelerati, carichi d'urto, ecc.

Carichi variabili-forze che cambiano continuamente e periodicamente nel tempo.

Ora, introdotta la ponderata schematizzazione dei concetti, si può procedere a lavorare con schemi di calcolo, alla loro analisi. Allo stesso tempo, notiamo che lo stesso oggetto reale può avere diversi schemi di progettazione e molti oggetti reali diversi possono essere associati allo stesso schema di progettazione. In particolare, quando si calcola un carroponte (vedi figura), il cavo e la colonna di supporto verranno calcolati secondo lo schema di progetto di un'asta tesa o compressa, e il carrello e le guide - secondo lo schema di una trave a due supporti , ecc. Ciò implica un'altra definizione della resistenza dei materiali.

Forza dei materiali- una disciplina ingegneristica che si occupa dell'analisi di robustezza (in senso generale) degli schemi progettuali più tipici (frequenti) atti a calcolare eventuali elementi di qualsiasi struttura.

13) Forze interne in trazione e compressione. Costruzione di diagrammi delle forze interne. Il concetto di una sezione pericolosa.
Tensione e compressione

Allunga (compressione)- un tipo di resistenza semplice, in cui l'asta viene caricata con forze parallele all'asse longitudinale dell'asta e applicate al baricentro della sua sezione.

Si consideri un'asta elasticamente tesa da forze concentrate applicate centralmente P.

Prima di procedere allo studio delle forze interne e delle sollecitazioni che si generano in una barra tesa, consideriamo alcune ipotesi relative alla natura della deformazione di tale barra e che rivestono un'importanza eccezionale nella resistenza dei materiali.

Principio di San Venant: nelle sezioni sufficientemente lontane dai luoghi di applicazione delle forze, la distribuzione delle sollecitazioni e delle deformazioni dipende poco dal metodo di applicazione dei carichi.

Il principio di Saint-Venant consente di calcolare senza tener conto delle deformazioni locali (locali) che si verificano vicino ai punti di applicazione delle forze esterne e differiscono dalle deformazioni del volume principale del materiale, il che nella maggior parte dei casi semplifica la soluzione di il problema.

L'ipotesi delle sezioni pianeggianti (l'ipotesi di J. Bernoulli):le sezioni trasversali dell'asta sono piatte e perpendicolari al suo asse prima della deformazione rimangono piatte e perpendicolari all'asse e dopo la deformazione.

Sezionando mentalmente l'asta, determiniamo le forze interne nell'asta allungata:

a) un'asta caricata con forze di trazione P e in equilibrio viene tagliata di una sezione arbitraria;

b) scartiamo una delle parti dell'asta e il suo effetto sull'altra parte viene compensato con intensità da forze interne;

c) forza interna assiale N, che si manifesta nella sezione dell'asta, determiniamo compilando le equazioni di equilibrio per la parte di cut-off:

Proiettando la forza esterna P, agente sulla parte tagliata dell'asta, su altri assi (z e y), oltre a comporre le equazioni dei momenti relativi agli assi coordinati, è facile assicurarsi che la forza assiale N è l'unica forza interna che si verifica nella sezione dell'asta (il resto è uguale a zero).

Pertanto, durante la tensione (compressione), su sei forze interne nella sezione trasversale dell'asta, ne sorge solo una - forza longitudinale N.

Le normali sollecitazioni che si verificano nella sezione dello stelo sono correlate alla forza assiale N come segue:

O . (2.2)

Dato che, secondo l'ipotesi di Bernoulli, le sollecitazioni sono distribuite uniformemente sulla sezione d'urto (cioè = const), possiamo scrivere:

Pertanto, le normali sollecitazioni di trazione (compressione) sono definite come

Grafici delle forze interne in tensione-compressione

La tensione o la compressione è un tipo di resistenza così semplice, in cui le forze esterne vengono applicate lungo l'asse longitudinale della trave e nella sua sezione trasversale si verifica solo una forza normale.

Si consideri lo schema di calcolo di una trave a sezione costante con un dato carico concentrato esterno P e distribuito q, (Fig. 1).

a) schema di calcolo, b) prima sezione, parte di cut-off sinistra, c) seconda sezione, parte di cut-off sinistra, d) seconda sezione, parte di cut-off destra, e) diagramma delle forze normali

Fig. 1. Tracciare le forze normali:

Permettere . Prima di tutto, definiamo la reazione di supporto R, data la sua direzione lungo l'asse X.

La trave ha 2 sezioni 1 e 2.

All'interno della prima sezione, tagliamo mentalmente la trave in 2 parti con una sezione normale e consideriamo l'equilibrio, diciamo il lato sinistro, inserendo la seguente coordinata x 1, Fig.1b:

Di conseguenza, all'interno della prima sezione, la trave subisce una compressione di una forza normale costante.

Faremo lo stesso con la seconda sezione. Taglialo mentalmente con una sezione di 2-2 e considera l'equilibrio del lato sinistro (Fig. 1 c) Stabiliamo prima i confini del cambiamento x 2:

Sostituendo i valori limite del parametro x 2, noi abbiamo:

Pertanto, all'interno della seconda sezione, la trave viene allungata e la forza normale cambia linearmente.

Un risultato simile si ottiene considerando la parte tagliata a destra (Fig. 1d):

Sulla base dei dati ottenuti, viene costruito un diagramma delle forze normali sotto forma di un grafico della distribuzione della forza normale lungo la lunghezza della barra (Fig. 1e). È caratteristico che i salti nel diagramma siano dovuti alla presenza di forze concentrate nelle sezioni corrispondenti R e R, che a sua volta può fungere da regola per la correttezza delle costruzioni eseguite.

Per verificare la resistenza alla flessione, in base ai carichi esterni agenti sulla trave, vengono costruiti grafici delle variazioni delle forze interne lungo la sua lunghezza e vengono determinate le sezioni pericolose della trave, per ognuna delle quali è necessario eseguire una prova di resistenza .

Con un test di forza completo, ci saranno almeno tre di queste sezioni (a volte coincidono):

1. sezione in cui il momento flettente Mx- raggiunge il suo valore massimo in valore assoluto, - è per questa sezione che viene selezionata la sezione dell'intera trave;

2. sezione in cui la forza trasversale Qy, raggiunge il suo massimo valore di modulo;

3. sezione in cui e momento flettente Mx e forza di taglio Qy raggiungere valori sufficientemente grandi in modulo.

In ciascuna delle sezioni pericolose, è necessario, dopo aver costruito diagrammi delle sollecitazioni normali e di taglio, individuare i punti pericolosi della sezione (per ciascuno di essi viene effettuata una verifica della resistenza), che saranno anch'essi almeno tre:

1. il punto in cui le sollecitazioni normali raggiungono il loro valore massimo, cioè il punto della superficie esterna della trave più lontano dall'asse neutro della sezione;

2. il punto in cui le sollecitazioni di taglio raggiungono il loro valore massimo - un punto giacente sull'asse neutro della sezione;

il punto in cui sia le sollecitazioni normali che le sollecitazioni di taglio raggiungono valori sufficientemente grandi (questo controllo ha senso
per sezioni come un tee o una trave a I, dove la larghezza cambia drasticamente il suo valore).

14) Condizione di resistenza torsionale. Il concetto di una sezione pericolosa
La condizione di resistenza alla torsione, tenendo conto della notazione adottata, è formulata come segue: le massime sollecitazioni di taglio che si verificano nella sezione pericolosa dell'albero non devono superare le sollecitazioni ammissibili e si scrive come

dove è preso o sulla base di dati sperimentali, oppure (in assenza delle necessarie caratteristiche sperimentali) secondo le teorie di resistenza corrispondenti al materiale. Ad esempio, dalle teorie sulla resistenza per i materiali fragili applicate al taglio puro, seguono i seguenti risultati:

Dalla seconda teoria della forza

Dalla teoria di Mohr

Dalle teorie di resistenza per materiali duttili in puro taglio, otteniamo:

Secondo la terza teoria della forza

Secondo la quarta teoria della forza

Come segue dalla legge di accoppiamento delle sollecitazioni tangenziali, simultaneamente alle sollecitazioni tangenziali agenti nel piano della sezione trasversale dell'albero, si verificano sollecitazioni tangenziali nei piani longitudinali. Sono uguali in grandezza alle tensioni di coppia, ma hanno il segno opposto. Pertanto, tutti gli elementi della trave durante la torsione sono in uno stato di puro taglio. Poiché il taglio puro è un caso speciale di uno stato di sollecitazione piano, in cui , , , quando le facce dell'elemento vengono ruotate di 45 0, solo le sollecitazioni normali di uguale entità si trovano in nuove aree (Fig. 5.8).

Considera i possibili tipi di distruzione di alberi realizzati con vari materiali durante la torsione. Gli alberi in materiale plastico vengono spesso distrutti lungo una sezione perpendicolare all'asse dell'albero, sotto l'influenza delle sollecitazioni di taglio che agiscono in questa sezione (Fig. 5.9, a). Gli alberi realizzati con materiali fragili vengono distrutti lungo la superficie elicoidale inclinata rispetto all'asse dell'albero con un angolo di 45 0, ad es. nella direzione di azione delle massime sollecitazioni di trazione (Fig. 5.9, b). In corrispondenza degli alberi di legno, le prime crepe si verificano lungo le generatrici del cilindro, poiché il legno resiste poco all'azione delle sollecitazioni di taglio dirette lungo le fibre (Fig. 5.9, c).

Fig.5.8 Fig.5.9

Pertanto, la natura della distruzione dipende dalla capacità del materiale dell'albero di resistere agli effetti delle sollecitazioni normali e di taglio. In accordo con ciò, le sollecitazioni di taglio ammissibili sono considerate uguali a - per i materiali fragili e - per i materiali duttili.

A sezione pericolosa dell'albero durante la flessione con torsione sorgono contemporaneamente coppia massima () e il momento flettente risultante.

15) Torsione. Stress torsionale. Grafico delle sollecitazioni di taglio.
torsione chiamata la deformazione che si verifica quando una coppia di forze agisce sull'asta, situata in un piano perpendicolare al suo asse (Fig. 5.1).

Si chiamano barre a sezione circolare o anulare, che lavorano in torsione Aste. Quando si calcolano gli alberi, di solito è nota la potenza trasmessa all'albero e deve essere determinata l'entità dei momenti torcenti esterni. I momenti torsionali esterni, di regola, vengono trasferiti all'albero nei punti in cui si adattano pulegge, ingranaggi, ecc.

Far ruotare l'albero a velocità costante n giri/min e trasmettere potenza N Nm/s La velocità angolare di rotazione dell'albero è pari a (rad/sec) e la potenza trasmessa è .

Il momento di svolta è .

Se la potenza è espressa in kilowatt, il valore della coppia è determinato dalla formula

STRESS DI TORSIONE.

Se alle estremità dell'albero vengono applicati momenti torsionali esterni uguali ma diretti in modo opposto, esistono solo sollecitazioni tangenziali in tutte le sue sezioni trasversali, ad es. lo stato di sollecitazione nei punti dell'asta ritorta è un puro taglio. Nella sezione circolare dell'albero, le sollecitazioni di taglio e di taglio sono uguali a zero al centro e sono massime in corrispondenza del bordo; nei punti intermedi sono proporzionali alla distanza dal baricentro della sezione. La formula usuale per la massima sollecitazione di taglio torsionale è: S = Tc/J, dove T- momento torcente ad un'estremità, cè il raggio dell'albero e Jè il momento polare della sezione. Per un cerchio J = pr 4/2. Questa formula è applicabile solo nel caso di una sezione trasversale circolare. Le formule per alberi con sezione trasversale di forma diversa si ottengono risolvendo i problemi corrispondenti utilizzando i metodi della teoria matematica dell'elasticità, coinvolgendo in alcuni casi i metodi di analisi sperimentale.

Riso. 2.9. Grafici delle sollecitazioni di taglio in torsione

a) stadio elastico; b) stadio di deformazione plastica;

c) fase di distruzione; 1 – zona elastica; 2 - zona plastica

FORZE ESTERNE ED INTERNE. In meccanica, le forze esterne rispetto a un dato sistema di punti materiali (cioè un tale insieme di punti materiali in cui il movimento di ciascun punto dipende dalle posizioni o dai movimenti di tutti gli altri punti) sono quelle forze che rappresentano l'azione su questo sistema di altri corpi (altri sistemi di punti materiali), non inclusi da noi in questo sistema. Le forze interne sono forze di interazione tra i singoli punti materiali di un dato sistema. La divisione delle forze in esterne e interne è del tutto condizionata: quando cambia la composizione data del sistema, alcune forze che prima erano esterne possono diventare interne e viceversa. Quindi, ad esempio, quando si considera il movimento di un sistema costituito dalla terra e dal suo satellite lunare, le forze di interazione tra questi corpi saranno forze interne per questo sistema e le forze di attrazione del sole, di altri pianeti, dei loro satelliti e tutte le stelle saranno forze esterne in relazione a questo sistema. Ma se cambiamo la composizione del sistema e consideriamo il movimento del sole e di tutti i pianeti come il movimento di un sistema generale, allora solo le forze di attrazione esercitate dalle stelle saranno forze esterne; tuttavia, le forze di interazione tra i pianeti, i loro satelliti e il sole diventano forze interne per questo sistema.

Allo stesso modo, se durante il movimento di una locomotiva a vapore individuiamo il pistone di un cilindro a vapore come un sistema separato di punti materiali che è soggetto alla nostra considerazione, allora la pressione del vapore sul pistone rispetto ad esso sarà una forza esterna, e la stessa pressione del vapore sarà una delle forze interne se consideriamo il movimento dell'intera locomotiva nel suo insieme; in questo caso, le forze esterne rispetto all'intera locomotiva, considerata come un unico sistema, saranno: attrito tra rotaie e ruote della locomotiva, gravità della locomotiva, reazione delle rotaie e resistenza dell'aria; le forze interne saranno tutte le forze di interazione tra le parti della locomotiva, ad esempio le forze di interazione tra il vapore e il pistone del cilindro, tra il cursore e i suoi paralleli, tra la biella e il perno di biella, ecc. Come si vede, essenzialmente non c'è differenza tra forze esterne e interne, la differenza relativa tra loro è determinata solo a seconda di quali corpi includiamo nel sistema in esame e che consideriamo non parte del sistema. Tuttavia, la differenza relativa di forze indicata è di importanza molto significativa nello studio del moto di un dato sistema; secondo la terza legge di Newton (sull'uguaglianza di azione e reazione), le forze interne di interazione tra ciascuno dei due punti materiali del sistema sono uguali in grandezza e dirette lungo la stessa retta in direzioni opposte; grazie a ciò, quando si risolvono varie questioni sul moto di un sistema di punti materiali, è possibile escludere tutte le forze interne dalle equazioni del moto del sistema e rendere così possibile lo studio stesso del moto dell'intero sistema. Questo metodo di esclusione delle forze vincolanti interne, nella maggior parte dei casi sconosciute, è essenziale nella derivazione di varie leggi della meccanica dei sistemi.

Forza esternaè una misura dell'interazione tra i corpi. Nei problemi di resistenza dei materiali si presume sempre che siano date le forze esterne. Anche le forze esterne includono reazioni di supporto(connessioni).

Le forze esterne sono divise in voluminoso e superficiale. Forze del corpo applicato a ciascuna particella del corpo per tutto il suo volume. Un esempio di forze corporee sono le forze di peso e le forze di inerzia. Spesso viene data una semplice legge per la variazione di queste forze rispetto al volume. Le forze corporee sono determinate dalla loro intensità, come limite del rapporto tra le forze risultanti nel volume elementare considerato e il valore di questo volume tendente a zero: \lim_(\Delta V\to0)(\Delta F \over \ Delta V) e sono misurati in N / m 3 .

Forze di superficie sono divisi in focalizzata e distribuito.
focalizzata si considerano le forze applicate su una piccola superficie, le cui dimensioni sono piccole rispetto alle dimensioni del corpo. Tuttavia, quando si calcolano le sollecitazioni vicino alla zona di applicazione della forza, il carico deve essere considerato distribuito. I carichi concentrati includono non solo le forze concentrate, ma anche coppie di forze, un esempio delle quali è il carico creato da una chiave durante il serraggio di un dado. Gli sforzi concentrati si misurano kN.
Carichi distribuiti sono distribuiti in lunghezza e superficie. I carichi distribuiti includono la pressione di un liquido, gas o altro corpo. Le forze distribuite sono generalmente misurate in kN/m(distribuito lungo la lunghezza) e kN/m2(distribuito per area).

Tutti i carichi esterni possono essere suddivisi in statico e dinamico.
statico vengono considerati i carichi, durante l'applicazione dei quali le forze di inerzia risultanti sono piccole e possono essere trascurate.
Se le forze d'inerzia sono grandi (ad esempio un terremoto), vengono presi in considerazione i carichi dinamico. Esempi di tali carichi sono anche carichi applicati improvvisamente, batteria e ri-variabili.
Carichi applicati improvvisi trasferito immediatamente nell'edificio
il suo intero valore (ad esempio, la pressione delle ruote di una locomotiva che entra nel ponte).
Carichi d'urto si verificano quando la velocità di contatto con gli elementi strutturali cambia rapidamente, ad esempio quando una donna copra colpisce un mucchio durante la sua guida.
Rivariabili i carichi agiscono sugli elementi strutturali, ripetendosi un numero significativo di volte. Tali, ad esempio, sono pressioni ripetute del vapore che allungano e comprimono alternativamente l'asta del pistone e la biella di un motore a vapore. In molti casi, il carico è una combinazione di diversi tipi di azioni dinamiche.

forze interne

Come risultato dell'azione delle forze esterne nel corpo, forze interne.
forza interiore- forze di interazione tra parti di un corpo, che sorgono sotto l'azione di forze esterne.

Le forze interne sono auto-bilanciate, quindi non sono visibili e non influiscono sull'equilibrio del corpo. Le forze interne sono determinate dal metodo della sezione.

I carichi esterni portano ai seguenti tipi di stato sforzo-deformazione:

• piegare
• Torsione