(o vibrazioni naturali) sono oscillazioni di un sistema oscillatorio, eseguite solo a causa dell'energia (potenziale o cinetica) inizialmente riportata in assenza di influenze esterne.
Potenziale o energia cinetica può essere comunicato, ad esempio, nei sistemi meccanici tramite lo spostamento iniziale o la velocità iniziale.
I corpi liberamente oscillanti interagiscono sempre con altri corpi e insieme a loro formano un sistema di corpi chiamato sistema oscillatorio.
Ad esempio, una molla, una sfera e un palo verticale a cui è fissata l'estremità superiore della molla (vedi figura sotto) sono inclusi in un sistema oscillatorio. Qui la pallina scorre liberamente lungo la corda (le forze di attrito sono trascurabili). Se prendi la palla verso destra e la lasci a se stessa, oscillerà liberamente attorno alla posizione di equilibrio (punto O) per l'azione della forza elastica della molla diretta verso la posizione di equilibrio.
Un altro classico esempio di sistema oscillatorio meccanico è il pendolo matematico (vedi figura sotto). In questo caso la pallina compie oscillazioni libere sotto l'azione di due forze: la gravità e la forza elastica del filo (anche la Terra entra nel sistema oscillatorio). La loro risultante è diretta alla posizione di equilibrio.
Vengono chiamate le forze che agiscono tra i corpi di un sistema oscillatorio forze interne. Forze esterne sono chiamate le forze che agiscono sul sistema dai corpi che non sono inclusi in esso. Da questo punto di vista, le oscillazioni libere possono essere definite come oscillazioni in un sistema sotto l'azione di forze interne dopo che il sistema è stato portato fuori equilibrio.
Le condizioni per il verificarsi di oscillazioni libere sono:
1) l'emergere in essi di una forza che riporta il sistema in una posizione di equilibrio stabile dopo che è stato tolto da questo stato;
2) nessun attrito nel sistema.
Dinamica delle oscillazioni libere.
Vibrazioni di un corpo sotto l'azione di forze elastiche. L'equazione del moto oscillatorio di un corpo sotto l'azione di una forza elastica F() può essere ottenuto tenendo conto della seconda legge di Newton ( F = ma) e la legge di Hooke ( Controllo F = -kx), dove mè la massa della palla, ed è l'accelerazione acquisita dalla palla sotto l'azione della forza elastica, K- coefficiente di rigidità della molla, Xè lo spostamento del corpo dalla posizione di equilibrio (entrambe le equazioni sono scritte in proiezione sull'asse orizzontale Oh). Uguagliando i lati destri di queste equazioni e tenendo conto che l'accelerazione unè la seconda derivata della coordinata X(offset), otteniamo:
.
Allo stesso modo, l'espressione per l'accelerazione un otteniamo differenziando ( v = -v m sin ω 0 t = -v m x m cos (ω 0 t + π/2)):
a \u003d -a m cos ω 0 t,
dove un m = ω 2 0 x mè l'ampiezza dell'accelerazione. Pertanto, l'ampiezza della velocità delle oscillazioni armoniche è proporzionale alla frequenza e l'ampiezza dell'accelerazione è proporzionale al quadrato della frequenza di oscillazione.
Qualsiasi moto oscillatorio è un moto che avviene con accelerazione, quindi le forze devono agire sui corpi oscillanti che impartiscono loro queste accelerazioni. In particolare, se un corpo puntuale con una massa compie un'oscillazione armonica, allora, secondo la seconda legge della meccanica, una forza pari a
dove La direzione della forza coincide con la direzione dell'accelerazione e il vettore di accelerazione per le oscillazioni armoniche, secondo la formula (4.5), è sempre diretto verso la posizione di equilibrio. Pertanto, affinché un corpo possa compiere un moto oscillatorio armonico, su di esso deve agire una forza, sempre diretta verso la posizione di equilibrio, e in grandezza - direttamente proporzionale allo spostamento da questa posizione. Durante la ricerca sistemi oscillatori si trova facilmente il coefficiente di proporzionalità tra la forza agente sul corpo e lo spostamento x di questo corpo dalla posizione di equilibrio; poi, conoscendo anche la massa del corpo oscillante, si può calcolare la frequenza e il periodo dell'oscillazione; dal rapporto segue:
Le forze che sono sempre dirette verso la posizione di equilibrio sono chiamate forze di ripristino. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi:
1. Un sistema oscillatorio costituito da una massa e una molla (vedi Fig. 1.36, b). La forza di ripristino è la forza elastica che agisce sul corpo dalla molla deformata. Questa forza a piccole deformazioni è direttamente proporzionale alla variazione della lunghezza della molla Applicando forze esterne alla molla e misurando gli allungamenti causati da esse
(o compressione) della molla, si può trovare il coefficiente di elasticità della molla e, utilizzando la formula (4.10), calcolare la frequenza di vibrazione dei corpi attaccati alle estremità della molla. In questo caso le oscillazioni saranno armoniche e costanti) solo se sul corpo oscillante non agiscono altre forze, eccetto quella di ripristino, e deve sempre rimanere il coefficiente da cui, secondo la formula (4.10), dipende la frequenza di oscillazione costante. In particolare, al variare della temperatura della molla, varia di conseguenza anche la frequenza di oscillazione; le vibrazioni non sono armoniche.
2. Un sistema che esegue vibrazioni torsionali (rotative) (vedi Fig. 1.38, b). Durante le vibrazioni torsionali, sul corpo agisce un momento di ripristino che arresta la deviazione del corpo dallo stato di equilibrio e quindi gli imprime un movimento inverso. Il momento di ripristino si verifica quando si verifica la deformazione (torsione) della molla (o dell'asta) a cui è fissato il corpo oscillante. A piccoli angoli di deflessione, questo momento è direttamente proporzionale all'angolo di deflessione.
Se le vibrazioni torsionali sono armoniche, cioè
poi velocità angolare e anche l'accelerazione angolare durante la rotazione cambia secondo la legge armonica:
Troviamo il momento di ripristino come prodotto dell'accelerazione angolare e del momento di inerzia del corpo oscillante:
dove è un valore costante (se il momento di inerzia del corpo non cambia durante le oscillazioni). Questo coefficiente può essere trovato applicando momenti torcenti esterni alla molla (o all'asta) e misurando gli angoli di torsione a:
quindi la frequenza e il periodo delle oscillazioni sono determinati dalle formule:
Secondo l'espressione (4.13), con vibrazioni torsionali armoniche, il momento di ripristino deve essere esattamente proporzionale all'angolo di deflessione; se questa proporzionalità non viene osservata (ad esempio, ad angoli di rotazione molto grandi), allora le oscillazioni non saranno armoniche (sebbene in assenza di attrito non saranno smorzate).
3. Pendolo fisico (Fig. 1.40). Il momento di ripristino è il momento di gravità, che ha un segno,
opposto al segno dell'angolo di deflessione a e uguale a
dove è la distanza dal fulcro al baricentro del corpo.
A piccoli angoli di deflessione (angolo a - in radianti); poi il momento del ritorno
è proporzionale all'angolo di deflessione e le oscillazioni del pendolo saranno armoniche.
Confrontando con l'espressione (4.13), si ottiene, quindi,
A grandi angoli di deflessione, così come quando il corpo è deformato durante le oscillazioni (le oscillazioni variabili risultano non armoniche, sebbene possano essere non smorzate in assenza o compensazione dell'attrito.
4. Un pendolo matematico è un corpo puntiforme con una massa sospesa a un filo senza peso e inestensibile di lunghezza I (Fig. 1.41). La forza di ripristino è la proiezione della gravità sulla direzione del moto del corpo; noi abbiamo:
in radianti). Notiamo che anche qui non si osserva la condizione di proporzionalità tra la forza di ripristino e lo spostamento dalla posizione di equilibrio x, quindi le oscillazioni di questo pendolo non sono armoniche. Ma se gli angoli a sono piccoli, allora
poiché questa forza è sempre diretta verso la posizione di equilibrio e quindi ha segno opposto a quella
In questo caso le oscillazioni possono essere considerate armoniche; confrontando con l'espressione (4.9), si ottiene:
cioè, la frequenza e il periodo delle oscillazioni non dipendono dalla massa del corpo oscillante, ma sono determinati solo dalla lunghezza del filo e dall'accelerazione di gravità (le oscillazioni dei pendoli sono utilizzate per determinare Per il coefficiente costante e, di conseguenza, la frequenza delle oscillazioni è necessaria la costanza, mentre la forza agente lungo il filo può provocarne l'allungamento, che sarà minimo nelle posizioni estreme e massimo quando il corpo passa per il punto O. Pertanto, affinché il pendolo sia armonico, è necessario, oltre all'esiguità degli angoli di deflessione, avere anche la condizione di inestensibilità del filo.
Questi esempi mostrano che a piccole ampiezze, la frequenza (o il periodo) delle oscillazioni è determinata solo dalle proprietà del sistema. Tuttavia, per grandi deviazioni dalla posizione di equilibrio dipendenza lineare la forza di ripristino dallo spostamento così come il momento crescente dall'angolo di rotazione non sono strettamente osservati e la frequenza di oscillazione dipende in una certa misura anche dall'ampiezza di oscillazione o
I movimenti vibrazionali sono diffusi nella vita che ci circonda. Esempi di oscillazioni sono: il movimento dell'ago di una macchina da cucire, un'altalena, il pendolo di un orologio, le ali degli insetti durante il volo e molti altri corpi.
Molte differenze possono essere trovate nel movimento di questi corpi. Ad esempio, un'altalena si muove in modo curvilineo, mentre l'ago di una macchina da cucire si muove in linea retta; il pendolo di un orologio oscilla su una scala più grande delle ali di una libellula. Allo stesso tempo, alcuni corpi possono fare Di più fluttuazioni rispetto ad altri.
Ma con tutta la varietà di questi movimenti, hanno un'importante caratteristica comune: dopo un certo periodo di tempo, il movimento di qualsiasi corpo si ripete.
Infatti, se la palla viene tolta dalla posizione di equilibrio e rilasciata, allora, dopo aver attraversato la posizione di equilibrio, devierà nella direzione opposta, si fermerà e poi tornerà nel punto in cui è iniziato il movimento. Questa oscillazione sarà seguita da una seconda, terza, ecc., simile alla prima.
Il periodo di tempo dopo il quale il movimento si ripete è detto periodo di oscillazione.
Pertanto, dicono che il moto oscillatorio è periodico.
Nel moto dei corpi oscillanti, oltre alla periodicità, c'è un'altra caratteristica comune.
Fai attenzione!
Per un periodo di tempo pari al periodo di oscillazione, qualsiasi corpo attraversa due volte la posizione di equilibrio (muovendosi in direzioni opposte).
I movimenti che si ripetono a intervalli regolari, in cui il corpo ripetutamente e in diverse direzioni supera la posizione di equilibrio, sono chiamati vibrazioni meccaniche.
Sotto l'azione di forze che riportano il corpo in una posizione di equilibrio, il corpo può oscillare come da solo. Inizialmente, queste forze sorgono a causa dell'esecuzione di alcuni lavori sul corpo (allungare la molla, sollevarla in altezza, ecc.), Che porta alla comunicazione di una certa quantità di energia al corpo. A causa di questa energia, si verificano vibrazioni.
Esempio:
Per fare in modo che l'oscillazione esegua movimenti oscillatori, devi prima sbilanciarli spingendo con i piedi o con le mani.
Le oscillazioni che si verificano a causa della sola riserva di energia iniziale di un corpo oscillante in assenza di influenze esterne su di esso sono chiamate vibrazioni libere.
Esempio:
Un esempio di vibrazioni libere di un corpo sono le vibrazioni di un carico sospeso su una molla. Inizialmente sbilanciato forze esterne in futuro, il carico fluttuerà solo a causa delle forze interne del sistema "carico-molla": gravità ed forze elastiche.
Condizioni per il verificarsi di oscillazioni libere nel sistema:
a) il sistema deve trovarsi in una posizione di equilibrio stabile: quando il sistema devia dalla posizione di equilibrio deve insorgere una forza che tende a riportare il sistema nella posizione di equilibrio - la forza di ripristino;
b) il sistema ha energia meccanica in eccesso rispetto alla sua energia nella posizione di equilibrio;
c) l'energia in eccesso ricevuta dal sistema quando viene spostato dalla posizione di equilibrio non dovrebbe essere completamente spesa per superare le forze di attrito quando ritorna alla posizione di equilibrio, cioè le forze di attrito nel sistema devono essere sufficientemente piccole.
I corpi liberamente oscillanti interagiscono sempre con altri corpi e insieme a loro formano un sistema di corpi, chiamato sistema oscillatorio.
I sistemi di corpi in grado di compiere oscillazioni libere sono detti sistemi oscillatori.
Uno dei principali proprietà comuni di tutti i sistemi oscillatori sta nell'emergere in essi di una forza che riporta il sistema in una posizione di equilibrio stabile.
Esempio:
Nel caso di vibrazioni di una pallina su un filo, la pallina oscilla liberamente sotto l'azione di due forze: la forza di gravità e la forza elastica del filo. La loro risultante è diretta alla posizione di equilibrio.
La terra, il supporto e il corpo sospeso al supporto (vedi Fig. 3) formano un sistema oscillatorio chiamato pendolo fisico. Le cremagliere, due molle e il corpo m (vedi Fig. 4) formano un sistema oscillatorio, che di solito viene chiamato pendolo a molla orizzontale. Tutti i sistemi oscillatori hanno una serie di proprietà comuni. Consideriamo i principali.
1 Ogni sistema oscillatorio ha uno stato di equilibrio stabile. Per un pendolo fisico, questa è la posizione in cui il centro di massa del corpo sospeso è sulla stessa verticale con il punto di sospensione. Per un pendolo a molla verticale, questa è la posizione in cui la forza di gravità è bilanciata dalla forza elastica della molla. Per un pendolo a molla orizzontale, questa è la posizione in cui entrambe le molle sono deformate allo stesso modo.
2 Dopo che il sistema oscillatorio è stato rimosso dalla posizione di equilibrio stabile, appare una forza che riporta il sistema in una posizione stabile. L'origine di questa forza può essere diversa. Quindi, per un pendolo fisico, questa è la risultante f della gravità G e della forza elastica T (Fig. 5), e per i pendoli a molla, questa è la forza elastica delle molle (Fig. 6).
 |
3 Tornando a uno stato stabile, il sistema oscillatorio non può arrestarsi immediatamente. Nei sistemi oscillanti meccanici, ciò è ostacolato dall'inerzia del corpo oscillante. Le proprietà elencate portano al fatto che se il sistema oscillatorio viene portato fuori dallo stato di equilibrio stabile in un modo o nell'altro, allora in assenza di forze esterne, le oscillazioni sorgeranno e persisteranno per qualche tempo. Le oscillazioni che sono sorte potrebbero continuare indefinitamente se non ci fosse attrito (resistenza) nel sistema oscillatorio. Sono questi sistemi oscillatori ideali che considereremo in molti casi. Un sistema oscillatorio ideale ha due caratteristiche distintive:
a) non c'è attrito (resistenza) in esso e, quindi, non si verificano trasformazioni irreversibili di energia;
b) i parametri di un tale sistema oscillatorio (la lunghezza del filo, la massa del corpo oscillante, la rigidezza della molla) sono costanti.
Un esempio di sistema oscillatorio ideale è il cosiddetto pendolo matematico, che è un piccolo peso sospeso su una molla flessibile, priva di peso e inestensibile. La lunghezza del filo e la massa del carico rimangono invariate durante l'oscillazione del pendolo. Se il filo è considerato infinitamente sottile e idealmente flessibile, e le dimensioni del carico sono infinitamente piccole, puntualmente, allora non ci sarà attrito durante le oscillazioni del pendolo matematico.
Nei sistemi oscillatori reali c'è attrito ei parametri del sistema cambiano leggermente durante il movimento oscillatorio. Pertanto, un pendolo, che è un carico di dimensioni finite sospeso su un filo di seta, non può essere considerato come pieno senso un sistema oscillatorio ideale, poiché nel processo del suo movimento oscillatorio, la resistenza dell'aria e l'attrito nel punto di sospensione agiscono e la lunghezza del filo cambia (anche se molto leggermente). Ma con piccole oscillazioni di un tale pendolo, la resistenza dell'aria è piccola e la lunghezza del filo cambia in modo così insignificante che, con una certa approssimazione, questo pendolo può essere considerato un sistema oscillatorio quasi ideale. Questo vale anche per il pendolo a molla. Può essere considerato un sistema oscillatorio ideale se la massa del corpo oscillante e la rigidità della molla sono costanti e l'attrito è così piccolo da poter essere ignorato.
1 Vibrazioni libere. Le oscillazioni che si verificano in un sistema oscillatorio che non è soggetto all'azione di forze esterne periodiche sono chiamate oscillazioni libere. Per il verificarsi di oscillazioni libere, è necessario esercitare un impatto a breve termine sul sistema oscillatorio dall'esterno, portando il sistema fuori equilibrio (deviazione dalla posizione media del pendolo, un righello d'acciaio serrato in una morsa, una corda, eccetera.).
2 Oscillogramma delle oscillazioni.Se il peso del pendolo è un recipiente con inchiostro, in cui è presente uno stretto foro, allora quando il pendolo oscilla.
OK-1 Vibrazioni meccaniche
Le vibrazioni meccaniche sono movimenti che si ripetono esattamente o approssimativamente a determinati intervalli di tempo.
Le vibrazioni forzate sono vibrazioni che si verificano sotto l'azione di una forza esterna che cambia periodicamente.
Le oscillazioni libere sono oscillazioni che si verificano in un sistema sotto l'azione di forze interne dopo che il sistema è stato portato fuori da una posizione di equilibrio stabile.
Sistemi oscillatori
Condizioni per il verificarsi di vibrazioni meccaniche
1. La presenza di una posizione di equilibrio stabile in cui la risultante è uguale a zero.
2. Almeno una forza deve dipendere dalle coordinate.
3. Presenza di energia in eccesso in un punto materiale oscillante.
4. Se il corpo viene portato fuori equilibrio, allora il risultante non è uguale a zero.
5. Le forze di attrito nel sistema sono piccole.
Conversione di energia durante il moto oscillatorio
In equilibrio instabile si ha: E p → E a → E p → E a → E P.
Per un giro completo 
.
La legge di conservazione dell'energia è soddisfatta.
Parametri del moto oscillatorio
1
.
Pregiudizio X- deviazione del punto oscillante dalla posizione di equilibrio in un dato momento.
2. Ampiezza X 0 - il più grande spostamento dalla posizione di equilibrio.
3. Periodo Tè il tempo di un'oscillazione completa. Espresso in secondi (s).
4. Frequenza ν è il numero di oscillazioni complete per unità di tempo. Si esprime in hertz (Hz).
,
;
.
Oscillazioni libere di un pendolo matematico
Un pendolo matematico - un modello - un punto materiale sospeso su un filo inestensibile senza peso.
Registrazione del moto di un punto oscillante in funzione del tempo.
A 
sbilanciare il pendolo. Risultante (tangenziale) F t = - mg peccato α
, cioè. F m è la proiezione della gravità sulla tangente alla traiettoria del corpo. Secondo la seconda legge della dinamica ma t = F T. Poiché l'angolo α
allora molto piccolo ma t = - mg peccato α
.
Da qui un t = g peccato α ,peccato α =α =S/l,
.
Di conseguenza, un~S verso l'equilibrio.
L'accelerazione a di un punto materiale di un pendolo matematico è proporzionale allo spostamentoS.
In questo modo, l'equazione del moto della molla e dei pendoli matematici hanno la stessa forma: a ~ x.
Periodo di oscillazione
Pendolo a molla
Supponiamo che la frequenza naturale di oscillazione di un corpo attaccato a una molla sia 
.
Periodo di oscillazioni libere 
.
Frequenza ciclica ω = 2πν .
Di conseguenza, 
.
Noi abbiamo 
, dove 
.
Pendolo matematico
DA 
frequenza naturale di un pendolo matematico 
.
Frequenza ciclica 
,
.
Di conseguenza, 
.
Le leggi di oscillazione di un pendolo matematico
1. Con una piccola ampiezza di oscillazioni, il periodo di oscillazione non dipende dalla massa del pendolo e dall'ampiezza delle oscillazioni.
2. Il periodo di oscillazione è direttamente proporzionale alla radice quadrata della lunghezza del pendolo e inversamente proporzionale alla radice quadrata dell'accelerazione di caduta libera.
Vibrazioni armoniche
P 
il tipo più semplice di oscillazioni periodiche, in cui si verificano cambiamenti periodici nel tempo delle quantità fisiche secondo la legge del seno o del coseno, sono chiamate oscillazioni armoniche:
X=X 0 peccato t o X=X 0 cos( t+ φ 0),
dove X- compensare in qualsiasi momento; X 0 - ampiezza di oscillazione;
t+ φ 0 - fase di oscillazione; φ 0 - fase iniziale.
L'equazione X=X 0 cos( t+ φ 0), che descrive le oscillazioni armoniche, è la soluzione dell'equazione differenziale X" +ω 2 X= 0.
Differenziando questa equazione due volte, otteniamo:
X" = −ω 0 peccato( t+ φ 0),X" = −ω 2 X 0 cos( t+ φ 0),ω 2 X 0 cos( t+ φ 0) −ω 2 X 0 cos( t+ φ 0).
Se qualsiasi processo può essere descritto dall'equazione X"
+ω
2 X= 0, allora si verifica un'oscillazione armonica con una frequenza ciclica ω
e periodo 
.
In questo modo, con oscillazioni armoniche, anche la velocità e l'accelerazione cambiano secondo la legge del seno o del coseno.
Quindi, per la velocità v X =X" = (X 0 cos t)" =X 0 (cos t)" , cioè v= − ωx 0 peccato t,
ov= ωx 0 cos( t+π /2) =v 0 cos( t+π /2), dove v 0 = X 0 ω - valore di ampiezza della velocità. L'accelerazione varia secondo la legge: un X= v " X =X" = −(ωx 0 peccato t)" = −ωx 0 (peccato t)" ,
quelli. un= −ω 2 X 0 cos t=ω 2 X 0 cos( t+π ) =α 0 cos( t+π ), dove α 0 =ω 2 X 0: - valore di ampiezza dell'accelerazione.
Conversione dell'energia durante le vibrazioni armoniche
Se le vibrazioni del corpo si verificano secondo la legge X 0 peccato( t+ φ 0), quindi l'energia cinetica del corpo è:
.
L'energia potenziale del corpo è:
.
Perché K=mω 2, quindi 
.
La posizione di equilibrio del corpo ( X= 0).
L'energia meccanica totale del sistema è: 
.
OK-3 Cinematica delle oscillazioni armoniche
Fase di oscillazione φ - una grandezza fisica che sta sotto il segno sin o cos e determina lo stato del sistema in qualsiasi momento secondo l'equazione X=X 0 cos φ .
Spostamento x del corpo in un dato momento
X
=X 0 cos( t+
φ
0), dove X 0 - ampiezza; φ
0 - fase iniziale delle oscillazioni nel momento iniziale del tempo ( t= 0), determina la posizione del punto oscillante nel momento iniziale del tempo.
Velocità e accelerazione nelle oscillazioni armoniche
E 
Se il corpo esegue oscillazioni armoniche secondo la legge X=X 0 cos t
lungo l'asse Oh, quindi la velocità del corpo v Xè definito dall'espressione 
.
Più rigorosamente, la velocità del corpo è la derivata della coordinata X col tempo t:
v 
X =X"
(t)
= −xω peccato ω
=X 0 ω
0 ω
cos( t+π
/2).
Proiezione dell'accelerazione: un X= v " X (t) = −X 0 ω cos t=X 0 ω 2 cos( t+π ),
v massimo = ωx 0 ,un massimo= ω 2 X.
Se una φ 0 X= 0, quindi φ 0 v = π /2,φ 0 un =π .
Risonanza
R
Ascendente X 0 alla risonanza, maggiore è il minore attrito nel sistema. Curve 1 ,2 ,3 corrispondono a smorzamento critico debole, forte: F tr3 > F tr2 > F tr1.
A basso attrito, la risonanza è netta; ad alto attrito, è ottusa. L'ampiezza alla risonanza è: 
, dove F max - valore di ampiezza della forza esterna; μ
- coefficiente d'attrito.
Usando la risonanza
Altalena altalena.
Macchine per la compattazione del calcestruzzo.
Contatori di frequenza.
Risonanza di combattimento
La risonanza può essere ridotta aumentando la forza di attrito o
Sui ponti i treni si muovono a una certa velocità.